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Unidad I Sistemas de Numeración
Competencia de la unidad.
Sistematizar la conversión entre sistemas numéricos posicionales, así como las
operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.
1.1.Sistemas númericos
Introducción.
Los sistemas numéricos son muy importantes en computación, aquí veremos los
sistemas en base 2, 8 y 16 que son las que más se utilizan en computación; por supuesto
con la relación entre la base 10 que es la que utilizamos los seres humanos.
Sistemas de numeración.
Un sistema de numeración es un conjunto de sí bolos y reglas que se utilizan para
representar y operar con cantidades. Sistemas Aditivos:
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades,
decenas…como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características
es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se
ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia,
sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de
los griegos, armenios, judíos y árabes.
Números naturales
El que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se
llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N ={0,1,2,3,4,…,10,11,12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven
para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero),2º(segundo),…,16º(decimosexto),…Los números naturales son los primeros.
Entre los números naturales está definidas las operaciones adición y multiplicación.
Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un
número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos
números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es
mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números
naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo
del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede
dividir cualquier número por otro (salvo por el cero).
Números enteros
Es el conjunto formado con cualquier elemento de los números naturales y sus opuestos.
El conjunto de los números enteros se designa por Z ó E:
Z = {…,-11,-12,…-2,-1,0,1,2,…10,11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos
deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las
temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por
debajo de la entrada al mismo….).
Números racionales
Son todos aquellos números que se representan con la relación a/b donde b/0, por lo
regular son decimales periódicos y provienen de las fracciones.
Números racionales: Conjunto de aquellos números que se pueden expresar en forma de
cociente o razón de dos enteros en dicho conjunto se pueden diferenciar las fracciones
propiamente dichas y los números enteros
Q=- ¾, -½, -1/3, 0,1/2,9/4,-1,-2}
los números racionales se caracterizan porque pueden ser representados como un
numero decimal periódico
¾= 0.75000 1/3=0.33333 2/3=0.66666.
Números irracionales
Están conformados por decimales no periódicos y por lo regular provienen de las raíces.
Números irracionales: Se les denomina a los números decimales infinitos no periódicos
los cuales no pueden ser expresados en forma de cociente de dos números enteros.
Números reales
Son aquellos que pueden ser representados en una recta (llamada recta real), incluye a
los números irracionales y racionales.
Conjunto de números reales: Son aquellos que se pueden representar como puntos en
una recta, es decir, es el conjunto formado por la unión de los números racionales y los
irracionales
R = I U Q Números complejos: se representan por medio del binomio a+b i donde a y b
pertenecen a los reales, e i es la unidad.
Tipos de sistemas numéricos.
Sistema decimal.
El sistema indo arábigo se denomina también sistema decimal posicional, por que el
número que representa cada dígito depende de su "posición" o "lugar" en el número. Más
aún, la posición de los dígitos en este sistema determina la magnitud del número leído.
De hecho los demás sistemas numéricos que expondremos y que son del uso común en
la Ingeniería también son posicionales.
Ejemplo: Es evidente que el número 753 representa 7 centenas, 5 decenas y 3 unidades.
Los dígitos del sistema de base 10 van del 0 (un dígito por demás importante) al 9. Note
que el 10, que es la base del sistema decimal, no es un digito del sistema. Es el resultado
de la conjunción de los dígitos 1 y 0, tal que 10 es, específicamente, 1 decena y 0
unidades. Una apreciación a fondo revela cómo se forma el importante concepto de la
posición del dígito. Esta posición, descrita como un concepto muy importante (después
del uso del cero como dígito), es el que hace que 084 signifique 0 centenas, 8 decenas y
4 unidades; y 840 signifique 8 centenas, 4 decenas, y 0 unidades. Este concepto puede
parece ser simple; pero el sistema numérico Romano dependía de símbolos nuevos para
números más y más grandes, perdiendo con ello todo el contexto que representan los
cálculos aritméticos posibles que proporciona un sistema numérico posicional.
El sistema decimal es el sistema numérico más utilizado en la vida diaria.
Sistema binario.
Este sistema es el que utilizan las computadoras para procesar la información y se le
llama lenguaje máquina, éste cuenta con dos dígitos el 0 y el 1, por lo que resulta ser el
sistema numérico de menor base utilizable. En un sistema binario el valor de cualquier
lugar en un número es dos veces mayor que el lugar de su derecha. Así, los valores
posesiónales de derecha a izquierda en un sistema binario son:
20 = 1 = unidades, 21 = 2 = dos, 22 = 4 = cuatros, 23 = 8 = ochos
Los valores posicionales serán: 1, 2, 4, 8, etc.
