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Problema nº 1: “Números buenos y malos”
Problema nº 2: “Un reparto a todo tren”
Problema nº 3 (Problema CASIO): “Fabricando papel”
Problema nº 4: “¿Césped o piscina?”
Problema nº 5: “Pintando cubos”
Problema nº 6: “π-ratas del Caribe”
Problema nº 1: NÚMEROS BUENOS Y MALOS
Don Odón Betanzos ha encargado a sus paisanas Isa y Rocío, entusiastas en el estudio de
los números, que investiguen sobre los números buenos y malos.
Rocío después de leer en un famoso libro de matemáticas, le dice a Isa:
“¿Sabes que los números buenos son números enteros superiores o igual a 2 y que pueden
escribirse como la suma de números naturales no nulos, distintos o no, dónde la suma de sus
inversos es igual a 1 y los números malos son aquellos que no son buenos, es decir, que no
cumplen la propiedad anterior?”
Por ejemplo:
18 es un número bueno , porque 18 = 3+3+6+6 y
1 1 1 1
   1
3 3 6 6
Ya que Rocío ha explicado cuándo un número es bueno o malo, ayuda a Isa en su labor
de investigación contestando de forma razonada a las siguientes cuestiones:
a)
¿Cuáles son los números buenos que se encuentran del 2 al 10, ambos inclusive?
b) Una vez que has calculado cuales son los buenos, ¿puedes afirmar que sus cuadrados
también lo son?
c) Si un número natural cualquiera "n" es bueno, ¿se puede afirmar que su cuadrado,
también lo es?
Solución
Menú
Solución:
a) ¿Cuáles son los números buenos que se encuentran del 2 al 10, ambos
inclusive?
•
2=1+1
y
(1/1)+(1/1)= 2 ≠ 1
Por lo tanto, 2 es un número malo
•
3=1+1+1
3=1+2
y
(1/1)+(1/1) +(1/1)= 3 ≠ 1
y
(1/2)+(1/1) = 3/2 ≠ 1
Por lo tanto, 3 es un número malo
•
4=2+2
y
(1/2)+(1/2) = 1
Por lo tanto, 4 es un número bueno
•
5=1+1+1+1+1
5=1+2+2
5=1+4
5=2+3
Enunciado
y
(1/1)+(1/1) +(1/1) + (1/1)+(1/1) = 5 ≠ 1
y
(1/2)+(1/2)+(1/1) = 2 ≠ 1
y
(1/4)+(1/1) = 5/4 ≠ 1
y
(1/2)+(1/3) = 5/6 ≠ 1
Por lo tanto, 5 es un número malo
Menú
Solución:
•
6=1+1+1+1+1+1
y
(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 6 ≠ 1
6=1+1+1+1+2
y
(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 9/2 ≠ 1
6=1+1+2+2
y
(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1) = 3 ≠ 1
6=1+2+3
y
(1/2)+(1/3)+(1/1) = 11/6 ≠ 1
6=1+1+4
y
(1/4)+(1/1)+(1/1) = 9/4 ≠ 1
6=2+4
y
(1/2)+(1/4) = 3/4 ≠ 1
6=3+3
y
(1/3)+(1/3) = 2/3 ≠ 1
6=1+5
y
(1/5)+(1/1) = 6/5 ≠ 1
6=2+2+2
y
(1/2)+(1/2)+(1/2) = 3/2 ≠ 1
6=1+1+1+3
y
(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/3) = 10/3 ≠ 1
Por lo tanto, el 6 también es un número malo
Enunciado
Menú
Solución:
•
Por lo tanto, 7 es también un número malo
7=1+1+1+1+1+1+1
y
(1/1)+(1/1) +.....+ (1/1) = 7 ≠ 1
7=1+1+1+1+1+2
y
(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 11/2 ≠ 1
7=1+1+1+1+3
y
(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/3) = 13/3 ≠ 1
7=1+1+1+2+2
y
(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 4 ≠ 1
7=1+2+2+2
y
(1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/1) = 5/2 ≠ 1
7=1+1+1+4
y
