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28 de Junio de 2011
TRANSFORMACIONES
LINEALES
(Clase 01)
Departamento de Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería
Universidad Central de Venezuela
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero 1
Puntos a tratar
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero 2
Transformación lineal
Sea T una aplicación de Rn en Rm ;
T: Rn Rm
T se llama Transformación Lineal si se
cumple:
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Transformación lineal
1.
T ( V1 + V2 ) = T( V1 ) + T ( V2 )
2.
T ( c V ) = c T( V ) , c: escalar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Ejemplos de transformaciones lineales
Reflexión respecto al
eje
Y.
En
R2
consideremos
la
aplicación f tal que
f(
f(x,y
x,y)=(
)=(--x,y
x,y)). Es fácil
probar que es una
transformación lineal.
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(-x,y)
(x,y)
José Luis Quintero
Ejemplos de transformaciones lineales
Operadores de proyección.
La aplicación definida por: T(
T(x,y,z
x,y,z)=(x,y,0)
)=(x,y,0)
proyecta un vector de R3 a un vector que
está en el plano XY
z
(x,y,z)
y
x
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(x,y,0)
José Luis Quintero
Ejemplos de transformaciones lineales
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Ejercicios
Probar si las siguientes aplicaciones son
Transformaciones Lineales:
1. T: R2
R2 , T(x,y) = (3x ; x-y )
2. T: R2
R2 , T(x,y) = (x+y ; y2)
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Ejercicios
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero
Puntos a tratar
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
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Propiedades de las transformaciones lineales
1)
2)
3)
T(0R n ) = 0R m
T(a V1+ b V2 ) = a T ( V1 ) + b T( V2 )
T(a V + a V +... + a V ) = a T ( V ) + a T( V ) +
1 1
2 2
k k
1
1
2
2
+ ... + a T ( V )
k
k
La aplicación T(x;y)=(x-y ; y+x+2)
NO es una Transformación Lineal , ya que: T(0;0)=(0;2)
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José Luis Quintero
Puntos a tratar
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
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Representación matricial de una transformación lineal
TEOREMA:
n
m
Toda T.L. de R a R se puede
representar matricialmente como
T( X ) = A m x n X
de forma única.
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José Luis Quintero
Representación matricial de una transformación lineal
T(x;y)=(2x+y ; 3x+4y) puede escribirse como
 x   2 x + y  2 1   x 
T  = 
=




y
3
x
+
4
y
3
4
y
  
 
 
Observar que
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
1
2
T(i) =   T( j) =  
3
4
José Luis Quintero
Puntos a tratar
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
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Núcleo e imagen de una transformación lineal
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José Luis Quintero
Núcleo e imagen de una transformación lineal
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Puntos a tratar
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
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Nulidad y rango de una transformación lineal
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Nulidad y rango de una transformación lineal
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Puntos a tratar
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
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Inyectividad y sobreyectividad de una transformación lineal
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José Luis Quintero
Pensamiento de hoy
“La gente no se resiste al
cambio. Se resiste a ser
cambiada”.
Peter Senge
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