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UTILICEMOS LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS
Trigonometría es la rama de la
Geometría que se enfoca a la
medición
de
los
triángulos,
especialmente el triángulo recto.
Tiene importante aplicación en
astronomía, navegación y para
medir todo tipo de longitudes de
manera indirecta, como la altura de
pirámides, edificios, montañas, etc.
RAZONES
TRIGONOMETRICAS
ANGULO
El ángulo es la abertura que forman dos
lados contiguos de un triángulo. Se puede
medir en unidades llamadas grados ( º ). Un
grado es igual a 1/360 de una rotación
completa de un lado.
El triángulo recto tiene un ángulo de 90 grados y ya
que la suma de los tres ángulos de un triángulo
suman 180 grados, para cualquier triángulo se
puede deducir que los otros dos ángulos miden
cada uno menos de 90 grados. A estos ángulos se
les llama agudos y complementarios (su suma es de
90 grados).
Tomando como referencia el ángulo a, podemos
nombrar cada elemento del triángulo recto ABC. De
ese modo, podemos formar 6 posibles relaciones o
razones con los lados a, b, c. Estas razones se llaman
razones o funciones trigonométricas.
Representación
animada del cálculo de
SENO y COSENO
En la animación siguiente, si
consideramos que él ángulo es el
formado por la horizontal y la
puerta, tenemos que el valor del
seno es el correspondiente a la
sombra de la puerta proyectada en
la pared.
De tal manera que si la puerta la
inclinamos
totalmente
hasta
la
posición de 0º, tenemos que la puerta
no produce sombra, siendo entonces
que el seno de 0º es igual a 0.
Conforme fuéramos levantando la puerta
esta iría produciendo una mayor sombra en
la pared, de tal manera que conforme se va
incrementando el ángulo hasta 90º, el seno
del ángulo se va incrementando hasta un
máximo de 1.
Para el coseno existe la misma
relación y explicación, solo tenemos
que poner el sol en la parte superior
y la sombra se proyectará en el piso,
de tal manera que para 0º el coseno
es de 1.0, para 90º el coseno es de 0
y así sucesivamente.
TEOREMA DE PITÁGORAS
A
HIPOTENUSA
CATETO
B
(CATETO)  (CATETO)
2
5
4
3
C
CATETO
2
12
 (HIPOTENUSA)
2
5
13
21
29
20
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS
AGUDOS
CATETO
HIPOTENUSA

CATETO ADYACENTE A
SENO
COSENO
TANGENTE
COTANGENTE
SECANTE
COSECANTE
CatetoOpuestoaq
senq=
Hipotenusa
CatetoOpuestoa
tan  
CatetoAdyacentea
Hipotenusa
sec  
CatetoAdyacentea
OPUESTO
A


CatetoAdyacentea
cos  
Hipotenusa
CatetoAdyacentea
cot  
CatetoOpuestoa
Hipotenusa
csc  
CatetoOpuestoa
EJEMPLO :
TEOREMA DE PITÁGORAS
H

sen 
cos 
12
H  1369  37
35
12
37
35
37
H2  122  35 2
tan 
cot  
12
35
35
12
sec 
csc  
EJEMPLO :
Sabiendo que  es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....
3

2
37
35
37
12
RESOLUCION DE
TRIANGULOS
RECTANGULOS
ANGULO DE ELEVACION
Y ANGULO DE
DEPRESION
ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano
vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal
y visual
)

)
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
HORIZONTAL
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
ANGULO DE ELEVACION
Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une
el ojo de un observador con el lugar observado.
Llamamos ángulo de elevación al que forman la
horizontal del observador y el lugar observado
cuando éste está situado arriba del observador.
ANGULO DE DEPRESION
Cuando el observador está más alto
lo llamaremos ángulo de depresión.
Problema Nº 1
Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7 m de la
base de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide
es de 60º y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.
Solución
Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la
situación poniendo los datos que conocemos.
Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide
7 m y una vez que tengamos calculado el
lado b, para calcular la altura de la torre
sólo tendremos que sumarle los 1,5 m. Así
pues, vamos a calcular el lado b.
Para el ángulo 60º, el lado que conozco es
el cateto adyacente y el que quiero
calcular es el cateto opuesto, así pues
planteo la tangente de 60º.
tg 60º 
b  7 3m
b
c
b
3
7m
alturadela torre  7 3m  1,5m

Problema
No. 2 una sombra de 150m.
Un
edificio proyecta
cuando el sol forma un ángulo de 30 º
sobre el horizonte, calcular la altura del
edificio.
30º
Problema Nº 2
 Desde un punto A en la orilla de un río se ve un
árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros
río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un
punto B desde el que se ve el pino formando un
ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la
anchura del río.
Problema Nº 4

Desde un punto A en la orilla de un río, cuya
anchura es de 50m., se ve un árbol justo
enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río
abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un
punto B desde el que se vea el pino formando un
ángulo de 60º con nuestra orilla?
FIN DE LA UNIDAD
I