(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/4) = 13/4 ≠ 1
7=1+3+3
y
(1/3)+(1/3)+(1/1) = 5/3 ≠ 1
7=1+2+4
y
(1/2)+(1/4)+(1/1) = 7/4 ≠ 1
7=1+1+5
y
(1/1)+(1/1)+(1/5) = 11/5 ≠ 1
7=2+2+3
y
(1/2)+(1/2) +(1/3) = 4/3 ≠ 1
7=1+6
y
(1/6)+(1/1) = 7/6 ≠ 1
7=2+5
y
(1/2)+(1/5) = 7/10 ≠ 1
7=3+4
y
(1/3)+(1/4) = 7/12 ≠ 1
Enunciado
Menú
Solución:
•
Por lo tanto, 8 es un número malo
8=1+1+1+1+1+1+1+1
8=1+1+1+1+1+1+2
8=1+1+1+1+2+2
8=1+1+2+2+2
8=1+1+3+3
8=1+2+2+3
8=2+2+2+2
8=2+2+4
8=2+3+3
8=1+1+6
8=1+2+5
8=1+3+4
8=1+7
8=2+6
8=3+5
8=4+4
Enunciado
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
(1/1)+(1/1)+.....+ (1/1) = 8 ≠ 1
(1/2)+(1/1)+.....+(1/1) = 13/2 ≠ 1
(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 5 ≠ 1
(1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1) = 7/2 ≠ 1
(1/3)+(1/3)+(1/1)+(1/1) = 8/3 ≠ 1
(1/3)+(1/2)+(1/2)+(1/1) = 14/6 = 7/3 ≠ 1
(1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/2) = 4/2 = 2 ≠ 1
(1/2)+(1/2)+(1/4) = 5/4 ≠ 1
(1/2)+(1/3)+(1/3) = 7/6 ≠ 1
(1/6)+(1/1)+(1/1) = 13/6 ≠ 1
(1/2)+(1/5)+(1/1) = 17/10 ≠ 1
(1/3)+(1/4)+(1/1) = 19/12 ≠ 1
(1/7)+(1/1) = 8/7 ≠ 1
(1/2)+(1/6) = 4/6 = 2/3 ≠ 1
(1/3)+(1/5) = 8/15 ≠ 1
(1/4)+(1/4) = 2/4 = 1/2 ≠ 1
Menú
Solución:
•
9=3+3+3
y
(1/3)+(1/3)+(1/3) = 3/3 = 1
Por lo tanto, 9 es un número bueno
•
10=2+4+4
y
(1/2)+(1/4)+(1/4) = 4/4 = 1
Por lo tanto, 10 es un número bueno
¡Así que los únicos números buenos del 2 al 10 son el 4, el 9 y el 10!
Enunciado
Menú
Solución:
b) Una vez que has calculado cuales son los buenos, ¿puedes afirmar que
sus cuadrados también lo son?
Hemos observado que 4 es un número bueno,
¿Será su cuadrado 16 = 42 un número bueno?
Pues sí es bueno ya que 16 = 4+4+4+4 y (1/4)+(1/4)+(1/4)+(1/4) = 4/4 = 1
2
Además, 9 es un número bueno, ¿también será bueno el 81 = 9 ?
Pues vemos que también es bueno porque
81 = 9+9+9+9+9+9+9+9+9
y (1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)=9/9=1
El 10 es un número bueno, ¿será bueno el 100 = 102
Pues vemos que también es bueno porque 100=10+10+10+10+10+10+10+10+10+10
y (1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10) = 10/10 = 1
Enunciado
Menú
Solución:
c) Si un número natural cualquiera "n" es bueno, ¿se puede afirmar que su
cuadrado, también lo es?
2
Sabemos que si "n" es un número bueno, su cuadrado “n “ se puede
escribir como la suma del número n, n veces.
Y al sumar n veces el inverso de n (1/n) siempre vamos a obtener n/n,
es decir, la unidad.
2
Por lo tanto n siempre será un número bueno.
Veamos un ejemplo:
El número 25 es bueno ya que
25 = 5+5+5+5+5
y
(1/5)+(1/5)+(1/5)+(1/5)+(1/5) = 5/5 = 1
2
Observamos que su cuadrado 25 = 625 es también bueno ya que
625 = 25+25+25+........+25
y (1/25)+(1/25)+........+(1/25) = 25/25 = 1
Enunciado
Menú
Solución:
a)
Reagrupemos las respuestas:
Los números buenos que se encuentran del 2 al 10 son el 4, el 9 y el 10.
b) El 4, el 9 y el 10 son números buenos y sus cuadrados, 16, 81 y 100 también
son números buenos.
2
c) Si "n" es bueno, entonces, n se puede escribir
como la suma del número n, n veces.
Y al sumar n veces el inverso de n (1/n) siempre
vamos a obtener la unidad.
2
Por lo tanto n siempre será un número bueno.
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
Enunciado
Menú
Problema nº 2: REPARTO A TODO TREN
Giuseppe Peanín, que es el repartidor de la pizzería matelandesa,
tiene que entregar un pedido en una casa en el mínimo tiempo posible.
Armado de paciencia, ha estudiado minuciosamente los semáforos del
barrio y ha descubierto algunas cosas. Los semáforos sólo tienen dos
colores: rojo (no se puede pasar) y verde (sí se puede pasar) que se
alternan cada dos minutos (dos minutos rojo, dos minutos verde, dos
minutos rojo…). Giuseppe tarda 2 minutos y 5 segundos en ir de un
semáforo al siguiente. Si en el momento
que sale de cualquiera de las dos salidas
del aparcamiento, la disposición de los
semáforos se acaba de cambiar a la que
se indica en el dibujo, ¿cuál es la ruta más
rápida para entregar la comida?
Explica razonadamente tu respuesta.
Solución
Menú
Solución:
Para empezar, comprobemos lo que parece evidente: en el trayecto
más rápido el motorista siempre se moverá hacía el Norte o hacía el Este.
Esto se debe a que nunca le conviene dar la vuelta a una o a dos
manzanas para evitar semáforos rojos.
Por ejemplo, si el motorista está situado donde se indica en el dibujo,
podría dar la vuelta a la manzana para evitar el semáforo R del camino
azul.
Sin dar la vuelta tarda de un
semáforo a otro 2 min 5 s, y esperando
al verde 2 min como máximo. En total:
2 (2 m 5 s) + 2 min = 6 min 10 s.
Realmente solamente tendría que esperar 1 m
55 s en el semáforo R.
Dando la vuelta, y suponiendo que
no se tiene que parar, tarda como
mínimo:
4 · (2 m 5 s) = 8 m 20 s
Enunciado
Menú
Solución:
Para empezar, comprobemos lo que parece evidente: en el trayecto
más rápido el motorista siempre se moverá hacía el Norte o hacía el Este.
Esto se debe a que nunca le conviene dar la vuelta a una o a dos
manzanas para evitar semáforos rojos.
Si le da la vuelta a dos manzanas, para evitar dos semáforos R,
seguiría siendo más rápido por más de 10 s.
Sin dar la vuelta tarda como máximo:
3 · (2 m 5 s) + 2 · (2 min) = 10 min 15 s.
Dando la vuelta sin pararse tarda:
5 · (2 m 5 s) = 10 m 25 s
Dar la vuelta a tres manzanas implicaría
en algún momento dar marchar atrás.
Enunciado
Menú
Solución:
Por tanto, el camino más rápido se traza moviéndonos hacía el N o el E.
Así pasaremos por 5 semáforos.
En segundo lugar, observemos qué ocurre cuando sale de un semáforo
donde se ha parado. Por ejemplo, en el que se indica en la figura.
Si el siguiente semáforo también tiene el mismo color. Cuando los dos
semáforos se cambien a V, el motorista
arrancará pero no llegará al 2º semáforo
hasta que se cambie otra vez. Se tendrá
que volver a parar 1 min 55 s.
Sin embargo si el 2º semáforo tiene
distinto color, llegará cuando este en V.
Justamente pasará a los 5 segundos
de haberse puesto en V.
5º
4º
3º
1º
Enunciado
Menú
2º
Solución:
Por tanto, el camino más rápido se traza moviéndonos hacía el N o el E.
Así pasaremos por 5 semáforos.
Con el siguiente semáforo ocurriría lo mismo. Si no se ha parado y el
color es distinto del 2º, lo pasará cuando este tercer semáforo lleve 10 s
en V. Si es del mismo color, se tendría que detener 1 min 50 s.
Si no se para y el 4º semáforo es de
distinto color que el 3º, lo pasará a los 15 s
de ponerse V. Si son del mismo color, se
parará 1 min 45 s.
Y con el quinto pasaría lo mismo.
5º
4º
Deducimos…
3º
1º
Enunciado
Menú
2º
Solución:
El camino más rápido debe tener el mayor número posible de
semáforos consecutivos con distinto color y siempre hacia el N o el E.
Además, mientras más semáforos pase, menos tiempo tiene que
esperar en el siguiente semáforo R.
Utilicemos el diagrama de árbol para buscar el trayecto con menos
semáforos consecutivos del mismo color,
distinguiendo si en cada cruce nos vamos
hacía el N o hacía el E.
5º
Tomaremos el primer cruce hacia el N,
en caso contrario el motorista se detendría
en el primer semáforo.
4º
3º
1º
Enunciado
Menú
2º
Solución:
El camino más rápido debe tener el mayor número posible de semáforos
consecutivos con distinto color y siempre hacía el N o el E.
Además, mientras más semáforos pase, menos tiempo tiene que esperar en
el siguiente semáforo R.
Nº de semáforos
1 1 1 2 3 3 4 3 2
2
consecutivos de igual color
4º
V
V
V
R
V
V
R
V
R
R
R
R
V
R
R
V
R
V
R
V
5º
3º
V
2º
R
1º
R
R
V
R
R
R
R
R
R
Pizzería
Salida Norte
Pizzería
Salida Este
Enunciado
R
V
4º
3º
1º
Menú
2º
Solución:
En los tres primeros recorridos, solamente se tiene que parar una vez,
pero en el que más tarde se para, es en el tercero.
4º
1
1
1
2
3
3
4
3
2
2
V
V
V
R
V
V
R
V
R
R
R
R
V
R
R
V
R
V
R
V
Nº de semáforos
consecutivos de igual color
5º
3º
V
2º
R
1º
R
R
V
R
R
R
R
R
R
Pizzería
Salida Norte
Pizzería
Salida Este
Enunciado
R
V
4º
3º
1º
Menú
2º
Solución:
EL TRAYECTO
MÁS RÁPIDO ES
EL SEÑALADO EN
EL PLANO
HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...
… pero ¿habrá más formas de encontrarla?
Y ¿qué pasaría si el motorista no sale a la
misma vez que se cambian los semáforos?
Enunciado
Menú
Problema nº 3: PROBLEMA CASIO: FABRICANDO PAPEL
En Matelandia se preocupan por el medio ambiente.
Para concienciar a su clase de qué se debe ahorrar papel, el profesor D. Rosendo
muestra a sus alumnos un polígono de la misma forma que la provincia de Matelandia,
que como todos saben es cuadrada y tiene 1296 km2 de superficie. Como a D. Rosendo
le interesan mucho las nuevas tecnologías ha pedido a sus alumnos que busquen
información en internet.
Lucas ha encontrado los siguientes datos:
o Superficie mínima que necesita para crecer un árbol del
que se obtiene papel: 4 m2
o Cantidad de papel que se fabrica con un árbol: 40 kg.
o Número de habitantes de Matelandia: 9.600.000 hab.
o Cantidad de papel usado por habitante y año en
Matelandia: 150 kg
D. Rosendo les pide que dibujen un cuadrado, sobre
el mapa anterior, que represente las dimensiones de la
superficie mínima que en Matelandia se destina cada año a
la fabricación de papel. ¿Cuáles son las dimensiones de ese
cuadrado?
Razona las respuestas
Solución
Menú
Solución:
En primer lugar calculamos las dimensiones del mapa de Matelandia:
Enunciado
Menú
Solución:
Ahora calculamos qué superficie necesitamos para obtener el papel
necesario:
En primer lugar, vemos cuánto papel se consume al año en Matelandia. Si cada
habitante consume 150 kg y en total hay 9.600.000 habitantes se tiene que:
Ahora calculamos los árboles necesarios para ello, sabiendo que cada árbol
produce 40 kg:
36.000.000 árboles · 4 m2/árbol = 144.000.000 m2 = 144 km2
Enunciado
Menú
Solución:
Sabiendo que cada unidad representa 3 km, una posible representación sería:
Enunciado
Menú
Solución:
Algunas otras posibles representaciones serían:
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas?
Enunciado
Menú
Problema nº 4: ¿CÉSPED O PISCINA?
Sofía Germain es la presidenta de
una comunidad de vecinos. Gracias a
una subvención ha construido en la
urbanización una zona con césped y dos
piscinas (las dos partes más claras que
se muestran en el dibujo). Esta nueva
construcción, como puede apreciarse,
está formada por círculos tangentes
entre sí en un punto. El círculo más
pequeño tiene de diámetro 6 metros y
cada círculo tiene un metro de radio más
que el anterior. ¿Qué hay más, agua o
césped?
Contesta razonando tu respuesta.
Solución
Menú
Solución:
El problema, simplificándolo,
lo podríamos ver como cuatro
círculos tangentes en el punto
superior.
La zona verde representa el
césped y la azul la piscina.
Enunciado
Menú
Solución:
Separamos las circunferencias para calcular el área de cada una de ellas:
6 cm
8 cm
Enunciado
Menú
Solución:
Separamos las circunferencias para calcular el área de cada una de ellas:
10 cm
12 cm
Enunciado
Menú
Solución:
Calculo ahora la superficie de piscina. Nos podemos dar cuenta que hay
dos piscinas: la primera, no hay ningún problema, ya la tenemos calculada; la
segunda, nos damos cuenta de que es la diferencia entre las superficies del
círculo 3 y del círculo 2:
Enunciado
Menú
Solución:
Por lo tanto de piscina tenemos:
Enunciado
Menú
Solución:
Así, de piscina tenemos:
Enunciado
Menú
Solución:
Vamos ahora con el césped, de la misma manera. Calculamos la parte
más pequeña de césped, que saldrá de quitarle al círculo 2 el círculo 1.
Enunciado
Menú
Solución:
Lo mismo con la otra parte de césped: círculo 4 – círculo 3:
Enunciado
Menú
Solución:
En total de césped tenemos:
Enunciado
Menú
Solución:
Así, de césped tenemos:
Enunciado
Menú
Solución:
¡¡Sorprendente!!
Hay la misma cantidad de
césped que de piscina.
HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
Enunciado
Menú
Problema nº 5: PINTANDO CUBOS
Eva le dice a Beatriz: “Tengo un buen montón de cubitos de 1 cm de
arista y con ellos he formado cubos mayores de 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... cm de
arista. A continuación he pintado las seis caras de estos cubos mayores.
Adivina cuál es el cubo que tiene la misma cantidad de cubitos con una
sola cara pintada, que sin ninguna.”
¿Cuántos cubitos forman el cubo que tiene que adivinar Beatriz?
Razona tu respuesta
Solución
Menú
Solución:
Comenzamos con 1 cubito:
• Lógicamente va a tener todas sus caras pintadas.
Vamos a ver que ocurre con el cubo de lado 2:
• En este caso, todos los cubitos tendrán tres de
sus caras pintadas.
Enunciado
Menú
Solución:
Continuamos con el cubo de lado 3:
Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras
pintadas y nos encontramos con:
Quitamos los cubitos que tiene una sola cara
pintada y nos queda:
Enunciado
Menú
Solución:
Continuamos con el cubo de lado 4:
Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras
pintadas y nos encontramos con:
Quitamos los cubitos que tiene una sola cara
pintada y nos queda:
Enunciado
Menú
Solución:
Continuamos con el cubo de lado 5:
Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras
pintadas y nos encontramos con:
Quitamos los cubitos que tiene una sola cara
pintada y nos queda:
Enunciado
Menú
Solución:
Vamos a observar que ha ocurrido con los cubos:
Cubos de lado n
Cubitos 0 caras pintada
n=5
6·(5-2)2
(5-2)3
n=4
6·(4-2)2
(4-2)3
n=3
n=2
Enunciado
Cubitos 1 cara pintada
6·(3-2)2
(3-2)3
6·(2-2)2
(2-2)3
Menú
Solución:
Vemos que en cada una de las caras del cubo, los cubitos con una
sola cara pintada, si quitamos los cubitos que tienen dos o tres caras
pintadas, es igual al cuadrado del número de cubitos de la arista menos 2.
Es decir, cubitos con una cara pintada: (n-2)2
El total de cubitos con una cara pintada será: 6·(n-2)2
El total de cubitos con ninguna cara pintada será: (n-2)3
Como se nos pide que cuál es el cubo que tiene igual cantidad de
cubitos con ninguna cara pintada que con una sola cara pintada. Luego
tendremos que 6·(n-2)2 =(n-2)3
De donde 6=n-2 por tanto n=8
Luego necesitaremos 83 cubitos pequeños, es decir 512 cubitos
de 1cm de arista.
