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C 1 CINEMÁTICA
• Movimiento Mecánico. Bases para su
estudio.
• Métodos vectorial, de coordenadas y
natural.
• Magnitudes cinemáticas.
• Movimiento unidimensional.
• Movimiento rectilíneo uniformemente
variado. Movimiento rectilíneo uniforme.
• Caída libre
• Ejemplos
Bibliog. Sears, Física Universitaria
Mecánica de
los cuerpos
macroscópicos
Movimiento
mecánico
Cinemática: Rama de la Mecánica
que se dedica a la descripción del
movimiento mecánico sin interesarse
por las causas que lo provocan.
Dinámica: Rama de la Mecánica
que se dedica a investigar las causas
que
provocan
el
movimiento
mecánico.
Movimiento Mecánico: Cambio de
posición de un cuerpo respecto a otros,
tomados como referencia.
Carácter: Relativo
Definir sistema
bajo estudio
Definir
Sistema de
Referencia
(SR)
Bases para el estudio del
movimiento mecánico
• Definición del Sistema de Referencia (SR)
• Utilización de magnitudes físicas apropiadas y
relaciones entre ellas.
• Empleo de modelos para el sistema físico:
Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.
• Utilización del principio de independencia de
los movimientos de Galileo así como del
principio de superposición.
Bases para el estudio del
movimiento mecánico
SR:
Cuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Se le asocia
y
y(t)
x(t)
x
z(t)
z
• Observador
• Sistema de
Coordenadas
• Reloj
Bases para el estudio del
movimiento mecánico
SRI: Es aquel para el cual el
sistema bajo estudio en
ausencia de la acción de otros
cuerpos, se mueve con MRU.
Bases para el estudio del
movimiento mecánico
Magnitudes Físicas
Cinemáticas
Dinámicas
Posición,
Velocidad,
Aceleración
Fuerza, Torque
Bases para el estudio del
movimiento mecánico
Modelos
de Cuerpo Rígido: Las distancias
entre los diferentes
cuerpo no varían.
puntos
del
de Partícula: el cuerpo puede ser
considerado como un objeto puntual.
Traslación pura
Rotación pura de cuerpo
sólido
Es aplicable el modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
Objetivo
Describir el
Movimiento
mecánico
Determinación de las Leyes del
Movimiento
Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)
Métodos
•Vectorial
(conciso, elegante)
•de Coordenadas Mayor número de
•Natural
ecuaciones
Coordenadas curvilíneas
Velocidad (t)
Aceleración (t)
Cond. Iniciales
P. Directo
Problemas de
la cinemática
P. Inverso
Posición (t)
V t 
dr
r t 
r
Vm
r
Vectorial
V t  t 
r t  t 
posición : r (t )
velocidad : V (t )  lim
t 0
r dr

t dt
aceleració n : a(t ) 
desplazamiento : r  r (t  t )  r (t )
velocidad media : Vm 
r
t
aceleració n : am 
media
V t  t   V t 
t
dV
dt
posición : x (t ), y (t ), z (t )
z (t )
desplazami ento : x, y, z
z
De Coord.
y (t ) y
x(t )
x
dx
velocidad :Vx (t )  ,
dt
dy
dt
dz
Vz (t ) 
dt
V y (t ) 
dVx
aceleració n : a x (t ) 
dt
a y (t ) 
dV y
dt
dVz
a z (t ) 
dt
s0 s0 s0
n  aT
aN
Natural

a


n 
posición : s (t )
ds
velocidad :V (t )    V ,
dt
d V 2
aceleració n : aN (t )  V

n
dt

aT (t ) 
dV

dt
dV d
aceleració n : a(t ) 
 (V )
dt dt
a  a N  aT
2
2
Metodología
• Identificar sistema físico
• Selección del SRI (Ubicación del Observador)
• Selección del método o métodos (vectorial, de
coordenadas o natural)
• Resolver el problema directo (derivando) o el
indirecto (integrando) o ambos: Hallar
analíticamente la dependencia temporal de la
posición, la velocidad y la aceleración; y
Dibujar las gráficas
r(t1) Vector posición en el instante t1
y
r(t2) Vector posición en el instante t2
A t1

r
t2
r(t1)
B
r(t2)
x
Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] esta dado por:
r  r( t 2 )  r( t1 )
¿Es importante conocer la trayectoria
del móvil para hallar el vector
desplazamiento?
A
t1
r
B
t2
No es necesario conocer la trayectoria para determinar el
vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo
es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de
tiempo
Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media
en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
como:
r rt 2   rt1 
Vm 

