Download EJEMPLO 1: Un capacitor relleno de papel EJEMPLO 2: La

EJEMPLO 1: Un capacitor relleno de papel
Las placas de un capacitor de placas paralelas miden 2 cm. * 3cm. y están separadas por un
papel de espesor de 1.0 mm a) Determine la capacitancia de este dispositivo.
Solución Puesto que k = 3.7 para el papel, obtenemos
C = kA / d = 3.7(8.85 * 10^-12 C²/N m²) (6 * 10^-4 m² / 1 * 10^-3m)
= 20 * 10^-12 F = 20pF
b) ¿Cuál es la carga máxima que puede tener el capacitor?
Solución A partir de la tabla vemos que la resistencia dieléctrica del papel es 16 * 10^6
V/m. Puesto que el espesor del papel es 1.0 mm, el máximo voltaje que puede aplicarse
antes de la ruptura dieléctrica es
Vmáx = Emáx d = (16 * 10^6 V/m)(1 * 10^-3 m) = 16 * 10^3 V
Por lo tanto, la carga máxima es
Qmáx = CVmáx = (20 * 10^-12 F )(16 * 10^3 V) = 32 C
Ejercicio ¿Cuál es la máxima energía que puede almacenarse en el capacitor?
Respuesta 2.5 * 10^-3 J
EJEMPLO 2: La molécula de agua (H2O)
La molécula de agua tiene un momento dipolar de 6.3  10^-30 C m. Una muestra contiene
10^21 moléculas de este tipo, cuyos momentos de dipolo están orientados es su totalidad en
la dirección de un campo eléctrico de 2.5 10^5 N/C. ¿Cuánto trabajo se requiere para girar
los dipolos a partir de esta orientación ( hasta una en la cual todos los momentos
son perpendiculares al campo (?
Solución El trabajo necesario para girar una molécula en  es igual a la diferencia de
energía potencial entre la orientación de 90 y la orientación de 0. Con la ecuación se
obtiene
W = U90 - Uo = (- pEcos 90) - (- pEcos 0) = pE= (6.3  10^-30 C m)(2.5 10^5 N/C)
= 1.6  10^-24 J
Puesto que hay 10^21 moléculas en la muestra, el trabajo total requerido es
Wtotal = (10^21)(1.6  10^-24 J) = 1.6  10^-3 J
EJEMPLO 3: El capacitor cilíndrico
Un conductor cilíndrico de radio a y carga Q es coaxial con un cascarón cilíndrico más
grande de radio by carga -Q. Encuentre la capacitancia de este capacitor cilíndrico si su
longitud es l.
Razonamiento y solución Si suponemos que les grande comparada con ay b, podemos
ignorar los efectos de borde. En este caso, el campo es perpendicular a los ejes cilíndricos y
está confinado a la región entre ellos.
Debemos calcular primero la diferencia de potencial entre los dos cilindros, la cual está
dada en general por
Vb - Va = -  Eds
donde E es el campo eléctrico en la región a > r > b . Anteriormente se demostró, utilizando
la ley de Gauss, en el campo eléctrico de un cilindro de carga por unidad de longitud  es E
= 2ke /r. El mismo resultado se aplica aquí debido a que el cilindro exterior no contribuye
al campo eléctrico dentro de él. Como resultado y notando que E está a lo largo de r
encontramos que
Vb - Va = -  Edr= - 2ke   dr / r = - 2ke  ln(b/a)
al substituir esto en la siguiente ecuación y utilizando el hecho de que  = Q/l, obtenemos
C = Q/V = Q /[ (2keQ/l ) ln(b/a)] = l/ 2ke ln(b/a)
donde V es la magnitud de la diferencia de potencial, dada por 2ke  ln(b/a), una cantidad
positiva. Es decir, V = Va - Vb es positiva debido a que el cilindro interior está a un
potencial mayor. Nuestro resultado para C tiene sentido debido a que muestra que la
capacitancia es proporcional a la longitud de los cilindros. Como podría esperarse, la
capacitancia depende también de los radios de los cilindros conductores. Un cable coaxial,
por ejemplo, se compone de dos conductores cilíndricos concéntricos de radios a y b
separados por un aislador. El cable conduce corrientes en direcciones opuestas en los
conductores interior y exterior. Dicha geometría es en especial útil para proteger una señal
eléctrica de influencias externas. De acuerdo con la ecuación vemos que la capacitancia por
unidad de longitud de un cable coaxial es
C / l= l/ 2ke  ln(b/a)
EJEMPLO 4: El capacitor esférico
Un capacitor esférico consta de un cascarón conductor esférico de radio b y carga -Q
concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga Q. Encuentre su
capacitancia.
Razonamiento y solución El campo fuera de una distribución de carga simétrica
esféricamente es radial y está dado por keQ /r² .En este caso, corresponde al campo entre
las esferas (a > r > b). (El campo es cero en cualquier otro lado). De la ley de Gauss vemos
que sólo la esfera interior contribuye a este campo. De este modo, la diferencia de potencial
entre las esferas está dada por
Vb - Va = -  Er dr = - keQdr/ r² = keQ[1/r] = keQ[1/b - 1/a]
La magnitud de la diferencia de potencial es
V = Va - Vb = kQ (b - a) / ab
Substituyendo esto en la ecuación obtenemos
C = Q / V = ab / ke( b - a)
Ejercicio Demuestre que conforme el radio b de la esfera exterior se acerca al infinito, la
capacitancia tiende al valor a / ke = 4oa. Esto es consistente con la ecuación anterior.