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IES CARRIZAL
4º ESO (opción-B)
BLOQUE II: ÁLGEBRA
UNIDAD 1: POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS
El curso pasado ya viste la definición de polinomio en una indeterminada, x, así como
las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios.
Este curso veremos la división de polinomios y la regla de Ruffini, como caso particular
de la división.
1.1. División de polinomios.
Dados los polinomios P ( x ) y Q ( x ), para poder realizar la división P ( x ) : Q ( x )
necesitamos que el grado de P ( x ) sea mayor que el de Q ( x ).
P(x) Q(x)
R(x) C(x)
de donde se deriva que P ( x ) = Q ( x ) . C ( x ) + R ( x )
Al polinomio C ( x ) lo llamaremos cociente y al polinomio R ( x ) lo llamaremos resto
de la división.
Ejemplo: Vamos a realizar la división de los siguientes polinomios:
P  x   12 x 5  29 x 4  42 x 3  49 x 2  10
Q  x   3x 2  5 x  3
Observaciones:
1) En una división de polinomios, el grado del polinomio resto, R ( x ), es menor que el
grado del polinomio divisor, Q ( x ). Es decir:
gr  R  x    gr  Q x  
2) El grado del polinomio cociente, C ( x ), es la diferencia entre el grado del polinomio
dividendo y el grado del polinomio divisor.
ACTIVIDADES
Realiza las siguientes divisiones de polinomios:
a)
b)
c)
d)
Álgebra
 3x  2 x  3x  x  5  :   x  3 
 5 x  3x  2 x  5  :  x  3x  4 
  6x  19x  47 x  61x  68x  42x  5 :   2x  5x  9x  4 
 14x  10x  44x  49x  48x  43x  23 :   2x  4x  3 
4
3
5
3
6
2
2
5
6
2
4
5
3
4
2
3
3
2
2
3
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1.2. Regla de Ruffini.
La regla de Ruffini es un algoritmo que sirve para dividir cualquier polinomio entre otro
polinomio del tipo x – a, siendo a un número real cualquiera
Vamos a utilizar la regla de Ruffini para dividir el polinomio P  x   4 x 3  x 2  2 x  3 entre
x – 2.
ACTIVIDADES
Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini:
a)
b)
c)
d)
 x  1 :  x  1 
  x  3x  5 x  3  :  x  1 
 x  3x  x  2  :  x  3 
 5x  3 :  x  2 
3
4
3
2
2
3


f)   2 x  4 x  :  x  2 
g)  x  x  x  1  :  x  1 
h)   2 x  3x  2 x  48 :  x  2
e) 3x 3  2 x 2  x :  x  2 
3
4
2
2
7
6
3
1.3. Teorema del resto. Raíces de un polinomio.
Teorema del resto:
El resto de la división de un polinomio P ( x ) entre ( x – a ) es igual al valor numérico del
polinomio P ( x ) para x =a; es decir: P ( a ) = R.
Probemos el teorema:
P(x)=C(x).(x–a)+R
P(a)=C(a).(a–a)+R
Por tanto: P ( a ) = R
Hallando el valor numérico de P ( x ) para x = a resulta:
Luego P ( a ) = C ( a ) . 0 + R, es decir: P ( a ) = 0 + R
Este teorema permite calcular el resto de la división de un polinomio P ( x ) entre ( x – a ) sin
necesidad de hacer la división, como vemos en el siguiente ejemplo:


¿ Cuál es el resto de la siguiente división ? :
4x 4  2x 2 1 :  x  2 
a) Aplicando la regla de Ruffini
b) Calculando el valor numérico del polinomio para x = -2.
Raíces de un polinomio:
Un número a es una raíz del polinomio P ( x ) si el valor numérico de P ( x ) para x = a es
cero. Es decir: P ( a ) = 0
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Por tanto:
Si tenemos un polinomio P ( x ) con coeficientes reales y a es una raíz de dicho
polinomio, P ( a ) = 0, por el teorema del resto tenemos que P ( x ) es divisible entre x – a, ya
que el resto es cero, por lo que:
P(x)=C(x).(x–a)
Ejemplo: Comprueba que x = 3 y x = 2 son raíces del polinomio P  x   x 2  5x  6
Ahora bien, ¿ cuántas raíces reales puede tener un polinomio con coeficientes reales ?.
El número de raíces de un polinomio es igual o menor que el grado del
polinomio
Raíces enteras de un polinomio:
Consideremos un polinomio P ( x ) con coeficientes enteros y a  Z una raíz de P ( x ),
entonces a divide al término independiente de P ( x ).
Por tanto:
Los candidatos a raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros son los
divisores de su término independiente.
Ejemplo: ¿ Cuáles son las raíces enteras del polinomio P  x   2 x 3  x 2  5x  2 ?.
ACTIVIDADES


1ª) Calcula el resto de 3x 4  2 x 3  x 2  3 :  x  1  sin efectuar la división.
2ª) Realiza la división del ejercicio anterior utilizando la regla de Ruffini y comprueba que
obtienes el mismo resultado para el resto.
3ª) En cada caso, calcula el valor de m para que la división sea exacta.
a)
b)
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x
x
2
3

 4x  m :  x  3 

 5x  m :  x  1 
2

d)  x

c) 5x 4  2 x 2  mx  1 :  x  3 
5

 4 x  mx  10 :  x  1 
3
2
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5ª) Busca dos raíces enteras para cada uno de los siguientes polinomios:
a) 3x 3  x 2  8 x  4
b) 3 x 3  2 x 2  3 x  2
c) 2 x 4  3x 3  20 x 2  27 x  18
d) 3x 5  x 4  30 x 3  10 x 2  27 x  9
1.4. Factorización de polinomios.
Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de varios polinomios
Ejemplo: Vamos a factorizar el polinomio 2 x 4  2 x 3  8 x 2  8 x
Si en la factorización de un polinomio P ( x ), aparece dos veces el binomio ( x – a ), el
polinomio P ( x ) tiene una raíz doble en a.
ACTIVIDADES
1ª) Factoriza los siguientes polinomios:
a) x 3  3 x 2  3 x  1
b) 2 x 3  x 2  7 x  6
c) x 3  5 x 2  8 x  4
d) 3x 4  6 x 3  12 x 2  24 x
e) x 4  1
f) 3x 5  3x 4  6 x 2  12 x
2ª) Primero, saca factor común y después aplica las igualdades notables para factorizar los
siguientes polinomios:
a) x 3  16 x
b) x 6  x 2
c) 2 x 3  8 x
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d) x 3  6 x 2  9 x
e) x 3  10 x 2  25 x
f) x 4  6 x 3  4 x 2
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UNIDAD 2: ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS
Como recordarás de cursos pasados:
Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple para determinados valores de
las letras, llamadas incógnitas.
Además:
Una solución real de una ecuación es un valor de la incógnita que verifica la ecuación.
Todo lo anterior pudimos comprobarlo resolviendo ecuaciones de primer y segundo
grado, así como sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
El presente curso abordaremos la resolución de otro tipo de ecuaciones, como por
ejemplo:
a) Ecuaciones bicuadradas.
b) Ecuaciones polinómicas.
Además, veremos la resolución de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas y de
sistemas de inecuaciones lineales, así como el planteamiento, resolución e interpretación
gráfica de las soluciones de problemas mediante estos tipos de inecuaciones.
2.1. Ecuaciones bicuadradas.
Una ecuación bicuadrada es una ecuación de la forma:
ax 4  bx 2  c  0
Observamos que las ecuaciones bicuadradas son como ecuaciones de 2º grado con la
incógnita elevada al cuadrado. Para resolverlas, hacemos el cambio de variable z  x 2 . Tras
resolver la ecuación en z, deshacemos el cambio de variable y despejamos x para obtener las
soluciones de la ecuación.
Ejemplo: x 4  5 x 2  4  0
2.2. Ecuaciones polinómicas.
Una ecuación polinómica es una ecuación de la forma:
a n x n  ...  a 1x  a 0  0
Resolver una ecuación polinómica es buscarle las raíces al polinomio. Para ello,
descomponemos factorialmente el polinomio utilizando la regla de Ruffini.
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Ejemplo: x 5  2 x 4  x 3  2 x 2  0
2.3. Inecuaciones lineales con una incógnita.
Una inecuación es una expresión algebraica con una desigualdad, de cuya resolución
obtenemos los valores de la incógnita que verifican dicha desigualdad.
Diremos que una inecuación con una incógnita es lineal si está formada por una expresión
polinómica de primer grado.
Por tanto, la solución de una inecuación lineal con una incógnita no es única, sino que estará
formada por todos los números reales que cumplan la desigualdad.
Ejemplos:
2 x  4
 3x  6
Para resolver inecuaciones lineales con una incógnita procederemos a realizar las mismas
transformaciones que realizábamos con las ecuaciones de primer grado, excepto cuando
multipliquemos o dividamos los dos miembros de la inecuación por números negativo, en cuyo
caso, la desigualdad cambia de sentido.
Ejemplo: Vamos a resolver e interpretar gráficamente las soluciones de las siguientes
inecuaciones:
a) 23x  1  5x  2  6 x  1
 3x  2 x  3  3x  2
b)
2.4. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
En algunas ocasiones podemos encontrarnos con dos o más inecuaciones que necesitamos que
se verifiquen simultáneamente, formando un sistema de inecuaciones.
Para resolverlos seguiremos los siguientes pasos:
a) Resolveremos cada una de las inecuaciones que forman el sistema.
b) Representaremos cada solución en la recta real.
c) Buscaremos las soluciones comunes (intersección de las soluciones) que verifiquen
todas las inecuaciones. Estas soluciones se expresan mediante intervalos.
Ejemplo: Vamos a resolver e interpretar gráficamente las soluciones de los siguientes sistemas
de inecuaciones:
2 x  3  1
 x  5  3x  2
a) 
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3x  5  4 x  6
 3  2 x  1  3x
b) 
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2.5. Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
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ACTIVIDADES
1ª) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
x 4  5 x 2  36  0
4
2
b) 15 x  31x  10  0
c) 12 x  19 x  18
4
a)
2
d) 6 x  x  1  0
4
2
2ª) Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a)
 x  3 x   2 x  3    x  1   0
 3x 12    x  x  2   x  1   0
2
c) 12 x  2 x  2 x  0
3
2
b)
d) x  16 x  0
3ª) Resuelve las siguientes inecuaciones y representa las soluciones en la recta real:
2
2
3x  2 x  2

