Download Dinámica.PROBLEMAS DE FUERZAS CUERPOS ENLAZADOS

PROBLEMAS DINÁMICA
CUERPOS EN CONTACTO Y ENLAZADOS
ÍNDICE
A. Cuerpos en contacto
A.1. Ejemplo
B. La “máquina de Atwood”: Poleas
B.1. Ejemplo
C. En un ascensor
C.1. Ejemplo
D. Cuerpos sujetos por varias cuerdas al techo
D.1. Ejemplo
E. Cuerpos que se mueven arrastrando a otros enlazados
E.1. Ejemplo
F. Movimiento circular
F.1. Ejemplo
G. El péndulo cónico
G.1. Ejemplo
A. CUERPOS EN CONTACTO
F
m
m´
Fíjate: sólo vamos a estudiar las
fuerzas que actúan en la dirección
del movimiento.
Imagínate la siguiente situación:
-Dos cuerpos en reposo que descansan sobre una superficie horizontal,
se encuentran en contacto cuando sobre uno de ellos, de masa m, se ejerce
una fuerza F.
1.¿Con qué aceleración se moverán las masas?
2.¿Qué fuerzas actúan sobre cada una de las masas?
Vamos a ver cómo estudiamos este tipo de situaciones…..
F
m
m´
Es fácil pensar que al estar en contacto
ambos cuerpos, estos se moverán a la vez
con la misma aceleración, aunque sobre
cada fuerza actúan fuerzas diferentes.
1. ¿Con qué aceleración se moverán las masas?
Ya hemos comentado que al estar los cuerpos en contacto, estos se moverán con
la misma aceleración, por lo que a efectos de calcularla tomaremos los dos cuerpos
como un solo bloque con masa (m + m´). De este modo aplicando la segunda ley
de Newton:


F  (m  m´)  a


F
a
m  m´
Es la aceleración con que se moverán
cada una de las masas.
2. ¿Qué fuerzas actúan sobre cada una de las masas?
F
m
m´
La fuerza F actúa directamente sobre el cuerpo m y no sobre el m´.
El cuerpo m transmite una fuerza sobre m´, llamémosla F´, para que este cuerpo
adquiera la aceleración a.
A su vez, sobre el cuerpo m, también actúa la reacción del cuerpo m´sobre m por
dicha fuerza F´, que será igual en módulo y dirección pero sentido contrario,
tal y como establece la tercera ley de Newton.
m
m´
F´
F´ m
F
m´
Estudiaremos cada cuerpo por separado, aplicando la segunda ley de Newton:
m
m´
F´
Sobre el cuerpo m´sólo actúa la fuerza F´, por lo que:
F´ m


F´ m´a
F
m´
Sobre el cuerpo m actúan dos fuerzas, F que hemos aplicado directamente sobre
el cuerpo, y F´ que es la reacción del cuerpo m´sobre él, por lo que:

 



Fm  F  F´ Fi  F´i  m  a
EJEMPLO
Dados dos cuerpos de masa 2 y 1 kg que reposan en contacto, en una superficie
horizontal y con un coeficiente de rozamiento cinético 0,2. Se le aplica una fuerza
de 20 N para empujar el cuerpo de 2 kg. Determina:
1. La aceleración que adquiere el sistema
2. Cada una de las fuerzas y la resultante que actúan sobre cada cuerpo.
Primero: dibujamos el sistema, identificando las fuerzas actuante, así como la
dirección y sentido de movimiento.
Fíjate que como en este caso sí existe rozamiento, debemos estudiar también
las fuerzas del eje Y.
Y
m
F
m
m´
N
Y
F
F´m
m´
N´
F´m´
X
FR
X
P
F´R
P´
Colocas los ejes de tu SR en el centro de cada masa (Centro de Gravedad, CG)
Dibujas todas las fuerzas presentes en cada masa y, en caso necesario, las descompones
en los ejes X e Y.
Recuerda, en el caso de que haya fuerza de rozamiento hay que estudiar también el eje
Y, sino sólo ten en cuenta el eje en el que se dé el movimiento, X.
m
F´m
Y
N
Y
m´ N´
F
X
FR
P
F´m´
1. La aceleración que adquiere el sistema
X
F´R P´
En este caso lo que hay que estudiar, recuerda, es el conjunto del sistema, ya que ambos
se van a mover con la misma aceleración.
