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UNIVERSIDAD DEL GOLFO DE
CALIFORNIA
LAS TICS EN MATEMATICAS
MAYO DEL 2012
FUNDAMENTACION DE LA ESTRATEGIA
En este tema se utilizan los programas GEO-GEBRA y GEO-CABRI donde
anteriormente se utilizo grados anteriores y así mismo se aplica en este grado,
por ello es importante no perder la transversalidad de ambos temas y continuar
utilizándolos, para que el alumno los aplique y desarrolle en el aula de medios.
ESTRATEGIA CURRICULAR A DISEÑAR
Considerando los años anteriores donde se utilizo el programa de GEOGEBRA y
ahora GEOCABRI, es importante que los alumnos conozcan los dos diferentes
programas en los cuales están vinculados dichos temas con las tics donde ellos
tengan ese interés hacia la materia de matemáticas
Mediatriz y Bisectrices
Plan de clase (1/3)
Escuela: ___________________________________________________ Fecha: _________
Prof. (a): ___________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 7
Eje temático: FE y M
Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y comparen las características y propiedades de
las rectas notables del triángulo.
Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema.
1. Analicen las líneas que aparecen en los triángulos y anoten una
en la tabla frente al
triángulo cuando las características sí se cumplan y una X cuando no se cumplan.
1
2
3
4
Características
Las líneas son
perpendiculares a
los lados del
triángulo o a la
prolongación de
éstos
Las líneas
pasan por
un vértice
del
triángulo
Las líneas
cortan los
lados del
triángulo en
los puntos
medios
Las líneas
dividen a la
mitad los
ángulos del
triángulo
Las líneas
se cortan
en un
punto
Las líneas
son
paralelas a
los lados
del
triángulo
Las líneas
cortan los
lados del
triángulo en
una razón de
2a1
Triángulo 1
(mediatrices)
Triángulo 2
(medianas)
Triángulo 3
(alturas)
Triángulo 4
(bisectrices)
Consideraciones previas:
Para realizar la confrontación se sugiere tener dibujada la tabla en el pizarrón o en una hoja de
rotafolio y hacer lo siguiente:
a) Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o
cruces como fueron anotadas por los equipos.
b) Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para que busquen
argumentos que fundamenten su respuesta.
c) Cuando todos estén de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado el
nombre de cada tipo de rectas y las características que le corresponden.
Es probable que algunos alumnos no sepan a qué se refiere la última columna, en cuyo caso
hay que aclarar que es como si el lado se dividiera en tres partes iguales, de las cuales quedan
dos a un lado de la recta y una al otro lado.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
De la misma forma
Plan de clase (1/4)
Escuela: __________________________________________ Fecha: ___________
Profr. (a): ____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido: 9.1.2: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos,
cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre las propiedades que guardan
los elementos homólogos al construir triángulos semejantes y que adviertan que la
congruencia es un caso especial de la semejanza.
Consigna: Equipos resuelvan los siguientes problemas.
1. Cada integrante del equipos construya los triángulos cuyos ángulos midan:
a) 60º, 60º y 60º
b) 90º, 45º y 45º
c) 90º, 60º y 30º
2. Agrupen sus triángulos, de acuerdo con las medidas de sus ángulos. Después
contesten: ¿Por qué creen que los triángulos de cada grupo tienen la misma forma?
___________________________________________________________
3. Elijan dos triángulos que tengan la misma forma y hagan lo siguiente:
a) Nombren uno de los triángulos con las letras ABC y al otro con A’B’C’
b) Nombren los lados de uno de los triángulos con las letras abc y los lados del otro
con a’b’c’.
c) Midan los lados de ambos triángulos y anoten los datos que se piden en la
siguiente tabla.
Triángulo
ABC
a=
b=
c=
a/a’=
b/b’=
Triángulo
A’B’C’
a’=
b’=
c’=
a/b=
a’/b’=
c/c’=
d) ¿Por qué se puede asegurar que los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ son
proporcionales? ______________________________________________
Consideraciones previas:
En esta actividad se debe dejar la opción a los alumnos de hacer los trazos con el juego
geométrico o con un software de geometría dinámica (por ej. Cabri-Géomètre).
Es importante que los alumnos se den cuenta de que dados tres ángulos se obtienen
triángulos cuyos lados pueden tener diferentes medidas, pero conservan la misma forma,
es decir, son triángulos semejantes.
Al encontrar la razón entre los lados homólogos deberán concluir que se trata de una
constante, lo cual indica que las medidas aumentan o disminuyen en la misma proporción.
Es probable que en la construcción de triángulos o en la elección de triángulos para
encontrar las razones de lados homólogos, se trate de triángulos de lados iguales, es
decir, que tengan la misma forma y el mismo tamaño, si así sucede es importante que los
estudiantes analicen sus propiedades y concluyan que también se trata de triángulos
semejantes. Si no sucede lo anterior, se sugiere que el profesor proponga dicho análisis,
con la intención de que los alumnos adviertan que los triángulos semejantes tienen la
misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, que los triángulos congruentes
también son semejantes.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
_________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
_________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Plan de clase 1/3
Escuela: __________________________________________ Fecha: _______________
Profesor (a): _____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido: 9.4.5 Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y
tangente.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el círculo unitario para identificar la
variación de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, a medida que crece o
disminuye el ángulo agudo asociado.
Consigna. En parejas, abran el archivo G9B4C5.ggb. En él aparece un círculo con radio
igual a 1 como se muestra enseguida.
1. Den clic en el ícono
, luego, muevan el punto B sobre la circunferencia de manera
que el ángulo θ crezca o disminuya. Analicen con detalle qué es lo que sucede con cada
una de las razones trigonométricas.
2. ¿Es verdad que el seno del ángulo θ es igual a y? _______ ¿por qué?
___________________________________________________________________
3. ¿Es verdad que el coseno del ángulo θ es igual a x? _______ ¿por qué?
________________________________________________________________________
3. ¿Es verdad que la tangente del ángulo θ es igual a KL ? _______ ¿por qué?
________________________________________________________________________
Consideraciones previas
Para realizar esta actividad es necesario contar equipo de cómputo y con el programa
Geogebra instalado. Si no hay suficientes equipos para que los alumnos los utilicen
individual o en grupos pequeños, el profesor puede utilizar un equipo y un proyector, de
tal manera que todos los alumnos puedan ver los efectos al manipular la construcción
geométrica. La idea central de esta actividad es que los alumnos analicen qué sucede
cuando varía el ángulo θ. Para ello, será necesario hacerles alguna preguntas, como por
ejemplo, ¿cuál es el valor de seno, coseno y tangente cuando el ángulo θ mide 30°, 45°,
60° y 90°?
El círculo unitario se llama así porque el radio mide una unidad, el centro del círculo está
en el origen del plano cartesiano, los ángulos se generan de derecha a izquierda. Cuando
se marca un ángulo se hace con el giro del radio que mide uno. Si se traza una
perpendicular del punto que forma el radio con la circunferencia hacia el eje de las X se
forma un triángulo rectángulo. La función seno en el círculo unitario queda entonces como
y/h (cateto opuesto entre hipotenusa) pero como h = 1, entonces el seno es igual a y. El
coseno queda como x/h, pero como h = 1, el coseno es igual a x.
En el triángulo ABE, la tangente es igual a y/x. Si se traza un triángulo ALK, semejante a
ABE, con la prolongación de h y la tangente KL, entonces puede establecerse la siguiente
igualdad:
BE/AE = KL/AK, pero como AK = 1, entonces, BE/AE = KL
Se puede concluir que la tangente de θ (BE/AE) es igual a KL o bien al valor de la
ordenada del punto L.
En caso de que no se pueda realizar la actividad con el Software propuesto, se podría
realizar con lápiz y papel. Para ello se puede proporcionar a los alumnos el siguiente
círculo unitario y pedirles que determinen los triángulos rectángulos, para lograrlo tendrán
que trazar las perpendiculares al eje X y que pasen por los puntos C; D; E y F.
Posteriormente los alumnos tendrán que hacer las mediciones necesarias para concluir
que el seno, coseno y tangente del ángulo θ es igual a y, x y BK, respectivamente.
Será necesario ayudar a los alumnos para el trazo de los triángulos semejantes ABK
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
____________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________
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____________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Plan de clase 2/3
Escuela: _________________________________________ Fecha: ________________
Profesor (a):_____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido. 9.4.5 Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y
tangente.
Intenciones didácticas: Que los alumnos usen las razones trigonométricas para resolver
problemas.
Consigna. Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas. Para ello, usen
su calculadora científica o la tabla de razones trigonométricas.
1. ¿Cuál es la altura del asta bandera, si a cierta
hora del día el ángulo que forma el extremo de su
sombra con la punta del asta mide 37º?
?
37°
20 m
2. ¿Cuál es la altura de la torre y la longitud
del tirante que la sostiene?
y
x
65°
30 m
3. Un puente de 18 m de largo
atraviesa por una barranca como se
muestra en el siguiente esquema.
¿Cuál es la profundidad de la
barranca?
4. Se desea construir un puente sobre un
río que mide 10 m de ancho, de manera
que quede a una altura de 2 m sobre el
agua y que las rampas de acceso tengan
una inclinación de 20°
a) ¿Cuál
barandal?
debe
ser
la
longitud
del
b) ¿A qué distancia del cauce se situará el
comienzo de la rampa?
5. Se desea calcular la altura de
la torre, para ello se miden los
ángulos de elevación desde los
puntos A y B. Con los datos de la
figura, ¿cuál es la altura de la
torre?
Consideraciones previas:
Es importante asegurar que los alumnos cuenten con una calculadora científica o la tabla
de razones trigonométricas que va como anexo 1 en este plan.
En el caso del problema 1, sólo existe un camino para resolverlo, que es usando la razón
tangente.
En el problema 2, es probable que surjan diversos caminos, por ejemplo, con la razón
tangente se puede calcular la altura de la torre. Luego, con este dato se podría aplicar el
Teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa, que en este caso, representa la
longitud del tirante que sostiene a la torre. Otros alumnos, quizá no se les ocurra usar el
Teorema de Pitágoras, por lo que para resolver el problema usen la razón coseno para
calcular la longitud del tirante, luego, con la razón seno, obtengan la altura de la torre.
Con respecto al problema 3, se espera que los alumnos reconozcan que el esquema del
puente representa un triángulo isósceles, por lo que se puede dividir en dos triángulos
rectángulos, donde uno de los catetos mide 9 m. Por lo que haciendo uso de la razón
tangente se determina que la profundidad de la barranca es de 9 metros porque:
(tan 45°)(9 m) = (1) (9 m) = 9 m
En el caso del problema 4, para responder el inciso a, se debe calcular h con la razón
seno y que resulta 5.84 m; sin embargo, hay que considerar que es un cálculo
aproximado. Finalmente, se espera que puedan determinar que la longitud total del
barandal es de aproximadamente 21.6 metros y la distancia del cauce al comienzo de la
rampa es de aproximadamente 5.5 metros.
En el caso del problema 5, una forma de resolverlo es a partir de establecer un sistema de
ecuaciones y despejar h en cada ecuación para luego resolver el sistema por igualación.
tan 35 
h
10  x
tan 63 
h
x


h  (10  x)(tan 35)
h  ( x)(tan 63)
Finalmente, resulta que la altura de la torres es de aproximadamente 10.88 metros.
En la puesta en común es importante que los alumnos expongan y argumenten
claramente a sus compañeros sus procedimientos y cálculos, para que concluyan que
dependerá de la situación que plantee el problema y los datos que contenga, la elección
de la razón trigonométrica.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
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Uso limitado
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Anexo 1.
Plan de clase 3/3
Escuela: _________________________________________ Fecha: ________________
Profesor (a): _____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido. 9.4.5 Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y
tangente.
Intenciones didácticas. Que los alumnos utilicen las razones trigonométricas y el
teorema de Pitágoras para calcular valores de ángulos y lados de triángulos rectángulos.
Consigna: Individualmente, calculen los valores que se piden en cada caso. Usen su
calculadora científica o la tabla de razones trigonométricas.
b = __________
a = __________
c = __________
c = __________
 B = __________
 B = __________
c = __________
a = __________
 A = __________
 A = __________
 B = __________
 B = __________
Consideraciones previas:
Ahora se tienen triángulos rectángulos con algunas medidas de lados y ángulos y se trata
de calcular las medidas faltantes. Algunas herramientas que pueden utilizar los alumnos
son el teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas y la relación entre las medidas
de los ángulos interiores de un triángulo. La expectativa es que puedan ser utilizadas de
manera flexible y que los estudiantes argumentan sus decisiones.
Por ejemplo, para encontrar los elementos faltantes de la figura B, los alumnos pueden
seguir alguno de los siguientes procedimientos:
a) Utilizar la razón tangente para encontrar la medida de a,
después la razón seno para obtener c y finalmente la medida del
ángulo B con la razón coseno.
b) Calcular la medida de c con la razón coseno, después obtener la
medida de a con el teorema de Pitágoras y finalmente la medida
del ángulo B con la razón seno.
c) Obtener la medida del ángulo B (52°), a sabiendas que los tres
ángulos interiores deben sumar 180° y ya se tiene uno de 38° y
otro de 90°, después utilizar el seno de B para calcular c y
finalmente usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud
de a.
Dado que varios valores se pueden obtener con diferentes herramientas, se sugiere que
los estudiantes validen sus resultados utilizando más de una, por ejemplo, si obtienen el
valor del ángulo B con alguna razón trigonométrica, que verifiquen que al sumar los tres
ángulos interiores obtengan 180 °; si la longitud de c la obtienen utilizando el teorema de
Pitágoras, que comprueben que se obtiene el mismo resultado utilizando alguna razón
trigonométrica.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
__________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre