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Curso 2009/10
PRIMERO DE B.I.
HOJA 1. PROGRESIONES
1.- Decir si forman progresiones aritméticas las siguientes colecciones de números,
hallando en caso afirmativo el valor de la diferencia y el término general:
a) -11,-8,-5,-2,1,4,...
b) 2,4,8,16,...
c) 1/2,5/6,7/6,3/2,11/6,...
d) 3,0, -3,0, -3, -6,. ..
Sol: si, d=3, an=3n-14
Sol: no
Sol: si, d=1/3, an=n/3+1/6
Sol: no
2.- En las siguientes progresiones aritméticas se dan algunos datos y se pide calcular
algún elemento:
a) a1 =9, a20 = -67; calcular d.
Sol: d=-4
b) a6=-7,a10 = -19: calcular a1 y d.
Sol: a1=8, d=-3
c) a1 = 1/2, d=3/2, an =55/2; calcular n.
Sol: n=19
d) a1 =4, a21 =12; calcular d, a16 , S31.
Sol: d=2/5, a16=10, S31=310
3.- Hallar la suma de:
a) Los 100 primeros múltiplos de 5.
b) Todos los números pares de dos cifras.
c) Los 20 primeros múltiplos de 4 mayores de 98.
Sol: S100=25250
Sol: S=2430
Sol: S20=2760
4.- La suma de cierto número de términos consecutivos de una progresión aritmética es
210 y su término central es 14. Halla el número de términos que se han sumado.
Sol: n=15
5.- Interpolar cuatro medios diferenciales entre 3 y 28 y ocho medios diferenciales entre
3 y 18.
Sol: 3, 8, 13, 18, 23, 28.
3, 14/3, 19/3, 8, 29/3, 34/3, 13, 44/3, 49/3, 18.
6.- Halla las siguientes sumas:
a) De los 1000 primeros números naturales.
b) De los 1000 primeros números pares.
c) De los 1000 primeros números impares.
Sol: S1000=500 500
Sol: S1000=1 001 000
Sol: S1000=1 000 000
7.- Decir si forman progresiones geométricas las siguientes colecciones de números,
hallando en caso afirmativo la razón y el término general:
a) 4 , 4 2 , 8 , 8 2 , 16, 16 2 , ...
Sol: si, r = 2 , an= 2 3 n
8
b) , 24, 76, 140 ,...
Sol: no
3
c) 1- 2 , -1, -1- 2 , -3 -2 2 , -7- 5 2 , ...
Sol: si, r =1+ 2 , an=-(1+ 2 )n-2
1 1
1 1
1
d)  , ,  ,
,  ,...
8 16
32
2 4
 1
Sol: si, r =-1/2, an=   
 2
n
8.- En los siguientes ejercicios se dan algunos datos de progresiones geométricas y se
pide calcular algunos elementos:
a) a1=8, a3=2; calcular a5.
b) a5=162, a1=2; calcular a3 y r.
5
5
c) a4 = 3 , a7 = 6 ; calcular a10, P10.
10
10
Sol: a5=1/2
Sol: a3=18, r =  3
Sol: a10=5/109 , P10=2-45.5-35
9.- Interpolar 7 medios proporcionales entre 5 y 1280 y 4 medios proporcionales entre
9/4 y 9/16.
Sol: r =  2, r =1/ 5 4
10.- La suma de tres términos consecutivos de una progresión geométrica es 525 y su
producto es 1 000 000. Hallarlos.
Sol: 400, 100, 25
11.- En una progresión geométrica, los términos quinto y segundo son 160 y 20,
respectivamente. Halla la razón y los siete primeros términos.
Sol: r =2, a1=10
12.- ¿Cuántos números impares consecutivos a partir de 1 es preciso tomar para que su
suma sea igual a 7744?
Sol: n=88
13.- Halla la suma de todos los números impares de tres cifras.
Sol: S=275000
14.- Halla x para que x-1, x+1, 2(x+1) estén en progresión geométrica.
Sol: x=3
15.- El producto de los seis primeros términos de una progresión geométrica es igual al
término vigésimo primero, y el término primero es x. Calcula la razón y el término
sexto.
Sol: r = x , a6= x 6
16.- La suma de los diez primeros términos de una progresión geométrica es igual a 244
veces la suma de los cinco primeros términos, y la suma del cuarto y del sexto términos
es 135. Halla el primer término y la razón.
Sol: a1=1/2, r =3
b2 1 b2  1 b2  3
17.- Dada la sucesión
,
,
,...donde b es un número natural:
b
b
b
a) Estudia si se trata de una progresión aritmética ó geométrica. Sol: aritmética
b) Calcula la razón y el término n-ésimo.
Sol: d=2/b, an=(b2+2n-3)/b
c) Halla la suma de los n primeros términos.
Sol: Sn=n(2b2+2n-4)/2b
18.- Un móvil tiene una velocidad inicial de 1000 m/s. Cada segundo, y de forma
uniforme, disminuye la velocidad en 15 m/s. ¿Cuál será la velocidad al cabo de los 10 s,
20 s, 30 s?
Sol: 850, 700, 550 m/s
x2 x4 x6
,
,
, ...
x
x
x
a) Estudia si se trata de una progresión aritmética o geométrica. Sol: aritmética
b) Calcula el término vigésimo.
Sol: a20=(x-38)/x
19.- Dada la sucesión: 1,
c) Halla la suma de los 15 primeros términos.
Sol: S15=15(x-14)/x
20.- En una plantación hay 51 filas de árboles. Cada fila tiene dos árboles más que la
anterior. La fila 26 tiene 57 árboles. Se desea saber el número de árboles que hay en la
primera fila, en la última y el número total de árboles.
Sol: a1=7, a51=107, S=2907
21.- El reloj de la iglesia del pueblo de María da los cuartos de hora con una
campanada, las medias horas con dos campanadas, y los tres cuartos con tres. Además
da las horas con igual número de campanadas que la hora que es. ¿ Cuántas campanadas
dará en total durante las 24 horas del día?
Sol: 300
22.- Un buen coche costó inicialmente 6 000 000 de pesetas. Al cabo de tres años se
vendió a la mitad de precio; pasados otros tres años se volvió a vender a la mitad del
último precio, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó el coche al sexto propietario? ¿Qué
cantidad se pagó en total por los seis propietarios?
Sol: 187 500, 11 812 500
23.- Estudia si a, a/2, a/4,... forman una progresión aritmética ó geométrica, siendo a un
número natural.
Sol: geométrica
24.- Calcula los cuatro términos de una progresión geométrica sabiendo que el segundo
sobrepasa al primero en 4, que el cuarto sobrepasa al tercero en 36, y que la suma de los
cuadrados de los cuatro términos es 3280.
Sol: 2, 6, 18, 54
25.- Dos términos consecutivos de una progresión geométrica valen 6 y 8,
respectivamente. Calcula el lugar que ocupan si el primer término de la progresión es
81/32.
Sol: 4º y 5º
26.- Interpola cinco términos entre 7 y 5103 de modo que formen una progresión
geométrica.
Sol: r=3
27.- Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión geométrica
sabiendo que el término central vale 2.
Sol: P11=2048
28.- Determinar cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos
primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,125.
Sol: 1/3, 1/6, 1/12, 1/24 ó 1, -1/2, 1/4, -1/8
29.- Dada la progresión geométrica 4/3, 2/3, 1/3,...¿cuánto vale la razón? Calcula la
suma de los infinitos términos de la progresión.
Sol: r =1/2, S=8/3
30.- ¿Cuántos términos se han tomado de una progresión geométrica, sabiendo que el
primer término es 7, el último 448 y su suma 889?
Sol: n=7
31.- La suma de los 7 primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es
7651. Halla el primero y séptimo términos.
Sol: a1=7, a7=5103
32.- Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509, sabiendo
que el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos.
Sol: 23, 69, 207 ó –207, 69, -23
33.- Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor
que el primero, y el tercero 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números.
Sol: 16, 48, 144
34.- Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que el
segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425.
Sol: 5, 20, 80, 320
35.- Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión geométrica
y que el mayor es 27 veces el menor.
Sol: 9, 27, 81, 243
36.- La suma de tres números en progresión geométrica es 248 y la diferencia entre los
extremos es 192. Halla dichos números.
Sol: 8, 40, 200 ó 392/3, -616/3, 968/3
37.- Se tiene una cuba de vino que contiene 1024 litros. El 1 de octubre se vació la
mitad del contenido; al día siguiente se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así
sucesivamente todos los días. ¿Qué cantidad de vino se sacó el día l0 de octubre?
Sol:1 litro
38.- A una cuerda de 700 metros de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de
los trozos extremos tiene una longitud de 100 metros. Sabiendo que las longitudes de
los trozos están en progresión geométrica, determina la longitud de cada trozo.
Sol: 100, 200, 400
39.- Una progresión geométrica tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte
del primer término y la suma de los dos primeros es 24. Halla los cinco términos.
Sol: 8, 16, 32, 64, 128 ó -12, 36, -108, 324, -972
40.- En una progresión geométrica, los términos primero y decimoquinto son 6 y 54,
respectivamente. Halla el término sexto.
Sol: a6=6  7 35
41.- Halla cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los dos
primeros es 28, y la suma de los dos últimos 175.
Sol: 8, 20, 50, 125 ó -56/3, 140/3, -350/3, 875/3
42.- La suma de tres números en progresión geométrica es 70. Si el primero se
multiplica por 4, el segundo por 5 y el tercero por 4, los números resultantes están en
progresión aritmética. Calcula dichos números.
Sol: 10, 20 y 40