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CLASIFICACION DE LOS NUMEROS
NÚMEROS NATURALES
En el desarrollo de las culturas fue evolucionando esta forma primitiva de
representar objetos o cosas reales a través de símbolos naciendo así el primer
conjunto de números llamados números naturales, estos números son utilizados
para contar, se representan mediante una “N”.
Definición
Número natural es aquello que tienen en común los conjuntos coordinables entre
sí. Así, por ejemplo los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {1, 2, 3, 4, 5}; tienen en
común la propiedad de estar constituidos por cinco elementos. Diremos en este
caso, que los conjuntos A y B son representantes del número natural 5, o bien
representan la cantidad cinco.
De modo similar, todos los conjuntos que poseen un solo elemento, es decir, los
conjuntos unitarios, representarían al número 1, los conjuntos con dos elementos
representarán al número 2 y así sucesivamente. El conjunto vacío, o sea, los que
no poseen ningún elemento, representará al número 0 (cero).
De este modo obtenemos la sucesión de números la sucesión de número
naturales. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, … que es
una sucesión con infinitos términos.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6…}
El matemático Richard de Dekind, decía que el hombre solo necesitaba los
número naturales, los demás eran creación del mismo hombre; obligados por la
necesidad el ser humano tuvo que ir introduciendo otros conjuntos de números.
Operaciones
Las operaciones aritméticas son siete: suma o adición, resta o substracción,
multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.
Las operaciones aritméticas se clasifican en operaciones de composición o
directas y operaciones de descomposición o inversas.

La suma, la multiplicación y la potenciación son operaciones directas porque
en ellas, conociendo ciertos datos, se halla un resultado.
 La resta, la división, la radicación y la logaritmación son operaciones inversas.
La resta es inversa a de la suma; la división es inversa a la multiplicación; la
radicación y la logaritmación son inversas de la potenciación. Estas operaciones
se llaman inversas porque en ellas, conociendo el resultado de la operación
directa correspondiente y uno de sus datos, se halla el otro dato.
NÚMEROS ENTEROS
Definición
Si efectuamos la unión del conjunto que contiene {0} con el conjunto N de los
números naturales, obtenemos el conjunto de los “números enteros positivos”.
Al incluir un elemento aditivo inverso por cada número natural, obtenemos el
conjunto de los “números enteros negativos”.
La unión de los dos conjuntos anteriores, da como resultando el conjunto de los
“números enteros”, denotados por:
Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
Orden
El abecedario numérico cuenta con sólo diez números a los que también llamamos
dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. La posición en la cual los colocamos al combinarlos
hace posible crear un número ilimitado de cantidades. El lugar que ocupa un dígito
al formar un número lo nombramos según la cantidad que representa. Al dígito que
ésta más a la derecha le llamamos la unidad, al que le sigue a la izquierda, decena,
la siguiente centena, etc.
ORDEN DE LAS OPERACIONES
1. Se simplifica primero el contenido de los símbolos de agrupamiento más internos;
luego los siguientes y así sucesivamente.
2. La multiplicación y la división se efectúan antes de la adición y sustracción. (en
ambos casos, se procede de izquierda a derecha)
Evaluar cada expresión:
No se resta el 2 del 10, primero se efectúa la multiplicación.
Simplifica primero lo que está entre paréntesis.
NÚMEROS RACIONALES.
Las civilizaciones antiguas (egipcios, babilonios, griegos,…) conocieron las
fracciones desde tiempos muy remotos. Al descifrar los jeroglíficos egipcios los
egiptólogos encontraron resueltos muchísimos problemas con fracciones sobre
cuestiones de la vida cotidiana en el antiguo Egipto, tales como la agrimensura o
la construcción de pirámides.
Definición
Tal como vimos, la división exacta de números naturales no resulta siempre
posible puesto que no siempre existe un número natural que al ser multiplicado
por divisor coincida con el dividendo.
Por lo tanto, nos vemos obligados a ampliar el campo numérico introduciendo las
fracciones o quebrados. Algunos, también dan el nombre de números racionales.
Un número racional es aquel que puede expresarse como cociente de dos
enteros. En el conjunto de los racionales están incluidos los enteros positivos y
negativos, el cero y las fracciones positivas y negativas.
Una fracción o quebrado es un número representado por dos números naturales
(a, b) que se acostumbra a escribirse como . El número a se llama numerador y
el número b se llama denominador. El denominador no puede ser nunca cero.
Toda fracción representa el cociente de una división en la cual el numerador
representa el dividendo y el denominador representa al divisor. Así por ejemplo,
son fracciones:
Uno de los aspectos más significativos de la noción de fracción es la llamada
“parte de unidad”. El denominador de una fracción indica el número de partes en
que se ha divido la unidad y el numerador el número de partes que se toman.
Por ejemplo, en la fracción , el denominador 8 indica que la unidad se ha dividido
en ocho partes iguales y el numerador 5 indica que se han tomado 5 de esas 8
partes iguales.
Si la unidad la dividimos en dos partes iguales esas partes se llaman medios, si
la dividimos en tres partes iguales las partes reciben el nombre de tercios, si la
dividimos en cuatro partes iguales las llamamos cuartos, si la dividimos en cinco
partes iguales las llamamos quintos, si la dividimos en seis partes iguales las
llamamos sextos, si la dividimos en siete partes iguales las llamamos séptimos, si
la dividimos en ocho partes las llamamos octavos, si la dividimos en nueve partes
las llamamos novenos, en diez décimos, en once onceavos, si la dividimos en
doce partes iguales las llamamos doceavos, y así sucesivamente.
Así por ejemplo, son fracciones:
, se leerán del modo siguiente:
cuatro séptimos, seis octavos, tres onceavos y siete décimos.
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
Comunes, son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros. Así,
por ejemplo
, son fracciones comunes.
Decimales, son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. Así
por ejemplo
, son fracciones decimales.
Propias, son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Así por
ejemplo
, son fracciones propias.
Impropias, son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Así por
ejemplo
, son fracciones impropias.
Iguales a la unidad, son aquellas cuyo numerador es igual al denominador. Así
por ejemplo
, son fracciones iguales a la unidad.
Números mixtos, son aquellas que constan de una parte entera y una parte
fraccionaria. Así por ejemplo
, son números mixtos. Los números
mixtos son otra forma de representar las fracciones impropias.
Orden
Los números fraccionarios gozan de una serie de importantes propiedades que
vamos a detallar a continuación:
a)
Si varias fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tenga
mayor numerador.
Consideremos las fracciones ,
y . Como se ha dicho anteriormente, toda
fracción representa una división en la cual el denominador es el divisor. Por
consiguiente, si el divisor, es decir, el numerador, es el mismo será mayor aquella
en que el dividendo es decir, el numerador, sea mayor. En el caso que nos ocupa
tendríamos:
b)
>
>
Si varias fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor
denominador.
Consideremos por ejemplo las fracciones ,
y
. Puesto que toda fracción
representa una división entre numerador y denominador, si el numerador es el
mismo será mayor el cociente cuanto menor sea el divisor. Por lo tanto, en el caso
que nos ocupa tendremos
>
>
.
c)
Si los dos términos de una fracción se multiplican o se dividen por un mismo
número, el valor de la fracción no varía.
Consideremos la fracción . Si multiplicamos ambos términos por 5 la nueva
fracción será
y puede observarse que el cociente 20:40=0.5 es el
mismo que el cociente 4:8=0.5
Si en vez de multiplicar ambos términos los dividiéramos, por ejemplo por 2, la
nueva fracción sería:
y puede observarse que el cociente 2:4=0.5es el
mismo que el cociente 4:8=0.5
Al comparar cada par de números racionales, se establece un orden que se indica
con los símbolos mayor que (>) y menor que (<).
NÚMEROS IRRACIONALES
Definición
Número irracional, número no racional, es decir, que no se puede poner como
cociente de dos números enteros.
La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas
figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como
unidad el lado del mismo es
; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando
como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es
aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como
unidad su diámetro es el número irracional  (pi).
La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no
periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los
racionales, forman el conjunto de los números reales.
El filósofo griego Pitágoras de Samos (540 a.C.) descubrió estos números al
establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.
Por el teorema de Pitágoras, sí l=1, entonces:
Donde
es un número irracional.
Tenemos entonces que un número irracional, es aquel que no puede expresarse
como el cociente de dos enteros, y pueden ser positivos o negativos.
Números irracionales (con decimales infinitos, no repetitivos)
NÚMEROS REALES
Definición
Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden
expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un
decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama
enteros positivos.
)
Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos)
y el cero.
.
Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la
forma
, donde m y n son enteros
.
Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales
tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los
irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.
Representación geométrica
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de
la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia
el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan
todos los números enteros.
Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta,
bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante
aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta
le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta
(correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la
denomina recta real.
Definición de igualdad y sus propiedades
El signo de igualdad (=) se emplea para unir dos expresiones, cuando ambas son
los nombres o descripciones del mismo objeto.
Significa que a y b son dos nombres del mismo objeto. Naturalmente
significa a no es igual a b.
,
Si dos expresiones algebraicas con una o más variables se unen mediante el signo
igual, la forma así obtenida recibe el nombre de ecuación algebraica.
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Si a, b y c son nombres de objetos, tenemos:
Propiedad reflexiva:
Propiedad simétrica: Si
Propiedad transitiva: Si
, entonces:
y
, entonces:
Principio de sustitución: Si
, cualquiera de las dos puede reemplazar a la otra
en una proposición, sin alterar la verdad o falsedad de dicha proposición.