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CURSO DE
NIVELACIÓN
PROGRAMA
FÍSICA
1. Magnitudes
2. Derivación e Integración
3. Cálculo Vectorial
4. Cinemática de la Partícula
5. Dinámica de la Partícula: Leyes de Newton
6. Dinámica de la Partícula: Trabajo y Energía
UNIVERSIDAD DE HUELVA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
Huelva, junio de 2011
ÍNDICE DE CONTENIDOS
1. MAGNITUDES
1
José Enrique Martín Domínguez
1.1. Concepto de Magnitud .................................................................................................
1
1.2. Magnitudes Fundamentales, Derivadas y Adimensionales .........................................
2
1.3. Análisis Dimensional ....................................................................................................
2
1.4. Unidades, Sistemas de Unidades y Factores de Conversión ......................................
3
1.5. Notación Científica y Notación Técnica .......................................................................
6
1.6. Ejercicios ......................................................................................................................
8
1.7. Respuestas ..................................................................................................................
10
2. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
11
Miguel Carvajal Zaera
2.1. Introducción ..................................................................................................................
11
2.2. Definición de derivada .................................................................................................
11
2.2.1. Interpretación geométrica de la derivada ........................................................
12
2.2.2. Diferencial de una función ...............................................................................
13
2.2.3. Derivada y diferencial de segundo orden ........................................................
13
2.2.4. Propiedades de las derivadas .........................................................................
14
2.3. Integración ...................................................................................................................
15
2.3.1. Propiedades de las integrales .........................................................................
15
2.3.1. Integral definida ...............................................................................................
17
2.4. Problemas ....................................................................................................................
17
2.5. Soluciones ....................................................................................................................
19
3. CÁLCULO VECTORIAL
21
José Rodríguez Quintero
3.1. Introducción teórica ......................................................................................................
21
3.1.1. Sistemas de coordenadas ...............................................................................
21
3.2. Vectores y escalares ....................................................................................................
22
3.2.1. Definiciones ..................... ...............................................................................
22
3.2.2. Vectores y sistemas de referencia ..................................................................
23
3.2.3. Cálculo del vector que une dos puntos ...........................................................
23
3.3. Algunas propiedades de los vectores ..........................................................................
23
3.3.1. Suma ...............................................................................................................
23
3.3.2. Opuesto de un vector ......................................................................................
24
3.3.3. Resta de vectores ...........................................................................................
24
3.3.4. Producto de un vector por un escalar .............................................................
24
3.4. Producto escalar ..........................................................................................................
24
3.5. Producto vectorial ........................................................................................................
25
3.6. Vectores unitarios ........................................................................................................
25
3.7. Momento de un vector respecto a un punto .................................................................
25
3.8. Momento de un vector respecto a un eje .....................................................................
26
3.9. Problemas ....................................................................................................................
26
4. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
29
Francisco Pizarro Navarrete
4.1. Introducción .................................................................................................................
29
4.1.1. Movimiento y sistemas de referencia ..............................................................
29
4.1.2. Vector de posición. Trayectoria. Desplazamiento ...........................................
29
4.2. Velocidad y aceleración ...............................................................................................
30
4.2.1. Rapidez media e instantánea ..........................................................................
30
4.2.2. Velocidad media e instantánea .......................................................................
31
4.2.3. Aceleración media e instantánea ....................................................................
32
4.3. Movimientos rectilíneos ................................................................................................
34
4.3.1. Movimiento rectilíneo uniforme .......................................................................
34
4.3.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado .............................................
35
4.3.3. Movimiento en caída libre ...............................................................................
36
4.4. Movimientos circulares .................................................................................................
38
4.4.1. Magnitudes angulares .....................................................................................
38
4.4.2. Movimiento circular uniforme ..........................................................................
40
4.4.3. Movimiento circular uniformemente acelerado ................................................
41
4.5 Problemas .....................................................................................................................
42
5. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: LEYES DE NEWTON
47
Enrique Gutiérrez de San Miguel Herrera
5.1. Introducción ..................................................................................................................
47
5.2. Cantidad de movimiento ..............................................................................................
47
5.3. Fuerza ..........................................................................................................................
47
5.4. Impulso de una fuerza ..................................................................................................
48
5.5. Leyes de Newton .........................................................................................................
49
5.6. Energía cinética ...........................................................................................................
51
5.7. Colisiones .....................................................................................................................
51
5.8. Problemas ....................................................................................................................
51
6. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: TRABAJO Y ENERGÍA
57
Ismael Martel Bravo
6.1. Trabajo .........................................................................................................................
57
6.2. Potencia .......................................................................................................................
59
6.3. Teorema del trabajo y la energía cinética ....................................................................
59
6.4. Fuerzas conservativas y energía potencial ..................................................................
60
6.5. Conservación de la energía mecánica .........................................................................
63
6.6. Problemas propuestos .................................................................................................
64
6.7. Bibliografía ...................................................................................................................
65
1. MAGNITUDES
José Enrique Martín Domínguez
http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/
1.1. Concepto de Magnitud
Cualquier propiedad de un sistema que pueda medirse es una magnitud (la belleza no los es, el
tiempo sí). Medir consiste en comparar una expresión concreta de una propiedad con otra
expresión concreta de la misma propiedad tomada como referencia. Esta referencia recibe el
nombre de unidad. Por tanto, el resultado de la medida de una magnitud queda correctamente
expresado, en principio, indicando tanto el número de veces que la expresión de la magnitud
contiene a la unidad como la unidad empleada en la medida.
Las magnitudes se suelen escribir mediante símbolos. Estos símbolos suelen estar formados por
una letra, o por varios carácteres. Las letras pertenecen a los alfabetos griego o latino (Tabla 1).
A nivel internacional sólo se dan recomendaciones sobre qué símbolos usar para cada magnitud,
esto hace que para cada magnitud podamos encontrar diferentes símbolos.
ALFABETO GRIEGO
(http://{es, en o el}.wikipedia.org/wiki/Wikipedia)
1ª
Alfa [Alpha]
Α
α
13ª
Ni [Nu]
Ν
ν
2ª
Beta (Vita)
Β
β, ϐ
14ª
Xi
Ξ, Ξ
ξ
3ª
Gamma
γ
δ
15ª
Ómicron
16ª
Pi
Ο
Π
ο
π, ϖ
17ª
Ro [Rho]
Ρ
ρ,
4ª
Delta
Γ
∆
5ª
Épsilon
Ε
ε,
6ª
Dseda [Zeta] (Sita)
Ζ
ζ
18ª
Sigma
Σ
σ, ς
7ª
Eta (Ita)
Η
η
19ª
Tau (Taf)
Τ
τ
8ª
Zeta [Theta] (Zita)
Θ, Θ
θ, ϑ
20ª
Ípsilon [Upsilon]
Υ
υ
9ª
Iota
ι
21ª
Fi [Phi]
22ª
Ji [Chi]
Φ
Χ
ϕ, φ
χ
10ª
Kappa
Ι
Κ
11ª
Lambda (Lamda)
Λ
λ
23ª
Psi
Ψ
ψ
12ª
Mi [Mu]
Μ
µ
24ª
Omega
Ω
ω
κ,
Tabla 1. Aparecen fuera de corchetes y paréntesis los nombres actuales de las letras fijados por la RAE –Real
Academia Española de la Lengua– (http://www.rae.es). Entre corchetes se indican, si difieren del español en más de
la tilde, los nombres en inglés (la pronunciación no tiene porque ser literal). Entre paréntesis se refleja, si varía de la
española, la pronunciación en griego moderno usando el abecedario, no el alfabeto fonético internacional.
1
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
1.2. Magnitudes Fundamentales, Derivadas y Adimensionales
Las magnitudes de un sistema están, en principio, relacionadas a través de ecuaciones
matemáticas. De entre todas las posibles magnitudes que pueden tener los sistemas se han
designado hasta la fecha por convenio a siete de ellas a nivel internacional como magnitudes
fundamentales. El resto de magnitudes se conocen, entonces, como magnitudes derivadas, ya
que se pueden expresar en función de las magnitudes fundamentales utilizando las ecuaciones
que las relacionan. Las magnitudes fundamentales son: longitud, masa, tiempo, corriente
eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa.
Puede ocurrir que una magnitud derivada sea el resultado del cociente entre dos magnitudes del
mismo tipo, por ejemplo: longitudes. Este hecho conduce a una magnitud sin unidad, o magnitud
de unidad uno, al simplificarse las unidades. Estas magnitudes se conocen como magnitudes
adimensionales o magnitudes de dimensión uno. No obstante, algunas de ellas suelen
acompañarse de una unidad de valor uno para clarificar a qué nos estamos refiriendo. Dos
ejemplos de este tipo de magnitudes son el ángulo plano y el ángulo sólido (y la cantidad de
sustancia si se la considera magnitud derivada). Si se divide un arco de circunferencia (una
longitud) entre, «por ejemplo», el radio de la misma (otra longitud), se obtiene el número de
veces que una longitud contiene a la otra; esta magnitud adimensional, ya que no posee unidad,
se denomina ángulo plano. Ahora bien, para indicar que se trata de un angulo en «dos
dimensiones» se añade como unidad (de valor uno) el radián (rad) –una circunferencia tiene 2π
rad–. Si se divide una porción de superficie esférica (un área) entre una superficie cuadrada de
lado el radio de la esfera (otra área), se obtiene el número de veces que un área contiene a la
otra; esta magnitud adimensional, ya que no posee unidad, se denomina ángulo sólido. Ahora
bien, para indicar que se trata de un ángulo en «tres dimensiones» se añade como unidad (de
valor uno) el estereorradián (sr) –una superficie esférica tiene 4π sr–.
Existen otro tipo de magnitudes adimensionales (sin unidad) o de dimensión uno (unidad uno),
que no son magnitudes derivadas, ya que no se pueden obtener a partir de las fundamentales.
Estas magnitudes están relacionadas con «contar». Un ejemplo de estas magnitudes sería, por
ejemplo: número de manzanas en un cesto. La medida de estas magnitudes da simplemente un
número, no posee unidad (o es uno), aunque como antes se le añada una (de valor uno) para
clarificar a qué nos estamos refiriendo (esa unidad en el ejemplo sería manzana/s).
1.3. Análisis Dimensional
Las magnitudes de un sistema, exceptuando las adimensionales, si se consideran de forma
genérica (abstracta), es decir, sin concretar números ni unidades, constituyen aspectos de un
sistema, por ello, se dice que son dimensiones del sistema o que poseen dimensión. A nivel
internacional se introducen sólo símbolos, y de carácter obligatorio, para las dimensiones de las
siete magnitudes fundamentales (Tabla 2). La expresión simbólica de la dimensión de cualquier
magnitud derivada: un producto de potencias de las dimensiones fundamentales, se puede
obtener teniendo presente las ecuaciones que la relacionan con ellas de una manera genérica.
Para indicar que se está dando la dimensión de una magnitud derivada, se añade delante del
símbolo de la magnitud la palabra «dim» o se sitúa el símbolo de la magnitud entre corchetes.
Superficie: dim S = [S] = L2
Volumen: dim V = [V] = L3
2
MAGNITUDES
Símbolo
Magnitud Fundamental
Magnitud
Dimensión
Longitud
l, x, r...
L
Masa
m
M
Tiempo
t
T
Corriente Eléctrica
I, i
I
Temperatura Termodinámica
T
Θ
Cantidad de Sustancia
n
N
Intensidad Luminosa
Iν
J
Tabla 2. Símbolos habituales de cada una de las magnitudes fundamentales y, en cada
caso, el de uso obligatorio para referirse a su dimensión.
Considerando una ecuación matemática que relacione magnitudes de un sistema. Si se sustituye
cada magnitud por el resultado de su medida (número unidad) y se opera en cada miembro de la
ecuación, para que se verifique la igualdad debe ocurrir que tanto el número como la unidad final
obtenida para el primer miembro sea igual a los hallados para el segundo. Si se analiza la
ecuación desde un punto de vista más genérico, tiene que verificarse que la dimensión final del
primer miembro coincida con la del segundo. Llevar a cabo este estudio se conoce como análisis
dimensional. Para que se verifique la igualdad en este caso, tiene que ocurrir que los sumandos
de cada miembro posean la misma dimensión (unidad), y que no posean dimensión (unidad), o
que posean dimensión uno (unidad uno), tanto los exponentes de potencias (índices de raíces),
como los argumentos de funciones (logaritmos, funciones trigonométricas).
1.4. Unidades, Sistemas de Unidades y Factores de Conversión
Las unidades empleadas en las medidas de las magnitudes deben escribirse, en principio,
respetando las reglas ortográficas y gramaticales (manzana/s). Ahora bien, si existe un símbolo
de uso habitual a nivel internacional, o en el ámbito en que nos movamos, se debe utilizar para
contribuir a una comunicación eficaz de los resultados de las medidas. Por ejemplo si se mide un
intervalo de tiempo, obteniéndose un valor de siete segundos, la forma correcta de expresar el
resultado es: 7 s, ya que «s» es el símbolo internacionalmente asumido para la unidad de
tiempo. No se debe escribir: 7 segundos, 7 segs., 7 S, 7 ss… Los símbolos establecidos para las
unidades no se pluralizan, ni son abreviaturas; es decir, no se les añade un punto, excepto si
están al final de una frase. Si se escribe un producto de unidades se deben separar con espacios
en blanco cuando deban evitarse errores de interpretación (m/s = m s-1 ≠ ms-1 = milisegundo-1).
A nivel internacional se han establecido, y definido, las unidades de las siete magnitudes
fundamentales (Tabla 3). La unidad de cualquier magnitud derivada se puede deducir
empleando, de nuevo, las ecuaciones que las relacionan con las fundamentales. Por este
motivo, las unidades de las magnitudes derivadas son un producto de potencias de las unidades
fundamentales. Puede ocurrir que una misma unidad derivada corresponda a varias magnitudes,
(es el caso del julio: unidad de energía, calor y trabajo) y que una unidad derivada pueda
expresarse con diferentes combinaciones de unidades fundamentales.
3
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Unidad
Magnitud Fundamental
Nombre
Símbolo
Longitud
Metro
m
Masa
Kilogramo
kg
Tiempo
Segundo
s
Corriente Eléctrica
Amperio
A
Temperatura Termodinámica
Kelvin
K
Cantidad de Sustancia
Mol
mol
Intensidad Luminosa
Candela
cd
Tabla 3. Unidades de las magnitudes fundamentales y símbolo de uso obligatorio. Notas:
– La unidad de temperatura es el kelvin, no el grado kelvin; y su símbolo es K, no ºK.
– El símbolo del kilogramo es kg, no Kg.
– El primer carácter del símbolo está en mayúscula si se adoptó en honor de una persona.
De entre todas las magnitudes derivadas, hay veintidos, hasta la fecha, a cuya unidad se le ha
dado un símbolo alternativo. Aparte de algunas de dimensión uno (unidad uno), como el ángulo
plano y el ángulo sólido (símbolo alternativo a la unidad uno: rad y sr), un buen número de
magnitudes electromagnéticas y otras varias, cabe destacar las magnitudes fuerza (N: newton),
energía (J: joule), intervalo de temperatura (ºC: grado celsius –1 ºC tiene el mismo tamaño que
1 K–), carga eléctrica (C: coulomb) y frecuencia (Hz: hertzio = s-1). Estos símbolos pueden ser
utilizados junto a los de las unidades fundamentales para expresar la unidad de cualquier otra
magnitud derivada.
El conjunto formado por las siete unidades asignadas a las magnitudes fundamentales (Tabla 3),
junto a las unidades deducidas para las magnitudes derivadas utilizando las ecuaciones que las
relacionan, se dice que es un sistema coherente de unidades, ya que no necesita de relaciones
matemáticas adicionales. Cualquier otro conjunto de unidades formado definiendo las unidades
de las magnitudes fundamentales de diferente manera y utilizando las mismas ecuaciones es
otro conjunto coherente de unidades. Pero si se mezclan unidades de diferentes sistemas, el
conjunto deja de ser coherente, ya que hacen falta relaciones matemáticas que transformen las
unidades a un mismo sistema. Lo mismo ocurre si se emplean como unidad submultiplos o
múltiplos de las unidades de un sistema. Normalmente, cada relación matemática adicional es un
cociente entre la unidad resultante de la transformación y la unidad a transformar, de valor
unidad, por el que debe multiplicarse la unidad a transformar. Estos cocientes se denominan
factores de conversión. Una excepción se tiene por ejemplo con: T(ºC) = T(K) – 273,15.
A nivel internacional se trata de implantar lo que se conoce como Sistema Internacional de
Unidades (SI –también en inglés–). Este sistema se adoptó en 1948 en la 9ª Conferencia
General de Pesos y Medidas y sufre una continua evolución. El sistema está formado ahora por
las unidades fundamentales que aparecen en la Tabla 3, sus unidades derivadas y las unidades
derivadas de ambos conjuntos múltiplos y submultiplos decimales de ellas. La tarea de
implantación llevará su tiempo porque junto al SI coexisten unidades o sistemas de unidades de
uso habitual en determinados campos (técnico, científico, económico…), entornos culturales
(anglosajón) o simplemente con una profunda implantación. Las magnitudes pertenecientes a
este último grupo cuyo uso es aceptado junto al SI son las que aparecen en la Tabla 4.
4
MAGNITUDES
Unidad
Magnitud
Valor
Nombre
Símbolo
Minuto
min
60 s
Hora
h
60 min = 3600 s
Día
d
24 h = 1440 min = 86 400 s
Grado
º
(π/180) rad
Minuto
´
(1/60)º = (π/10 800) rad
Segundo
´´
(1/60)´ = (1/3600)º = (π/648 000) rad
Área
Hectárea
ha
hm2 = 104 m2
Volumen
Litro
L, l
1 dm3 = 103 cm3 = 10–3 m3
Masa
Tonelada
t
103 kg
Tiempo
Ángulo plano
Tabla 4. Unidades no pertenecientes al SI de uso aceptado. Nota: En el caso del litro no se ha
descartado, por el momento, a uno de los dos símbolos. El primero se introdujo porque el segundo,
el que siempre se ha utilizado, podría confundirse con el número 1.
En el mundo anglosajón el SI convive con unidades que pueden diferir en su valor en los EEUU
respecto al que tienen en el resto de países de habla inglesa (Sistema Imperial de Unidades –IS
en inglés–). En la Tabla 5 se muestran algunas de estas unidades, aquéllas que nos suenan,
indicando su factor de conversión al SI. La unidad de tiempo utilizada es la misma: el segundo.
Unidad
Magnitud
Longitud
Volumen
Masa
Nombre
Símbolo
Pulgada
Inch
in, ´´
(1/36) yd = (1/12) ft = 2,54 cm
Pie
Foot
ft, ´
12 in = (1/3) yd = 30,48 cm
Yarda
Yard
yd
36 in = 3 ft = 91,44 cm
Milla
Mile
mi, m
1760 yd = 1609,344 m
Pinta
Pint
pt
(1/8) gal = (1/2) qt = 0,568 261 25 L
Cuarto
Quart
qt
2 pt = (1/4) gal ≅ 1,14 L
Galón
Gallon
gal
4 qt = 8 pt ≅ 4,55 L
Onza
Ounce
oz
(1/16) lb ≅ 28,35 g
Libra
Pound
lb, #
16 oz = 0,453 592 37 kg
Temperatura
Intervalo de
temperatura
Valor
T(ºF) = 32 + (9/5) T(ºC)
Grado Farenheit Farenheit degree
ºF
∆T(ºF) = (9/5) ∆T(ºC)
Tabla 5. Algunas unidades no pertenecientes al SI de uso no recomendado usadas en el mundo anglosajón
(http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia). Nota: El valor de las unidades de volumen es diferente en los EEUU.
5
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
1.5. Notación Científica (o Exponencial) y Notación Técnica
A la hora de expresar el número obtenido en la medida de una magnitud, se tiene, en principio,
total libertad. Eso implica dos cosas: se puede elegir la base en que se expresa el número y
también la posición de la coma (o punto) decimal. En este último caso, no obstante, hay que
compensar cualquier cambio de posición multiplicando el número resultante por una potencia
adecuada de la base elegida.
1 peseta = 166,386 € = 1,663 86 102 € = 166 386 10–3 €
Habitualmente la base elegida es la base 10 o decimal en la que los dígitos de los números son
enteros del 0 al 9. Sin embargo, dentro del ámbito de la informática, la electrónica y las
telecomunicaciones se utilizan también otras bases: la binaria (base 2), en que los digitos son 0
o 1; la octal (base 8), en que son enteros entre 0 y 8; y la hexadecimal (base 16), en que son
enteros entre 0 y 15, pero a partir del 10, para representarlos con una sola cifra, se usan las
letras de la A a la F en mayúsculas. Para obtener la expresión de un número en una determinada
base basta con dividir el número, primero, y luego los sucesivos restos resultantes, por potencias
enteras descendentes de la base, desde la primera inferior al número en valor, hasta aquella
para la que el resto sea cero. Los cocientes que se van obteniendo son las cifras del número en
la base elegida.
Base 10
Base 2
Base 8
Base 16
255
11111111
377
FF
A nivel internacional se ha establecido que para separar la parte entera de la parte decimal del
número se pueden utilizar tanto la coma como el punto, pero abajo, no arriba. Para ayudar a
visualizar el número también se ha establecido que se tienda a separar la parte entera y la
decimal desde la coma (o el punto) en grupos de tres números como máximo, si el numero de
cifras en la parte correspondiente es mayor de cuatro, pero sin usar ni comas, ni puntos, entre
esos grupos de números. La RAE recoge estas dos directrices, pero indica que los números de
años no se separen, así como de portales, códigos postales, páginas, artículos, leyes,
documentos contables y cuando se arriesgue la seguridad.
Los símbolos % y ppm (parte por millón) pueden ser utilizados con el SI para escribir números
representando los números 0,01 y 10–6, respectivamente (16 % = 16 × 0,01 = 0,16). Y a la hora
de expresar productos o cocientes de números, de resultados o de magnitudes, los paréntesis
deben ser usados para evitar ambigüedades. En el caso de producto de números, o de
resultados, sólo el símbolo «×» debería ser empleado. En el caso de producto de magnitudes,
éstas pueden no separarse, o separarse con un espacio en blanco o con los símbolos «×» o «⋅».
Aunque a la hora de expresar un número se tenga total libertad, existen a nivel internacional dos
formas de expresar un número (notaciones) que deben comentarse: la notación científica (o
exponencial) y la notación técnica. La notación científica consiste en expresar un número,
distinto de cero, en base 10 mediante un número en el intervalo [1,10) –no incluye el 10–
denominado mantisa, y una potencia de 10 de exponente entero denominada orden de magnitud
–excepto si es 100 (=1) que no se indica–. Se llama así a la potencia porque expresado el
número como se ha indicado muestra en cuánto a grandes rasgos es el número mayor o menor
que la unidad utilizada (x = 3,4 105 m → la longitud «x» es cientos de miles de veces más
grande que el metro, en concreto 3,4 cientos de miles de veces; y = 8,6 10–7 m → la longitud «y»
6
MAGNITUDES
es decenas de millones de veces más pequeña que el metro, en concreto 8,6 decenas de
millones de veces). En algunos lenguajes de programación, programas informáticos y
calculadoras científicas, la base 10 de la potencia es sustituida por la letra e mayúscula y se
reserva un espacio para el signo del exponente (si es + puede que no se refleje), y uno, o dos,
para su módulo; si éste tiene sólo un dígito y se reservan dos espacios, el primero se indica
como cero (1,8 E–07; 2,7 E+03).
Notación Científica: [1,10) 10Z ó E±N
La notación técnica consiste en expresar el número, distinto de cero, como en notación científica,
en base 10, pero con un mantisa que sea un número en el intervalo [1, 1000) y una potencia de
10 con un exponente múltiplo entero de tres –excepto si es 100 (=1) que no se indica–. Esta
forma de expresar un número es la que resulta más cómoda para su lectura (3,4 105 m →
340 km; 8,6 10-7 → 860 nm). Tanto la notación técnica como la notación científica evitan la
escritura de ceros a izquierda o derecha de la coma (3,4 105 = 340000; 8,6 10-7 = 0,00000086).
Notación Técnica: [1,1000) 103Z ↔ prefijo decimal
Habitualmente las potencias en notación técnica se sustituyen por una letra (Tabla 6). Esta letra
se une a la unidad como prefijo, dando lugar, desde el punto de vista del SI, a una nueva unidad
múltiplo o submúltiplo decimal de la unidad empleada en la medida. El uso de los prefijos que no
son múltiplos de tres en notación técnica conlleva que se acepta que formen parte de la unidad.
10Z
Nombre
Símbolo
10Z
Nombre
Símbolo
101
Deca
da
10–1
Deci
d
102
Hecto
h
10–2
Centi
c
103
Kilo
k
10–3
Mili
m
106
Mega
M
10–6
Micro
µ
109
Giga
G
10–9
Nano
n
1012
Tera
T
10–12
Pico
p
1015
Peta
P
10–15
Femto
f
1018
Exa
E
10–18
Atto
a
1021
Zetta
Z
10–21
Zepto
z
1024
Yotta
Y
10–24
Yocto
y
Tabla 6. Prefijos del Sistema Internacional de Unidades. Notas:
– En el caso de la magnitud fundamental masa las unidades múltiplos y submúltiplos decimales del
kilogramo (kg), su unidad fundamental, no se forman añadiendo estos prefijos a kg, sino a g, al gramo.
– 109 corresponde a un millardo (mil millones) –10–9 a una mil millonésima–; 1012 a un billón (millón de
millones); 1015 a un billardo; 1018 a un trillón; 1021 a un trillardo; y 1024 a un cuatrillón. En el mundo
anglosajón, en EEUU, sobre todo, corresponden a un billón (109), un trillón (1012), un cuatrillón (1015), un
quintillón (1018), un sextillón (1021) y un septillón (1024).
7
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
En el ámbito de la informática, la electrónica y las telecomunicaciones se utiliza la notación
técnica pero con una modificación: se utiliza «K» en lugar de «k» para 103 (1 KB = 1 kilobyte).
Aparte, como la base 2 se emplea habitualmente, se usa también una notación técnica
modificada. En esta notación se expresa un número distinto de cero con una mantisa en el
intervalo [1, 1024) –1024 es la potencia de 2 (210) más cercana a 1000–, y una potencia, si se
indica (si no es igual a uno), con base 1024 (210, 2) y exponente un número natural. La Comisión
Electrotécnica Internacional ha establecido los prefijos para estas potencias binarias, para las
más usadas, para que no se confundan con los de las decimales (Tabla 7).
Notación Técnica Modificada: [1,1024) 210N ↔ prefijo binario
1024N
(210)N
210N
10X
Nombre
Símbolo
10241
(210)1
210
≅ 103,01
Kibi
Ki
10242
(210)2
220
≅ 106,02
Mebi
Mi
10243
(210)3
230
≅ 109,03
Gibi
Gi
10244
(210)4
240
≅ 1012,04
Tebi
Ti
10245
(210)5
250
≅ 1015,05
Pebi
Pi
10246
(210)6
260
≅ 1018,06
Exbi
Ei
Tabla 7. Prefijos establecidos para potencias de 2 de uso recomendado. Nota:
El nombre y símbolo de casa prefijo se obtiene de la siguiente manera, por ejemplo:
1024 = 1 Kilo binario → Kibi nombre del prefijo; Ki símbolo [1 KiB = 1024 B (1 kibibyte)].
1.6. Ejercicios
01) De las siguientes expresiones: (4/3)πr3, 4πr2, πr2h, 2πr, 2πrh + 2πr2, πr2; ¿cuáles podrían
corresponder a la longitud de una circunferencia, al área de un círculo, a la superficie de una
esfera y al volumen de una esfera, siendo r y h longitudes?
02) ¿Cuál es la dimensión (y la unidad) en el Sistema Internacional de las magnitudes derivadas
p = mv, F = ma, EC = (1/2) mv2 y EP = mgh sabiendo que m es la masa de un cuerpo, v su
velocidad en m/s, a su aceleración en m/s2, g la aceleración debida a la gravedad y h la altura
del cuerpo respecto a la superficie terrestre?
03) Se tiene la expresión: x = xo + vo t + (1/2) a t2, donde x es la posición de un cuerpo en el eje
X, en m, respecto al origen de coordenadas y t el tiempo transcurrido, en s, en el movimiento
observado del cuerpo. ¿Qué dimensiones (y unidades) deben tener xo, vo y a para que la
expresión sea dimensionalmente correcta?
04) Se tiene la expresión: y = A e - αx sen(ωt + κx + φ) , donde x es posición en el eje X, en m, y
la posición en el eje Y, en m, y t el tiempo transcurrido, en s. ¿Qué dimensiones (y unidades)
deben tener A, α, ω, κ y φ para que la expresión sea dimensionalmente correcta?
2
8
MAGNITUDES
05) La densidad de un cuerpo coincide con el cociente entre su masa y su volumen (densidad
media) cuando éste es homogéneo, ¿qué densidad tiene una muestra de agua de densidad
1 g/L expresada en unidades fundamentales del SI?
06) ¿Cuánto valen en la unidad del SI ángulos de 45º, 90º, 135º,180º, 225º, 270º y 315º?
07) Al medirse Pau Gasol en EEUU en un centro comercial el resultado fue aproximadamente
igual a 7’ 0.65’’. En dicho centro se compró una televisión de plasma con una pantalla de 46’’ de
diagonal y 2 in de espesor. ¿Cuánto miden Pau y la pantalla de su televisor expresados en el SI?
08) Nos vamos de vaciones a UK con nuestro seat ibiza que tiene un depósito que ronda los
45 L. El primer día llenamos el depósito por completo en un Carrefour (o similar) y nos tomamos
unas pintas de cerveza. ¿Cuántos galones de gasolina le habremos echado al depósito y
cuántas pintas completas se puede tomar el que conduzca, y los demás por solidaridad, para no
infringir la tasa de alcoholemia, al menos la de España, que es de 0,5 g/L en sangre? Para
alcanzar esa tasa, si fuese un hombre de unos 70 kg, debería tomar sobre 2 latas de cerveza de
33 cl cada una.
09) Para donar sangre se debe poseer un masa mayor de 50 kg y no estar enfermo, por ejemplo,
no tener fiebre (temperatura inferior a 38 ºC). Si un donante gibraltareño que vaya a un hospital
de La Línea indica que tiene una masa de 100 lb y una temperatura de 100 ºF, ¿puede donar?
10) El color de cualquier punto de la pantalla de un PC o de un televisor es normalmente la
combinación de un tono rojo, uno verde y otro azul (sistema RGB: Red Green Blue) cada uno de
ellos entre 256 posibles nominados de 0 a 255. ¿Qué número de seis cifras en base
hexadecimal, formado por los correspondiente a los tres colores del sistema, le corresponde al
color gris (color gris = R:128 G:128 B:128?
11) ¿Cúal de las siguientes expresiones del valor del euro en pesetas corresponde a notación
científica y cuál a notación técnica?
1ª: 0,166 386 103 €
2ª: 1,663 86 102 €
3ª: 16,6386 101 €
4ª: 1 peseta = 166,386 €
5ª: 1663,86 10–1 €
6ª: 16 638,6 10-2 €
7ª: 166 386 10-3 €
12) Antes de la implantación de los prefijos binarios se empleaban los decimales tanto para
potencias binarias como para potencias decimales. Si un fabricante fabricaba un disco duro de
200 GB, considerando que G era un prefijo binario (hoy sería Gi), y un vendedor espabiladillo
calculaba los bytes del disco y luego los expresaba en gigas, pero decimales, con un número
redondeado sin parte decimal, ¿en cuánto engordaba el número de bytes tanto de manera
absoluta como relativa en %?
13) Si circulas por una autopista con un límite de 120 km/h a 35 m/s. ¿Te sancionará la DGT si te
caza, si tolera actualmente un margen del 10 % sobre el límite?
14) La información en un CD, DVD o BD (BluRay) se encuentra almacenada en circunferencias.
La distancia entre el centro de esas circunferencias en el caso de un CD es la mayor y es de
1,6 10–4 cm. ¿Qué distancia hay entre ellas expresada en µm y en nm?
