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Física: Rotación de un Cuerpo Rígido Dictado por: Profesor Aldo Valcarce 2do semestre 2014 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 Objetivo En esta sección dejaremos de considerar a los objetos como partículas puntuales. En vez, hablaremos de un cuerpo con masa (sólido) indeformable (rígido). Las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido pueden ser diferentes a lo largo de éste. Razón: el cuerpo humano o partes de él no pueden ser representados por un objeto puntual. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 Sólido Rígido Se define como un cuerpo indeformable, de modo que las posiciones relativas de las partículas que lo constituyen se mantienen invariables. Tipos de movimientos Traslación Rotación o ambos FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 Movimiento Rotacional Herramientas Matemáticas FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 Objeto Puntual Movimiento circular uniforme Propiedades: Este objeto tiene una trayectoria circular. El objeto demora el mismo tiempo en hacer cada revolución (gira con la misma velocidad angular 𝜔). Se define el período (𝑇), que es el tiempo de una revolución completa. La magnitud de la velocidad (rapidez 𝑣) permanece constante. La velocidad siempre tiene una dirección tangente al círculo (velocidad tangencial 𝑣𝑡 ). La rapidez de un objeto rotando en un círculo de radio 𝒓 con período 𝑻: La rapidez angular 𝝎: FIS109A – 2: Física 2𝜋𝑟 𝑣𝑡 = 𝑇 2𝜋 𝜔= 𝑇 2do semestre 2014 Rotación de un Sólido Rígido Se puede ver un sólido como un conjunto de objetos puntuales inseparables. Ejemplo, un cuerpo rotando en torno a un centro a una rapidez angular 𝝎. 𝒚 𝒚 𝝎 Q P 𝜃0 P 𝒙 𝜃1 𝒙 ¿Cuánto vale la longitud del arco entre P y Q? FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 ¿Cuánto vale la longitud del arco entre P y Q? Si 𝜃 = 2𝜋 hubiese avanzado la longitud del perímetro de la circunferencia, es decir 𝑠 = 2𝜋𝑅 Con 𝑅 siendo la distancia al centro de rotación. Ya que sólo avanzó un ángulo 𝜃, la longitud de arco es: 𝑠 = 𝜃𝑅 Definiendo la rapidez 𝒗 = donde 𝝎 = 𝜽𝒇 −𝜽𝒊 ∆𝒕 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 = ∆𝒔 ∆𝒕 En este caso particular: 𝜽 𝒇 = 𝜽𝟎 + 𝜽𝟏 FIS109A – 2: Física = 𝑹𝝎 𝜽𝒊 = 𝜽𝟎 𝜽𝟏 𝝎= ∆𝒕 2do semestre 2014 Se define la rapidez angular 𝜽𝒇 − 𝜽𝒊 𝝎= ∆𝒕 𝑟𝑎𝑑 Tiene unidades de 𝑠 Muchas veces se utiliza la unidad de revoluciones por segundos (rps) o por revoluciones por minuto (rpm) 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 1 𝑟𝑝𝑠 = 𝑠 FIS109A – 2: Física 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 1 𝑟𝑝𝑚 = 60 𝑠 2do semestre 2014 Para pasar de rapidez angular a velocidad angular se necesita definir un vector que indique el movimiento. Como la rotación de un cuerpo se hace entorno a un eje, hay dos posibles sentidos: horario y anti-horario FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 El vector unitario que describe a la velocidad angular está dado por el eje fijo de rotación El signo (positivo o negativo) lo definiremos según cómo rotemos el objeto • Horario: Negativo • Anti-horario: Positivo 𝝎 = 𝝎𝟎 𝒛 𝝎𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝜽𝒇 − 𝜽𝒊 = 𝒏 ∆𝒕 FIS109A – 2: Física 𝝎 = −𝝎𝟎 𝒛 donde 𝒏 es el vector unitario que define el eje de rotación (puede obtenerse con la regla de la mano derecha). 