En este caso, las fuerzas que actúan sobre el bloque son F, FR y F´R . Las fuerzas de acción
y reacción, F´m y F´m´ son iguales y de sentido contrario, y que al tener en cuenta el conjunto
se anulan.
Así, aplicando la segunda ley de Newton en el eje X:


Ahora, para poder calcular las fuerzas de rozamiento
FX  mtotal  a X

  
 necesito conocer el valor de las normales de cada masa,
Fi  FR i  F´ R´ i  (m  m´)  a X por lo que se debe estudiar el eje Y en cada masa,
obteniendo:
EjeY : SFY = m× aY = 0
Masa_ m: N + p = 0; N = m× gj =19, 6 j N
Masa_ m´: N´+p´= 0; N´= m´×g = 9,8 j N
Así, ya podemos calcular las fuerzas de
rozamiento y con ellas la aceleración de
cada masa:
FR = -m × Ni = -3, 92i N
F´ R = -m × N´i = -1, 96i N
Con lo que operando con los datos del problema obtenemos:
Fi - FRi - F´ R´ i = (m+ m´)× aX
20i N - 3, 92i N -1, 96i N
aX =
= 4, 71i m/ s2
3 kg
Esta será la aceleración con la que se mueven cada una de las masas. Como vemos,
tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante, tal y como indica
la segunda ley de Newton.
m
Y
N
Y
m´ N´
F
F´m
X
FR
F´m´
2. Las fuerzas que actúan sobre
cada una de ellas.
X
P
FR´
P´
Ahora nos piden las fuerzas que actúan sobre cada masa.
Si te fijas en la representación de las fuerzas que has realizado al principio se ve claramente
que sobre la masa m actúan las fuerzas N y P, que se anulan entre ellas, así como F, F´m y FR .
De la misma forma, estudiando el cuerpo m´, sobre él actúan N´ y P´, que también se anulan
entre sí, así como F´m´ y FR´ .
Así, la fuerza neta estará en el eje X en cada masa y tenemos que tener en cuenta que ya hemos
calculado la aceleración de cada masa, que es la misma para ambos.
Masa m:

 

Fm  F  FR  F´m
Masa m´:
SFm´ = FR´ + F´m´
No conozco el valor de estas fuerzas para calcular la resultante
en las dos masas. Debo hallarla primero, para lo cual aplico la
segunda ley de Newton a la masa m´ y hallo F´m´, que por la tercera
ley de Newton es igual en módulo y dirección, pero sentido contrario, a F´m .
SFm´ = FR´ + F´m´ = m´×a
F´m´ -1, 96Ni = 1kg× 4, 71i m/ s2
F´m´ = 6, 67i N
F´m = -6, 67i N
Ya sí puedo calcular la fuerza resultante en cada una de las masas. De forma que:
Masa m´:
SFm´ = FR´ + F´m´ = -1, 96i N + 6, 67i N = 4, 71i N
Masa m:
SFm = F + FR + F´m= 20i N - 3, 92i N - 6, 67i N = 9, 41i N
B. LA “MÁQUINA DE ATWOOD”: POLEAS
Este mecanismo consta de una polea, una cuerda inextensible
y dos masas (m y m´)
Deseamos saber la aceleración con la que se va a mover el
sistema y la tensión de la cuerda.
En este tipo de problemas debemos hacer dos suposiciones:
-La masa de la polea y su radio son despreciables, es decir,
no se considera que la polea gire.
-La masa de la cuerda también es despreciable, por lo que la
tensión a ambos lados de la polea es la misma.
m
m´
Así, tenemos que hacer el estudio de cada una de las masas
por separado.
El sentido del movimiento será hacia la mayor masa
(en este, caso m´) y tomamos como positivo el sentido
de dicho movimiento.