9
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
15) Queremos pintar nuestro cuarto. Tiene una planta rectangular de 2,5 × 3,5 m2, sin columnas,
y una altura de 2,4 m. Habría que descontar las superficies de la ventana y de la puerta, en torno
a 4 m2. El fabricante indica para la pintura un rendimiento de 5-7 m2/kg para una capa de 100 µm
de espesor en humedo (una capa de pintura). ¿Cuántas latas de 5 kg tendríamos que adquirir
como máximo?
1.7. Respuestas
01) 2πr; πr2 (círculo), 4πr2 (esfera), 2πrh + 2πr2 (cilindro); idem anterior;(4/3)πr3, πr2h (cilindro).
02) p: MLT-1, kg m s-1; F: MLT-2, kg m s-2 (= N); EC, EP: ML2T-2, kg m2 s-2 (= J).
03) xo: L, m; vo: LT-1, m s-1; a: LT-2, m s-2.
04) A: L, m; α: L-2, m-2; ω: T-1, s-1; κ: L-1, m-1; φ: 1, rad.
05) 1000 kg/m3.
06) π/4; π/2; 3π/4; π; 5π/4; 3π/2; 7π/4.
07) 215 cm; 116,84 cm; 5,08 cm.
08) Alrededor de 10 galones (9,9 gal); solo una.
09) No, no tiene fiebre (37,8 ºC), pero no alcanza la masa mínima (45,4 kg).
10) 808080.
11) La 2ª; la 4ª.
12) 15 B, 7,5 %.
13) No, vas a 126 km/h, por lo que no superas los 132 km/h.
14) 1,6 µm; 1600 nm.
15) 1.
10
2. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
Miguel Carvajal Zaera
2.1. Introducción
En este tema se pretende introducir el concepto de derivada e integración y sus nociones
básicas con el objeto de abordar los problemas que pudieran surgir en el estudio de la Física. Se
hará un especial hincapié en su significado geométrico para entender las aplicaciones que tienen
estas herramientas matemáticas.
La variable independiente respecto de la cual se deriva y se integra se denota, a lo largo de este
capítulo, por la letra x. Usualmente, en el estudio de la Física, la variable independiente x viene
dada por el tiempo o la distancia recorrida por un móvil.
2.2. Definición de derivada
Cuando se dice que y es una función de la variable x, quiere decir que para cada valor de x
existe un valor correspondiente para y. Que y sea función de x se denota como:
y = f(x)
(1)
La derivada de la función y respecto de x se define como el límite de la razón:
(f(x + ∆x) – f(x)) / ∆x
(2)
cuando el incremento de x tiende a cero (∆x → 0). Dicho límite se expresa matemáticamente
como:
y’, f’(x), dy/dx o df(x)/dx
(3)
Entonces, la derivada de y respecto de x viene dada como:
dy/dx = df(x)/dx = lim ∆x→0 ∆y/∆x = lim∆x→0 (f(x+∆x) – f(x)) / ∆x
(4)
Por tanto, de la definición de derivada de la función y se puede deducir que es la tasa de cambio
de la función y cuando cambia ligeramente el valor de la variable independiente x, esto es, la
velocidad de variación de la función f(x) en el punto x. Por ello, la derivada de la función y nos
indicará si ésta crece (dy/dx > 0), decrece (dy/dx < 0) o permanece constante (dy/dx=0) cuando
se varía el valor de la variable independiente x.
11
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
2.2.1. Interpretación geométrica de la derivada
En la Figura 1 se representa la función de la ecuación (1) en un sistema de coordenadas
cartesiano. La pendiente de la recta secante que une los puntos (x1, y1) = (x, y) y
(x2, y2) = (x+∆x, y+∆y), donde y1 = f(x) y y2 = f(x+∆x), viene dada por ∆y/∆x. Si se hace el límite
de la pendiente de la recta secante (ver Ec. (4)) para cuando ∆x→0, se obtendría la pendiente
de la recta tangente en el punto (x1, y1) = (x, y), que está determinada por la derivada dy/dx. Por
tanto, la derivada de la función es la tangente del ángulo α que forma la recta tangente con la
dirección positiva del eje coordenado x.
dy/dx = tan α
(5)
Por este motivo, cuando la derivada de una función en un punto es positiva, la función es
creciente. Si la derivada fuese negativa, la función es decreciente. Y si la derivada en un punto
fuese nula, éste podría ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, dependiendo del valor
de la derivada segunda (ver el apartado 2.2.3).
Figura 1. Representación gráfica de una función para la interpretación de la derivada
12
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
2.2.2. Diferencial de una función
Sea una función y=f(x), se da el nombre de diferencial dx de la variable independiente x a su
incremento ∆x cuando éste tiende a cero, es decir, cuando el incremento es infinitesimal. Debido
a que y es función de x, cualquier variación de la variable independiente x afectará en y. Si la
variación de x es infinitesimal, la variación de la función y=f(x) también es infinitesimal y se
denomina diferencial dy, el cual se expresa por la derivada f’(x) del modo siguiente:
dy = df = df(x)/dx dx = f’(x) dx
(6)
Esta ecuación representa que el incremento dy de la función es igual al producto de la tasa de
cambio f’(x) (ver subsección 2.2.1) que experimenta la función al variar infinitesimalmente el valor
de la variable independiente x por el incremento dx de ésta. La ecuación (6) se obtiene a partir
de la ecuación (3).
Si una función z depende de dos variables independientes x e y, ésta se expresaría como
z=f(x,y), y el diferencial dz depende del incremento de la función f(x,y) con respecto a cada una
de las variables x e y por separado. La tasa de cambio de la función z con respecto a x se
obtiene al considerar que la variable independiente y permanece constante:
∂z/∂x = ∂f(x,y)/ ∂x = lim ∆x→ 0 ∆z/∆x = lim∆x→0 (f(x+∆x,y) – f(x,y)) / ∆x
(7)
y la tasa de cambio de la función z con respecto a y se obtiene al considerar que la variable
independiente x permanece constante:
∂z/∂y = ∂f(x,y)/ ∂y = lim ∆y→ 0 ∆z/∆y = lim∆y→ 0 (f(x, y+∆y) – f(x,y)) / ∆ y
(8)
Las definiciones de las ecuaciones (7) y (8) se denominan derivadas parciales. Con esta
definición, y generalizando la ecuación (6), se define el diferencial de la función z de dos
variables independientes x e y como:
dz = df(x,y) = ∂f(x,y)/∂x dx + ∂f(x,y)/∂y dy
(9)
Por tanto, la variación infinitesimal dz de la función z=f(x,y) se debe a la suma de incrementos
que experimenta la función al cambiar cada una de las variables independientes por separado.
2.2.3. Derivada y diferencial de segundo orden
La derivada segunda o de segundo orden de una función y=f(x) se designa como:
y’, f’’(x) o d²f(x)/dx²
(10)
y es la derivada de la derivada de la función:
y’’ = f’’(x) = d/dx [df(x)/dx] = d/dx f’(x) = d²f(x)/dx²
13
(11)
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Del mismo modo como se ha definido la derivada segunda, la segunda diferencial o diferencial
de segundo orden es la diferencial de la primera diferencial y se designa como:
d²y o d²f
(12)
d²y = d(dy)= f’’(x) dx²
(13)
Por definición,
Las derivadas segundas de una función tienen, del mismo modo que la primera derivada (ver
apartado 2.2.1), una interpretación geométrica y sirve para investigar el comportamiento de las
funciones. Las derivadas segundas de las funciones están relacionadas con la curvatura de la
función en un punto dado. En los puntos donde la derivada primera se anula (f’(x)=0), si la
derivada segunda es positiva (f’’(x)>0) nos encontramos en un mínimo (curva cóncava), si fuera
negativa (f’’(x)<0) estaríamos en un máximo (curva convexa), y si fuese nula (f’’(x)=0) estaríamos
en un punto de inflexión.
2.2.4. Propiedades de las derivadas
1. Derivada de una constante k por una función u=u(x) es igual a la constante multiplicada
por la derivada de la función.
d/dx(ku)= k du/dx
(14)
2. Derivada de una suma de dos funciones u=u(x) y v=v(x) es igual a la suma de las
derivadas de las funciones.
d/dx(u + v) = du/dx + dv/dx
(15)
3. Derivada de un producto de dos funciones u=u(x) y v=v(x) es igual a la derivada de la
primera función multiplicada por la segunda sin derivar más la primera sin derivar
multiplicada por la derivada de la segunda.
d/dx(u v) = (du/dx) v + u (dv/dx)
(16)
4. Derivada de un cociente de dos funciones u=u(x) y v=v(x) viene dado por:
d/dx(u/v) = ((du/dx) v – u (dv/dx))/v2
(17)
5. Derivada inversa:
La derivada de una función u=u(x) respecto de x es igual a la inversa de la derivada de x
respecto de u siempre que ninguna de ellas sea nula
du/dx = (dx/du)–1 si y sólo si du/dx y dx/du ≠ 0
14
(18)
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
2.3. Integración
La integración es la operación inversa de la derivada, esto es, la función de x resultante de
realizar la inversa de la derivada. Por tanto, la función F(x) es la integral de f(x) si se cumple que
la derivada de F(x) es f(x), que viene dado por la relación siguiente:
dF/dx = f(x)
(19)
Ello implica que el diferencial de F será el producto de f(x) por el diferencial de x:
dF = f(x) dx
(20)
La integral de f(x) se suele representar matemáticamente como:
F(x) =
∫ f ( x )dx
(21)
que se denomina integral indefinida. Ésta se llama así porque su resultado no está definido por
una constante C.
2.3.1. Propiedades de las integrales
Las integrales de las funciones se pueden obtener de la tabla de derivadas (Tabla I) teniendo en
mente que una integral es la inversa de la derivada. Esto implica que las funciones para integrar
se encuentran bajo la columna “Derivada” y la integral resultante se encuentra en la columna
“Función” de la Tabla I. Por tanto, la integral viene dada por la Tabla I pero siguiendo el orden
inverso de lectura, se leería de derecha a izquierda. A modo de ejemplo, algunas integrales
elementales vienen dadas en la Tabla II. A continuación se muestran algunas de las propiedades
de las integrales:
1. Integral de una constante k por una función u=u(x) es igual a la constante multiplicada
por la integral de la función.
∫ ku(x) dx = k ∫ u(x) dx
(22)
2. Integral de suma de dos funciones u=u(x) y v=v(x) es la suma de integrales:
∫ (u(x)+v(x)) dx = ∫ u(x) dx + ∫ v(x) dx
(23)
3. Integral de una potencia n de una función u=u(x):
∫ un du = ∫ un du/dx dx = un+1/(n+1) + C si n ≠ –1
(24)
donde n toma valores enteros o semienteros.
4. Integral de la inversa de una función u=u(x):
∫ 1/u du = ∫ du/dx 1/u dx = ln(u) + C
15
(25)
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
5. Integral de una exponencial de una función u=u(x):
∫ exp(u) du = ∫ exp(u) du/dx dx = exp(u) + C
(26)
6. Integral de una función seno y coseno de u=u(x):
∫ sin(u) du = ∫ sin(u) du/dx dx = – cos(u) + C
∫ cos(u) du = ∫ cos(u) du/dx dx = sin(u) + C
(27)
7. Integral por partes. Sean dos funciones u=u(x) y v=v(x), la integral del producto de
ambas viene dada por:
∫ u dv = u v – ∫ v du
(28)
donde dv = dv/dx dx y du = du/dx dx.
Tabla I. Derivadas de funciones elementales y compuestas. La variable independiente respecto de la cual se deriva
viene dada por x, k es una constante cualquiera, n es un número entero o semientero, y u=u(x) y v=v(x) son
funciones de x, cuyas derivadas son respectivamente u’=du/dx y v’=dv/dx.
Función
Derivada
Función
Derivada
k
0
ku
k u’
x
1
u
u’
xn
n xn-1
un
n un-1 u’
√x
1/(2√x)
√u
u’ /(2 √u)
exp(x)
exp(x)
exp(u)
exp(u) u’
kx
kx ln(k)
uv
vuv-1 u’ + uv ln(u) v’
ln(x)
1/x
ln(u)
u’/u
log(x)
1/x log(e) = 1/(x ln(10))
log(u)
u’/u log(e) = u’/(u ln(10))
loga(x)
1/x loga(e)=1/(x ln(a))
loga(u)
u’/u loga(e)=u’/(u ln(a))
sin(x)
cos(x)
sin(u)
u’ cos(u)
cos(x)
-sin(x)
cos(u)
-u’ sin(u)
tan(x)
1/cos2(x)=sec2(x)
tan(u)
u’ /cos2(u)
cotan(x)
-1/sin2(x)=-cosec2(x)
cotan(u)
-u’/sin2(u)
arcsin(x)
1/sqrt(1- x2)
arcsin(u)
u’/sqrt(1- u2)
arccos(x)
-1/sqrt(1- x2)
arccos(u)
-u’/sqrt(1- u2)
arctan(x)
1/(1+ x2)
arctan(u)
u’/(1+ u2)
arccotan(x)
-1/(1+ x2)
arccotan(u)
-u’/(1+ u2)
sh(x)=(ex- e-x)/2
ch(x)
sh(u)
u’ ch(u)
Ch(x)=(ex + e-x)/2
sh(x)
ch(u)
u’ sh(u)
16
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
Tabla II. Integrales indefinidas de funciones elementales. La variable independiente respecto de la cual se deriva
viene dada por x, k es una constante cualquiera, n es un número entero o semientero, y C es la constante de
integración.
Función
Integral
Función
Integral
k
kx+C
exp(kx)
1/k exp(kx) + C
x
x2/2 + C
cos(x)
sin(x) + C
xn
xn+1/(n+1) + C si n ≠ –1
cos(kx)
1/k sin(kx) + C
1/x
ln(x) + C
sin(x)
- cos(x) + C
exp(x)
exp(x) + C
sin(kx)
- 1/k cos(kx) + C
2.3.2. Integral definida
La integral definida de f(x) es una integral indefinida pero con límites de integración. Si el límite
inferior de integración es x1 y el superior es x2, ésta se expresa matemáticamente como:
x2
∫ f ( x )dx
(29)
x1
Si F(x) es la integral indefinida de f(x), la integral definida entre los límites de integración x1 y x2
es la diferencia de los valores de F(x) en x2 y x1 . Esta definición viene dada por la ecuación:
x2
∫ f ( x )dx = F ( x )
x1
x2
x1
= F ( x2 ) − F ( x1 )
(30)
La integral definida se puede interpretar geométricamente como el área bajo la curva que
describe la función y=f(x) desde el punto (x1, y1) al punto (x2, y2) donde y1=f(x1) y y2=f(x2).