Un número binario está formado por sólo dos dígitos básicos, 0 y 1, tal que la definición
general se puede resumir y se aplica en la forma:
N = Bndn + . . . . . + B3d3 + B2d2 + B1d1 +B0d0
Donde:
B= base del sistema que en este caso es 2.
n= exponente a ser elevada la base.
Ejemplo:
10101011(2)
Sistema octal.
La base del sistema octal es el 8 y las cifras que lo constituyen son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
La amplia utilización de este sistema radica en la búsqueda de un sistema intermedio
entre el binario y el decimal. El manejo de números binarios es muy engorroso debido a
que su pequeña base (la menor posible en un sistema numérico) hace que para
representar un número se necesita gran cantidad de cifras. Se imponía entonces la
búsqueda de un sistema numérico que fuera fácilmente transportable al binario y que su
base fuera lo más cercana al decimal. De esta forma se podía trabajar en tal sistema, con
una idea más clara de las entidades que él representa y posteriormente traducirlo al
binario con facilidad. De las bases más cercanas a 10 (9, 11, 8 y 12) sólo el 8 es
fácilmente transportable (23=8). Por lo que tres dígitos binarios representan un dígito octal.
Un ejemplo de número octal :
45.32(8) ó 45.32 O
Representación Octal
Sistema hexadecimal.
Aunque es el sistema numérico más difícil de comprender, que el octal, es el más
utilizado, pues el agrupamiento de cifras binarias en las microcomputadoras son múltiplos
de 4. Este sistema, como el octal, permite simplificar la manipulación de grandes cadenas
de cifras binarias; así que cuatro dígitos binarios representan un número hexadecimal.
La base del sistema hexadecimal es 16 y las cifras básicas son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E y F.
Nótese como, al excederse los tipos de cifras que constituyen al sistema decimal, se han
utilizado caracteres A, B, C, D, E, F; en lugar de los números 10, 11, 12, 13, 14 y 15,
podrían haberse igualmente empleado , , , etc., es sencillamente un problema de
notación.
Un ejemplo de número en hexadecimal es:
1C6E.3(16) = 1C6E.3 H
Representación hexadecimal
1.2 Conversiones entre sistemas numéricos.
Decimal a binario, octal, hexadecimal.
Para hacer esta conversión se realizan los siguientes pasos:
1) Se define la cantidad decimal que se va a convertir.
2) Para realizar la conversión la cantidad se divide en dos, en la parte entera y
en la fraccionaria, para darle a cada una un trato diferente de conversión.
a) Para la cantidad entera se hace lo siguiente:
i)
Se toma la cantidad y se divide entre la base numérica a la cuál se va
ha convertir y el número que resulte como residuo es el dígito de
conversión.
ii) El cociente de esa división se vuelve a dividir y así sucesivamente hasta que el
cociente sea cero (cabe mencionar que los cocientes deben de ser enteros
para poder hacer la conversión, en la última división cuando el cociente es más
pequeño que el divisor solo se pone cero al cociente y el residuo será el
número que está como dividendo).
iii) Ya que el cociente es cero se colocan los dígitos de conversión de
manera contraria a como fueron resultando (esto quiere decir que el
último dígito residuo de la división será el primero en la cantidad
convertida de izquierda a derecha).
b) Para la cantidad fraccionaria se hace lo siguiente:
i)
La cantidad fraccionaria se multiplica por la base numérica a la cual
se va a convertir y el dígito entero que resulta será el dígito de
conversión
ii) La parte fraccionaria se vuelve a multiplicar y así sucesivamente
hasta que el resultado de la multiplicación sea un entero o una
cantidad cercana a un entero se vuelve a multiplicar y si la fracción
es más pequeña que la anterior en este momento se termina de
multiplicar.
iii) La conversión se termina integrando la cantidad fraccionaria de
izquierda a derecha poniendo el punto en primer termino y después
todos los números obtenidos como enteros empezando de arriba
hacia abajo.
c) Teniendo el resultado de las dos cantidades, la parte entera y
fraccionaria, se combinan sumándolas para obtener la cantidad
correspondiente.
3) En este momento se obtiene la cantidad convertida.
Convertir la siguiente cantidad decimal 6893.230(10), a los sistemas, binario, octal y
hexadecimal:
Decimal a binario.
Decimal a octal.
Decimal a hexadecimal.
6893.230(10)
Parte entera 6893
Parte fraccionaria 0.230
Conversión de la parte entera:
Cociente
344
6
2 689
3
08
09
13
6
1
861
2 1723
12
03
6 1
1723
2 344
6
14
04
06
6
0
53
Dígito de
conversión 2 10
707
1
26
2
6
53
13
1
6
13
2 26
06
0
6
2 430
03
10
0
6
1
6
3
2 13
1
2 6
0
6
215
430
2 861
06
01
1
2 3
1
6
6
La cantidad se integra de izquierda a derecha
Conversión de la parte fraccionaria:
2 * 0.230
2 * 0.460
2 * 0.920
2 * 0.840
2 * 0.680
2 * 0.360
6893.230(10)
=
=
=
=
=
=
0.460
0.920
1.840
1.680
1.360
1.720
Cantidad convertida a binario
6893.230(10)=1101011101101.00111(2)
El dígito de
conversión es el rojo
Parte entera 6893
Parte fraccionaria 0.230
2
2
10
215
7
015
1
6
0
1
1
6
Conversión de la parte entera
Cociente
861
8 6893
49
13
6 5
1
107
8 861
061
5
8
1
3
107
1
8
27
3
0
8
13
5
1
1
6
6
6
La cantidad se integra de izquierda a derecha
Dígito de
conversión
Conversión de la parte fraccionaria
8 * 0.230
8* 0.840
8 * 0.720
8* 0.760
=
=
=
=
1.840
6.720
5.760
6.080
Cantidad convertida a octal
6893.230(10)=15355.1656(8)
Dígito de
conversión
6893.230(10)
Parte entera 6893
Parte fraccionaria 0.230
Conversión de la parte entera:
Cociente
430
1 6893
Dígito de conversión
49
6
como es un número
13
mayor a 9 se convierte
6 D
en la letra que le
corresponde
26
1
6
430
110
14
6E
1
6
1
26
10
A
0
1
6
1
1
6
La cantidad se integra de izquierda a derecha
Conversión de la parte fraccionaria:
16 * 0.230 = 3.680
16 * 0.680 = A.880
16 * 0.880 = E.080
El dígito de
conversión es
el rojo
Cantidad convertida a octal
6893.230(10)=1AED.3AE(16)
4.2.2 Binario a decimal, octal, hexadecimal.
Para hacer esta conversión se realizan los pasos siguientes:
1. Se define la cantidad a convertir.
2. Se calcula el peso potencial de cada dígito por medio de la siguiente tabla:
1 No. Entero
Bn
n
...
...
2 No. Fraccionario
B5 B4 B3 B2 B1 B0 B-1 B-2 B-3 B-4 B-5 ... B-n
6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 ... n
Posiciones
Donde B es la base numérica en que está la cantidad.
3. Después de haber calculado el peso posicional de la cantidad se dispone a hacer
el siguiente proceso:
a. Se multiplica el dígito de cada posición por su peso posicional y se obtiene
un resultado.
b. El resultado obtenido por cada peso posicional se suma y la cantidad que
resulte es la cantidad convertida en el sistema decimal.
Convertir la siguiente cantidad 1010101.10101(2) a
decimal.
Parte entera
1010101
1*20=1*1 = 1
0*21=0*2 = 0
1*22=1*4 = 4
0*23=0*8 = 0
1*24=1*16 = 16
0*25=0*32= 0
1*26=1*64 = 64
Suma
85(10)
Parte
Fraccionaria
0.10101
1*2-1=1*1/2=
0*2-2=0*1/4=
1*2-3=1*1/8=
0*2-4=0*1/16=
1*2-5=1*1/32=
1/2 =
0 =
1/8 =
0 =
1/32=
Suma
Cantidad convertida
1010101.10101(2) = 85.65625 (10)
0.50000
0.00000
0.12500
0.00000
0.03125
0.65625(10)
Convertir la siguiente cantidad 734.232(8) a decimal.
Parte entera
734
4*80=4*1=
4
1
3*8 =3*8=
24
2
7*8 =7*64= 448
Parte
Fraccionaria
0.232
Suma
476 (10)
2*8-1=2*1/8=
2/8 = 0.250000
-2
3*8 =3*1/64= 3/64 = 0.046875
2*8-3=2*1/512= 2/512 = 0.003906
Suma
0.300781(10)
Cantidad convertida
734.232(8)= 476.300781 (10)
Convertir la siguiente cantidad AF4.2BC(16) a decimal.
