Download Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

LEGANÉS
I.E.S. JULIO VERNE
MATEMÁTICAS OPCIÓN B
4º E.S.O.
TRABAJO DE VERANO
I.E.S. JULIO VERNE
Código 28039864
UNIÓN EUROPEA
COMUNIDAD DE MADRID
Fondo social europeo
“El FSE invierte en tu futuro”
Curso 2015-16
Consejería de Educación Juventud y Deporte
Operaciones con números
1.Realiza las siguientes operaciones, simplificando el resultado:
1
1
2
5
 3 2
 (3  4) 2 
a)
1
3
2
3
2
0
 1  2
1     
 5  4
c)
 1
1    3
 2
1
 1 5 1
1 3  1 
e) 1        3  :   
2  4  2 
 6  6 3 
1
b)
1 4 
3 
    3  
2 3 
2 
1
2
3
2
1

  3  3
9 6
2

d)
:  
1 3
6 9
 2
2 2
1
  2  0 
1 1  2 
f) 1        3 : 1    3 
2  3  3 

  3 
Clasificación y ordenación de números
2.- a) Clasifica en su conjunto numérico mínimo:
 16
; -3´21111... ;
3  103 ;
3
64
; -2´25 ;
4
3
;

;
15
b) Ordena de menor a mayor los tres primeros, utilizando el símbolo de orden
Operaciones con potencias
3.- Simplifica utilizando las propiedades de las potencias, transformando las potencias de forma que
las bases sean números primos. Expresa el resultado con exponentes positivos.
155  453
a)
752  50
121   32   40
2
b)
92  85  26
c)
32 2  20 2
153  54 1
d)
10 5  50
400  20 3
Aproximaciones y errores
4.- Un granjero quiere cercar un terreno circular de 12 m de radio. Si compra 75,5 m de valla, ¿tendrá
bastante? Aproxima la cantidad de metros de valla necesaria a las centésimas.
5.-
Si se elige 0´16 como aproximación de
1
, calcula el error absoluto y relativo cometido al hacer
6
dicha aproximación.
6.-
Los lados iguales de un triángulo isósceles miden el doble que la base, cuya longitud es de
3 m.
Calcula el perímetro del triángulo, su altura y su área. Los resultados deben estar simplificados y
expresar el valor exacto.
7.-
Calcula, aproximando el resultado a las centésimas:
8,6 5  6 3  2
5
3  7

2
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Intervalos
8.-
Escribe el menor intervalo cerrado que, conteniendo al número 
4
, tiene sus extremos en Z.
3
Dibuja el intervalo y expresa su inecuación.
Operaciones con radicales
9.- Opera y simplifica:
20  2 98 
a)
125
 3 80
2
c) 5 45 
e)
1
180  18
2
b)
1
1
125  3 3  20 
3
5
2
d)
4
25  80  3 6 125
f) 2 12  4 50 
2 50  18  147  34 144
1
147  2 18 
2
10.- Expresa en un único signo radical, sin exponentes negativos ni fraccionarios y extrayendo al
máximo:
 3
a)
3
6
3
3
3

35
b)
 
6
4
3
x5 x3 
3
i)
11.-
2 7
 
7 2
 2
5 
 7


f)
55
54
2
32 
5
c)
 5
3
3
6
24
d)
2
8
g)
6
18
1
3
16  6 2
5
36
h)
24

a2
2  3 2
3
32

a

3
a a
3
5
e)
2
3 4 5

5
3
j)
3
12
5
3
5
Racionaliza y simplifica:
a)
7
3 3
3
e)
2

12.- Calcula:
a)

b)
2
2 2 3

5 3 


5 3
5
1 2
f)
c)
7
3 2


3
23 5
1
3 2

d)

1
2 3
b) 3 7  5 2  2 7  3 2

6
2 3 3 2

c)


2  1  3 24
Notación científica
13.- El Uranio 238 tarda 1,4·1017 segundos en desintegrarse. ¿Cuántos siglos son esos segundos?
Expresa el resultado en notación científica.
14.- El valor aproximado de la masa de la Tierra es 5,98·10 24 Kg y la masa del Sol 1,98·1030 Kg ¿Cuántas
veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra?
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15.- El cabello humano crece, más o menos, un centímetro en un mes. Calcula la velocidad de crecimiento
del cabello humano, expresando el resultado en km/h.
16.- El ser vivo más pequeño es un virus que pesa del orden de
azul que pesa aproximadamente
10 21 Kg y el más grande es la ballena
1,38  10 5 Kg.¿Cuántos virus serían necesarios para conseguir el
peso de una ballena?
17.- El peso estimado de nuestra galaxia es de 2,2  10 Kg ; y el peso estimado del Sol es 1,989  10
Kg. ¿Cuántos soles harían falta para conseguir el peso de nuestra galaxia?
41
Operaciones con polinomios
18.- Opera y simplifica:

1 1
3x 2   x 2   x 2  x  2
2 2
2
2
1
3
 1 2 
d)    x 
e)  x  
2
 3 5 
5
x 
x

g)  2     2  

2 
2

a) 5 x  7   5 x  7   2 x  7 x  5 
2


c) 1  2 x    x 
2
3

1

x  3  x 3  x 2  2
2

b)

f) 2 (x 2  3x + 1)  (5x + 2) · (2x2 + 5) =
x

h)   2 
2

2
1

i)   2 x 
2

2
30
 1

k)    3x 
 2

2
 x 1  x 1
j)       
 2 3  2 3
19.- Calcula 2 A( x)  B( x)  C ( x) , siendo A( x)
 2 x 2  3 x  1 , B ( x )   x  3 y C ( x)  x 2  2
20.- Efectúa las siguientes divisiones:
a)
x
c)
4
x

 5x 3  11x 2  12 x  6 : x 2  x  2
4

 x 3  3x 2  2 x  2 : x 2  2


b)
6x
4



 x 3  2 x 2  3x  14 : 2 x 2  3x  7
d)  x 
4

1 3  2
x  1 : x  3x  2
2



21.- Efectúa las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini:
a)
( x 4  3x  1) : ( x  2)
b)




c) x  x  2 :  x 
(3x 5  2 x  1) : ( x  1)
3
2
1

2
Teorema del resto
22.- Calcula k para que al dividir
x4  2x2  kx  1 entre x  2
23.- Halla el valor de “m” para que el polinomio P(x) =
dividirlo entre x + 3.
tenga de resto 10
 x 3  2mx 2  12x  4 , tenga por resto –13 al
24.- Calcula el valor de “m” para que el polinomio P(x) =  x
2
 (m+1) x + 8 sea divisible por x+2.
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25.- Calcula el valor de “m” del polinomio P(x) = x 4  7x
de resto  40.
3
26.- Calcula el valor de “m” del polinomio P(x) = x 4  m x

 m x + 2 para que al dividirlo entre x+2 tenga
2
+ 3x  2 para que sea divisible por x+2.

27.- Halla el valor de k para que la división 2 x  kx  3 :  x  3 sea exacta.
3
28.- Halla el valor de a para que el polinomio P(x) = x3 – 2ax + 8 sea divisible por x+2.
Factorización de polinomios
29.- Factoriza y calcula la raíces del polinomio:
a) P(x) = x
3
x
2
 5x  3
b) P( x)
3
x
2
3
2
e) q( x)  8 x  16 x  6 x  18
c) P(x) =
3x 2 
g) P(x) = x
3
k)
m)
f) P(x) = x
4
+ 3x 3  x
3
 6x  x + 30
i) Q(x) = 2x – 10x
P( x )  x 4  2 x 3  3 x 2  4 x  4
d)
2
4
 2 x 4  3x 3  6 x 2  13x  6
2
 3x
2
h) P(x) = 6x + 5x – 3x – 2
2
q ( x)  4 x 3  6 x 2  4 x  6
p( x)  3x 6  48x 2
j)
p ( x)  3 x 4  9 x 2
l)
p( x)  4 x 3  16 x 2  13x  3
P( x)  x 4  x 3  x 2  x
3
2
o) P( x)  2 x  3x  8 x  12
n)
ñ) P(x) = 4x3 + 8x2 + x  3
30.- Calcula en m.c.m. y el M.C.D. de los polinomios:
a) x 3  9x , x 2  6x + 9 , x 2  3x
b) x 3  4x , x 2 + 4x + 4 , x 2 +2x
Fracciones algebraicas
31.-
Opera y simplifica el resultado:
3x  1
x 1
 2
2
x  2 x x  3x  2
x
x
x

 2
d)
x  2 x  1 x  3x  2
a)
1
 1
  1

 1
g)   x     x   
x
 x
 1 x 
i)
b)
3 x
2x
x 1


x
x  1 3x
1 x 1 x
x2


1
e)
1 x 1 x 1 x2
x2
x2
3 x


6x  6 2x  x 4x  4
2x   1 
 1


 1
f) 
2  
1 x 1 x   x 
c)
x  
x  
1 x 2 

2

h) 1 
  1 
  1  x 
x 
 x 1  1  x  
x 2  4 x  4 3x  6
:
 5x
2 x 2  8x
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Logaritmos
32.-Resuelve aplicando la definición de logaritmo:
log2 8 =
log2 16 =
log10 100 =
log3 9 =
log6 1 =
log 7
1
=
7
log4 4 =
log2 4 =
log4 2 =
log5 1 =
log5 5 =
log 3 27 =
log3 243 =
log2
log3
1
=
9
2 =
33.- Resuelve aplicando la definición de logaritmo:
log3
5
3=
log7
3
49
log2
1
=
8
1
=
81
1
log6
=
6
1
log5
=
25
log3
=
log27 3 =
log5
log25 5 =
log49 7 =
3
log5
3
52 =
1
=
64
1
log10
=
1000
1
log3
=
27
log 8
5 =
log 125 5 =
34.- Calcula el valor de x que satisface las siguientes igualdades:
1
2
log2 x = 4
logx 4 = 2
log4 x =
log3 x = 2
logx 8 = 3
logx 16 = 4
log5 x = -2
logx 100 = 2
logx 30 = 1
35.- Calcula el valor de:
a) log 0’00001 =
b) log
d) log 5 – log 500 =
e) 2 log 3 – log 9 =
f) log 0’02 + log 5 =
g) log 2500 – 2 log 5 =
1
h) log
+ log 5 =
5
i) log 1000 – log 100 =
j)
4 ( log 2 + log 5) – 3 log 10 =
1000 =
c) log 125 + log 8 =
k)2 ( log 8 + log
1
1
+ log
)=
2
4
6
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36.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades y razona tu respuesta:
a) log 100 = log 50 +log 2
c) log 4 = 2 · log 2
b) log 100 = 2 · log 50
d) log 10 = log 5 + log 5
37.- Expresa con un solo logaritmo las siguientes
expresiones:
a) log 6 + log 2 – log 3 =
b) 2 · log 2 + log 36 – log 12 =
1
2


c) ( log 3 + log 25 ) -  ·log 9  log 5  =
d) 3 ( log 8 – log 4 ) + log 3 =
e) log 16000 – ( log 40 + log 2 ) =
f) 2 – log 4 =
g) 3 + log 3 – log 5 =
39.- Expresa con un solo logaritmo:
a) log 4 + log 3 + 2 log 3 =
b) 4 log 2 – log 4 =
1
log 9 – log 3 =
2
1
d)
log 25 – log 5 =
2
1
e) log
+ log 5 + log 3 =
5
c)
f) log 4 + log 6 – log 6 =
g) log 0’2 + log 5 =
h) 2 log 3 – log 9 =
42.- Sabiendo que log 2 = 0’3010, calcula el valor
de:
a) log 64 =
b) log
c) log
38.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771
calcula el valor de:
a) log 6 =
b) log 81 =
c) log 1’5 =
d) log 0’09 =
e) log
18 =
4
f) log
=
27
1
g) log
=
240
h) log 36 =
40.- Sabiendo que log 5 = 0’69, calcula:
a) log 625 =
b) log 50 =
c) log
5 =
d) log 25000 =
e) log 0’005 =
f) log 2 =
41.- Sabiendo que log 2 = 0’301 y log 3 = 0’47,
calcula:
a) log 60 =
b) log 0’006 =
c) log 18 =
0'02
=
3
40
e) log
=
3
d) log
2 =
1
=
2
d) log 2000 =
e) log 40 =
f) log
32 =
g) log 5 =
7
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43.- Completa los huecos para que sean ciertas las siguientes igualdades :
a) log ___ + log 3 = log 21
d) log ___ = 2 · log 3
b) log 16 = ___ · log 2
e) log 8 – log 2 = log ___
c) log
8 = ___ · log 2
3
g) log 72 = log ( ___ · 3
f) log 28 = log ___ + ___ · log 2
_
3
) = log ___ + log 3
_
= ___ · log 2 + 2 · log ___
44.- Utilizando los logaritmos decimales de la calculadora y la expresión del cambio de base, calcula:
log3 2 =
log5 15 =
log3 512 =
45.- Calcula los siguientes logaritmos utilizando la expresión del cambio de base y la calculadora;
después, comprueba el resultado utilizando la definición de logaritmo.
log5 25 =
log4 64 =
log9 3 =
46.- Sin utilizar la calculadora, halla, como en el ejemplo, los siguientes logaritmos:
log 729 log 36
6·log 3
Ejemplo: log3 729 =
=
=
=6
log 3
log 3
log 3
a) log5 625 =
b) log6 216 =
c) log3 243 =
47.- Expresa en función de log 2 :
a) log 32 + log 4 + log 8 =
b) ( log 8 – log 2 ) + ( log 6 – log 3 ) =
c) log 1024 + log
8 - log 160 =
48.- Expresa en función de log 5:
a) log 25 – 3 · log
1
=
5
49.- Expresa en función de log 3:
a) log 9 – 3 · log 3 =
b) log
1
+ log 27 – log 3 =
3
c) log 18 – ( log 3 + log 2 ) =
d) log 54 + 2 · log 2 – log 8 =
e) log 27000 – (log 30 + log 3 ) =
b) log 75 – 2 log 3 + log 15 =
Problemas de ecuaciones y sistemas
50.- Dos pares de zapatos y tres pares de deportivas cuestan 170€. Me han hecho un descuento del
25% en los zapatos y del 20% en las deportivas, así que sólo he pagado 132€ por todo. ¿Qué
costaba cada par?
51.- En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 2 cm más que el otro y la hipotenusa mide 2 cm
más que el cateto mayor. Calcula la longitud de los tres lados del triángulo.
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52.- En un triángulo isósceles la altura mide 2 cm más que la base. Sabiendo que el área es de 60 cm 2,
halla la medida de los lados.
53.- Se tiene un cuadrado cuyo lado es 3 cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos
cuadrados tienen 149 cm2 de área, calcula el área de cada uno de ellos.
54.- Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2500 € y los vende, después de algún
tiempo, por 2157,5 €.
Con el equipo de música perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%.
¿Cuánto le costó cada objeto?
55-
En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25
puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5 ¿cuántos aciertos y cuántos errores he tenido?
56.- Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24 cm. Si a los tres segmentos les añadimos una
misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Hallar dicha longitud.
57.- El número de animales de una granja es 9000 entre conejos y gallinas. Tienen sobrepeso 4000
animales, que son el 35 % de los conejos y el 60 % de las gallinas. Calcular el número de conejos y
gallinas de la granja.
58.- En un triángulo rectángulo el lado mayor es 4 cm mas largo que el mediano, el cual, a su vez es 4 cm
mas largo que el pequeño. Calcula la longitud de sus lados.
59.- Marta quiere hacer el marco de un cuadro con un listón de madera de 2 metros sin que sobre ni
falte madera. Si el cuadro es rectangular y tiene una superficie de 24 dm 2, ¿de qué longitud deben
ser los trozos que debe cortar?
60.- Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 13 metros de diámetro para convertirlo en
una piscina rectangular, de forma que un lado tenga 7 metros más que el otro y que la diagonal del
rectángulo coincida con el diámetro del estanque. ¿Cuáles serían las dimensiones de la piscina?
Resolución de ecuaciones
61.- Resuelve las ecuaciones siguientes. No olvides señalar al final las soluciones:
a) 2 
d)
3x  6  x
x 2  2x  1  2x  5
2

x  9
g)
14

5
1
2
b) 9 x  6 x  1  0
4
2
2x  1  1  x
x  3x  2  6
f) x  7 x  18  0
x  5 1  x
i) x  3 x  10  0
e) x
h)
c)
4
4
2
2
9
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2

x  2
j)
9  0
4
m) 2 
k)
3x  6  x
2

x  2
o)
ñ)
2  x  x  1
q)
p) 2
s)
u) x  7 x  18  0
v)3  12x2 = 0
2
 2x

 3
x) 
4
2
x2
r)
4  0
4
4
l) 2 x  5 x  2 x  4
n) 9 x  6 x  1  0
4
9  0
4
3x  x  1  5
2
1
1
3


x x  3 10
x 2  2x  1  2x  5
t) 2 
2x  1  1  x
2
w)
3x  6  x
x2 5x 2


4
6 3
2
3
9
  0
2
4
y)
2x  2  3x  11
z) x
5
 10 x 3  9 x  0
62.- Resuelve las ecuaciones siguientes. No olvides señalar al final las soluciones:
x  3  x  10  3x
b)
15  2 x 
x  6x  1
 3 x   
4
2
6

c)
x  2 ( x  3)  x
2

 x
2
3
3
d)
x - 1 2x  3 x

  x  1
3
2
3
e)
3x  5
2  6x
6
 2

x  2x  1 x  1 x  1
f)
x  2 ( x  3)  x
2

 x
2
3
3
h)
2
9

 9
x 1 x 1
j)
5x  2 6  2 x
 2
 x 1
x
x  3x
a) 2
g)
i)
2
 x  1   x  1  x  5  2 x  1
2
6
3
x2
x3 1
1
 2
 
x 1
x 1
x 1
5 x  7 4 x  14

 3x  14
k)
2
6
2
l) x  x  1  3
m) x 4  20 x 2  64  0
n) 1  2 log 2  log x  log( x  3)
ñ) 5 2 x 1  125
o) 2 2 x  3·2 x 1  8  0
p) log 6 = log x + log 3
r)log (x + 18) – log x = 1
q) log 2 + log (x + 3) = log 4
s) log (3x + 5) – log (2x + 1) = 1 – log 5
t) 3x+1 – 3x = 162
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u)
v)
w)
x)
y)
2x+3 + 2x = 18
9x – 2· 3x -3 = 0
42x+1 – 4x+2 = 768
4x – 2x = 2
4x – 5· 2x + 4 = 0
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
63.- Resuelve los siguientes sistemas:
x 1

 x  3 3y  6
 3x  6 y  3
 1


1

 1
3

 3
 2
2
3
a)
b) 
c) 

3
x

2
2
y

1

 2 x  1  3 y  2  1
xy yx 3 

1

 
 8
 4
4
8
3
2
2 
x  y  3  0
x  y  6
d)  2
e) 
2
x  y  5
x  y  9
2y  1 
3 x  2 2
 4 y  2  6  0


f) 
x
 3
2y
3x  2 y  64
g) 
log x  log y  1
4 log x  3 log y  5
h) 
log x  log y  3
3·2 x  2  5 y 1  29
i) 
6·2 x  5 y  73
Inecuaciones
64.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)
3x  1

 4x  1   x 
2

1

2
c) x3 – 2x2 – 3x < 0
e) x3 – 3x2 – 6x + 8
0
1
x 1
1
2
3
3
d) x – 7x + 6  0
b) x 
f) x3 – x2 - 4x + 4 > 0
65.- Resuelve los siguientes sistemas:

( x  2) 2  ( x  3) 2  1

a)


x x 1

 1  6x 
2
3

x3
 2x - 1 x  2

 5

b)  6
3
2
3( x  2)  4 x  15
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
2 x  x( x  3)  7  x 2 

c)

2 x  1 3x  1
x  1

 1

2
6
3 
x  12  x  22  1

d)  2 x  3 x  1
x 1

 5

3
6
 2
66.- Halla la solución gráfica de los siguientes sistemas:
a)
2 x  y  4

 x  2y  8
b)
 2x  y  1

5x  10 y  30
c)
d)
3x  2( x  y )  4

4 x  3 y  x
e)
2 x  y  3

3 x  y  2
f)
3 x  y  2

2 x  3 y  1
x  2y  8


3 x  y  3  0
Vectores y rectas
67.- Dados los siguientes vectores calcula gráficamente
68.a) pasa
b) pasa
P(1,0) y Q(-2,-3)
b

a  b , a  b , 2a 
2
Escribe todas las ecuaciones de la recta que:
por el punto A(1,3) y es paralela a la recta: 2 x  y  1  0
por el punto B(2,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por
69.- Estudia la posición relativa de las dos rectas siguientes, hallando el punto de intersección si se
cortan:
 x  1 
y
, s  x2
r
3
y  2  
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
70.- Si  es un ángulo del cuarto cuadrante y su coseno vale 0’8, calcula tg Â.
71.- Calcula el seno y el coseno del ángulo agudo  sabiendo que tg  = 2.
72.- Calcula el coseno y la tangente del ángulo  sabiendo que sen  =
1
y que es un ángulo del segundo
2
cuadrante.
73.- Calcula el seno y la tangente del ángulo  sabiendo que cos  = -
1
y que es un ángulo del tercer
3
cuadrante.
74.- Calcula el seno y el coseno del ángulo  del que se sabe que tg  = -3 y que es un ángulo del cuarto
cuadrante.
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75.- Calcula el seno y el coseno del ángulo  sabiendo que tg  = 
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4
y que es un ángulo del segundo
3
cuadrante..
Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos diferentes
76.- Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo de 45º, calcula las del ángulo de 135º.
77.- Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo de 60º, calcula las del ángulo de 240º.
78.- Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo de 30º, calcula las del ángulo de –30º.
79.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 300º.
80.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 150º.
81.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 225º
82.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 130º en función de las de un ángulo del primer
cuadrante.
83.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo 333º en función de las de un ángulo del primer
cuadrante.
84.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de –15º en función de las de un ángulo del primer
cuadrante.
85.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 1125º.
86.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 4000º en función de las de uno del primer
cuadrante.
87.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 1750º en función de las de uno del primer
cuadrante.
Resolución de triángulos. Aplicaciones a la geometría
88.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm. y el ángulo menor 35º.Calcula los catetos y el
ángulo mediano del triángulo.
89.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 5 cm. y su ángulo opuesto 40º. Calcula el valor de
la hipotenusa y del otro cateto.
90.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden a = 8 cm. y b = 24 cm. Halla los restantes elementos
del triángulo.
91.- Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 85 dm cada uno y el desigual 168dm. Calcula los
ángulos de dicho triángulo así como la altura sobre el lado desigual.
92.- El ángulo opuesto al lado desigual de un triángulo isósceles mide 65º. Cada uno de los lados iguales
mide 12 cm. Calcula el lado desigual y la altura sobre él.
93.- La base de un triángulo isósceles mide 5 cm y el ángulo opuesto a dicha base es de 55º. Calcula la
medida de la altura sobre dicha base así como el área del triángulo.
94.- La base de un triángulo isósceles mide 10 m y el ángulo opuesto 50º. Calcula los lados y el área.
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95.- Dos lados de un triángulo miden 9 cm y 14 cm y el ángulo que forman estos lados 57º. ¿Cuánto mide
el área?
96.- Calcula el área de un triángulo del que se conocen sus lados, a = 15 cm y b = 20 cm, y el ángulo
comprendido entre ellos, C = 35º.
97.- Halla la base y la altura de un rectángulo sabiendo que una de sus diagonales, que mide 20cm, forma
con la base del mismo un ángulo de 30º.
98.- Halla el área de un pentágono regular de lado 10 m.
99.- Halla el área de un octógono regular de lado 20 m.
PROBLEMAS PARA APLICAR
100.- Calcula la longitud de la sombra de la torre Eiffel cuya altura es de unos 300 m, cuando la
inclinación de los rayos solares medida sobre el horizonte es de 14º.
101.- Una moneda mide 2’4 cm de diámetro. Halla el ángulo que forman las tangentes a dicha moneda
desde un punto situado a 6cm del centro.
102.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo que
forman las ramas del compás.
103.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y cada rama tiene 12 cm de longitud, halla
el radio de la circunferencia que puede trazarse.
104.- Desde un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo de depresión de
55º. ¿A qué distancia del pie del faro se encuentra el barco?
105.- Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya
en una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un
ángulo de 30º. Halla la anchura de la calle. ¿Qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de
las fachadas?
106.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la
horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo mide 60º.Halla la altutra de la
torre.
107.- Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º, y si se retrocede 40
m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y el ancho del río.
108.- Dos amigos han creído ver un ovni desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación de
30º y 75º respectivamente. ¿Sabrías hallar la altura a la que está el ovni sabiendo que se encuentra
entre ellos?
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109.- Se desea calcular la altura del campanario de la iglesia de Villanueva la Lastra, para ello se hacen
dos observaciones desde dos puntos situados uno a dada lado de la torre y alineados con ella obteniendo
como ángulos de elevación 28º y 47º. Si la distancia entre los puntos de las observaciones es 50 metros.
Halla la altura de la torre.
110.- Para medir la distancia entre dos pueblos se utiliza un globo cautivo que está a 560 metros de
altura. Desde Navas de Abajo se ve bajo un ángulo de elevación de 20º y desde Navas de Arriba bajo un
ángulo de elevación de 25º. Suponiendo que el globo está entre los dos pueblos y alineado con ellos
calcula la distancia que los separa.
111.- Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo con un ángulo de 34º si la hipotenusa mide
16 cm.
112.- Mirando un mapa topográfico averiguamos que las cotas de las cimas de dos montes son de 567 m y
648 m respectivamente. Desde el más bajo de los dos, se ve la cima del otro bajo un ángulo de 12º,
¿cuál es la distancia (en línea recta) que separa las dos cimas? (Sol: 389,59 m)
113.- Colocados a cierta distancia del pie de un árbol vertical, se ve bajo un ángulo de 60º. ¿Bajo qué
ángulo se verá el árbol si nos colocamos a una distancia triple?.
114.- Desde el punto medio de la distancia entre dos torres A y B, se ven los puntos más altos de cada
uno, bajo ángulos de 30º y 60º respectivamente. Si A tiene una altura de 40 m, halla la altura de B
y la distancia entre ambas torres. (Solución: 120 m; 138,56 m)
C
115.- Se quiere montar un tendido eléctrico como el señalado en
el dibujo. Necesitamos saber cuántos metros de cable son
necesarios para conectar B y C y salvar el barranco. Para
ello sólo conocemos la distancia entre las torres A y B, que
es de 200 m; con ayuda de un goniómetro, desde el punto
A, medimos el ángulo que forma la visual a C con la
horizontal: 30º. Repitiendo la medida en B, el ángulo que
forma ahora la visual a C con la horizontal es de 60º.
¿Cuántos metros de cable se necesitan para unir B y C?
(Solución: 200 m)
A
B
116.- La chimenea de una fábrica mide 10 m y está situada sobre el tejado del edificio. Nos situamos
frente a éste, a una cierta distancia. Desde ahí, se observa la base de la chimenea bajo un ángulo
de 53º y su extremo superior bajo un ángulo de 63º. ¿A qué distancia estamos del edificio? ¿Cuál
es su altura total?
117.- Determina la altura de un árbol si desde un punto situado a una cierta distancia de su base se
observa su copa con un ángulo de 65º, y si nos alejamos 100 metros se ve la copa con un ángulo de
54º
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118.- Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, como indica la figura.
Calcula:
B̂
a) La altura de la antena
b) La longitud de los cables
c) El valor del ángulo B̂
 = 30º
Ĉ  60º
PROBLEMAS DE REPASO
126 m
1119- Una escalera de 6 m de largo se encuentra apoyada en una pared de tal forma que su pie dista 3 m
de la misma. Calcula la altura del punto de la pared en el que la escalera está apoyada así como el ángulo
que dicha escalera forma con el suelo.
120.- Para determinar el ancho de un río se fija una señal en la orilla, a continuación el operario se coloca
delante de la señal pero al otro lado del río y camina 30 metros por la orilla hasta un punto que forma un
ángulo de 64º con la señal. Calcula la anchura del río.
121.- Una torre de 20 m de alto proyecta una sombra de 25 metros de largo. Calcula el ángulo de
inclinación de los rayos solares en ese momento sobre el suelo.
122.- La inclinación de los rayos solares en cierto momento es de 38º sobre la horizontal. Calcula la
longitud de la sombra que proyecta un árbol de 3’5 metros de altura.
123.- Desde un faro, situado a 40 m sobre el nivel del mar, se observa un barco bajo un ángulo de
depresión de 28º .Calcula las distancias que separan al barco del pie del faro y del punto más alto del
faro.
124- Desde cierto lugar se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 35º.Si se retrocede 200
metros, se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 20º. Calcula la altura de la torre.
125.- Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos
observaciones desde dos puntos A y B situados a un lado de la torre, obteniendo como ángulos de
elevación 30º y 45º, respectivamente. La distancia AB es de 30 m. Halla la altura de la torre.
126.- Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión, bajo los ángulos de 45º y
60º. La distancia entre sus casas es de 126 m y la antena está situada entre sus casas y alineadas con
ellas. Halla la altura de la torre.
127.- Calcula la altura a la que se encuentra un objeto del suelo sabiendo que dos personas, situadas una
a cada lado del mismo en línea recta, lo observan con un ángulo de elevación de 50º y 67º
respectivamente y que la distancia de separación entre ellas es de 6 m.
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Geometría
128.- Escribe todas las ecuaciones de la recta que:
2x  y  1  0
a) pasa por el punto A(1,3) y es paralela a la recta:
b) pasa por el punto B(2,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por P(1,0) y Q(-2,-3)
129.- Estudia la posición relativa de las dos rectas siguientes, hallando el punto de intersección si se
cortan:
 x  1 
y
, s  x2
r
3
y  2  
Rectas
5.- Representa las siguientes funciones lineales. Indica cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de
cada una de ellas:
a) y = 2x – 3
b) y = - x + 5
c) y =

1
4
x–2
d) 4x – 2y = 0
Parábolas
130.- Representa gráficamente las siguientes parábolas y determina su dominio y recorrido:
a) y  5 x 2  5 x  10
d) y   x 2  2 x  8
b) y  3x 2  3x  6
c) y   x 2  4 x  5
e) y   x 2  6 x  8 f) y  2 x 2  5x  3
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Lectura de gráficas
131.- Indica las propiedades de la siguiente función:
a) Dominio
b) Recorrido
c) Puntos de corte con los ejes
f (x) ; lim f ( x ) ;
d) xlim
 
x
lim f ( x) ; lim f ( x ) ;
x 1
x 1
lim f ( x) ; lim  f ( x )
x  1
x  1
e) Asíntotas verticales y
horizontales
f) Intervalos de crecimiento y
decrecimiento
g) Máximos y mínimos relativos
h) Continuidad.
i) f(0); f(2); f(5)
132.- Indica las propiedades de la siguiente función:
a) Dominio
b) Recorrido
c) Puntos de corte con los ejes
f (x) ; lim f ( x ) ;
d) xlim
 
x
e) Asíntotas verticales y
horizontales
f) Intervalos de crecimiento y
decrecimiento
g) Máximos y mínimos relativos
h) Continuidad.
i) f(0); f(2); f(1)
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