2.4. Problemas
1.- Haciendo uso de la definición de derivada como paso al límite, encuentre la derivada de las
funciones siguientes:
a) f(x) = 2x + 3; b) f(x) = cos(x)
2.- Haciendo uso de la definición de derivada como paso al límite, encuentre la derivada de las
funciones siguientes:
a) f(y) = 2 y3 + 7; b) f(y) = 3 sin(2y)
3.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = 2x2 + 3x +5; b) f(x) = (2x2 + 3x + 5)2; c) f(x) = (2x2 + 3x + 5)10
17
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
4.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = 2x2 + 5/x; b) f(x) = 5/(x + 4); c) f(x) = 5/(x + 4)2
5.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(t) = (5 t2 + 3/2 t + 1)/t; b) f(t) = ((5 t2 + 3/2 t + 1)/t)2; c) f(t) = (5 t2 + 3/2 t + 1)/t2
6.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = sin(2x); b) f(x) = sin(x2 + 3); c) f(x) = cos(x2 + 3)10
7.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = sin2x; b) f(x) = sin2(2x2 + 3); c) f(x) = sin2 (2x2 + 3)10
8.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) g(t) = exp(-7t); b) g(t) = exp(-2t2); c) g(t) = exp(2t2 + 5t)
9.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = ln x; b) f(x) = ln (5x3 + 1); c) f(x) = ln (exp(5x3 + 1))
10.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = ln (cos x); b) f(x) = ln (cos2(2x2 + 3))
11.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = ln ((3x + 5)/(x + 9)); b) f(x) = (ln (x6 – 3x))/(x + 9)
12.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(z) = 8log10 z; b) f(z) = 5√(2 + z²)
13.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = arccos (exp(3x) +1); b) f(x) = arcsin(ln (sqrt(6x + 2)))
14.- Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(t) = (sin 5t)3t; b) f(t) = (tan t)t+6
15.- Diga si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el punto (t=1):
a) f(t) = (sin π t)3; b) f(t) = (tan t)t+6
16.- Diga si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el punto (t=0.5):
a) f(t) = (sin π t)3; b) f(t) = (tan t)t+6
17.- Diga si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el punto (x=1):
a) g(x) = exp(-2π x2); b) g(x) = -3x3 exp(-2x)
18.- Utilizando la definición de diferencial, encuentre dy/dx, sabiendo que las variables y y x
están relacionadas implícitamente mediante las ecuaciones siguientes y que y=f(x):
a) sin y = cos 2x; b) y2 sin x + y = arctan x
18
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
19.- Calcule las siguientes integrales:
a) ∫ x2 dx; b) ∫ 1/x2 dx; c) ∫ (5 x4 + 2x -1) dx
20.- Calcule las siguientes integrales:
a) ∫ cos 8x dx; b) ∫ 3 sin 4x dx
21.- Calcule las siguientes integrales:
a) ∫ x/(9 + x2) dx; b) ∫ tan x dx; c) ∫ (5 cos x + 2 – 3x2 + 1/x – 4 /(x2 +1)) dx
22.- Calcule las integrales por partes:
a) ∫ x exp(x) dx; b) ∫ (4 – x2)1/2 dx
23.- Calcule las integrales definidas siguientes:
a)
∫
1
0
x 2 dx ; b)
∫
π
0
sin x dx
24.- Calcule las siguientes integrales definidas:
2
a) ∫ ln x dx ; b)
1
∫
2
0
exp( x 2 ) dx
2.5. Soluciones
1.- a) 2; b) -sin (x)
2.- a) 6 y2 ; b) 6 cos(2y)
3.- a) 4x + 3; b) 2 (3 + 4 x) (5 + 3 x + 2 x²)=30 + 58 x + 36 x² + 16 x³;
c) 10 (3 + 4 x) (5 + 3 x + 2 x²)9
4.- a) - 5/x² + 4 x; b) -5/(4 + x)²; c) -10/(4 + x)³
5.- a) 5 – 1/t²; b) 15 - 2/t³ - 3/t² + 50 t; c) -(4 + 3 t)/(2 t³)
6.- a) 2 cos(2 x); b) 2 x cos(3 + x²); c) -20 x (3 + x²)9 sin (3 + x²)¹°
7.- a) sin (2x) = 2 cos x sin x; b) 8 x cos(3 + 2 x²) sin(3 + 2 x²);
c) 80 x (3 + 2 x²)9 cos (3 + 2 x²)¹° sin (3 + 2 x²)¹°
8.- a) -7 exp(-7 t); b) -4t exp(-2t2); c) (5+4t) exp(2t2 + 5t)
9.- a) 1/x; b) 15 x²/(1 + 5 x³); c) 15x2
19
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
10.- a) -tan x; b) -8 x tan (3 + 2 x²)
11.- a) 22/((9 + x) (5 + 3 x)); b) (-3 + 6 x5)/((9 + x) (-3 x + x6)) - (ln(-3 x + x6))/(9 + x)²
12.- a) 8ln z /ln 10 ln 8/(z ln 10); b) 5 √(2 + z²) z ln 5/ (2 + z²)1/2
13.- a) -3 exp(3 x)/ (1 - (1 + exp(3 x))² ) 1/2; b) 3/( (2 + 6 x) (1 – ln² ((2 + 6 x) 1/2)) 1/2 )
14.- a) 3 (5 t cotan(5 t) + ln(sin(5 t))) (sin(5 t))3 t; b) (ln(tan t) + (6 + t) cosec t sec t ) (tan t)6 + t
15.- a) Punto de inflexión; b) Creciente
16.- a) Máximo; b) Creciente
17.- a) Decreciente; b) Decreciente
18.- a) –2 sin 2x/cos y = –2 sin 2x/(cos (arcsin(cos 2x)));
b) (1 – y² (1 + x²) cos x)/( (1 + x²) (2 y sin x + 1) )
19.- a) x3/3 + C; b) -1/x + C; c) x5 + x2 -x + C
20.- a) 1/8 sin 8x + C; b) –3/4 cos4x + C
21.- a) ½ ln |x2 + 9| + C; b) - ln | cos x | + C; c) 5 sin x + 2x – x3 + ln x – 4 arctan x + C
22.- a) x exp(x) – exp(x) + C; b) ½ x (4 - x2) 1/2 + 2 arcsin x/2 + C
23.- a) 1/3; b) 2
24.- a) 2 ln 2 –1; b) (e4 -1)/2
20
3. CÁLCULO VECTORIAL
José Rodríguez Quintero
3.1. Introducción teórica
3.1.1. Sistemas de coordenadas
La Física se ocupa en muchas ocasiones de la descripción matemática del movimiento de un
objeto. Es preciso, por tanto, tener un procedimiento con el que especificar la posición de un
objeto en el espacio. Para poder especificar la posición de un objeto sobre una línea es
suficiente con especificar un número, su coordenada. En un plano se requieren dos números, es
decir, dos coordenadas, mientras que en el espacio se precisan tres coordenadas. Para poder
especificar las coordenadas es imprescindible tener un sistema de coordenadas.
Figura1. Coordenadas cartesianas en el plano
Un sistema de coordenadas se define mediante:
• Un punto de referencia O, denominado origen.
• Un conjunto de direcciones (ejes), con unas etiquetas y escala.
• Instrucciones acerca de cómo etiquetar un punto del espacio respecto a dicho sistema.
El sistema de coordenadas más usado es el sistema cartesiano, también llamado sistema de
coordenadas ortogonal (vea figura Fig.1). Éste tiene como características el tener unos ejes
perpendiculares entre sí, especificándose las coordenadas con un par de puntos
La
primera coordenada se corresponde con el eje , siendo éste el eje horizontal, mientras que la
segunda con el eje que es el eje vertical. Caso de trabajar en tres dimensiones, aparecerá una
tercera coordenada denominada
Las etiquetas ,
y , así como las mencionadas
orientaciones suelen ser la notación más habitual, aunque dependiendo del autor o del contexto
pueden variar.
21
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Figura 2. Ejemplo de coordenadas polares planas
En dos dimensiones, existe otro sistema de coordenadas muy útil denominado coordenadas
polares planas
(vea Fig.2). Verificándose:
O de modo equivalente:
3.2. Vectores y escalares
3.2.1. Definiciones
Definición de escalar: magnitud física que queda completamente especificada mediante un
número real y las unidades apropiadas.
Definición de vector: magnitud física que
debe ser especificada mediante un módulo,
una dirección, un sentido y su correspondiente
unidad. De forma alternativa se puede
especificar mediante un conjunto de 2 números
(
) ó tres números (
), para dos y
tres dimensiones, respectivamente, además de
la unidad apropiada.
Los vectores suelen escribirse mediante las
notaciones:
o a. El módulo del vector
expresa el tamaño de éste y la dirección y
sentido su orientación en el espacio.
Figura 3. Expresión de un vector en términos
de sus componentes.
22
CÁLCULO VECTORIAL
3.2.2. Vectores y sistemas de referencia
El par de puntos (
) con el que puede especificarse un vector en dos dimensiones se
denomina componentes del vector. Dichas componentes se corresponden con la proyección del
vector sobre unos ejes coordenados (vea figura Fig.3):
.
Donde
y
respectivamente.
son los vectores unitarios (vea sección 5) en las direcciones
e
El módulo de un vector puede expresarse mediante:
,
y su orientación como:
Donde se corresponde con el ángulo que forma el vector con el eje positivo.
Tenga en cuenta que, a excepción de los vectores que indican la posición de un punto
(radiovectores), los vectores en general pueden ser desplazados en el espacio manteniendo
constante su orientación y módulo. Esto será preciso para realizar diversas operaciones
matemáticas con ellos.
3.2.3. Cálculo del vector que une dos puntos
Sean dos puntos
y
Para calcular el vector que va del punto
el punto simplemente se realizará la operación:
3.3. Algunas propiedades de los vectores
3.3.1. Suma
Para sumar dos vectores, estos deben tener las mismas
unidades. Geométricamente la suma se realiza como se
indica en la Fig. 4 . Si usamos componentes:
Figura 4. Suma de vectores
23
hasta
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
La suma de vectores verifica la propiedad conmutativa:
y la asociativa:
3.3.2. Opuesto de un vector
Geométricamente el opuesto de un vector se construye como un vector de igual módulo y
dirección pero sentido opuesto al original. Si usamos componentes:
3.3.3. Resta de vectores
Geométricamente se corresponde con la suma de un
vector con el opuesto de otro vector (vea Fig.5 ). Si
usamos
Figura 5. Resta de vectores.
3.3.4. Producto de un vector por un escalar
Geométricamente se corresponde con un vector de igual dirección y sentido (si el escalar es
negativo el sentido cambia) que el original y con un módulo igual al producto del módulo original
por el valor del escalar en valor absoluto. Si usamos componentes:
El producto de un escalar por un vector verifica la propiedad distributiva:
3.4. Producto Escalar
Operación que se realiza con dos vectores y cuyo resultado es un escalar,
Donde θ se corresponde al ángulo que forman y
24
CÁLCULO VECTORIAL
Si empleamos componentes:
3.5. Producto vectorial
Operación que se realiza con dos vectores y cuyo resultado es otro vector. Esta operación sólo
puede hacerse con vectores en tres dimensiones. Esta operación se designa mediante
Su módulo es:
Donde se corresponde al ángulo que forman y Su dirección es perpendicular al plano que
forman los vectores y , su sentido viene definido por el uso de la regla del sacacorchos al
hacer girar sobre , por el camino más corto.
Mediante el uso de componentes, el producto vectorial se calcula mediante un determinante:
3.6. Vectores unitarios
Un vector unitario es aquel cuyo módulo es 1. Convertir un vector en unitario es muy sencillo:
3.7. Momento de un vector respecto a un punto
Sean un vector a, cuyo origen es un punto P, tales que:
a = (ax, ay, az) y OP = (px, py, pz);
donde O es el origen del sistema de referencia. Se define el momento de un vector respecto al
origen, punto O, y se emplea la notación MO, como sigue:
25
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
MO = OP x a.
Si el vector es transportado desde el punto P a un punto P' situado en un eje que pase por P y
cuyo vector director sea paralelo al propio vector, se tendrá que el momento no cambiará:
M'O = OP' x a = (OP + PP' ) x a = OP x a = MO .
3.8. Momento de un vector respecto a un eje
Sean un eje, definido por un punto O, que coincide con el origen, y un vector director u, y un
vector a, cuyo origen es P; se define el momento del vector respecto al eje como la proyección
del momento del vector a respecto a cualquier punto del eje sobre la dirección del vector u:
|MO| = (OP x a) ⋅ u.
3.9. Problemas
1) Sean los vectores:
y
. Calcule el módulo de dichos vectores, su
vector suma y el módulo del vector suma. Realice también la suma gráficamente.
y
. Calcule el módulo de dichos vectores, su
2) Sean los vectores:
vector suma y el módulo del vector suma. Realice también la suma gráficamente.
3) Sean los puntos
y
respectivos módulos. Calcule también
. Calcule los vectores
.
4) Un coche viaja en línea recta del punto
al
coordenadas están expresadas en m. ¿Qué distancia ha recorrido?
y
así como sus
, donde todas las
5) Un coche viaja en línea recta del punto
al
y finalmente al punto
de nuevo, donde todas las coordenadas están expresadas en m. ¿Qué
distancia ha recorrido?, ¿Cuál ha sido su desplazamiento?
6) Sean los vectores:
y
diferencia de ambos vectores,
la resta gráficamente.
. Calcule el módulo de dichos vectores, la
y el módulo del vector diferencia. Realice también
7) Sean los vectores:
y
diferencia de ambos vectores,
resta gráficamente.
. Calcule el módulo de dichos vectores, la
y el módulo de vector diferencia. Realice también la
26
CÁLCULO VECTORIAL
8) Sea un vector que parte del origen de coordenadas y tiene un módulo
y un ángulo
polar
. Calcule sus coordenadas cartesianas. Una vez obtenidas las
coordenadas, calcule su módulo usándolas.
9) Sea el vector
10) Sea el vector
11) Sean los puntos
y .
. Calcule sus coordenadas polares.
. Calcule sus coordenadas polares.
y
. Calcule las coordenadas polares de los vectores
12) Dos coches parten del origen. Uno se desplaza km a lo largo del eje OX, mientras que
km a lo largo del eje OY. ¿A qué distancia se encuentran en el
el otro se desplaza
instante final uno del otro?
13) Dos coches parten del origen. Una se desplaza
km a lo largo de una dirección que
forma
con el eje OX, mientras que el otro se desplaza km en una dirección que
con el eje OX. ¿A qué distancia se encuentran en el instante final uno del
forma
otro?
14) Se observa desde el origen una torre que tiene
m de altura y está situada en el
m. ¿A qué distancia está la punta de la torre del origen?
punto
15) Un patinador describe un cuarto de circunferencia de
m de radio. ¿Cuánto vale la
distancia que ha recorrido? ¿Y el módulo del vector desplazamiento?
16) Un avión vuela desde su base hasta el lago A, recorriendo una distancia de
km en
con el eje OX. Lanza unos suministros y vuela hasta el punto
una dirección que forma
B que se encuentra a
km del punto A a lo largo de una dirección que forma
con
el eje OX. Finalmente retorna a su base. Represente gráficamente el recorrido del avión y
calcule la distancia recorrida así como el módulo del vector desplazamiento.
17) Sean los vectores:
módulo.
18) Sean los vectores:
módulo y ángulo polar.
y
) y
19) Sean los vectores:
su módulo.
20) Sean los vectores:
). Calcule el vector
así como su
. Calcule el vector 9 a- 5 b así como su
y
. Calcule el vector
y
. Calcule su producto escalar.
27
así como
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
21) Sean los vectores:
y
22) Sean los vectores:
. Calcule su producto escalar.
y
. Calcule el ángulo que forman.
23) Sean los vectores: a=(-2, 7, 10) y b=(3, 0,1). Calcule
24) Sean los vectores:
y
. Calcule
y
.
y
.
25) Dos torres de telefonía que tienen una altura de
m y están situadas en los puntos
km y
km respectivamente. Desde el origen de coordenadas se apunta
con un rayo laser al extremo superior de ambas torres. ¿Qué ángulo forman dichos
rayos?
26) ¿A qué distancia están las torres del problema anterior?
en el punto (2,1,0). Calcula el momento del vector respecto
27) Dado el vector
al origen y respecto al eje Z.
28
4. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Francisco Pizarro Navarrete
4.1. Introducción
4.1.1. Movimiento y sistemas de referencia
Todos tenemos una idea intuitiva de la diferencia entre reposo y movimiento. Decimos que un
objeto se mueve si se acerca o se aleja de nosotros. Asociamos el movimiento a una variación
de distancia. Pero si vamos montados en un tren y observamos al maquinista desde nuestro
asiento, vemos que la posición de éste no cambia respecto a la nuestra con el tiempo. En
cambio, si estuviésemos fuera del tren, veríamos que el maquinista se aleja de nosotros a la
misma velocidad que el tren. Por tanto, es fundamental tener en cuenta que el movimiento debe
definirse en relación a algo.
Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con
respecto a un determinado sistema de referencia, que normalmente se considera fijo. Esta
forma de definir el movimiento nos obliga a tomar siempre algún cuerpo (o, en general, un punto)
como referencia con respecto al cual analizar el movimiento.
Definimos, por tanto, un sistema de referencia, como un objeto o conjunto de objetos que
consideramos siempre en reposo. Para describir perfectamente un movimiento hace falta indicar
respecto a qué sistema de referencia se han realizado las medidas. Los que más se utilizan para
representar el mundo real son los sistemas de referencia cartesianos, que consisten en un punto
de origen “O” en el que se cruzan tres ejes perpendiculares entre sí X,Y,Z, que representan las
coordenadas de las tres dimensiones espaciales.
La Cinemática tiene como objetivo describir correctamente el movimiento de un cuerpo, es decir,
indicar donde se encuentra en cualquier instante, independientemente de las causas que han
producido el movimiento.