Sentido movimiento
a
Como siempre, primero identifico las fuerzas presentes
en el problema. En este caso el peso y la tensión de la
cuerda (reacción)
T
Sentido movimiento
a
m
T
p
m´
p´
A continuación, debemos aplicar la segunda ley de Newton
a cada una de las masas por separado, teniendo en cuenta
que es positivo para la masa m hacia arriba, pero es positivo
para m´hacia abajo, es decir, el sentido del movimiento.
Según la segunda ley de Newton:
Masa m:
T  mg  m  a
Masa m´:
m´g  T  m´a


F  m  a
Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas
Despejo la tensión, T, de las dos ecuaciones e igualo ambas expresiones:
T  ma  mg
T  m´g  m´a
ma  mg  m´g  m´a
(m´ m)
a
g
(m  m´)
Así calcularé la aceleración de las masas.
Una vez obtenido su valor, sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones
anteriores obtendrías el valor de T.
EJEMPLO
Determina la aceleración que adquirirá el sistema de la figura, así como el sentido del
movimiento si el ángulo de inclinación es de 30º, la masa m 2 kg, m´3 kg y el rozamiento
es despreciable.
Y
N´
T
m´
PX´
X
T
30º
30º
P´
PY ´
m
Si consideramos que la masa de la polea y la de la
cuerda, así como la fricción con la polea, son
despreciables, entonces la tensión a lo largo de toda
la cuerda tendrá el mismo valor.
Así, las fuerzas que operan sobre cada cuerpo serán…
Al igual que ocurría cuando se estudiaba el movimiento
P en el plano inclinado, debemos poner el SR en el cuerpo m´
de forma que el eje X sea paralelo a la superficie e Y
perpendicular a esta.
Descomponemos la fuerza P´ en los dos ejes.
Además, para finalizar el dibujo, por perpendicularidad, si el ángulo de inclinación del plano
Es de 30º, el ángulo que forma P´ con el eje Y también.
Sentido del movimiento
Y
N´
T
T
m´
PX´
X
30º
30º
PY ´
P
P´
Masa m: Eje Y
P - T = m× a
mg- T = m× a
m
Ahora tengo que escoger el sentido del movimiento.
a priori, no puedo saber si m va a bajar o a subir, por
lo que escojo una de las dos opciones.
Luego dependiendo del signo de la aceleración que
obtengamos sabremos si se ha escogido bien o no.
Como siempre, se toman como fuerzas positivas
aquellas en el sentido del movimiento.
Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de
las masas y a cada uno de sus ejes, en caso necesario.
En este caso como no existe rozamiento, no nos da
ninguna información estudiar el eje Y de la masa m´.
En caso de que tuviese que calcular FR sí ya que
necesito la normal N.
Masa m´: Eje X
T - P´ X = m´×a
T - m´gsen30º = m´×a
Fíjate: al estar enlazados los cuerpos se mueven con una misma aceleración.
De nuevo tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas, que puedes solucionar por el método
que quieras. Anteriormente lo hemos resuelto despejando T de cada una de las ecuaciones e
igualando ambas expresiones.
También puedes sumar ambas ecuaciones, desapareciendo T.
Así obtenemos:
T - m´gsen30º = m´×a
mg- T = m× a
Sumando : mg- m´gsen30º = (m+ m´) a
m- m´sen30º
2kg- 3kg× 0, 5
a=
g=
× 9,8m/ s2 = 0, 98m/ s2
(m+ m´)
5kg
Así vemos como el valor de la aceleración nos ha dado positivo, por lo que el sentido
del movimiento escogido al principio es correcto. En caso contrario, si la aceleración
sale negativa simplemente deberíamos decir que el sentido escogido es el contrario,
por lo que m subiría y m´ bajaría, pero el valor de la aceleración es el mismo,
cambiado de signo.
Importante: en caso de que exista rozamiento, si la aceleración sale negativa hay que
cambiar la suposición del sentido del movimiento, pero hay que hacer de nuevo todo
el problema, ya que el valor de la aceleración sí varía con el cambio de sentido.
También, fijándonos en la expresión despejada de la aceleración, podemos observar que:
m  m´sen30º
a
g
(m  m´)
Estos dos factores siempre son positivos
Así, el signo de la aceleración viene determinado por el numerador, con lo cual:
-si m < m´senα, la aceleración es positiva por lo que el movimiento es hacia m´.
- si m > m´senα, la aceleración es negativa por lo que el movimiento es hacia m.
- si m = m´senα, no hay aceleración, es decir el sistema está en equilibrio.
Estudia ahora el mismo sistema pero teniendo en cuenta que existe rozamiento entre
la superficie y la masa m´.
Dato: µ = 0,13.
Si suponemos que el sentido del movimiento es el mismo, las ecuaciones de ambos cuerpos
sería:
mg  T  ma
T  m´gsen30º  m´g cos 30º  m´a
Sumando ambas expresiones y despejando la aceleración:
mg  m´gsen30º  m´g cos 30º
a
 0,32m / s 2
m  m´
Vemos que al salir la aceleración positiva el sentido escogido del movimiento es el
adecuado.
Puedes comprobar que si hubieses escogido el contrario el valor de la aceleración
te hubiese dado de -1,64 m/s2, es decir, incorrecto.
C. EN UN ASCENSOR
Cuando has ido en un ascensor, ¿te has dado cuenta que parece que “pesas menos” al
frenar en un ascenso o arrancar en un descenso? O al revés, ¿te sientes “más pesado”
cuando el ascensor frena en el descenso o arranca en el ascenso?
Veamos el porqué de este “peso aparente” desde la segunda ley de Newton:
a = aceleración de subida del ascensor
Ascensor arrancando para subir
N = reacción del suelo del ascensor en el cuerpo.
P = peso del cuerpo dentro del ascensor
a
N
p
Sentido del movimiento
Ascensor arrancando para subir
Al estar el cuerpo dentro del ascensor, este está sometido también
a la aceleración del mismo. Ahora bien, las fuerzas que actúan sobre
tí son: tu propio peso, que es constante, y la normal, reacción del suelo
del ascensor sobre tí.
Esta reacción N es, en todo momento, igual en módulo a la acción que
ejerce tu cuerpo sobre el ascensor y que percibimos nosotros como
peso aparente.
Si el ascensor acelera hacia arriba, tú también lo haces. Esto sólo se puede explicar
si admitimos que N es mayor que P y, en consecuencia, tendríamos una fuerza resultante hacia arriba, que causa esa aceleración a en tu cuerpo.
N  mg  ma
N  m( g  a )
Así, al acelerar subiendo tu peso aparente, N, es
mayor que tu peso, P, dando la sensación de “quedar
pegado al suelo”, es decir, de “pesar más”
a
N
p
Sentido del movimiento
Ascensor arrancando para bajar
Como puedes observar la situación es análoga desde el punto de vista
de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La diferencia está en el
sentido de la aceleración, hacia abajo en este caso.
¿Cómo explicaríamos ahora que tu sensación es ahora de “pesar
menos”? Pues sencillo.
Debemos admitir que tu peso aparente, N, es menor que tu peso, P,
invariable, ya que la fuerza de atracción de la Tierra hacia ti no
cambia.
mg  N  ma
N  m( g  a )
Ahora tú sensación es la de “levitar” dentro del ascensor.
Fíjate: al ser el sentido del movimiento ahora hacia abajo, por eso hemos considerado
El Peso como positivo y la Normal como negativa.
¿Y cuándo se frena en ambas situaciones?
Ascensor subiendo
Sentido del movimiento
N
De acuerdo con lo dicho anteriormente, la ecuación a plantear
teniendo en cuenta el sentido del movimiento sería:
p
a
N  mg  ma
Ahora la aceleración es negativa al ir en
contra del movimiento (está frenando)
N  m( g  a )
Observamos de nuevo, como N es menor que el peso P, por lo que nuestra sensación
es que estamos “levitando” respecto del suelo.
Ascensor bajando
a
Sentido del movimiento
La segunda ley de Newton quedaría:
p
mg  N   ma
N  m( g  a )
De nuevo vemos como la aceleración es negativa, por los mismos motivos que antes
y como la normal N, peso aparente, es mayor que el peso P, por lo que nuestra
sensación es la de quedar “pegados al suelo”.
Experimentalmente puedes comprobar estos hechos si te subes a un ascensor con una
balanza. Pon un cuerpo de masa m encima y estudia cómo varía la lectura de la balanza
en las situaciones antes analizadas.
