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Soluciones a los ejercicios propuestos
Unidad 1. El conjunto de los números reales
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES
3.
Determina si los siguientes números son o no números racionales:
a) 7,555555…
b) 3,034035036…
c) 1,03034444444…
d) 34,350350350351.
SOLUCIÓN:
a) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico.
b) Es un número irracional, aunque existe una forma de construir la parte decimal, sin embargo
las infinitas cifras decimales no se repiten de forma periódica.
c) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico mixto.
d) Es un número racional, se trata de un número decimal exacto, tiene un número finito de
cifras decimales.
4.
Efectúa
las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número decimal:



0
,
6

1
,
2
a)
b) 4  0,3  0,6

0,06
1,5
SOLUCIÓN:
a)
5.
6 12 60  108


0,6  1,2 9 10
168
90
 


 28
6
6
6
0,06
90
90
b)
6

 4 3  6 12  6
4  0,3  0,6
60
4
9
9
9
9
9





15
15
15 9  15 9
1,5
10
10
10
Determina si los siguientes números son racionales o irracionales:
a) 1,23234234523456... b) 1,23232323... c) 1,234235236237... d) 1,23
SOLUCIÓN:
a) Es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma
periódica.
b) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico puro.
c) Es un número irracional, tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica.
d) Es un número racional, es un número decimal exacto.
6.
Determina cuáles de los siguientes radicales son números irracionales:
a) 8
b) 3 625
c)  9
d) 5 32
e) 54 9
SOLUCIÓN:
a) Es un número irracional.
b) Es un número irracional.
c) Es un número racional,  9  3 .
5
d) Es un número racional, 32  2 .
e) Es un número irracional.
NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL
8.
Dibuja, utilizando el teorema de Pitágoras, segmentos que tengan las siguientes longitudes:
7 , 8 , 30 .
SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que
3 . Como
7  4  3  22 
3  1  2  12 
 2
2
 3
2
, representamos en primer lugar el número real
tenemos que representar previamente el número
2 . Ya que
usamos 2  12  12 , obtenemos por el Teorema de Pitágoras que el punto D se corresponde con
2 . Con triángulo rectángulo de base 2 y altura 1, obtenemos el punto F que representa el
número real 3 . Finalmente con el triángulo rectángulo de base 3 y altura 2 obtenemos el punto H
que proyectado sobre la recta real nos da el punto J que es 7 .
Para representar 8 , podemos tener en cuenta que 8  22  22 , por tanto, si representamos un
triángulo rectángulo de base 2 y altura 2, obtenemos el punto C que proyectado sobre la recta real
nos da el punto F que representaría al número real 8 .
Como 30  52  5 , teniendo en cuenta que 5  22  12
Construyendo el triángulo
rectángulo de base 2 y
altura 1, obtenemos el
punto C. La hipotenusa AC
5,
tiene
longitud
trasladando esa longitud
con el compás sobre la
recta real obtenemos el
punto D que representa al
número 5 . Construyendo
ahora
el
triángulo
rectángulo de base 5 y
altura 5 obtenemos el
punto E. La longitud AE es
30 . Con el compás
podemos trasladar esa
longitud sobre la recta real
y obtenemos el punto G que representa el valor deseado.
9.
Construye una sucesión de 10 intervalos encajados que determine los siguientes números
reales: e, 3, 2 .
SOLUCIÓN:
Para obtener una sucesión de 10 intervalos encajados, necesitamos un total de 9 cifras decimales de
cada número.
Una expresión decimal del número e con 10 cifras decimales es: 2,718281828. Por tanto la sucesión
de 10 intervalos encajados que define el número e es: (2;3), (2,7; 2,8), (2,71; 2,72), (2,718; 2,719),
(2,7182; 2,7183); (2,71828; 2’71829), (2,718281; 2’718282), (2,7182818; 2,7182819),
(2,71828182; 2,71828183), (2,718281828; 2’718281829).
Una expresión decimal del número 3 con 9 cifras decimales es: 1,732050807 Por tanto la sucesión
de intervalos encajados que define este número es: (1;2), (1,7; 1,8), (1,73; 1,74), (1,732; 1,733),
(1,732; 1,7321), (1,73205; 1,73206), (1,73205; 1,732051), (1,7320508; 1,7320509),
(1,7320508; 1,73205081), (1,732050807; 1,732050808).
Una expresión decimal del número 2 con 9 cifras decimales es: 1,414213562. La sucesión de
intervalos encajados pedida es: (1;2), (1,4; 1,5), (1,41; 1,42), (1,414; 1,415), (1,4142; 1,4143),
(1,41421; 1,41422), (1,414213; 1,414214), (1,4142135; 1,4142136), (1,41421356; 1,41421357),
(1,414213562; 1,414213563).
ORDENACIÓN EN R. INTERVALOS Y ENTORNOS.
12. Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordénalos de menor a mayor:
a)
1
2 3 1 7
, , , y
3 4 12 2
6
SOLUCIÓN:



b) ,  , 1'67, 1'678 y 1'698



c) 3, 4, 3, 38, 3, 38, 3, 398 y 3,40 1
a) Reducimos a común denominador los números y tenemos:
1
7 42
2 8 3 9
,  ,
, 