4.1.2. Vector de posición. Trayectoria. Desplazamiento
El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula. El punto material
es un modelo que consiste en considerar un cuerpo sin dimensiones geométricas pero con masa
finita distinta de cero. En este tema, vamos a considerar que los objetos son puntuales, es decir,
que se pueden representar como puntos.
Para describir el movimiento de un cuerpo, lo primero que debemos hacer es fijar un sistema de
referencia, y a continuación, tenemos que conocer, en cada instante, la posición del móvil, su
velocidad y la aceleración con la que está animado.
29
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Elegido un sistema de referencia, la posición del móvil queda determinada por el vector de
posición:
r(t) = xi + yj + zk
donde i, j, k son los vectores unitarios sobre los ejes X, Y, Z,
respectivamente. Si el cuerpo se mueve, su posición cambia.
Por tanto, este vector depende del tiempo, y podemos escribir:
Z
P1 ∆s
r1
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
O
El extremo del vector de posición describe, a lo largo del
tiempo, una línea que recibe el nombre de trayectoria.
∆r
P2
r2
Y
X
Se denomina vector desplazamiento(o simplemente, desplazamiento) ∆r, entre los instantes t1
y t2, al vector que tiene por origen la posición inicial P1 del móvil y cuyo extremo coincide con la
posición final P2 de dicho móvil.
∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk
El desplazamiento puede ser positivo, nulo o negativo dependiendo de la posición relativa entre
el instante final e inicial. El arco de curva ∆s, recorrido por la partícula desde P1 hasta P2 se
denomina espacio recorrido. Debemos observar que el espacio que recorre la partícula, ∆s, no
coincide, en general, con el módulo del vector desplazamiento Ι∆rΙ (distancia entre los puntos).
Sólo coincidirían si se tratase de un movimiento recto en un sólo sentido.
4.2. Velocidad y aceleración
4.2.1. Rapidez media e instantánea
Se denomina rapidez media (o celeridad media), al cociente entre el espacio recorrido por la
partícula y el intervalo de tiempo ∆t, empleado en recorrer dicho espacio. La rapidez es un
escalar.
vm = ∆s/∆t
Se define la rapidez instantánea como el valor al cual tiende la rapidez media, cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero.
v = lím
∆t →0
30
∆s
∆t
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
4.2.2. Velocidad media e instantánea
Se denomina velocidad media de una partícula vm al cociente entre el desplazamiento ∆r y el
tiempo empleado en obtener dicho desplazamiento ∆t
vm= ∆r/∆t
La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección y sentido que ∆r.
Si quisiéramos saber la velocidad de una partícula en un instante determinado (p.ej. en la
posición P1) habría que escoger un intervalo de tiempo de lo más pequeño que se pudiera de
manera que la posición P2 se acercase tanto a la posición P1 que no se pudieran distinguir, es
decir, lo que en matemáticas se llama hallar el limite del cociente incremental haciendo tender
incremento de t a 0:
r
r
r
∆r dr
=
v = lím
∆t→0 ∆t
dt
y
v
Cuando se hace tender el intervalo de tiempo, ∆t, a cero, se
observa que el vector desplazamiento se acerca a la tangente
de la trayectoria, de lo que podemos deducir, que la
velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.
P2
P1
∆r
x
Ejemplo:
a) Si un ciclista parte de un punto A y recorre una distancia s1 = 8 km, hasta B, en dirección
Norte en 15 minutos y a continuación recorre otra distancia s2 = 6 km, hasta C, en dirección Este
en 12 minutos. a) ¿Cuál es el valor de su velocidad media?, ¿y el de su rapidez?. b) Si
suponemos que el ciclista vuelve al punto de partida A, por el mismo camino e invirtiendo los
mismos tiempos, ¿cuáles serían ahora los valores de la velocidad y rapidez medias, en el
trayecto total desde que salió del punto inicial hasta que llega al mismo punto?.
Solución:
a) El desplazamiento del ciclista será el vector que va desde A hasta C.
La magnitud de éste es:
2
2
s = AC = s1 + s 2 = 82 + 62 = 10 km
Y su dirección es:
B
s1
A
α = tang -1 s1/ s2 = tang -1 8/6 = 53,13º
31
s2
C
s
α
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Por tanto, su velocidad media sería un vector cuya magnitud es:
vm =
10
km
= 22,22
0,25 + 0,2
h
con una dirección igual a la del desplazamiento, es decir formando un ángulo de 53,13º con la
horizontal (eje X).
Como 15 min = 0,25 h y 12 min = 0,20 h, la rapidez (celeridad) será:
vm =
km
8+6
= 31,11
h
0,25 + 0,2
La rapidez como es un escalar no hay que calcular su dirección.
b) Ahora, el desplazamiento neto será nulo (vuelve al punto de partida A), pero la longitud total
recorrida será igual a 28 km (suma de todo el recorrido). Por tanto, su velocidad media es nula y
su rapidez media continúa siendo igual a 31,11 km/h (longitud total recorrida dividida por el
tiempo total).
2.3. Aceleración media e instantánea
Los conceptos de velocidad y aceleración están relacionados, pero muchas veces se hace una
interpretación incorrecta de esta relación. Algunas personas piensan que cuando un cuerpo se
mueve con una gran velocidad, su aceleración también es grande y que si se mueve con
velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña, esto es un error, pues la aceleración
relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir, mide cómo
de rápidos son los cambios de velocidad. Una aceleración grande significa que la velocidad
cambia rápidamente, y una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente.
La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad. Por lo tanto un
móvil puede tener una velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa.
Se denomina aceleración media de una partícula am al cociente entre un incremento de la
velocidad ∆v y el tiempo transcurrido en obtener dicha variación ∆t.
am =
∆v
∆t
La aceleración media es un vector dirigido hacia donde se dirige el cambio de velocidad ∆v. De
forma similar a como hemos definido la velocidad instantánea, podemos decir que la
aceleración instantánea en un momento dado es el valor límite de la aceleración media cuando
el intervalo de tiempo tiende a cero:
r
r
r
∆v dv
=
a = lím
∆t →0 ∆t
dt
32
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
A veces, resulta conveniente estudiar el movimiento respecto
de un sistema de referencia cuyo origen, O, está localizado en
la partícula, de tal manera que uno de sus ejes sea tangente
en todo momento a la trayectoria (o sea, coincidente en
dirección con la velocidad) y otro perpendicular, en el que el
semieje positivo está dirigido hacia el centro de curvatura. Las
proyecciones sobre dichos ejes de a son at y an que se
denominan componentes intrínsecas de la aceleración y se
cumplirá que:
O
r
at
r
an
r
a
a = at + an
at es la aceleración tangencial que es un vector tangente a la trayectoria y cuyo módulo
representa la variación del módulo de la velocidad en un instante.
at = |at| = dv/dt
an es la aceleración normal que es un vector perpendicular a la trayectoria y sentido hacia el
centro de curvatura. Su módulo representa la variación de la dirección del vector velocidad en un
instante.
an = |an| = v ²/R
donde R es el radio de curvatura de la trayectoria.
Por tanto, podemos escribir:
a = dv/dt ut + v2/R un
donde ut y un son dos vectores unitarios en la dirección tangente y normal a la trayectoria.
Como conclusión podemos decir que si la velocidad cambia en magnitud se dice que el cuerpo
tiene aceleración tangencial at; si cambia en dirección, se dice que el cuerpo tiene aceleración
normal o centrípeta an. En el caso que cambie simultáneamente en magnitud y en dirección, la
aceleración resultante a será la suma vectorial de la aceleración tangencial y de la aceleración
normal, por lo que el módulo de la aceleración resultante será:
2
a = at + an
33
2
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Ejemplo:
Un automóvil parte del reposo en una pista circular de 200 m de radio y en 40 segundos alcanza
una velocidad de 72 km/h con un movimiento uniformemente acelerado y a partir de ese
momento continúa con velocidad constante dando vueltas a la pista. Se pide: a) Aceleración
tangencial en la primera etapa del movimiento. b) Aceleración normal en el momento de alcanzar
los 72 km/h. c) Valor del módulo de la aceleración en ese instante. d) ¿Tiene aceleración a partir
de ese instante?. ¿Cuánto vale?.
Solución:
Primero pasamos las unidades al SI:
72 km/h = 72000 m /3600 s = 20 m/s
a) at=∆v/∆t = (20 – 0)/40 = 0,5 m/s2
b) an = v ²/R = 202 /200 = 2 m/s2
c) a = | a | = a 2t + a 2n = 0,5 2 + 2 2 = 2,06
m
s2
d) Aceleración tangencial no existe ya que no hay variación en el módulo de la velocidad, pero
como hay un cambio en la dirección del vector velocidad, existe aceleración, que es la
aceleración normal o centrípeta.
El valor de la aceleración a partir del momento que alcanza los 72 km/h será:
a = an = v ²/R = 202 /200 = 2 m/s2
4.3. Movimientos rectilíneos
Cuando la trayectoria de un cuerpo es una línea recta, decimos que el movimiento es rectilíneo.
Éste es un tipo de movimiento muy sencillo, ya que el espacio recorrido coincide con el módulo
del vector desplazamiento. Además, el radio de curvatura es infinito y, por tanto, an= 0 en todos
los puntos, sólo existe at.
4.3.1. Movimiento rectilíneo uniforme
El movimiento rectilíneo uniforme (MRU), se da cuando la aceleración es nula (y, por tanto, la
velocidad es constante). Entonces, se cumple:
v = cte
s = s0 + v t
34
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Las gráficas s-t y v-t del movimiento rectilíneo uniforme son:
s (m)
v (m/s)
velocidad constante
Desplazamiento con
velocidad constante
t (s)
t (s)
La pendiente de la gráfica s/t, es la velocidad instantánea, cuanto más pendiente más velocidad.
4.3.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Cuando la aceleración es constante, decimos que tenemos un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado (MRUA). Las ecuaciones del MRUA son:
v = v0 + a t
s = s0 + v0 t + ½ a t 2
Si eliminamos el tiempo entre estas dos ecuaciones, obtenemos otra ecuación que nos resulta
muy útil cuando no conocemos el tiempo:
v ² = v0² + 2 a (s - s0)
y que lógicamente es combinación lineal de las dos ecuaciones anteriores.
Las gráficas s/t, v/t y a/t del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, para > 0, son:
s (m)
a (m/s2)
v (m/s)
α
t (s)
tg α = a
t (s)
La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.
35
aceleración constante
t (s)
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Ejemplo:
El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuación siguiente: s = - 12 + 5 t.
a) Indica el tipo de movimiento del cuerpo.
b) Dibuja las gráficas s/t y v/t
c) ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el origen?
Solución:
a) El cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (m.r.u), ya que la ecuación s/t es del
tipo s = s0 + v t , siendo los valores de las constantes, para este caso: s0 = - 12 m. El signo
menos se debe a que inicialmente se encuentra situado a la izquierda del origen. v = 5 m/s. El
signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha.
b) Gráficas:
s (m)
v (m/s)
5
2,4
t (s)
-12
t (s)
Cuando pase por el origen se cumplirá: s = 0.
Luego : 0 = - 12 + 5 t ; t = 12 = 2, 4 s
5
4.3.3. Movimiento en caída libre
Se observa que los cuerpos al caer son frenados en distinta medida, normalmente, por el aire.
En vacío, no es así, y todos los cuerpos se mueven con la misma velocidad al dejarlos caer. El
movimiento de caída es un movimiento acelerado, y si no hay resistencia debida al aire todos los
cuerpos caen con la misma aceleración, independientemente de su tamaño, peso o composición.
Dicha aceleración se llama aceleración de la gravedad y se representa por la letra g. Si la
distancia no es grande, dicha aceleración permanece constante durante la caída y su valor en la
proximidad de la Tierra es 9,8 m/s2. Este tipo de movimiento ideal (sin resistencia del aire y sin
cambio de la aceleración con la altura) se denomina “caída libre”.
36
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Como consecuencia:
a) Los cuerpos que caen hacia la Tierra, aumentan su velocidad; el valor de g es igual a +9,8
m/s2, pues el sentido de la velocidad y aceleración es el mismo.
b) Los cuerpos que suben, disminuyen su velocidad; el valor de g es igual a -9,8 m/s2, pues el
sentido de la velocidad y aceleración es opuesto.
Dado que la aceleración de la gravedad es constante, un cuerpo en caída libre estará sometido a
un movimiento rectilíneo con aceleración constante, luego son aplicables las ecuaciones del
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, sólo cambiando a por g.
v = v0 + g t
s = s0 + v0 t + ½ g t 2
v ² = v0² + 2 g (s - s0)
Tomamos g>0 si v0 y g tienen el mismo sentido (movimiento de caída). Y tomamos g<0 si v0 y g
tienen sentido opuesto (movimiento de subida).
Ejemplo:
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde un punto O situado a 28 m del suelo. El
cuerpo llega al suelo 3 s después de haber sido lanzado. Calcular: a) Velocidad de lanzamiento.
b) Velocidad con que llega al suelo. c) Altura a la que sube.
Solución:
Llamando: h a la altura a que sube el cuerpo a partir del punto O,
t al tiempo que tarda en recorrer h m, t’ al tiempo que tarda en
caer desde la altura (h+28) m y v0 a la velocidad de lanzamiento,
se puede plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
0 = v0 – 9,8t
h = v0t – 4,9t2
h + 28 = 4,9t'2
t + t’ = 3
el cual una vez resuelto nos da los valores:
t = 0,55 s
t’= 2,45 s
h =1,48 m
v0 = 5,39 m/s
luego:
a) Velocidad de lanzamiento: 5,39 m/s
b) Velocidad con que llega al suelo: v = g t’ = 24 m/s
c) Altura a que sube: h + 28 = 1,41 + 28 = 29,41 m.
37
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
4.4. Movimientos circulares
4.4.1. Magnitudes angulares
Definimos el movimiento circular como aquél cuya trayectoria es
una circunferencia. Para describir estos movimientos, se elige como
referencia el centro de la circunferencia. El vector de posición r
cambia en cada instante de dirección y sentido y su módulo es
siempre el radio de la circunferencia.
R
O
φ
s
│r│ = R
Si se considera un punto girando en una circunferencia, observamos que mientras el punto en un
intervalo de tiempo t recorre un arco s, en el sentido indicado en la figura, el radio vector r
describe un ángulo ϕ, por tanto, en un movimiento circular además del espacio recorrido hay que
tener en cuenta el ángulo descrito, esto nos lleva a diferenciar entre magnitudes lineales, las que
hemos visto hasta ahora y describen el movimiento linealmente y magnitudes angulares que
dependen del ángulo descrito.
Los ángulos se suelen medir en grados pero en Física se emplea como unidad fundamental para
medir ángulos el radián. Un radian es el ángulo cuyo arco correspondiente es igual a su radio. Si
el ángulo ϕ, se mide en radianes, la relación entre el arco s, el ángulo φ y el radio r es:
s=φR
Como la longitud de la circunferencia es: L = 2 π R, las circunferencias tienen 2 π radianes.
Si cada cierto tiempo el móvil va repitiendo las mismas posiciones, el movimiento se denomina
periódico. Para este tipo de movimiento se definen las siguientes magnitudes:
Periodo (T): es el tiempo que el punto tarda en dar una vuelta (el movimiento vuelve a repetirse).
El periodo se mide en segundos (s).
Frecuencia (f): es el número de vueltas que el punto da en un segundo. Periodo y frecuencia
son magnitudes inversamente proporcionales, concretamente:
T=
1
f
f =
La frecuencia se mide en hertzios (Hz = s− 1 ).
38
1
T
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
La relación de estas dos magnitudes con la velocidad angular se puede determinar pensando
que si el móvil da una vuelta completa recorre un ángulo de 2 π rad y el tiempo que tardó en
recorrerlo es el período T.
ω = 2 π/T = 2 π f
Se define la velocidad angular media ωm como la rapidez con que se describe el ángulo ϕ:
ωm =
ϕ
ϕ 2 − ϕ1 ∆ϕ
=
→ Si ϕ1 = 0 y t1=0 → ωm =
t 2 − t1
∆t
t
La velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un
intervalo de tiempo que tiende a cero.
ω = lím
∆t→0
∆ϕ dϕ
=
dt
∆t
La velocidad angular, al igual que la velocidad lineal, es, en
verdad, una magnitud vectorial, que se representa mediante un
vector perpendicular al plano de la circunferencia que describe
la partícula. Su sentido es el mismo del avance de un tornillo,
cuando gira en el mismo sentido que tiene el móvil o la partícula.
Entre la velocidad lineal y la angular existe la siguiente relación
escalar en el movimiento circular:
ω
R
v
v =ωR
En el Sistema Internacional la velocidad angular se mide en
rad -1
(s , ya que rad = 1).
s
Otras unidades muy empleadas pero que no pertenecen al SI son:
vueltas
s
revoluciones
= rpm
min
(1 vuelta = 1 revolución = 3600 = 2 π radianes)
Si en el instante t1 la velocidad angular del móvil es ω1 y en el instante t2 la velocidad angular del
móvil es ω2. La velocidad angular del móvil ha cambiado ∆ω = ω2 – ω1 en el intervalo de tiempo
∆t = t2 - t1 comprendido entre t1 y t2. Se denomina aceleración angular media, α m , al cociente
entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.
39
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
αm =
∆ω
∆t
La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un
intervalo de tiempo que tiende a cero.
α = lím
∆t →0
∆ω d ω
=
dt
∆t
4.4.2. Movimiento circular uniforme (MCU)
Se define movimiento circular uniforme como aquél cuya velocidad angular es constante. Hay
que tener en cuenta que aunque el módulo del vector velocidad no varía, su dirección varía
constantemente, por tanto, tiene aceleración normal an que apunta constantemente en la
dirección del centro de la trayectoria.
De la definición de velocidad angular se deduce la relación entre la velocidad angular ω y el
ángulo girado ϕ:
ϕ=ωt
Si cuando empieza a contarse el tiempo (t = 0) el punto ya ha descrito un ángulo ϕ0, entonces el
ángulo girado en un tiempo t será:
ϕ = ϕ0 + ω t
Ejemplo:
Un punto recorre una trayectoria circular de radio 36 cm con una frecuencia de 0,25 Hz. Se pide:
a)
b)
c)
d)
El periodo del movimiento.
La velocidad angular y la lineal.
El ángulo girado en 1,54 s.
La aceleración normal o centrípeta.
Solución:
a)
T=
1
1
=
=4s
f 0, 25 s−1
b) ω = 2 π f = 2 π 0,25 rad s-1 = 0,5 π rad s-1 ≈ 1,57 rad s-1
v = ω R = 0,5 π s-1 0,36 m = 0,18 π m s-1 = 0,18 π m/s ≈ 0,57 m/s
40
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
c) ϕ = ω t = 0,5 π rad
d) an =
2
v
=
R
s-1
1,54 s = 0,77 π rad =
0,77 π rad
1800
= 138,60
π rad
m2
s2 = 0,89 m
s2
0,36 m
( 0,18 π )
2
4.4.3. Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración tangencial es
constante. Es, por ejemplo, el que experimenta cualquier punto de una rueda al arrancar o al
frenar respecto al eje de la rueda. La trayectoria es una circunferencia y el módulo de la
velocidad varía de forma uniforme. La aceleración normal no es constante.
De la definición de aceleración angular obtenemos la ecuación de la velocidad:
ω = ω0 + α t
La ecuación del ángulo girado por la partícula será:
φ = φ0 + ω0 t + ½ α t²
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la
velocidad angular ω con el ángulo descrito φ - φ0:
ω² = ω0² + 2 α (φ - φ0)
Ejemplo:
Un volante gira en torno a su eje a razón de 300 rpm Un freno lo para en 20 s. Calcular la
aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas que ha dado hasta que el
volante se detiene. Si el volante tiene 10 cm de radio, hallar las componentes tangencial y
normal de la aceleración de un punto de la periferia en el instante en que la rueda ha dado
40 vueltas. Hallar también la aceleración resultante en ese momento.
Solución:
Aceleración angular:
41
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Número de vueltas:
Cuando la rueda ha dado 40 vueltas, el ángulo descrito es: 2π 40 = 80 π rad y se verifica que:
→
de donde t es igual a:
La solución de 28,94 s se desecha porque la rueda se para en 20 s.
La velocidad angular al cabo de 11,05 s es: ω = ω0 + α·t = 31,4 – 1,57·11,05 = 14,05 rad/s
La aceleración normal del punto considerado: an= v2/r = ω²r = 14,052·0,1 = 19,74 ms-2
La aceleración tangencial:
La aceleración total:
SEMEJANZA ENTRE MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y CIRCULAR
MRUA
MCUA
s = s0 + v0 t + 1/2 a t²
φ = φ0 + ω0 t + 1/2 α t²
v = v0 + a t
ω = ω0 + α t
v ² - v0 ² = 2 a (s - s0)
ω² - ω0² = 2 α (φ - φ0)
4.5. PROBLEMAS
1.- Una partícula se mueve según la ecuación: s = 4 t2 + 2 t + 3 en unidades SI. Calcular: a) el
desplazamiento en t = 0; b) la velocidad inicial vo; c) la velocidad en el instante t = 2 s; d) la
aceleración del movimiento.
Solución: s0 = 3 m; v0 = 2 m/s ; v = 18 m/s ; a = 8 m/s2.
2.- La gráfica e = f(t) de un movimiento corresponde a la
figura adjunta. a) Qué tipo de movimiento es y representarlo
sobre una trayectoria rectilínea. b) Dibuje las gráficas de la
rapidez v = f(t) y de la aceleración a = f(t).
42
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
3.- Un móvil, con movimiento uniformemente variado, tiene una velocidad de 17 m/s a los 4 s de
empezar a contar el tiempo; y, en los tiempos t1 = 2 s y t2 = 4 s dista del origen 12 y 40 m,
respectivamente. Se pide: a) En el instante t = 0, ¿dónde se encuentra?. b)¿Cuál es su velocidad
inicial?, ¿y su aceleración?. c) Representar las gráficas s - t, v - t y a - t del movimiento.
Solución: a) s0 = -4 m; b) v0 = 5 m/s ; a = 3 m/s2.
4.- El vector de posición de una partícula P es: r = 3t i - t2 j + 8 k en unidades del SI. Hallar: a) la
velocidad de la partícula a los 2 minutos de iniciado el movimiento; b) las componentes
intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria a los 2 s.
Solución: v = 240 m/s ; at = 1,6 m/s2 ; an = 1,2 m/s2 ; R = 20,8 m.
5.- Una partícula describe la trayectoria dada por las ecuaciones: x = t ; y = t2 en unidades SI.
Cuando pasa la partícula por la posición (1,1) determinar su velocidad y aceleración, así como
las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura.
Solución: v = 2,24 m/s ; a = 2 m/s2 ; at = 1,79 m/s2 ; an = 0,89 m/s2.
6.- El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v = (3t-2)i+(6t2-5)j (m/s).
Si la posición del móvil en el instante t =1 s es r = 3 i-2 j (m). Calcular:
a) El vector posición del móvil en cualquier instante.
b) El vector aceleración.
c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector
velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.
Solución: a) x = 3/2 t2 – 2 t + 7/2; y = 2 t3 – 5 t + 1. b) ax = 3 m/s2; ay = 12 t m/s2.
c) at = 24,1 m/s2; an = 2 m/s2.
7.- La posición de una partícula en función del tiempo viene dada por r = 2t i + (5 – t2) j
a) Exprese la ecuación de la trayectoria y represéntela gráficamente
b) Calcule el vector velocidad v. ¿En qué instante es perpendicular a r?. Representar sobre la
ecuación de la trayectoria.
c) Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria en t=0.
Solución: a) y = 5 – x2/4; b) v = 2i– 2tj; t=0 y t=31/2 s ; ρ = 2 m.
8.- La posición de un móvil viene definida de la siguiente forma:
Tiempo (s)
0
1
2
Espacio (m)
0
0,25 1
3
4
2,25 4
Se pide:
a) Dibuje la gráfica s-t indicando de qué tipo de movimiento se trata.
b) Obtenga las ecuaciones del movimiento.
c) Realiza la gráfica v-t.
Solución: a) Es un MRUA. b) v = 0,5 m/s2 t; s = 0,25 m/s2 t2.
9.- Un motociclista se desplaza por una carretera con una velocidad constante de 36 km/h.
Desde el momento en que aplica los frenos hasta que la moto se detiene tarda 2s, determinar:
a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?.
b) ¿Qué distancia precisó para el frenado?.
Solución: a) -5 m/s ² b) 10 m.
43
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
10.- Un vehículo, que marcha a 54 km/h cuando está a 50 m de un semáforo, frena porque el
semáforo ha pasado a rojo. Halle la aceleración media de frenado para que el vehículo no se
salte el semáforo.
Solución: a = -2,25 m/s2.
11.- Un cuerpo se mueve con una velocidad inicial de 4 m/s y una aceleración constante de -1,5
m/s², determinar:
a) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo a los 2 s?.
b) ¿Cuál es su posición al cabo de 2 s?.
Solución: a) 1 m/s b) 5 m.
12.- Un coche viaja de noche a 72 km/h y de repente encuentra un camión estacionado a 30 m
de distancia. Si frena con la máxima aceleración negativa que es de 5 m/s2. Calcule: a) el tiempo
que tarda en detenerse; b) ¿choca con el camión?
Solución: a) t = 4 s; b) sí.
13.- Un cohete se dispara verticalmente y sube con aceleración de 20 m/s2 durante un minuto.
En ese instante se acaba el combustible y sigue moviéndose como partícula libre. Tomando go
como constante, calcule: a) la altura máxima alcanzada; b) el tiempo que está en el aire.
Solución: hm = 109,5 km; t = 331 s.
14.- Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5 s.
a) ¿Desde qué piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?.
b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?.
Solución: a) 43. b) 50 m/s.
15.- A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B,
siendo estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar:
a) ¿Cuánto tardó en recorrer la distancia entre A y B ?.
b) ¿Cuál es la distancia entre A y B ?.
c) ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B ?.
Solución: a) 1,5 s b) 48,75 m. c) 100 m/s.
16.- ¿Desde qué altura debe caer el agua de una presa para golpear la rueda de una turbina con
velocidad de 30 m/s?.
Solución: 45 m.
17.- Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con velocidad vo = 100 m/s. Medio
segundo después, con la misma arma, se dispara un segundo proyectil en la misma dirección.
Determinar:
a) La altura a la que se encuentran ambos proyectiles.
b) La velocidad de cada uno al encontrarse.
c) El tiempo transcurrido desde el primer disparo hasta el choque. Se desprecian los
rozamientos.
Solución: h = 510 m; v1 = - 2,41 m/s ; v2 = 2,49 m/s.
18.- Una piedra que cae de lo alto de un acantilado recorre un tercio de su distancia total al suelo
en el último segundo de su caída. ¿Qué altura tiene el acantilado?.
Solución: 150 m.
44
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
19.- Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo desde una altura de 30 m, con cierta
velocidad, de modo que choca contra el suelo 2 segundos después de soltarlo. Se pide: a)
Velocidad inicial v0 b) ¿Con que velocidad choca contra el suelo?
Solución: a) v0 = 5.2 m/s; b) v = 25 m/s.
20.- Se lanza una pelota desde el suelo verticalmente hacia arriba con v0 = 24.4 m/s. Halle: a)
Cuanto tarda en alcanzar la altura máxima, b) ¿Hasta que altura sube la pelota? c) ¿En cuanto
tiempo la pelota estará a la altura de 29 m?
Solución: a) t = 2.5 s; b) h= 30.3 m; c) t = 1.95s.
21.- Un tornillo se suelta del fondo exterior de un ascensor que se mueve hacia arriba a la
velocidad de 6 m/s. El tornillo alcanza el fondo del hueco del ascensor en 3 s. Se pide:
a) ¿A qué altura estaba el ascensor cuando se desprendió el tornillo?
b) ¿qué velocidad tenía el tornillo al chocar contra el fondo del hueco del ascensor?
Solución: a) 26,1 m ; b) v = 23,4 m/s.
22.- La cabina de un ascensor tiene 3 m. de altura, y está ascendiendo con una aceleración de
1 m/s2. En un determinado momento, se desprende la bombilla del techo. Calculad el tiempo que
tardará en chocar con el suelo del ascensor.
Solución: t = 0.745 s.
23.- Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m
de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar:
a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil?.
b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil?.
c) ¿Qué alcance tendrá?.
d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro?.
Solución: a) 9,75 m b) 10,2 m c) 40,82 m d) 1,41 s.
24.- Un corredor de 100 m lisos recorre la distancia en 10 s, pero justo en el instante en que
cruza la meta, es alcanzado por el proyectil disparado al dar la salida. Se pide:
a) Velocidad del proyectil en el momento de efectuar el disparo.
b) Ángulo con que se efectuó dicho disparo.
Solución: v0 = 51 m/s; φ = 78,69º.
25.- Un atleta que ejecuta un salto de longitud abandona el suelo en un ángulo de 30º con la
horizontal. a) Si consigue saltar una longitud de 8,90 m, ¿cuál era su rapidez al despegar del
suelo? b) Si saltase con la misma rapidez y en la misma dirección, calcula la distancia del salto
que podría realizar en la Luna, donde la aceleración de caída libre es la sexta parte que en la
Tierra.
Solución: a) 26,7 m/s; b) 106,80 m.
26.- Un helicóptero que se mueve verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s,
cuando se halla a 15 m de altura, dispara horizontalmente un proyectil con una velocidad de
500 m/s. ¿ A qué distancia de la vertical del helicóptero alcanzará el suelo? Tómese g = 10 m/s2.
Solución: Distancia de la vertical x = 1500 m.
45
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
27.- La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 900 a 800 vueltas por
minuto en 5 s. Calcular: a) la aceleración angular del movimiento; b) el número de vueltas que da
en esos 5 s; c) el tiempo que tarda en detenerse, a partir de ese instante.
Solución: a = - 2,1 rad/s2 ; n = 70,8 vueltas ; t = 40 s.
28.- Una partícula describe una trayectoria circular según la ecuación: ω = 3 t2 - 2t + 4, siendo ω
la velocidad angular en rad/s, y t el tiempo en segundos. Para t = 2 s ha recorrido un ángulo de
12 rad Hallar el ángulo para t = 4 s.
Solución : φ = 64 radianes.
29.-¿ Cada cuánto tiempo coinciden las manecillas de un reloj?
Solución : t = 1,09 h = 1 h 5 min 27 s.
30.- De una ciudad salieron al mismo tiempo dos aviones en sentidos opuestos para dar la vuelta
al mundo. Uno tardó 50 horas y el otro 60 horas. ¿ Cuándo se cruzaron ?
Solución: t = 27,27 h = 27 h 16 min 22 s.
31.- Calcula la aceleración de la Luna, que describe un movimiento circular uniforme alrededor
de la Tierra. La distancia entre la Tierra y la Luna es de 380 000 km, y la Luna tarda 28,3 días en
dar una vuelta completa.
Solución: 2,5 10-3 m/s2
32.- Un punto material describe una circunferencia de 25 cm de radio, aumentando su velocidad
de una forma constante. En un momento dado, su velocidad es de 9 cm/s, y 0.25 s más tarde es
de 10 cm/s. Calculad el módulo, dirección y sentido de la aceleración en el primer instante.
Solución: 5.15 cm/s2; 39º.
46
5. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA:
LEYES DE NEWTON
Enrique Gutiérrez de San Miguel Herrera
5.1. Introducción
La dinámica es la parte de la Física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico
atendiendo a las causas que provocan los cambios en el mismo.
Nos vamos a centrar en la dinámica del punto material. El punto material o partícula es un
modelo simplificado que consiste en considerar un sistema físico, independientemente de su
tamaño, como un punto pero dotado de masa. Esta aproximación puede hacerse cuando las
dimensiones y estructura interna de los sistemas a estudiar no sean relevantes en el problema
que se está tratando de resolver.
5.2. Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula se define como el producto de su
masa por su velocidad:
p = mv
donde m es la masa de la partícula y v es la velocidad respecto a un sistema de referencia
inercial (un sistema que se mueve con v = Cte). La cantidad de movimiento es una magnitud
vectorial (es un vector) que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad de movimiento.
Su dimensión es MLT-1 y su unidad en el Sistema Internacional es kg m s-1.
