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¿Cuáles son las condiciones?
Plan de clase (1/6)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos
a partir de construcciones con información determinada.
Intención didáctica. Que los alumnos concluyan que para formar un triángulo es
necesario que la suma de dos de sus lados sea mayor que el tercer lado.
Consigna. Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades.
1. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con un mismo número entero
de palillos? Para saberlo, van a construir triángulos y completar la siguiente tabla.
Los palillos serán usados todos a la vez en el perímetro.
2. Cada integrante del equipo debe,
a. Escoger cinco triángulos de los que formaron para completar la tabla de la
actividad 1 y trácenlos utilizando regla y compás (cambien la unidad de medida:
si un lado mide 5 palillos, trácenlo de 5 centímetros).
b. Traten de trazar cinco de los triángulos que no se pudieron hacer en el inciso
anterior; demuestren que no existen triángulos con esas medidas (con 10
palillos por ejemplo, no existe un triángulo cuyos lados midan 6-3-1).
c. Validen las respuestas que obtuvieron individualmente con el equipo.
3. En equipo,
a. Por turno cada alumno lanza los tres dados.
b. Si con los números de los dados es posible formar un triángulo, el jugador debe
sumarlos y anotar ese puntaje a su favor. Si no es posible formar un triángulo,
el puntaje para esa tirada es cero.
c. Gana quien haga más puntos en 10 tiradas.
Consideraciones previas:
Para realizar las actividades correspondientes a este desafío es necesario que los
alumnos usen su juego de geometría, tijeras y en especial para este plan se necesitan
palillos u otro material que sustituya los palillos.
Para el caso de la primera actividad es posible que los alumnos exploraren la forma de
construir triángulos usando palillos. Notarán que con uno o dos palillos, por ejemplo, es
imposible formar un triángulo, y que con tres palillos se puede formar sólo un triángulo:
Mientras que con 11 palillos pueden formarse cuatro triángulos diferentes.
Después de un tiempo suficiente, algunos equipos pasarán al frente a mostrar sus
resultados (pueden hacer sus tablas en pliegos de papel bond y pegarlas en el pizarrón).
Una vez que se tengan varias tablas, deben compararlas, y en aquellos renglones donde
haya resultados diferentes los equipos implicados validarán su solución ante el grupo.
Es probable que no todos los equipos encuentren todos los triángulos que pueden
formarse con cierto número de palillos, pero de manera grupal pueden formar y completar
llegando a formar una tabla como la siguiente:
Además de la exploración de los diferentes triángulos, lo importante de la actividad es que
los alumnos analicen cuándo es posible formar triángulos y cuándo no. Haciendo
preguntas como: ¿por qué con 15 palillos no pudieron formar un triángulo cuyos lados
midieran 8, 4 y 3?, se pretende que los alumnos lleguen a enunciar (con sus propias
palabras) que la suma de las medidas de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser
mayor que la medida del tercer lado, o bien que la suma de las medidas de los dos lados
menores debe superar la medida del lado mayor.
De la actividad 2 se espera que los alumnos consoliden la técnica para trazar triángulos
con regla y compás, y de la actividad 3 que los alumnos reafirmen la conclusión a la que
llegaron en la actividad 1.
Una actividad adicional que se puede plantear a los alumnos es la siguiente:
De manera individual dibujen, si es posible, el triángulo DEF con las medidas indicadas en
cada inciso. Al terminar contesten las preguntas.
a)
b)
c)
d)
DE = 3 cm;
DE = 4 cm;
DE = 5 cm;
DE = 8 cm;
EF = 4 cm
EF = 5 cm
EF = 7 cm
EF = 3 cm
y
y
y
y
FD = 5 cm
FD = 10 cm
FD = 5 cm
FD = 4 cm
a) ¿En cuáles casos no se construyó el triángulo solicitado? Argumenten.
b) Den dos ejemplos diferentes donde no se pueda construir un triángulo y expliquen
por qué.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
¿Con qué criterio?
Plan de clase (2/6)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos
a partir de construcciones con información determinada.
Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos
basado en la medida de sus tres lados (LLL).
Consigna. Organizados en equipos realicen la actividad.
Cada integrante del equipo construya en una hoja un triángulo con la medida de los
segmentos que se dan enseguida, recorten sus triángulos y compárenlos con los de sus
compañeros de equipo. Después contesten las preguntas.
a) ¿Los triángulos que trazo cada uno de ustedes fue igual al de sus compañeros de
equipo?_______________________________________
b) Si hubo diferencias, analicen sus trazos y digan a qué se
debieron.__________________________________________________
c) ¿Serán iguales los triángulos que ustedes trazaron con los trazados por el resto de
sus compañeros de grupo?______ ¿Por qué?____________
d) ¿Dada la medida de los tres lados es suficiente para obtener triángulos iguales?
___________________________________________________
Consideraciones previas:
Para realizar la actividad es necesario el juego de geometría y tijeras.
En esta actividad es importante que los alumnos observen que sus triángulos son iguales,
no importa la posición en que los hayan dibujado (aquí se puede insistir que la posición no
determina la igualdad o no de dos o más figuras). Asimismo, será necesario que todos los
alumnos concluyan que si los tres lados de dos triángulos tienen la misma medida,
entonces ambos triángulos son congruentes.
Antes de llegar a esta conclusión el maestro puede cuestionarlos acerca de si creen que
sea posible obtener un triángulo diferente, dadas las medidas de los tres lados.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
En qué fijarse
Plan de clase (3/6)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos
a partir de construcciones con información determinada.
Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos
basado en la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
Consigna 1. Organizados en equipos realicen las siguientes actividades.
1. Cada integrante del equipo construya un triángulo con los segmentos que aparecen
enseguida de manera que entre ellos formen un ángulo de 60°. Comparen sus
triángulos y digan qué sucedió.
2. Con los mismos datos tracen un triángulo diferente al anterior. Comenten con sus
compañeros de equipo qué sucedió y por qué.
Consideraciones previas:
Tal vez los alumnos digan que si el ángulo señalado se traza del lado izquierdo es
diferente que si se traza del lado derecho. Será necesario cuestionarlos hasta que lleguen
a la conclusión de que este hecho no importa.
Una vez realizado este ejercicio será necesario que concluyan que dadas estas tres
condiciones (la medida de dos lados y el ángulo que forman entre ellos) siempre se
obtendrán triángulos iguales. Éste es otro criterio de congruencia.
En caso de que el ejercicio se realice rápido y haya tiempo, se les puede pedir que un
alumno dé la medida de dos segmentos y el ángulo que forman entre ellos, para que sus
compañeros tracen el triángulo correspondiente y lo comparen.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
En qué son iguales
Plan de clase (4/6)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos
a partir de construcciones con información determinada.
Intención didáctica: Que los alumnos, con base en las actividades realizadas, enuncien
de manera precisa la congruencia de triángulos a partir de la medida de dos ángulos y el
segmento entre ellos (ALA).
Consigna 1: Organizados en parejas realicen la siguientes actividades.
1. Construyan un triángulo con el segmento AC y los ángulos que se indican. Al
terminar, compárenlo con el de otras parejas poniéndolos a contraluz.
A_______________________C
A = 40°
C = 70°
2. Cada integrante de la pareja dibuje un triángulo cualquiera. Después, cada uno
anote en un papelito tres medidas del triángulo que construyó para que con esta
información la pareja pueda construir un triángulo igual. Comparen los triángulos
para ver si efectivamente son iguales.
Consideraciones previas:
De la primera actividad, es probable que algún alumno no sepa dónde y cómo trazar los
ángulos que se indican, así que se les puede ayudar indicándoles cómo hacerlo,
posiblemente consideren que si cambian de posición los ángulos que están en los
extremos del segmento dado, es decir que A = 70° y C = 40°, obtengan un triángulo
diferente al anterior. Conviene que verifiquen si esto es cierto y, si es necesario pedirles
que recorten el triángulo y lo comparen con el anterior. De esta manera se debe llegar a la
conclusión de que dada la medida de dos ángulos y el segmento entre éstos, se obtienen
triángulos congruentes. No olvidar pedir juego de geometría y tijeras.
