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Enero 2016
Laboratorio #1 Ecuaciones Cuadráticas I
I.- Resolver las ecuaciones siguientes usando el método Factorización.
5)
6)
7)
8)
1)
2)
3)
4)
6𝑥 2 + 11𝑥 = 10
4𝑦 2 + 30 = −29𝑦
8𝑥 2 + 19𝑥 − 27 = 0
60𝑦 2 − 35 = 85𝑦
II.- Resolver las ecuaciones siguientes usando el método Completando Cuadrados.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
III.- Resolver las ecuaciones siguientes usando el método de Formula General.
1)
2)
3)
4)
2𝑥 2 − 𝑥 − 3 = 0
3𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0
2𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0
𝑥+1
3𝑥+2
𝑥−2
= 2𝑥−3
5)
6)
IV.- Resolver las ecuaciones siguientes usando Cualquier método.
1)
2)
3)
16𝑥 2 − 9 = 0
9𝑥 2 + 4𝑥 = 0
5
𝑥2
−
10
𝑥
+2=0
4)
5)
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Laboratorio #2 Ecuaciones Cuadráticas II
I.- Calcular el discriminante para determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación dada. Hallar
la suma y el producto de las raíces.
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
II.- Obtener el valor(s) de 𝑘 de modo que la ecuación dada tenga raíces iguales.
1)
2)
3)
𝑘𝑥 2 + 8𝑥 + 4 = 0
𝑥 2 + 𝑘𝑥 + 8 = 𝑘
(𝑘 + 4)𝑥 2 − 1 = (2𝑘 + 2)𝑥 − 𝑘
III.- Construir la ecuación cuadrática con coeficientes enteros que tenga como raíces los números
indicados.
1)
3, 4
2)
1 + 𝑖, 1 − 𝑖
3)
2 + 3𝑖, 2 − 3𝑖
5⁄ , − 3⁄
4)
6
2
5)
1 + √5, 1 − √5
6)
√2, −√2
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Laboratorio # 3 Formas cuadráticas
I.- Resuelve las siguientes ecuaciones
1)
1
𝑥
3
2
+ 𝑥+1 = 3(𝑥 2 +𝑥)
11)
2)
5+
2
3−
1
4−𝑥
=
45
8
12)
3)
3−𝑥
1−𝑥
𝑥 2 −2
5−𝑥
− 7−𝑥 = 1 − 7−8𝑥+𝑥 2
4)
3𝑥 − 5 = 𝑥 + 2
5)
x 2 − 4x = 3 + 5−x2
13)
14)
2x
15)
16)
6)
17)
7)
18)
8)
19)
9)
20)
10)
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Laboratorio #4 Sistemas de ecuaciones cuadráticas
I.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
1)
𝑦 = 𝑥2 − 4
𝑦 = 2𝑥 − 1
2)
𝑥 + 2𝑦 = −1
2𝑥 − 3𝑦 = 12
2𝑦 − 5𝑥 − 1 = 0
6) 7𝑥 2 − 12𝑦 2 = −80
𝑥 + 6𝑦 = 20
3)
4)
3𝑥 − 4𝑦 = 25
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25
x 2 + y 2 = 16
2𝑦 − 𝑥 = 4
7) 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
2𝑥 + 3𝑦 = 1
5) 𝑥 2 − 2𝑦 + 3𝑥 + 2
II.- Resuelva.
1) Encuentre dos números enteros positivos cuya diferencia sea 4 y cuyos cuadrados difieran
en 88.
2) El perímetro de un rectángulo es 40 pulgadas y su área es 96 pulgadas cuadrados.
Encuentre el largo y el ancho.
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Laboratorio #5 Inducción Matemática
I.- Usar inducción matemática para demostrar las relaciones siguientes (n es un entero positivo).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Demostrar que
es divisible entre
8)
9)
10)
, es divisible por 6
, es divisible por 11
11)
12)
, es divisible por 9
1
1
1
1
𝑛
Demuestre que 1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + ⋯ + 𝑛(𝑛+1) = 𝑛+1 ∀𝑛𝜖𝑁
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Laboratorio #6 Teorema del binomio
I.- Usar el teorema del Binomio para efectuar el desarrollo indicado y simplificar cada resultado.
1)
5)
2)
6)
3)
7)
4)
8)
II.- Escribir y simplificar los 4 primeros términos del desarrollo dada.
1)
5)
2)
6)
3)
7)
4)
III.- Obtener solamente el término indicado de cada desarrollo.