5.3. Fuerza
Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un cuerpo es el resultado directo
de sus interacciones con otros cuerpos que lo rodean. Se le llama fuerza a cualquier acción o
influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo, es decir, de
imprimirle una aceleración modificando la velocidad ,la dirección o el sentido de su movimiento.
Si sobre una partícula actúa una fuerza neta F, la cantidad de movimiento de la partícula varía:
F=
dp
dt
Esta ecuación se conoce como ecuación fundamental de la dinámica. La fuerza es una vector
que tiene como dirección y sentido los del cambio de la cantidad de movimiento. La unidad en el
Sistema Internacional de fuerza es el newton (N). 1 N = 1 kg m s-2 y su dimensión es MLT-2.
47
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Las interacciones fundamentales de la Naturaleza se reducen a cuatro: Gravedad,
Electromagnetismo, Interacción Nuclear Fuerte e Interacción Nuclear Débil. Las fuerzas son el
resultado de la interacción fundamental de unas partículas con otras. Dicha interacción se
efectúa por medio de campos de fuerza generados por las partículas en función de sus
propiedades. No obstante, cuando los sistemas son complejos, lo que ocurre en el mundo
macroscópico, se emplean fuerzas efectivas que son el resultado de un conjunto complejo de
interacciones. Un ejemplo claro de esto son las llamadas fuerzas de contacto entre objetos.
En este tema nos centraremos únicamente en dos tipos de fuerza:
1º) El peso, que es la fuerza con que la gravedad de la Tierra atrae a una masa y que
expresaremos por:
P = mg
donde g es la aceleración de la gravedad, siendo su módulo g = 9.8 m s-2 y su dirección y
sentido el de la gravedad.
2º) Las fuerzas de contacto. Entre estas destacaremos:
• Normales: fuerzas que las superficies ejercen sobre los cuerpos que se apoyan en ellas.
• Tensiones: fuerzas en los extremos de los hilos o cables inextensibles que, actuando en la
dirección del cable, se oponen a su extensión.
• Fuerzas de rozamiento: fuerzas de fricción que se oponen al deslizamiento de unas
superficies sobre otras. Se define un coeficiente de rozamiento µ, de tal modo que:
f R =µ N
donde N es el módulo de la fuerza normal que la superficie por donde desliza el cuerpo ejerce
sobre éste. La dirección de la fuerza de rozamiento es la de movimiento y su sentido opuesto
al mismo.
5.4. Impulso de una fuerza
El impulso de una fuerza F en un intervalo de tiempo ∆t = tf - ti se define como:
tf
I = ∫ F dt
ti
La dimensión del impulso de una fuerza es la del producto de una fuerza por tiempo, es decir,
MLT-2·T = MLT-1 que como puede comprobarse coincide con la del momento lineal o cantidad de
movimiento, ya que el impulso de la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la
variación de la cantidad de movimiento, I = ∆p .
48
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: LEYES DE NEWTON
El impulso representa el área encerrada por la curva
F(t) como se indica en la figura. Cuando se estudian
los choques, como puede ser el de una pelota con
una raqueta o una pala, el tiempo de colisión es muy
pequeño, del orden de centésimas o milésimas de
segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la
raqueta es de varios cientos o miles de newtons.
Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad u otras
fuerzas que pudieran estar actuando, por lo que se
puede considerar que es la única que actúa durante
la colisión. A veces a estas fuerzas que actúan
durante un intervalo de tiempo muy corto pero que
son muy intensas se las llama fuerzas impulsivas.
5.5. Leyes de Newton
Una partícula libre es aquélla que no está sujeta a ninguna interacción. Esto en realidad no
existe porque cualquier partícula interacciona con las demás partículas del mundo. En la
práctica, existe alguna situación en la que se puede considerar una partícula libre; por ejemplo, si
las partículas están suficientemente retiradas entre sí, si sus interacciones pueden considerarse
despreciables o si la interacción de las demás partículas sobre ella se cancela resultando una
interacción neta nula.
La primera ley de Newton, también conocida como Ley de la Inercia, establece que:
Una partícula libre se mueve con velocidad constante, es decir, sin aceleración.
Esta ley es consecuencia de la ecuación fundamental de la dinámica, también enunciada por
Newton:
Si la fuerza neta que actúa sobre una partícula es cero (partícula libre), su velocidad es
constante
F=0 ⇒
dp
= 0 ⇒ p = mv = Cte ⇒ v = Cte
dt
Como el movimiento es relativo, cuando establecemos la Ley de la Inercia debemos indicar a
qué o a quién está referido el movimiento de la partícula libre. Suponemos que el movimiento de
esta partícula se relaciona con un observador que también puede considerarse una partícula o
sistema libre, es decir, no está sujeto a interacciones. Este observador se conoce como
observador inercial y al sistema de referencia que utiliza se le llama sistema de referencia
inercial.
La segunda ley de Newton, tal como éste la formuló originalmente, es la Ecuación Fundamental
de la Dinámica, sin embargo, en muchas ocasiones se enuncia de otra forma:
Si sobre un objeto actúa una fuerza neta resultante,
el objeto adquiere una aceleración que es proporcional a la fuerza que actúa.
49
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
La constante de proporcionalidad es la masa del objeto, es decir:
F = ma
Esta expresión es más restrictiva porque supone que la masa permanece constante. Se ve que
este enunciado de la segunda ley de Newton también se deduce de la ecuación fundamental de
la dinámica:
dp d (mv )
dv
F=
=
=m
= ma
dt
dt
dt
La tercera ley de Newton también llamada el Principio de Acción-Reacción establece que:
Si un cuerpo A ejerce una fuerza (acción) sobre otro cuerpo B,
éste ejerce una fuerza igual y de sentido contrario (reacción) sobre el cuerpo A.
Es importante hacer notar que las fuerzas de acción y reacción se presentan por parejas (pares
acción-reacción) y que están aplicadas sobre cuerpos diferentes.
A
B
A
FBA
FAB
B
En el dibujo anterior, FBA es la fuerza que el cuerpo B ejerce sobre el A y FAB es la fuerza que el
cuerpo A ejerce sobre el B. Según la tercera ley de Newton:
FAB = – FBA
Si suponemos que FBA es la única fuerza o la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo A,
teniendo en cuenta la ecuación fundamental de la dinámica tendremos:
FBA =
dp A
dt
Del mismo modo, si FAB es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo B tendremos:
FAB =
dp B
dt
A partir de la tercera ley de Newton tenemos:
dp A
dp
d (p A + p B )
=− B ⇒
= F = 0 ⇒ p SISTEMA = p A + p B = Cte
dt
dt
dt
Esto indica que si en el sistema formado por los cuerpos A y B, la fuerza resultante es cero, la
cantidad de movimiento del sistema permanece constante. Esto es lo que se conoce como
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento o del Momento Lineal.
50
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: LEYES DE NEWTON
Para la resolución de problemas aplicando las leyes de Newton se suele seguir un método que
consta de los siguientes pasos:
1. Dibujar un diagrama claro
2. Aislar el objeto (partícula) que nos interesa y dibujar un diagrama que muestre todas
las fuerzas que actúan sobre el objeto. Si existe más de un objeto de interés en el problema,
dibujar un diagrama análogo para cada uno de ellos.
3. Elegir un sistema de coordenadas conveniente para cada cuerpo. En general, si se
conoce la dirección de la aceleración, se elige un eje de coordenadas que sea paralelo a ella.
Descomponer las fuerzas en los sistemas de coordenadas elegidos.
4. Aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de los cuerpos.
5. Resolver las ecuaciones resultantes.
6. Comprobar si los resultados tienen las unidades correctas y parecen razonables.
5.6. Energía cinética
La energía cinética de un cuerpo es una energía asociada al movimiento del mismo. Su
expresión es:
EC =
1
mv 2
2
La energía cinética está relacionada con el trabajo realizado por la fuerza neta ejercida sobre un
cuerpo como se verá en el siguiente tema. De hecho, a veces, se define como el trabajo
necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde su posición de equilibrio hasta una
velocidad determinada. La unidad en el Sistema Internacional de energía es el julio (J).
1 J = 1 kg m2 s-2 y su dimensión es ML2T-2.
5.7. Colisiones
El término choque o colisión se usa para representar, en escala macroscópica, un evento en el
que dos partículas interactúan y permanecen juntas durante un intervalo de tiempo pequeño,
produciendo fuerzas impulsivas entre sí. Cuando dos o mas objetos chocan sin que actúen
fuerzas externas, el momento lineal total del sistema se conserva. Con frecuencia, la fuerza
impulsiva es considerablemente más grande que cualquier otra fuerza externa que actúa durante
la colisión y se puede suponer que la cantidad de movimiento se conserva. Sin embargo, la
energía cinética no se conserva en general, ya que parte de ésta se transforma en energía
térmica y en energía potencial elástica interna de los cuerpos cuando éstos se deforman durante
los choques. De acuerdo con esto, los choques se pueden clasificar en:
a)
Elásticos: Cuando dos o mas objetos chocan sin deformarse y sin producirse un
aumento de temperatura, la colisión se llama choque elástico. En este caso se conserva
tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema.
b)
Inelásticos: Cuando los objetos que chocan se deforman o/y se produce un aumento de
su temperatura, la colisión se llama choque inelástico. En este caso se conserva el
momento lineal del sistema, pero no su energía cinética.
51
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
5.8. Problemas
1. El motor de un camión de 2,5 toneladas genera una fuerza constante de 5000 N durante 15
segundos. Si partió del reposo, ¿qué velocidad alcanza el camión al cabo de ese tiempo? ¿Cuál
sería la respuesta si el camión estuviese sometido a una fuerza de rozamiento dada por un
coeficiente µ = 0,1 que le estuviese frenando?
2. ¿Qué fuerza constante debe generar el motor de un coche de 800 kg para ser capaz de pasar
de 0 a 100 Km h-1 en 10 s? ¿Cuál sería la respuesta si además consideramos una fuerza de
rozamiento dada por µ = 0,3?
3. ¿Qué fuerza por unidad de masa tendría que generar el motor de un vehículo para permitirle
subir con velocidad constante una pendiente del 15 % con rozamiento despreciable?
4. Un plano inclinado de ángulo regulable posee un coeficiente de rozamiento estático (para un
cuerpo en reposo) µ = 0.5 y un coeficiente de rozamiento dinámico (para un cuerpo en
movimiento) µ = 0.3. Se coloca una masa en dicho plano inclinado y se incrementa muy
lentamente el ángulo hasta que el cuerpo empieza a deslizar. ¿Cuál es la aceleración de caída?
5. Si te pesas usando una báscula de baño en el interior de un ascensor y observas que tu peso
aparece incrementado en un 20 %, ¿cuál es la aceleración del ascensor? ¿El ascensor sube o
baja?
6. ¿Cuál es la velocidad máxima a la que puede tomarse una curva de radio de curvatura ρ con
un vehículo para el cual existe un rozamiento con la carretera dado por un coeficiente µ?
Expresa el resultado en función de ρ y µ.
7. En el problema anterior, ¿Cuál sería la velocidad de no existir rozamiento? Si la curva
estuviese peraltada, de tal modo que la carretera se inclina de dentro a afuera con un ángulo α,
¿Cuál sería en este caso la velocidad?
8. Un plano inclinado tiene 2 m de altura y 5 m de largo. Sobre este se encuentra un bloque de
piedra (100 N de peso) detenido por un obstáculo fijo. Halla la fuerza que el bloque ejerce sobre
a) el obstáculo y b) el plano.
9. Una esfera de 50 kg de masa está apoyada en dos planos inclinados lisos (inclinados
respectivamente respecto a la horizontal 30° y 40°). Calcule las fuerzas que los dos planos
ejercen sobre la esfera.
10. Una persona cuya masa es de 60 kg se encuentra en un ascensor. Determina la fuerza que
ejerce el piso del ascensor sobre dicha persona cuando el ascensor: a) sube con movimiento
uniforme, b) baja con movimiento uniforme, c) acelera subiendo a 3 m s-2 y d) acelera bajando a
3 m s-2.
11. Los cuerpos A y B de la figura tienen unas masas de 10 y 15 kg respectivamente. Calcula la
tensión del cable y la aceleración del sistema si se aplica una fuerza F igual a 50 N.
52
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: LEYES DE NEWTON
F
T
A
B
12. Un cuerpo de masa m1 = 1 kg se encuentra en un plano inclinado liso que forma un ángulo
de 30 ° con la horizontal. ¿Qué aceleración tendrá el cuerpo y con qué sentido si se le aplica una
fuerza de 8 N paralelamente al plano y dirigida hacia (a) arriba y (b) abajo?
13. Resuelve el problema anterior considerando que la misma fuerza externa se aplica paralelamente al suelo y dirigida hacia (a) dentro de plano y (b) hacia fuera.
14. Resuelve el problema anterior considerando ahora que el plano inclinado no es liso y existe
un coeficiente de rozamiento con el cuerpo µ = 0.3.
15. Resuelve el problema anterior en el caso de que el coeficiente de rozamiento entre m1 y el
plano sea µ = 0.3.
16. Determina las aceleraciones y las tensiones sabiendo que las masas son m1 = 40 kg y m2 =
30 kg, que las superficies son lisas y sin rozamiento, y que α = 30° y β = 60°.
m1
m2
β
α
17. Calcula la aceleración de los cuerpos y la tensión en las cuerdas en el sistema mostrado en
la figura. El coeficiente de rozamiento de m1 con el plano es µc.
m1
m2
53
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
18. Un coche se detiene en un semáforo. Cuando el semáforo cambia a verde, el coche acelera,
aumentando su velocidad desde 0 a 5,2m s-1 en 0,832 s. ¿Qué impulso lineal y qué fuerza media
experimenta un pasajero del coche de masa igual a 70 kg?
19. En una prueba de choque, un automóvil de masa 1500 kg choca contra una pared rígida. Las
velocidades inicial y final del automóvil son 15 m s-1 hacia la pared y 2,6 m s-1 en sentido
contrario. Si la colisión dura 0,105s, determine el impulso que sufre el coche durante la colisión y
la fuerza media ejercida sobre el automóvil.
20. Un cuerpo de 80 kg se mueve a la velocidad constante de 10 m s-1. Si una fuerza constante y
opuesta al movimiento actúa durante 4 s cambiando su velocidad hasta que ésta adquiere un
valor de 2 m s-1 en sentido contrarío, calcula: a) el impulso que actúa sobre el cuerpo; b) el valor
de la fuerza en magnitud y sentido; c) el momento lineal del cuerpo antes y después de actuar la
fuerza.
21. Se deja caer una bola desde una altura ho. El coeficiente de restitución de la bola en su
choque contra el suelo es e. Calcule la altura alcanzada por la bola tras el n-ésimo choque.
22. De acuerdo con las normas oficiales del tenis, una pelota aceptable para un torneo debe
rebotar hasta una altura comprendida entre 173 y 183 cm cuando se deja caer libremente desde
una altura de 254 cm a temperatura ambiente. ¿Cuál es el intervalo aceptable de valores del
coeficiente de restitución para el sistema pelota-suelo?
23. Un coche de 1500 kg de masa, que viaja hacia el este con una velocidad de 25 m s-1, choca
en un cruce con una furgoneta de 2500 kg que viaja hacia el norte con una velocidad de 20 m/s.
Determine la dirección y el módulo de la velocidad de ambos vehículos después de la colisión,
suponiendo que ésta es completamente inelástica.
24. Un hombre de 80 kg y su hijo de 40 kg están parados juntos y de pie sobre una superficie de
hielo lisa, en la cual es despreciable el rozamiento. Si después de que se empujen el uno al otro
el padre se aleja con una velocidad de 0,5 m s-1 respecto al suelo, ¿a qué distancia estarán entre
sí después de 5 s?
25. Un cuerpo de masa m1 se mueve con velocidad v1 en línea recta hacia otro de masa m2 que
se encuentra inicialmente en reposo. Determine la relación que debe existir entre m1 y m2 para
que: a) el primer cuerpo retroceda tras la colisión; b) el primer cuerpo siga avanzando en el
mismo sentido tras la colisión. Considere en todos los casos que la colisión es perfectamente
elástica.
26. Dos cuerpos de masas m1 y m2 se mueven en la misma dirección y sentidos opuestos uno
hacia el otro con la misma velocidad v. Determine la relación que debe existir entre sus masas
para que: a) el primero retroceda tras la colisión; b) el primero siga avanzando en el mismo
sentido tras la colisión.
