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MÉTODOS NUMÉRICOS
Sistemas de numeración
Gustavo Rocha
2005-2
1.1 Sistemas numéricos.
Los números son los mismos en todos lados.
Sus nombres y su simbología podrán ser diferentes, pero tienen el mismo
significado.
Los pueblos primitivos aprendieron a contar con los dedos, con los que no
podían alcanzar cifras elevadas, pero si las suficientes para satisfacer sus
necesidades.
Si querían recordar algunos números, hacían incisiones en un palo o marcas
en una roca.

1.1 Sistemas numéricos.
Aún ahora, para contar algunas cosas, es útil usar rayas verticales,
agrupando de cinco en cinco.




Hay muchas maneras de contar: de dos en dos, porque las personas
tienen dos manos, dos pies, dos ojos y dos orejas; de cinco en cinco,
porque hay cinco dedos en cada mano; de diez en diez, porque son
diez los dedos de las manos; de veinte en veinte, porque se tienen
veinte dedos sumando los de las manos y los pies. Por eso, los
números que sirven para contar se llaman naturales: x  N.
Cuando la gente empezó a escribir, también encontró la forma de
representar los números de manera más sencilla, con símbolos.
1.1.1 Los números egipcios.
Los egipcios fueron quizá los primeros que crearon una forma de escritura numérica,
usando diferentes símbolos:
|

1
10
100
1000
10 000
100 000
1 000 000
10 000 000
El sistema numeral egipcio tiene como base el diez, pero no es posicional, porque no
hace uso del cero; para representar un número, se repetían los ocho símbolos
anotados, hasta nueve veces cada uno, con lo cual se alcanzaba un rango de
representación de 1 a 99 999 999.
De izquierda a derecha, primero aparecían las unidades, luego las decenas, en
seguida las centenas y así, sucesivamente. La interpretación de los números se
hace leyendo de derecha a izquierda, sumando los valores de los símbolos.
Ejemplo:
| | | |
||||
||
| | | 
| | 
| | 
18
102
1997
1.1.2 Los números romanos
Los romanos usaron letras del alfabeto para construir un sistema de
numeración que resultaba algo más fácil de manejar:
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Los números romanos todavía se usan, por tradición, en relojes,
para el capitulado de libros, etc., como representaciones elegantes
de los números, pero ya no para fines aritméticos.
Las reglas de escritura incluyen el no usar nunca tres símbolos
iguales juntos, lo que implica tener que hacer restas para interpretar
correctamente la representación de algunos números: IV, cinco
menos uno; IX, diez menos uno; XL, cincuenta menos diez; XC,
cien menos diez; CD, quinientos menos cien; y CM, mil menos cien.
El sistema numeral romano usa el diez como base, es decir, que la
progresión se realiza de diez en diez, de derecha a izquierda; el no
uso del cero lo hace pseudo-posicional. Utiliza treinta numerales
básicos para representar números en el rango de 1 a 3999:
1.1.2 Los números romanos
– Para las unidades:
– Para las decenas:
– Para las centenas:
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
XX
XXX
XL
L
LX
LXX
LXXX
XC
10 20
30
60
70
80
90
DC
DCC
DCCC
700
800
C
CC
40 50
CCC CD
D
100 200 300 400 500 600
– Para las unidades de millar:
M
MM
CM
900
MMM
1000 2000 3000
Con objeto de aumentar el rango de escritura de los números romanos,
más tarde se optó por colocar una raya sobre los numerales, para indicar
que su valor se incrementa mil veces, dos rayas, para incrementarlo un
millón de veces, etc.; esta regla tiene validez a partir del número IV y hasta
el número MMMCMXCIX.
Ejemplos:
XVIII
X|VIII
10 | 8
18
CII
C|II
100 | 2
MCMXCVII
M|CM|XC|VII
1000 |900| 90 | 7
102
1997
1.1.3 Los números mayas
El sistema numeral maya es semejante al romano, pero resulta
superior por cuanto al uso del cero y porque en ningún caso es
necesario restar para interpretar un número. El sistema maya usa
solamente tres símbolos:


0
1
5
Con estos símbolos se puede representar cualquier número de 0 a
, para lo cual requiere del uso de veinte numerales básicos:
0
5
10
15

1

6

11

16

2

7

12

17

3

8

13

18

4

9

14

19
1.1.3 Los números mayas
El sistema de numeración maya es vigesimal, es decir, que la
progresión se realiza de veinte en veinte, de abajo hacia arriba, lo
que le da la característica de ser posicional, donde la primera
posición representa unidades, la segunda veintenas, las tercera
múltiplos de cuatrocientos, la cuarta múltiplos de ocho mil, etc. Se
escribe y se lee de arriba hacia abajo.
Ejemplos:
 4 x 400 = 1600
5 x 20 = 100
 18 x 1 = 18
18
 2 x 1 =
2
102
 19 x 20 = 380
 17 x
1=
1997
17
1.1.4 La evolución de los números.
Además de contar, la gente empezó a necesitar hacer algo más con
los números: medirlos, fraccionarlos, sumarlos, restarlos,
multiplicarlos y dividirlos. Así nació la aritmética, la que ha
evolucionado a medida que el hombre avanza y encuentra muchas
cosas que calcular y también muy distintas maneras de hacerlo.
Pero toda la matemática se basa en el simple acto de contar.
La necesidad de utilizar números cada vez mayores trajo consigo la
noción de infinito: , descubierta por los griegos a través de un
elevado nivel de abstracción.
Los números naturales ya no fueron suficientes; había la necesidad
de fraccionarlos para dividir en partes un todo, y así nacieron los
números racionales: Q = {q  q = a/b}, (a, b  N).
1.1.4 La evolución de los números.
La aparición del cero: 0, nace de la necesidad de representar la
diferencia entre dos números idénticos y constituye el elemento
fundamental para la construcción de los sistemas numéricos
posicionales.
Con la invención del álgebra, aparecieron los números negativos
como solución de ecuaciones, y con ello se pudo establecer la
clasificación de los números enteros en positivos y negativos:
Z+ = {z > 0}; Z- = {z < 0}
La necesidad de representar algunas cantidades requeridas por los
desarrollos geométricos trajo consigo el advenimiento de los
números irracionales: , e, 2, etc. Qc = {u  u  R, u  Q}
La unidad y fundamento lógico del estudio de los números se
alcanzó a través de la construcción del sistema de los números
reales, R, que incluye a todos los mencionados anteriormente.
Los números complejos, C, aparecieron de la misma manera que
los negativos, al resolver ecuaciones cuyo resultado requería de la
introducción de los llamados números imaginarios.
1.1.5 El sistema decimal indo-arábigo.
Los numerales que han resultado más apropiados son los que usamos en
la actualidad. Fueron introducidos a Europa a través de los árabes, pero no
fueron ellos quienes los inventaron, sino los hindúes, que desde hace
diecisiete siglos usaban símbolos muy similares a los guarismos que se
manejan hoy en día.
Los cálculos, sin embargo, eran lentos y engorrosos, hasta que los árabes
inventaron el diez y, con él, el sistema decimal posicional que conocemos,
conviniendo en que el valor de un guarismo varía con su posición,
acompañándolo de uno o varios ceros:
–
–
–
–
10 es diez veces uno.
100 es diez veces diez veces uno, o cien veces uno.
1000 es diez veces diez veces diez veces uno, o mil veces uno.
etc.
Ejemplo: El numeral 853, en base diez, representa el número ochocientos
cincuenta y tres, y se interpreta como sigue:
8
5
3
(8 x 102)
+
(5 x 101) +
(3 x 100) = 800 + 50 + 3 = 853
1.1.5 El sistema decimal indo-arábigo.
El sistema decimal permite manejar no solamente números enteros, sino todos los
números reales, incluyendo racionales e irracionales, y también los números
complejos.
En el sistema decimal, los números reales se representan de la misma manera que
los enteros, sólo que el valor de un guarismo, a la derecha del punto decimal, varía
con su posición, anteponiéndole uno o varios ceros:
–
–
–
–
0.1 es la décima parte de uno.
0.01 es la centésima parte de uno.
0.001 es la milésima parte de uno.
etc.
Ejemplo: El numeral 0.0745, en base diez, es la representación del número
fraccionario "setecientos cuarenta y cinco diez milésimos".
.0
7
4
5
(7 x 10-2) + (4 x 10-3) + (5 x 10-4) = 0.07 + 0.004 + 0.0005 = 0.0745
1.1.6 El sistema binario.
El sistema binario es similar al decimal, pero su base es dos en lugar
de diez y utiliza solamente dos símbolos o dígitos binarios: 0 y 1, en
vez de los diez guarismos que requiere el decimal. El valor de los
unos varía con su posición, acompañándolos de uno o varios ceros:
– 10 es dos veces uno.
– 100 es dos veces dos veces uno, o cuatro veces uno.
– 1000 es dos veces dos veces dos veces uno, u ocho veces uno.
– etc.
El sistema binario se emplea en las computadoras digitales, porque
los alambres que forman los circuitos electrónicos presentan solo dos
estados: magnetizados o no magnetizados, dependiendo si pasa o
no corriente por ellos.
1.1.6 El sistema binario.
En vez de agrupar de diez en diez, se agrupa de dos en dos; por ejemplo, el número trece,
representado a través de marcas simples e iguales:
| | | | | | | | | | | | |
se agrupa por parejas, de izquierda a derecha:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
luego se agrupa por parejas de óvalos, otra vez de izquierda a derecha:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
luego por parejas de óvalos más grandes y así, sucesivamente:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
El número de marcas agrupadas dentro de cada óvalo, e incluso la marca que queda fuera de
ellos, corresponde a una potencia de 2.
23
22
20
Sumando los valores obtenidos, se tiene: 23 + 22 + 20 = 8 + 4 + 1 = 13, en sistema decimal,
o bien:
(1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)
1.1.6 El sistema binario.
Considerando los coeficientes de las potencias de 2, se obtiene el numeral:
1
1
0
1
que representa el número trece en sistema binario, y se lee "uno, uno, cero, uno". El
numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el primer 1
representa una unidad (20); luego aparece un cero, lo que significa que no hay
ningún grupo de dos unidades (21); el siguiente 1 representa dos grupos de dos
unidades (22); y el último 1 representa cuatro grupos de dos unidades (23).
Al igual que en el sistema decimal, en el binario también se pueden representar
números fraccionarios. El valor de los unos, a la derecha del punto decimal, varía
con su posición, anteponiéndoles uno o varios ceros:
–
–
–
–
0.1 es la mitad de uno.
0.01 es la cuarta parte de uno.
0.001 es la octava parte de uno.
etc.
Ejemplo: El numeral binario 0.1101 es la representación del número fraccionario
"trece dieciseisavos“
.1
1
0
1
(1 x 2-1) + (1 x 2-2) + (0 x 2-3) + (1 x 2-4) = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.8125
1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.
El sistema octal, o de base ocho, requiere de 8 símbolos, los cuales pueden ser los
mismos del sistema decimal, del 0 al 7, o cualesquiera otros que se elijan
convencionalmente. El valor de un guarismo varía con su posición, acompañándolo
de uno o varios ceros:
–
–
–
–
10 es ocho veces uno.
100 es sesenta y cuatro veces uno.
1000 es quinientas doce veces uno.
etc.
Aquí la agrupación se hace de ocho en ocho, como se muestra:
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | |
que se puede expresar: (2 x 81) + (3 x 80)
equivalente a:
16 + 3 = 19, en sistema decimal.
Considerando los coeficientes de las potencias de 8, se obtiene el numeral 23 que se
lee "dos, tres“ y representa al número diecinueve en sistema octal. El numeral
obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tres
unidades (80) y el 2 representa dos grupos de ocho unidades (81).
1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.
La representación de números fraccionarios en el sistema octal se
hace considerando:
–
–
–
–
0.1 es la octava parte de uno.
0.01 es la sesenta y cuatroava parte de uno.
0.001 es la quinientos doceava parte de uno.
etc.
El sistema hexagesimal, o de base dieciséis, requiere de 16
símbolos, los cuales pueden ser los mismos diez dígitos del sistema
decimal, del 0 al 9, complementados, por convención, por las
primeras seis letras del alfabeto: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E =
14 y F = 15 (podrían utilizarse, en su lugar, otros cinco símbolos
cualesquiera). El valor de un guarismo varía con su posición,
acompañándolo de uno o varios ceros:
–
–
–
–
10 es dieciséis veces uno.
100 es doscientos cincuenta y seis veces uno.
1000 es cuatro mil noventa y seis veces uno.
etc.
1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.
Aquí la agrupación se hace de dieciséis en dieciséis, como se muestra:
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | |
que se puede expresar: (1 x 161) + (3 x 160)
equivalente a:
16 + 3 = 19, en sistema decimal.
Considerando los coeficientes de las potencias de 16, se obtiene el numeral 13 que
se lee "uno, tres“ y representa al número diecinueve en sistema hexagesimal. El
numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa
tres unidades (160) y el 1 representa un grupo de dieciséis unidades (161).
La representación de números fraccionarios en el sistema hexagesimal se hace
considerando:
–
–
–
–
0.1 es la dieciseisava parte de uno.
0.01 es la doscientos cincuenta y seisava parte de uno.
0.001 es la cuatro mil noventa y seisava parte de uno.
etc.
1.1.8 Conversión de números enteros
de un sistema a otro.
Conversión de enteros de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: El
entero decimal n se divide entre la base b (2, 8 o 16) y se registra el cociente c1 y el
residuo r1 resultantes, abajo y a la derecha, respectivamente; el cociente c1 se divide
entre la base b, registrando el cociente c2 y el residuo r2 de igual manera; el
procedimiento se repite hasta alcanzar un cociente ck, que sea cero, con un residuo
rk. El número n, expresado en base b, se construye a partir de los residuos, en el
orden: rk, rk-1, ..., r2, r1.
Ejemplo: Convertir el número decimal 199710 a los sistemas binario, octal y
hexagesimal.
–
A binario:
1997
998
499
249
124
62
31
15
7
3
1
0
divisiones sucesivas entre 2.
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
El número 199710 en binario es:
111110011012
lectura
1.1.8 Conversión de números enteros
de un sistema a otro.
A octal: divisiones sucesivas entre 8.
1997
249
31
3
0
5
1
7
3
El número 199710 en octal es:
37158
A hexagesimal: divisiones sucesivas entre 16.
1997
124
7
0
13 = D
12 = C
7
El número 199710 en hexagesimal es:
7CD16
1.1.8 Conversión de números enteros
de un sistema a otro.
Conversión de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de los
dígitos que conforman el número m, expresado en binario, octal o hexagesimal, se
multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a la
posición del dígito, empezando por la potencia cero, de derecha a izquierda. La
suma de estos productos es el número m, en base decimal.
Ejemplo: Convertir el número binario 111001101 al sistema decimal.
1 x 28 + 1 x 2 7 + 1 x 2 6 + 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 0 =
256 + 128 + 64 + 8 + 4 + 1 = 46110
Ejemplo: Convertir el número octal 5438 al sistema decimal.
5 x 82 + 4 x 81 + 3 x 80 = 320 + 32 + 3 = 35510
Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B216 al sistema decimal.
9 x 162 + 11 x 161 + 2 x 160 = 2304 + 176 + 2 = 248210
La tabla siguiente muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los
sistemas binario, octal y hexagesimal; el sistema decimal aparece sólo como
referencia. Con estas equivalencias se puede hacer la conversión de cualquier
entero de un sistema a otro.
Conversión de enteros entre
los sistemas binario, octal y hexagesimal.
Binario
Octal
Binario
Hexagesimal
Decimal
000
0
0000
0
0
001
1
0001
1
1
010
2
0010
2
2
011
3
0011
3
3
100
4
0100
4
4
101
5
0101
5
5
110
6
0110
6
6
111
7
0111
7
7
1000
8
8
1001
9
9
1010
A
10
1011
B
11
1100
C
12
1101
D
13
1110
E
14
1111
F
15
Conversión de enteros entre
los sistemas binario, octal y hexagesimal.
Ejemplo: Convertir el número binario 111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal.
A octal:
011 111 001 101
El número 111110011012 en octal es: 37158
3 7 1 5
A hexagesimal:
0111 1100 1101
El número 111110011012 en hexagesimal es 7CD16
7
C
D
Ejemplo: Convertir el número octal 5438 a los sistemas binario y hexagesimal.
A binario:
5
4
3
El número 5438 en binario es: 1011000112
101 100 011
A hexagesimal:
0001 0110 0011
El número 5438 en hexagesimal es: 16316
1
6
3
Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B216 a los sistemas binario y octal.
A binario:
9
B
2
El número 9B216 en binario es: 1001101100102
1001 1011 0010
A octal:
100 110 110 010
El número 9B216 en octal es: 46628
4 6 6 2
1.1.9 Conversión de números
fraccionarios de un sistema a otro.
Conversión de fracciones de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: La fracción
decimal n se multiplica por la base b (2, 8 o 16) y se registra por un lado la parte fraccionaria
resultante f1 y por el otro la parte entera correspondiente e1; la fracción f1 se multiplica por la base
b, registrando la fracción f2 y el entero e2 asociado; el procedimiento se repite ocho veces ó hasta
alcanzar una fracción fk, que sea cero o cercana a cero (fk 0.9961 ó fk 0.0039 con su entero
asociado ek. El número n, expresado en base b, se construye a partir de los enteros, en el orden:
e1, e2, ..., ek-1, ek.
Ejemplo: Convertir la fracción decimal 0.199710 a los sistemas binario, octal y hexagesimal.
A binario: multiplicaciones sucesivas por 2.
.1997
.3994
0
.7988
0
.5976
1
.1952
1
El número 199710 en binario es aproximadamente: 0.001100112
.3904
0
.7808
0
.5616
1
.1232
1
.2464
0
1.1.9 Conversión de números
fraccionarios de un sistema a otro.
A octal: multiplicaciones sucesivas por 8.
.1997
.5676
1
.7808
4
.2464
6
.9712
1
El número 199710 en octal es aproximadamente: 0.146176128
.7696
7
.1568
6
.2544
1
.0352
2
.2816
0
A hexagesimal: multiplicaciones sucesivas por 16.
.1997
.1952
3
.1232
3
.9712
1
.5392
15 = F
El número 199710 en hexagesimal es aproximadamente: 0.331F8A0916
.6272
8
.0352
10 = A
.5632
0
.0112
9
.1792
0
1.1.9 Conversión de números
fraccionarios de un sistema a otro.
Conversión de fracciones de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal.
Cada uno de los dígitos que conforman la fracción m, expresado en binario, octal o
hexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una
potencia igual a la posición del dígito, empezando por la potencia menos uno, de
izquierda a derecha. La suma de estos productos es el número m, en base decimal.
Ejemplo: Convertir el número binario 0.11100110110 al sistema decimal.
1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-6 + 1 x 2-7 + 1 x 2-9 =
0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.015625 + 0.0078125 + 0-001953125 = 0.900390610
Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.5438 al sistema decimal.
5 x 8-1 + 4 x 8-2 + 3 x 8-3 = 0.625 + 0.0625 + 0.005859375 = 0.693359310
Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B216 al sistema decimal.
9 x 16-1 + 11 x 16-2 + 2 x 16-3 = 0.5625 + 0.0429687 + 0.0004882
= 0.605468710
Conversión de fracciones entre los
sistemas binario, octal y hexagesimal
Conversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimal. La misma tabla del
apartado 1.1.8 que muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemas
binario, octal y hexagesimal, sirve también para hacer la conversión de cualquier fracción de un
sistema a otro.
Ejemplo: Convertir la fracción binaria 0.111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal.
A octal:
0.111 110 011 010
El número 111110011012 en octal es: 0.76328
0. 7 6 3 2
A hexagesimal:
0.1111 1001 1010
El número 111110011012 en hexagesimal es: 0.F9A16
0. F
9
A
Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.5438 a los sistemas binario y hexagesimal.
A binario:
0. 5 4 3
El número 5438 en binario es: 0.1011000112
0.101100 011
A hexagesimal:
0.1011 0001 1000
El número 5438 en hexagesimal es: 0.B1816
0. B
1
8
Conversión de fracciones entre los
sistemas binario, octal y hexagesimal
Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B216 a los sistemas binario y octal.
A binario:
0. 9
B
2
El número 9B216 en binario es: 0.1001101100102
0.1001 1011 0010
A octal:
0.100 110 110 010
El número 9B216 en octal es: 0.46628
0. 4 6
6 2