Download 2da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL

2da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA
MATEMÁTICA
da
2 Etapa (Examen Simultáneo)
1ro. de secundaria
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y dejando uno
vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la respuesta que
sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y calculadoras, copiar o
hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es optativa, este examen
dura 2 horas.
1. ¿Cuántos múltiplos de 4 están comprendidos entre 334 y 879?
(a) 115
(b) 116
(c) 117
(d) 118
(e) 114
(f) Ninguna
2. De cual de los siguientes números decimales esta más cerca el número 58/79
(a) 0.73427
(b) 0.73407
(c) 0.73421
(d) 0.73401
(e) 0.73429
3. Dado el número 76, multiplicamos sus cifras tenemos 42, multiplicamos las cifras de 42 y tenemos 8, entonces
decimos que 76 es abuelo de 8 y 42 es el padre de 8. Otro ejemplo: 98  72  14  5 luego 98 es bisabuelo
de 5, 72 es abuelo de 5 y 14 el padre de 5, ¿Cuántos bisabuelos tiene 8?
(a) 13
(b) 10
(c) 8
(d) 9
(e) 6
(f) Ninguna
4. Se colocan cuadritos pequeños de lado 1, uno al lado del otro sin
espacios vacios y en fila. Delante de estos de colocan (ver figura)
del mismo modo varios cuadraditos medianos de lado 2, delante de
estos se ponen otros cuadrados grandes de lado 4 y finalmente se
coloca un gran cuadrado de lado 8 como en la figura ¿Cuántos
cuadrados no se ven, es decir están detrás de los sietes cuadrados
de la figura?
(a) 130
(b) 132
(c) 134
(d) 138
(e) 135
(f) Ninguna
5. Los número naturales se colocan como se muestra en la figura, en esta tabla el número 18 esta en la cuarta
columna. ¿En que columna se halla el número 2012?
(a) 1ra. columna
(b) 2da. columna
(d) 4ta. columna
(e) 5ta. columna
(c) 3ra. columna
----------oo0oo----------
2da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA
MATEMÁTICA
da
2 Etapa (Examen Simultáneo)
2do. de secundaria
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y
dejando uno vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es
optativa, este examen dura 2 horas.
1. ¿Cuántos múltiplos de 3 están comprendidos entre 334 y 959?
(a) 130
(b) 132
(c) 134
(d) 138
(e) 135
(f) Ninguna
2. Luis cambia dos dígitos del número 888 buscando un número de tres dígitos lo mayor posible que sea divisible
por 8. Iván cambia dos dígitos del número 888 buscando un número de tres dígitos lo menor posible que sea
divisible por 8. ¿Cuánto vale la diferencia entre ambos números?
(a) 880
(b) 777
(c) 760
(d) 856
(e) 800
(f) Ninguna
3. Se colocan cuadritos pequeños de lado 1, uno al lado del otro sin espacios vacios y en fila. Delante de estos
de colocan del mismo modo (ver figura) varios cuadraditos
medianos de lado 2, delante de estos se ponen otros
cuadrados grandes de lado 4, se colocan varios cuadrados
más grandes de lado 8 y finalmente se coloca un cuadrado
muy grande de lado 16 como en la figura ¿Cuántos
cuadrados no se ven, es decir están detrás de los nueve cuadrados de la figura?
(a) 130
(b) 132
(c) 134
(d) 138
(e) 135
(f) Ninguna
4. Los número naturales se colocan como se muestra en la figura, en esta tabla
el número 18 está en la tercera columna. ¿En qué columna se halla el
número 2012?
(a) 1ra. columna
(b) 2da. columna
(c) 3ra. columna
(d) 4ta. Columna
5. Suponga que un caracol sube por un muro de tres metros de alto con la siguiente rutina: durante el día trepa
100 cm y durante la noche desciende una misma longitud cada día, sabiendo que logra llegar a la parte más
alta del muro en 15 días diga que longitud desciendo durante la noche.
(a) 30
(b) 60
(c) 80
(d) 70
(e) 50
----------oo0oo----------
(f) Ninguna
2da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA
MATEMÁTICA
2da Etapa (Examen Simultáneo)
3° de secundaria
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y
dejando uno vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es
optativa, este examen dura 2 horas.
1.
Se han utilizado cuadrados de madera idénticos y de color gris para construir los siguientes números:
Mario escribe todos los divisores del número 182. ¿Cuántos cuadraditos necesitará Mario?
(a) 130
(b) 125
(c) 128
(d) 127
(e) 121
(f) Ninguna
2. La “torre” del dibujo está formada por tres figuras con el mismo perímetro: un
cuadrado, un rectángulo y un triángulo equilátero. Si el lado del cuadrado es de 9 cm,
¿cuál es la longitud del lado marcado del rectángulo?
(a) 10
(b) 32
(c) 16
(d) 62
(e) 64
(f) Ninguna
3. Ayer por la noche, mientras estudiaba, se fue la luz. Inmediatamente encendí dos
velas (del mismo grosor) y seguí trabajando hasta que arreglaron la avería. Al día siguiente quise averiguar cuánto
duró al apagón, pero no sabía cuando empezó ni cuando terminó. Solamente me acuerdo que la primera vela
estaba previsto que durara cinco horas y la segunda cuatro horas. ¿Cuánto duró el apagón si la primera vela se
había quedado cuatro veces más larga que la segunda?
(a) 3horas 50 minutos
(e) 3horas 40 minutos
(b) 3horas 20minutos
(f) Ninguna
(c) 3horas 30 minutos
(d) 3horas 10 minutos
4. Calcula el valor de la expresión 2015  2013  2011 2009  16 , sin usar máquina de calcular, sugerencia:
factoriza ( x +3)( x +1)( x -1)( x -3)+16
(a) 4048130
(b) 4048138
(c) 4048131
(d) 4048139
(e) 4048132
(f) Ninguna
5. Una araña empieza en el punto A y construye una tela de araña como se muestra en la
figura, avanza 1 cm dobla a la izquierda avanza 1 cm, dobla a la izquierda avanza 2 cm,
dobla a la izquierda avanza 2 cm, dobla a la izquierda avanza 3 cm y así sucesivamente,
luego de haber usado 40 cm de su hilo de detiene y se pregunta cuál es su distancia a
punto A (en línea recta).
(a)
15
(b)
17
(c)
19
(d) 3 2
(e) 4
----------oo0oo----------
(f) Ninguna
2da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA
MATEMÁTICA
2da Etapa (Examen Simultáneo)
4° de secundaria
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y dejando
uno vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es
optativa, este examen dura 2 horas.
1. Ayer por la noche, mientras estudiaba, se fue la luz. Inmediatamente encendí dos velas (del mismo grosor) y
seguí trabajando hasta que arreglaron la avería. Al día siguiente quise averiguar cuánto duró al apagón, pero
no sabia cuando empezó ni cuando terminó. Solamente me acuerdo que la primera vela estaba previsto que
durara cinco horas y la segunda cuatro horas. ¿Cuánto duró el apagón si la primera vela se había quedado
siete veces más larga que la segunda?
(a) 3horas 10 minutos
(b) 3horas 20minutos
(c) 3horas 30 minutos
(d) 3horas 50 minutos
(e) 3horas 40 minutos
(f) Ninguna
2. Un número entero positivo se llama simple si está formado únicamente por los dígitos 1, 2, o por ambos.
¿Cuántos números simples existen que sean menores que diez mil?
(a) 10
(b) 32
(c) 16
(d) 62
(e)64
(f) Ninguna
3. Un bus, un tren y un avión parten a la misma hora de la ciudad A a la ciudad B. En un cierto día, si tomaras un
bus cuya velocidad media es 100 km/h, llegarías a la ciudad B a las 8 de la noche de ese mismo día. En cambio,
si tomaras el tren, cuya velocidad media es de 300 km/h, llegarías a la ciudad B a las dos de la tarde de ese
mismo día. ¿A qué hora llegarías a la ciudad B si tomaras un avión cuya velocidad media es de 900 km/h?
(a) 9h
(b) 10h
(c) 11h
(d) 12h
(e) 13h
(f) Ninguna
2
2
2
4. Sea  y  las raíces de la ecuación x  ax  b  0 el valor de    es:
2
(a) a  2b
2
(b) 2a  b
2
(c) 2a  b
2
(d) a  2b
(e) Ninguna
5. Los boletos para entrar a la disco “Tender” cuestan 8 Bs. para las muchachas y 10 Bs. para los muchachos. Si el
precio de los boletos fuera al revés, la suma de lo que pagaron todos los que entraron a la disco sería 6 Bs.
menos de lo que en realidad fue. Si asistieron 30 muchachas, ¿cuántos muchachos asistieron?
(a) 30
(b) 32
(c) 33
(d) 35
(e) 36
----------oo0oo----------
(f) Ninguna
2da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA
MATEMÁTICA
2da Etapa (Examen Simultáneo)
5° de secundaria
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y
dejando uno vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es
optativa, este examen dura 2 horas.
1. El cuadrado de la figura tiene lado 1. ¿Cuánto mide el radio del círculo menor?
(a)
2 1
(e) 3  2 2
(b)
2
4
(c)
1
4
(d)
2 2
2
(f) Ninguna
2. Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. ¿Cuánto vale el área del cuadradito sombreado
si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado?
(a) 20
(b) 32
(c) 22
(d) 34
(e) 30
(f) Ninguna
3. ¿Cuántos números de tres cifras distintas tienen exactamente un dos y sus cifras están ordenadas de mayor a
menor?, ejemplo 720, 532,…
(a) 35
(b) 36
(c) 37
(d) 38
(e) 39
(f) Ninguna
4. Contra un muro de altura 12m se apoya una escalera. Si el pie (la parte de la escalera que toca tierra) de la
escalera está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; si el
pie de la escalera está a 9 metros del muro, ¿Cuánto sobresale por encima del muro?
(a) 10
(b) 13
(c) 9
(d) 8
(e) 12
(f) Ninguna
5. La edad promedio de los miembros de la familia Zeballos es de 18 años. Si sabemos que el papá tiene 38 años y
que el promedio de las edades de los miembros de la familia sin contarlo a él es de 14 años, ¿Cuántos miembros
tiene la familia Zeballos?
(a) 10
(b) 8
(c) 6
(d) 9
(e) 12
----------oo0oo----------
(f) Ninguna
2da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA
MATEMÁTICA
2da Etapa (Examen Simultáneo)
6° de secundaria
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y dejando uno
vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la respuesta que
sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y calculadoras, copiar o
hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es optativa, este examen
dura 2 horas.
1. ¿Por qué número hay que multiplicar el área del cuadrado grande para obtener
el área sombreada?. Suponga que el cuadrado grande tiene lado igual a 1 cm.
(a)

4
(b)
1
4
(c)

12
(d)
 2
(e)
16
1
3
(f) Ninguna
2. Si

1
1

 6 y 0  x  entonces el valor de tan( x) es:
2
1  sen(x) 1  sen(x)
(a)
3
(b) 2 3
(c) 2 2
(d)
(e) 3 2
2
(f) Ninguna
3. Los boletos para entrar a la disco “Tender” cuestan 8 Bs. para las muchachas y 10 Bs. para los muchachos. Si el
precio de los boletos fuera al revés, la suma de lo que pagaron todos los que entraron a la disco sería 6 Bs. menos
de lo que en realidad fue. Si asistieron 30 muchachas, ¿cuántos muchachos asistieron?
(a) 30
(b) 32
(c) 33
(d) 35
(e) 36
(f) Ninguna
  7  es igual a:
x
x
4. Sean  y  las raíces (soluciones) de la ecuación 49  49  7 , el valor de 7
(a) 1
(b) 2
(c) 1/2
(d) 7
(e) 0

(f) Ninguna
5. ¿Cuántos números de tres cifras distintas tienen exactamente un dos y sus cifras están ordenadas de mayor a
menor?, ejemplo 720, 532,…
(a) 35
(b) 36
(c) 37
(d) 38
(e) 39
----------oo0oo----------
(f) Ninguna
Solución del 1er. nivel (2da. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Los múltiplos son:
84
4; 85
4; 86
4; :::; 219
4
luego hay 219 84 + 1 = 136 múltiplos de 4 entre 334 y 879
Respuesta es (f)
2. Dividiendo tenemos
58
= 0:73417:::
79
luego 58
esta más cerca de 0.73407
79
Respuesta es (b)
3.
P adres
N umero
8
Luego 8 tiene 6 bisabuelos
Respuesta es (e)
!
42
!
24
!
18
!
81
!
4. Del grá…co tenemos
1
abuelos
bisabuelos
67
8 76
83
>
>
<
38
46
>
>
:
8 64
29
>
>
<
92
63
>
>
:
36
99
88
97; 79
49; 94; 66
que hay en total 2 (10 + 4 + 1) = 30 cuadrados que no se ven.
Respuesta es (f)
5. Observemos que en la 1ra. columna estan los múltiplos de 5 luego 2010 esta en la 1ra. columna
y 2012 esta en la 3ra. columna.
Respuesta es (c)
2
Solución del 2do. nivel (2da. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Los múltiplos son:
112
3; 113
3; 114
3; :::; 319
3
luego hay 319 112 + 1 = 208 múltiplos de 3 entre 334 y 959
Respuesta es (f)
2. El mayor es 984, y el menor es 128 y así la diferencia entre estos números es 856
Respuesta es (d)
3. Del grá…co tenemos
que hay en total 2 (22 + 10 + 4 + 1) = 74 cuadrados que no se ven.
Respuesta es (f)
4. Observemos que en la 1ra. columna estan los múltiplos de 4 luego 2000 esta en la 1ra. columna
y como 2012 también es múltiplo de 4 esta en la 1ra. columna.
Respuesta es (a)
5. Por jornada avanza
80cm
Respuesta es (c)
300
15
= 20 cm y como cada día avanza 100 cm en la noche debe descender
1
Solución del 3er. nivel (2da. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Como 182=2 7
osea
13, 182 tiene los siguientes divisores: 1; 2; 7; 13; 2
7; 2
13; 7
13; 2
7
13
1; 2; 7; 13; 14; 26; 91; 182
Contando tenemos que se usan los siguiente dígitos:
5
3
1
1
1
1
1
1
unos
dos
siete
tres
cuatro
seis
nueve
ocho
osea
osea
osea
osea
osea
osea
osea
osea
5 6 = 30 cuadraditos
3 11 = 33 cuadraditos
7 cuadraditos
11 cuadraditos
9 cuadraditos
12 cuadraditos
12 cuadraditos
13 cuadraditos
en total usamos 127 cuadraditos
Respuesta es (d)
2. El perímetro del triángulo equilátero es 9 4 y cada lado es igual a 12 y como el rectángulo
tiene también perímetro 36 se sigue que el lado desconocido es igual a 36 22 12 = 6
Respuesta es (f)
3. Observemos que luego de 3 horas la segunda vela tiene altura
en lapsos de 10 minutos tenemos
1
4
y la primera
2
5
y estudiando
Tiempo Altura de vela 1 Altura de la vela 2 Cociente entre la aturas de la velas 2 y 1
2
1
1
2
3h
= 58
5
4
4
5
5
5
5
11
5
3h 10m
+ 1 = 11
= 11
6
6
6
6
6
4
4
4
10
3h 20m
+ 1 = 10
= 25
6
6
6
6
6
3
9
3
3
9
3h 30m
+1= 6
= 13
6
6
6
6
2
2
2
8
3h 40m
+ 1 = 68
= 14
6
6
6
6
Luego el apagón duró 3h 40m
Respuesta es (e)
4. Observemos que (x + 3) (x + 1) (x
2
(x
5) luego con x = 2012 tenemos
1) (x
3)+16 = (x2
9) (x2
1)+16 = x4
2
2015
2013
2011
2009 + 16 = 20122
1
5
2
10x2 +25 =
de donde
p
2015
2013
2011
2009 + 16 =
q
(20122
5)2
= 20122 5
= 4048139
Respuesta es (d)
5. Luego de 40 cm la arana se encuentra en e punto P del siguiente grá…co
A
P
de donde la distancia buscada es
Respuesta es (f)
p
12 + 32 =
p
10
2
Solución del 4to. nivel (2da. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Sea t el tiempo que duró el apagón entonces
5
23
6
de donde se tiene t =
t = 7 (4
t)
horas, entonces
23
5
5 60m
h = 3 h = 3h + h
= 3h50m
6
6
6 1h
luego el apagón duró 3h50m
Respuesta es (d)
2. Tenemos cuatro casos:
Caso 1: de un dígito, hay 1 ó 2
Caso 2: de dos dígitos, hay 11,21,12,22
Caso 3: de tres dígitos, hay 111,211,121,221,112,212,122.222
Caso 4: de cuatro dígitos, aumentamos a cada número del caso anterior por la derecha 1 ó 2 y
así hay entonces 16 números de cuatro dígitos simples.
En total hay 2 + 4 + 8 + 16 = 30
Respuesta es (f)
3. Sea h la hora de salida la cual la tomamos a partir de las 12:00, entonces sea d la distancia
entre ambas ciudades y tenemos
d = 100 (8
t) = 300 (2
t)
de donde tenemos t = 1 lo cual signi…ca que una hora antes de las 12:00 es la hora de salida, esto es
900km
a las 11:00 a.m.y así la distancia d = 900: Por otro lado si se sale en avión se llega en t = 900km=h
= 1h
y así la hora de llegada es 12:00.
Respuesta es (d)
4. Tenemos
2
+
p
a+ a2 4b
2
=
2
=
a+
1 2
a
4
1
4a2
=
4
=
y
=
a
p
a2 4b
2
y entonces
p
p
2
2
a2 4b
a + a2 4b
+
2
2
p
p
1 2
2a a2 4b + a2 2b +
a + 2a a2
4
8b = a2
2b
Respuesta es (d)
1
4b + a2
2b
5. Sea x el número de muchachos, entonces la suma que pagan ellos y ellas es igual a
30 (8) + x10 = 10x + 240
Si se invierten los precios ellos y ellas pagan
30 (10) + x8 = 8x + 300
y como este costo es 6 menos que el costo anterior tenemos
8x + 300 + 6 = 10x + 240
de donde se tiene x = 33.
Respuesta es (c)
2
Solución del 5to. nivel (2da. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Sea r el radio de la circunferencia pequeña:
r
Entonces del grá…co, tenemos que la diagonal del cuadrado es igual al radio de la circunferencia
mayor mas el de la pequeña y la diagonal del cuadrado pequeño y tenemos
p
p
1+r+r 2= 2
de donde se sigue
p
p
p
2 1
2 1 2
p
r=p
=p
2+1
2+1 2
p
1
=
2
1
2
1
=3
p
2 2
Respuesta es (e)
2. Tenemos los siguientes movimientos
de donde concluimos que los cinco cuadrados tiene área 100 y así cada uno 20, y entonces el cuadrado
sombreado tiene área 20:
Respuesta es (a)
1
3. Tenemos tres casos
Caso1: Cuando el número tiene un dos como centena, existe un número: 210
Caso2: Cuando el número tiene un dos como decena:
21 ó 20, observemos que el cuadrado se llena con las siguientes posibilidades: 3,4,5,6,7,8,9,
entonces hay 14 números.
Caso 3: Cuando el número tiene un dos como unidad:
32; 42; 52; 62; 72; 82 y los cuadrados se pueden llenar de 6; 5; 4; 3; 2; 1 posibilidades respectivamente, entonces hay 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 números
En total hay 1 + 14 + 21 = 36
Respuesta es (b)
4. Consideremos el grá…co
10
x
12
12
9
5
se sigue que laplongitud de la escalera es l =
se tiene 23 = 92 + 122 + x de donde x = 8
Respuesta es (d)
p
52 + 122 + 10 = 23; entonces en la segunda posición
5. Sea n el número de miembros de la familia, sea k1 ; k2 ; ::kn las respectivas edades de la familia
entonces como el promedio es 18 tenemos
k1 + k2 +
+ kn
= 18
n
Sea k1 la edad del padre entonces k1 = 38 y como el promedio de los demás es 14 tenemos
k2 +
n
+ kn
= 14
1
de donde
k2 +
+ kn = 14 (n
reemplazando esto en (*)
38 + 14 (n
n
de donde se obtiene n = 6.
Respuesta es (c)
2
1)
= 18
1)
(*)
Solución del 6to. nivel (2da. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Descomponemos el área dada como sigue
Figura 1
Figura 2
Observemos que en la …gura 1, se tiene que cada región corresponde a la octava parte de la circunferencia de radio 14 y como hay ocho entonces el área en esta …gura es igual al de una circunferencia
de radio 41 esto es 16 : En la …gura 2 dividiendo el área en cuatro partes, una de ellas es igual a
1
4
2
1
1
Entonces el área total es 16 +4 16
64
por 14 para obtener el área sombreada
Respuesta es (b)
1
4
1
4
=
1
4
2
=
1
16
1
64
y como el área del cuadrado es 1 habrá que multiplicar
2. Hacemos el cambio z = sen(x) y tenemos
1
1
z
1
=6
1+z
+
simpli…cando esta ecuación tenemos:
q
q
3z 2 = 2
2
resolviendo se tiene z1 = 23 y z2 =
, como 0 < x < 2 se sigue que 0
3
que solo consideramos la primera solución, de donde tenemos
p
2
sen(x) = p
3
3
x
1
1
2
sen(x)
1; de manera
y entonces
tan (x) =
p
2
Respuesta es (d)
3. Sea x el número de muchachos, entonces la suma que pagan ellos y ellas es igual a
30 (8) + x10 = 10x + 240
Si se invierten los precios ellos y ellas pagan
30 (10) + x8 = 8x + 300
y como este costo es 6 menos que el costo anterior tenemos
8x + 300 + 6 = 10x + 240
de donde se tiene x = 33.
Respuesta es (c)
4. Sea 49x = z entonces tenemos
1
z+z
=7
simpli…cando tenemos
z2
7z + 1 = 0
resolviendo se tiene
z=
p
7
45
2
volviendo el cambio de variable tenemos
x
49 =
7
p
45
2
y se tiene las soluciones
1
= log7
2
7+
p
45
2
!
1
= log7
2
y
7
p
45
2
!
luego
(7 ) 7
= 7
1
2
1
2
log7
log7
7+
p
45
7
2
7+
p
45
1
2
log7
+log7
7
7
p
45
2
p
45
2
=7
log7
7+
1
2
log7
7+
= 7
=7
1
1
1
log7 ( 49 4 45 )
log7 (1)
2
2
= 7
=7
= 7 2 (0) = 1
2
Respuesta es (a)
2
p
1
2
45
2
+ 21 log7
p
p
45 7
45
2
2
7
p
45
2
5. Tenemos tres casos
Caso1: Cuando el número tiene un dos como centena, existe un número: 210
Caso2: Cuando el número tiene un dos como decena:
21 ó 20, observemos que el cuadrado se llena con las siguientes posibilidades: 3,4,5,6,7,8,9,
entonces hay 14 números.
Caso 3: Cuando el número tiene un dos como unidad:
32; 42; 52; 62; 72; 82 y los cuadrados se pueden llenar de 6; 5; 4; 3; 2; 1 posibilidades respectivamente, entonces hay 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 números
En total hay 1 + 14 + 21 = 36
Respuesta es (b)
3