1)
Término con
en
6)
Término con
2)
Décimo término de
7)
Sexto término de
3)
Término central de
8)
Término central de
4)
Término que contiene
9)
Décimo término de
5)
Término con
de
en
de
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Laboratorio #7 Introducción a la trigonometría
I.- Representar gráficamente los puntos dados, escribiendo sus coordenadas, indicar, el valor de la
abscisa, la ordenada y el radio vector; señalar el cuadrante en el cual está ubicado el punto.
1)
(0,-20)
2)
(5,-7)
3)
(15,3)
4)
(-4,5)
5)
(1,-1)
II.- Para el punto dado hallar ‘x’, ‘y’ o ‘r’, según sea el caso.
1)
(5, -17)
2)
(-9, y), r = 10
3)
4)
(x, 33), r = √122
(114, y), r = 806
6)
7)
8)
5)
, r=4,
6)
7)
, P
C. IV
III.- Dibujar el ángulo indicado. Determinar un par de ángulos coterminales uno positivo y otro
negativo.
1) 620°
5)
2) -150°
6)
5𝜋
3)
7)
6
−5𝜋
8)
4)
4
IV.- Hallar las seis funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado
terminal pasa por el punto dado.
1) (15, 17)
3)
(√3, 2)
8
1 3
2) (5 , −√7)
4)
(− , )
2 5
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Laboratorio #8 Funciones Trigonométricas I
I.- Hallar las funciones trigonométricas del ángulo
indicadas.
3
1)
𝑐𝑡𝑔𝜃 = 8 , 𝜃 ∈ 𝐶. 𝐼𝐼𝐼
que satisface las condiciones
5
2)
𝑡𝑔𝜃 = 11 , 𝜃𝜖𝐶. 𝐼
3)
𝑠𝑒𝑛𝜃 = − 15 , 𝜃𝜖𝐶. 𝐼𝑉
4)
𝑐𝑠𝑐𝜃 = − 7 , 𝜃𝜖𝐶. 𝐼𝐼
9
,
,
7)
7
5)
6)
en C. I
C. II
8)
C. III
en C. II
8
II.- Dado 𝑐𝑠𝑐𝜃 = 13, verifique que:
1)𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1
2) 1 + 𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
3) 1 + 𝑐𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
III.- Comprobar las proposiciones siguientes.
1)
(1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃)𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
2)
= 1 + sen 𝜃
1−𝑠𝑒𝑛𝜃
3)
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
1+𝑡𝑔2 𝜃
𝑡𝑔2 𝜃
5)
6)
7)
8)
= 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
4)
IV.- Hallar el valor exacto de la expresión dada.
𝜋
𝜋
1
1)
𝑐𝑠𝑐 ( 6 ) + 𝑡𝑔 ( 3 ) +
2)
𝑠𝑒𝑛2 ( 3 ) 𝑐𝑜𝑠 2 ( 4 ) 𝑐𝑠𝑐 2 (12)
𝜋
𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛( )
2
3)
𝜋
4)
4𝜋
)
3
3𝜋
𝑐𝑜𝑡( )
4
1+𝑐𝑜𝑠2 (
8𝜋
)
3
5𝜋
2
1+𝑐𝑜𝑡 ( )
4
[
1+𝑡𝑔2 (
9𝜋
] 𝑐𝑠𝑐 2 (12 )
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Laboratorio #9 Funciones Trigonométricas II
I.- Reducir las expresiones siguientes a una sola función del ángulo dado.
