Download Por ejemplo

•Conceptos algebraicos
•Operaciones básicas de álgebra: Adición, Resta
o sustracción, Multiplicación, División
•Signos de agrupación
•Orden de las operaciones
• Es común en matemáticas que a las cantidades
que desconocemos, o los valores que varían, se
les representen con una letra.
• El carácter del álgebra considera las relaciones
entre cantidades, expresando tanto las
relaciones como las cantidades del modo más
general posible, usando una notación basada en
números, letras y signos.
• Los números se emplean para
representar cantidades conocidas.
• Las letras se emplean para representar
cantidades generalizadas, ya sean
determinadas (constantes) o no
determinadas (variables).
• De forma común las letras utilizadas son
minúsculas, utilizando para las constantes
las primeras letras del alfabeto, y para las
variables, las últimas.
• Los signos son de tres clases:
– De operación: +, -, x, ÷
– De relación: <, =, >
– De agrupación: ( ), [ ], { }
• A la combinación de números, letras y signos de
operación o de agrupación se le llama
expresión algebraica. Por ejemplo:
3t
2x + 3(x – y)
• Por otro lado, el término algebraico es una
expresión algebraica que puede ser un número
específico, una literal, o una combinación de
ellos mediante operaciones de multiplicación,
división o extracción de raíz.
• Es decir, es una expresión algebraica que
consta de un solo símbolo, o de varios
símbolos no separados entre sí por los
signos de suma (+) o resta (-).
• Los términos pueden ser enteros y
fraccionarios. Un término entero es el
que carece de denominador con literales.
El término fraccionario es el que tiene
denominador con literales como 6
x
• Un término algebraico consta de factor numérico
y parte literal.
• El factor numérico es el número real que
multiplica a la parte literal.
• La parte literal las forman las letras o factores
literales que haya en el término, incluyendo sus
exponentes, ya que estos únicamente indican el
número de veces que la literal afectada se repite
como factor.
• Los términos algebraicos que tienen la
misma parte literal reciben el nombre de
términos semejantes; por ejemplo:
5
5
• 4ab , -5ab y ab , son términos
5
8
semejantes, en cambio 4ab y -4ab no lo
son.
5
• Por otra parte, cualquier factor de un término
algebraico se llama coeficiente de los demás
factores. En particular llamaremos coeficiente
numérico del término al factor numérico del
término, incluyendo su signo.
• Cuando el coeficiente numérico es 1 o -1 se
escribe sólo el signo del mismo precediendo a la
parte literal; por ejemplo, en el término –ax el
coeficiente numérico es -1.
• Una característica importante del término algebraico
es su grado.
• El grado de un término puede ser de dos clases:
absoluto y con relación a una letra.
• El grado absoluto de un término es la suma de los
exponentes de sus factores literales.
3
• Por ejemplo: el grado absoluto de -8ab es 4, ya que
el exponente de a es 1 y de b es 3, por lo que la
suma es 4.
• El grado de un término en relación a una
letra es el exponente de dicha letra.
• Por ejemplo, el término -8ab es de grado 1
con respecto a la letra a y de grado 3 con
respecto a la letra b.
3
• Las expresiones algebraicas se clasifican,
de acuerdo con el número de términos
que contienen, en monomios y polinomios.
• Monomio es la expresión algebraica que
consta de un solo término, como 5ab
• Polinomio es la expresión algebraica que
consta de más de un término, por ejemplo:
7x + 2y
• Cuando el polinomio consta de dos
términos recibe el nombre de binomio,
como 3x + 6y.
• Si el polinomio tiene tres términos, recibe
el nombre de trinomio, como 9a + 3b – 5c
• Por otra parte, el grado de un polinomio
puede ser de dos clase: absoluto y en
relación a una letra.
• El grado absoluto de un polinomio es el
grado de su término de mayor grado, por
2
5
ejemplo en 5ax + 3ax es 6, ya que el
grado del primer término es 3 y el del
segundo 6, por lo que el mayor es 6.
• El grado con 2relación
a una letra de un
5
polinomio es el mayor exponente de
dicha letra en el polinomio, así, en el
polinomio 5ax + 3ax el grado es 1 con
respecto a la letra a y 5 con respecto a la
letra x.
• Un polinomio esta ordenado cuando los
exponentes respecto a una letra escogida,
llamada letra ordenatriz, van aumentando o
disminuyendo.
• Si los exponentes de dicha letra van
aumentando, el polinomio esta ordenado en
forma ascendente.
3
5
• Por ejemplo: el polinomio ax + 4yx + 3ax –
13bx,6 está ordenado en forma ascendente con
respecto a la letra x.
• Si los exponentes de la letra ordenatriz
van disminuyendo, el polinomio está
ordenado en forma descendente.
5
• Por ejemplo: el polinomio yx – 3x + 7ax –
x, está ordenado en forma descendente
con respecto a la letra x.
8
2
• La adición es una operación cuya finalidad
es unir dos o más expresiones algebraicas
llamadas sumandos, en una sola
expresión llamada suma.
• En el lenguaje común esta operación
puede indicarse con diferentes palabras:
aumentar, sumar, añadir, incrementar,
más, exceder.
•
•
•
•
Al decir:
Un número x
aumentado en 3
A una edad n
súmale 4
Añade 5 a un
número t
Una cantidad c
excedida en 8
Se escribe:
• x+3
• n+4
• t+5
• c+8
1. Unicidad: La suma de dos o más
números es única. Por ejemplo: la suma
de 2 y 6 siempre es 8.
2. Conmutativa: El orden de los sumandos
no altera la suma. Por ejemplo 2 + 6= 6 +
2= 8.
3. Asociativa: En la suma de tres o más números los
sumandos pueden agruparse de cualquier modo,
obteniendo el mismo resultado. Por ejemplo:
3+4+5= (3+4)+5= 3+(4+5)= (3+5)+4=12
4. Aditiva del cero: Al sumar cero con cualquier
número se obtiene el mismo número. Por ejemplo:
6 + 0= 6.
• Al cero se le llama elemento neutro de la adición
• La sustracción o resta es la operación que
consiste en hallar la diferencia entre dos o
más cantidades.
• La cantidad que se sustrae se llama
sustraendo, la otra cantidad recibe el
nombre de minuendo, y al resultado de la
sustracción se le denomina diferencia o
resto.
• Para efectuar la resta se sustituye el sustraendo
por su opuesto y después se suma con el
minuendo.
• El opuesto o inverso aditivo de un número es
el mismo número, tomado con el signo contrario
al que originalmente presenta. Por ejemplo: el
opuesto de 8 es -8, y el opuesto de -125 es 125.
• En el lenguaje común la operación de
sustracción puede indicarse con diferentes
palabras; diferencia, menos, disminuir, menos
que, menor en.
•
•
•
•
Al decir:
La diferencia cuando a
un número x se les
resta 10.
De 4 resta un número
n
El número x
disminuido en 20
Disminuir 85 de 47
Se escribe_
• x – 10
• 4–n
• X - 20
• 47 - 85
• La multiplicación es una operación, donde
dadas dos cantidades llamadas factores, se
halla una tercera cantidad llamada producto.
• Los símbolos para indicar la multiplicación
son: x, ( ), ., cuando los factores son literales
se emplean los dos últimos símbolos o bien
ninguno. Por ejemplo: ab= (a) (b)= a . b
•
1. Unicidad: El producto de dos o más factores
es único. Por ejemplo: el producto de 5 y 4
siempre es 20.
2. Conmutativa: El orden de los factores no altera
el producto. Por ejemplo: (6)(8)= (8)(6)= 48
3. Asociativa: En la multiplicación de tres o
más cantidades, los factores pueden
agruparse de cualquier modo, obteniéndose
el mismo resultado. Por ejemplo: (2)(3)(5)=
(2.3)(5)=(2)(3.5)= (2.5)(3)=30
4. Distributiva: El producto de una cantidad
por la suma de otras dos es igual a la suma
de los productos de la primera cantidad por
cada una de las otras dos. Por ejemplo: 5 .
(4+6)= (5.4)+(5.6)= 20 + 30=50
5. Neutro Multiplicativo: El producto de
cualquier cantidad por uno es la misma
cantidad.
6. Multiplicación por cero: El producto de
cualquier cantidad por cero es cero.
7. Producto Nulo: Si el producto de dos o
más cantidades es cero, por lo menos una
de ellas es cero. Así, si ab= 0, entonces:
a=0 o b=0, o bien a=b=0.
1. El producto de dos cantidades del mismo
signo es positivo. Por ejemplo: (+)(+)= +,
(-)(-)= +
2. El producto de dos cantidades de
diferente signo es negativo. Por ejemplo:
(+)(-)= -, (-)(+)= -
3. El signo del producto de varios factores
es positivo cuando tiene un número par de
factores negativos o ninguno. Por ejemplo:
(4)(7)(6), (-3)(5)(-7)(3), (-3)(-4)(-7)(-5).
4. El signo del producto de varios factores
es negativo cuando tiene un número impar
de factores negativos. Por ejemplo:
(2)(-8)(3), (-4)(-3)(-9)
• Es común en álgebra utilizar los signos de
agrupación para indicar con mayor
claridad las operaciones que se efectúan.
• Los paréntesis se llaman signos de
agrupación porque se usan para encerrar
o incluir una expresión que representa un
número en particular, es decir, para
considerar dicha expresión como un todo.
• Algunas expresiones algebraicas pueden
necesitar dos o más conjuntos de
paréntesis para indicar las operaciones
necesarias.
• Por tal razón además de paréntesis
ordinarios ( ), se utilizan corchetes [ ] y
llaves { }, para lograr mayor claridad.
• La división es la operación inversa de la
multiplicación.
• El producto del cociente por el divisor es el
dividendo, si la división es exacta.
• En caso de que la división no sea exacta, al
producto del cociente por el divisor se le
añade el resto o residuo de la división para
obtener el dividendo.
10
250 m
2500 m
0
• En el lenguaje común, la división puede
indicarse con diferentes palabras: entre,
dividido por, cociente o razón.
•
•
•
•
Al decir:
Un número x entre
5
El cociente de 8 y b
La razón de dos
números x y z
El doble del número
x dividido entre 9
Se escribe:
• x/8
• 8/b
• x/z
• 2x/9
• Cuando se dividen expresiones
algebraicas, puede ocurrir alguno de los
siguientes casos: monomio entre
monomio, polinomio entre monomio, y
polinomio entre polinomio.
1. Para dividir dos monomios se dividen sus
coeficientes y cada una de sus literales
iguales.
2. Para dividir un polinomio entre un
monomio se divide cada uno de los
términos del polinomio entre el monomio,
escribiendo los cocientes como una sola
expresión.
3. Para dividir un polinomio entre otro
polinomio se procede de manera
semejante a la división aritmética, pero
siguiendo una serie de pasos.
a. Se ordenan el dividendo y el divisor en relación
con una misma letra en forma descendente.
b. Se divide le primer término del dividendo entre
el primero del divisor, para obtener el primer
término del cociente.
c. El primer término del cociente se multiplica por
todo el divisor y el producto se resta del
dividendo.
d. Si en el paso anterior se obtuvo un resto
cuya literal, con respecto a la que se
ordenó, sea del mismo grado o mayor que
el grado de la del divisor, se divide el
primer término del resto entre el primer
término del divisor, para obtener el
segundo término del cociente.
e.
e. El segundo término del cociente se
multiplica por todo el divisor y el producto
se resta del resto obtenido en el paso c.
f. El procedimiento continua hasta obtener
en el resto cero o una expresión cuyo
grado sea menor que el del divisor.
• En el lenguaje matemático son
importantes los signos de operación y de
agrupación para darle exactitud y claridad
a las proposiciones.
• Es por eso que se tiene establecido un
orden en las operaciones, para evitar
ambigüedades.
1. Primero se debe simplificar la expresión
dentro de los signos de agrupación,
comenzando con los más interiores.
2. Luego se realizan las multiplicaciones y
divisiones en el orden que aparezcan a
partir de la izquierda.
3. Finalmente se efectúan las sumas
algebraicas.