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Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingeniería
Ciclo Básico
Departamento de Matemática Aplicada
ÁLGEBRA
LINEAL Y
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
(0250)
Semestre
1-2011
José Luis Quintero
Mayo 2011
Álgebra Lineal y
Geometría Analítica
(0250)
TEMA 2
VECTORES
EN
R2 Y R3
Semestre
1-2011
José Luis Quintero
Mayo 2011
Vectores en R2 y R3
U.C.V.
F.I.U.C.V.
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) – TEMA 2
Prof.
José Luis Quintero
Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al
estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de vectores en R2 y R3.
La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de
repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y
propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,
también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo
más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Álgebra Lineal en
Ingeniería.
Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora
del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:
[email protected].
INDICE GENERAL
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ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) – TEMA 2
Vectores en R2 y R3
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José Luis Quintero
2.1.
Vectores
1
2.2.
Cantidades escalares y vectoriales
2
2.3.
Longitud, magnitud o norma de un vector
3
2.4.
Producto escalar
4
2.5.
Ángulo entre dos vectores
5
2.6.
Vectores canónicos. Direcciones
6
2.7.
Vectores ortogonales. Proyección ortogonal
7
2.8.
Cálculo de la proyección de un vector sobre otro
8
2.9.
Producto vectorial
10
VECTORES
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Vectores en R2 y R3
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2.1. VECTORES
Definición 1. Un vector es un objeto de la forma x = (x1 , x2 ,..., xn ) con xi ∈ R, i = 1,...,n .
Un vector es una magnitud representada por un segmento dirigido (flecha). Se
caracteriza por poseer:
a. Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que se llama módulo,
norma o tamaño del vector (ver figura 1).
Figura 1. Cálculo del módulo, norma o tamaño de un vector
b. Una dirección, que es la recta a la que pertenece (ver figura 2).
c.
Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos
“+” para un lado y “-” para el otro (ver figura 2).
Figura 2. Dirección y sentido de un vector
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VECTORES
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Los vectores pueden situarse en el plano, (dos dimensiones) (ver figura 3), en el
espacio (tres dimensiones) (ver figura 4) y hasta en dimensiones mayores a tres. Los vectores
que se encuentren en el plano se llamarán “pares”, mientras los que se ubiquen en el espacio
se llamarán “ternas”.
Figura 3. Vector en dos dimensiones
Figura 4. Vector en tres dimensiones
2.2. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
Diversas medidas como la temperatura, distancia, masa, tiempo, densidad, energía,
área, altura, etc, se pueden representar mediante un solo número real, estas se llaman
cantidades escalares. Otras como la fuerza que actúa sobre un objeto, velocidad y
aceleración de un cuerpo, necesitan, además de la magnitud, describir una dirección y un
sentido.
Estas
se
llaman
cantidades
vectoriales
y
se
logra
describirla
mediante
coordenadas. Se estudiarán con detalle algunas características de estas últimas cantidades.
LONGITUD, MAGNITUD O
NORMA DE UN VECTOR
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2.3. LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR
Definición 2. La longitud, magnitud o norma de un vector es una cantidad escalar
asociada con el tamaño del vector y se puede calcular como
x =
x12 + x22 + ... + xn2 .
El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R3
(ver figura 5). Si P = (x, y, z) , del teorema de Pitágoras se tiene que
OP
2
= OR
2
+ z2 ,
aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR se obtiene
OR
2
= x2 + y2
y reemplazando esta última ecuación en la primera:
OR
2
= x2 + y2 + z2 .
Como la norma de un vector es no negativa se tiene que
P = OP =
x2 + y2 + z2 .
TEOREMA 1. (PROPIEDADES DE LA NORMA)
a. x = 0 ⇔ x = 0
b.
x >0⇔x≠0
c.
λx = λ x ( λ escalar real)
d.
x + y ≤ x + y (Desigualdad triangular)
Observación 1. x se dice unitario si y sólo si x = 1 .
TEOREMA 2. Sea x ∈ Rn , entonces
x
es unitario.
x
LONGITUD, MAGNITUD O
NORMA DE UN VECTOR
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Figura 5. Norma de un vector en tres dimensiones usando el teorema de Pitágoras
2.4. PRODUCTO ESCALAR
Definición 3. Dados los vectores x = (x1 , x2 ,..., xn ) y y = (y1 , y2 ,..., yn ) se define el producto
escalar x • y, por
n
x • y = x1y1 + ... + xnyn =
∑xy .
i i
i =1
TEOREMA 3. (PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR)
a. x • y = y • x
b.