La segunda actividad es para que concluyan que con tres medidas de un triángulo dado,
en este caso la medida de dos ángulos y la medida del lado en tres dichos ángulos se
puede construir otro triángulo congruente, siempre y cuando las tres medidas que se
proporcionen del triángulo no sean los tres ángulos. Si es necesario hay que ayudarlos a
formular esta conclusión.

Se anexa la hoja de trabajo de Emat “Figuras directa o inversamente
congruentes”, páginas 124 y 125, para trabajar con al software de geometría
dinámica. ANEXO 2
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
____________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
ANEXO 2 DEL PLAN (4/6)
Útil
Uso limitado
Pobre
Por qué es único
Plan de clase (5/6)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos
a partir de construcciones con información determinada.
Intenciones didácticas: Que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de
triángulos a partir de las construcciones y la discusión acerca de la existencia y la
unicidad.
Consigna: De manera individual realiza la siguiente actividad.
Traza sobre una hoja blanca, un triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que
se indica.
a) Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verifiquen que, aunque sean de
distintos tamaños, todos son semejantes porque tienen la misma forma. ¿A qué se
debe que todos son semejantes? _______________________
b) Tomen dos de los triángulos que construyeron y contesten las siguientes
preguntas:
¿Cuál es la razón entre los lados de esos triángulos? ______________
¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ___________
¿Cuál es la razón entre sus áreas? _____________
c) Trace cada quien un cuadrado, procurando que sean de distintos tamaños,
después contesten las siguientes preguntas:
¿Consideran que todos los cuadrados que construyeron son semejantes?
Consideren solamente dos cuadrados para contestar lo siguiente:
¿Cuál es la razón entre sus lados? ________________
¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ______________
¿Cuál es la razón entre sus áreas? ________________
Consideraciones previas:
La idea de iniciar el estudio de este contenido con el análisis de dos figuras regulares
(lados y ángulos iguales), es que los alumnos tengan una idea general de lo que es la
semejanza (figuras que tienen la misma forma), para después analizar algunos casos
particulares. Es probable que varios alumnos pregunten qué es razón, ante lo cual hay
que recordarles que una razón es un cociente entre dos cantidades. Por ejemplo, si un
lado de un triángulo equilátero A mide 3 cm y el lado correspondiente del triángulo
equilátero B mide 5 cm, la razón entre los lados es 3/5 o bien 5/3, dependiendo de cuál
triángulo se toma como punto de partida.
Es posible que a los alumnos les llame la atención el hecho de que la razón entre los
perímetros sea la misma que la razón entre los lados, pero no sucede lo mismo con la
razón entre las áreas. Hay que pedirles que traten de explicar a qué se debe esto.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________
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__________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
¿Cuál es la relación?
Plan de clase (6/6)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: __________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos
a partir de construcciones con información determinada.
Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre las
medidas de los lados homólogos de dos triángulos semejantes.
Consigna: De manera individual traza, en una hoja blanca, un triángulo escaleno (tres
lados desiguales) cuyos ángulos midan respectivamente 80°, 60° y 40°. Cuando termines
tu trazo, haz y contesta lo que se indica en seguida.
a) Reúnete con tu equipo y comparen sus triángulos.
b) ¿Consideras que resultaron semejantes? ____________________________
__________________________________________________________________
c) Tomen dos triángulos cualesquiera de los que construyeron, identifiquen los lados
correspondientes y márquenlos como se indica en el siguiente dibujo. Después,
calculen las razones expresadas con letras.
B’
AB
=
A' B '
B
BC
=
B 'C '
A
C
A’
C’
CA
=
C ' A'
d) ¿Cuál es la razón entre los lados correspondientes de los triángulos que trazaron?
_______________________________________________________________
e) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? _______________________________
f) ¿Cuál es la razón entre las áreas? ___________________________________
Consideraciones previas:
Es importante que durante la puesta en común se explicite el hecho de que, en dos o más
triángulos que son semejantes se cumplen dos propiedades importantes:
Primera: Los ángulos correspondientes son iguales.
Segunda: la razón entre sus lados correspondientes es constante.
Esta segunda propiedad puede expresarse de la siguiente manera:
AB
BC
CA
=
=
A' B ' B 'C ' C ' A'
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre