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ALGEBRA Y GEOMETRÍA
ANALITICA
PROGRAMA ANALITICO
DE LA
ASIGNATURA
AÑO 2010
Unidad I: Números Complejos
Objetivos
Esperamos que el estudiante:
 Comprenda la necesidad de ampliar los conjuntos numéricos con los que
habitualmente trabaja, a fin de resolver problemas concretos que se presentan
 Resuelva operaciones en el conjunto de números complejos y diferencie las
condiciones de existencia de las mismas respecto del conjunto de números reales.
 Analice su aplicación para las diferentes especialidades de las carreras de
ingeniería que se dictan en la Facultad Regional Avellaneda.
Contenidos
Conjuntos numéricos: Revisión de conjuntos numéricos ( , , y )
El conjunto de números complejos:
Su origen como resolución de ecuaciones cuadráticas. La unidad imaginaria: 1  i
Forma binómica de los números complejos. Parte Real e Imaginaria. Concepto de
igualdad en
Operaciones y propiedades: suma, diferencia, producto, cociente
(conjugado – sin propiedades).
Interpretación gráfica como vector: el número complejo como par ordenado de números
reales.
En esta escritura operaciones de suma y diferencia, analítica y gráficamente.
Módulo de un número complejo (sin propiedades).
Argumento de un número complejo (sin propiedades). Obtención del argumento en los
cuatro cuadrantes.
Forma trigonométrica. Operaciones: producto (sin demostración), cociente (sin
demostración), potenciación (fórmula de De Moivre: extensión de su aplicación a
exponentes enteros), radicación (con demostración). Con un ejemplo numérico mostrar
que la raíz enésima tiene n resultados diferentes. Diferencias de fase (angulares) entre
complejos sucesivos en una raíz: visualizar a través de ejemplos.
Forma exponencial: indicar como se llega a la misma a partir del desarrollo en serie de
potencias de la expresión trigonométrica (sin demostración) Su aplicación en las
operaciones básicas: producto, cociente, potenciación, empleando propiedades de las
funciones exponenciales vinculando estas con las mismas operaciones definidas en la
forma trigonométrica.
Duración: 1,5 clases
Unidad II: Álgebra vectorial
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Amplíe y profundice conocimientos adquiridos sobre los vectores físicos y
geométricos, extendiéndolos a Rn.

Utilice a los vectores como herramienta básica en el cálculo algebraico.

Identifique aplicaciones concretas en el campo de la física, geometría e ingeniería.
Contenidos
Sistemas coordenados en , 2 y 3 para definir a los vectores como segmentos
orientados. Forma canónica y cartesiana de un vector en , 2 y 3 . Extensión a
n
: definición del vector como n – upla ordenada de números reales. Operaciones:
adición, producto de un escalar por un vector. Enunciar las propiedades de cada
operación para una introducción al concepto de espacio vectorial real.
Concepto de módulo o norma. Propiedades del módulo (enunciado). Aplicación
geométrica de la norma de un vector: Distancia entre dos puntos en , 2 y 3 .
Extensión a n .
Ángulos y Cosenos Directores. Definiciones. Versor asociado. Obtención del versor
asociado a partir de los cosenos directores. Condiciones de paralelismo entre vectores.
Producto escalar: definición. Propiedades del producto escalar, su enunciado. Ángulo
entre vectores y condición de ortogonalidad (demostración). Enunciar la expresión del
producto escalar en función de las componentes en 3 (extensión a n ). Interpretación
geométrica: proyección de un vector sobre otro y componente ortogonal de un vector
respecto de otro.
Producto vectorial: definición. Propiedades. Producto vectorial de los versores
canónicos aplicando la definición. Expresión del producto vectorial para los vectores
dados en forma canónica. Enunciar la expresión de cálculo aplicando determinantes por
Regla de Laplace (dar una breve introducción a los determinantes, explicitando que el
tema será desarrollado en la unidad pertinente). Interpretación geométrica de la norma
del producto vectorial (demostración).
Producto mixto: definición. Propiedades. Expresión de cálculo del producto mixto
aplicando determinantes. Interpretación geométrica del valor absoluto del producto
mixto (demostración). Vectores coplanares.
Combinación lineal de vectores, independencia y dependencia lineal de un conjunto de
vectores. Aplicar en la resolución de los sistemas lineales asociados homogéneos y no
homogéneos el método de triangulación de Gauss. Mostrar interpretaciones geométricas
(vectores paralelos, vectores coplanares). Propiedades de los conjuntos linealmente
independientes y dependientes.
Introducción al concepto de coordenadas de un vector cuando se trabaje con el tema de
combinaciones lineales.
Duración: 3 clases
Unidad III: Recta en R2, Plano y Recta en R3
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Aplique los conceptos del álgebra vectorial en la resolución de temas geométricos
concretos.

Identifique dichos elementos geométricos y los relaciones con sus expresiones
algebraicas.

Adquiera destreza en el manejo de problemas geométricos relativos al plano y al
espacio.
Contenidos
1. Recta en R2
Recuperar el concepto de recta en el plano visto en el Seminario Universitario: forma
implícita, forma explícita.
Ecuación general o implícita de la recta (punto – vector normal), su deducción. Inferir
de ella la forma segmentaria y la forma explícita
Ecuación paramétrica vectorial de la recta (punto – vector director), su deducción. A
partir de ella, obtención de las formas: paramétrica cartesiana y simétrica. Recta que
pasa por dos puntos.
Ejemplos de representación gráfica usando los elementos distintivos que aparecen en
cada forma de la ecuación de la recta.
Posiciones relativas de dos rectas en R2. Su estudio mediante sistemas de ecuaciones
lineales.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Geometría métrica: ángulo; distancia.
(demostraciones) Aplicaciones.
Haz de rectas. Deducción. Aplicaciones.
2. Plano
Deducción de la ecuación general del plano utilizando vectores. Distintos casos: un
punto y un vector normal (demostración), dos vectores no paralelos y un punto
(utilizando el caso anterior), tres puntos no alineados (ídem) Ecuación paramétrica
vectorial de un plano como consecuencia del concepto de producto mixto y de la
combinación lineal de vectores. Forma segmentaria.
Descripción de situaciones particulares de la ecuación del plano: paralelo a los ejes
coordenados y a los planos coordenados. Trazas de un plano.
Posición relativa de dos planos en el espacio. Condiciones de paralelismo y
perpendicularidad , ángulo entre rectas. Estos temas quedan para el espacio de la
práctica a través de los ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos.
Geometría métrica: distancias de punto a plano y entre planos paralelos.
Demostraciones. Aplicaciones.
Haz de planos. Deducción. Aplicaciones.
3. Recta en R3
Deducción de las ecuaciones de la recta (punto – vector director): vectorial, cartesiana
paramétrica y simétricas. Recta como intersección de dos planos, generalización del
cálculo resolviendo el sistema de ecuaciones planteado y también por consideraciones
geométricas, obteniendo el vector director como producto vectorial de los normales de
cada plano y calculando un punto). Análisis de casos especiales: recta con uno y dos
componentes de su vector director nulas (mostrar situaciones gráficas).
Planos proyectantes. Posición relativa entre dos rectas en el espacio. Posición relativa
entre una recta y un plano. Proyecciones de un punto sobre un plano, de un punto sobre
una recta, de una recta sobre un plano. Ángulo entre rectas y entre recta y plano. Estos
temas quedan para el espacio de la práctica a través de los ejercicios de la Guía de
Trabajos Prácticos.
Geometría métrica: Distancias: entre rectas alabeadas (demostración), de punto a recta
(demostración), entre rectas paralelas (aplicación de la expresión de cálculo a partir del
concepto anterior de distancia de punto a recta), entre recta y plano paralelos (utilizar
ejemplos de la Guía de Trabajos Prácticos). Aplicaciones.
Duración: 5 clases
Unidad IV: Álgebra Matricial
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Adquiera la noción de matriz como una colección ordenada de datos y reconozca a
las matrices como un operador básico en el Álgebra Superior.

Aprenda a trabajar con matrices y adquiera habilidad en su manejo como
herramienta de cálculo.
Contenidos
Definición. Clasificación. Propiedades. Operaciones: adición de matrices y producto de
una matriz por un escalar. Partición de matrices en vectores fila y columna.
Introducción a las matrices como conjuntos ordenados de vectores. Notación sintética
como conjunto de vectores fila o columna.
Producto de matrices. Definición. Multiplicación de matrices por bloques de vectores.
Propiedades. Matriz Identidad como neutro para el producto (ejemplos).
Matriz traspuesta. Enunciado de las propiedades de la trasposición. Breve mención a
los procedimientos de demostración de estas propiedades.
Concepto de rango de una matriz. Comprobación con un ejemplo sencillo de la
igualdad entre el rango fila y el rango columna y su extensión como rango de una
matriz. Aplicación de los conceptos de independencia lineal en el cálculo del rango.
Operaciones elementales sobre una matriz. Enunciado y verificaciones con ejemplos de
cada una de ellas. Método de Gauss – Jordan.
Matriz inversa. Propiedades. Concepto de matrices regulares y singulares. Aplicando la
ejercitación de la Guía de Trabajos Prácticos, deducir que ocurre con la inversa del
producto de dos matrices cuadradas.
Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss – Jordan. Deducción de la
aplicación de dicho método a partir de la resolución del sistema de ecuaciones lineales
resultante (Utilizar un sistema de 2x2)
Definición de matrices particulares (ejemplificar con matrices en R3 x 3):
 Matriz diagonal. (Verificación utilizando un ejemplo numérico de la propiedad
que expresa que el producto de matrices diagonales es conmutativo), Matriz
escalar (incluir la Matriz Identidad), Matriz triangular inferior y superior.
 Matrices simétricas y antisimétricas. Propiedades
 Matriz ortogonal. Propiedades. Demostración mediante un ejemplo o con una
matriz de 2x2: la matriz asociada a una rotación es ortogonal.
 Matriz idempotente. Matriz involutiva
Duración: 1,5 clases
Unidad V: Determinantes
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Reconozca a los determinantes como una aplicación de las matrices cuadradas en
los números reales.

Conozca sus propiedades y las aplique en el cálculo.

Vincule las aplicaciones de los determinantes utilizadas en la Unidad Temática:
Álgebra vectorial de manera elemental (producto vectorial, producto mixto)
Contenidos
Definición de determinante como aplicación de las matrices cuadradas en los números
reales. Obtención del determinante a partir del concepto de permutación (ejemplificar
con la obtención del determinante de matrices de R2x2 y de R3x3, luego extender a Rnxn).
Definición de menor complementario y adjunto o cofactor de un elemento de una
matriz. Matriz adjunta o cofactor. Ejemplos
Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Deducción del método
de Laplace a partir de la expresión del determinante de una matriz de R3x3 calculada
mediante la definición convencional. Utilidad del método de Laplace para reducir el
orden de los determinantes.
Propiedades de los determinantes, su enunciado. Ejemplificar utilizando matrices de
R3x3. Aplicación de las propiedades para el cálculo de un determinante. Procedimiento
de cálculo aplicando las propiedades. Aplicación de Gauss y de Laplace para el cálculo
de los determinantes (Regla de Chío).
Enunciado y deducción de las propiedades vinculadas con las matrices especiales y con
las operaciones con matrices (de una matriz diagonal, de una matriz triangular,
determinante de un producto de matrices, determinante de la inversa de una matriz no
singular, determinante de una matriz ortogonal, de una idempotente, de una involutiva):
para ser desarrollado en las aplicaciones de las clases prácticas.
Cálculo de la inversa de una matriz usando determinantes (enunciado) Relación del
valor del determinante con el concepto de regularidad o singularidad de una matriz.
Relación del valor del determinante con el concepto de regularidad o singularidad de
una matriz y con su rango.
Aplicaciones.
Duración: 1,5 clases
Unidad VI: Sistemas de ecuaciones lineales
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Resuelva eligiendo el método analítico
lineales.

Utilice sistemas de ecuaciones lineales para modelar la solución de problemas
asociados a la física, geometría e ingeniería.

Aplique en su resolución los conocimientos adquiridos en el estudio de vectores,
matrices y determinantes.

Interprete geométricamente sistemas asociados a problemas derivados de los
temas de Geometría Analítica tratados en la Unidad Temática n° 2: Rectas en
R2 y planos y rectas en R3.

Relacione, en lo que corresponda, el conjunto solución de un sistema de
ecuaciones lineales con los conceptos de espacios vectoriales que se han
tratado en las unidades temáticas previas.
adecuado sistemas de ecuaciones
Contenidos
Definición de un sistema de ecuaciones lineales. Clasificación (por la cantidad de
incógnitas y ecuaciones, por el valor de los términos independientes) Forma matricial.
Sistemas equivalentes: propiedades. Deducción a partir del concepto de sistemas
equivalente del cálculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss. Concepto
de solución. Concepto y determinación del conjunto solución. Clasificación de un
sistema según su conjunto solución.
Primera Parte: métodos de resolución: Teorema de Cramer (sin demostración) y
Método de Cramer, Método de la matriz inversa. Campos de aplicación de cada uno de
ellos. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos cuadrados. Interpretación
geométrica de sistemas homogéneos y no homogéneos. Análisis de sistemas de
ecuaciones lineales cuadrados paramétricos homogéneos y no homogéneos.
Aplicaciones a problemas de ingeniería.
Segunda Parte: métodos de resolución: enunciado de los métodos de triangulación de
Gauss, procedimiento de Gauss – Jordan. Análisis de la compatibilidad de un sistema.
Teorema de Roché – Frobenius: enunciado, demostración y aplicaciones. Sistemas de
ecuaciones lineales no homogéneos: descripción. Propiedades. Análisis de su
compatibilidad aplicando el Teorema de Roché – Frobenius y el de Cramer. Análisis de
sistemas de ecuaciones lineales no cuadrados paramétricos homogéneos y no
homogéneos.
Duración: 1,5 clases
Unidad VII: Espacios Vectoriales
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Conozca y domine la estructura de espacio vectorial.

Compruebe que a través de la misma existen elementos comunes entre diferentes
conjuntos algebraicos.

Relacione los temas vistos de Geometría Analítica con el concepto de subespacios.

Relacione conceptos físicos o geométricos conocidos con sus equivalentes
algebraicos abstractos (por ejemplo, la definición de sistemas de referencia con las
bases de un espacio vectorial)
Contenidos
Definición de espacio vectorial real. Axiomas. Espacio vectorial de: vectores, matrices,
polinomios, números complejos, funciones continuas. Definición de subespacio
vectorial. Condición necesaria y suficiente para la existencia de un subespacio.
Aplicaciones. Subespacios triviales.
Sistema de generadores de un espacio vectorial. Explicación del concepto. Ejemplos.
Vincularlos al concepto físico de sistemas de referencia o de coordenadas. Concepto de
Base y de Dimensión de un Espacio Vectorial. Aplicaciones. Relaciones con la
dependencia e independencia lineal. Bases ortonormales.
Subespacio generado. Definición. Aplicaciones.
Operaciones con subespacios (intersección, suma, suma directa. Referir a las
demostraciones en la página web de que dichas operaciones son subespacios
vectoriales) Complemento ortogonal de un subespacio, propiedades. Enunciado de los
teoremas de la dimensión en la suma y en el complemento ortogonal de un subespacio.
Aplicaciones a la geometría. Aplicaciones con polinomios, vectores y matrices.
Duración: 3,5 clases
Unidad VIII: Transformaciones lineales
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Identifique las transformaciones lineales como aplicaciones de los espacios
vectoriales y las asocie con el álgebra de matrices y con los conocimientos
previamente aprendidos.

Reconozca su utilización en aplicaciones relacionadas con la física y la geometría y
adquiera habilidad en el planteo y la resolución de problemas vinculados con estos
temas.
Contenidos
Concepto de transformación lineal. Operadores lineales. Propiedades generales:
enunciado y demostración.
Matriz asociada a una transformación lineal. Deducción que la transformación
matricial es una transformación lineal y con un ejemplo calcular la matriz asociada a
una transformación lineal en las bases canónicas. Aplicaciones.
Teorema fundamental de las transformaciones lineales. Demostración. Su aplicación a
los problemas de la ingeniería.
Núcleo e imagen de una transformación lineal. Concepto. Deducción de los mismos
como subespacios (referir que estas demostraciones están incorporadas a la página web,
y demostrar una de ellas). Enunciar el teorema de la dimensión del núcleo y la imagen.
Clasificación de las transformaciones lineales: monomorfismo, epimorfismo,
isomorfismo, endomorfismo y automorfismo. Mención de los espacios vectoriales
isomorfos. Propiedades. Mención de las condiciones para que una transformación lineal
sea un monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo. Aplicaciones. Inversa de una
transformación lineal.
Geometría de las transformaciones lineales en R2: identidad, reflexión o simetría,
dilatación y contracción, cizallamiento, rotación (vincular la rotación con el concepto de
matriz ortogonal). Deducción de la matriz asociada en todos los casos. Aplicaciones.
Composición de transformaciones geométricas como caso de aplicación de la
composición de transformaciones lineales. Obtención de la matriz asociada para un
conjunto de transformaciones geométricas. Enunciar la traslación como transformación
afín. Estos temas quedan para el espacio de la práctica a través de los ejercicios de la
Guía de Trabajos Prácticos.
Cambio de base. Coordenadas. Matriz de cambio de base: deducción. Aplicaciones.
Matrices asociadas a una transformación lineal en bases distintas. Relación con las
matrices de cambio de base.
Concepto de matrices semejantes. Enunciado de las relaciones existentes entre matrices
semejantes. Introducción al concepto de diagonalización.
Duración: 4,5 clases
Unidad IX: Autovalores y Autovectores
Diagonalización
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Expresar las coordenadas de un punto y elementos geométricos en distintos
sistemas de referencia.

Identifique en el proceso de cambio de sistemas de referencias los distintos
conocimientos adquiridos y los aplique.

Comprenda la conveniencia del proceso de diagonalización de matrices en la
solución de problemas concretos.
Contenidos
Autovalores y Autovectores. Concepto. Aplicación en las transformaciones lineales.
Interpretación geométrica. Deducción del cálculo de los autovalores y de los
autovectores. Definición de polinomio característico de una matriz. Mención al
Teorema de Cayley - Hamilton. Ejemplos.
Diagonalización de matrices. Definición. Diagonalización ortogonal de matrices
simétricas.
Enunciado de las propiedades que vinculan la diagonalización con los valores y
vectores propios.
Breve introducción a la aplicación de los autovalores y autovectores en algunos
problemas de ingeniería.
Duración: 2 clases
Unidad X: Cónicas y Superficies
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Describa analíticamente los conjuntos de puntos del plano y del espacio que se
denominan cónicas y superficies, respectivamente.

Reconozca y realice representaciones gráficas de cónicas y superficies.

Aplique en su estudio y resolución conocimientos y técnicas adquiridas
previamente.

Resuelva situaciones problemáticas referidas a la física e ingeniería que involucran
estudio de cónicas o superficies.

Aplique los conceptos relativos a la diagonalización de matrices para efectuar la
rotación de una cónica.
Contenidos
1. Cónicas
Introducción geométrica: definición de la superficie cónica indefinida a partir de la
rotación de una recta. Obtención de las cónicas (verdaderas y reducibles) como
intersección de aquélla con distintos planos. Representaciones gráficas de cada caso.
Clasificación de las cónicas: verdaderas y reducibles. Ecuación general de segundo
grado con dos variables. Expresión matricial de una cónica (aquella que identifica la
forma cuadrática y la lineal, que luego se va a diagonalizar) Análisis y aplicación.
Definición de cónica como lugar geométrico. Definición del concepto de excentricidad.
Estudio detallado de las cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Ecuación
canónica. Deducción (demostrar al menos para la circunferencia y para la parábola, las
restantes deducciones se encuentran disponibles para el alumno en la página web).
Propiedades. Elementos.
Intersección entre rectas y cónicas, rectas tangentes a una cónica e intersecciones entre
cónicas. Este tema queda para la aplicación en el espacio de la práctica.
Traslación de ejes: aplicación a las curvas estudiadas con centro o vértice en un punto
de coordenadas (h, k) pero que mantienen sus ejes de simetría paralelos a los
coordenados. Deducción. Utilización del concepto de traslación y del procedimiento de
completar cuadrados.
Aplicación de los autovalores y autovectores para la rotación de una cónica.
Diagonalización de la forma cuadrática. Ejemplos para cónicas verdaderas y cónicas
reducibles.
2. Superficies
Definición. Clasificación: verdaderas y reducibles.
Ecuación general de segundo grado con tres variables. Expresión matricial.
Definición de superficies regladas. Tipos. Definición de superficies de revolución.
Fórmula para la obtención de una superficie de revolución (sin demostración)
Cuádricas. Ecuación canónica y general de las cuádricas. Representación gráfica.
Estudio comparativo de las cuádricas con centro y sin centro de acuerdo a los valores
que tomen los coeficientes y el término independiente. Representación gráfica.
Análisis de las superficies: intersección con los ejes coordenados, con los planos
coordenados, con planos paralelos a los coordenados, simetría. Aplicaciones.
Duración: 5 clases