Download corriente potencia obtenido

CINEMÁTICA
Física y química 1º Bachillerato
1
L 01
as magnitudes físicas
 Las magnitudes físicas son propiedades relativas a los cuerpos cuyo valor puede
establecerse de forma objetiva. La masa, la carga eléctrica o la velocidad son
ejemplos de magnitudes físicas
 Medir una magnitud física es compararla con una cantidad de la misma magnitud
que se ha establecido como unidad de referencia
 El resultado de una medida es siempre un número seguido de una unidad
Magnitudes intensivas y extensivas
 Magnitud física intensiva es aquella que su
valor no cambia al considerar
diversas porciones de un cuerpo. Por ejemplo, la temperatura o la densidad.
 Magnitud física extensiva es aquella que su valor depende de la porción de cuerpo
considerada. Por ejemplo, el volumen o la masa
2
Magnitudes físicas fundamentales
02
 Solo son necesarias tres magnitudes físicas fundamentales para el estudio de la
mecánica: masa, longitud y tiempo
 Sin embargo, al estudiar termodinámica, electricidad y fotometría es necesario
introducir otras magnitudes físicas fundamentales: la temperatura, la intensidad
de corriente, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia
Magnitudes físicas derivadas
 El resto de magnitudes físicas se denominan magnitudes físicas derivadas y se
pueden expresar mediante fórmulas que relacionan las magnitudes
fundamentales
 Cualquier magnitud derivada se puede expresar como un producto de magnitudes
fundamentales denominado ecuación de dimensiones
 Para que una ley física sea correcta, es necesario que sea homogénea, es decir,
que las ecuaciones dimensionales de sus dos miembros sean idénticas
3
1
Unidades fundamentales y complementarias del S.I.
Unidades fundamentales
 El segundo
(s)
: Es la unidad de tiempo
 El metro
(m)
: Es la unidad de longitud
 El kilogramo (kg)
: Es la unidad de masa
 El amperio
(A)
: Es la unidad de intensidad de corriente eléctrica
 El kelvin
(K)
: Es la unidad de temperatura termodinámica
 La candela
(cd)
: Es la unidad de intensidad luminosa
 El mol
(mol)
: Es la unidad de cantidad de sustancia
Unidades complementarias
 El radián
(rad) : Es la unidad de ángulo plano
 El estereorradián (sr) : Es la unidad de ángulo sólido
4
12
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DECIMALES
Múltiplos decimales de
las unidades del SI
Divisores decimales de
las unidades del SI
tera (T)
1012
deci (d)
10-1
giga (G)
109
centi (c)
10-2
mega (M)
106
mili (m)
10-3
kilo (k)
103
micro (m)
10-6
hecto (h)
102
nano (n)
10-9
deca (da)
101
pico (p)
10-12
5
13
 Para que el manejo números muy grandes o muy pequeños sea más fácil, se
emplea la denominada notación científica que consiste en escribir los números
mediante una parte entera de una sola cifra, seguida de una parte decimal y una
potencia de 10 con exponente entero, positivo o negativo según corresponda.
Ejemplos:
Carga eléctrica del electrón
: -1,6 · 10-19 C
Masa del electrón
: 9,1·10-31 kg
Velocidad de la luz en el vacío : 2,998 · 108 m s-1
Número de Avogadro
: 6,022 · 1023 mol-1
 Las calculadoras científicas pueden operar con números en notación científica. Si
el resultado de una operación es un número con más cifras que las disponibles
en la pantalla, el resultado pasa automáticamente a notación científica
6
C l a s i Magnitudes
f i c a cescalares
i ó n y vectoriales
de magnitudes físicas
Magnitud física es todo aquello que se puede medir y según sus
características se dividen en dos grandes grupos:

MAGNITUDES ESCALARES: son aquellas que quedan perfectamente
determinadas por su número que expresa su medida
y su unidad
correspondiente que sirve para identificar a qué magnitud pertenece un valor
numérico dado. Se llaman escalares porque se suelen representar mediante
escalas numéricas.
Ejemplo: el tiempo, la temperatura o la masa.
 MAGNITUDES VECTORIALES: son aquellas que para definirlas completamente no
basta con el número que expresa su medida, necesitamos indicar además una
dirección y un sentido. Por esa razón se expresan mediante vectores.
Ejemplo: la fuerza o la velocidad, ya que no quedan bien determinadas con solo
un valor numérico; muchos móviles poseen el mismo valor numérico de la
velocidad pero viajan en diferentes direcciones
7
Un vector es un segmento orientado que consta de los siguientes elementos:
vectores y suscaracterísticas
 Longitud oLosmódulo,
v , representa la medida del vector y se expresa mediante un
valor numérico. Se denomina vector unitario al que tiene módulo 1.
 Dirección es la de la recta sobre la que se apoya el vector.Indica su inclinación.
 Sentido, indicado por la flecha entre los dos posibles de cada dirección.
 Origen o punto donde comienza el vector
sentido

a
módulo
dirección

a
Podemos representar un vector respecto a
los típicos ejes cartesianos (x,y si estamos
en un plano o x,y,z si estamos en el espacio).
En un plano, quedaría el vector representado
por un par de números que son su
proyección sobre cada uno de los ejes y
reciben el nombre de COMPONENTES.
Las COMPONENTES DE UN VECTOR se obtienen restando las coordenadas
del extremo del vector (donde está la flecha) menos las del origen o punto
de aplicación del vector.
Para calcular el MÓDULO del vector basta con aplicar Pitágoras.
8

a
y
5
Y

ay
En x 5-1=4 luego la componente x es 4
En y 5-2=3 luego la componente y es 3
b
El módulo queda:
Los ángulos serán:
a
2
X
1

ax
5
x
a
2
X

 aY2 
sen a 
aY
a
sen b 
aX
a
4
2
cos a 
 32
=5
aX
a
cos b 
aY
a
Los vectores se pueden sumar y restar.
Sumar un vector es hallar otro vector llamado RESULTANTE que produzca los
mismos efectos que los vectores sumados si actuasen simultáneamente.
Para realizar la suma de vectores completa hay que hacerla numérica y gráficamente.
Numéricamente se calcula el módulo del vector resultante, mientras que gráficamente se
dibuja el vector resultante según su dirección y sentido, para realizar la suma de vectores
correctamente se deben hacer ambas cosas.
Para sumar varios vectores lo primero que hay que hacer es hacer coincidir sus orígenes.
Si se trata de vectores paralelos entre si (igual dirección) puede ocurrir que:
a)Vayan en el mismo sentido con lo que basta con sumar sus módulos.
b)Vayan en sentidos contrarios, con lo cual sus efectos se oponen y por lo tanto se
restan sus módulos y el vector resultante va en el sentido del mayor de ellos.
9
 
a b
Así se observa que con vectores
la resta es en realidad una suma
en la que a uno de los vectores se
le ha cambiado de sentido, al que
lleva el signo menos delante.
 
a -b
EL SIGNO DELANTE DE UN VECTOR INDICA SU SENTIDO, UN SIGNO MENOS
DELANTE DEL VECTOR (es como multiplicarlo por –1 ) CAMBIA SU SENTIDO.
-Si se trata de vectores perpendiculares entre si es fácil tanto la suma como la resta
ya que se sigue LA REGLA DEL PARALELOGRAMO y el Teorema de Pitágoras para
hacer los cálculos.
a

a

b
2
 b2

-Si los vectores forman entre si un ángulo
cualquiera se sigue empleando la regla del
paralelogramo para hacer el dibujo pero para los
cálculos hay que utilizar el Teorema del coseno
(hay que tener en cuenta que el Teorema de
Pitágoras es un caso particular del Teorema del
coseno
10
Teorema del coseno: r2= a2 + b2- 2.a.b.cos b
como a  b = 180 º entonces cosa = -cosb
Luego r2 = a2 +b2 +2.a.b.cosa siendo a el ángulo
entre los dos vectores

a

b
a
b
Los más fácil es sumar por componentes ya que conociendo las componentes de los
vectores que se quiere sumar resulta mucho más fácil ya que basta con sumar las
componentes, componente a componente y el módulo del vector resultante se obtiene a
partir de las componentes resultantes. Restar sería restar las componentes.
 La suma de dos o más vectores es otro vector que se obtiene de forma geométrica
mediante dos métodos posibles

v1




v2

v2
v3

v2
v1




v1  v2  v3
v1
Método del paralelogramo: se sitúan
dos vectores en un origen común.
El vector resultante, se obtiene
como la diagonal del paralelogramo
formado por dos vectores dados.
Método del polígono: se sitúan
sucesivamente, el origen de un vector
en el extremo del siguiente. El vector
resultante se obtiene uniendo el origen
del primero con el extremo del último
11
Medida de magnitudes físicas
PRODUCTO
DE
UN VECTOR POR UN
NÚMERO

 El producto de un vector v por un número r , es otro vector de igual dirección,
cuyo módulo es el producto del módulo primitivo por el número. El sentido
depende del signo del número

v

v

3v
Si r es positivo, el vector
resultante tiene el mismo
sentido que el inicial

- 3v
Si r es negativo, el vector
resultante tiene sentido
contrario al inicial
12

 a  
ua  a .u
a
VECTORES UNITARIOS
Algo muy útil en Física son los llamados VECTORES
UNITARIOS. . Es evidente que un vector unitario es aquel
cuyo módulo es 1 pero ¿como se puede hacer que un vector
sea unitario?.
5

u
Si este vector a tiene, por ejemplo de componentes (3,4) su
módulo es:
a  32  42   5
El vector unitario sale de dividir a entre su modulo por lo tanto
tiene de componentes (3/5, 4/5) que haciendo el módulo
2
2
queda:



 3  4
u         1
 5   5  


SE OBTIENE UN VECTOR UNITARIO DIVIDIENDO UN VECTOR ENTRE SU PROPIO MÓDULO.
Entonces todo vector se puede representar
como:
-Su módulo, que indica su valor numérico.
-Un vector unitario que indica la dirección.
-Un signo (+ o -) que indica el sentido.

 a
u 
a

  por ejemplo
a   a .u 

a  5.u
13
De todos los posibles vectores unitarios , en todas las posibles direcciones del espacio los
que usarás con más frecuencia son los que se sitúan en los ejes cartesianos de referencia
ya que sirven para identificar las componentes de un vector.
El vector unitario en la dirección del eje x se llama i ,el que se sitúa sobre el eje y se llama j y
el que se sitúa sobre el eje z se llama k.

Si escribimos a  5i  3 j  3k
z

i
x

k

j
y
significa
que este vector tiene como componentes
sobre el eje x 5 , sobre el eje y 3 y sobre el
eje z 2 o lo que es lo mismo que si
colocamos su origen en el origen de
coordenadas su extremo estaría en el punto
(5,3,2)
 Cualquier vector
 de un plano se puede escribir como suma de un conjunto de
dos vectores {i , j } de módulo unidad, perpendiculares
entre sí, multiplicados



por unos coeficientes numéricos: v  a i  b j
14
y
09
 Los coeficientes {a, b} se denominan

v
coordenadas cartesianas del vector y
se corresponden con sus proyecciones
sobre los ejes cartesianos.

v
b

a
j

O(0, 0 , 0)
i

 Su módulo es: v 
x
a
a 2  b2
 Cualquier vector
  del
 espacio se puede escribir como suma de un conjunto de tres
vectores { i , j, k } de módulo unidad, perpendiculares
entre sí, multiplicados



por unos coeficientes numéricos: v  a i  b j  c k
z
b
 Los coeficientes {a, b, c} se denominan
a

v

g
k

i
x

j
a
coordenadas cartesianas del vector y
se corresponden con sus proyecciones
sobre los ejes cartesianos.
c
b
y

 Su módulo es: v  a 2  b 2  c2
15
EL MOVIMIENTO
1
Movimiento y sistemas de referencia
Un cuerpo se mueve, si cambia su posición respecto a un punto de observación
El viajero se equivoca al pensar que se
mueve el vagón de enfrente.
Al mirar al andén, comprueba que es
su vagón el que se mueve
 Si dicho punto está en reposo, el movimiento es absoluto
El conductor está en reposo respecto
al pasajero que transporta, pero está
en movimiento respecto al peatón.
 Si está en movimiento, es relativo
Desde tierra el proyectil cae
describiendo una parábola. Desde el
avión cae en línea recta
16
La Cinemática es una parte de la Mecánica, que estudia el movimiento
sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con
respecto a un determinado SISTEMA DE REFERENCIA, que normalmente se considera fijo, y
decimos que está en reposo si su posición respecto a dicho sistema de referencia no cambia.
¿Qué es un sistema de referencia? realmente siempre que realizamos cualquier medida la
hacemos respecto a algo y decimos por ejemplo "desde donde yo estoy hasta la puerta
hay 2 m" al decir esto nos estamos tomando a nosotros mismos como referencia.
Entonces el reposo y el movimiento son conceptos relativos ya que dependen del
sistema de referencia que tomemos, así una casa se encuentra en reposo respecto a
nosotros y respecto a la Tierra que está en movimiento en torno al Sol, pero respecto al Sol
estaría en movimiento junto con la Tierra y si vemos esta casa desde un tren en marcha
parece que se mueve respecto a nosotros.
PARA DESCRIBIR PERFECTAMENTE UN MOVIMIENTO HACE FALTA
INDICAR RESPECTO A QUÉ SISTEMA DE REFERENCIA SE HAN
REALIZADO LAS MEDIDAS.
17

Vector de posición y vector desplazamiento

El vector de posición r 1 de un móvil, es el
vector con origen en O y extremo en P1.


Se representa por OP = r
1
P1
s
Y


r
P2
r1

r2
1
Se denomina Trayectoria al camino seguido por el
móvil en su movimiento. Es escalar
El espacio (S) que recorre un cuerpo en su
movimiento se define como la longitud de la
trayectoria recorrida y es también un escalar. Se
mide en metros
X
y
desplazamiento
vectores
de
posición
trayectoria
Los vectores de posición determinan las
diferentes posiciones del movimiento
podemos llamarlos r1 y r2 si consideramos
las posiciones como posición 1 y posición 2.
Son vectores que van desde el origen del
sistema de referencia a la posición que se
mide.
x
18
  
El vector
r  r2 - r1 (posición final menos posición inicial) se denomina vector
desplazamiento.
Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el
movimiento.
Se define vector desplazamiento como la distancia en línea recta entre dos posiciones
inicial y final del recorrido.
Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros
Es vectorial.
EL MOVIMIENTO DE CUALQUIER MÓVIL QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADO
SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR
DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO

En general, |  r |  s
Coinciden desplazamiento y trayectoria cuando el movimiento
es rectilíneo

dr  dS
También coinciden cuando
estudiamos desplazamientos
muy pequeñitos , infinitesimales
o diferenciales:
trayectoria
19
VELOCIDAD
La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en
función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto
son: m/s cm/s o Km / h etc...
Ambos vehículos salen y llegan a la vez, pero no han
viajado juntos. Tienen en común su velocidad media


v m  s
Magnitud velocidad media escalar:
Vector velocidad media:

vm
Rapidez: espacio recorrido
por intervalo de tiempo
S S 2 - S1
Vm 

t
t 2 - t1
t
Se define velocidad media
como el cambio de posición de
un cuerpo en un intervalo de
  

tiempo:
r
r -r

 r
t
Vm 




 r  x i  y j 

vm



y
x 
i 
j v i v

t
t
xm
t

2
1
t2 - t1

ym
j
20

4
Y
r
Cuando t  0 el vector desplazamiento
se sitúa tangente a la trayectoria

r

r
1

r

r
2

r
3
La velocidad instantánea es la que posee
un móvil en un punto de su trayectoria

r
4
X
La velocidad instantánea es el cambio de
posición de un cuerpo en movimiento en
cada instante.
V - Lim
r - dr
 t 0  t
dt

v = r
t

cuando  t  0
Cuando el cambio es diferencial el
módulo (valor numérico) de dr es igual
que dS
V – dr - dS
dt
dt
Se representa por un vector tangente a la trayectoria, cuyo origen es el punto
considerado, y cuyo sentido es el de avance del móvil
21
ACELERACIÓN
Física y Química
1º BACHILLERATO
Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus unidades por
tanto serán m/s2 o Km/h2 etc...
Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración.
A

Y

v
1

A

Y
v
1

B

r
v
2

v

1
v
2

r
2
X
X
La aceleración instantánea
La aceleración media

a =

am

v
t

cuando  t  0


v -v
v
=
= t -t
t
2
1
2

 dV
a
dt
1
22

V
La aceleración media estudia el cambio de
velocidad en un intervalo de tiempo.
Es un vector con la misma dirección y sentido que el
vector resultante de restar la velocidad inicial y final
vectorialmente ,en cierto t se define como :




V V2 - V1
am 

t
t 2 - t1

V
1

V
-
  
VV V
 = 2 – 1 y en esa misma
dirección y sentido sale 
am
2
Se trata por tanto de una magnitud vectorial con la
dirección y sentido de V .

V
1
V
2
Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo dt
cada vez mas pequeños.
La aceleración Instantánea mide el cambio de velocidad en un
instante determinado del movimiento:
a - Lim
V - dV
 t 0  t dt
es también una magnitud vectorial
23
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto,
cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario
tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento.

V
uT  
V


V .uT  V
trayectoria
aN
eje tangente al
movimiento
Si usamos el sistema de referencia
en función de la trayectoria podemos
descomponer la aceleración en dos
componentes:
eje
perpendicular al
movimiento
uN
uT
a
aT
 


 duT
 dV d ( V .uT ) d V 
a


.uT  V .
dt
dt
dt
dt



a  aT .uT  a N .u N

a  aT2  a N2
24
LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN
INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DEL MÓDULO DE LA VELOCIDAD
RESPECTO AL TIEMPO. Es la responsable del cambio de la magnitud velocidad, es decir,
del módulo de la velocidad. Si aT = 0 el módulo de la velocidad es constante; es decir el
movimiento es uniforme.
En movimientos Uniformes donde la velocidad es constante en módulo no existe la
aceleración tangencial.
LA ACELERACIÓN NORMAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA
EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO.
Existe siempre que el movimiento es curvilíneo. Es la responsable del cambio de dirección de la
velocidad. Si el movimiento es rectilíneo esta componente se hace cero. O lo que es lo mismo
si aN =0 la dirección del vector velocidad es constante, es decir, el movimiento es rectilíneo.
aT – d V
(m /s2)
dt
Se obtiene derivando
el módulo de la
velocidad
a N – V2
(m/s2)
R
Se obtiene con la velocidad, en
un instante dado, al cuadrado
entre el radio de giro
25
MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU)
6
Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no
hay aceleración normal.
Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que
tampoco existe aceleración tangencial.
Luego este movimiento no tiene aceleración.
Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento
Tiempo
50 100 150 200 250 ( r ) y la trayectoria (S) coinciden.
(s)
Como la velocidad es constante la velocidad
Posición
A
B
C
D
E
media y la instantánea coinciden.
Distancia al
200 400 600 800 1000
hangar (m)
s (m)
1000
600
200
Velocidad pendiente de
la gráfica



S=V.t


50 100 150 200 250
t (s)
Gráfica x-t



r
r -r
v
= t-t
t
0

0
v (m/s)
4





50 100 150 200 250
t (s)
Gráfica v-t

 r  
r + v (t - t0)
0
En forma escalar: s = s0 + v (t - t0)
26
Física y Química
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
1º BACHILLERATO
7
ACELERADO (MRUA)
2
Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración
normal, pero la velocidad va cambiando en módulo
(aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración
tangencial.
v (m/s)
v
tg a = a
a
v0
t0
t
t (s)
Gráfica v-t

La aceleración media coincide con la
aceleración instantánea ya que la
aceleración es constante

 La ecuación a =  v se transforma en:
t
v v - v
a
 v = v0 + a (t - t0)

t-t
t

0
0
v (m/s)
 El área A bajo la gráfica velocidad-tiempo es
v
el espacio recorrido
A =v0(t-t0) + v  v0
v0
2
t0
t
Gráfica v-t
t (s)
(t - t )
0
Sustituyendo v por su valor resulta:
1
S = S0 + v0 (t - t0) +
a (t - t0)2
2
27
Ecuación del movimiento uniformemente acelerado: S = V0 .t + 1. a.t2 si hay espacio inicial S0 se añade
2
Derivando se obtiene la velocidad V = dS
V = V0 + a. t
dt
ACELERACIÓN A FAVOR DEL MOVIMIENTO
(acelerar)
S
(m)
V
(m/s)
S0
S
(m)
V0
t (s)
ACELERACIÓN EN CONTRA DEL MOVIMIENTO.
(frenar)
V
(m/s)
V0
S0
t (s)
t (s)
t (s)
La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.
El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no
de que el cuerpo acelere o frene.
Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en
contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo
una aceleración positiva lo frenaría.
Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van
en el mismo sentido.
28
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcu
Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad constante en módulo
Al ser un movimiento uniforme el módulo de la velocidad es constante luego no hay aceleración
tangencial.
Su trayectoria es una circunferencia por lo que el desplazamiento y la trayectoria no coinciden.
La velocidad va cambiando constantemente de dirección por lo que existe aceleración normal.
Si la única aceleración que existe es la normal y la aceleración es constante, la aceleración
media es igual que la instantánea en su única componente en este caso que es la aceleración
normal.
Ecuación del movimiento uniforme : S= V . t Si hay espacio inicial queda S = V . t + S0
Aceleración normal o centrípeta a N – V2
R
Las gráficas de este movimiento serán las mismas que las de cualquier movimiento
uniforme luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS S/t Y V / t NO ES POSIBLE
DISTINGUIR EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DEL CIRCULAR
UNIFORME YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO
INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS
DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO, PARA SABER
LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL VECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN
DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA
X,Y.
29
 Su trayectoria es una circunferencia de
radio R 11
 El vector de posición

r cambia de
dirección. Cumple que | r | = R


v
P2 s


r
2


r

 El vector velocidad v es siempre tangente

a la trayectoria y normal al vector r
 P1
Magnitudes angulares
1
 Si s = R, se dice que el ángulo   mide

un radián.
ri


v
 Una circunferencia completa 360° 2 rad
 Por definición
R

R
 
s
R
Se mide en rad

(rad/s) ó bien 1 rpm = 2 rad/s
60
t
VELOCIDAD ANGULAR ω es el ángulo recorrido
por unidad de tiempo.
Como es lógico puede estudiar este cambio en un
intervalo, velocidad angular media, o en un instante,
velocidad angular instantánea.
30
v
s  R

  R  cte
t
t
V=ω.R
 = cte (por ser R cte)
 La ecuación del movimiento es:
   t      (t - t )
0
0
 Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta
completa y se mide en segundos
 Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que que tarda el móvil por
unidad de tiempo. Es la inversa del período. Se mide en seg-1 que también se
llaman Herzios (Hz)
El período y la frecuencia son inversos:
Tiempo (s)
número de vueltas
T (periodo)
1 vuelta
1 segundo
f (frecuencia)
despejando T= 1
f
La relación de estas dos magnitudes con la
velocidad angular se puede determinar
pensando que si el móvil da una vuelta
completa recorre un ángulo de 2пrad y el
tiempo que tardó en recorrerlo es el período T
luego como la velocidad angular relaciona el
ángulo recorrido con el tiempo empleado en
recorrerlo :
= 2п
T
31
EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)
13
a = 2 rad/s2
t=1s
1 = 2 rad/s
a = 2 rad/s2
t=0s
0 = 0 rad/s
t=2s
2 = 4 rad/s
a = 2 rad/s2
t=4s
4 = 8 rad/s
t=3s
3 = 6 rad/s
a = 2 rad/s2
 Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad, lineal y
angular, que varían de forma constante con el tiempo
 La ecuación del movimiento es:
 t
0
0
 a t
0
1
at
2
2
32
LA ACELERACIÓN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS
14
Z
P


a

v


r

a

a

a
X
Y

 Un móvil tiene aceleración a si varía al menos algún factor (módulo o dirección) del

vector velocidad v



 Sus componentes tangencial y normal se llaman intrínsecas, a = a  + a 

v

a =
cuando  t  0 está relacionada con la variación del módulo | v |
t
a  = v está relacionada con la variación de la dirección de la velocidad
R
2
33
Movimientos
rectilíneos
Movimientos
circulares
aN= 0
aN 0 y R = cte
Movimiento
rectilíneo
uniforme
Movimiento
circular
uniforme
a = 0
a = 0
Movimiento
rectilíneo
uniformemente
acelerado
Movimiento
circular
uniformemente
acelerado
aT 0
Movimiento
rectilíneo
acelerado
a = cte
Movimiento
circular
acelerado
a cte
a  cte
Ecuación lineal del movimiento uniformemente acelerado: S = V0 .t + 1. a.t2
2
Ecuación angular del movimiento uniformemente acelerado:  = 0 .t + 1.a.t2
2
Derivando se obtiene la velocidad V = dS
V = V0 + a. t
dt
Derivando se obtiene la velocidad = d
 = 0 + a. t
dt
a . R = aT
magnitud lineal= magnitud angular por radio
S(espacio en metros)= ( ángulo en rad ) .R
V(velocidad)= (velocidad angular ).R
aT (aceleración tangencial) =a (aceleración angula). R
34
2
COMPOSICIÓN DE MRU EN LA MISMA DIRECCIÓN
18
 La velocidad del niño al correr sobre la cinta,
crece o decrece según el sentido elegido
 El principio de superposición dice que si un
objeto está sometido a la vez a dos o más
movimientos, se cumple que:
 En este caso, su composición será:
O
O

x
1
2

x1 = x01 + v1x t
x2 = x02 + v2x t

x



r  r1  r 2  r3  ...  ri

   
v  v1  v2  v3  ...  vi

   
a  a1  a 2  a3  ...  ai

Trayectoria
x1 + x2 = (x01 + x02) + (v1x + v2x) t
La suma es un MRU en la misma dirección
35
COMPOSICIÓN DE MRU PERPENDICULARES
19
Y
 Sean
y

dos movimientos rectilíneos
uniformes en las direcciones de los
ejes X e Y con velocidades respectivas

xy

y
y0

vy
O


y
vx vy

vt

x

vx
x0
x
X

vx

x

x0






 El resultado es un MRU en la dirección determinada por:

vt
 Si un móvil experimenta solo el primer movimiento:

t
 Si un móvil experimenta solo el segundo movimiento: y  y0  v y t
 Cuando experimenta la superposición de ambos:



x  y  (x 0  y0)  (vx  v y)


 vx  v y
36
Cuándo una partícula se encuentra sometida a dos movimientos simultáneos e independientes,
el movimiento que realiza es un movimiento compuesto. Dicho de otro modo, hay movimientos
en apariencia complejos que se pueden estudiar de forma mucho más simple como
superposición de dos movimientos más sencillos. Entonces se habla de Composición de
movimientos.
El caso más corriente de composición de movimientos es el lanzamiento de proyectiles,
ya sea vertical, horizontal u oblicuo.
En primer lugar es necesario tener claro que al lanzar un proyectil lo que hacemos es
dispararlo con una cierta velocidad inicial, desentendiéndonos inmediatamente de él y
dejándolo a merced de la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra y le hace caer sometido
a la aceleración de la gravedad, g=9,8 m/s2, que es vertical y hacia abajo.
En todos los casos vamos a considerar despreciable la resistencia del aire.
Debemos establecer en primer lugar un sistema de referencia que mantendremos siempre
igual en todos los movimientos, el sistema de referencia más sencillo es aquel que sitúa EL
EJE Y EN LA VERTICAL DEL PUNTO DE LANZAMIENTO Y EL EJE X EN EL SUELO.
Los lanzamientos los vamos a clasificar según la dirección en que
lanzamos (la dirección del vector velocidad inicial) en tiros:
verticales, horizontales y oblicuos:
37
TIRO VERTICAL
Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia
abajo) y el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores
de posición que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo:
Y
V final = 0
h
V0
máxima
g
h0
X
Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: g = - 9,8 j m/s2
con el sistema de referencia que hemos tomado.
Si el cuerpo sube es frenado por la atracción gravitatoria terrestre que
acaba por pararle y le hace caer (sube y luego baja). En todo momento
la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que cambia de
sentido (primero sube y luego baja).
Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con
un movimiento uniformemente acelerado y su ecuación de movimiento
es : S = V0 .t + 1. a.t2
2
Como la trayectoria es rectilínea el valor del desplazamiento y el
espacio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil
en cada instante es:
r = ( h0 + V0 .t - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (V0 – g.t ) j m/s
38
En este caso la velocidad inicial tiene diferente sentido ya
que va hacia abajo y por lo tanto diferente signo:
r = ( h0 - V0 .t - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (- V0 – g.t ) j m/s
La gravedad acelera en todo momento al movimiento.
Y
V0
h0
Si en lugar de lanzarlo hacia abajo lo dejamos caer la
velocidad inicial es cero:
X
r = ( h0 - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = ( – g.t ) j m/s
En los dos casos si se deriva la velocidad sale siempre la misma aceleración , la
de la gravedad:


2
g  -9,8 j (m / s )
39
ESTUDIO DEL TIRO HORIZONTAL
21
Trayectorias descritas por la pelota según el sistema de referencia
Para un observador en tierra, la trayectoria es
parabólica
Para un pasajero del avión, el movimiento es
vertical y en caída libre
Para el observador en caída libre, el móvil posee un
MRU horizontal
40
La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos
simultáneos:
SOBRE EL EJE X: (mru) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la
velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el
MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este
seguiría indefinidamente en línea recta).
SOBRE EL EJE Y: (mrua) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad
inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado
(aceleración de la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo
haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA.
Y
El vector de posición tiene:
1) componente x (m r u S= V. t avance del proyectil)
2) componente y donde se mide la caida y por lo
tanto las alturas (m ru a sin velocidad inicial
S= S0 + 1. a.t2 )
2
r = (V0 . t ) i + ( h0 - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (V0 ) i +( -g.t ) j m/s
V0
h0
r
X
alcance
41
ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo.
En el suelo la altura es cero luego y=0 entonces: 0 = h0 - 1. g.t2
2
sacando el valor de t es posible obtener el alcance X= V0. t
La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES
UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA.
X = V0. t
Y = h0 - 1. g.t2
2
X = t sustituyendo en y queda
V0
Y = h0 - g . X 2
2 V02
Ecuación de la trayectoria
42
Física y Química
ESTUDIO
DEL LANZAMIENTO OBLICUO
24
1º BACHILLERATO
Unas trayectorias muy comunes
1,4

1,2

a -g j
1
0,8

v01
0,6
0,4
0,2

v02 
v03
ai
0
0
1
2
3
4
5
6
 Son las descritas, por ejemplo, por el lanzamiento de distintos proyectiles
disparados desde el suelo.

 Dependen de la velocidad inicial de salida v0 i y del ángulo de lanzamiento a
i
43
Si el tiro es oblicuo hacia arriba el vector de posición entonces es:
Y
V0y
h
El vector de posición tiene:
1) componente x (m ru S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo
tanto las alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )
2
r = (V0X . t ) i + ( h0 + V0Y . t - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando:
V = (V0X ) i + ( VoY - g.t ) j m/s
V
V0
máxima
V0x
h0
r
X
alcance
VoX = V0. cos a
V0Y = V0. sen a
V0Y
a
V0X
ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal
que recorre hasta llegar al suelo. Al llegar al suelo la
altura es cero luego Y =0.
h0+V0Yt-1gt2=0
2
Resolviendo la ecuación de segundo grado se saca el
tiempo. El recorrido en horizontal es X y por tanto con el
valor de tiempo obtenido se saca X que es el alcance:
X= V0X . t
44
La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo, ES UNA TRAYECTORIA
PARABÓLICA
X = V0X. t
Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2
2
X= t
V0X
Y = h0 + V0Y . X - g . X 2
V0X
2 V0 2
Ecuación de la trayectoria
La ALTURA MÁXIMA se obtiene teniendo en cuenta que en ese punto el vector
velocidad resulta horizontal luego la componente y de la velocidad es cero.
VoY - g.t = 0 de aquí sacamos el tiempo y para determinar la altura vamos a la
componente Y del vector de posición que mide las diferentes alturas e
introducimos el valor de tiempo obtenido :
Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2
2
45
Para un tiro oblicuo hacia abajo:
V0X
a
V0Y
Y
V0y
h0
V0
V0x
V0
El vector de posición tiene
1)componente x (m r u S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las
alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )
2
r
r = (V0X . t ) i + ( h0
alcance
- V0Y . t -
1. g.t2 ) j (m)
2
la velocidad se saca derivando: V = (V0X ) i + ( -VoY - g.t ) j m/s
Y = h0 - V0Y . X - g . X 2
V0X
2 V0 2
Ecuación de la trayectoria
46