Download ra. MATEMÁTICAS

1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
3ro. de Secundaria (1ro. de Ciclo Medio)
Nombre(s)-Apellido(s):
Colegio-Distrito:
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada cuadrito y dejando un
cuadrito vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Este examen dura 2 horas.
1. ¿Cuántos son los números naturales entre 300 y 700 que no tienen ningún 4 como cifra?
(a) 130
(b) 132
(c) 134
(d) 138
(e) 135
(f) Ninguna
2. Las figuras muestran cómo embaldosar pisos cuadrados de lados 3 y 5 con baldosas blancas y negras, colocando
una baldosa negra en cada esquina de modo que cada baldosa negra esté rodeada por baldosas blancas. Si para
embaldosar un piso cuadrado con este mismo patrón se utilizaron 25 baldosas negras, ¿cuántas baldosas
blancas se utilizaron?
(a) 21
(b) 22
(c) 23
(d) 24
(e) 25
(f) Ninguna
3. Se tienen cuatro triángulos rectángulos idénticos en el interior de un
rectángulo, como muestra la figura. Calcule el área total de los cuatro
triángulos.
(a) 37
(b)47
(c) 36
(d) 46
(e) 35
(f) Ninguna
4. Construimos la sucesión de los múltiplos de 21:
a₁ = 21
a₂ = 42
a₃ = 63
⋮
Halle la suma de las cifras del primer término de la sucesión que tenga cuatro cifras. (Por ejemplo el primer
término de la sucesión que tiene 3 cifras es a 5 =105 y la suma de sus cifras es 1+0+5=6)
(a) 10
(b) 11
(c) 9
(d) 8
(e) 12
(f) Ninguna
5. Alex dice que Pedro está mintiendo. Pedro dice que Marcos está mintiendo. Marcos dice que Pedro está
mintiendo. Tomas dice que Alex está mintiendo. ¿Cuántos niños están mintiendo?
(a) 0
6. El número
(a) 0.1
(b) 1
2011 2, 011
201,1 20,11
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
(f) Ninguna
es igual:
(c) 1.01
(d) 0.001
--------o0o---------
(e) 0.01
(f) Ninguna
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
3ro. de Secundaria (1ro. de Ciclo Medio)
SOLUCIONES
(Responsables: Mgr. Alvaro Carrasco C. - Mgr. Carlos Gonzales C.)
1. ¿Cuántos son los números naturales entre 300 y 700 que no tienen ningún 4 como cifra?
Solución:
Vamos a construir tales números, empecemos por las cifras de la centenas para ellas tenemos las siguientes
posibilidades {3,5,6}, para las decenas {0,1,2,3,5,6,7,8,9} osea 9 posibilidades y finalmente para las centenas
también 9 posibilidades habiendo en total 3x9x9-1=242, (note que restamos 1 para eliminar a 300 ya que el
enunciado dice los número entre 300 y 700)
Respuesta: (f)
2. Las figuras muestran cómo embaldosar pisos cuadrados de lados 3 y 5 con baldosas blancas y negras, colocando
una baldosa negra en cada esquina de modo que cada baldosa negra esté rodeada por baldosas blancas. Si para
embaldosar un piso cuadrado con este mismo patrón se utilizaron 25 baldosas negras, ¿cuántas baldosas
blancas se utilizaron?
Solución:
Observemos que los lados de los pisos cuadrados deben ser números impares hagamos una lista:
Lado Número de baldosas negras
3
4
5
9
7
16
9
25
Luego se usaron 56 baldosas blancas
Número de baldosas blancas
5
16
33
56
Respuesta: (f)
3. Se tienen cuatro triángulos rectángulos idénticos en el interior de un
rectángulo, como muestra la figura. Calcule el área total de los cuatro
triángulos.
Solución:
Del gráfico es fácil ver que la altura de cada triángulo es h=14 y
también que h+b+h=30 donde b es la base de cada triángulo de
donde tenemos b=2 y así el área de los cuatro triángulos es
1
4 2 14 56
2
Respuesta: (f)
4. Construimos la sucesión de los múltiplos de 21:
a₁ = 21
a₂ = 42
a₃ = 63
⋮
Halle la suma de las cifras del primer término de la sucesión que tenga cuatro cifras. (Por ejemplo el primer
término de la sucesión que tiene 3 cifras es a 5 =105 y la suma de sus cifras es 1+0+5=6)
Solución:
Haciendo cuentas se tiene que el primer término de la sucesión que tiene cuatro cifras es a 48
y la suma de sus cifras es 1+0+0+8=9
21 48 1008
Respuesta: (c)
5. Alex dice que Pedro está mintiendo. Pedro dice que Marcos está mintiendo. Marcos dice que Pedro está
mintiendo. Tomas dice que Alex está mintiendo. ¿Cuántos niños están mintiendo?