27. Una bola de billar, que se mueve a 5 m s-1, golpea a una bola inmóvil de la misma masa.
Después de la colisión, la primera bola se mueve a una velocidad de 4,33 m s-1 con un ángulo de
30° con respecto a la línea de movimiento original. Suponiendo una colisión perfectamente
elástica e ignorando el movimiento de rotación, calcule la velocidad de la bola golpeada tras el
choque.
54
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: LEYES DE NEWTON
28. En una zona de una autovía se encuentran, en un instante determinado, cinco automóviles
de masas m1 = 800 kg, m2 = 1200 kg, m3 = 900 kg, y m4 = 1000 kg. Los dos primeros circulan en
un sentido con velocidades respectivas v1 = 90 km h-1 y v2 = 85 km h-1. Los otros dos van en
sentido opuesto con velocidades v3 = 120 km h-1 y v4 = 70 km h-1. Calcule la velocidad del centro
de masas del sistema formado por los cuatro automóviles. ¿Qué velocidad debería llevar, y en
qué sentido, un quinto automóvil de masa 900 kg para que el centro de masas del sistema
formado por los cinco estuviese en reposo?
29. Una chica de 45 kg se encuentra de pie sobre un tablón que tiene una masa de 150 kg. El
tablón se encuentra inicialmente en reposo y puede deslizarse libremente sobre la superficie
plana de un lago helado (se puede suponer que no existe rozamiento entre el tablón y la
superficie helada). La chica comienza a caminar a lo largo del tablón a una velocidad constante
de 1,5m s-1 respecto al tablón. Determine la velocidad de la chica y la del tablón respecto a la
superficie helada.
30. Un bloque de masa m1 = l,6 kg, que se mueve inicialmente hacia la derecha con una
velocidad de 4m s-1 sobre una pista horizontal sin rozamiento, colisiona con un muelle de masa
despreciable unido a un segundo bloque de masa m2=2,1 kg, que se mueve hacia la izquierda
con una velocidad de 2,5 m s-1. Ambos bloques se dirigen uno hacia el otro. El muelle tiene una
constante elástica de recuperación de 600 N m-1. Determine la velocidad de m2 en el instante en
que m1 se mueve hacia la derecha con una velocidad de 3 m s-1, así como la distancia máxima
que se comprimirá el muelle durante la colisión.
55
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
56
6. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA:
TRABAJO Y ENERGÍA
Ismael Martel Bravo
El trabajo y la energía son conceptos que se manejan de forma intuitiva en nuestra vida
cotidiana. Desde un punto de vista físico, el concepto de trabajo mecánico esta asociado al
desplazamiento o transformaciones geométricas que experimenta un sistema mecánico por la
acción de una fuerza. El trabajo y la energía están íntimamente relacionados: la energía se
asocia a la capacidad que tienen los sistemas de realizar trabajo sobre sí mismos o sobre otros
sistemas. La energía de un sistema puede residir en la propia configuración geométrica del
sistema, en cuyo caso se asocia al concepto de energía potencial. Otras formas de energía se
asocian al propio movimiento o velocidad de un sistema mecánico, y en este caso se emplea el
concepto de energía cinética. En general, los sistemas mecánicos poseen energía cinética y
potencial, existiendo un transvase entre formas de energía que se regula mediante los teoremas
de conservación/variación de la energía mecánica. A continuación se introducen formalmente
estos conceptos físicos y su interconexión.
6.1. Trabajo
En la Figura 1 se muestra una partícula que se desplaza entre los puntos A y B sobre una
trayectoria Γ, bajo la acción de una fuerza F. Se denomina trabajo infinitesimal dW, al producto
escalar de la fuerza F y el desplazamiento infinitesimal dr.
Figura 1
Γ
dW = F ⋅ dr = F ds cosθ = Ft ds
En la ecuación anterior, Ft es la componente tangencial de la fuerza en la dirección del
movimiento.
El trabajo es una magnitud escalar, y la unidad en el sistema internacional de medidas es el
Julio (N m).
57
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Para evaluar el trabajo total realizado por la fuerza F en un desplazamiento finito, entre los
puntos A y B, y a lo largo de la trayectoria Γ, debemos evaluar la integral (ver Figura 1):
En general el trabajo realizado sobre una partícula
depende de la fuerza que lo realiza en cada punto de la
trayectoria Ft(s), de la posición inicial y final, y de la
propia trayectoria Γ seguida por la partícula.
s
Figura 2
Geométricamente, el trabajo puede interpretarse como el área de la superficie formada por la
curva Ft(s) y el eje horizontal s (la longitud de arco recorrida sobre la trayectoria) tal y como se
muestra en la Figura 2.
Cuando la fuerza F(s) es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la
fuerza a lo largo de la trayectoria, por el desplazamiento s.
W = ∫Ft (s)ds = Ft s
Ejemplo:
Consideremos un objeto que se desplaza 7 m sobre un eje horizontal, bajo la acción de una
fuerza constante F = 12 N. Obtengamos el trabajo realizado por la fuerza si el ángulo relativo
entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Figura 3
58
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: TRABAJO Y ENERGÍA
Nótese que el trabajo puede ser nulo, positivo o negativo, según la orientación relativa entre la
fuerza y la dirección del movimiento.
•
•
•
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
6.2. Potencia
La potencia nos indica el trabajo que realiza un sistema por unidad de tiempo. Se define potencia
instantánea al trabajo realizado por unidad de tiempo, en cada instante de tiempo:
P = dW/dt
A partir de la definición de potencia instantánea podemos derivar una expresión equivalente en
función de la velocidad del sistema:
P = dW/dt = dF⋅ dr/dt = F⋅ v = Ft v
Este resultado indica que la potencia instantánea desarrollada por un sistema mecánico puede
obtenerse del producto escalar de la componente tangencial de la fuerza Ft y la velocidad. La
potencia media se obtiene de integrar la ecuación anterior a lo largo de la trayectoria del sistema,
es decir:
Pm = W/∆t
La potencia es una magnitud física escalar. La unidad de potencia en el S.I. se denomina vatio
(J s) y se representa por la letra W. Otras unidades utilizadas, que no pertenecen al S.I., son el
caballo de vapor (CV = 735 W) y el caballo de vapor inglés (HP = 746 W).
El trabajo neto realizado por un sistema puede obtenerse de la potencia media a partir de la
ecuación anterior:
W = Pm ∆t
Para medir el consumo energético (eléctrico) en los hogares se emplea como unidad el kilowatiohora (kWh), que es una unidad de ENERGÍA.
6.3. Teorema del trabajo y de la energía cinética
Sea F la fuerza total aplicada a una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria C entre
las posiciones A y B (Figura 1). El trabajo realizado por las fuerzas puede obtenerse de la
integral:
B
B
A
A
B
B
B
dv
⋅ dr = m ∫ v ⋅ dv = m ∫ vdv
dt
A
A
A
W = ∫ F ⋅ dr = m ∫ a ⋅ dr = m ∫
59
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
Finalmente se tiene,
W =
1
1
2
2
mv B − mv A = ECB − ECA
2
2
Dónde hemos definido la energía cinética Ec, de la forma:
Ec =
1 2
mv
2
Este resultado se conoce como TEOREMA del TRABAJO – ENERGÍA CINÉTICA.
El teorema del trabajo-energía cinética indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que
actúa sobre una partícula puede evaluarse a partir de la variación de su energía cinética.
Recíprocamente, la variación en la velocidad de un sistema puede obtenerse a partir del trabajo
realizado por la fuerza total que actúa sobre el sistema. Este resultado es independientemente
de la trayectoria seguida por el sistema, o de la naturaleza (eléctrica, gravitatoria, fricción,
elástica, etc) de las fuerzas que actúan sobre el mismo.
Ejemplo:
Una bala de 15g de masa y con velocidad inicial de 450 m/s atraviesa una tabla de 7 cm de
espesor. Suponer que tabla opone una resistencia constante de F=1800 N. Determinar la
velocidad con la que emerge la bala.
Solución:
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es:
Figura 4
6.4. Fuerzas conservativas y energía potencial
Existe un tipo especial de fuerzas para las que el trabajo realizado al desplazar el sistema desde
A hasta B es independiente de la trayectoria seguida. Las fuerzas que presentan esta
característica se denominan fuerzas conservativas. Podemos citar dos propiedades
especialmente relevantes de este tipo de fuerzas:
1) El trabajo realizado puede expresarse como la diferencia entre el valor inicial y final de una
función que sólo depende de las coordenadas espaciales. Dicha función se denomina energía
potencial Ep:
60
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: TRABAJO Y ENERGÍA
es decir:
W = E pA − E pB = −∆E p
Nótese el signo NEGATIVO delante del incremento de la energía potencial.
2) El trabajo realizado al recorrer una trayectoria cerrada en nulo.
Fuerzas conservativas: gravitatoria, electrostática, fuerza elástica (Ley de Hooke)... Las fuerzas
de rozamiento o fricción no son conservativas.
Ejemplo de fuerza conservativa: fuerza elástica (Ley de Hooke)
En la figura se tiene un sistema formado por un muelle (azul) y una partícula (en rojo) cuya
posición de reposo (F=0) corresponde a x=0. Para deformar el sistema llevamos la partícula a
una posición x arbitraria. Si la fuerza que ejerce el muelle sobre la partícula es proporcional a la
deformación x, y de signo contraria a ésta, la fuerza se denomina elástica. Para un sistema
monodimensional (ver Figura 5) podemos escribir:
F=-kxi
Este resultado se conoce como Ley de Hooke, y puede emplearse para describir aceptablemente
un gran número de sistemas mecánicos elásticos.
La fuerza F tiende en todo momento a llevar el sistema a la posición inicial x=0, en la que F=0 :
Para x>0, F=-k|x|
Para x<0, F=k|x|
El trabajo realizado por esta fuerza sobre la partícula, cuando esta se
desplaza entre los puntos xA y xB puede obtenerse fácilmente:
61
Figura 5
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F es la función
primitiva Ep(x):
La contante c aparece de forma natural en el proceso de integración. Nótese que la magnitud
física relevante es el trabajo, que depende de la diferencia entre energías potenciales, y por lo
tanto no depende de c. No obstante, podemos asignar un valor a esta constante si definimos un
nivel cero de energía potencial. En el caso de fuerzas elásticas, podemos establecer el siguiente
criterio: cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial es cero, es decir
Ep(x=0)=0. De este modo, la constante aditiva se anula c=0, y se tiene:
En el caso de la fuerza gravitatoria, para una partícula de masa m en la proximidad de la
superficie terrestre se tiene:
F = mg
siendo g es la aceleración gravitatoria. En este caso la función energía potencial toma la forma
familiar:
Ep(z)= mgz + c
en la que la coordenada z (positiva) representa la altura sobre la superficie terrestre. La
constante c se suele ajustar eligiendo como potencial cero la superficie, Ep(0)=0, y de este modo
se tiene c=0. Por tanto,
Ep(z) = mgz
Ejemplo de fuerza no conservativa: la fuerza de rozamiento
Consideremos un bloque que se
desplaza una distancia x desde el punto
inicial A al punto final B, con la acción de
una fuerza de rozamiento Fr. Como la
fuerza de rozamiento tiene sentido
opuesto al movimiento, el trabajo será
negativo y se tiene:
WAB = -Fr x
Figura 6
62
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: TRABAJO Y ENERGÍA
En el caso de que B hacia A, el trabajo es nuevamente negativo por que la fuerza es de signo
contrario al desplazamiento
WBA = -Fr x
Por tanto, el trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero.
WABA = -2Fr x
6.5. Conservación de la energía mecánica
Consideremos una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas Fc, y fuerzas no
conservativas Fnc. La fuerza total resultante será:
Ft = Fnc + Fc
El trabajo realizado por la fuerza neta Ft puede escribirse como:
B
B
B
B
A
A
A
A
W = ∫ Ft ⋅ dr = m ∫ ( Fc + Fnc ) ⋅ dr = ∫ Fc ⋅ dr + ∫ Fnc ⋅ dr = Wc + Wnc
En la que hemos separado las contribuciones de las fuerzas conservativas y no conservativas
del trabajo total W. Del Teorema del Trabajo – Energía Cinética, tenemos que :
B
W = ∫ Ft ⋅ dr = E CB − E CA
A
y para el trabajo conservativo,
B
WC = ∫ Fc ⋅ dr = −( E pB − E pA )
A
Combinando las ecuaciones anteriores se tiene:
ECB − ECA = E pA − E pB + Wnc
A la vista de este resultado, podemos definir una magnitud física denominada Energía
Mecánica, como Em = Ec + Ep, con lo que podemos escribir:
E mB − E mA = Wnc
Este resultado indica que la variación de la energía mecánica es igual al trabajo realizado
por las fuerzas no conservativas. Si en nuestro sistema mecánico solamente actúan fuerzas
conservativas, entonces Wnc=0 y se tiene que:
63
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
E mB = E mA
es decir, la energía mecánica se conserva. Este resultado se conoce como Principio de
Conservación de la Energía Mecánica.
Ejemplo:
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular:
1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo.
2. La energía cinética, potencial y la energía mecánica en dichas posiciones.
Tomar g = 10 m/s2.
Solución:
•
Posición inicial x=3 m, v=0.
Ep = 2·10·3 = 60 J, Ek = 0, EA = Ek + Ep = 60 J
•
Cuando x = 1 m
Ep = 2·10·1 = 20 J, Ek = 40, EB = Ek + Ep = 60 J
•
Cuando x=0 m
Figura 7
Ep = 2·10·0 = 0 J, Ek = 60, EC = Ek + Ep = 60 J
La energía mecánica del cuerpo es constante, ya que la fuerza de la gravedad es conservativa.
Por tanto, cuando la energía potencial disminuye, la energía cinética aumenta, y recíprocamente.
6.6. Problemas propuestos
1. Una persona arrastra un objeto tirando de una cuerda con una fuerza F= 50,0 N. La cuerda
tiene masa despreciable y forma un ángulo de θ=30,0º con la horizontal. El sujeto consigue
arrastrar el cuerpo una distancia d =3m. Calcular el trabajo realizado or la fuerza F sobre el
objeto.
64
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: TRABAJO Y ENERGÍA
2. Un camión de masa m=3000 kg se carga en un buque empleando una grúa vertical. La grúa
levanta el camión una altura d=2m ejerciendo un fuerza ascendente de 31 kN. Determinar: (a) el
trabajo realizado por la grúa sobre el camión; (b) el trabajo realizado por la gravedad sobre el
camión, (c) la velocidad del camión tras haber subido d= 2m.
3. En un tubo de televisión de acelera un electrón desde el reposo hasta una energía cinética de
2,5 keV a lo largo de una distancia d=80cm. Determinar el módulo de la fuerza que actúa sobre
el electrón suponiendo que es constante y sigue la dirección del movimiento.
4. El extremo de un muelle horizontal (k= 80N/m) se estira lentamente desde Xa=0 a Xb= 4,0 cm.
Determinar el trabajo realizado por la fuerza externa sobre el muelle.
5. Un motor eléctrico es capaz de elevar una carga de ladrillos de masa m= 800kg a una altura
de 10m en 20 s. Determinar la potencia mínima que debe desarrollar el motor.
6. Un bloque de m1= 6kg descansa sobre una superficie horizontal con un coeficiente de
rozamiento cinético 0.2 y, mediante una cuerda ligera e inextensible, se encuentra unido a otro
de masa m2= 4kg que pende sobre el vacío. El bloque m2 comprime un muelle de constante
elástica k=180N/m una distancia de 30cm. Determinar la velocidad de los bloques cuando el
muelle se libera y el boque de m2 ha descendido 40cm.
6.7. Bibliografía
1. “Física, vol 1 y 2”. M. Alonso y E.J. Finn. Fondo Educativo Interamericano, S.A.
2. “Física, vol 1. y 2” P. A. Tipler. Ed. Reverté, S.A.
3. “Física con ordenador”, Ángel Franco García. Universidad del País Vasco, Proyecto
parcialmente financiado por la CICYT (Ministerio de Educación y Cultura) en 1998. Referencia
DOC96-2537.
65
CURSO DE NIVELACIÓN: FÍSICA
66
CURSO DE NIVELACIÓN
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA