Download Repartido Nº 3 mcm – MCD – Nº Primos Prof.: D. Bonilla, D. Rodríguez

MATEMÁTICA II - 5º DC
Repartido Nº 3
m.c.m – M.C.D. – Nº Primos
Prof.: D. Bonilla, D. Rodríguez
1) a) Efectuando la descomposición en producto de factores primos investiga si el número
2520 es divisible por: 36; 525; 56.
•
b) Sean a = 20 5 × 22 × 25 5 × 27 4 × 35 y b = 49 × 511 × 95 × 21 × 30 5 × 68 × 77 .Muestra que b = a
2) a) Indica cuáles de los siguientes números naturales son números primos:
i. 5041
ii. 1187
iii. 5039
iv. 4199
b) Observa que al buscar divisores primos de un número natural n basta con analizar hasta
el mayor primo menor que n ¿Por qué?
3) a) ¿Qué característica tienen los exponentes de los factores primos de un número que es
un cuadrado perfecto?
b) Calcula el menor número distinto de 0 por el que hay que multiplicar a 3750 para obtener
un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el menor número por el que hay que dividirlo?.
c) ¿Cuál es el menor número distinto de 0, por el que se debe multiplicar a 3024 para obtener
un cubo perfecto?¿ Y para que al dividirlo obtengamos un cubo perfecto?
4) Calcula a,b,c ∈N tal que D( a, b ) = 23 ×3 ×52 , m( a, c ) = 2 4 ×32 ×53 ×7 y b.c = 2 5 ×32 ×5 2 ×11
5) Sean a, b y c ∈ N, tal que D( a, b ) = 3 2 × 5 × 7 , m( b, c ) = 2 2 × 33 × 5 × 7 2
m( a, c ) = 2 × 3 2 × 5 2 × 7 y a + b + c = 28053
a) ¿10 es divisor de a?
b) ¿5 es divisor de c?
c) Determina D(a, b, c) y m(a, b, c)
d) Calcula a, b y c.
6) Demostrar que si a2−b2 es un número primo, entonces a y b son números consecutivos.
7) a) Calcula: i. m(112,90) ii. m(n, n+1) iii. m(2n, 2n + 2) iv. m(n – 1, n2 – 1)
b) Calcula a y b tal que: a < b, D(a, b) = 25 ×32 y m(a, b) = 25 × 34 × 7
8) Hallar a y b naturales sabiendo que a.b = 85750 y D(a, b) = 35.
9) Hallar a y b naturales sabiendo que a3 - b3 = 1647, 13b – 9a = 21 y D(a, b)
Tener en cuenta que: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
10) Hallar a y b naturales sabiendo que:
a) a + b = 73. D(a, b)
a – b = 17. D(a, b)
b) a . b = 3000
y
a + b = 11. D(a b)
c) m(a, b).D(a, b)=9000
m(a, b) / D(a, b)=90
11) Completa la tabla teniendo en cuenta que a > b
a
b
D(a, b)
m(a, b) a + b a – b
1
705
345
2
12
3
D(77,154)
4
35
5
231
α
2
6
40.3
6.p
7
7D
3D
10
m(a, b) = 25200
y
a + b < 200
a.b
1.
Información adicional
156
b > 60
308
1100 < a + b < 1600
257250
100 < a – b < 500
9702
4b < a < 5b
17640
p es primo
2640 – m
8
9
y
≠
1980
11880
a < 2b
2
7
2
a – b = 5635 y a < 400
168
5ab
m
a – b < 80
MATEMÁTICA II - 5º DC
Repartido Nº 3
m.c.m – M.C.D. – Nº Primos
Prof.: D. Bonilla, D. Rodríguez
12) Hallar a y b naturales con a > b sabiendo:
a’ b’
D
10
25
m( a, b)
= 51 Siendo a = a’D y b = b’D con D(a’,b’) = 1
D 2 ( a, b)
13) Hallar a, q y r sabiendo que D(5a,12) = 6, D(a, 9) = 3 y a <70
a
r
12
q
14) Problema de nivel terciario (Universidad de la República - Facultad de Ingeniera –
Instituto de Matemática y Estadística - Matemática Discreta 2 - Curso 2010)
Hallar los números naturales menores o iguales a 1000 que tienen exactamente 3 divisores
positivos distintos.
15) Hallar los números naturales a y b sabiendo que m(a, b) = 132, D(a, b) = 1
y a tiene 6 divisores.
16) a) Hallar a = 2 α .5 β sabiendo que D(a, 8) = 4 y que el número de divisores de a es 12.
b) Para el valor de a hallado, encontrar los valores de b talque D(a, b) = 100 y a > b.
17) Hallar N = a = 2 α .5 β sabiendo que 5N tiene 16 divisores y 3N tiene 24 divisores.
18) Hallar N sabiendo que:
▪ N tiene en su descomposición factorial los mismos números primos que 70.
▪ La cantidad de divisores impares es 6
▪ D(N, 49) = 7
N
▪ La cantidad de divisores de
es 18
7
19) Hallar a, q y r sabiendo que D(5a,12) = 6, D(a, 9) = 3 y a <70
20) Hallar todos los números naturales a y b que verifiquen las siguientes
condiciones:
♦D(2a,2b) = 120
♦a tiene 3 divisores primos
♦a tiene un total de 24 divisores
♦8/a
♦a.b = 25.33.54
21) ¿Verdadero o Falso?. Si p es un número primo mayor que 2, entonces 3p+7 es múltiplo
de 2. Demuestra.
22) Si p es un número primo mayor que 100. Indica si las siguientes afirmaciones
son verdaderas o falsas. Justifica.
a) p2 es primo
b) 2/(p+7)
c) 776p tiene 9 divisores.
23) Desafío. Un libro tiene entre 400 y 500 páginas. Si las contamos de dos en dos sobra
una; si las contamos de tres en tres sobran dos; si las contamos de cinco en cinco sobran
cuatro; y si las contamos de siete en siete sobran seis. Calcular el número de páginas que
tiene el libro.