t
t 2  t1
m
 s 
y
A t1
r(t1)
Vm
Vm //r
r
t2
B
La velocidad media apunta en la
r(t 2)
misma dirección
del vector
desplazamiento x
Δl
Y(m)
t2
t1
r
Δl :
Distancia total recorrida en el
intervalo de tiempo [t1 , t2]
x(m)
Rapidez media
La rapidez media es igual a la
distancia total recorrida entre
el tiempo total empleado
distancia recorrida l
~
vm 

tiempo empleado
t
vm  Vm
• La rapidez media no es un vector
• la rapidez media no es igual al modulo
del vector velocidad media (para el mismo
intervalo de tiempo)
Y(m)
t "2
v
A
t1
 r"
 r'
Vm
t'2
Vm
Vm
r1
r
"
r2
r2'
B
t2
r2
x(m)
Y(m)
t2 
v(t 1)

A t1
v(t 2 )
v  v
 v(t )
3
t3
El vector velocidad
instantánea es
tangente a la
trayectoria que
describe la partícula
x(m)
Velocidad instantánea
r dr
v(t)  lim t 0

t dt
La velocidad instantánea es la
derivada
del vector posición
respecto del tiempo
r dr
v(t)  lim t 0

t dt
Esta expresión podemos
expresarla en función de sus
componente rectangulares
dx(t)
vx 
dt
dy(t)
vy 
dt
dz(t)
vz 
dt
Rapidez instantánea
l dr
~
v(t)  limt0   v
t dt
Δl
t1
r
t2
Si
Δt  0
l  r
dr
Rapidez instantánea
r dr
~
v(t)  lim t 0

t dt
La rapidez instantánea es igual al
modulo de la velocidad instantánea
~
v(t)  v( t )
Al modulo de la velocidad
instantánea se le conoce como
rapidez instantánea
Y(m)
v(t 1)
A
t1
t2
v(t 2 )
V(t 2 )  V(t 1 )
am 
t 2  t1
x(m)
Aceleración media
Se define la aceleración media como la
rapidez de cambio de la velocidad
instantánea en un determinado intervalo
de tiempo
V(t 2 )  V(t 1 )
am 
t 2  t1
m
 2
s 
Y(m)
V
a (t)  lim t o
t
t
a
v
a
v(t )
t1
v
v(t 1)
La aceleración en este
pequeño intervalo de tiempo
apunta hacia la concavidad
de la trayectoria
x(m)
La aceleración instantánea es igual a
la derivada del vector velocidad
instantánea respecto del tiempo t
a (t) 
dV d vˆ 

dt
dt
a  a ˆ  a n n̂
v2
an 

dv
a 
dt
a
2
a
2
 an
dv
dˆ
a  ˆ
v
dt
dt
dv
v
a
ˆ  v n̂
dt


aN

aT
Es la aceleración normal , responsable
del cambio de dirección de la velocidad
Es la aceleración tangencial responsable
del cambio del modulo de la velocidad
dV
a
dt
Expresado en componentes rectangulares
dv x (t)
ax 
dt
dv y (t)
ay 
dt
dv z (t)
az 
dt
Resumen:
Problema directo
Si se conoce la posición de la partícula con el
tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y
aceleración instantánea por simple derivación
v(t) 
dr(t)
a (t) 
dv (t)
dt
dt

d 2 r(t)
dt
2
 a  an
Problema inverso
Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo
es posible encontrar la posición y la velocidad usando
el camino inverso, es decir integrando:
a (t) 
dv(t)
dt
 dv  a (t) dt
t
t
v (t)  v (t O ) 

a (t) dt
v (t)  v (t O ) 
tO
v(t) 
dr(t)
dt
 dr  v(t) dt

a (t) dt
tO
t


r(t)  r(t O ) 

tO
v (t) dt
Son los vectores posición y velocidad en el instante to
Ejemplo 1:
Si el vector posición de una partícula
esta dada por:

3
2
4ˆ
ˆ
ˆ
r(t)  (2t  1) i  (t  2t  1) j  t k
Hallar:
1) el vector posición para t= 0 y 2 s
2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s
3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s
su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s
5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s
6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s
Movimiento
en una
dimensión
Podemos aplicar lo discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviendose en una
sola dimensión, por ejemplo
a lo largo del eje x

r(t
o)

v (t
a t 0 

v (t)
o)

r(t)
x
Para el movimiento en el eje X las ecuaciones
se reducen a:
r(t)  x(t) î
v(t)  v(t) î
a ( t )  a ( t ) î
Movimiento rectilíneo variado
xt  v(t) a(t)
a
a
v
Movimiento rectilíneo acelerado
v
Movimiento rectilíneo retardado
v y a igual signo
v y a signos opuestos
X(t) Velocidad instantánea
v 0
Q
v 0
p
R
dx(t)
v
dt
v0
t
Aceleración instantánea

a=0
a>0
a<0
t
ti
a
tf
dv (t)
dt
t
En toda gráfica v versus t el área bajo la
curva es igual al desplazamiento del móvil

t
dx
v
dt
ti
t2
tf
t
Δx   vdt  area bajo la curva
t1
Ejemplo 1:
En la gráfica velocidad versus
tiempo, haga un análisis del tipo de
movimiento e indique en que tramos
el movimiento es acelerado o
desacelerado
V(t)
2
4
8
12
16
t(s)
Diremos que un movimiento
rectilíneo es uniforme variado si la
aceleración del móvil permanece
constante en todo momento.
Supongamos que una partícula
parte de la posición xo en el
instante t0=0 , con una velocidad vo
a
xo
Problema inverso
v (t)
v
t=0 o
x
x(t)
Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de
v
t
integrar
dv

adt


vo
v(t)  vo  at
0
Velocidad
instantánea
Podemos ahora determinar la posición de la
partícula en cualquier instante de tiempo t
x
t
 dx   v
xo
v(t)  vo  at
dt
(t)
0
x
t
 dx   (v
xo
o
 at)dt
0
1 2
x(t)  xo  v o t  at
2
a
xo
v (t)
v
t=0 o
x(t)
x
Hallaremos ahora una expresión para
determinar la velocidad media en el intervalo de
tiempo [0, t]:
Δx
Vm 
Δt
x(t) - x o
Vm 
t
a
xo
v (t)
v
t=0 o
x(t)
x(t) - x o
Vm 
t
v (t) - v o
a
t
x
Y usando las ecuaciones
anteriormente deducidas
1 2
x(t)  xo  v o t  at
2
a
xo
v (t)
v
t=0 o
x(t)
Finalmente obtenemos
x(t) - x o v (t)  v o
Vm 

t
2
x
a
xo
v (t)
v
t=0 o
x(t)
x
También se puede demostrar:
2
2
0
(t)
v  v  2 a Δx
Donde :
Δx  x(t)  x0
Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo
[0 , t]
a  cte MRUA
Resumen
v(t)  vo  at
Despejando t en la
1ra y sustituyendo
en la 2da, se
obtiene la 3ra
1 2
x(t)  xo  v o t  at
2
Δx  x(t)  x0
v  v  2 a Δx
2
2
0
(t)
x(t) - x o v (t)  v o
Vm 

t
2
x (t ) - x (t ) v (t )  v (t )
Vm 

t 2  t1
2
2
1
2
1
[0 , t]
[t1 , t2 ]
Movimiento Uniformemente Acelerado
a

Pendiente = 0
a
at
a
t
O
0
O
pendiente = v(t)
x(t)
xo
Pendiente = v0
t
0

t
v(t)  vo  at
1 2
x(t)  xo  v o t  at
2
t
Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU
0
a
a : dato
0
V  V0  at
0
2
at
x  x0  V0t 
2
ax  0
Vx  V0 x
V
V0
t
x
t
x0
t
Movimiento Parabólico
MRU
x  x0  V0 xt Eje x
ay  g
Vy  V0 y  gt 2
gt
y  y0  V0 y t 
2
MRUV
Eje y
V =0
v0
-v0
Haga click en la bolita verde
y a  gĵ
v 0  v 0 ĵ
v  v 0  gt
v
2
1 2
y  y 0  v 0 t  gt
2
0
2
 v0  2gy
v0
a  gĵ
a
tv/2
t
-g
v
tv
t
-v0
v  v 0  gt
x
H
tv
t
1 2
y  y 0  v 0 t  gt
2
Problema 7
Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 100 m/s,
determine:
a) El tiempo que permanece en el aire.
b) Su posición en el instante t = 5 s.
c) La altura máxima alcanzada.
d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s
e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad
de 60 m/s a -60m/s