1)
𝑠𝑒𝑛2 𝜃(1 + 𝑡𝑎𝑛𝜃)
2)
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 + 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
3)
𝑐𝑠𝑐 2 𝜃(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)
4)
𝑡𝑎𝑛2 𝜃(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)
7)
8)
9)
5)
10)
6)
II.- Usando una sustitución adecuada, reducir la expresión a otra que contenga funciones
trigonométricas.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
(9 + 𝑥 2 )
1⁄
2;
7
−9⁄
3
(1+𝑥 2 )
6
;
(36−3𝑥 3 )
(4 −
sea = 3𝑠𝑒𝑛𝜃
; sea 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
7)
,
8)
,
sea 𝑥 = 12 cos 𝜃
1
𝑥) ⁄2 ;
9)
sea 𝑥 = 4𝑡𝑎𝑛𝜃
sea
10)
sea
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Laboratorio #10 Identidades trigonométricas
I.-
Verificar las identidades siguientes
1)
2)
cos 𝜃
1−sen 𝜃
sen 𝜃
1−cos 𝜃
− tan 𝜃 = sec 𝜃
=
7)
1+cos 𝜃
sen 𝜃
3) 𝑡𝑎𝑛2 𝜔 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜔 = 𝑠𝑒𝑛𝑒 𝜔 𝑠𝑒𝑛2 𝜔
4) 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 = 1
8)
5)
10)
9)
6)
II.- Reducir a un sólo término la expresión dada.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
III.- Calcular sen(𝛼 + 𝛽) y 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) si:
−8
7
1)
cot 𝛼 =
2)
cos 𝛼 = − 5 , 𝛼 𝑒𝑛 𝐶𝐼𝐼, 𝑡𝑎𝑛𝛽 = − 4 𝑒𝑛 𝐶𝐼𝑉
2
IV.- Si 𝑠𝑒𝑐𝜃 = −
1)
, 𝛼 𝑒𝑛 𝐶𝐼𝑉, 𝑠𝑒𝑛𝛽 = − 25 𝑒𝑛 𝛽𝐼𝐼𝐼
15
41
9
5
8
en CII y cos 𝛼 = 24 en CIV, hallar:
𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼)
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Laboratorio #11 Identidades trigonométricas
I.- Resuelve las ecuaciones siguientes considerando
.
1)
7)
2)
8)
3)
9)
4)
10)
5)
11)
6)
II.- Trazar dos periodos de la gráfica de la función dada.
1)
y=
3)
4)
2)
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Laboratorio #12 Números Complejos I
I.-Efectuar las operaciones indicadas y expresar cada resultado en la forma canónica
1)
2)
3)
4)
5)
(2𝑖 − 1)2
(−3𝑖)2
(3 + 2𝑖) + (5 + 6𝑖)
(16 + 10𝑖) − (8 + 3𝑖)
(2 − 𝑖)(1 − 𝑖)
7)
8)
9)
10)
11)
6)
II.- Simplificar las siguientes expresiones y expresar cada resultado en la forma canónica
1)
2)
3)
4)
𝑖6
(1 − 𝑖)3
(𝑖 4 )4
𝑖5
5)
7)
8)
9)
10)
6)
III.- Calcular el valor de la expresión dada para el valor indicado de x.
1) 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1; 𝑥 = 1 + √5
2)
𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 + 1; 𝑥 = −1 + √3𝑖
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Laboratorio #13 Números Complejos II
I.- Escribir en forma polar los números complejos siguientes:
1)
2)
3)
4)
1 − 6𝑖
10 + 5𝑖
16𝑖
40 + 51𝑖
5)
-2
6)
7)
8)
9)
10)
II.- Usar el Teorema de De Moivre para calcular la potencia indicada.
1)
(−8 + 8√3𝑖)
2)
(2 + 3𝑖)
3
6
8
3)
(2i)12
4)
(
5)
(−2√3 − 2√3𝑖)
1
√2
−
1
√6
4
𝑖)
7
6)
III.- Usar el teorema de De Moivre para obtener las raíces indicadas y representarlas gráficamente.
1)
2)
3)
4)
5)
Las 4 raíces de 𝑖
Las raíces cuartas de 𝑖 3
Las 3 raíces de 8
Hallar las 6 raíces sextas de: (2 + 𝑖)
Hallar las 4 raíces cuartas de: (16 − 8𝑖)
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Laboratorio #14 Progresión Aritmética
I.- Escribir los 5 primeros términos de una progresión aritmética para la cual:
1)
a1 = 1, d = 3
2)
a1 = 16, d = 32
3)
a1 = x − y, d = x + y
4)
a1 = x − 2, 𝑑 = 3𝑥 + 2
II.- Determinar si las sucesiones siguientes forman o no una progresión aritmética.
1)
3, 8⁄3 , 7⁄3 , …
2)
3)
4)
−8 , − 13⁄2 , −5 , …
2𝑥 − 𝑦 , 3𝑥 , 4𝑥 + 𝑦 , …
−3 , −1 , 1 , …
III.- Resuelve los siguientes problemas
1)
Si a1 = 2 y d = 3. ¿Cuántos términos deben tomarse para que la suma sea 155?
2)
Si an = 8, d = −2 𝑦 𝑠𝑛 = 44, Halle a1 y n.
3)
Inserta 5 medias aritméticas entre -4 y 8.
4)
En una progresión aritmética a4 = 11 y a11 = 21. Calcular a1 y s15 .
5)
En una progresión aritmética a5 = 2 y a9 = −10. Obtener el séptimo termino.
6)
La suma de tres números en progresión aritmética es 21 y el producto del primero y
el tercero es 33. Hallar los números.
7)
Un programa de ejercicios recomienda hacer lagartijas en cada sesión de ejercicios.
Haga 5 la primera semana y luego aumente 3 por semana.
¿Cuántas lagartijas por sesión podrá realizar en la semana #27?.
Si usted continuara este programa durante un año, ejercitando 4 veces por semana
¿Cuántas lagartijas hizo?
a)
b)
8)
Encontrar la suma de los múltiplos de 8 entre 9 y 199.
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Laboratorio #15 Progresión Geométrica
I.- Determinar si las siguientes sucesiones definen o no una progresión geométrica.
−2
2
−2
1)
2 , 3 , 9 , 27 ⋯
2)
3)
4)
5)
4
9
𝑥
8
, − 27 ,
, 1,
2
2𝑥 −1
2
16
81
32
, − 243 ⋯
, 4𝑥 −2 ⋯
√5𝑥, 𝑥√15, 𝑥√45𝑥, 𝑥 2 √135 ⋯
22 , 32 , 42 , 52 ⋯
II.- Resuelva los siguientes ejercicios.
3
1)
El tercer término de una progresión geométrica es 3, y el séptimo término es 16.
Calcular la razón del primer término.
2)
El tercer término de una progresión geométrica es 9 y el sexto término es 243.
Encontrar el séptimo término y la suma de los primeros seis términos.
3)
Cuál es la suma de la progresión geométrica con 𝑎1 = 2, r=2 y n=10
4)
Una bomba para extracción de aire expulsa en cada movimiento la décima parte del
aire de un tanque. Calcular la fracción del volumen original de aire que queda en el
tanque al final de ocho movimientos.
5)
El primer término de una progresión geométrica es 8, y el segundo término es 4.
Calcule el quinto término.
6)
Calcule la suma parcial de la progresión geométrica con a = 5, r = 2, n = 6.
7)
Calcule la suma de la progresión geométrica infinita:
8)
9)
Insertar 5 medias geométricas entre 1 y 6.
Si
y
, hallar
y
10)
El segundo término de una progresión geométrica es -18 y el quinto término es
16/3. Calcular el sexto término y la suma de los 5 primeros términos.
11)
Interpolar 2 medias geométricas entre
y3
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Laboratorio #16 Progresión geométrica infinita
I.- Obtener la suma de la progresión geométrica infinita dada.
1)
3)
2)
, ...
250,-100,40,-16
4)
II.- Escribir la fracción común (simplificada) equivalente al decimal periódico infinito dado.
1)
2.4171717...
4)
0.636363...
2)
5.146146...
5)
7.9999....
3)
0.8333...
III.- Calcular la suma de la progresión geométrica infinita dada y determinar los valores de x para los
cuales es convergente.
3)
1)
4)
2)
IV. Resuelve los siguientes problemas.
1)
En la serie geométrica infinita 1+1/2+1/4+... , determina el número mínimo de
términos cuya suma difiere de 2 en menos de 0.001
2)
Hallar la suma de la progresión infinita
3)
Una pelota se arroja desde una altura 36 m. y cada vez que pega en el piso rebota
hasta una altura de dos tercios de la distancia recorrida por la pelota en el rebote
anterior.
Encontrar la distancia total recorrida por la pelota hasta que teóricamente queda en
reposo.
Laboratorio #17 Teoría de ecuaciones I
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I.- Usar el teorema del residuo para calcular el residuo de cada división.
1)
2)
3)
II.- Usar el teorema del factor para determinar si la primera expresión es factor de la
segunda.
1)
x- ;
2)
x-b;
3)
(
);
III.- Usar división sintética para obtener el cociente y el residuo de cada división.
1)
2)
3)
4)
IV.- Usar la regla de los signos de Descartes para determinar la naturaleza de las raíces de
la ecuación dada.
1)
2)
3)
4)
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Laboratorio #18 Teoría de Ecuaciones II
I.- Comprobar que la ecuación dada tiene como raíces los números indicados y obtener el resto
de las raíces.
1)
2)
3)
4)
5)
2+3i
3
-3
;
;
II.- Hallar las raíces racionales de la ecuación dada.
1)
2)
3)
4)
5)
III.- Factorizar el polinomio dado.
a) Sin restringir el campo de números
b) Los coeficientes deben ser reales
c) Usar coeficientes racionales
d) Con coeficientes enteros.
e) Trazar la gráfica correspondiente
1)
2)
3)
4)
5)
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