(λx) • y = λ(x • y)
c.
x • (y + z) = x • y + x • z
d.
x•x ≥0
e.
x•x =0⇔ x =0
Observación 2.
x•x = x .
ÁNGULO ENTRE
DOS VECTORES
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2.5. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Definición 4. Sean A y B dos vectores de R2 o R3 no nulos, el ángulo θ entre los vectores
coordenados A y B es el ángulo entre los vectores fijos OA y OB y donde θ es un ángulo
entre 0 y 180 .
TEOREMA 4. Si A y B son vectores coordenados de R3 no nulos, entonces
cos(θ) =
A
2
+ B
2
− B−A
2
2 A B
Demostración.
Por la ley de los cosenos se tiene que
B−A
2
= A
2
+ B
2
− 2 A B cos(θ) .
De modo que
cos(θ) =
A
2
+ B
2
2
− B−A
.
2 A B
TEOREMA 5. Si A y B son vectores coordenados de R3 no nulos, entonces
A •B
.
cos(θ) =
A B
Demostración.
Si A = (a1 , a2 , a3 ) y B = (b1 ,b2 ,b3 ) son vectores de R3, entonces
B−A
2
= (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2
= (b12 + b22 + b32 ) + (a12 + a22 + a32 ) − 2(b1a1 + b2a2 + b3a3 )
= B
2
+ A
2
− 2(b1a1 + b2a2 + b3a3 )
Reemplazando se tiene que
cos(θ) =
A
2
+ B
2
− B
2
− A
2
+ 2(b1a1 + b2a2 + b3a3 )
2 A B
=
(b1a1 + b2a2 + b3a3 )
A •B
=
A B
A B
VECTORES CANÓNICOS.
DIRECCIONES
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2.6. VECTORES CANÓNICOS. DIRECCIONES
Definición 5. Los vectores de R 3
i = (1, 0, 0), j = (0,1, 0), k = (0, 0,1) se conocen con el
nombre de canónicos y dibujados con punto inicial el origen coinciden con las direcciones
positivas de los ejes de coordenadas y son unitarios.
Definición 6. Los ángulos directores de un vector fijo OA son los ángulos α , β y γ , donde
α es el ángulo formado por el semieje positivo de las x y el vector OA, β es el ángulo
formado por el eje positivo de las y y el vector OA y γ es el ángulo formado por el eje
positivo de las z y el vector OA, la medida de estos ángulos se encuentra entre 0 y 180 .
Definición 7. Los cosenos directores del vector fijo OA son los cosenos de los ángulos
directores del vector OA. Se puede encontrar una fórmula para determinar los cosenos
directores del vector OA (ver figura 6).
El ángulo ORA es recto porque RA está en un plano que es perpendicular al vector OR.
De modo que
cos(α) =
a1
=
A
a1
a12 + a22 + a32
.
De forma similar se tiene que
cos(β) =
a2
=
A
cos(γ) =
a3
A
=
a2
a12 + a22 + a23
a3
a12 + a22 + a23
,
.
Ahora bien,
cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ) =
a12
a12 + a22 + a23
+
a22
a12 + a22 + a23
+
a23
a12 + a22 + a23
= 1.
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Figura 6. Cosenos directores de un vector fijo
2.7. VECTORES ORTOGONALES.
PROYECCIÓN ORTOGONAL
Definición 8. Un vector x es ortogonal (perpendicular) al vector y si y sólo si
x+y = x−y .
Observación 3. Si dos vectores x, y son perpendiculares se usará la notación x ⊥ y .
TEOREMA 6. Dos vectores x, y son ortogonales si y sólo si x • y = 0 .
Dados los vectores fijos a y b no nulos es posible proyectar el vector a sobre el vector
b y sobre un vector fijo w’ perpendicular a b como se indica en la figura 7.
Como se observa en la figura 7, a = v + w , donde v es la proyección de a sobre b y
w es la proyección ortogonal de a sobre b.
TEOREMA 7. (PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR)
a.
v = λb para algún escalar λ (v es paralelo a b).
b.
a= v +w.
c.
w •b = 0.
VECTORES CANÓNICOS.
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Figura 7. Proyección del vector a sobre el vector b
2.8. CÁLCULO DE LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR
SOBRE OTRO
a • b = (w + v) • b = w • b + v • b = 0 + v • b = v • b = (λb) • b = λ(b • b)
De lo anterior se tiene que
λ=
a•b
.
b•b
La proyección de a sobre b se puede escribir como
a•b
 b = comp(proy a)b .
proyb a = 
b
 b2 


El vector
a•b
b
w = a − λb = a − 
 b2 


es ortogonal a b para cualquier vector a (ver figuras 8 y 9).
CÁLCULO DE LA PROYECCIÓN
DE UN VECTOR SOBRE OTRO
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Figura 8. Proyección del vector a sobre el vector b con escalar positivo
Figura 9. Proyección del vector a sobre el vector b con escalar negativo
PRODUCTO VECTORIAL
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2.9. PRODUCTO VECTORIAL
Considere el problema de encontrar un vector X = (x, y, z) perpendicular a dos
vectores no nulos y no paralelos A = (a1 , a2 , a3 ) y B = (b1 ,b2 ,b3 ) . Como A • X = B • X = 0 , el
problema se reduce a la solución del sistema de ecuaciones dado por
a1x + a2 y + a3z = 0
b1x + b2 y + b3z = 0
.
Se puede eliminar z multiplicando la primera ecuación por b3 y la segunda por −a3 y
luego sumándolas se obtiene
(a1b3 − a3b1 )x + (a2b3 − a3b2 )y = 0
(*)
De forma semejante, se puede eliminar y y
(a1b2 − a2b1 )x + (a3b2 − a2b3 )z = 0
(**)
Se ve fácilmente que para cualquier constante k,
x = k(a2b3 − a3b2 ) , y = k(a3b1 − a1b3 ) , z = k(a1b2 − a2b1 )
es una solución para el sistema formado por (*) y (**). Como se puede ver hay infinitas
soluciones a este sistema todas ellas múltiplos escalares. Cuando k = 1 la solución se define
como el producto vectorial A × B . Por lo anterior, A × B es un vector perpendicular tanto a A
como a B (ver figura 10).
PRODUCTO VECTORIAL
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Figura 10. Producto vectorial de dos vectores
Definición 9. Para cualquier par de vectores A y B de R3 el producto vectorial de A por B se
define como
A × B = (a2b3 − a3b2 , a3b1 − a1b3 , a1b2 − a2b1 ) .
Observación 4.
a. Si A o B es el vector nulo, entonces es claro que A × B = 0 .
b. Si A o B no son nulos y A es paralelo a B, entonces B = λA para algún escalar λ , por
tanto
A × B = A × (λA) = (a1 , a2 , a3 ) × (λa1 , λa2 , λa3 )
= (a2 (λa3 ) − a3 (λa2 ), a3 (λa1 ) − a1(λa3 ), a1(λa2 ) − a2 (λa1 ))
= (λa2a3 − λa3a2 , λa3a1 − λa1a3 , λa1a2 − λa2a1 ) = (0, 0, 0)
Se tiene entonces que si A × B son vectores paralelos entonces A × B = 0 . Usando
determinantes se tiene que
i
j k
A × B = a1 a2 a3 .
b1 b2 b3
TEOREMA 8. (PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL)
Sean A, B y C vectores de R3 y λ un número real.
a.
A×A =0
b.
0×A = A×0 = 0
c.
d.
B × A = −A × B
A × (B + C) = A × B + A × C
e.
(λA) × B = λ(A × B) = A × (λB)
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PRODUCTO VECTORIAL
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Observación 5. El producto cruz o vectorial en general no cumple la propiedad asociativa, es
decir,
A × (B × C) ≠ (A × B) × C .
Relacionando al producto vectorial con el producto escalar se tiene
A ×B
2
+ (A • B)2 = A
2
2
B . (Identidad de Lagrange)
TEOREMA 9. Si A y B son vectores de R3 y θ es el ángulo entre los vectores A y B, entonces
A × B = A B sen(θ) .
Demostración.
A ×B
2
= A
2
B
2
− (A • B)2 = A
2
B
2
− A
2
B
2
cos2 (θ) = A
2
= A
2
2
B (1 − cos2 (θ))
B
2
sen2 (θ)
De modo que
A × B = A B sen(θ) .
□
La fórmula anterior para A × B tiene una interpretación geométrica para lo cual se
construirá el paralelogramo determinado por A y B (ver figura 11). El área de dicho
paralelogramo es base por la altura, donde la base es A y la altura es B sen(θ) , entonces el
área del paralelogramo es A × B = A B sen(θ) .
Para el cálculo del área de un triángulo de vértices a, b y c se tiene que
ÁREA =
1
2
AB × AC .
Figura 11. Aplicación geométrica del producto vectorial