Solución:
Formemos 2 columnas: de los que dicen la verdad y de los mentirosos. Alex, el primer niño, podría decir la
verdad o no. No tenemos manera de saberlo ya que solo nos informan lo que estos niños dicen, hay dos casos:
¿Qué podemos deducir si Alex dice la verdad? Que también Marcos la dice, pero los otros no es decir:
Dicen la verdad
Mienten
Alex
Pedro
Marcos
Tomás
¿Qué podemos deducir si Alex miente? Que también lo hace Marcos, pero no los demás:
Dicen la verdad
Mienten
Pedro
Alex
Tomás
Marcos
En cualquier caso el número de niños que mientes es dos.
Respuesta: (c)
6. El número
2011 2, 011
201,1 20,11
es igual:
Solución:
2011 2, 011 2011 2, 011 1000
201,1 20,11 201,1 20,11 1000
2011 2011
2011 2011
1
201,1 10 20,11 100 2011 2011
Respuesta: (b)
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
4to. de Secundaria (2do. Ciclo Medio)
Nombre(s)-Apellido(s):
Colegio-Distrito:
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada cuadrito y dejando un
cuadrito vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Este examen dura 2 horas.
1. Pedro nació en 1968 y tiene un hijo adolecente llamado Carlitos. Pedro observa que el cuádruple del producto de
su edad y la de su hijo es igual al año en que nació, es decir, 1968. ¿En qué año Pedro hizo este razonamiento?
(a) 2010
(b) 2011
(c)2009
(d)2008
(e)2007
(f) Ninguna
2. Un número se llama taratamudo si multiplicado por 3 da como resultado un número formado solo de unos. Por
ejemplo el primer numero taratamudo es 37 pues 37×3=111. La cifra de las decenas del segundo número
tartamudo es
(a) 4
(b) 5
(c) 0
(d) 2
(e) 3
(f) Ninguna
3. Un albañil cubre un patio cuadrado con azulejos cuadrados blancos y negros, usa los azulejos negros solo para
cubrir las diagonales del patio y usa los azulejos blancos para lo demás. El albañil conto en total 2024 azulejos
blancos. ¿Cuántos azulejos negros uso?
(a) 18
(b) 15
(c) 14
(d) 17
(e) 16
(f) Ninguna
4. La siguiente figura se compone de dos rectángulos. Las
longitudes de dos lados están marcadas: 11 y 13. La figura se
corta en tres partes y las partes se reorganizan en un
triángulo. ¿Cuál es la longitud del lado x?
(a) 47
(b) 35
(c) 37
(d) 45
(e) 36
(f) Ninguna
5. Un cubo de madera blanca se mete en una cubeta con pintura roja. Cuando la pintura se ha secado, el cubo se
corta en 64 cubitos idénticos. ¿Cuántos cubitos tienen exactamente dos caras pintadas?
(a) 25
(b) 45
(c) 24
(d) 46
(e) 20
(f) Ninguna
6. En la figura se muestran dos cuadrados de lado 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
(a)
7
4
2
(b)
7
2 2
4
(c)
7
2 2
2
(d)
7
2 2
2
--------o0o---------
(e)
7
4
2
(f) Ninguna
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
4to. de Secundaria (2do. Ciclo Medio)
SOLUCIONES
(Responsables: Mgr. Alvaro Carrasco C. - Mgr. Carlos Gonzales C.)
1. Pedro nació en 1968 y tiene un hijo adolecente llamado Carlitos. Pedro observa que el cuádruple del producto de
su edad y la de su hijo es igual al año en que nació, es decir, 1968. ¿En qué año Pedro hizo este razonamiento?
Solución:
Sea h la edad del padre y sea k la edad del hijo, entonces s tiene 4hk=1968 de donde hk=492=3x4x41 de
donde deducimos k=12 y h=41 y así el año en el que se hiso este razonamiento es 1968+41=2009
Respuesta: (c)
2. Un número se llama taratamudo si multiplicado por 3 da como resultado un número formado solo de unos. Por
ejemplo el primer numero taratamudo es 37 pues 37×3=111. La cifra de las decenas del segundo número
tartamudo es
Solución:
Como el número formado por unos, tiene como divisor a 3, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 3, de manera
que el segundo número formados por unos divisible por 3 es: 111111, y dividiendo tenemos 111111=3x37037 y así
37037 es el segundo número tartamudo y la cifra de las decenas es 3
Respuesta: (e)
3. Un albañil cubre un patio cuadrado con azulejos cuadrados blancos y negros, usa los azulejos negros solo para
cubrir las diagonales del patio y usa los azulejos blancos para lo demás. El albañil conto en total 2024 azulejos
blancos. ¿Cuántos azulejos negros uso?