3 12 4 12 12 2 12
1
6
2
1 1 2 3 7
por lo tanto     .
12 6 3 4 2
12



  1,67  1,678  1,698  



3, 38  3,38  3,398  3,4  3,40 1
, 
b)
c)
13. Intercala tres números reales de forma ordenada entre los pares de números siguientes:




a) 1,02, 1,03 1 b)  3,02,  3,032 .
SOLUCIÓN:


a) 1,02  1,023  1,024  1,025  1,03 1


b)  3,032  3,0315  3,0314  3,0313  3,02
14. Realiza las siguientes operaciones con intervalos y representa el resultado obtenido:
a) [-5,5] (0,6)
b) [-5,5] (0,6)
c) (4,9](5,8]
d) (4,9]∩(5,8]
e) (-,0)(-1,4]
f) (-,0)(-1,4]
g) (-3,4](2,+)
h) (-3,4](2,+)
SOLUCIÓN:
a) [-5,6)
e) (,4]
b) (0,5]
f) (-1,0)
c) (4,9]
g) (3,)
d) (5,8]
h) (2,4]
VALOR ABSOLUTO
19. Efectúa las siguientes operaciones:
a) ||-4+7|-|7+4||-3|
b) ||-4||-5|-|-20||
SOLUCIÓN:
a) |3-11 3|=|3-33|=30. b) |4 5-20|=0
c) ||4| (-2) – 4 |-2||
c) |-8-8|=16
20. Calcula: a) | 7  3 | b) | 8  4 | c) | e  2 | d) |   e |
SOLUCIÓN:
a) 3  7
b) 4  8
c) e-2 d) e  
21. Resuelve las siguientes ecuaciones, en el caso de que tengan solución:
a) |4x+5|=3 b) 5-|3+x|=8
c) |-4x+7|+8=10
d) |3x+5|=10
SOLUCIÓN:
a) | 4x  5 | 3  4x  5  3 ó 4x  5  3  4x  2 ó 4x  8  x  1/ 2 ó x  2
b) 5 | 3  x | 8  3 | 3  x | ¡Sin solución!
4x  7  2  4x  5
c) | 4x  7 | 8  10 | 4x  7 | 2  4x  7  2
ó
4x  9  x  5 / 4 ó x  9 / 4
d) | 3x  5 | 10  3x  5  10 ó 3x  5  10  3x  5 ó 3x  15  x  5 / 3 ó x  5
22. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) | x  3 | 7
b) | x  4 | 8
c) | x  1 | 2
ó
d) | 2 x  1 | 8
SOLUCIÓN:
a) | x  3 | 7  7  x  3  7  10  x  4  x  (10,4)
b) | x  4 | 8  x  4  8 ó x  4  8  x  12 ó x  4  x  (,4)  (12,)
c) | x  1 | 2  2  x  1  2  3  x  1  x [3,1]
d) | 2x  1 | 8  2x  1  8 ó 2x 1  8  2x  7 ó 2x  9  x  7 / 2 ó
x  9 / 2  x   ,9 / 2  7 / 2, .
APROXIMACIONES DECIMALES. ERRORES
26. Aproxima por truncamiento y por redondeo a las décimas, centésimas, milésimas y
diezmilésimas de lo siguientes números reales utilizando la calculadora:
a) 5
b) 6 5  2
c) 7  
SOLUCIÓN:
Truncamiento Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas
2,2
2,23
2,236
2,2360
5
12
12
12,002
12,0021
6 5 2
7 
10,1
10,14
10,141
10,1415
Redondeo
5
Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas
2,2
2,24
2,236
2,2361
6 5 2
7 
12
12
12,002
12,0022
10,1
10,14
10,142
10,1416
27. Dados los siguientes números reales: a) 27
b) 3 3
c) 5
Utiliza la calculadora para:
1. Aproximar por redondeo a las diez milésimas.
2. Determinar los errores absolutos y relativos de las aproximaciones.
3. Obtener los intervalos de aproximación de las aproximaciones.
4. Calcular el orden del error relativo cometido en cada aproximación.
d) . 6e
SOLUCIÓN:
Redondeo
diezmilésima
Error
absoluto
Error relativo Intervalo de aproximación
27
5,1962
0,0000475
0,000009156
3
1,4422
0,0000495
0,000034370
5
15,708
0,0000367
0,000002338
6e
16,3097
0,0000090
0,000000553
3



Orden del
error
relativo
( 27  0,00005, 27  0,00005) 0,0009156
%
3
3
( 3  0,00005, 3  0,00005) 0,0034370
%
(5  0,00005, 5  0,00005) 0,0002338
%
(6e  0,00005, 6e  0,00005) 0,0000553
%

28. Utilizando la calculadora, redondea el resultado de las siguientes operaciones:
a) Con un error menor que 1 centésima
b) Con un error menor que 1 diezmilésima
1) 5 27  4 2
2) 3 31  2 61
3) 13 
2
3
SOLUCIÓN:
a) Para obtener un error menor que 1 centésima es decir 0,01 debemos redondear a la
milésima pues en ese caso el error máximo que se comete es de 0,005:
1) 20,324
2) 18,762
3) 2,939
b) Para obtener un error menor que 1 diezmilésima es decir 0,0001 debemos redondear a la
cienmilésima pues en ese caso el error máximo que se comete al redondear es de 0,00005:
1) 20,32391
2) 18,76188
3) 2,93888
29. Con ayuda de la calculadora, redondea los siguientes números con el número de cifras
significativas que se indican:
a) 7  2 con cinco cifras significativas.
b) 20 con seis cifras significativas.
c)
7
con cuatro cifras significativas.
30
SOLUCIÓN:
a) Como 7  2  1,2315377... entonces la aproximación por redondeo con cinco cifras
significativas es 1,2315.
b) Como 20  4,472135955... entonces la aproximación por redondeo con seis cifras
significativas es 4,47214.
c) Como

7
 0,23 entonces la aproximación por redondeo con seis cuatro cifras significativas
20
es 0,2333.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
31. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica:
a) (1,54106  4,34105 ) : (3,87 104  9,15104 )
b) (7,234105  1,3405106 )  3,45105
SOLUCIÓN:
a)
(15,4  105  4,34  105 ) : (3,87  9,15)  104  (15,4  4,34)  105 : 13,02  104 
 11,06 : 13,02 10  0,8494624 10  8,494624 .
b) (7,234 105  0,13405 105 )  3,45 105 = (7,234  0,13405) 105  3,45 105 =
 7,36805 3,451010  25,41977251010  2,54197725109.
POTENCIAS Y RADICALES. PROPIEDADES
37. Realiza las siguientes operaciones con potencias:
2
 4 2   3 2 
a)    1     1
 5 
  4 

2
b) (34  54 ) : (43  33 )  (3 / 8)2
c)
x3 y 4 z 5
y3
 1  4
3
xz
y z
SOLUCIÓN:
2
 4 2   3 2 
a)    1     1
 5 
  4 

2
2
16  25   4  3 




2
2

 5   3 
2
2
2
2
 4 2  52   4 2 
  2    2  1
 5  3

2
  9   25 
  2   2 
 5  3 
b) (34  54 ) : (43  33 )  (3 / 8) 2 
2

2

92 34 2  34
  4 .
5 4 54
5
3  54 82 33  54  82  43 33  54  212
 2 

43
3
43  32
26  32
3 4 5
3
c) x y3 z  1y 4  y 4 z 4  y 4 z 4  0
xz
y z
38. Clasifica los siguientes radicales en racionales o irracionales:
a) 3 3375 b) 5 268912 c) 4 2592
d) 180 e) 6 5103

f)
5
6250
SOLUCIÓN:


Efectuamos

la descomposición
factorial de cada uno de los radicandos para intentar sacar factores



del radical:
3
3375  3 33  53 15 , luego es un número racional.
a)




b)
5
c)
4
268912  5 24  75  7 5 24 , es por tanto un número irracional.
2592  4 25  34  64 2 , es un número irracional.
180  22  32  5  6 5 , es un número irracional.
d)
e)
6
5103  6 36  7  36 7 , es un número irracional.
f)
5
6250  5 2 55  55 2 , es un número irracional.
39. Ordena de mayor a menor los siguientes radicales:
a) 8 16 , 125 , 4 49
b) 3 34 , 345 , 4 16

SOLUCIÓN:
Para ordenarlos debemos reducirlos a índice común:
a) Como m.c.m. (8,2,4)=8, reducimos los radicales a índice 8:
8
16 , 125  8 1254  8 2,4414 108 , 4 49  8 492  8 2401
, luego
8
16 > 4 49 > 125
b) Como m.c.m.(3,2,4)=12, reducimos los radicales a índice 12:
3
34  12 34 4  121336340 , 345  12 3456  121,68621015 ,

4
16  12163  12 4096
luego:
4
16  3 34  345
40. Efectúa y simplifica las siguientes expresiones, racionalizando si fuese necesario:
5
a) 5  5 
b)
5
2 3 35
3
4

4
c)
15
45 
3
5 3
5 3
7

d) 216  150  3 294  15 24 e)  6

 135 
f)
3 5 5 3
5 5

2 5 6
4
g) 23 135  3 320 
13
1
216  3 40
7
7
SOLUCIÓN:
a)
3
36
c)
d)
2 3 35
4



5 5 55
5
b)

5
5 5 
6
3
15
5
2 3 35

3 4
5 3
5 3
5 5  10
5

6
15
26320333533 336 26317533


15
15
3

6
5 3
5 3
2 9 35
12
36

6
15

(5 5  10) 5 25  10 5

 5 2 5
5
5
2 9 35 12 1511

15
36
26 36 320 36 1533

15
36
263201533

15
26317533
5
6
( 5  3 ) 2 6 5  2 15  3 6 8  2 15



6
53
2
2
5
6
6 8
8  2 15 6 25 6 (8  2 15 )2
2  26 15 6 2 (4  15 )




2
2
2
2
26 4  15 6
 4  15
2
.
216  150  3 294  15 24  63  526  3 726  15 226 
 6 6  5 6  21 6  30 6  (6  5  21  30) 6  2 6 .
7
 4 45   12 453   453

 
 12
2
 6 135   12
2 


  135   135
7
e)
f)


3 5 5 3
5 5
7
.
2 5  6 12 5  20 3  (2 5  6)( 5  5)



4
4( 5  5)
12 5  20 3  (10  10 5  6 5  30)
4( 5  5)
8 5  20 3  20
4( 5  5)
7
  3653 
   12
  12 57
  3652 
 


2 5 5 3 5
5 5


12 5  20 3  20  4 5
4( 5  5)

(2 5  5 3  5)( 5  5)

5  25

10  10 5  5 15  25 3  5 5  25  15  5 5  5 15  25 3


 20
 20

3  5  15  5 3
4
13
1
1
1
216  3 40  23 5  33  3 26  5  3 2333  3 5  23 
7
7
7
7
6
2
72
6
3
 63 5  43 5   3 5 
5
7 7
7
7
g)
23 135  3 320 
41. Racionalizar los denominadores de:
a)
5 7
b)
5 7
5 3 7
c)
2 3 5
75 5
d)
23 49
( x  3)4 1.250
55 ( x  3)
SOLUCIÓN:
a)
b)
c)

d)
5 7
5 7
( 5  7 )( 5  7 ) 5  2 35  7 12  2 35


 6  35
57
2
2

5 3 7

2 3 5
(5 3  7)( 2 3  5 ) 30  5 15  14 3  7 5

12  5
7
75 5
75 5 3 492 5 5 3 74 75 5 3 7 5 5 3 7 15 53 75





2 49
2 7
14
2
2
23 49
4
4
4
4
5
(x  3) 1250 (x  3)5 2 (x  3) 2 (x  3)
 5

 4 2 5 (x  3)4
(x  3)
55 (x  3)
5 (x  3)
42. Simplifica las siguientes expresiones:

a)
4 125a 3
4
5 a
c)  34 ay 5  24 ay 8  2 y 4 a 
b) x  3 yx  4 x3 y 3
2


SOLUCIÓN:
a)
b)
c)
4 125a 3
54 a 2

4 53 a 3
54 a 2

20a 5a
54 a 2

4a 4 5 2 a 2
4
a2
 4a 4
25a 2
 4a 4 25
a2
x  3 yx  4 x3 y 3  12 x 6  12 y 4 x 4  12 x9 y 9  12 x19 y13  xy12 x7 y

 34 ay 5  24 ay 8  2 y 4 a   3 y 4 ay  2 y 2 4 a  2 y 4 a  (3 y 4 y  2 y 2  2 y)4 a  y 4 a 34 y  2 y  2


LOGARITMOS
47. Halla utilizando la definición y sin el uso de la calculadora los siguientes logaritmos:
a) log 0,000001
b) log10000000
c) log3 243
d) log 21024
e) log7 2.401
f) log1 / 2
1
4
g) log2 / 3
1000
k) log1/ 4 0,25
i) log0,1 0,0001 
j) log 0, 3
27
SOLUCIÓN:
6
a) log 0,000001  log10  6
7
  log10  7
b) log10000000
5
c) log 3 243  log 3 3  5
10

d) log 21024  log 2 2 10
4

e) log7 2401  log7 7  4
2
1
1 

log1/ 2  log1/ 2    2
2
4

f)



27
8
h) log3 (81)


3
3
27
33
3
2
log 2 / 3
 log 2 / 3 3  log 2 / 3    log 2 / 3    3
2
3
8
2
g)
h) log3 (81) ¡no existe el logaritmo de un número negativo!
l)
log1/ 2
125
1000

4
i)
j)
1
1
 log1 / 10    4.
10.000
 10 
log0,1 0,0001 log1 / 10
3
log0,3
1.000
 10 
3
 log0,3    log0,3  
27
3
 
 10 
3
 log0,3 (0,3) 3  3.
2
k)
3
log1/ 2
l)
2
25
5
1
 log1/ 2    log1/ 2    2.
100
10
 
2
log1/ 2 0,25  log1/ 2
3
125
5
1
 log1/ 2    log1/ 2    3.
1000
10
 
2
48. Utiliza las propiedades de los logaritmos y su definición para obtener:
a) log2 3 256  log3 3
27
2
3
c) log6  36  65   log2 6

625
 log5

b) ln 7
5
ln
8
d)
 2 ln(5e7 )
16
1
e
2
 log5
1
125
 log
0,001
3
10
e
3
e
10
log
0,001
5
SOLUCIÓN:
a) log2 3 256  log3 3
27
32
 log5
625
1
1
625
 log2 256  log3 27  log3 3 32  log5

2
5 3
5
1
2
1
1
 log2 28  log3 33  log3 3  log5 54  log5 5 
3
3
2
2
8
2
1 25
 3  2  .
3
3
4 12
b)
ln
1
7
e
2
 log5
1
 log
125
0,001
3
10
 ln1  ln e2  log5 1  log5 125  log0,001 log3 10 
7
2
1
1
 0  ln e  0  log5 53  log103  log10 
7
2
3

2 3
1
89
 3  
7 2
3
42
.
c) log6  36  65   log2 6


8
 2 ln(5e7 ) 
16
 log6 36  log6 6  log2 8  log2 6 16  2(ln 5  ln e7 ) 
5
5
1
 log6 62  log6 6  log2 23  log2 16  2 ln 5  14 ln e 
2
6
 2
5
4
71
 3   2 ln 5  14  2 ln 5  .
2
6
6
d)
e
1
e
ln
2 3e
1
1
1
(1  )
(ln e  ln 3 e )
e
2
3  5.
2



5
5
1
48
10
log 10  log 0,001 1 log10  log10 3
3
log
5
5
0,001
ln
3
49. Utiliza la calculadora para obtener una aproximación por redondeo a la centésima de:
a) log5 72
b) log6 745
c) log2 17
SOLUCIÓN:
log72
 2,66.
log5
log745
log6 745 
 3,69
log6
log5 72 
a)
b)
log2 17 
c)
log17
 4,09.
log2
50. Si log7 x  0,7 ,

3
log7 y  1,2

y log7 10  1,183 , calcula, usando las propiedades de los logaritmos:
3
7 xy 
a) log7 
5 2 
 x y 
SOLUCIÓN:
b) log 3
x5 y
x y2
3
 7 xy 3 
1
1
1
a) log7  5 2    log7 7 xy 3  log7 x 5 y 2    log7 7  log7 x  log7 y 3  log7 x 5 y 2  


3
3
2


 x y 
1
1

 1  log7 x  3 log7 y  log7 x 5  log7 y 2  
3
2

1
5
2

 1  log7 x  3 log y y  log7 x  log7 y  
3
2
2

1
5
 (1  0,7  3  1,2  0,7  1,2)  0,783 .
3
2

b) log 3

x5 y
xy

2
 log 6

x5 y
xy
2



1
1
1
1

log x  log 5 y  log x  log y 2   log x  log y  log x  2 log y   (*)
6
6
5
2

Como log x 
log7 x
log7 y
0,7
1,2

 0.59 y log y 

 1,014
log7 10 1,183
log7 10 1,183
Entonces:
(*) 


1
log x5 y  log x y 2 
6
1 
1
1

0,59  1,014  0,59  21,014  0,255

6 
5
2