Parte entera
AF4
4*160=4*1
=
1
F*16 =15*16 =
A*162=10*256=
4
240
2560
Suma
2804 (10)
Parte
Fraccionaria
0.2BC
2*16-1=2*1/16
= 2/16
=
-2
B*16 =11*1/256 = 11/256 =
C*16-3=12*1/4086= 12/4086 =
0.12500
0.04296
0.00293
Suma
0.17089(10)
Cantidad convertida
4FA.2BC(16)=2804.17089 (10)
Sistema binario a octal
El sistema binario y el sistema octal son muy compatibles ya que tres dígitos binarios
representan un dígito octal. Como se muestra en la siguiente tabla:
Octal a Binario
Dígito
Octal
Dígitos
Binarios
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
Para hacer esta conversión se realizan los siguientes pasos:
a. Se define la cantidad binaria, ésta puede ser entera, fraccionaria o mixta.
b. Se divide de tres en tres la cantidad binaria a partir del punto binario, hacia la
izquierda la parte entera y hacia la derecha la parte fraccionaria. Si al terminar de
dividir en el último bloque quedan menos de tres dígitos se le aumentan ceros a la
derecha o izquierda según sea el caso.
c. Se aplica la tabla, en cada división y así obtendremos la cantidad en octal.
Convertir la siguiente cantidad 111110011.110010101000(2) a octal.
111 110 011 . 110 010 101 000
7
6
3 . 6
Aplicando la tabla
2
5
0
111110011.110010101000(2)= 763.6250(8)
Cantidad convertida
Sistema binario a hexadecimal.
El sistema binario y el sistema hexadecimal son muy compatibles ya que cuatro dígitos
binarios representan un dígito hexadecimal. Como se muestra en la siguiente tabla:
Hexadecimal a binario
Dígito
Hexadecimal
Dígitos Binarios
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
A
1010
B
1011
C
1100
D
1101
E
1110
F
1111
Para hacer esta conversión se efectúan los siguientes pasos:
a. Se define la cantidad binaria ésta puede ser entera, fraccionaria o mixta.
b. Se divide de cuatro en cuatro la cantidad binaria a partir del punto binario hacia la
izquierda la parte entera y hacia la derecha la parte fraccionaria.
c. Se aplica la tabla, en cada división y así obtendremos la cantidad en hexadecimal.
Sistema octal a binario.
Para hacer la conversión se tienen que hacer los siguientes pasos:
a. Se define la cantidad octal.
b. Cada dígito octal se convierte a binario utilizando la tabla y la cantidad octal queda
convertida a binaria.
Convertir la siguiente cantidad octal 35627.723 a binario.
3
5 6 2 7
011 101 110 010 111
. 7 2 3
. 111 010 011
Cantidad convertida a binario por medio de la tabla.
35627.723(8)= 011101110010111.111010011(2)
Sistema hexadecimal a Binario
Para hacer la conversión se tienen que hacer los siguientes pasos:
a.
b.
Se define la cantidad hexadecimal.
Cada dígito octal se convierte a binario utilizando la tabla
y la cantidad
hexadecimal queda convertida a binaria.
Convertir la siguiente cantidad hexadecimal AF24.12D a binario.
A
F
2
4 . 1
2
D
1010 1111 0010 0100 . 0001 0010 1101
Cantidad convertida a binario utilizando la tabla.
AF24.12D(16) = 1010111100100100.000100101101(2)
Sistema octal a hexadecimal
Para hacer la conversión se realizan los siguientes pasos:
1. Se define la cantidad octal.
2. Cada dígito octal se convierte a su correspondiente número binario utilizando la
tabla de binario a octal y la cantidad octal queda convertida a binaria.
3. Cuando el número está convertido a binario.
4. Se divide de cuatro en cuatro la cantidad binaria a partir del punto binario, hacia la
izquierda la parte entera y hacia la derecha la parte fraccionaria.
5. Utilizando la tabla de binario a hexadecimal se sustituye cada partición binaria al
número correspondiente en hexadecimal.
6. En ese momento la cantidad octal queda convertida a hexadecimal.
Convertir la siguiente cantidad octal 35627.723 a hexadecimal
Sistema hexadecimal a octal.
Para hacer la conversión se realizan los siguientes pasos:
1. Se define la cantidad Hexadecimal.
2. Cada dígito hexadecimal se convierte a binario utilizando la tabla de binario a
hexadecimal y la cantidad queda convertida a binario.
3. Cuando el número está convertido a binario.
4. Se divide de tres en tres la cantidad binaria, a partir del punto binario hacia la
izquierda la parte entera y hacia la derecha la parte fraccionaria.
5. Utilizando la tabla de binario a octal se sustituyen los dígitos binarios por el número
correspondiente en octal.
6. En ese momento la cantidad hexadecimal queda convertida a octal.
Convertir la siguiente cantidad hexadecimal AF24.12D a octal.
Ya que la cantidad se convierte a binario como lo indica la tabla la cantidad
queda de la siguiente manera:
Cantidad convertida a octal.
AF24.12D(16) = 12744.044264(8)