Download Presentación en PowerPoint
Document related concepts
Transcript
5 11 5 11 XXV Olimpiada Thales 5 El Problema de los Dardos: 11 Ana le propuso a Enrique jugar a los dardos con una diana muy especial, como la que aparece en la figura. Ana le hizo la siguiente pregunta a Enrique: “Pudiendo disparar todas las veces que quieras y sumando siempre la puntuación obtenida a la anterior, ¿cuál es la puntuación máxima menor que 100 a la que no podrás llegar nunca?”. 5 11 Solución Menú Solución: ¡Enrique, mucha atención con las puntuaciones en cada tirada y ve acumulando los puntos! ¡OK, Ana. Primero voy a tomar nota de las primeras tiradas! Solución Menú Solución: ¡Voy a ver que sucede con una y dos tiradas! 1 Tirada: 5 5 11 11 {5} {11} 2 Tiradas: 5 5 5 {5}+{5}=10 11 11 11 {5}+{11}=16 {11}+ {11}=22 Solución Menú Y con tres tiradas, ¿puedo ya encontrar alguna regla? Solución: 3 Tiradas: 5 5 {5}+ {5}+ {5}=15 11 11 5 11 Solución {5}+ {11}+ {11}=27 5 {5}+{5}+ {11}=21 11 {11}+ {11}+ {11}=33 Menú ¡Creo que ya se puede sacar algo en claro con cuatro tiradas! Solución: 4 Tiradas: 5 5 11 11 {5}+ {5}+{5}+{5}=20 {5}+{5}+ {11}+ {11}=32 5 5 5 11 11 11 {5}+{5}+{5}+{11}=26 Solución {5}+{11}+ {11}+ {11}=38 {11}+{11}+ {11}+ {11}=44 Menú Solución: Así seguiríamos tirando a la diana para conseguir, en definitiva, cada número con la condición de que sea menor o igual que 100. Si llamamos x al número de veces que el dardo da en 5, e y al número de veces que el dardo da en 11 se debe cumplir que: 5x+11y≤100 Solución Menú Solución: ¡Enrique, te veo un poco indeciso! ¡En absoluto, Ana! En breve te puedo sacar algún patrón para conseguir llegar a la solución del problema planteado. Solución Menú Solución: ¡No olvidemos que tenemos que ver cuál es la puntuación máxima que no se puede conseguir menor o igual que cien. De las cuatro tiradas ya podemos sacar una consecuencia: NO SE PUEDEN CONSEGUIR a) Entre [1 y 10]: {1,2,3,4,6,7,8,9}, luego en este intervalo, el máximo es 9. b) Entre [10,20]: {12,13,14,17,18,19}, luego en este intervalo, el máximo es Solución 19. Menú Solución: ¡Para dar respuesta a la cuestión planteada la estrategia anterior es laboriosa. Vamos a encontrar el patrón más fácilmente si representamos gráficamente los datos que vayamos obteniendo en sucesivas tiradas. Solución Menú Solución: 99 88 85 90 95 100 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98 27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T 10 T 11 T 12 T 13 T 14 T 15 T 16 T 17 T 18 T 19 T 20 T 77 80 66 75 55 70 44 65 60 49 33 96 38 22 91 11 9T 86 7T 81 6T 76 71 5T 97 4T 92 3T 87 2T 98 82 5 1 T Tiradas a) Los múltiplos de 11 cuyas tiradas den en la zona del 11 de la diana. b) Los números que terminen en 0 y 5 con dardos cuya tirada den en la zona del número 5 de la diana conseguidos solo con el cinco. 93 1T 8T 11 c) Los números que terminen en 1 y 6 con dardos cuya tirada sea una vez en 11 y sucesivamente 1,2,3, 4, ….veces que den en el número 5 y cuya suma no supere a 100. d) Y así sucesivamente con los número que terminan en 2 y 7; 3 y 8; 4 y 9. e) Terminados en 0 y 5; 1 y 6; 2 y 7; 3 y 8 conseguidos con el 5 y el 11. Solución: ¿Te has dado cuenta Ana de un detalle? Con la construcción de la tabla anterior hay números que se repiten y son los que aparecen en rojo, por lo tanto los tenemos en cuenta una sola vez y los eliminamos de la tabla. Solución Menú Solución: 4T 44 49 3T 33 38 2T 22 27 1T 11 Estos son los números que se obtienen menor o igual que cien cumpliendo que 5x+11y≤100 16 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T 10 T 11 T 12 T 13 T 14 T 15 T 16 T 17 T 18 T 19 T 20 T 1 T Solución: Con los datos que aparecen la tabla podemos fácilmente deducir que NO SE PUEDEN CONSEGUIR: Entre [20 y 30 ]: {23,24,28,29} luego en este intervalo el máximo es 29. Entre [30,40]: {34,39}, luego en este intervalo el máximo 4T 44 49 3T 33 38 2T 22 27 1T 11 es 39. 16 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T 10 T 11 T 12 T 13 T 14 T 15 T 16 T 17 T 18 T 19 T 20 T 1 T Solución: ¡Y a partir del 39 ya se pueden conseguir cualquiera hasta el número 100: 40,41,42,43,44,……..95,96,97,98,99,100 Por lo tanto, el mayor de todos que nunca conseguiríamos , es 4T 44 49 3T 33 38 2T 22 27 1T 11 39 16 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T 10 T 11 T 12 T 13 T 14 T 15 T 16 T 17 T 18 T 19 T 20 T 1 T