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I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química TRABAJO Y ENERGÍA - RESUMEN 1º. El trabajo realizado por una fuerza constante es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento: W F r es decir, se puede obtener como el producto de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento y el desplazamiento producido, luego: W F cos r Fr r donde Fr es la componente de la fuerza en la dirección del movimiento. WF. conservativa Ep Es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un sistema es igual a la disminución de energía potencial del sistema. Por lo tanto, el trabajo que realizan las fuerzas conservativas se realiza a costa de su energía potencial asociada. 8º. El valor absoluto de la energía potencial carece de importancia. Sólo interesan los cambios de energía potencial. 9º. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m a una altura y por encima del nivel de referencia es: 2º. Si la fuerza es variable, entonces el trabajo que realiza vendrá dado por: W r2 r 1 x2 y2 z2 F dr Fx dx Fy dy Fz dz x 1 y 1 z 1 3º. El trabajo total realizado por varias fuerzas es igual al trabajo que realiza la fuerza resultante de ellas. 4º. Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula depende sólo de las posiciones inicial y final, no dependiendo del camino seguido. Por lo tanto, una fuerza será conservativa si realiza un trabajo nulo al recorrer una trayectoria cerrada. Son fuerzas conservativas, por ejemplo, la gravitatoria, la eléctrica, la elástica, etc. 5º. El trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética que experimenta (Teorema trabajoenergía o Teorema de las fuerzas vivas). WTotal E c 1 1 mv 22 mv 12 2 2 6º. La unidad en el S.I. del trabajo y de la energía es el julio (J). Ep (grav) mgy Esto es válido para alturas pequeñas sobre la superficie terrestre donde consideramos que “g” permanece constante. La energía potencial elástica de un muelle, de constante elástica K, cuando se alarga o se contrae una distancia x desde el equilibrio viene dada por: Ep (elástica) 1 2 kx 2 10º. Si sobre un cuerpo sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y potencial, es decir, la energía mecánica permanece constante. Esta es la ley de conservación de la energía mecánica. Em Ec Ep cte 11º. El trabajo realizado por una fuerza no conservativa actuando sobre una partícula es igual a la variación de la energía mecánica total del sistema: Wno conservativas Em 7º. La energía potencial de un sistema es la energía asociada con la configuración del mismo. La variación en la energía potencial de un sistema se define como el valor negativo del trabajo realizado por una fuerza conservativa que actúa sobre el sistema: Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 1 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química TRABAJO Y ENERGÍA - COMPLEMENTOS 1. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA ELÁSTICA. Como ejemplo de trabajo realizado por una fuerza variable tenemos el trabajo realizado por la fuerza elástica de un resorte o muelle. producido. Por eso, puesto que la fuerza del resorte siempre actúa tendiendo a llevar al cuerpo hacia la posición de equilibrio, recibe también el nombre de “fuerza recuperadora”. Si se produce un desplazamiento arbitrario del bloque desde la posición 1 a la 2, el trabajo realizado por la fuerza elástica es: W x2 x (kx)dx k 1 x2 x xdx 1 1 2 1 2 kx kx 2 1 2 2 Es decir, el trabajo realizado por la fuerza elástica depende sólo de los puntos inicial y final, por lo tanto, la fuerza elástica es una fuerza conservativa. X=0 F X>0 F< 0 2. ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA X F X<0 F> 0 Como hemos visto el trabajo que realiza un muelle cuando pasa de una posición x1 a otra x2 es: X W Sea el caso de un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal y lisa que está conectado a un resorte helicoidal. Si el resorte se estira o se comprime una pequeña longitud respecto de su posición de equilibrio, se ejerce sobre el cuerpo una fuerza elástica, por parte del resorte, que viene dada por la ley de Hooke: Fk x El signo “-“ nos indica que la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo tiene siempre sentido contrario al desplazamiento 2 kx 22 2 y, por lo tanto, la fuerza elástica será conservativa. Por lo tanto, al ser una fuerza conservativa se puede definir una función Energía Potencia Elástica de tal forma que el trabajo realizado por la fuerza conservativa elástica equivale, de nuevo, a la variación negativa de la energía potencia elástica: W donde “x” es el desplazamiento del cuerpo con respecto a la posición de equilibrio. Es positivo cuando se encuentra a la derecha de x=0, y negativo cuando se encuentra a la izquierda de esta posición. “K” es la constante elástica del muelle. Los muelles rígidos tienen grandes valores de k, mientras que los “suaves” o fácilmente deformables tienen valores pequeños. kx12 kx12 2 kx 22 2 E pe (1) E pe (2) E pe Así, si a partir de la posición de equilibrio (x=0) ejercemos una fuerza F sobre el bloque, el muelle se comprimirá una distancia “x” determinada. El trabajo realizado sobre el muelle queda almacenado en este en forma de energía potencial elástica. Cuando el bloque se libera, el muelle realiza un trabajo positivo sobre él, transformándose la Energía Potencial elástica en energía Cinética del bloque. Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 2 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química El nivel cero de energía potencia elástica es aquel en el que el muelle está en la posición de equilibrio (x=0). 3. CONSIDERACIONES ENERGÍA POTENCIAL SOBRE LA 1ª. La Energía Potencial es una energía de configuración. Nos hemos referido a la energía potencial de una partícula sometida a una fuerza conservativa como si esa energía potencial estuviese almacenada en la partícula, es decir, como si dicha energía estuviese exclusivamente ligada a la partícula a través de la posición que ocupa. Esto es, sin embargo, una forma simplificada de enfocar la cuestión ya que la Energía Potencial es una propiedad de un sistema de partículas, considerado como un todo, que interaccionan entre sí. Estrictamente hablando, la energía potencia depende tanto de las coordenadas de la partícula considerada como de las coordenadas de todas las demás partículas que constituyen su “medio ambiente”. Esto es, la energía potencial no debe asignarse a ningún cuerpo o partícula concreta, sino que debe de considerarse como algo perteneciente a todo el sistema en su conjunto, es decir, a todas las partículas interactuantes. Veamos algunos ejemplos. Consideremos una piedra situada a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Podemos afirmar que “la piedra posee una cierta energía potencial mgh”, por cuanto que posee, en virtud de su posición, una cierta capacidad para realizar trabajo. Un poco de reflexión nos descubrirá que debemos considerar ese energía potencial como una propiedad del sistema piedra-tierra en su conjunto; es la posición relativa entre las partes la que determina su energía potencial. La energía potencial es mayor cuanto más separadas están dichas partes. Supongamos que abandonamos el sistema; las partes se aproximan y disminuye la energía potencial del conjunto. Durante esa “desaparición” de energía potencial se realiza un trabajo por parte de las fuerzas gravitatorias y se va incrementando la energía cinética del sistema. La piedra “cae” hacia la Tierra, pero la Tierra “también cae” hacia la piedra. La Tierra adquiere pues una cierta aceleración, muy pequeña dada la enorme desproporción de masas. Como el cambio de rapidez de la Tierra es sumamente pequeño, su incremento de energía cinética es despreciable en comparación al de la piedra que “cae”, por lo que se identifica la energía cinética del Sistema con la energía cinética de la piedra. Además, como la configuración del sistema piedra-Tierra viene expresado en función de la posición (h) de la piedra con respecto a la Tierra, hablamos de la Energía Potencial del Sistema PiedraTierra como Energía potencial “mgh” de la piedra. Esta es la razón por la que solemos afirmar: La energía potencial mgh que pierde la piedra durante la caída se invierte en aumentar su energía cinética. Sin embargo, esta afirmación, expresada de manera correcta sería: “ La Energía Potencial mgh de interacción entre la piedra y la Tierra, cuando aquella se encuentra a una altura h, se transforma durante su caída en Energía Cinética del Sistema “ La energía potencial no existe para un cuerpo o partícula aislada. 2ª. La Energía Potencial no tiene carácter absoluto. Observese que la ecuación de definición de la energía potencial, WF. conservativa Ep , sólo permite calcular diferencias de energía potencial. Dicho de otra manera, el valor de la energía potencia en un punto B, Ep(B), sólo estará definido si conocemos el valor de Ep(A), pues entonces: Ep (B) Ep ( A) WF. conservativa Esto es, la energía potencial, al contrario que la energía cinética, no tiene carácter absoluto, ya que sólo podemos calcular “la diferencia de energía potenciales correspondientes a dos posiciones dadas de la partícula”; sólo la diferencia Ep(B) - Ep(A) tiene siempre un significado físico. Debido a esto, no podemos calcular la energía potencial en valor absoluto; todo lo más que podemos hacer es definir la diferencia de energía potencial de la partícula, para dos posiciones dadas, como “el trabajo que realiza Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 3 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química la fuerza conservativa, cambiado de signo, en un desplazamiento de la partícula entre esas dos posiciones”. Sin embargo, podemos dar un significado a la energía potencial en B haciendo que el punto A sea un punto de referencia conveniente al que le asignamos un valor arbitrario de energía potencial, ordinariamente igual a cero. Entonces: 4. DIFERENCIAS ENTRE LA ENERGÍA POTENCIAL Y LA ENERGÍA CINÉTICA 1ª. Las fuerzas que intervienen en la ecuación de definición de la energía potencial son sólo las fuerzas conservativas. Comparando la ecuación de definición de la energía potencial, WF. conservativa Ep con la ecuación: Ep (B) Ep ( A ) WF. conservativa W(Total ) Ec WF. conservativa Conviene dejar claro que cualquier punto o nivel de referencia cómodo es igualmente válido. Lo que importa físicamente es el cambio en la Energía Potencial, porque es lo que se relaciona con el trabajo efectuado. Así, por ejemplo, considerar “mgh” como expresión de la energía potencial gravitatoria significa que hemos fijado arbitrariamente un “valor cero” de energía potencial para una altura h=0. Se suele considerar como cero la energía potencial en el suelo donde estamos llevando a cabo el experimento. Sin embargo, es preciso insistir en que éste es un criterio totalmente arbitrario, pues si el suelo se hundiera, por ejemplo, el objeto seguiría cayendo. que expresa el Teorema Trabajo-Energía Cinética, conviene hacer notar que esta última expresión es válida cualquiera que sea la fuerza F de que se trate, siempre que F sea la fuerza resultante, aunque no sea una fuerza conservativa. Sin embargo, la ecuación que se utiliza para definir la Ep sólo es valida para fuerzas conservativas. 2ª. La expresión que da el valor de la Energía Potencial es diferente según la fuerza conservativa que se trate. 3ª. La Energía Potencial puede ser positiva o negativa. En tanto que la energía cinética de una partícula viene expresada siempre por la 1 fórmula mv 2 , no ocurre lo mismo con la 2 energía potencial. A cada fuerza conservativa podemos asociarle una energía potencial, que viene expresada por una ecuación distinta de acuerdo con la naturaleza de la fuerza, y que recibe distintos calificativos, tales como: energía potencial gravitatoria, energía potencial elástica, etc. No existe una fórmula única para expresar la energía potencial. Todo depende referencia elegido. 3ª. La energía potencial no puede conocerse en valor absoluto. Asimismo, para la energía potencial elástica se suele tomar como “nivel cero” a la posición de equilibrio del muelle. del nivel cero de 4ª. La Energía Potencia está asociada a fuerzas conservativas. En el caso de que la fuerza no sea conservativa, el trabajo que realiza en su desplazamiento desde A hasta B dependerá del camino que siga la partícula y, al no ser dicho trabajo función exclusiva de la posición inicial y final de la partícula, no existirá una función energía potencial asociada a la fuerza no conservativa. Por ejemplo, no existe ninguna energía potencial asociada a la fuerza de rozamiento. Al contrario de lo que ocurre con la energía cinética, en la determinación de la energía potencial interviene una constante arbitraria (nivel cero). Esto no supone ningún inconveniente, ya que lo que está relacionado con el trabajo efectuado por las fuerzas no es la energía potencial sino sus variaciones, y éstas tienen siempre el mismo valor cualquiera que sea el nivel de referencia elegido. 4ª. La energía potencial puede tomar valores negativos. Mientras que la energía cinética es siempre positiva. Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 4 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química TRABAJO Y ENERGÍA - EJERCICIOS 1. Un cuerpo se desplaza horizontalmente 50 m bajo la acción de una fuerza constante de 100 N. Determinar el trabajo realizado por dicha fuerza si: a) Actúa horizontalmente en el sentido del movimiento. b) Forma un ángulo de 60º con la horizontal. c) Actúa perpendicularmente. d) Forma 150º con la dirección del desplazamiento. F N FT FN Froz α P α=30º F es la fuerza paralela al plano de valor 15 N y Froz es la fuerza de rozamiento cuyo valor será: Al ser constante la fuerza, el trabajo lo podremos calcular de la forma: Froz FN 0,2 16,97 N 3,39 N W F r F r cos Como el cuerpo asciende por el plano las fuerzas FN y N no realizarán trabajo ya que forman un ángulo de 90º con el desplazamiento. El trabajo de las demás fuerzas será: a) W F r cos 100 N 50 m cos 0º 5000 J b) W F r cos 100 N 50 m cos 60º 2500 J c) W F r cos 100 N 50 m cos 90º 0 J d) W F r cos 100 N 50 m cos150 º 4330 J W(F) 15 N 10 m cos 0º 150 J W(FT ) 9,8 N 10 m cos 180 º 98 J W(Froz ) 3,39 N 10 m cos180 º 33,9 J El trabajo total realizado será: --------------- 000 --------------- WTOTAL 150 J 98 J 33,9 J 18,1 J 2. Un cuerpo de 2 kg recorre un espacio de 10 m en ascenso por un plano inclinado 30º sobre la horizontal, obligado por una fuerza de 15 N paralela al plano. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano vale 0'2, calcula el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La situación sería la representada en la figura. En ella FT y FN son las componentes del peso cuyos valores son: FT mg sen 9,8 N FN mg cos 16,97 N --------------- 000 --------------- 3. Un cuerpo de 3 kg de masa experimenta un desplazamiento que viene dado por r 3 i j 2k m bajo la acción de una fuerza constante que vale F 10 i j 4k N . Determina: a) El trabajo realizado por la fuerza en ese desplazamiento. b) El valor de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. a) El trabajo realizado será: N es la reacción del plano y del mismo valor que FN Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 5 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química W F r (10 i j 4k ) (3 i j 2k ) J 30 1 8 23 J b) El trabajo se puede expresar en función de la componente Fr en la dirección del movimiento en la forma: W F cos r Fr r Y como el módulo del vector desplazamiento Δr es: r 9 1 4 3,74 m Tendremos que la componente de la fuerza en la dirección del movimiento será: Fr W 23 J 6,14 N r 3,74 m --------------- 000 --------------- 4. Calcula el trabajo realizado por la fuerza F 15 j N al trasladar una partícula desde el punto (0,0) hasta el punto (3,3) según las siguientes trayectorias: a) (0,0) . . . . . (0,3). . . . . (3,3) b) (0,0). . . . . .(3,0). . . . . (3,3) c) (0,0). . . . . .(3,3) Las trayectorias serían las representadas en la figura. B(0,3) C(3,3) a rOB (0 0) i (3 0) j 3 j rBC (3 0) i (3 3) j 3 i Luego el trabajo realizado será: W(O C) W(O B) W(B C) 15 j 3 j 15 j 3 i 45 0 J 45 J b) En este caso los vectores desplazamiento serán: rOA (3 0) i (0 0) j 3 i rAC (3 3) i (3 0) j 3 j Y el trabajo realizado sería: W(O C) W(O A ) W( A C) 15 j 3 i 15 j 3 j 0 45 J 45 J c) En este caso el vector desplazamiento será: rOC (3 0) i (3 0) j 3 i 3 j Y el trabajo será: W(O C) 15 j (3 i 3 j ) 0 45 J 45 J Como se puede observar en las tres trayectorias el trabajo realizado por la fuerza es el mismo, por lo tanto, se trataría de una fuerza conservativa. --------------- 000 --------------- c b O(0,0) A(3,0) a) En el primer caso la partícula va de O a B y a C. El trabajo realizado sería: W(O C) W(O B) W(B C) 5. Sobre una partícula actúa la fuerza F 6x 2 i 2y j . Calcular el trabajo que realiza cuando la partícula se desplaza desde el origen O hasta el punto P(1,1). En este caso se trata de una fuerza variable ya que su valor depende en todo momento de las coordenadas (x,y) en las que se encuentre la partícula. Por lo tanto, para calcularlo tendremos que utilizar la expresión: Los vectores desplazamiento en cada uno de estos trayectos son: Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 6 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA W r2 r Dpto. Física y Química F dr Froz N (Fy P) 489 N 1 Que en nuestro caso será: W W P O (6x 2 i 2y j ) (dx i dy j ) 1 0 6x 2 dx 1 1 1 2y dy 2x 3 0 y 2 0 3 J 0 --------------- 000 --------------- Como la componente Fy es perpendicular al desplazamiento no realizará trabajo. Lo mismo ocurre con la fuerza Peso y con la reacción del plano N. El trabajo de la fuerza F es debido exclusivamente a la componente Fx, luego: W (F) W (Fx ) 1125 ,83 N 6 m cos 0º 6754 ,98 J El trabajo de la fuerza de rozamiento será: W(Froz ) 489 N 6 m cos 180 º 2934 J 6. Un bloque de 100 kg es empujado una distancia de 6 m sobre un piso horizontal, mediante una fuerza de 1300 N que forma un ángulo de 30º hacia abajo con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso es de 0'3. Calcular: a) El trabajo que realiza cada una de las fuerzas. b) Comprueba que el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque es igual al trabajo de la fuerza resultante que actúa sobre él. Y el trabajo total será: WTOTAL 6754,98 J 2934 J 3820,98 J b) Calculamos primero la fuerza resultante de todas las que actúan sobre el cuerpo. Como N neutraliza a las fuerzas P y Fy, la resultante sobre el cuerpo será: FR Fx Froz 1125 ,83 N 489 N 636,83 N Y el trabajo que realiza esta fuerza resultante será: a) La situación sería la siguiente: W(FR ) 636,83 N 6 m cos 0º 3820,98 J N Froz Donde se comprueba que el trabajo de todas las fuerzas es igual al trabajo de la fuerza resultante de ellas. α=30º P F --------------- 000 --------------- Si descomponemos la fuerza F en sus componentes perpendiculares tendremos: N=P+Fy Fx Froz α P Fy F Cuyos valores serán: Fx F cos 1125 ,83 N Fy F sen 650 N 7. Un resorte de constante elástica 80 N/m se comprime una longitud de 3 cm, a partir del equilibrio, sobre una superficie lisa y horizontal. Calcular el trabajo realizado por el resorte cuando el bloque pasa de la posición x1= - 3 cm hasta su posición no deformada. La fuerza que ejerce el muelle viene dada por F kx y es, por lo tanto, una fuerza variable, ya que su valor depende en todo momento de la posición x. El trabajo que realiza al descomprimirse desde la posición inicial (x1=-0,03 m) hasta la posición final (x2=0 m) será: El valor de la fuerza de rozamiento será: Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 7 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química N x2 W ( kx )dx k xdx 80 x1 0,03 m 2 x2 0 2 0,036 J 0,03 N 80 0 m 2 0 0,03 8. Calcula el trabajo que realiza la fuerza al desplazar una F 3x i y j 2zk A(0,0,0) hasta el r2 r x2 y2 z2 F dr Fx dx Fy dy Fz dz x 1 y 1 1 z 1 Que en nuestro caso tendremos que: 3 3x 2 W 3 x dx y dy 2z dz 0 0 0 2 0 3 1 y z2 2 0 2 1 2 0 negativa 0 20,4 2s necesaria para m s 10,2 ms 2 La fuerza resultante necesaria para producir esta aceleración será: FR ma 2 kg 10,2 ms 2 20,4 N Esta fuerza debe estar dirigida hacia arriba. Ahora bien: Al ser una fuerza variable su trabajo lo calcularemos de la forma: W La aceleración detenerlo será: v v0 a t --------------- 000 --------------- partícula desde el punto punto B(3, -1, 2). manera que le provoque una aceleración negativa para que pueda detenerlo (ver figura). 2 27 1 4 17 J 2 2 FR P F 2 kg 9,8 ms 2 F P FR 20,4 N 40 N b) Para calcular el trabajo debemos conocer previamente el espacio que recorre el cuerpo hasta que se detiene. Este será: s vo t a t2 2 20,4 ms 1 2 s 10,2 ms 4 s 2 2 2 20,4 m Por lo tanto, el trabajo que realiza la fuerza F que debemos ejercer será de: --------------- 000 --------------- W 40 N 20,4 m cos 180 º 816 J 9. Un cuerpo de 2 kg desciende en caída libre. a) ¿Qué fuerza constante es preciso aplicarle, en el instante en que su velocidad es de 20'4 m/s, para detenerlo en 2 s?. b) ¿Qué trabajo se realiza sobre el cuerpo desde que se aplica la fuerza hasta que se detiene?. El signo negativo del trabajo es debido a que la fuerza F que ejercemos tiene sentido contrario al movimiento del cuerpo. F>P P a) Si el cuerpo cae libremente es debido a que sobre él sólo actúa la fuerza peso que provoca que su velocidad vaya en aumento. Si queremos detenerlo es necesario aplicarle una fuerza hacia arriba y mayor que su peso de tal --------------- 000 --------------10. Una partícula de masa m está unida a un muelle cuyo comportamiento no sigue la ley de Hooke, ya que la fuerza que ejerce es, en función de la deformación x, F=-4x2 - 2x. Calcular el trabajo que es preciso realizar para deformarlo 6 cm. La fuerza F es variable ya que depende de la posición x en la que se encuentra el muelle con respecto a la posición de equilibrio. Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 8 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química La partícula pasa de la posición inicial, x 0= 0 m, hasta la posición final, x=0,06 m. El trabajo que realiza la fuerza elástica vendrá dado por: W x 0,06 x F dx 0 0 0,06 x2 0 0,06 x3 ( 4 x 2x ) dx 4 3 0 2 0,06 3 4 0 0,06 2 0 3 3,88 10 3 J La pérdida de energía será debido a la pérdida de energía potencial, es decir: Epg mg(h0 h) Este es el trabajo que realiza la fuerza debido al muelle. El trabajo que tendremos que realizar nosotros será el mismo pero de signo positivo. --------------- 000 --------------- 11. Una piedra de 2 kg atada al extremo de una cuerda de 0'5 m gira con una velocidad de 2 revoluciones por segundo. a) ¿Cuál es su energía cinética?. b) Calcular el valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre la piedra. c) ¿Qué trabajo realiza la fuerza centrípeta en una vuelta?. a) La velocidad angular en el S.I. será: 2 12. Si una masa de 10 g cae, sin velocidad inicial, desde una altura de 1 m y rebota hasta una altura máxima de 80 cm. ¿Qué cantidad de energía ha perdido?. (Universidad de Murcia, 1983). Sol: 0'0196 J. 0,01kg 9,8 ms 2 1m 0,8 m 0,0196 J --------------- 000 --------------- 13. Un trineo de 5 kg se desliza con una velocidad inicial de 4 m/s. Si el coeficiente de fricción entre el trineo y la nieve es de 0'14, determinar la distancia que recorrerá el trineo antes de detenerse. El trineo termina parándose debido a que en todo momento actúa sobre él la fuerza debido al rozamiento, que al ir en contra del movimiento le provocará una disminución de velocidad. La fuerza peso P se ve equilibrada por la reacción del plano N; estas fuerzas no afectan al movimiento del cuerpo. rev 2 rad 12,56 rad s 1 s 1rev vo=4 m/s Su velocidad lineal será: N=P v=0 Froz v r 12,56 rad s 1 0,5 m 6,28 ms 1 P Y su energía cinética: Ec 2 1 1 mv 2 2 kg 6,28 ms 1 39,43 J 2 2 b) La fuerza centrípeta será: Fc mv 2 157,75 N r Δx Si aplicamos el teorema trabajo-energía cinética analizaríamos la situación de la siguiente forma: inicialmente el cuerpo posee una energía cinética, como la única fuerza que actúa sobre el cuerpo, la Froz, realiza un trabajo negativo entonces su energía cinética irá disminuyendo (su velocidad disminuye) hasta que termina perdiendo toda la energía cinética que tenía al principio, parándose finalmente. c) Ninguno ya que en todo momento forma un ángulo de 90º con el desplazamiento. Aplicando el teorema trabajo-energía cinética tendremos que: --------------- 000 --------------- WTotal E c Y el trabajo total es debido al rozamiento ya que esta es la única fuerza que actúa, luego: WTOTAL Wroz Froz x cos Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 9 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química El valor de la fuerza de rozamiento será: Froz N P 0,14 5 kg 9,8 ms 2 6,86 N Para calcular la velocidad final aplicaremos el teorema trabajo-energía cinética calculando primero la energía cinética final y de aquí la velocidad final. Es decir: Luego el trabajo que realiza será: WTotal E c Wroz Froz x cos 6,86 x cos 180 º 6,86 x WTOTAL FTOTAL x F Froz x (F mg) x Donde Δx es el espacio que recorre hasta pararse y la incógnita que debemos calcular. (25 N 0,35 4 kg 9,8 ms 2 ) 3 m 33,84 J Ec Ec F Ec 0 Ec F 0 Ec F La variación de energía cinética será: 1 E c Ec F Ec 0 0 Ec 0 mv 02 2 2 1 5 kg 4 ms 1 40 J 2 Si igualamos el trabajo total y la variación de energía cinética podremos calcular la distancia que recorre hasta pararse. Es decir: WTotal E c x 6,86 x 40 40 5,83 m 6,86 Sobre la caja actúan dos fuerzas: la fuerza 1 mv F2 2 Ec F 33,84 J vF 2 Ec F m 2 33,84 J 4,11 ms 1 4 kg 15. Una muchacha de 55 kg se encuentra en el tercer piso de un edificio, que se encuentra 8 m por encima de la planta baja. ¿Cuál es la energía potencial del sistema muchacha-Tierra si: a) Si se elige como nivel de referencia igual a cero en la planta baja. b) Si se elige como nivel de referencia igual a cero en el segundo piso, que está 4 m por encima de la planta baja. a) En el primer caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 8 m, luego: Epg mgh 55 kg 9,8 ms 2 8 m 4,31 J N=P v? F=25 N P Ec F --------------- 000 --------------- 14. Una fuerza horizontal de 25 N se aplica a una caja de 4 kg, inicialmente en reposo sobre una mesa rugosa horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la mesa es 0'35. Determinar la velocidad de la caja después de haber sido empujada a lo largo de una distancia de 3 m. Froz WTotal Ec --------------- 000 --------------- vo=0 Por lo tanto: Δx=3 m b) En el segundo caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 4 m, luego: Epg mgh 55 kg 9,8 ms 2 4 m 2,15 J horizontal hacia la derecha y la fuerza de rozamiento hacia la izquierda. La primera favorece el movimiento y la de rozamiento va en contra de él. --------------- 000 --------------- La fuerza peso P y la reacción del plano se anulan y no realizan trabajo alguno. 16. Se empuja un bloque de 2 kg contra un muelle, cuya constante elástica es 500 N/m, comprimiéndolo 20 cm. ¿Cuánto vale la Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 10 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química energía potencial elástica del bloque en ese instante?. Epe viene v 1 2 1 kx 500 Nm 1 0,2 m2 10 J 2 2 --------------- 000 --------------- dada por la expresión 2m 2 m1 gh . Suponer m2 > m1. m1 m 2 La situación gráfica antes y después de caer sería la siguiente: m1< m2 17. Desde una altura de 200 m se deja caer una piedra de 5 kg. a) ¿Con qué velocidad llega al suelo?. b) ¿Cuánto valdrá su energía potencial en el punto más alto?. c) ¿Cuánto valdrá su energía cinética al llegar al suelo?. d) ¿Cuánto valdrá su velocidad en el punto medio de su recorrido?. Considerar g=10 m/s2 a) La velocidad al llegar al suelo, aplicando la ecuación del m.u.a. será: v 2gh 2 10 ms 2 200 m 63,24 ms 1 b) Epg 0 mgh 5 kg 10 ms 2 200 m 10 4 J c) Al no existir fuerzas no conservativas, la Epg arriba se transformará íntegramente en Ec en el suelo, luego Ec = 104 J. m1 P1 Epg 0 Epg(pm) Ec(pm) Donde pm indica “punto medio”. Por lo tanto: Ec(pm ) Epg 0 Epg(pm ) 10 4 J 5 kg 10 ms 2 100 m 5000 J v(pm ) 2 Ec(pm ) m 2 5000 J 44,72 ms 1 5 kg --------------- 000 --------------- 18. Dos bloques de masas m2 y m1 se encuentran unidos por una cuerda delgada que pasa por una polea ligera sin rozamiento. Demostrar que la velocidad de cada uno de los bloques cuando el más pesado de ellos desciende una distancia “h” h m2 h P2 v Epg=0 El sistema inicialmente está en reposo. Comienza a moverse ya que las fuerzas que actúan son P2 y P1 y, al ser P2>P1, el sistema se moverá hacia la derecha de forma acelerada ganando velocidad. Al estar unidos por una cuerda el cuerpo 1 subirá una distancia h cuando el cuerpo 2 descienda también una distancia h. Además los dos se moverán en cada momento con la misma velocidad. Como las únicas fuerzas que intervienen, los pesos de los cuerpos, son fuerzas conservativas se cumplirá el Principio de Conservación de la Energía Mecánica. Por lo tanto tendremos que: Em0 EmF d) Al conservarse la Em tendremos que: Em0 Em(pm) v Evaluaremos la energía mecánica inicial y final y las igualaremos. Para ello, consideramos como nivel cero de Epg el nivel al que se encuentran los cuerpos inicialmente. Energía mecánica inicial La energía cinética de ambos cuerpos será cero ya que están en reposo. La energía potencial gravitatoria será cero ya que ambos cuerpos se encuentran en el nivel cero elegido arbitrariamente. Luego: Em0 Ec 0 Epg 0 0 0 0 Energía mecánica final Como ambos cuerpos se mueven a la misma velocidad v, la energía cinética del sistema será: Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 11 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Ec F Dpto. Física y Química 1 1 1 m1 v 2 m 2 v 2 m1 m2 v 2 2 2 2 La Epg del cuerpo 1 será positiva ya que se encuentra por encima del nivel cero, mientras que la del cuerpo 2 será negativa al encontrarse por debajo del nivel cero. Luego: EpgF m1gh m2 gh m1 m2 gh Por lo tanto: conservará la Em y lo que ocurre es que la pérdida de energía potencial se traduce en ganancia de energía cinética. Por lo tanto, podremos escribir que: mgh 1 mv 2 2 v 2gh Para calcular h tendremos en cuenta que: L h h L L cos L 1m 1m cos 37 º 0,20 m cos EmF Ec F Epg F m1 m 2 gh 1 m1 m 2 v 2 2 Si aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica tendremos que: Em 0 EmF m1 m 2 gh 0 v 2gh 2 9,8 ms 2 0,2 m 1,97 ms 1 --------------- 000 --------------- 1 m1 m 2 v 2 2 1 m1 m2 v 2 m2 m1 gh 2 v Luego, la velocidad al pasar por la vertical será: 2m 2 m1 gh m1 m 2 20. Un proyectil de 2 g sale del cañón de un fusil a 300 m/s: a) Calcular la energía cinética del proyectil a la salida del cañón. b) Si la fuerza que actúa sobre el proyectil mientras está en el cañón es F = 360 - 720 x, determinar la longitud del cañón. a) Ec Al mismo resultado se hubiera llegado de haber elegido como nivel cero de Epg cualquier otra referencia. --------------- 000 --------------- 2 1 1 mv 2 0,002 kg 300 ms 1 90 J 2 2 b) Aplicaremos el teorema trabajo-energía cinética, es decir: WTOTAL WF Ec Ec F Ec 0 90 J 0 J 90 J 19. Calcular la velocidad de un péndulo de 1 m de longitud cuando pasa por la vertical, si se suelta desde una desviación de 37º. Para calcular el trabajo que realiza la fuerza F, al ser esta variable, tendremos que utilizar la expresión, siendo L la longitud del cañón: WF α L-h h 0 F dx 0 360 720 x dx 360x0 L L L L x2 720 360 L 360 L2 2 0 L h Cuando el péndulo cae desde una desviación hasta la vertical desciende una altura “h”, perdiendo Epg. En cambio, gana Ec al ir ganado velocidad. Como la única fuerza que actúa es el peso, fuerza conservativa, se Por lo tanto, tendremos: 90 360 L 360 L2 L 0,5 m --------------- 000 --------------- Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 12 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química 21. Un bloque de 0'5 kg de masa se encuentra en el extremo superior de un plano que está inclinado 45º respecto de la horizontal. En la parte inferior del plano existe un resorte de constante elástica k=400 N/m, inicialmente sin deformar. El bloque se encuentra a 3 m del extremo del resorte y está inicialmente en reposo. Al deslizar el bloque y entrar en contacto con el resorte lo comprime. Calcular la deformación máxima que sufre el resorte. cuerpo, suponiendo el nivel cero de Epg la base del plano. Al final sólo hay energía potencial elástica debido a la compresión del muelle. Al principio el cuerpo tiene Epg que, al descender se convierte en Ec y ésta se va convirtiendo en Epe al ir comprimiendo el muelle. Por lo tanto podremos poner que: Epg 0 Epe F x La situación gráfica inicial sería: mgh 1 2 kx 2 2 0,5 kg 9,8 ms 2 2,12 m 2mgh k 400 Nm 1 0,22 m v0=0 --------------- 000 --------------- 3m h 45º La altura vertical h a la que se encuentra el cuerpo será: 22. Un niño de masa 40 kg se desliza hacia abajo por un tobogán inclinado 30º. El coeficiente de fricción cinética entre el niño y el tobogán es 0'2. Si el niño parte del reposo desde el punto más alto del tobogán, a una altura de 4 m sobre el suelo. ¿Qué velocidad tiene al llegar al suelo?. h 3 m sen 45 º 2,12 m Debido a la fuerza peso del cuerpo este desciende por el plano ganando velocidad y, al final, al encontrarse con el muelle lo comprimirá, perdiendo velocidad, hasta que al final el cuerpo se para siendo en este caso la compresión del muelle máxima. La situación final sería: Las fuerzas que intervienen son las representadas en la figura, donde FT y FN son las componentes del peso. v0=0 Froz N x FT h=4 m FN v 30º h x v=0 El niño recorre una distancia x a lo largo del plano, distancia que valdrá: 45º donde x es la compresión máxima que experimenta el muelle. Si analizamos la situación desde el punto de vista trabajo-energía diremos que: sobre el cuerpo actúa inicialmente la fuerza peso y al entrar en contacto con el muelle la fuerza elástica, como ambas son fuerzas conservativas, se conservará la energía mecánica del sistema. Ahora bien, inicialmente sólo hay energía potencial gravitatoria debido a la situación del sen 30 º h x x h 4m 8m sen 30 º 0,5 En este caso, al existir fuerza de rozamiento, la Epg inicial no se transforma íntegramente en Ec al llegar al suelo ya que parte de la energía se pierde debido al rozamiento. Al existir una fuerza no conservativa, la Froz, no se mantendrá constante la Em, ahora bien, podremos poner que: Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 13 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química W(Fnc ) W(Froz ) Em Ahora bien: W (Froz ) Froz x cos 180 º mg cos x 0,2 40 kg 9,8 ms 2 cos 30 º8 m 543,12 J Si consideramos como nivel cero de Epg la base del plano tendremos: Em EmF Em 0 Ec F Epg 0 1 1 mv 2 mgh 40 v 2 40 9,8 4 2 2 20 v 2 1568 543,12 20 v 2 1568 1568 543,12 7,15 ms 1 20 v Se inicia con una velocidad v1 = 12 m/s para terminar parándose a una altura h, recorriendo una distancia x sobre el plano. W (Froz ) Froz x cos 180 º mg cos x 20 kg 9,8 ms 2 cos 30 ºx 169,74 x ya que tanto μ como x son desconocidos. Em EmF Em 0 EpgF Ec 0 mgh Por lo tanto: W (Froz ) Em Movimiento de subida --------------- 000 --------------- 23. Un bloque que tiene una masa de 20 kg comienza a ascender, por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal con una velocidad de 12 m/s. Al regresar el cuerpo pasa por el punto de partida con una velocidad de 6 m/s. Calcula el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano inclinado. 1 mv 12 20 kg 9,8 ms 2 x sen 30 º 2 1 20 kg 12 ms 1 2 2 98 x 1440 Por lo tanto: W(Froz ) Em 169,74 x 98 x 1440 Ecuación con dos incógnitas que no podremos resolver sin otra ecuación que las relacione. Por eso vamos a analizar el movimiento de bajada. Movimiento de bajada Se inicia con velocidad cero a una altura h para terminar en el suelo con una velocidad v2 = 6 m/s. W (Froz ) Froz x cos 180 º mg cos x 20 kg 9,8 ms 2 cos 30 ºx 169,74 x Em EmF Em0 Ec F Epg 0 W(Fnc ) W(Froz ) Em W(Froz ) Em 169,74 x 360 98 x Si comparamos las dos ecuaciones obtenidas en la subida y en la bajada tendremos que: v=0 98 x 1440 360 98 x h 2 1 1 mv 22 mgh 20 6 ms 1 2 2 20 9,8 x sen 30 º 360 98 x Al existir fuerza de rozamiento no se mantendrá constante la Em sino que deberemos emplear la ecuación: x x 9,18 m v1=12 m/s 30º v2=6 m/s Vamos a aplicarla al movimiento de subida y al de bajada. Suponemos que el cuerpo finalmente está a una altura “h” con respecto al suelo después de haber recorrido una distancia “x” sobre el plano inclinado. Y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos para el coeficiente de rozamiento el valor de μ = 0,34. --------------- 000 --------------- Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 14 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química 24. Un cuerpo de 20 kg se lanza por un plano inclinado 37º, con la velocidad de 20 m/s. Calcular la distancia que recorre hasta que se detiene: a) Si se desprecia el rozamiento. b) Considerando que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0'2. v 02 h F 2 g a m b) la velocidad con la que de partida es: mg Fa mg Fa v v0 a) Si llamamos h a la altura vertical que sube y x a la distancia que recorre sobre el plano tendremos que: a) Al existir fuerza de rozamiento tendremos que: W(Fnc ) W(Froz ) Em h sen 37 º x h x sen 37 º W(Froz ) Fa h Si no hay rozamiento se cumple el principio de conservación de la energía mecánica, luego: Em0 EmF Em EmF Em 0 EpgF Ec 0 mgh 2 1 20 kg 20 ms 1 2 20 kg 9,8 ms 2 x sen 37 º x 33,91m b) Al haber rozamiento tendremos que aplicar la ecuación: W(Fnc ) W(Froz ) Em W (Froz ) Froz x cos 180 º mg cos x 0,2 20 kg 9,8 ms 2 cos 37 ºx 31,3 x Fa h mgh hmg Fa 2 117,95 x 4000 1 mv 02 2 h v 02 2 mg Fa m h 1 mv 02 2 mv 02 2mg Fa del v 02 mg Fa 2 m m numerador al v 02 F 2 g a m Em EmF Em0 Ec F Epg 0 Lógicamente una distancia menor que en el primer caso al existir ahora rozamiento. 25. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial v0. Si el aire ejerce una fuerza de rozamiento constante Fa sobre la pelota, demostrar que: a) la altura h alcanzada por la pelota es: mgh Fa h W(Froz ) Fa h x 26,8 m --------------- 000 --------------- b) Si aplicamos el mismo razonamiento al movimiento de descenso, tendremos que: Igualando las dos ecuaciones tendremos que: 31,3 x 117,95 x 4000 1 mv 02 2 Pasando la masa m denominador tendremos: 1 mv 02 20 9,8 x sen 37 º 2 1 20 20 ms 1 2 1 mv 02 2 Por lo tanto: Em EmF Em0 EpgF Ec 0 mgh regresa al punto 1 mv 2 mgh 2 Fa h 1 mv 2 mgh 2 v 2mgh Fa h m 2hmg Fa m Si sustituimos h por la expresión obtenida en el apartado anterior y desarrollamos llegaremos a la ecuación pedida para v. --------------- 000 --------------- Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 15 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química alcanzará en la segunda rampa será también de 1 m. 26. Desde una torre de 40 m de altura se dispara un proyectil de 1 kg, formando un ángulo de 37º con la horizontal, con una velocidad de 120 m/s. Calcular la velocidad del proyectil cuando llega al suelo, por consideraciones energéticas, despreciando el rozamiento con el aire. b) Al existir rozamiento la altura que alcanzará será menor de 1 m ya que parte de la energía inicial se pierde. A El ángulo de inclinación no importa ya que al aplicar término energéticos sólo nos interesa el módulo de la velocidad. Al no existir rozamiento se cumple el principio de conservación de la energía mecánica. x 1m y 1m h β=53º α=37º v0=120 m/s El cuerpo desciende una distancia x en el primer plano que valdrá: sen 37 º h=40 m v Ec 0 Epg 0 Ec F 1 1 mv 02 mgh mv 2 2 2 sen 53 º v v 02 2gh 120 ms 1 2 1 2 v v 0 gh 2 2 1 2 x 1,66 m Desliza 1 m por el plano horizontal y asciende una distancia y por el plano vertical que valdrá: Si consideramos nivel cero de Epg al suelo tendremos que: Em0 EmF 1m x 2 9,8 ms 2 40 m h y y h 1,25 h sen 53 º Para calcular el trabajo que realiza el rozamiento habrá que hacerlo por separado en cada una de las superficies. Es decir: W(Froz ) W(Froz )1 W(Froz )2 W(Froz )3 123,22 ms 1 W (Froz )1 mg cos 37 ºx --------------- 000 --------------- 27. Desde el punto A de la figura se suelta un cuerpo. Calcular la altura que alcanza en la rampa de 53º: a) si no hay rozamiento. b) si hay rozamiento en todo el recorrido, siendo 0'1 el coeficiente de rozamiento. 0,1 m 9,8ms 2 cos 37 º1,66 m 1,3 m W (Froz ) 2 mg 1m 0,1 m 9,8ms 2 1m 0,98 m W (Froz )3 mg cos 53 ºy 0,1 m 9,8ms 2 cos 53 º1,25 h 0,73 m h Luego: A W (Froz ) 1,3 m 0,98 m 0,73 m h m(2,28 0,73 h) 1m 1m α=37º β=53º La variación de energía mecánica desde la posición inicial a la final será: a) Si no hay rozamiento se conserva la energía mecánica y, por lo tanto, la altura que Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 16 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química Em EmF Em 0 Epg F Epg 0 mgh mgh 0 m 9,8 ms 2 h m 9,8 ms 2 1m 9,8 m h 9,8 m 9,8 m(h 1) Igualando las dos ecuaciones tendremos: m(2,28 0,73 h) 9,8 m(h 1) 2,28 0,73 h 9,8 h 9,8 10,53 h 7,52 h 0,71 m Lógicamente, alcanzará una altura inferior a 1 m, debido a la pérdida de energía por rozamiento. extremo libre de un resorte, de masa despreciable y constante elástica k = 400 N m-1 , colocado horizontalmente. a) Analice las transformaciones de energía que tienen lugar desde un instante anterior al contacto del bloque con el resorte hasta que éste, tras comprimirse, recupera la longitud inicial. ¿Cómo se modificaría el balance energético anterior si existiera rozamiento entre el bloque y la superficie?. b) Calcule la compresión máxima del resorte y la velocidad del bloque en el instante de separarse del resorte, en el supuesto inicial de que no hay rozamiento. (Universidades Andaluzas, 1999) La situación gráfica sería la siguiente: --------------- 000 --------------- v0=10 m/s 1 28. Dejamos caer un cuerpo de 100 g sobre un muelle de K=400 N/m. La distancia entre el cuerpo y el muelle es de 5 m. Calcular la longitud x del muelle que se comprime. x v=0 La situación antes y después sería: 5m v Nivel 0 de Epg x Las fuerzas que intervienen, el peso y la fuerza elástica, son conservativas luego se conservará la Em. Es decir: Em 0 EmF mgh 0 Epg 0 Epe F EpgF 1 2 kx mgx 2 2 0,1 9,8 5 3 a) Inicialmente, en la posición 1, el bloque posee una energía cinética debido a su velocidad, suponiendo el nivel cero de Epg en el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo Ec pero el sistema va ganando Epe al ir comprimiéndose el muelle. Cuando el cuerpo pierde toda su Ec, posición 2, el muelle alcanza su máxima compresión, x, y , por lo tanto, su máxima Epe que al no existir rozamiento será igual a la Ec inicial del cuerpo antes de chocar con el muelle. Es decir, de la posición 1 a la 2 lo que ocurre es una transformación íntegra de Ec en Epe ya que la única fuerza que interviene, la fuerza elástica, es conservativa y la Em del sistema debe conservarse. --------------- 000 --------------- De la posición 2 a la 3 ocurre el proceso inverso. La Epe se convertirá íntegramente en Ec cuando el cuerpo abandone el contacto con el muelle. Por lo tanto, la velocidad del cuerpo al abandonar el muelle será de 10 m/s igual a la inicial ya que no ha habido pérdidas de energía. 29. Un bloque de 8 kg desliza por una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 10 m s-1 e incide sobre el Caso de existir rozamiento, parte de la Ec inicial se perderá por rozamiento de tal manera que la compresión x del muelle será menor a la anterior y ya no se cumplirá que la Ec inicial 1 400 x 2 0,1 9,8 x 2 200 x 2 0,98 x 4,9 0 x 0,15 m Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 17 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química sea igual a la Epe del muelle en su máxima compresión. En el siguiente proceso, de 2 a 3, ocurrirá también una pérdida de energía por rozamiento y, por lo tanto, la Epe no se convertirá íntegramente en Ec. Consecuencia de los dos procesos en que la Ec final del bloque será inferior a la Ec inicial, por lo tanto, el bloque abandonará el muelle con una velocidad inferior a 10 m/s. b) Al no existir rozamiento se conservará la energía mecánica. Si aplicamos esta condición desde la posición 1 a la 2 podremos calcular l máxima compresión del muelle: Em 0 EmF 1 1 mv 02 kx 2 2 2 x mv 02 k Ec 0 Epe F mv 02 kx 2 8 kg 10 ms 1 400 Nm 1 2 1,41 m La velocidad final del bloque será de 10 m/s tal y como se ha razonado en el apartado anterior. --------------- 000 --------------- 30. Un cuerpo de 0'5 kg se encuentra inicialmente en reposo a una altura de 1 m por encima del extremo libre de un resorte vertical, cuyo extremo inferior está fijo. Se deja caer el cuerpo sobre el resorte y, después de comprimirlo, vuelve a subir. El resorte tiene una masa despreciable y una constante elástica k = 200 N m-1. a) Haga un análisis energético del problema y justifique si el cuerpo llegará de nuevo al punto de partida. b) Calcule la máxima compresión que experimenta el resorte. g = 10 m s-2. (Universidades Andaluzas, 1999) La situación gráfica sería la siguiente: 1m h Nivel 0 de Epg x Si suponemos como nivel cero de Epg la posición del cuerpo cuando el muelle está en su máxima compresión el análisis energético será el siguiente. Si no existe fuerza de rozamiento, las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son la fuerza peso y la fuerza elástica, ambas conservativas, por lo tanto, se conservará la energía mecánica del sistema. Inicialmente, el sistema tiene sólo Epg debido a la altura, 1m + x, del cuerpo sobre el nivel cero. Al caer esta Epg0 se va convirtiendo paulatinamente en Ec. Al chocar el cuerpo con el muelle va perdiendo Ec y va ganado Epe. Cuando el muelle esté en su máxima compresión la Epg0 se habrá convertido totalmente en Epe ya que en este momento el cuerpo no tiene Ec (está parado) ni Epg (está en el nivel cero). Desde está posición ocurrirá el fenómeno contrario, la Epe se irá convirtiendo primero en Epg y Ec y después la Ec se irá convirtiendo en Epg. Al no existir rozamiento no hay pérdidas de energía y, por lo tanto, el cuerpo alcanzará la altura inicial de 1 m. b) Si aplicamos la conservación de la Em desde la posición inicial hasta la máxima compresión del muelle tendremos que: Em 0 EmF Epg 0 Epe F mg1 x 1 2 kx 2 1 0,5 10 1 x 200 x 2 51 x 100 x 2 2 2 100 x 5 x 5 0 x 0,25 m --------------- 000 --------------- 31. Una fuerza conservativa actúa sobre una partícula y la desplaza, desde un punto x 1 hasta otro punto x2, realizando un trabajo de 50 J. a) Determine la variación de la energía potencial de la partícula en ese desplazamiento. Si la energía potencial es cero en x1, ¿cuánto valdrá en x2?. b) Si la partícula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza, partiendo del reposo en x1, ¿cuál será la velocidad en x2?; ¿cuál será la variación de su energía mecánica?. (Universidades Andaluzas, 2000) Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 18 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química a) Si la fuerza es conservativa podremos poner que: W(Fcons ) Ep 50 J Ep Ep( x 2 ) Ep( x 1 ) 50 J Ep 50 J igual a la Ec inicial del cuerpo antes de chocar con el muelle. Es decir, de la posición 1 a la 2 lo que ocurre es una transformación íntegra de Ec en Epe ya que la única fuerza que interviene, la fuerza elástica, es conservativa y la Em del sistema debe conservarse. v0=30 m/s Ep( x 2 ) 50 J Ep( x 1 ) 50 J 0 50 J b) Si sólo existe la fuerza conservativa esta será también la fuerza resultante, por lo tanto, aplicando el teorema trabajo-energía cinética podremos poner que: W(FR ) W(Fcons ) Ec Como en x1 está en reposo su Ec1=0, luego: W(Fcons ) Ec Ec 2 Ec1 Ec 2 50 J 2 Ec 2 m x v=0 2 50 J 141,42 ms 1 0,005 kg Al actuar sólo la fuerza conservativa su energía mecánica permanecerá constante, luego la variación de Em será nula. 1 1 mv 02 kx 2 2 2 Ec 0 Epe F mv 02 kx 2 mv 02 10 kg 30 ms 1 k 200 Nm 1 2 6,7 m b) Si existiera rozamiento parte de la Ec inicial se perdería guante la compresión del muelle y, por lo tanto, la Epe final será inferior a la Ec inicial lo que implica que la compresión del muelle sería menor que en el caso anterior. --------------- 000 --------------- --------------- 000 --------------- 32. Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m s-1 por una superficie horizontal lisa hacia el extremo libre de un resorte horizontal, de constante elástica 200 N m-1, fijo por el otro extremo. a) Analice las variaciones de energía que tienen lugar a partir de un instante anterior al impacto con el resorte y calcule la máxima compresión del resorte. b) Discute en términos energéticos las modificaciones relativas al apartado a) si la superficie horizontal tuviera rozamiento. (Universidades Andaluzas, 2000) 2 Em 0 EmF x Y la velocidad en x2 será: v2 1 33. Un bloque de 3 kg cuelga verticalmente de un muelle cuya constante elástica es 600 N/m. a) ¿Cuál es el alargamiento del muelle cuando el bloque está en equilibrio?. b) ¿Cuánta energía potencial se almacena en el sistema muelle-bloque?. a) Según la ley de Hook: F kx x F mg 3 kg 9,8 ms 2 k k 600 Nm 1 0,049 m a) Inicialmente, en la posición 1, el bloque posee una energía cinética debido a su velocidad, suponiendo el nivel cero de Epg en el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo Ec pero el sistema va ganando Epe al ir comprimiéndose el muelle. Cuando el cuerpo pierde toda su Ec, posición 2, el muelle alcanza su máxima compresión, x, y , por lo tanto, su máxima Epe que al no existir rozamiento será b) El sistema almacena energía potencial elástica: Epe 1 2 1 2 kx 600 Nm 1 0,049 m 0,72 J 2 2 --------------- 000 --------------- Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 19 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química 34. Se empuja un bloque de 2 kg contra un muelle cuya constante elástica es de 500 N/m, comprimiéndolo 20 cm. Luego se suelta, y el muelle proyecta al bloque por una superficie horizontal sin rozamiento y por un plano inclinado de 45º sin rozamiento. ¿Qué distancia llega a recorrer subiendo por el plano inclinado?. Aplicamos la ecuación W(FR ) Ec . Las fuerzas que intervienen son la F=25 N y la de rozamiento cuyo valor es: La situación gráfica sería: Froz mg 0,35 4 kg 9,8 ms 2 13,72N x=20 cm α=45º v=0 1 α=45º 2 h α=45º 3 Si no existe rozamiento, como las únicas fuerzas que actúan, la fuerza elástica y el peso, son conservativas la Em se conservará a lo largo del desplazamiento del cuerpo. Inicialmente, posición 1, el sistema tiene Epe, al actuar el muelle esa Epe se va convirtiendo íntegramente en Ec, situación 2. Al comenzar a subir el plano la Ec se va convirtiendo en Epg. Cuando el cuerpo se pare finalmente, a una altura h recorriendo sobre el plano una distancia L, la Ec se habrá convertido íntegramente en Epg. Por lo tanto, en conjunto la Epe inicial se convertirá íntegramente en Epg al final, luego: Epe 0 Epg F 1 2 kx mgh 2 kx 2 500 Nm 1 0,2 m 0,51 m 2mg 2 2 kg 9,8 ms 2 2 h L L h 0,51m 0,72 m sen sen 45 º --------------- 000 --------------- Como la caja está inicialmente en reposo su Ec0=0, por lo tanto: W (FR ) Ec Ec F 33,84 J L v sen FR F Froz 25 N 13,72 N 11,28 N W(FR ) FR r cos 0º 11,28 N 3 m 33,84 J v h 35. Una fuerza horizontal de 25 N se aplica a una caja de 4 kg, inicialmente en reposo sobre una mesa rugosa horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la mesa es 0'35. Determinar la velocidad de la caja después de haber sido empujada a lo largo de una distancia de 3 m. vF 2Ec F m 2 33,84 J 4,11 ms 1 4 kg --------------- 000 --------------- 36. Un bloque de 4 kg cuelga de una cuerda ligera que pasa por una polea y por el otro extremo está atada a un bloque de 6 kg que descansa sobre una mesa rugosa. El coeficiente de fricción cinética es 0'2. El bloque de 6 kg se empuja contra un muelle cuya constante elástica es 600 N/m, comprimiéndolo 30 cm. En estas condiciones se deja el bloque en libertad. Determinar la velocidad que tienen los bloques cuando el bloque de 4 kg ha caído una distancia de 40 cm. El sistema está inicialmente en reposo, al liberar el muelle la masa 2 desciende en vertical 40 cm y, por lo tanto, la masa 1 se desplaza horizontalmente también 40 cm quedando el muelle en su posición de equilibrio y adquiriendo las dos masas una velocidad v, la misma para las dos ya que están unidas por una cuerda. Suponemos que la masa 2 está inicialmente a una altura “a” de la superficie horizontal. Asimismo vamos a considerar como nivel cero Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 20 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química de Epg la posición de la masa 2 al final de la caída. Ver figura. Energía mecánica final v=0 Los cuerpos están ahora en movimiento luego tendrán Ec. El muelle está en su posición de equilibrio luego no habrá Epe. La masa 1 tendrá Epg pero la 2 no ya que se encuentra en el nivel cero elegido. Por lo tanto: x=30cm m1=6 kg Em F m2=4 kg P.E. del muelle 1 m1 m 2 v 2 m1gh a 2 Por lo tanto: 1 m1 m 2 v 2 m1gh a 2 1 1 kx 2 m1gh a m 2 gh m1 m 2 v 2 2 2 1 kx 2 m 2 gh 2 Em EmF Em 0 v a h=40 cm Nivel cero de Epg v Si sustituimos los valores numéricos nos quedará que: Em 5v 2 42,68 Las fuerzas que actúan son: los pesos de ambos cuerpos, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de rozamiento. Al existir una fuerza no conservativa la Em no permanecerá constante debiéndose utilizar la ecuación W(Fno cons ) Em . La fuerza de rozamiento aparece sólo en el desplazamiento de 40 cm de la masa 1. Vamos a evaluar el trabajo que realiza el rozamiento y la variación de energía mecánica del sistema. Trabajo del rozamiento W (Froz ) Froz r cos 180 º m1gr cos 180 º 0,2 6 kg 9,8 ms 2 0,4 m 1 4,7 J Energía mecánica inicial Al estar en reposo las dos masas no tendrán Ec. Al estar comprimido el muelle habrá Epe. Teniendo en cuenta el nivel cero de Epg elegido tanto la masa 1 como la 2 tendrán Epg. Por lo tanto: Por lo tanto: W (Fno cons ) Em v 4,7 5v 2 42,68 42,68 4,7 2,75 ms 1 5 --------------- 000 --------------37. Se lanza una pequeña pelota de 15 g mediante una pistola de juguete que posee un muelle cuya constante es de 600 N/m. El muelle puede comprimirse hasta 5 cm. ¿Qué altura puede alcanzar la pelota si se apunta verticalmente?. Sol:5'05 m. Si suponemos que no existe rozamiento se conservará la energía mecánica, por lo tanto la Epe al inicio se convertirá en Epg, luego: Epe Epg 1 Em 0 Epe Epg 0 (1) Epg 0 (2) kx 2 2 m1gh a m 2 gh 1 2 kx mgh 2 600 Nm 1 0,05 m 2 2 0,015 kg 9,8 ms 2 h kx 2 2mg 5,1m --------------- 000 --------------- Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 21 I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química 38. Se conectan dos bloques por medio de una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento. El bloque m 1 = 0,5 kg está apoyado sobre una superficie horizontal y unido a un resorte cuya constante elástica vale k = 50 N/m. Si el sistema se libera a partir del reposo cuando el resorte no está estirado y m2 = 0,3 kg cae una distancia h = 0,05 m antes de quedar en reposo, calcula el coeficiente de rozamiento entre m1 y la superficie. Em0 m1gh a m2 gh Energía mecánica final Los cuerpos están al final también en reposo luego no tendrán Ec. El muelle está estirado una distancia de 0,05 m luego habrá Epe. La masa 1 tendrá Epg pero la 2 no ya que se encuentra en el nivel cero elegido. Por lo tanto: EmF La situación gráfica sería: 1 kx 2 m1gh a 2 Por lo tanto: v=0 1 2 kx m1gh a 2 1 m1gh a m 2 gh kx 2 m 2 gh 0,0845 J 2 Em EmF Em 0 m1=0,5 kg m2=0,3 kg P.E. del muelle Luego: W (Fno cons ) Em x=0,05 m 0,245 0,0845 0,0845 0,34 0,245 --------------- 000 --------------a h=0,05 m Nivel cero de Epg v=0 Haciendo un análisis similar al del ejercicio anterior tendremos que: Trabajo del rozamiento W (Froz ) Froz r cos 180 º m1gr cos 180 º 0,5 kg 9,8 ms 2 0,05 m 1 0,245 Energía mecánica inicial Al estar en reposo las dos masas no tendrán Ec. Al estar el muelle en su posición de equilibrio no habrá Epe. Teniendo en cuenta el nivel cero de Epg elegido tanto la masa 1 como la 2 tendrán Epg. Por lo tanto: Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía 22
