Download Problema 1: El cumpleaños

Fase Regional – Almería 21 AL 25 DE MAYO 2013
FELIZ CUMPLEAÑOS
EL CUMPLEAÑOS:
Pitagorín se ha apostado un refresco con Pascalina. Si Pascalina
adivina su fecha de cumpleaños, invita él; pero si no es capaz de
hacerlo, será Pascalina quien lo invite.
Pitagorín le ha dejado una tabla que asigna a cada mes un número:
Enero: 1
Febrero: 2
Marzo: 3
Abril: 4
Mayo: 5
Julio: 7
Agosto: 8
Septiembre: 9
Octubre:10 Noviembre: 11
Junio: 6
Diciembre: 12
Y le ha dado tres pistas:
a) El número del mes de mi cumpleaños tiene una cantidad impar de
divisores.
b) La suma del día y del mes de mi cumpleaños da como resultado un
número primo.
c) Si multiplico el día por el mes de mi cumpleaños, obtengo un número
de tres cifras en el que la suma de la primera y última cifra es igual a la
segunda cifra.
Indica razonadamente la fecha del cumpleaños de Pitagorín para ayudar
a Pascalina.
Solución
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Solución 1:
En la tabla siguiente analizamos el número de divisores de los
números del 1 al 12, lo que nos permite deducir que los meses
posibles de su nacimiento son enero, abril o septiembre.
Nº del mes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nº de divisores
1
2
2
3
2
4
2
4
3
4
2
6
Enero no puede ser porque de la multiplicación de 1 por el día del
mes (un número comprendido entre 1 y 31) no podemos obtener
como resultado un número de 3 cifras.
Si sumamos el mes y el día en el caso de abril y septiembre (estos
dos meses tienen 30 días) se obtienen los siguientes números.
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Hemos sombreado los que son primos
Enunciado
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Solución:
Analicemos los productos del día por el mes para los números
posibles, aquellos que tengan 3 cifras:
Mes de abril:
a)
b)
Mes de septiembre:
25 × 4 = 100
27 × 4 = 108
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
14 × 9 = 126
20 × 9 = 180
22 × 9 = 198
28 × 9 = 252
126  1 + 6 = 7  7 ≠ 2
180  1 + 0 = 1  1 ≠ 8
198  1 + 8 = 9  9 = 9
252  2 + 2 = 4  4 ≠ 5
NO
NO
SI
NO
El único caso en el que la suma de la 1ª y 3ª cifra es la 2ª es el 22 de
septiembre.
22 × 9 = 198
Enunciado
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Solución 2:
El análisis de casos se reduce si tenemos en cuenta la condición c, es
decir que el producto tenga 3 cifras:
Abril:
a) 4·25 = 100
b) 4·26 = 104
c) 4·27 = 108
d) 4·29 = 116
e) 4·30 = 120
No hay ningún caso que cumpla las dos condiciones.
Septiembre:
Los resultados de los productos por 9 a partir de 12 son:
108
117
126
135
144
153
162
171
180
189
198
207
216
225
234
243
252
261
270
Veamos las condiciones propuestas:
 198 es el único resultado cuya 2ª cifra es la suma de la 1ª y la
última.
 22+9=31 y también cumple la condición de que la suma del
mes y el día es un número primo.
Enunciado
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Solución:
Por tanto, la fecha del cumpleaños de Pitagorín es
el 22 de septiembre.
HEMOS ENCONTRADO
LA SOLUCIÓN...
… pero, ¿habrá otra forma de hallarla?
Enunciado
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