2do semestre 2014 Regla de la mano derecha Si la mano derecha se cierra sobre el eje de rotación como se muestra en la figura: Sentido de la velocidad angular - 4 dedos (todos menos el pulgar) apuntan en el sentido de la rotación. - El pulgar indicará el sentido de la velocidad angular a lo largo del eje de rotación. FIS109A – 2: Física Sentido de la rotación 2do semestre 2014 Velocidad angular instantánea Al igual que en el movimiento rectilíneo, si el intervalo de tiempo es muy corto, definimos la velocidad angular instantánea como: 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 𝜔 = lim 𝑛 ∆𝑡→0 ∆𝑡 La rapidez angular es el módulo de la velocidad angular instantánea, por ende es siempre positiva. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 Aceleración Angular Si la velocidad angular cambia en el tiempo, podemos definir una aceleración angular: 𝛼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝜔𝑓 −𝜔𝑖 = ∆𝑡 𝜔𝑓 −𝜔𝑖 𝛼 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡 Aceleración angular media Aceleración angular instantánea Notar que si la rotación no cambia de eje, la aceleración angular está descrita por el mismo vector unitario 𝒏 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 La aceleración angular es positiva si la rotación va acelerando La aceleración angular es negativa si la rotación va frenando. Un cuerpo se está acelerando si ambos velocidad y aceleración apuntan en el mismo sentido. FIS109A – 2: Física Un cuerpo se está frenando si ambos velocidad y aceleración apuntan sentidos opuestos. 2do semestre 2014 Rotación con aceleración angular constante Al igual que en movimiento rectilíneo: El gráfico velocidad angular vs tiempo es una línea recta. 𝜶𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝝎𝒇 −𝝎𝒊 = ∆𝒕 𝝎 𝒕 − 𝝎𝒊 𝜶= 𝒕 𝝎 𝒕 = 𝝎𝒊 + 𝜶 𝒕 El signo va en los parámetros 𝜔, 𝛼, 𝜔𝑖 según el sistema de referencia. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 Rotación con aceleración angular constante Si la ecuación para la velocidad angular es lineal con el tiempo, se tiene: 𝝎𝒎 𝟏 = (𝝎𝒊 + 𝝎𝒇 ) 𝟐 que usando en la definición de velocidad angular media 𝜽𝒇 − 𝜽𝒊 𝝎𝒎 = 𝒕 𝜽 𝒇 − 𝜽𝒊 𝟏 𝝎𝒊 + 𝝎𝒇 = 𝟐 𝒕 eliminando 𝝎𝒇 = 𝝎(𝒕) con la ecuación de la aceleración angular constante 𝝎 𝒕 = 𝝎𝟎 + 𝜶 𝒕 se llega a la ecuación de movimiento angular para 𝜶 = 𝒄𝒕𝒆. 𝟏 𝟐 𝜽 𝒕 = 𝜽𝒊 + 𝝎𝒊 𝒕 + 𝜶 𝒕 𝟐 Donde se ha reemplazado 𝜽𝒇 = 𝜽 𝒕 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 Rotación con aceleración angular constante Realizando el mismo procedimiento que para el caso de un movimiento rectilíneo acelerado para obtener la ecuación: 𝑣𝑓 2 = 𝑣𝑖 2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 Se puede llegar a: 𝝎𝒇 𝟐 = 𝝎𝒊 𝟐 + 𝟐𝜶 𝜽𝒇 − 𝜽𝒊 Ecuaciones de movimiento angular para 𝜶 cte 1 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 = 𝜔𝑖 + 𝜔𝑓 × 𝑡 2 1 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 = 𝜔𝑖 × 𝑡 + 𝛼 × 𝑡 2 2 𝜔𝑓 = 𝜔𝑖 + 𝛼 × 𝑡 𝜔𝑓 2 = 𝜔𝑖 2 + 2𝛼 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 Ejercicio Al terminar de ver una película el disco DVD comienza a detenerse. Si la velocidad angular inicial del disco es 𝜔0 = 27 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y su aceleración angular es constante igual a 𝑟𝑎𝑑 𝛼 = −10 2 responda: 𝑠 a) ¿Qué velocidad angular tiene el disco cuando han pasado 0.5 s desde que comenzó a detenerse? b) ¿Qué ángulo hace el segmento PQ con el eje x cuando han transcurrido los 0.5s? c) ¿Cuánto tiempo demora en detenerse el disco? d) ¿Cuantas revoluciones ha dado desde que comienza a detenerse hasta que se detiene por completo? FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 Resumen Sólido Rígido Rapidez, Velocidad y Aceleración Angular Ecuaciones de movimiento angular para 𝛼 cte 1 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 = 𝜔𝑖 + 𝜔𝑓 × 𝑡 2 1 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 = 𝜔𝑖 × 𝑡 + 𝛼 × 𝑡 2 2 𝜔𝑓 = 𝜔𝑖 + 𝛼 × 𝑡 𝜔𝑓 2 = 𝜔𝑖 2 + 2𝛼 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014
