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FRACCIONES:
INTERPRETACIONES ESCOLARES1
La dificultad que conlleva el
combinar
los
significados
de
«numerador» (a) y «denominador»
(b) para generar un significado
conjunto para
a/b, lleva a la
consideración de:
DIFERENTES INTERPRETACIONES:
 PARTE-TODO
 COCIENTE
y MEDIDA
 RAZÓN
 OPERADOR

1: Ideas extraídas del capítulo de Llinares y Sánchez
(1988) «Fracciones». Sïntesis: Madrid A. Fernández, Dpto.
Didáctica Matemáticas
1
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA

Se presenta esta situación
cuando un «TODO» se divide en
«partes congruentes», y la
fracción a/b indica:
«La relación que existe entre un
número de partes y el número total
de partes en que se ha dividido el
todo». El todo recibe el nombre de
unidad.
A. Fernández. Dpto.
Didáctica Matemáticas
2
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
Se apoya en: La habilidad de dividir una
cantidad continua o un conjunto discreto
en partes o subgrupos del mismo tamaño.
3/5
5/8
3/5
A. Fernández Dpto.
Didáctica Matemáticas
3
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
Se apoya en: La habilidad de dividir una
cantidad continua o un conjunto discreto
en partes o subgrupos del mismo tamaño
(congruentes).
A. Fernández, Dpto.
Didáctica Matemáticas
4
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
Fracciones impropias o números mixtos:
7/
4
(siete cuartos)
número mixto: 1 3/4
¡Cuidado cuando la fracción es > 1 !
A. Fernández, Dpto.
Didáctica Matemáticas
5
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
Observación: en el contexto discreto…
-
Los subconjuntos que resultan al
dividir el todo en varias partes
pueden estar también formados cada
uno por varios objetos.

En este caso, 2/5 representa la
relación entre las 5 partes en las
que está dividido el todo y las 2
partes señaladas.
A. Fernández. Dpto.
Didáctica Matemáticas
6
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
Otras habilidades que se necesitan
previamente:
• Tener interiorizada la noción de
inclusión de clases
• la identificación de la unidad (qué todo
se considera como unidad en cada caso)
• la de realizar divisiones
(conservándose la cantidad del todo aún
cuando se divide)
• Manejar la idea de área (en el caso de
las representaciones continuas)
A. Fernández. Dpto.
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7
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
Fracciones Decimales:
En la interpretación parte-todo,
cuando el todo se divide en 10, 100,
1000, etc:
1/10
(una décima)
El cuadrado
pequeño representa 1/100
(una centésima)
A. Fernández, Dpto.
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8
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
Fracciones como ptos de la recta:
En la interpretación parte-todo,
podemos asociar la fracción a/b
con un punto de la recta numérica.
Para ello se considera la recta
numérica en la que cada segmento
unidad se ha dividido en b partes
congruentes.
- Así se asocia una fracción a un nº
abstracto (y a un pto de la recta)
A. Fernández. Dpto.
Didáctica Matemáticas
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RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
Fracciones como ptos de la recta:
- Ventajas:
 hace que las fracciones
impropias aparezcan de forma
natural (porque se ven más
“todos” a la vez).


facilita la inclusión de los
números racionales en el conjunto
de los números naturales.
tiene conexiones con las medidas
(escalas).
A. Fernández, Dpto.
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10
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
Fracciones como ptos de la recta:
- Inconvenientes:
 Problemas para identificar el
segmento unidad.

Problemas cuando el segmento
unidad se divide en un “múltiplo”
del denominador.
Observación:
Sirve también en el contexto de la
interpretación de medida…
A. Fernández . Dpto.
Didáctica Matemáticas
11
RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
La fracción como medida:
Se identifica una unidad de
medida, que admite subdivisiones
congruentes.
La tarea de medir significa: asignar
un número a una «región» (en el
sentido general). Para ello hay que
contar el número de veces que la
unidad (o subunidades) está
contenida en la región.

Aquí las partes vienen dadas en el
propio sistema de medida.
A. Fernández, Dpto.
Didáctica Matemáticas
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RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
 La fracción como medida:
Se identifica una unidad de
medida, que admite subdivisiones
congruentes.
Ejemplo en un contexto escolar
A. Fernández. Dpto.
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RELACIÓN PARTE-TODO Y
MEDIDA
 La fracción a/b aparece cuando
se desea medir una determinada
magnitud, en la cual la unidad no
está contenida un número entero
de veces en la magnitud que se
quiere medir.
 Para obtener la medida exacta se
deben:
- Medir utilizando múltiplos y
submúltiplos de la unidad.
- Realizar comparaciones con la
unidad.
Obs.- La conceptualización de fracción como
medida permite al estudiante ser capaz de
identificar que una fracción a/b es a veces 1/b.
A. Fernández. Dpto.
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LA FRACCIÓN COMO
COCIENTE

Se presenta esta situación
cuando la fracción a/b indica:
«Una división indicada de dos
números naturales»
En esta interpretación subyace la
idea de:
Reparto equitativo
A. Fernández. Dpto.
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LA FRACCIÓN COMO
COCIENTE
a/b División indicada
Reparto equitativo: Divisiónreparto
“Repartir de forma equitativa tres
barras de chocolate entre cinco
niños”
1/5
1/5
1/5
3/5
A. Fernández. Dpto.
Didáctica Matemáticas
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LA FRACCIÓN COMO
COCIENTE
a/b División indicada
Reparto equitativo: Divisiónreparto
A. Fernández. Dpto.
Didáctica Matemáticas
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LA FRACCIÓN COMO
COCIENTE
a/b División indicada
Reparto equitativo: Divisiónmedida
“Tenemos tres pizzas. A cada niño
le ha correspondido los ¾ de una
pizza. ¿A cuántos niños hemos
podido dar pizza?
A. Fernández. Dpto.
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18
LA FRACCIÓN COMO RAZÓN
 a/b
se considera:
“Un índice comparativo entre
dos cantidades de magnitud’
◦ Puede ser:
PARTE-PARTE
Se
comparan
dos
partes
que
conforman un todo
Ejemplos:
“La relación entre el número de bolas
rojas y verdes es de tres quintos
(3/5)”
“la relación entre el número de
triángulos y rectángulos es de tres
cuartos (3/4)”
A. Fernández Dpto.
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19
LA FRACCIÓN COMO RAZÓN
 a/b
se considera:
“Un índice comparativo entre
dos cantidades de magnitud’
◦ Puede ser:
TODO-TODO
No existe un „todo‟, sino que la
comparación puede ser
bidireccional
Ejemplo:
 „la escala en los dibujos de
este mapa es 1:20000‟.
A. Fernández. Dpto.
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20
LA FRACCIÓN COMO
OPERADOR
a/b se considera:
“Una transformación, algo que
actúa sobre una situación y la
modifica’

1/2
1/6
2/3
1/3
1/3
1/2
A. Fernández. Dpto.
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21
MECANISMOS
CONSTRUCTIVOS
(Kieren, 1988)
entendidos
como
Los aspectos del conocimiento que
se deben poseer para resolver una
tarea en la que esté involucrada la
noción de fracción.
IDEA DE:
Unidad
Partes equivalentes
Reparto equitativo
A. Fernández. Dpto.
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22
LA IDEA DE UNIDAD
«El desarrollo de la idea de
unidad se pone de manifiesto en
tareas de reconstruir la unidad».
Contexto continuo:
Ej.1: “Si
es 2/3 de la unidad.

¿Cuál es la unidad?”
Ej. 2: “
es 4/3 de la figura.
¿Cuál es la figura?
Contexto discreto:
Ej.3: “Si
son 2/3 de la
unidad. ¿Cuál es la unidad?
A. Fernández. Dpto.
Didáctica Matemáticas
23
EQUIVALENCIA

Equivalencia en el sentido de
misma cantidad:

En contextos continuos:

En contextos discretos:
Repartir en grupos
iguales
3/5 = 6/10
A. Fernández. Dpto.
Didáctica Matemáticas
24
LA IDEA DE FRACCIONES
EQUIVALENTES
Se apoya en la idea de realizar
diferentes divisiones que dan
lugar a la misma relación entre la
parte y el todo.
 En contextos continuos:


2/3

2/5



0
½
4/6
4/10
1
2/4
En contextos discretos:
3/5 = 6/10
A. Fernández, Dpto.
Didáctica Matemáticas
25
LA IDEA DE REPARTO
EQUITATIVO

La
actividad
de
realizar
divisiones
múltiples
debe
emparejarse con la actividad de
realizar repartos equitativos
Ej. 1: Dividir en cuatro grupos
iguales 12 fichas
Ej. 2: Repartir equitativamente dos
tabletas de chocolate entre tres
niños.
A. Fernández,. Dpto.
Didáctica Matemáticas
26
CITAS PERCEPTUALES
Behr et al, 1983
entendidas como
La información visual procedente
de las figuras, modelos o
diagramas que acompañan a las
tareas escolares.
pueden ser
consistentes
inconsistentes
“Sombrear ½ de ….”
A. Fernández, Dpto.
Didáctica Matemáticas
27
LAS FRACCIONES EN UN
CONTEXTO DE ENSEÑANZA
A. Fernández
LAS FRACCIONES EN UN
CONTEXTO DE ENSEÑANZA:
 Se presenta la necesidad de plantear los
procesos de enseñanza de las fracciones
desde todas las perspectivas e
interpretaciones posibles
 Los procesos de enseñanza que se
desarrollen deben guardar un equilibrio
entre:
• El significado de las fracciones en
contextos prácticos, y
• El significado de las fracciones en
situaciones más abstractas
 La habilidad para hacer traslaciones
dentro y entre los distintos modos de
representación posibilita la adquisición
y uso de los conceptos
A. Fernández
SUGERENCIAS PARA UNA
SECUENCIA DE ENSEÑANZA
•
Empezar con situaciones cotidianas en las que se conecte con
la idea de fracción (conocimiento informal de los niños).
1
EN RELACIÓN A LA UNIDAD:
* identificar el número de unidades.
* identificar cantidades mayores o menores de la unidad.
2
PARTES DE LA UNIDAD USANDO MATERIALES CONCRETOS:
* identificar el número de partes de una unidad.
* identificar partes del mismo tamaño (equivalencia en el sentido de
cantidad).
* dividir una unidad en partes iguales (contexto continuo).
* dividir en grupos iguales (contexto discreto).
3
NOMBRES PARA PARTES DE LA UNIDAD:
* establecer el nombre de las fracciones.
* usar las fracciones para contestar a ¿cuántos?.
* identificar fracciones iguales a uno.
4
ESCRIBIR FRACCIONES PARA REPRESENTAR PARTES DE LA
UNIDAD:
* diferentes modos de representación y traslaciones entre ellos: forma
oral, forma escrita, materiales concretos.
5
REPRESENTAR FRACCIONES CON DIBUJOS:
* transición de objetos a diagramas.
* repetición de los pasos anteriores pero con diagramas.
6
AMPLIAR LA NOCIÓN DE FRACCIÓN:
* fracciones mayores que uno.
* números mixtos.
* comparación de fracciones.
* fracciones equivalentes.
LAS FRACCIONES EN UN
CONTEXTO DE ENSEÑANZA:
Familia de Tareas
f
U
R
A) Dados U y f (<1 o > 1). Hallar R
B) Dada U y R. Hallar f (<1, >1)
C) Dada R y f (<1, >1). Hallar U
A. Fernández
LAS FRACCIONES EN UN
CONTEXTO DE ENSEÑANZA:
Familia de Tareas
A) Dados U y f (<1 o > 1). Hallar R
Ejemplos:
•En contexto continuo:
Ej.1: Sombrea ½ de
Ej. 2: Tomada como unidad la regleta
rosa. ¿Qué regleta es 1/2 de la unidad?
•En contexto discreto:
Ej.3: Encontrar 2/3 de
Ej.4: Encontrar 3/2 de 6 fichas
A. Fernández
LAS FRACCIONES EN UN
CONTEXTO DE ENSEÑANZA:
Familia de Tareas
B) Dada U y R. Hallar f (<1, >1)
Ejemplos:
• En contexto continuo:
Ej.1: ¿Qué fracción del total
representa la parte coloreada
Ej. 2: Si la regleta marrón es la
unidad, ¿Cuánto mide la regleta
rosa?. ¿Y la verde oscura?
• En contexto discreto:
Ej.3: ¿Qué cantidad del total
representan las fichas coloreadas
A. Fernández
?
LAS FRACCIONES EN UN
CONTEXTO DE ENSEÑANZA:
Familia de Tareas
C) Dada R y f (<1, >1). Hallar U
Ejemplos:
• En contexto continuo:
Ej.1:“Si
es 3/4 de la unidad.
¿Cuál es la unidad?”
Ej. 2: La regleta azul mide 3/2 de otra
regleta de las que constituyen el juego de
regletas ¿De qué regleta se trata?
• En contexto discreto:
Ej.3: ¿Las fichas verdes representan
4/3 del total de fichas de un juego.
¿Cuántas fichas intervienen en dicho
juego?
LAS FRACCIONES EN UN
CONTEXTO DE ENSEÑANZA:
Procedimientos de Equivalencia y
Orden
• Equivalencia de fracciones:
«Varios nombres para la misma
relación». La relación entre la parte y el todo
puede venir descrita por parejas de números
distintas:
Ejemplo de tarea: Dada la fracción 9/12, encontrar una
fracción equivalente con numerador 6 (9/12= 6/?):
a) Utiliza folios para describir el proceso seguido
b) Utiliza fichas para describir el proceso seguido
• En un contexto continuo: hay que establecer
nuevas divisiones en el todo o ignorar parte de
las que existen
• En un contexto discreto: hay que realizar
nuevas reordenaciones de los elementos (física
o mentalmente)
• Orden en las fracciones:
– Reducir a fracciones equivalentes
– Apoyarnos en el nº de fracciones unitarias
A. Fernández
LAS FRACCIONES EN UN
CONTEXTO DE ENSEÑANZA:
Operaciones con fracciones
• Primeros pasos: Utilizando como apoyo las
fracciones unitarias y la secuencia de contar
• Uso de la recta numérica
Ejemplos de tareas:
SUMA: Modelar la operación 2/3 + 4/6 con
distintos materiales . Especifica las relaciones
entre las acciones con material y los pasos en la
representación simbólica
PRODUCTO: Dada la expresión numérica
1/2 x 2/5
Modela con folios cada uno de los pasos dados
en el nivel de símbolos para obtener el
producto
COCIENTE: Modelar ¾ : ½ (Podría verse como
«¿Cuántas veces cabe la mitad de la unidad en
¾ de la unidad?»
A. Fernández