x
4
8
2  x 3x  2 x  2


1
b)
3
6
2
a)
6
2
2
x 2x
x

 1 
4 3
6
2 x  3 x  1 2 x  1

 x2
d)
5
2
c)
4ª) Determina el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones:
2 x  3  3 x  1  4

x
x  10
 3  5  2
2x  3  5 x  2 x  2

b)  2  x
 3   x  1
a)
c)
 3x  5  7 x  2

5 x  3  4  3x
d)
 2x  2  5 x  4  5 x  6

2 x  4 x  5  23  2 x   5
5ª) Dos niños montados en bicicleta están a una distancia de 350 m. Si empiezan a pedalear hasta
encontrarse con una velocidad de 6 y 8 m/s, respectivamente, ¿ cuántos metros recorrerá cada niño ?, ¿
y qué tiempo tardarán en encontrarse ?.
6ª) Un vehículo circula a una velocidad de 25 m/s ( 90 km/h ). De pronto se cruza un peatón y tiene que
frenar con una desaceleración de 7 m/s2, recorriendo una distancia de 37,5 m. Calcula el tiempo que
tardará en frenar el vehículo.
Nota: la aceleración de frenado o desaceleración ha de ser negativa. Utiliza la ecuación s  v t 
1
2
at .
2
7ª) Determina qué números verifican que su mitad más su tercera parte es menor que 30.
8ª) Determina qué números verifican que su tercera parte es superior a su octava parte en más de 10
unidades.
9ª) Determina los valores posibles del lado desigual de un triángulo isósceles si cada uno de los lados
iguales mide 12 cm y el perímetro ha de ser superior a 72 cm.
10ª) Determina los valores que puede tomar la altura de un rectángulo cuyo perímetro no supera los 26
cm y la base excede en 7 cm la longitud de su altura.
11ª) Averigua cuántas agendas escolares se han podido vender a 40 € si su número no era superior a
180 y la cantidad que se ha obtenido por su venta excede de 6800 €.
12ª) Adivina cuántos años puede tener mi hermano si es mayor de edad y hace 10 años su edad no
superaba a la mitad de la que tiene actualmente.
13ª) Laura dispone de 41,67 € para comprar bolígrafos y rotuladores. Si cada bolígrafo cuesta 1,79 € y
cada rotulador, 2,98 €. ¿ Podrá comprar 6 bolígrafos y 10 rotuladores ?, ¿ y 16 bolígrafos y 6
rotuladores?
13ª) Representa la región del plano formada por los puntos que cumplan que su abscisa más el doble de
su ordenada es menor o igual que 16.
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