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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS QUÍMICAS Y NATURALES UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Jorge A. Maidana - Norah S. Giacosa Silvia R. Beck - Walter von der Heyde DEPARTAMENTO DE FISICA Cátedras: Física General - Física II DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) CAMPOS ELECTROMAGNETICOS ESTATICOS Flujo de un Campo Vectorial El flujo de un campo vectorial se define de manera análoga al flujo de masa. El flujo de masa a través de una superficie S es la cantidad de masa que atraviesa la superficie por unidad de tiempo, y un campo vectorial V representado por líneas imaginarias denominadas líneas de campo, puede calcularse como el número de líneas de campo que atraviesan una superficie. Flujo de un campo vectorial a través de una superficie S. Movimiento de partículas a través de una sección transversal S. S v uN uN S uN V uN θ S S θ V S V uN V Observar que en el caso del campo vectorial, no hay nada material que pase a través de la superficie y que el número de líneas de campo que la atraviesan depende de su orientación con respecto a la misma debiendo el flujo tener en cuenta este hecho. Si una superficie diferencial puede ser representada mediante un vector u N dS de dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura, el flujo es una magnitud escalar que se define mediante el producto escalar: V cos dS V . uN dS S S DEPARTAMENTO DE FISICA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS ESTATICOS FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Flujo de un Campo Vectorial Flujo de un campo vectorial a través de una superficie arbitraria uN V1dS1 cos 1 V2dS2 cos 2 ........ V cos dS V . uN dS V 1u1 dS1 V2u2 dS2 ........ S S V cos dS V . uN dS Flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada S S dS S uN θ v vt Flujo de partículas a través de una superficie V Flujo a través de una superficie arbitraria Flujo de partículas cargadas moviéndose a través de una superficie S dS θ nv. uN dS S Si fueran partículas c arg adas : nqv. uN dS j . uN S S I j. S cos DEPARTAMENTO DE FISICA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS ESTATICOS FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Ley de Gauss para el campo E Universidad Nacional de Misiones (UNaM) E E ur S r dS S 40 S q 4r q 40r 2 0 S2 S3 q 0 q cos dS 40 S r2 40 q uN 4 q 0 S1 2 Flujo eléctrico de una carga puntual a través de una superficie cerrada arbitraria E .dS cos d S Flujo eléctrico de una carga puntual a través de una esfera 40r E.dS cos pero 0 S q u r 2 E .dS E dS E .S q q El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a q/ε0 dΩ q q’ uN2 r E dS E2 uN1 E1 DEPARTAMENTO DE FISICA Ley de Gauss FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Aplicaciones Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Campo eléctrico creado por una distribución esférica de carga. Campo de un cuerpo cargado en su superficie A E E S B r Q E .dS E dS E .S r C a S q 40r 4r q 2 2 Q r a E ra E 0 40r 2 0 Campo de un cuerpo cargado en todo su volumen S La superficie total gausiana es = a la lateral (2πrL) ya que por las bases el flujo es = 0 Q Q' 40r 3 / 3 3 40 a / 3 Qr 3 Q' a3 Si λ = q/L (carga /longitud) E S’ 0 Q 2rL 0 2r 0 Qr 40 a 2 a Campo eléctrico creado por un cuerpo cilíndrico cargado 2rLE q E r S L E Q E DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Comportamiento de Materiales Dieléctricos frente a un Campo Eléctrico En los materiales dieléctricos (aislantes) los electrones no son libres y al aplicar un campo eléctrico el material se polariza dando lugar a que los dipolos se reorienten en la dirección del campo. -+- + - +-+ + - - - - - - + - - - - - - - + + - - - - - - - - + + DEPARTAMENTO DE FISICA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) - - - + S A diferencia de lo que ocurre en con los conductores, en los materiales aislantes (dieléctrico ) los electrones no son libres y al aplicar un campo eléctrico éste se polariza dando lugar a que los dipolos se reorienten en la dirección del campo. La polarización P será: N P + + + Polarización de la materia + P = np P = χeε0E - E - k l P + + S + + + + + E Donde: χe= susceptibilidad eléctrica Porción de material polarizado Se induce un campo eléctrico Ek en sentido contrario al campo E que hace que el campo neto ET = E - Ek sea menor a E. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) E + + + + + + - + + + + + + - P CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Polarización de la materia Dieléctrico colocado entre dos placas con cargas opuestas. Según Gauss ES q 0 E q 0S 0 σ = carga/unidad de superficie σlibre= cargas móviles/m2 [C.m2 ] Balance de cargas superficiales Aplicando Gauss al lado izquierdo del sistema la densidad de carga superficial neta es: libre P E . 0 libre libre E . 0 P P Desplazami ento D E . 0 P Desplazami ento D 0 E 0 e E 1 e 0 E D E D 1 e 0 E r 1 e K 0 ε0 = permitividad de vacio ε = permitividad del medio εr = permitividad relativa K= constante dielétrica DEPARTAMENTO DE FISICA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Capacitancia - Capacitores FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Siendo el potencial eléctrico en la superficie de una esfera rodeada por un dieléctrico de constante ε igual a: V Se denomina capacitancia C a la relación constante de Q/V: 4R El concepto de capacitancia puede extenderse a un sistema formados por dos conductores con cargas +Q y-Q C Q 4R E Q C V +Q -Q V1 V2 Q (1) V1 V2 Capacitor de placas planas paralelas Aplicando Gauss y reemplazando en (1) se tiene la ecuación (2) de un condensador de placas planas. En (3) con un dieléctrico de constante ε. V1 + + + + + + E d V2 - ES Q 0 E Q 0S V1 V2 Ed C0 0S d Qd S 0 ( 2) E V1 V2 d Cd 0 KS d S d Relación entre condensadores S KS con y sin dieléctricos C0 0 Cd 0 Cd KC0 d d (3) DEPARTAMENTO DE FISICA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Capacitancia - Capacitores FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Consideremos un capacitor con una capacidad C, con una carga +q en una placa y -q en la otra. Para mover una pequeña cantidad de carga dq desde una placa hacia la otra en sentido contrario a la diferencia de potencial se debe realizar un trabajo dW es decir, para cargar un condensador hay que realizar un trabajo y parte de este trabajo queda almacenado en forma de energía potencial electrostática Eε. Moviendo cargas en un capacitor descargado (q = 0) desde una de las placas hacia la otra hasta que adquieran cargas +Q y -Q respectivamente, se puede calcular la energía almacenada en un capacitor integrando la ecuación: dW V dq Wc arg a W: trabajo realizado, [ julios]; q: carga, [coulombios]; C: capacitancia, [faradios] 1 Q Q 2 CV 2 E qdq Walmacenada 0 C 2C 2 Walmacenada 2 2 Q CV E 2C 2 Eε: energía almacenada, [ julios]; C: capacidad, [faradios] V: diferencia de potencial, [voltios]; Q: carga almacenada, [coulombios]. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Capacitores Capacitores Electrolíticos Corte de un Capacitor Electrolítico Capacitores Cerámicos DEPARTAMENTO DE FISICA CAPACITORES Conexiones en serie y paralelo FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Capacitores en serie conectados uno a continuación del otro por quienes circula una sola corriente eléctrica (carga), Estos capacitores se pueden reemplazar por un único capacitor de valor equivalente de los que están conectados en serie Ceq.= CT QT CT C1 V1 C2 V2 Q VT Ceq Q VT C1 Q1 V1 VT V1 V2 QT Q1 Q2 CT C1 C2 QT Q1 Q2 VT 1 1 1 CT C1 C2 Para cualquier número de capacitores que se conecten en serie se tiene: 1/CT = 1/C1 + 1/C2 + ....+ 1/CN donde: N es el número de capacitores que están conectados en serie. C2 Q2 V2 DEPARTAMENTO DE FISICA CAPACITORES Conexiones en serie y paralelo FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Capacitores en paralelo conectados a la misma diferencia de potencial. Estos capacitores se pueden reemplazar por un único capacitor de valor equivalente de los que están conectados en serie Ceq.= CT Q1 C1 Q2 C2 CT Ceq C1 Q1 V1 C2 Q2 V2 QT Q1 Q2 CT VT C1V1 C2V2 Q Q QT VT VT VT VT V1 V2 CT C1 C2 Para cualquier número de capacitores que se conecten en paralelo se tiene: CT = C1 + C2 + ....+ CN donde: N es el número de capacitores que están conectados en paralelo. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Comportamiento de Materiales Conductores frente a un Campo Eléctrico En los materiales conductores se observan electrones libres o de conducción, y al aplicar un campo eléctrico los electrones se movilizan a través de la red cristalina del material por efecto de una fuerza F=qE dando lugar a una corriente eléctrica I La mayor o menor dificultad de desplazamiento de las cargas es una propiedad de los materiales (resistencia eléctrica) DEPARTAMENTO DE FISICA DIELECTRICOS Y CONDUCTORES FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) DIELECTRICOS - - CONDUCTORES - - - - - + + + + + + - DEPARTAMENTO DE FISICA LEY DE OHM Conductividad eléctrica FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento de cargas libres (electrones) dentro de la estructura del material Ley de OHM: En un conductor metálico a temperatura constante la razón entre la diferencia de potencial V entre dos puntos y la corriente electrica I que circula por los mismos es una constante llamada resistencia eléctrica R. V/I= R Resistencia eléctrica: Es una medida de la oposición que ejerce un material al flujo de carga a través de él. Conductor cilíndrico de longitud l y sección transversal S. l E j S V I La corriente puede expresarse como I=jS y el campo eléctrico como E=V/l por lo tanto: l j E E RS l conductividad eléctrica RS Unidad: Ohmio l R 1 = 1 V/A S DEPARTAMENTO DE FISICA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Conductividad eléctrica FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Resistencias en serie conectadas una a continuación de la otra por donde circula una sola corriente eléctrica. Estas resistencias se pueden reemplazar por una única de valor equivalente a las que están conectadas en serie Req.= RT RT R1 V1 R2 Req V1 I1 R2 VT V1 V2 I T I1 I 2 I VT R1 RT I T R1 I1 R2 I 2 V2 I VT IT VT RT R1 R2 Para cualquier número de resistores que se conecten en serie se tiene: RT = R1 + R2 + ....+ RN donde: N es el número de resistores que están conectados en serie. V2 I2 DEPARTAMENTO DE FISICA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Conductividad eléctrica FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Resistencias en paralelo conectadas una misma diferencia de potencial, Estas resistencias se pueden reemplazar por una única de valor equivalente a las que están conectadas en paralelo Req= RT RT VT IT R1 V1 I1 I T I1 I 2 I1 R1 I2 R2 Req VT V1 V2 I I VT V V 1 2 RT R1 R2 VT 1 1 1 RT R1 R2 VT Para cualquier número de resistores que se conecten en paralelo se tiene: 1/RT = 1/R1 + 1/R2 + ....+ 1/RN donde: N es el número de resistores que están conectados en paralelo. R2 V2 I2 DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Circulación de un campo vectorial Si una partícula se mueve de A a B bajo la acción de una fuerza F siguiendo una trayectoria L, el trabajo será: W F .dl L Si la fuerza F es conservativa el trabajo W es independiente de la trayectoria: F grad E p W E pA E pB Se define integral curvilínea de un campo vectorial a: V V .dl Si la trayectoria a lo largo de la cual se calcula la integral es cerrada ésta se llama circulación vectorial V V .dl L L DEPARTAMENTO DE FISICA FUERZA ELECTROMOTRIZ FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Circulación del campo E Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Aplicando estos conceptos al campo eléctrico se tiene que para mover una carga a lo largo de una trayectoria L el trabajo será: V E.dl L Y dl E dl siendo E gradV E E Y si la trayectoria es cerrada la integral se convierte en la circulación del campo E y se denomina: fuerza electromotríz (fem). Z dl fem V E.dl L La fuerza electromotríz (fem) aplicada a una trayectoria cerrada es igual al trabajo hecho al mover una unidad de carga alrededor de la misma. X DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) FUERZA ELECTROMOTRIZ Circulación del campo E Si el campo eléctrico E es estacionario se puede relacionar con el potencial electrico V mediante el gradiente de la función: E grad V La integral curvilinea de un campo E estacionario a lo largo de la trayectoria L será igual al trabajo W que se corresponde con la diferencia de potencial entre los puntos A y B inicio y final del camino recorrido. E.dl VA VB L Si la trayectoria a lo largo de la cual se calcula la integral curvilinea es cerrada (circulación vectorial) la fem será nula ya que coinciden el potencial final con el inicial. V E.dl 0 L La fem o circulación de un campo eléctrico estacionario alrededor de un camino arbitrario cerrado es nula Si el campo eléctrico se aplica a un conductor se puede relacionar su circulacción (fem) con la ley de Ohm E.dl RI L DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) CIRCUITOS RESISTIVOS Potencia Eléctrica En un conductor, el flujo de carga positiva se hace de potenciales altos a potenciales bajos, mientras que los electrones lo hacen en sentido contrario. Esto se traduce en que la carga pierde energía potencial y gana energía cinética que se transforma de inmediato en energía térmica. En A1 E1 = V1 Q En A2 E2 = V2 Q E QV2 V1 siV2 0 E Q V1 Q V E QV Potencia disipada Energía perdida por unidad de tiempo E Q V IV t t P IV I 2 R P=[ W ] vatios DEPARTAMENTO DE FISICA CIRCUITOS RESISTIVOS Tensión en bornes FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Fuente de Fuerza Electromotriz El dispositivo que suministra la energía eléctrica suficiente para que se produzca una corriente estacionaria en un conductor se llama Fuente de Fuerza Electromotriz. Fuente ideal: Mantiene constante la diferencia de potencial entre sus bornes. Vε Fuente real: La diferencia de potencial entre sus bornes disminuye con el aumento de la corriente. I Vε R Tensión en Bornes: Es la diferencia de potencial medida entre los bornes de una fuente. Es igual a la tensión nominal menos la caída de tensión de la resistencia interna r. V RI V Ir DEPARTAMENTO DE FISICA CIRCUITOS RESISTIVOS Ley de Joule FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) 1.- Energía disipada en una resistencia P I 2R Ley de Joule 2.- Energía absorbida o cedida por una batería Potencia de salida: Rapidez con la que los portadores ganan energía eléctrica. 2 P V I I r Potencia de entrada: Rapidez con la que los portadores pierden energía eléctrica a su paso por la batería. P V I I 2r DEPARTAMENTO DE FISICA CIRCUITOS RESISTIVOS Abiertos y en cortocircuitos FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) R I=0 Circuito abierto: Es una rama de un circuito por la que no circula corriente. L r A VAB V Ir Vε B como I 0 VAB V Cortocircuito: Es un recorrido de muy baja resistencia (idealmente R=0) entre dos puntos de un circuito. R I A CORTOCIRCUITO r VAB 0 Vε B DEPARTAMENTO DE FISICA CIRCUITOS RESISTIVOS Abiertos y en cortocircuitos FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) R I=0 Circuito abierto: Es una rama de un circuito por la que no circula corriente. L r A VAB V Ir Vε B como I 0 VAB V Cortocircuito: Es un recorrido de muy baja resistencia (idealmente R=0) entre dos puntos de un circuito. R I A CORTOCIRCUITO r VAB 0 Vε B DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) CIRCUITOS RESISTIVOS Leyes de Kirchhoff Leyes de Kirchhoff: Balances de cargas y de tensiones mediante los cuales se pueden encontrar las caídas de potenciales que existen entre dos puntos y las corrientes que circulan por las diferentes partes de un circuito. Conceptos previos Nudo: Intersección de tres o más conductores. Malla: Todo recorrido cerrado en un circuito. Rama: Es un elemento o grupo de elementos conectados entre dos nudos. DEPARTAMENTO DE FISICA CIRCUITOS RESISTIVOS Leyes de Kirchhoff FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC): En cualquier instante, la suma algebraica de todas las corrientes que concurren en un nudo es cero. Es decir la suma de las corrientes que ingresan a un nudo es igual a la suma de las corrientes que egresan del mismo. I ENTRANTES I SALIENTES I2 I1 I 2 I1 I 3 I3 I 2 I1 I 3 0 Ii 0 DEPARTAMENTO DE FISICA CIRCUITOS RESISTIVOS Leyes de Kirchhoff FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV): La suma algebraica de todas las tensiones a lo largo de una malla debe ser nula. Es decir la suma de las caídas de tensiones producidas por las resistencias a lo largo de una malla, debe ser igual a la suma de los aportes de tensiones producidas por las fuentes. I V i I i Ri R V i I i Ri 0 I R Vε Vε En una resistencia hay una caída de tensión positiva cada vez que se la evalúa en el sentido de la corriente. En una batería hay una caída de tensión positiva cada vez que se la evalúa en el sentido del terminal negativo al positivo DEPARTAMENTO DE FISICA CIRCUITOS RESISTIVOS Leyes de Kirchhoff FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) 3 V i I i Ri 1 I1 A I ENTRANTES I SALIENTES Vε1 R1 Vε2 R2 B I2 I3 R3 2 Vε3 NUDO A: I1 I 3 I 2 NUDO B: I 2 I1 I 3 MALLA 1: V1 V 2 I1R1 I 2 R2 MALLA 2: V 3 V 2 I 3R3 I 2 R2 MALLA 3: V1 V 3 I1R1 I 3R3 Se formularon dos(2) ecuaciones de nudos y tres (3) de mallas. Se observa que el nudo A y el B responden a la misma ecuación y que cualquiera de las mallas es siempre una combinación lineal de las otras dos. Para evaluar las tres (3) incógnitas I1,I2, e I3 se requiere la solución de un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes por lo que se adopta uno constituido por una ecuación de NUDO y dos de MALLA. DEPARTAMENTO DE FISICA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Ley de Ampere FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Campo magnético para una corriente rectilínea I O r dl A uθ L β L1 L2 L3 L β1 β2 β3 0 I u 2r Eligiendo una trayectoria circular de radio r, coincidente con una línea de campo hace que éste sea constante a lo largo de la misma y el producto escalar de la ecuación se convierta en el producto de los módulos βdl. I .dl .dl dl L L I .L 0 2r 0 I 2r 0 I La circulación magnética a lo largo de todas las trayectorias circulares concéntricas alrededor de una corriente rectilinea es la misma e igual μ0I. DEPARTAMENTO DE FISICA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Ley de Ampere FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Circulación magnética a lo largo de cualquier camino cerrado. I L β dθ dl1 uθ r dl2 dl 3 a dl rdθ b Eligiendo una trayectoria L, no coincidente con una línea de campo hace que este no sea constante a lo largo de la misma y debamos calcular el producto escalar de la ecuación. I u .dl .dl 0 L 2 L r Como u .dl es la componente de dl en la dirección del vector u I1 I3 L I2 igual a rd la circulació n será : 0 I 0 I 2 0 I d L 2 2 “La circulación de un campo β a lo largo de una línea cerrada que enlaza las corrientes I1,I2,I3,….es igual a μ0I donde I = I1+I2+I3+…. representa la corriente total concatenada por la trayectoria L ” FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS QUÍMICAS Y NATURALES UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES FIN Campos Electromagnéticos Estáticos BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: [1] SEARS, W.; ZEMANKY, M.; YUONG, H y FREEDMAN, R. (2004) Física Universitaria. Volumen 2.. México. [2] SEARS, F. (1972) Electricidad y magnetismo. Fundamentos de Física II. Editorial Aguilar. Madrid. [3] ALONSO, M. y FINN, E. (1970) Física. Vol II: Campos y ondas. Fondo Educativo Interamericano. U.S.A. [4]SERWAY,R.FAUGHN,J. (2001) Física. Pearson Educación. Mexico. [5] FISICA II. Apuntes de cátedra. FCEQyN. UNaM.