Enunciado
Menú
Solución:
Vamos a verificarlo con una tabla:
Lado n
Cubitos con una cara
pintada
6·(n-2)2
Cubitos con ninguna
cara pintada
(n-2)3
Lado 1
Imposible
Imposible
Lado 2
6·(2-2)2 = 0
(2-2)3 = 0
Si
Lado 3
6·(3-2)2 = 6
(3-2)3 = 1
No
Lado 4
6·(4-2)2 = 24
(4-2)3 = 8
No
Lado 5
6·(5-2)2 = 54
(5-2)3 = 27
No
Lado 6
6·(6-2)2 = 96
(6-2)3 = 64
No
Lado 7
6·(7-2)2 = 150
(7-2)3 = 125
No
Lado 8
6·(8-2)2 = 216
(8-2)3 = 216
Si
Lado 9
6·(9-2)2 = 294
(9-2)3 = 343
No
Enunciado
Menú
Igual número de
caras
Solución:
El cubo que buscamos es el formado por 8 cubitos en cada lado.
Luego necesitamos 83 cubitos pequeños, es decir:
512 cubitos de 1 cm de arista
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
Enunciado
Menú
Problema nº 6. π-RATAS DEL CARIBE
El pirata Malapata controla todo el Mar de los Números y
los tesoros que se encuentran en sus doce islas. En las islas hay
desde 1 tesoro hasta 12 tesoros, de forma que dos islas no
pueden tener el mismo número de tesoros. Cada semana,
Malapata hace distintas expediciones cuadradas y expediciones
triangulares para comprobar que sus tesoros no han sido
robados (como se muestra en los dibujos A, B y C).
Malapata llama botín de una expedición al número total de
tesoros que hay en una expedición. Sabe que el botín de
cualquier expedición cuadrada es siempre el mismo, y el botín de
cualquier expedición triangular es el mismo botín de su
expedición opuesta (véase el dibujo C). Además sabe que existe
una diferencia de 3 tesoros entre el botín de una expedición
triangular y cualquiera que no sea su opuesta.
Ayuda a Malapata y completa el dibujo adjunto, donde se
muestra el número de tesoros de cada isla. Razona cómo lo
has hecho.
Solución
Menú
Solución:
Para poder referirnos a las islas sin equívocos,
nombramos a cada una de ellas con la letra I (de
isla) y como subíndice el número de la posición que
ocupa (visualizando las 12 islas como la esfera de
un reloj)
Empecemos analizando las expediciones cuadradas
Hay 3 posibles expediciones cuadradas que pasan
por las 12 islas sin que una isla pueda estar en dos
expediciones distintas. Por tanto el botín de las 3
expediciones cuadradas será la suma de los números
del 1 al 12: 1+2+3+….+10+11+12=78. Y como las tres
tienen el mismo botín, cada expedición cuadrada
tendrá un botín de 26 tesoros.
Enunciado
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Solución:
Seguimos con las expediciones cuadradas, veamos qué información podemos
obtener de cada una de ellas
I3 + I12 = 14
I7 + I10 = 13
I5 + I11 = 10
Los tesoros que nos faltan por colocar son 2, 4, 6, 7, 8 y 10. Por tanto en
I7 e I10 estarán el 6 y el 7, en I3 e I12 estarán el 4 y el 10 y en I5 e I11 el 2 y el 8
VEAMOS COMO QUEDA GRÁFICAMENTE
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Solución:
La única forma
de conseguir el 13 con
los números sin colocar
es usando el 6 y el 7.
También es
fácil hallar los
otros
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Solución:
Estudiemos las expediciones triangulares para decidir:
Empezaremos usando la pareja (expedición triangular y opuesta) de la
que tengamos más datos.
Como el botín de las dos expediciones triangulares opuestas debe de ser
igual.
I10 +14 = I12 +17.
Es decir, I10-3=I12.
La única posibilidad es que I10=7 e I12=4. Y por tanto I7=6 e I3=10
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Solución:
Utilizamos otra de las expediciones triangulares y su apuesta para
determinar la única duda que nos queda
I11+16=I5+10. Es decir, I11+6=I5, por los que I5=8 e I11=2
Enunciado
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Solución:
No hemos necesitado usar que existe una diferencia de tres tesoros entre una expedición
triangular y cualquier otra que no sea su opuesta.
Pero podemos comprobar que se cumple: las islas 1, 5 y 9 suman 18 tesoros (al igual que
las islas 3, 7 y 11) y las islas 2, 6 y 10 suman 21 tesoros (lo mismo que las islas 4, 8 y 12)
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
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