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Algebra II
Unidad III. Funciones Cuadráticas
Arleane L. Despiau Rivera
Introducción
• Encuentra el valor de 𝑥.
𝑥2 + 4 = 0
Intentos
• Vamos a probar a elevar algunos números al
cuadrado a ver si podemos sacar un resultado
negativo:
•
•
•
•
2 × 2=
(−2) × (−2) =
0 × 0=
(−6) × (−6) =
(negativo por negativo da positivo)
– ¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero.
– Eso es porque estamos calculando el cuadrado
de números reales.
Números imaginarios
• Los números negativos no tienen raíces
cuadradas reales.
• Para hacer posible que todas las ecuaciones
cuadráticas tengan solución, los matemáticos
inventaron un sistema de números llamado
sistema de números complejos.
• Imagina que hay un número (vamos a
llamarlo 𝑖 de imaginario) que cumpliera esto:
𝑖 × 𝑖 = −𝟏
𝟐
Esto es: 𝒊 = −𝟏
Haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos
un valor para la raíz cuadrada de -1:
𝑖 = −1
Ejemplo
• ¿Cuál es la raíz cuadrada de −9?
• Mientras tengamos esa pequeña "𝑖" ahí para
recordarnos que hay que multiplicar por
−1 no tendremos problemas con seguir
calculando para llegar a la solución.
Definición
La raíz cuadrada de un número
negativo es definida como:
−𝑎 = 𝑖 𝑎
Práctica
−81
−33
−36
−100
−24
−17
Raíces Cuadradas Perfectas
−1
−36
−121
−4
−49
−144
−9
−64
−169
−16
−81
−196
−25
−100
−225
Repasemos la Factorización Prima
• Números Primos entre el 1 al 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Práctica
−121
−120
96
−68
40
−300
Encuentre las partes real e imaginaria
del número complejo
Número complejo
3 + 4𝑖
1 2
− 𝑖
2 3
6𝑖
−7
Parte real
Parte imaginaria
Encuentra las partes real e imaginarias
del número complejo
Número complejo
Parte real
Parte imaginaria
Representación de números complejos
Los números complejos se
representan en unos ejes
cartesianos.
• El eje 𝑥 se llama eje real.
• El eje 𝑦 se llama eje
imaginario.
• El número complejo 𝒂 +
𝒃𝒊 se representa
mediante un vector de
origen (0, 0) y extremo
(𝑎, 𝑏).
Representación de números complejos
Localiza en el plano
• 3 + 5𝑖
• 3 − 5𝑖
• −3 − 5𝑖
Representación de números complejos
Localiza en el plano
• 5𝑖
• −5𝑖
• 5
• −5
Potencias de 𝑖
𝑖0
Potencias de 𝑖
• Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por
eso, para saber cuánto vale una determinada
potencia de 𝒊, se divide el exponente entre 4,
y el residuo es el exponente de la potencia
equivalente a la dada.
Evalúa las potencias de 𝑖
𝒊𝟏𝟎
𝒊𝟓𝟐
𝒊𝟐𝟏
𝒊𝟐𝟕
𝒊𝟏𝟎𝟎
𝒊𝟏𝟗
𝒊𝟏𝟐𝟖𝟕
𝒊𝟓𝟗𝟒
𝒊𝟑𝟔𝟒𝟕
Examen #1A
• Definición de 𝑖
• Radicales negativos
• Potencias de 𝑖
Operaciones con números complejos