EJEMPLO
Un hombre de 80 kg se halla de pie en un ascensor. Determina la fuerza que
ejercerá sobre el suelo en las siguientes situaciones:
a) El ascensor está en reposo
b) El ascensor acelera hacia arriba a 2,5 m/s2
c) El ascensor asciende a velocidad constante.
d) El ascensor asciende frenando a razón de 2,0 m/s2
e) El ascensor baja con una aceleración de 2,5 m/s2
Vamos a ir haciendo los dibujos de las distintas situaciones y aplicando la segunda ley
de Newton a cada una de ellas para calcular la fuerza normal N que será igual y de sentido
contrario a la fuerza que el hombre ejerce sobre el suelo, según la tercera ley de Newton.
a) Ascensor en reposo
N
P
N  mg  0
N  mg  784 N
Como vemos, al no haber movimiento, no hay
aceleración, es como un cuerpo apoyado en
una superficie horizontal en reposo.
a
b) Ascensor acelera hacia arriba a 2,5 m/s2
N
N  mg  ma
Sentido del movimiento
N  m( g  a)  984 N
P
c) Ascensor asciende con velocidad constante
Este caso es análogo al ascensor en reposo, ya que
al ser la velocidad constante no hay aceleración.
Recuerda que, según la primera ley de Newton,
el reposo y el MRU son equivalentes.
N= 784 N.
Sentido del movimiento
v=cte
N
P
d) El ascensor asciende frenando a razón de 2,0 m/s2
N  mg  ma
N
P
N  m( g  a)  624 N
Sentido del movimiento
a
e) El ascensor baja con una aceleración de 2,5 m/s2
mg  N  ma
N  m( g  a )  584 N
N
Sentido del movimiento
P
a
D. CUERPO SUJETO POR VARIAS CUERDAS DEL TECHO.
En el curso anterior estudiaste que un cuerpo sujeto al techo por una cuerda, sufre
una reacción de esta llamada tensión. La situación sería de equilibrio, de forma que
la tensión T sería igual al peso en módulo y dirección, pero de sentido contrario.
T
Ahora vamos a estudiar una situación, también de
equilibrio, pero cuando el cuerpo está sujeto
por más de una cuerda, las cuales forman un ángulo
determinado con el techo.
P
α
m
α
Dibujamos las fuerzas existentes, descomponiendo aquellas que no coincidan con
los ejes X e Y:
Y
α
α
T α
m
α
T
X
α
T α
m TX
P
Y
TY α
α
TX
T
X
P
Puedes observar en este problema:
1. Que el ángulo que forma la cuerda con el objeto también es α.
2. Que las tensiones de ambas cuerdas es la misma al estar formando el mismo ángulo.
3. Que al proyectar las tensiones, las componentes Y coinciden y las X son contrarias,
anulándose entre sí.
EjeX : TX + TX = 0
Como es una situación de equilibrio, donde no
hay movimiento, aplicando la segunda ley
de Newton a cada uno de los ejes obtenemos:
T cosa i - T cos a i = 0
EjeY : TY + TY + P = 0
Tsena j + Tsena j - mgj = 0
T=
mg
2sena
EJEMPLO
Calcula la tensión de la cuerda si la masa del cuerpo que cuelga es de 5 kg.
30º
30º
Colocamos el SR sobre el cuerpo y dibujamos las fuerzas existentes en el problema,
descomponiendo aquellas que n o coincidan con los ejes.
30º
Y
TY
T 30º
30º
30º T
TX
m TX
P
Aplicando la segunda ley de Newton al eje
Y, obtenemos:
X
EjeY : TY + TY + P = 0
Tsena j + Tsena j - mgj = 0
mg
T=
= 49N
2sena
E. CUERPOS QUE SE MUEVEN HORIZONTALMENTE,
ARRASTRANDO A OTROS ENLAZADOS.
Hemos estudiado anteriormente cuerpos en contacto que eran arrastrados.
Ahora vamos a ver qué ocurre cuando esos cuerpos no están en contacto directo,
sino que se encuentran enlazados a través de cuerdas.
La situación podría ser la representada en la siguiente figura: un cuerpo de masa
m1 que arrastra a otros dos de masas m2 y m3. La fuerza de arrastre, F, está
aplicada sobre el primer cuerpo.
m3
m2
m1
F
En principio vamos a estudiar el problema sin que hayan fuerzas de rozamiento,
por lo que sólo nos interesan estudiar las fuerzas en el sentido del movimiento, es
decir, en el eje X. Aún así, representaremos todas las fuerzas para cada masa.
Además, tenemos que tener en cuenta el rozamiento de cada cuerpo.
N3
m3
T2
P3
N1
N2
T2
m2
T1
T1
m1
P2
F
P1
Sentido del movimiento
En este caso para simplificar las explicaciones no utilizaremos vectores en las
ecuaciones, indicándolo solamente al finalizar, en la respuesta.
Fíjate: las tensiones de cada cuerda son diferentes entre sí, por lo las hemos
anotado como T1 y T2.
Ahora debemos aplicar la segunda ley de Newton a cada una de las masas por
separado, teniendo en cuenta que el sentido del movimiento es el que se toma
como positivo.
La aceleración con la que se mueven todas las masas es la misma, al estar enlazadas
con cuerdas “tirantes” y que suponemos con masa despreciable.
Así, plantearemos las siguientes ecuaciones referentes al eje X:
N3
m3
T2 T2 m2
p3
T1
p2
m1 : F  T1  m1 a
N1
N2
T1 m1
F
p1
m2 : T1  T2  m2 a
m3 : T2  m3 a
Tenemos tres incógnitas (a, T1, T2) y tres ecuaciones. Para resolver el sistema,
Sustituimos la tercera ecuación en la segunda y esta en la primera, obteniendo:
T2 = m3a
T1 - m3a = m2 a; T1 = (m2 + m3 ) a
F - (m2 + m3 ) a = m1a
F = (m1 + m2 + m3 ) a
a=
F
m1 + m2 + m3
Observa como la aceleración es proporcional
a la fuerza de arrastre F, e inversamente
proporcional a las masas que están unidas,
algo totalmente lógico.
EJEMPLO
Calcula la aceleración con la que se moverían tres masas unidas a través de una cuerda,
si sobre la masa primera se ejerce una fuerza de arrastre de 100 N.
Datos: m1 = 2 kg; m2= 3 kg; m3= 1 kg; µ= 0,2.
Vemos como en esta ocasión, al darnos el dato del coeficiente de rozamiento, implícitamente
nos están indicando que existe rozamiento con el suelo, no siendo despreciable este.
La situación sería análoga a la estudiada anteriormente, aunque debemos tener en cuenta
también, las fuerzas de rozamiento en cada una de las masas.
Recuerda que siempre las debes dibujar en sentido contrario al movimiento.
N3
Fr3
T2
m3
T2
m2
T1
Fr2
P3
N1
N2
T1
m1
F
Fr1
P2
P1
No se te olvide indicar que la aceleración de todas las masas es la misma, al estar
unidas por una cuerda de masa despreciable.
N3
Fr3
N2
T2 T2
m3
P3
N1
T1 T1
m2
Fr2
m1
Fr1
P2
F
P1
Al tener que calcular las fuerzas de rozamiento debemos calcular las normales de cada
cuerpo estudiando el eje Y. En las tres masas la segunda ley de Newton establecería:
N p0
N  mg
Aplicando ahora la segunda ley de Newton al eje X y a cada una de las masas obtenemos:
Masa 1:
F  T1  Fr1  m1 a
Fr1  N1  m1 g
F  T1  m1 g  m1 a
Masa 2:
T1  T2  Fr 2  m2 a
Fr 2  N 2  m2 g
T1  T2  m2 g  m2 a
Masa 3:
T2  Fr 3  m3 a
Fr 3  N 3  m3 g
T2  m3 g  m3 a
De nuevo tenemos un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, resolviéndolo por el
método de sustitución, obteniendo que la aceleración es:
T2 = m3a+ m m3g
T1 - m3a- m m3g- m m2 g = m2 a
T1 = (m2 + m3 )a+ (m2 + m3 )m g
F - (m2 + m3 )a- m g(m2 + m3 ) - m m1g = m1a
F - (m1 + m2 + m3 )m g = (m1 + m2 + m3 )a
F - (m1 + m2 + m3 )m g
100N - (3kg+ 2kg+1kg)× 0, 2 × 9,8m/ s2
a=
i =
i
m1 + m2 + m3
3kg+ 2kg+1kg
a = 14, 71i m/ s2
Fíjate: en la expresión de la aceleración si la comparamos con la del caso en la que el
rozamiento es despreciable, ahora aparecen las fuerzas de rozamiento en sentido
contrario a la fuerza de arrastre, lo que hace que la aceleración total sea menor.
Hay un método más fácil para resolver el anterior sistema de ecuaciones y es sumando
todas las ecuaciones entre sí. Puedes observar cómo las tensiones se anulan entre sí.
F. MOVIMIENTO CIRCULAR
at
aN
El movimiento circular es aquel, como su propio nombre
indica, en el que la trayectoria es una circunferencia.
Por lo tanto, debemos recordar las magnitudes angulares
para poder describir este tipo de movimientos.
También debemos recordar las componentes intrínsecas de la aceleración:
v2
aN 
  2r
r
v
at 
t
Aceleración normal o centrípeta: debida al cambio de dirección
de la velocidad durante todo el movimiento.
Todo movimiento circular posee este tipo de aceleración.
Es un vector que siempre se dirige hacia el centro de la
circunferencia.
Aceleración tangencial: debida al cambio en el módulo de la
Velocidad, por lo que sólo existe si la velocidad varía.
Es un vector tangente a la trayectoria (igual que la velocidad)
FN
v
Así, de acuerdo con la 2ª ley de Newton, toda aceleración
es provocada por una fuerza, por lo que podremos distinguir:
Fuerza centrípeta o normal FN


FN  m  aN
v2
FN  m  m 2 r
r
Esta fuerza normal o centrípeta no es un tipo particular de fuerza, sino que es
la resultante de todas las fuerzas aplicadas.
En caso de MCU es la causante de dicho movimiento.
Analicemos varios casos.
En el caso de satélites girando alrededor de un planeta o el giro
de la Tierra alrededor del Sol, la fuerza gravitatoria es la que
actúa de fuerza centrípeta.
Otra fuerza que actúa como centrípeta es la fuerza eléctrica,
que mantiene a los electrones cerca del núcleo.
En los problemas de MCU (en los que, recuerda, sólo existe aceleración normal)
debemos analizar las fuerzas existentes e igualar la expresión de la fuerza
normal o centrípeta a aquella fuerza o fuerzas que hacen o provocan el movimiento.
Así:
1. Planeta o satélite girando:
M m
v2
Fg  G 2  m 
r
r
2. Cargas girando una alrededor de la otra:
Masa que gira
Qq
v2
Fe  K 2  q 
r
r
Carga que gira
3. Cuando se gira un cuerpo atado a una cuerda:
4. Coche tomando una curva:
FN  Froz
v2
FN  T  m 
r
v2
 N  m 
r
Cuando, además de la dirección de la velocidad, también varía su módulo,
estamos ante un MCUA, donde aparecerá también la fuerza tangencial, por lo que,
ahora, la fuerza total será la suma de la normal y la tangencial, al igual como ocurre
con la aceleración.
v
FN
FT
FT
F
Movimiento acelerado. La aceleración
tangencial provoca un aumento de la
aceleración.
F
v
FN
Movimiento decelerado. La aceleración
tangencial provoca una disminución de
la aceleración.
v
FT  m 
 m   r
t
EJEMPLO
Un cuerpo de 0,5 kg gira en un plano vertical por la acción de un hilo de 75 cm de
longitud unido a él.
a)Calcula la velocidad mínima que debe llevar el cuerpo en el punto más alto de forma
que la cuerda no esté sometida a tensión.
b)Si la tensión máxima que soporta la cuerda es de 15 N, halla la velocidad máxima
en los puntos más alto y más bajo de la trayectoria.
A
Dibujamos primero la situación, identificando
las fuerzas en cada uno de los puntos.
También debemos determinar el sentido del
movimiento.
P
T
Fíjate: en los puntos A y B el peso y la tensión
tienen la misma dirección (radial), mientras
que en el resto de los puntos, como el C,
estas fuerzas tienen direcciones diferentes.
C
T
T
B
P
P
Así, la resultante en los puntos C no tienen
dirección radial, por lo que el movimiento
no es uniforme, sino que la velocidad
varía en su recorrido.
La velocidad aumenta cuando desciende hasta B
y aumenta cuando asciende hasta A.
a) Calcula la velocidad mínima que debe llevar el cuerpo en el punto más alto de forma
que la cuerda no esté sometida a tensión.
La velocidad mínima es aquella en la que la tensión de la cuerda
se hace cero en el punto más alto, por lo que la única causante
del movimiento circular es el peso.
En ese punto, el peso actuará como fuerza normal, por lo que:
A
T
P
P = FN
T
T
P
C
P
B
2
vmin
mg = m
r
vmin = g·r = 2, 7m/ s
b) Si la tensión máxima que soporta la cuerda es de 15 N, halla la velocidad máxima
en los puntos más alto y más bajo de la trayectoria.
A
T
Ahora, la suma de las fuerzas peso y tensión de la cuerda,
son las causantes de la fuerza normal, pudiéndose
establecer:
P
T
T
P
C
P
B
Punto A
p  T  FN
v2
mg  T  m
r
r  mg  T 
vA 
 5,5m / s
m
Punto B T  p  FN
v2
Observa: la velocidad varía en el movimiento
T  mg  m
r
como ya habíamos deducido.
r  T  mg 
vB 
 3,9m / s
m
G. EL PÉNDULO CÓNICO
Un péndulo cónico es un sistema en el que un cuerpo describe círculos
Periódicamente alrededor de un centro O.
Sea un cuerpo de masa m en un péndulo de longitud L que describe un ángulo
Θ con la vertical….
Como puedes observar, la masa m realiza
un movimiento circular en el plano
perpendicular por lo que tendremos una fuerza
normal en dicho plano.
¿Qué velocidad constante lleva en su
movimiento? ¿cuál es la tensión que
soporta la cuerda?
θ
T
p
θ
T
θ
TY
TX
Al interesarnos el movimiento en ese plano perpendicular,
descomponemos la tensión en los dos ejes.
Puedes observar que en el eje Y las fuerzas se anulan
entre sí y que la componente X de la tensión es la que
actuará como fuerza normal o centrípeta.
p
Fíjate que por geometría el ángulo que describe el péndulo es el mismo que hay entre T y TY
EjeY :
T cos   mg  0
EjeX :
v2
Tsen  m
r
T
mg
cos 
mg
v2
Tsen 
sen  m
cos 
r
v  rgtg
EJEMPLO
Un péndulo de 1 kg y longitud 50 cm, describe un movimiento circular en el plano horizontal
Describiendo un ángulo de 30º con la horizontal.
a)¿Qué tensión soporta la cuerda?
b)¿Con qué velocidad describe dicho movimiento? ¿Es constante?
c)¿Qué periodo y frecuencia tiene dicho movimiento?
Dibujamos el sistema, identificando en él todas las fuerzas
y descomponemos la tensión del hilo en ambos ejes.
a) ¿Qué tensión soporta la cuerda?
30º
Aplicando la segunda ley de Newton en el eje Y:
T
30º
TY
TY  p  0
T cos  mg  0
TX
p
T
mg
 11,32 N
cos 30º
b) ¿Con qué velocidad describe dicho movimiento? ¿Es constante?
Aplicando ahora la segunda ley de Newton en el X:
30º
TX  FN
T
30º
TY
TX
p
v2
Tsen  m
r
Tsen30º r
 1,68m / s
v
m
Dicha velocidad es constante ya que la fuerza normal siempre tiene el mismo valor,
la componente X de la tensión.
c)
¿Qué periodo y frecuencia tiene dicho movimiento?
Al ser la velocidad constante, el movimiento es periódico, siendo su periodo y frecuencia:
T
2

; 
v
 3,36rad / s
r
T  1,87 s
f 
1
 0,54 Hz
T
Así, el movimiento se repite cada 1,87 s.
Realizado por:
Aránzazu González Mármol