Solución:
Sea x el número de azulejos que se usaron en cada lado del patio entonces el número de azulejos negros en las
diagonales es x
x y entonces el número de azulejos blancos es x 2 ( x x) y así tenemos:
x 2 2 x 2024
x 2 2 x 1 2024 1
( x 1) 2
2025 452
( x 1) 2 452 0
( x 1 45)( x 1 45) 0
de donde tenemos x=46
Respuesta: (f)
4. La siguiente figura se compone de dos rectángulos. Las longitudes de dos
lados están marcadas: 11 y 13. La figura se corta en tres partes y las partes se
reorganizan en un triángulo. ¿Cuál es la longitud del lado x?
Solución:
De donde se tiene que x=13+24=37
Respuesta: (c)
5. Un cubo de madera blanca se mete en una cubeta con pintura roja. Cuando la pintura se ha secado, el cubo se
corta en 64 cubitos idénticos. ¿Cuántos cubitos tienen exactamente dos caras pintadas?
Solución:
Es claro que la arista del cubo es 4, de la figura se sigue que el número de cubitos
con dos caras pintadas es 24.
Respuesta: (c)
6. En la figura se muestran dos cuadrados de lado 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución:
Es claro que A+B=1=B+C de donde A=C, ver figura
hallemos el área C, para ello sea x el lado del triangulo mayor en la figura siguiente,
Entonces tenemos
x2
2x
x
x2
2
1
1
1
2
2
2
Así el área buscada es igual a:
1 2
1
3 2
2
x 2 1 x
1 2x
x
2
2
2
2 31 7
1 2
2
2 22 4
Respuesta: (a)
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
5to. de Secundaria (3ro. Ciclo Medio)
Nombre(s)-Apellido(s):
Colegio-Distrito:
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada cuadrito y dejando un
cuadrito vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Este examen dura 2 horas.
1. Un número se llama taratamudo si multiplicado por 3 da como resultado un número formado solo de unos.
Por ejemplo el primer número taratamudo es 37 pues 37×3=111. La cifra de las centenas del segundo número
tartamudo es:
(a) 8
(b) 4
(c) 5
(d) 1
(e) 0
(f) Ninguna
2. La figura que se muestra está formada por cuatro cuadrados. Los perímetros de los cuadrados I y II miden 16
cm y 24 cm respectivamente. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado IV ?
(a)62
(b) 64
(c) 66
(d) 68
(e) 70
(f) Ninguna
3. En un octógono (polígono de 8 lados iguales) se dibujan todos los
cuadriláteros (polígonos de 4 lados), posibles. ¿Cuántos hay?, por
ejemplo en el hexágono de la derecha se ha dibujados tres
cuadriláteros y hay muchos más. No olvides trabajar en un octógono
(a) 71
(b) 72
(c) 73
(d) 68
(e) 96
(f) Ninguna
4. Alex dice que Pedro está mintiendo. Pedro dice que Marcos está mintiendo. Marcos dice que Pedro está
mintiendo. Tomas dice que Alex está mintiendo. ¿Cuántos niños están mintiendo?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
(f) Ninguna
5. Pancho pensó tres números. Si los suma de dos en dos obtiene 82, 96 y 90, ¿cuál es el menor número que
pensó Pancho?
(a) 38
(b) 45
(c) 44
(d) 39
(e) 42
(f) Ninguna
6. Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la escalera está a 5 metros del muro,
el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; en cambio, si el pie de la escalera está a
9 metros del muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del muro?
(a) 12
(b) 14
(c) 13
(d) 15
(e) 11
--------o0o---------
(f) Ninguna
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
1ro. de Secundaria (7mo. Primaria)
Nombre(s)-Apellido(s):
Colegio-Distrito:
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada cuadrito y dejando un
cuadrito vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Este examen dura 2 horas.
1. ¿Cuántos son los números naturales entre 300 y 700 que tienen una y solo una de sus cifras igual a 4?
(a) 137
(b) 136
(c)135
(d)138
(e)139
(f) Ninguna
2. Usando todas las piezas de cartón que se muestran a la derecha se forma una
figura. ¿Cuál de las cinco figuras de abajo es imposible de hacer?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3. Multiplicando los números 1×2²×3³×4´×5µ se obtiene un número. ¿En cuántos ceros termina este número?
(a) 5
(b) 4
(c) 6
(d) 3
(e) 8
(f) Ninguna
4. Mueva cuatro números del rectángulo izquierdo a los rectangulitos de la derecha de modo que la suma sea
correcta. ¿Qué número queda del lado izquierdo?
(a) 17
(b) 30
(c) 49
(d) 96
(e) 167
(f) Ninguna
5. Fernando va escribiendo las letras de la palabra PLURINACIONAL, una letra cada día y en el orden en que
aparecen. Comienza sábado escribiendo la letra P, el domingo la letra L, y así continua. ¿Cuántas semanas
tarda en escribir 5 veces esta palabra?
(a) 8 semanas y 3 días
(b) 9 semanas y 2 días
(c) 6 semanas exactas
(d) 45 semanas y 1 día
(e) 6 semanas y 6 días
(f) Ninguna
6. Alex dice que Pedro está mintiendo. Pedro dice que Marcos está mintiendo. Marcos dice que Pedro está
mintiendo. Tomas dice que Alex está mintiendo. ¿Cuántos niños están mintiendo?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
--------o0o---------
(e) 4
(f) Ninguna
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
1ro. de Secundaria (7mo. Primaria)
SOLUCIONES
(Responsables: Mgr. Alvaro Carrasco C. - Mgr. Carlos Gonzales C.)
1. ¿Cuántos son los números naturales entre 300 y 700 que tienen una y solo una de sus cifras igual a 4?
Solución:
Tenemos los siguientes casos:
Si la cifra de las unidades es 4 entonces la de las decenas tiene 9 posibilidades {0,1,2,3,5,6,7,8,9} pero la de las
centenas 3 posibilidades es decir {3,5,6} y hay entonces 9x3=27
Si la cifras de las decenas fuera 4 entonces la de las unidades tiene 9 posibilidades {0,1,2,3,5,6,7,8,9} pero la
de las centenas 3 posibilidades es decir {3,5,6} y hay entonces 9x3=27
Si la cifra de las centenas fura 4 entonces la de las decenas tiene 9 posibilidades {0,1,2,3,5,6,7,8,9} y lo mismo
para la de las unidades y hay entonces 9x9=81
En total hay 27+27+81=135.
Respuesta: (c)
2. Usando todas las piezas de cartón que se muestran a la derecha se forma una
figura. ¿Cuál de las cinco figuras de abajo es imposible de hacer?
Solución:
La figura imposible de hacer es la última.
Respuesta: (e)
3. Multiplicando los números 1×2²×3³×4´×5µ se obtiene un número. ¿En cuántos ceros termina este número?
Solución:
1 22 33 44 55
1 22 33 28 55
1 210 33 55 1 25 33 (2 5)5
1 25 33 100000
Respuesta: (a)
4. Mueva cuatro números del rectángulo izquierdo a los rectangulitos de la derecha de modo que la suma sea
correcta. ¿Qué número queda del lado izquierdo?
Solución:
Como 17+30+49=96 el número que queda es 167.
Respuesta: (e)
5. Fernando va escribiendo las letras de la palabra PLURINACIONAL, una letra cada día y en el orden en que
aparecen. Comienza sábado escribiendo la letra P, el domingo la letra L, y así continua. ¿Cuántas semanas
tarda en escribir 5 veces esta palabra?
Solución:
La palabra PURINACIONAL tiene 13 letras. Para escribir 5 veces se necesitan 5x13=65 días. Como cada semana
tiene 7 días, con 9 semanas tenemos 63 días y faltarían 2 días adicionales para completar los 65 días.
Respuesta: (b)
6. Alex dice que Pedro está mintiendo. Pedro dice que Marcos está mintiendo. Marcos dice que Pedro está
mintiendo. Tomas dice que Alex está mintiendo. ¿Cuántos niños están mintiendo?
Solución:
Formemos 2 columnas: de los que dicen la verdad y de los mentirosos. Alex, el primer niño, podría decir la
verdad o no. No tenemos manera de saberlo ya que solo nos informan lo que estos niños dicen, hay dos casos:
¿Qué podemos deducir si Alex dice la verdad? Que también Marcos la dice, pero los otros no es decir:
Dicen la verdad
Alex
Marcos
Mienten
Pedro
Tomás
¿Qué podemos deducir si Alex miente? Que también lo hace Marcos, pero no los demás:
Dicen la verdad
Pedro
Tomás
Mienten
Alex
Marcos
En cualquier caso el número de niños que mienten es dos.
Respuesta: (c)
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
2do. de Secundaria (8vo. de Primaria)
Nombre(s)-Apellido(s):
Colegio-Distrito:
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada cuadrito y dejando un
cuadrito vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Este examen dura 2 horas.
1. En cada uno de los 8 puntos marcados en la figura debe escribirse uno de los
números 1, 2, 3 ó 4, de tal manera que los extremos de cada segmento tengan
números diferentes. Tres números ya han sido escritos. ¿Cuántas veces habría que
usar el número 4?
(a) 5
(b) 4
(c) 3
(d) 2
(e) 1
(f) Ninguna
2.
El ratón Pérez va a la Tierra del Queso. Pero para llegar a esa
tierra legendaria tiene que pasar a través de un sistema de
túneles, como se muestra en la figura. No se le permite volver a
una intersección en la que ya haya estado. En cada intersección
se encuentra una semilla. ¿Cuántas semillas, como máximo,
puede recoger el ratón Pérez?
(a)15
(b) 13
(e) 14
(f) Ninguna
(c) 9
(d) 8
3. Las figuras muestran cómo embaldosar pisos cuadrados de lados 3 y 5 con
baldosas blancas y negras, colocando una baldosa negra en cada esquina de
modo que cada baldosa negra esté rodeada por baldosas blancas. Si para
embaldosar un piso cuadrado con este mismo patrón se utilizaron 25 baldosas
negras, ¿cuántas baldosas blancas se utilizaron?
(a) 20
(b) 21
(c) 22
(d) 23
(e) 24
(f) Ninguna
4. Construimos la sucesión de los múltiplos de 21:
a₁ = 21
a₂ = 42
a₃ = 63
⋮
Halle la suma de las cifras del primer término de la sucesión que tenga cuatro cifras. (Por ejemplo el primer
término de la sucesión que tiene 3 cifras es a 5 =105 y la suma de sus cifras es 1+0+5=6)
(a) 11
(b) 10
(c) 9
(d) 8
(e) 12
(f) Ninguna
5. Multiplicando los números 1×2²×3³×4´×5µ ×6¶ se obtiene un número. ¿En cuántos ceros termina este
número?
(a) 6
(b) 5
(c) 7
(d) 8
(e) 4
(f) Ninguna
6. Si el Gato con botas descansa durante el día, bebe 60ml de leche. Si en cambio caza ratones, bebe un tercio
más de leche. Durante las dos últimas semanas ha cazado ratones un día si y otro no. ¿Cuánta leche ha bebido
en las últimas dos semanas?
(a) 780ml
(b) 870ml
(c) 980ml
(d) 810ml
(e)880ml
(f) Ninguna
--------o0o---------
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
2do. de Secundaria (8vo. de Primaria)
SOLUCIONES
(Responsables: Mgr. Alvaro Carrasco C. - Mgr. Carlos Gonzales C.)
1. En cada uno de los 8 puntos marcados en la figura debe escribirse uno de los números
1, 2, 3 ó 4, de tal manera que los extremos de cada segmento tengan números
diferentes. Tres números ya han sido escritos. ¿Cuántas veces habría que usar el
número 4?
Solución:
Es fácil ver que el número 4 y no otro número debe ocupar los lugares que se indican
El vértice en el falta anotar un número podría ir 1,2 ó 3 pero no 4. De manera que el 4 se puede usar 4 veces
Respuesta: (b)
2.
El ratón Pérez va a la Tierra del Queso. Pero para llegar a esa
tierra legendaria tiene que pasar a través de un sistema de
túneles, como se muestra en la figura. No se le permite volver a
una intersección en la que ya haya estado. En cada intersección
se encuentra una semilla. ¿Cuántas semillas, como máximo,
puede recoger el ratón Pérez?
Solución:
Como el ratón Pérez no puede volver por las intersecciones en que ya ha estado, al pasar a un nivel inferior ya
no le es posible retornar. (Podría hacerlo si hubiera más túneles verticales.) En vista de que en el túnel del
nivel más bajo hay la mayor cantidad de semillas, el objetivo es recoger las más se pueden:
Entonces el ratón Pérez puede recoger como máximo 13 semillas
Respuesta: (b)
3. Las figuras muestran cómo embaldosar pisos cuadrados de lados 3 y 5 con baldosas blancas y negras,
colocando una baldosa negra en cada esquina de modo que cada baldosa negra
esté rodeada por baldosas blancas. Si para embaldosar un piso cuadrado con
este mismo patrón se utilizaron 25 baldosas negras, ¿cuántas baldosas blancas
se utilizaron?
Solución:
Observemos que los lados de los pisos cuadrados deben ser números impares hagamos una lista:
Lado Número de baldosas negras
3
4
5
9
7
16
9
25
Luego se usaron 56 baldosas blancas
Número de baldosas blancas
5
16
33
56
Respuesta: (f)
4. Construimos la sucesión de los múltiplos de 21:
a₁ = 21
a₂ = 42
a₃ = 63
⋮
Halle la suma de las cifras del primer término de la sucesión que tenga cuatro cifras. (Por ejemplo el primer
término de la sucesión que tiene 3 cifras es a 5 =105 y la suma de sus cifras es 1+0+5=6)
Solución:
Haciendo cuentas se tiene que el primer término de la sucesión que tiene cuatro cifras es a 48 21 48 1008
y la suma de sus cifras es 1+0+0+8=9
Respuesta: (c)
5. Multiplicando los números 1×2²×3³×4´×5µ ×6¶ se obtiene un número. ¿En cuántos ceros termina este
número?
Solución:
Que termine en ceros significa que tiene un factor igual a 10, veamos cuantos 10 existen en el número dado:
1 22 33 44 55 66
1 22 33 28 55 26 36
1 216 39 55 1 211 39 (2 5)5
1 211 39 100000
Y el número termina en 5 ceros
Respuesta: (b)
6. Si el Gato con botas descansa durante el día, bebe 60ml de leche. Si en cambio caza ratones, bebe un tercio
más de leche. Durante las dos últimas semanas ha cazado ratones un día si y otro no. ¿Cuánta leche ha bebido
en las últimas dos semanas?
Solución:
La cantidad de leche que el Gato toma es:
60 7
Respuesta: (c)
60
1
60
3
7
980
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
5to. de Secundaria (3ro. Ciclo Medio)
SOLUCIONES
(Responsables: Mgr. Alvaro Carrasco C. - Mgr. Carlos Gonzales C.)
1. Un número se llama taratamudo si multiplicado por 3 da como resultado un número formado solo de unos.
Por ejemplo el primer número taratamudo es 37 pues 37×3=111. La cifra de las centenas del segundo número
tartamudo es:
Solución:
Como el número formado por unos, tiene como divisor a 3, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 3, de
manera que el segundo número formados por unos divisible por 3 es: 111111, y dividiendo tenemos
111111=3x37037 y así 37037 es el segundo número tartamudo y la cifra de sus centenas es 0
Respuesta: (e)
2. La figura que se muestra está formada por cuatro cuadrados. Los perímetros de los cuadrados I y II miden 16
cm y 24 cm respectivamente. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado IV ?
Solución:
De la figura se sigue que el perímetro del cuadrado IV es 4x16=64
6
4
Respuesta: (b)
6
10
10
3. En un octógono (polígono de 8 lados iguales) se dibujan todos los
cuadriláteros (polígonos de 4 lados), posibles. ¿Cuántos hay?, por
ejemplo en el hexágono de la derecha se ha dibujados tres cuadriláteros
y hay muchos más. No olvides trabajar en un octógono
Solución:
Numeremos los ocho vértices del octágono empezando por cualquier de ellos:
Si se escogen cuatro de estos números queda definido el cuadrilátero pedido (por
ejemplo {1,4,6,7} obviamente sólo hay una manera de formar un cuadrilátero con
estos números) Para escoger estos cuatro números
tendríamos que escoger el primero de entre 8 opciones
{1,2,3,4,5,6,7,8}, el segundo entre 7 opciones que
quedan, el tercero de entre 6 opciones y el cuarto de
entre 5 opciones restantes. Es decir, hay 8x7x6x5 maneras de escoger estos cuatro
números. Pero estamos contando demás, ya que por ejemplo {1,4,6,7} y {1,7,4,6} dan
el mismo cuadrilátero. En realidad, todas las maneras de reordenar estos cuatro
números dan el mismo cuadrilátero y hay 4x3x2x1 maneras. Por lo tanto, si anulamos estas repeticiones, la
cantidad de cuadriláteros que se pueden dibujar es
Respuesta: (f)
8 7 6 5
4 3 2 1
70
4. Alex dice que Pedro está mintiendo. Pedro dice que Marcos está mintiendo. Marcos dice que Pedro está
mintiendo. Tomas dice que Alex está mintiendo. ¿Cuántos niños están mintiendo?
Solución:
Formemos 2 columnas: de los que dicen la verdad y de los mentirosos. Alex, el primer niño, podría decir la verdad
o no. No tenemos manera de saberlo ya que solo nos informan lo que estos niños dicen, hay dos casos:
¿Qué podemos deducir si Alex dice la verdad? Que también Marcos la dice, pero los otros no es decir:
Dicen la verdad
Alex
Marcos
Mienten
Pedro
Tomás
¿Qué podemos deducir si Alex miente? Que también lo hace Marcos, pero no los demás:
Dicen la verdad
Mienten
Pedro
Alex
Tomás
Marcos
En cualquier caso el número de niños que mienten es dos.
Respuesta: (c)
5. Pancho pensó tres números. Si los suma de dos en dos obtiene 82, 96 y 90, ¿cuál es el menor número que
pensó Pancho?
Solución:
Se tiene el sistema
x y 82
x z 96
y z 90
Sumando tenemos 2( x y z) 268 reemplazando la primera ecuación tenemos 2(82 z)
z 52, y 38, x 44 y el menor de los números es 38
268 de donde
Respuesta: (a)
6. Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la escalera está a 5 metros del muro,
el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; en cambio, si el pie de la escalera está a
9 metros del muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del muro?
Solución:
10
Sea l, la longitud de la escalera, de los gráficos tenemos:
8
(l 10)2
x 2 52 y (l 8)2
x 2 92
Restando ambas ecuaciones tenemos l 23 y reemplazando
en alguna de las ecuaciones anteriores tenemos x 12
Respuesta: (a)
l-10
5
x
l-8
x
9
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
6to. de Secundaria (4to. Ciclo Medio)
Nombre(s)-Apellido(s):
Colegio-Distrito:
Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada cuadrito y dejando un
cuadrito vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la
respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y
calculadoras, copiar o hablar. Este examen dura 2 horas.
1. Una hoja cuadrada de papel ha sido dividida en 2011 x2011 cuadraditos, en los
cuales se escriben los números 1, 2, 3 y 4 de acuerdo al patrón que se muestra en la
figura. La suma de los números escritos en las dos diagonales de este cuadrado es:
(a) 6032
(b) 6034
(c) 6035
(d) 6036
(e) 6038
(f) Ninguna
2. Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la escalera
está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; en cambio, si
el pie de la escalera está a 9 metros del muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del
muro?
(a) 18
(b) 16
(c) 14
(d) 12
(e) 10
3. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ( x 2 x 1)( x 2 x 1)
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
(f) Ninguna
8?
(f) Ninguna
4. De un cuadrado de papel se construye un pentágono como sigue: se doblan las esquinas B y D de manera que
queden sobre la diagonal AC y se vuelve a doblar la figura obtenida de manera que la esquina C coincida con la
esquina A. ¿Cuánto mide el ángulo que se marca en la figura como ?
(a) 112
(b) 114
(c) 112,5
(d) 114,5
(e) 100
(f) Ninguna
5. Pancho pensó tres números. Si los suma de dos en dos obtiene 82, 96 y 90, ¿cuál es el mayor número que
pensó Pancho?
(a) 78
(b) 45
(c) 54
(d) 81
(e) 54
(f) Ninguna
6. En un octógono (polígono de 8 lados iguales) se dibujan todos los
cuadriláteros (polígonos de 4 lados), posibles. ¿Cuántos hay?, por
ejemplo en el hexágono de la derecha se ha dibujados tres
cuadriláteros y hay muchos más. No olvides trabajar en un octógono
(a)78
(b) 70
(c) 54
(d) 81
(e)88
--------o0o---------
(f) Ninguna
1ra. Olimpiada Científica Estudiantil
Plurinacional Boliviana (OCEPB)
Segunda Etapa: Distritos Educativos
MATEMÁTICAS
6to. de Secundaria (4to. Ciclo Medio)
SOLUCIONES
(Responsables: Mgr. Alvaro Carrasco C. - Mgr. Carlos Gonzales C.)
1. Una hoja cuadrada de papel ha sido dividida en 2011 x2011 cuadraditos, en los
cuales se escriben los números 1, 2, 3 y 4 de acuerdo al patrón que se muestra en la
figura. La suma de los números escritos en las dos diagonales de este cuadrado es:
Solución:
Como los números 12,3,4 se repiten en bloques de 4, entonces 2011=502x4+3 lo que
dice hay 502 bloques y 3 números a continuación es decir 1,2,3 y así la tabla termina
en 3
Es fácil observar que en un diagonal hay 2011
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3
unos y la otra diagonal empieza con tres y los
4 1 2 3 4 1 2 3
4 1 2 3 4 1 2
unos se intercalan luego hay 1006 tres y 1005
3 4 1 2 3 4 1 2
3 4 1 2 3 4 1
2 3 4 1 2 3 4 1
2 3 4 1 2 3 4
unos, así la suma de los números en ambas
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3
diagonales es
4 1 2 3 4 1 2 3
4 1 2 3 4 1 2
2011x1+1006x3+1005x1=6034
3 4 1 2 3 4 1 2
3 4 1 2 3 4 1
bloque 1
Respuesta: (b)
4
1
bloque 2
bloque 502
2 3
4
1
2 3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
4
3
4
1
2 3
4
2
4
1
2
3
1
4
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3 4
1
2 3
4
1
2 3
4
1
4
3
4
1
2 3
4
1
2 3
4
1
2
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2 3
4
4
1
2
3
3
1
2
3
4
1
2
3
1
2 3
4
1
2
4
1
4
3
2
1
2
4
2 3
1
4
2. Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la escalera está a 5 metros del muro,
el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; en cambio, si el pie de la escalera está a
9 metros del muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del muro?
Solución:
Sea l, la longitud de la escalera, de los gráficos tenemos:
(l 10)2
10
x 2 52 y (l 8)2
x 2 92
Restando ambas ecuaciones tenemos l 23 y reemplazando
en alguna de las ecuaciones anteriores tenemos x 12
l-10
8
l-8
x
x
Respuesta: (d)
9
5
3. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ( x 2
Solución:
(( x 2
x 1)( x 2
x) 1)(( x 2
( x2
x) 2 1 8
( x2
x) 2 9 0
( x2
x) 2 32
(x
2
x 3)( x
2
x 3 0
x2
x 3 0
x
x 1) 8 ?
x) 1) 8
0
2
x 3)
0
La primera ecuación no tiene soluciones reales y la segunda tiene por raíces x1,2
Respuesta: (c)
1
13
2
4. De un cuadrado de papel se construye un pentágono como sigue: se doblan las esquinas B y D de manera que
queden sobre la diagonal AC y se vuelve a doblar la figura obtenida de manera que la esquina C coincida con la
esquina A. ¿Cuánto mide el ángulo que se marca en la figura como ?
Solución:
45/2
67.5
67.5
De donde se sigue que
67.5 180 y así
112.5
Respuesta: (c)
5. Pancho pensó tres números. Si los suma de dos en dos obtiene 82, 96 y 90, ¿cuál es el mayor número que
pensó Pancho?
Solución:
Se tiene el sistema
x y 82
x z 96
y z 90
Sumando tenemos 2( x y z) 268 reemplazando la primera ecuación tenemos 2(82 z)
z 52, y 38, x 44 y el mayor de los números es 52
268 de donde
Respuesta: (f)
6. En un octógono (polígono de 8 lados iguales) se dibujan todos los
cuadriláteros (polígonos de 4 lados), posibles. ¿Cuántos hay?, por
ejemplo en el hexágono de la derecha se ha dibujados tres cuadriláteros
y hay muchos más. No olvides trabajar en un octógono
Solución:
Numeremos los ocho vértices del octágono empezando por cualquier de ellos:
Si se escogen cuatro de estos números queda definido el cuadrilátero pedido (por
ejemplo {1,4,6,7} obviamente sólo hay una manera de formar un cuadrilátero con
estos números) Para escoger estos cuatro números
tendríamos que escoger el primero de entre 8 opciones
{1,2,3,4,5,6,7,8}, el segundo entre 7 opciones que
quedan, el tercero de entre 6 opciones y el cuarto de
entre 5 opciones restantes. Es decir, hay 8x7x6x5 maneras de escoger estos cuatro
números. Pero estamos contando demás, ya que por ejemplo {1,4,6,7} y {1,7,4,6} dan
el mismo cuadrilátero. En realidad, todas las maneras de reordenar estos cuatro
números dan el mismo cuadrilátero y hay 4x3x2x1 maneras. Por lo tanto, si anulamos estas repeticiones, la
cantidad de cuadriláteros que se pueden dibujar es
8 7 6 5
4 3 2 1
70
Respuesta: (b)
--------o0o---------