Download número número natural

Página 1 de 34
Me gustaría
los resultados.
que
me
resolviera
estos
tres
ejercicios,
para
controlar
1) Cualquiera sea el valor de p e Z, es posible determinar el resto de
la división entre 240p y 7, si se sabe que el resto de la división
entre 40p y 7 es igual a 1.
2) 1428x=207(15)
Desde ya muchas gracias, por todo. Andrea
R/
1. De acuerdo al dato inicial: 40.p = 7.k + 1 (con k entero). Entonces multiplicando ambos
miembros por 6 quedará: 240.p = 42.k + 6. De donde el cociente entre 240.p y 7 es q = 6.k
y el resto r = 6.
2. En primer lugar modifiquemos la ecuación planteada reemplazando los coeficientes por
sus congruentes módulo 15: 1428  3 (mód 15) y 207  12 (mód 15). Quedará la ecuación
equivalente a la dada: 3.x  12 (mód 15).
Ahora bien habrá que ver si esta ecuación tiene solución (ver teorema alusivo en guía
didáctica): (3, 15) = 3 y como 3 | 12 la ecuación tendrá exactamente 3 soluciones en
término de clases en Z15. = { 0 , 1 , ..., 14 }. Si se resuelve la ecuación auxiliar que se
obtiene de dividir cada coeficiente de la ecuación anterior por 3 quedará:
E’: x  4 (mód 5), la que tendrá como única solución en Z5 a 4 (4 –4 = 0.5).
A partir de esta solución las soluciones de la ecuación original serán:
{ 4, 4  5, 4  5  5 }= {4, 9,14}
 A ver si
terminamos de
aclarar esta
cuestión, sí?
Si partimos de la ecuación: E : a. x  b (n) y...

(a, n) | b , E será compatible y habrá tantas soluciones como lo indique (a, n)
o si (a, n) = 1, la única solución se podrá hallar por ensayo en Zn o bien
aplicando el siguiente teorema (no lo vimos en clase)
Página 2 de 34

Dado que por Bézout: (a, n) = 1 = s.a + t.n (con s y t enteros).
Despejando en esta ecuación quedará: s.a – 1 ; múltiplo de n con lo
cual s.a  1 (mód n) y multiplicando por b y asociando quedará: a.
(s.b)  b (mód n) , de donde la única solución buscada será: S (E) =
{ s.b }. Por ejemplo:
(4, 21) = 1 = 21 – 4. 5 = (-5). 4 + (1). 21 (o sea que s = -5 y t = 1)
21 = 4.5 + 1
4 = 4.1 + 0
Por lo que la única solución será:  5.1 =  5 = 16
o si (a, n) = d 1, para hallar las soluciones de E convendrá resolver la
ecuación auxiliar E´: a /d. x  b /d (n /d) que tendrá solución única : x 0 A
partir de la misma se obtendrán las d soluciones de E:
n
n
n
x 0 , x 0 + 1. , x 0 + 2. ,....., x 0 + (d –1).
d
d
d
(en total d soluciones) En otros archivos enviados hay ejemplos!!


(a, n) ∤ b, E carece de solución
c > 0 y c |a, c |b y c |n , E admite solución si y sólo sí la ecuación
E´: a /c. x  b /c (n /c) admite solución siendo las soluciones de E´también soluciones de
E, pero ojo al piojo!! , tener en cuenta que S(E´)  S(E), faltan hallar las restantes. Para
ello buscar en Zn las soluciones congruentes con las halladas.
En definitiva habrá que ver qué conviene hacer en cada caso...
Y chau por ahora , el reloj me dice que es la 1. 45 AM
Salu2
En realidad la ecuación dada 48.x  36(4) resulta ser medio “sosa” dado que como
48.x – 36 = 4.(24.x – 9) para cualquier valor de x en Z 4 , S (E) = { 0, 1, 2, 3, }
Te pongo otro ejemplo donde tengas que hacer algo, si?
10.x  2(22)
R/
 En primer lugar habrá que buscar (10, 22) = 2 y como en este caso 2 | 2 la ecuación
tendrá “2”soluciones.
 Luego se dividen los coeficientes de la ecuación por 2 y se obtiene la ecuación auxiliar:
E’: 5.x  1 (11) que tendrá “1”solución en Z11 : S(E’) = { 9 }
 En función de la solución de E’, se obtiene la solución de E (En Z 22 )
S(E) = { 9 , 9  11 }={ 9 , 20 }
Página 3 de 34
(SE APICARON LOS TEOREMAS ENUNCIADOS EN PRÁCTICA DE ARITMÉTICA
ELELMENTAL)
0(3)  0(6)  0(3)
R /Habrá que ver si los conjuntos indicados se incluyen mutuamente:
 0(3)  0(6)  0(3) es verdadero por propiedad de conjuntos ( A  B  A
 0(3)  0(3)  0(6) es falso dado por ejemplo
3  0(3) pero 3  0(3)  0(6) porque 3  0(6) ( 3  3(6))
Buenas, profe Arriola. Soy alumno de su cátedra y le cuento: el sábado 31 tengo
recuperatorio de discreta. Quisiera por favor que me aclarase esta duda:
Determinar (n+3, n+4) y [n+3 ,n+4] , n perteneciente a N. COMO SE HACE?????
Bueno, agradezco mucho su ayuda que me brindó hasta ahora. Espero sus
respuestas.
LO SALUDA ATTE: DANIEL Delins.
Pero muchacho, en la práctica de enteros se probó que dos enteros consecutivos son
primos entre sí ((n , n + 1) = 1), no lo hiciste o no lo viste resuelto?
En este caso n + 3 y n + 4 también son sucesivos.
Entonces: MCD = 1 y mcm = (n +3) . (n + 4)
Si aplicás el algoritmo de Euclides, el último resto no nulo es 1
n + 4 = (n + 3 ) + 1
n +3 = (n + 3 ) + 0
[a, b] =
y como
a.b
(a , b )
resulta lo planteado anteriormente, sí?
Salu2
MHA

Página 4 de 34
Profe, el siguiente ejercicio no lo puedo resolver, no se si es por
que no tiene solución o estoy aplicando mal alguna propiedad.
36x= -78(131)
Espero su respuesta. Muchas gracias.
R/
Si se tiene en cuenta que – 78 es congruente módulo 131 con –78 + 131 = 53, la ecuación
dada será equivalente a : 36.x  53 (mód 131) .
Ahora habrá que ver si (36, 131) es divisor de 53.
Como (36, 131) = (36, 23) = (23, 13) = (13, 10) = (10, 3) = (3, 1) = 1 (método de Gauss
para hallar máximo común divisor) y 1 es divisor de 53, la ecuación tendrá solución única
en Z131 .
Ahora bien , para hallar esta única solución, un camino sería chequear por sustitución desde
0 hasta 130, el número que satisface la ecuación. De lo contrario convendrá tener en cuenta
el siguiente resultado:
Dado que por Bézout: (a, n) = 1 = s.a + t.n (con s y t enteros). Despejando en esta ecuación
quedará: s.a – 1 ; múltiplo de n con lo cual s.a  1 (mód n) y multiplicando por b y
asociando quedará: a. (s.b)  b (mód n) , de donde la única solución buscada será:
S (E) = { s.b }.
Resta que busques el valor de s según las sucesivas divisiones que se hicieron para
determinar (a, n) o aplicando el algoritmo que vimos en clase.
Salu2.MHA
Hola Profe:
Le queria hacer una consulta sobre un ejercicio del final de 06/12/01, el enunciado es el
siguiente:
" Dada la relación de equivalencia definida en Z x Z : (a,b) R (c,d) sii a congr c mod 4,
señalar tres elementos de cl((-522,0))"
Esta el resuelto pero realmente no lo entiendo
Me podría ayudar
Gracias
R/
Veamos Charles…
Qué cosas hay que tener presente para resolver este ejercicio, simplemente la definición de
congruencia módulo n y un teoremita:
En Z: a  b (mód n) sii n | a – b
a  b (mód n) sii resto (a : n) = resto (b : n)
Página 5 de 34
Como acá el enunciado involucra  ( mód 4), todo entero será congruente a algún posible
resto al dividir por 4: 0, 1, 2, y 3.
En particular como – 522 = - 524 + 2 = 4 (- 131) + 2, con lo cual:
cociente = - 131 y resto = 2
Casá la calculadora, digo… hecha mano
de la calculadora y verás que la cuenta te
dará: - 130, 5. con lo cual el cociente
entero es la parte entera de este número y
el resto la mantisa multiplicada por el
divisor (mirá en la guía, sí?)
Entonces con esto está todo dicho muchacho, o no?
cl ((-522, 0)) = { (x, y)  Z 2 / (x, y) ~ (-522, 0)} =
= { (x, y)  Z 2 / x  4 522  4 2 } =
= {(x, y)  Z 2 / x  4 2 } = {(2, z), (6, z), (-2, z), (-6,z), (-522,z),....}
Dan resto 2 al
dividirlos por
4
Salu2

MHA
Dado el entero “a”, si resto (a:7)=6 entonces resto ((a+10):7), es igual a: .......
Da opciones pero no se como resolverlo además no entiendo el enunciado.
---------------------Suponiendo que el enunciado fuera:
Dado el entero “a”, si el resto (a:7)=6 entonces resto el ((a+10):7), es igual a: .......
Si lo planteo haciendo uso de la propiedad:
a “divide” b y
a “divide” c entonces
a “divide” b+c
Página 6 de 34
7 “divide” a y
7 “divide” 10 entonces
7 “divide” a+10
pero ojo! que de acuerdo al dato 7∤a (el resto de la división entre a y 7 es 6)
a = q.7+6
y
10 = (q1).7+(r1)
entonces
a+10==(q2).7+(r2)
6 es dato
(q1) y (r1) lo calculé sabiendo que 0  (r1) <7. ¿De qué manera?
(r2) es la incógnita según lo que entiendo. Sí
Si lo planteo por CONGRUENCIA:
Según la propiedad que dice: “Todo número entero es congruente con su resto al dividirlo por el modulo
(n)
Datos: a  7 6 y 10 7 3
Incógnita:
a +10  7 R. De acuerdo
10  7 3
20  7 6 multipliqué por una constante “2” *
a76
67a
usé la propiedad que dice a  n b entonces b  n a
20  7 a use transitividad de los *
*
Bueno la verdad es que no puedo seguir, no me doy cuenta .........y tengo miedo de que lo
escribí sea una BURRADA. Para nada, pensás bien!!
Sólo te falta el
cierre...

Basta señalar que de a  7 6 y 10  7 3 y sumando miembro a miembro (propiedad de
congruencias): a + 10  7 6 + 3  7 9  7 2, de donde: a + 10  7 2 y en consecuencia el
resto buscado es 2
Observación:
También del dato inicial: a = q.7+6 , sumando a ambos miembros 10 se obtiene:
a + 10 = q.7+6 +10 = 7.q +16 = 7.q + 14 + 2 = 7. (q + 2) + 2 con lo cual el cociente de la
división entera entre a + 10 y 7 es q + 2 y el resto 2
Página 7 de 34

Salu2 MHA
Hola, que tal, tengo una duda con un ejercicio de final de la utn y quisiera saber si me la
pueden responder. el ejercicio dice:
Dados los enteros no nulos a, b y c, de a | b y a | c se infiere necesariamente:
a. 2.a | b+c b. a | b 2 + 3.c c. 2.a | b.c
d. a.c | a.b
Por lo que probé. Para mi la respuesta es la .) pero lo saqué a prueba y error y no se
como usar la propiedades de la división.
Gracias
R/
No estoy seguro ... yo lo hice así ...
a|b y a|c => a|b2 + 3.c
si a|b => b = a.k1
si a|c => c= a.k2
de (1) b 2 = a 2. k12
de (2) 3.c= a.3.k2
(1) def div.
(2) def. div
(3) elevo al cuadrado ambos miembros
(4) multiplico por 3 ambos miembros
sumo (3) y (4)
b 2 + 3.c= a 2. k12 + a.3.k2
b 2 + 3.c= a.(a. k12 +3.k2) con (a. k12 +3.k2) =k3 perteneciente a los enteros
=> b 2 + 3.c= a.k3
=> a| b 2 + 3.c por def. div
Salu2.Carlos
Bien Carlos!!
Efectivamente la idea era simplemente aplicar en forma directa las propiedades que dicen:
Página 8 de 34
 x | y  x | y. z
 x|y x|z  x|y+z
Carlos te has hecho acreedor a la
medalla de honor del foro!!

El menor número que al ser dividido por 7, 11 y 13 en cada caso genera un residuo
máximo resulta ser igual a 1000:
R/
De acuerdo al enunciado el número buscado deberá cumplir con las siguientes condiciones:

X= 76

X = 11  10

X = 13  12
Pero si tratáramos de unificar de alguna manera estas expresiones quedará:



X = 7  6 = 7  7 1  7 1






X = 11  10 = 11  11  1  11  1
X = 13  12 = 13  13  1  13  1
Finalmente como hay que elegir el menor número que verifica simultáneamente las tres
expresiones, este será : x = MCM (7, 11, 13) –1 = 1001-1 = 1000
Se tiene una cantidad par de monedas, menor que 600, que se quieren disponer en filas.
 Si se ordenan, de manera contigua, completando filas de 17 monedas cada una,
sobran 8 monedas.
 Si se consideran únicamente la mitad de las monedas iniciales y se ordenan en filas
de 7 monedas, sobran 3 monedas.
Averigüe la posible cantidad inicial de monedas.¿Es única la solución?
Resol.
Página 9 de 34
Luego de plantear llego al sgte. sistema
X = 17.q+8
X = 14.s+6
17q+8=14s+6
17q-14s= -2
como: a x  n b entonces a x - b = k. n o lo que es lo mismo planteando una ec.
diofántica
a x + k.n = b
17q-14s = -2
donde:
a x =17.q
n =14
b= -2
planteo:
17q  14 –2
17q+2= 14.k
q = (14.k-2)/17
como: (a, n) = (17,14) = 1 tiene que tener una única solución ((a,n)”divide a” b)
1 ”divide a” –2
con k=5 obtengo q= 4 reemplazando en el sistema original x=76, es decir hay 76 monedas
Ahora me aparece una GRAN duda, por curiosidad seguí probando y encontré que con
k=22 obtengo q= 18 reemplazando en el sistema original x=314, es decir hay 314
monedas
Continue probando y encontre k=39 obtengo q= 32 reemplazando en el sistema original
x=552, es decir hay 552 monedas.
La GRAN duda es porque si el mcd (a,n) es el que indica la cantidad de soluciones que
tiene la ecuacion entonces porque aparecen tres soluciones posibles si el mcd dío
1”uno”,
La verdad es que me cansé de probar valores de “k”, pero si sigo quizás haya mas
valores.
Página 10 de 34
R/
Pero Max, olvidaste el hecho de que en realidad son soluciones todos los congruentes con 4
(módulo 14) (en término de clases la solución es única).
Entonces cada uno de los congruentes a 4 te lleva a los distintos valores hallados:
76, 314, 552. Y como se te dice que el número de monedas es menor que 600, las
soluciones son tres, las que vos hallaste!!

Salu2 MHA
Calcular el resto de dividir 7 elevado a la 11 por 12
Cómo lo resuelvo?, se que se hace por congruencia pero no entiendo el procedimiento
Gracias
Dado que 7
práctico)
2
= 49  1 (módulo 12). Si se tiene en cuenta la propiedad (ejercicio del
a  b(n) am  bm(n) (m Z 0)
Resulta: (7 2 ) 5  15 = 1 (módulo 12).
Y luego teniendo en cuenta la propiedad:
a  b(n)  a. c  b. c(n)
Resulta finalmente: 7.(7 2 ) 5  7. 1 (módulo 12) sii 711  7 (módulo 12)
Salu2 MHA

Hola!! tenía algunas dudas con los siguientes ejercicios:
Enteros:
1) 116.x = 8(6) (equivalente)
Fijate por favor en la carpeta de enteros – congruencias que hay varios similares resueltos.
2) siendo a y b enteros con b  0. la resta entre a y b es 175; y en la división el cociente es
15 y el resto 7cual es el resultado?
a) (a, b)=3
b) (a, b)=2220
c) (a, b)=2160
d) (a, b)=1
Página 11 de 34
R/
De acuerdo a los datos:
a – b = 175 (1)
a = b. 15 + 7 (2)
Si reemplazás (2) en (1) vas a llegar a: b = 12 y a = 187. En consecuencia, al aplicar el
algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor vas a llegar a “1”.
Sí, no me equivoqué de tiempo de verbo, muchacha! Vas a llegar!!!
Hola soy Giovanna necesito un favor muy grande si me puede mandar los resueltos de
enteros 1,2,y 3 del recuperatorio del 20/02/02. Se lo agradezco de ante mano, si no puede
no importa. Gracias nuevamente por todo.
R/
1. Resolver la ecuación: 5.x 15 (módulo 25)
R/
De acuerdo a los teoremas enunciados en la guía didáctica de enteros (módulo c, parte
práctica), para saber si la ecuación tiene solución habrá que preguntarse ¿ [5, 25] | 15? Y
como en este caso [5, 25] = 5 y 5 | 15 la ecuación admitirá tantas soluciones como lo
indique [5, 25]. En este caso habrá exactamente 5 soluciones.
Para hallarla convendrá resolver la ecuación auxiliar: x  3 (módulo 5) la cual tendrá como
única solución (dado que [1, 5] = 1 y 1| 3) a “3” dado que 3 – 3 = 0 y 0 es múltiplo de 5 (las
soluciones posibles de esta ecuación auxiliar son las clases de 0, 1, 2, 3 y 4). Finalmente
para hallar las soluciones de la ecuación original y a partir de la solución de la ecuación
auxiliar habrá que sumarle 25 : 5 = 5, con lo cual las soluciones serán ( en término de
clases): 3, 8,13,18, 23
2. Hallar mediante la aplicación del algoritmo de Euclides el máximo común divisor y el
mínimo común múltiplo entre n + 3 y n + 4 (cualquiera sea el natural n).
R/
Dado que n + 3 y n + 4 son números naturales sucesivos y de acuerdo a ejercicio de
práctica de enteros, resultan ser coprimos entre sí con lo cual (n + 3, n + 4) = 1 y
[n + 3, n + 4] = (n + 3).(n + 4) = n2 + 7.n + 12
Página 12 de 34
Sabiendo que resto (a: 5) = 3, hallar resto (7a: 5)
R/
Dado que por hipótesis existe un entero “q” tal que a = 5.q + 3, multiplicando por 7
quedará: 7.a = 7. (5.q + 3) = 35.q + 21 = 35.q + 20 + 1 = 5. (7.q + 4) + 1 con lo cual al
efectuar la división entre 7.a y 5 resulta: cociente = 7.q + 4 y resto = 1
Tengo algunas dudas de algunos finales, si me lo podrían responder mejor, ya que
quiero rendir el 27-09
a, b, c  Z:  n  Z (a =n b  c =n d ) entonces a.(c+e) =n b.(d+e)
¿Què propiedades tiene CONGRUENCIA?
Estas son algunas dudas, tengo otras que mas tarde se las voy a mandar, espero que
entienda.
Jacqueline
R/
Sale inmediatamente mediante la aplicación de dos propiedades básicas de congruencias :
(verás las principales en un ejercicio de la guía correspondiente)


x =n y  x + k =n y+ k (1)
x =n y  z =n t  x . z =n y. t (2)
En el ejercicio planteado quedará:
(a =n b  c =n d )  (a =n b  c + e =n d + e)  a. (c + e) =n b.(d + e)
(1)
(2)
De acuerdo?
Salu2
Este es un ejercicio que se tomó el 28/02/02 y dice:
Cuál es el menor número de tres cifras que al ser dividido por 5 y 7 en cada caso da un
resto de 3?
No entiendo la respuesta de porque en un momento se multiplica por tres por las tres
cifras del numero.
Me gustaría que me lo aclare. Gracias
Javier Carames
Página 13 de 34
R/
La resolución que propuse fue la siguiente:
De acuerdo al enunciado el número buscado deberá ser de la forma:
 N  5  3



 N  7  3
y como [5, 7] = 35 (mínimo común múltiplo entre 5 y 7), el número buscado tendrá la
forma:

N  35  3
Aquí la idea fue darle al número una forma
global abarcativa de las dos planteadas
anteriormente

con lo cual y dado que N debe tener tres cifras, N = 35. 3 + 3 = 108
Fijate que el primer múltiplo natural de
35 que sumado a tres da un número de
tres cifras (se pidió el menos número de
tres cifras, 35.4 + 3 = 143 también es de
tres cifras) es 108 (al multiplicarlo por 1
da 38 y al multipicarlo por 2 da 73 que
son números de dos cifras)
Si aún te queda dudas precisala...
Salu2

Cualquiera sea el número natural n , ¿cuál es el resto de n (n  1) (2n  7)
por 6?
al dividirlo
Resolución.
 Para conjeturar cuál es el resto que se pide, se puede comenzar por tomar algunos
valores particulares para n y calcular el resto de n (n  1) (2n  7) al dividirlo por 6.
De este modo, se observa que el resto, en cualquier ejemplo, es 0.
Página 14 de 34
Pero que esto ocurra en cualquier caso particular que a uno se le puedan ocurrir, no es
demostración de este hecho. Habrá que demostrar que esto ocurre en todos los casos.
 Se demuestra:
Para demostrar que el resto de la división es 0, habrá que probar que
6/ n (n  1) (2n  7) .
Como 6=2.3, y teniendo en cuenta que 2 y 3 son coprimos, será suficiente (P1) probar:
i)
2/ n (n  1) (2n  7)
ii)
3/ n (n  1) (2n  7)
(Así el problema queda reducido a casos más simples)
i)
Para esto se consideran los posibles restos de dividir a n por 2, y a partir de allí se
analizará el resto de la expresión dada.
Al dividir a n por 2, los restos posibles son 0 y 1, es decir que se considerarán los
casos: n par y n impar.
-Si n es par, entonces 2/n y por lo tanto 2 divide a n por cualquier otro entero (P2),
es decir, 2/ n (n  1) (2n  7) .
-Si n es impar, entonces n+1 es par. Así, 2/(n+1) y por (P2) resulta también en este
caso que 2/ n (n  1) (2n  7) .
ii)
Para demostrar que 3/ n (n  1) (2n  7) , se analizarán los tres posibles casos que
corresponden a los restos (que son 0, 1 ó 2) de dividir a n por 3.
-Si n tiene resto 0 al dividirlo por 3, entonces 3/n y por (P2) 3/ n (n  1) (2n  7)
-Si n tiene resto 1 al dividirlo por 3, entonces n  1 (3) .
Luego: 2n  7  2.1  7 (3) , por (P3) y (P4), es decir, 2n  7  0 (3) , lo que
indica que 3/( 2n  7 ) y, en consecuencia, 3/ n (n  1) (2n  7) (P2)
-Si n tiene resto 2 al dividirlo por 3, entonces n  2 (3) .
Luego: n  1  2  1 (3) (P4), es decir, n  1  0 (3) , lo que indica que 3/( n  1 )
y, por (P2), también en este caso resulta que 3/ n (n  1) (2n  7) .
Analizados todos los casos posibles, y habiendo probado la conclusión enunciada en cada
uno de ellos, se demostró entonces que para todo número natural n , el resto de
n (n  1) (2n  7) al dividirlo por 6 es cero.
Propiedades utilizadas:
Cualesquiera sean a, b, c números enteros, y n número natural:
P1) Si mcd(a,b)=1, a/c y b/c, entonces a.b/c
P2) Si b/a, entonces b/a.c
P3) Si a  b (n) , entonces a.c  b.c (n)
P4) Si a  b (n) , entonces a  c  b  c (n)
Página 15 de 34
En general, no hay una única demostración posible.
En este ejercicio, una demostración, que es esencialmente diferente de la anterior, es la
siguiente:
Se aplicará el principio de inducción, para lo cual se considera la función proposicional
con universal N (conjunto de números naturales):
P(n):
6/ n (n  1) (2n  7)

Base inductiva:
P(1):

Paso inductivo:
h  N: P(h)  P(h+1)
Suponiendo verdadera
se quiere probar
6/1. 2. 9
es una proposición verdadera pues 18=6. 3
P(h): 6/ h (h  1) (2h  7)
P(h+1): 6/ (h  1) (h  2) (2(h  1)  7)
Se prueba:
(h  1) (h  2) (2(h  1)  7) = (h  1) (h  2) (2h  2  7)
= (h  1) h (2h  2  7)  (h  1) 2 (2h  2  7)
= h (h  1) (2h  7  2)  (h  1) 2 (2h  2  7)
(conmutativa)
= h (h  1) (2h  7)  h (h  1) 2  (h  1) 2 (2h  9)
= h (h  1) (2h  7)  2 (h  1) (h  2h  9)
= h (h  1) (2h  7)  2 (h  1) ( 3h  9)
= h (h  1) (2h  7)  6 (h  1) (h  3)
(distributiva)
(distributiva)
(factor común)
(factor común)
Como 6/ h (h  1) (2h  7) por hipótesis inductiva, y 6/ 6 (h  1) (h  3) ,
resulta que
6/[ h (h  1) (2h  7)  6 (h  1) (h  3) ]
es decir que
6/ (h  1) (h  2) (2(h  1)  7)
como se quería probar.
Demostrados base y paso inductivo, se concluye que la afirmación
n  N: 6/ n (n  1) (2n  7)
es verdadera.
Página 16 de 34
Quisiera saber si es posible como se resuelven las ecuaciones de congruencia del tipo
3x=2(5) , y como saber si tiene o no tiene solución.
Te lo agradecería dado que en la guía no está muy claro, y no he podido entenderlo.
Desde ya, muchas gracias
Lisandro
R/
3x52
Entonces vos sabes que
n| x – y
n.k= x – y
Con esto planteas:
5.k = 3x –2
2= 3x – 5k
Para que tenga solución es necesario que (a;b) | c (siendo a=3 , b=-5 y c=2)
(3,-5) = 1 ------- mcd entre 3 y –5
1 | 2 ---- esto es verdadero => tiene solución y la cantidad de las mismas es el valor del mcd
o sea 1 solución.
Como (3,-5)=1 => 1= s.3 +t.(-5) (a)
Por el algoritmo de la división vos sabes que
-5 = 3* -2 +1
1= -5 + 2(3) (b)
comparando a y b
sacas que t=1 y que s=2 . Multiplico ambos valores por 2 (ya que es el valor de c)=>
t=2 y s=4.
S=4 => Respuesta cl(4)
Diego
A través del uso de propiedades de congruencias, hallar resto ((3.94 + 115.5 -35) :10)
R/
Para determinar el resto de la división planteada (con congruencias), convendrá tener en
cuenta las siguientes propiedades relativas al conjunto de los enteros:
(1) a : a  n r con r : resto (a: n)
(2) a  n b  a p  n b p
(3) a  n b  a. c  n b. c
(4) a  n b  c  n d  a + c  n b + c
(5) a  n b  c  n d  a . c  n b . d
Entonces si comenzamos considerando las potencias que intervienen en el enunciado se
podrá observar lo siguiente:
i. 94 = 92. 92 y como 92 = 81 y 81 10 1 , resultará 94  10 1
(1)
(5)
Página 17 de 34
en consecuencia por (3) : 3.94  10 3
ii. 11 10 1 , de donde 115  10 15  10 1
(2)
(1)
en consecuencia por (3): 11 . 5  10 5
5
iii. por (1): –35  10 5 (-35 = (-4). 10 + 5)
Finalmente por (4) quedará: 3.94 + 115.5 -35  10 3 + 5 + 5  10 13  10 3
(1)
De donde Resto
((3.94
+
115.5
-35): 10) = 3
Profesora, quiero hacerle una consulta.
Con respecto a los números coprimos, tengo una de las propiedades en mi carpeta, pero
no estoy segura de que este correcta:
Si a, b son coprimos y a/b.c  a/c
D/ si a, b: coprimos, existen s y t E Z: 1= s.a + t.b
si multiplico por ¨c¨: c= s.a.c + t.b.c
y entonces como a/a  a/s.a.c 1)
y por H) a/b.c  a/t.b.c 2)
De 1) y 2) por propiedad resulta: a/s.a.c + t.b.c  a/c
ES CORRECTO?
Desde ya muchas gracias y espero su respuesta, saludos,
R/
Efectivamente es correcta.
Salu2.
Página 18 de 34
Buenas Me llamo Martin soy del K1029. Necesitaba saber pronto como resolver el
problema n*3 del Modulo D, de la parte Divisibilidad en Z:
Un número natural N excede en 35 a un cierto múltiplo de 24. Me pregunta cuál sería el
resto al dividirlo por 8 y por 6.
No entiendo la resolución, ....no sé de donde saca la relación para armar el Algoritmo
para luego decir que los restos son 3 y 5.
Agradezco una pronta Respuesta.
R/
La resolución del práctico dice:
De acuerdo a la información suministrada: n = 24. m + 35, con lo cual resulta:
a. n = 8. (3. m) + 35 = 8. (3. m) +8. 4 + 3 = 8. (3. m + 4) + 3 y como 3. m + 4 es un número
entero: resto (n : 8) = 3
b. n = 6. (4. m) + 35 = 6. (4. m) +6. 5 + 5 = 6. (4. m + 5) + 5 y como 4. m + 5 es un número
entero: resto (n : 6) = 5
La clave de resolución radica en el significado de la división entre enteros:
o Para dividir un número n por 8 habrá que encontrar dos enteros c y r de modo tal que
n = 8. c + r con 0  r  8
o Para dividir un número n por 6 habrá que encontrar dos enteros c´ y r´ de modo tal que
n = 6. c´ + r´ con 0  r´  6
Tal cual te lo plantearon en la
tierna infancia, Martín

Página 19 de 34
Y entonces a partir del dato inicial se trató de llegar a lo dicho precedentemente asociando
y factorizando, si?
Ojalá que ahora lo

Salu2

MHA
( a.x  a. y (n)  (a, n)  1)  x  y (n)
 


H1
H2
D/
Por hipótesis 1 : k Z: a.x – a.y = k.n sii (x –y).a = k.n de donde n | (x – y).a y como n y a
son comprimos (hipótesis 2), por propiedad de los números primos n | (x – y) lo que
significa que
x  y (mod n).
ESTÁ RESUELTO EN LIBRO DE CÁTEDRA:
“MATEMÁTICA DISCRETA A TRAVÉS DE UNA INSTRUCCIÓN DIDÁCTICA” (EN
VENTA EN CENTRO DE ESTUDIANTES)
10.x  2(22)
R/
 En primer lugar habrá que buscar (10, 22) = 2 y como en este caso 2 | 2 la ecuación
tendrá “2”soluciones.
 Luego se dividen los coeficientes de la ecuación por 2 y se obtiene la ecuación auxiliar:
E’: 5.x  1 (11) que tendrá “1”solución en Z11 : S(E’) = { 9 }
 En función de la solución de E’, se obtiene la solución de E (En Z 22 )
S(E) = { 9 , 9  11 }={ 9 , 20 }
(SE APICARON LOS TEOREMAS ENUNCIADOS EN PRÁCTICA DE ARITMÉTICA
ELELMENTAL)
Página 20 de 34
La ecuación 6.x  3(4) carece de solución dado que (6, 4) = 2 y 2 no divide a 3 (ver
resultado teórico de práctica!)
En cambio por ejemplo:
10.x  2(22)
R/
 En primer lugar habrá que buscar (10, 22) = 2 y como en este caso 2 | 2 la ecuación
tendrá “2”soluciones.
 Luego se dividen los coeficientes de la ecuación por 2 y se obtiene la ecuación auxiliar:
E’: 5.x  1 (11) que tendrá “1”solución en Z11 : S(E’) = { 9 }
 En función de la solución de E’, se obtiene la solución de E (En Z 22 )
S(E) = { 9 , 9  11 }={ 9 , 20 }
( a.x  a. y (n)  (a, n)  1)  x  y (n)
 


H1
H2
D/
Por hipótesis 1 : k Z: a.x – a.y = k.n sii (x –y).a = k.n de donde n | (x – y).a y como n y a
son comprimos (hipótesis 2), por propiedad de los números primos n | (x – y) lo que
significa que
x  y (mod n).
Si aplicás el algoritmo de Euclides al hacer la división entre a + 1 y a te da cociente = 1 y
resto = 1 con lo cual por teorema quedará: (a + 1, a) = (a, 1) = 1 (ya que 1| a)
1. Bueno... primero que nada estaba mirando unos parciales y vi que en uno pedían
encontrar el M.C.D. y el m.c.m de 2 números usando Euclides..ahora por lo que yo se lo
único que se puede hallar por Euclides es el M.C.D. para obtener el m.c.m yo factoreo..
por eso queria saber si hay alguna forma de encontrar el m.c.m con Euclides.. sino lo
seguiré haciendo así...
Hay un teorema que dice que: a. b = (a, b) . [a, b] con lo cual una vez calculado el MCD
por Euclides podés hallar el m.c.m : [a, b] = a. b /(a, b)
(el teorema está enunciado sin demostrar en la guía correspondiente)
Página 21 de 34
Por ejemplo como (18, 63)= 9 entonces [18, 63] = 18.63 / 9 = 126
2.Por otro lado... en clase vimos un ejercicio de ecuaciones de congruencia..y una decía
así..
6. x  8 (20)

divido por 2:
3. x  4 (10)
Aquí aplicaste la propiedad que dice lo siguiente:
(a. x  b (n)  d : entero mayor que 0  d | a  d | b  d | n) 
( a / d . x  b / d (n / d) )
 como 4  24 (10) por transitividad: 3x  24 (10) que equivale a. 3x  3.8 (10)
 divido por 3 , x  8 (10)
Aquí aplicaste la propiedad que dice lo siguiente:
a. x  a. y (n)  (a, n) = 1 (a y n coprimos) entonces x  y (n)
Ahora bien.. luego dicen que en realidad las soluciones son los que están en las clases del 8
y 18, porque ya los de 28 se repiten con 8 porque el ejercicio originalmente es de modulo
(20), mi pregunta es:
si bien las clases son los múltiplos de 8 y 18, el resultado es el mismo verdad?... o sea "x =
8 (10)"
Pero lo que ocurre es que en Z20, 8  18 por lo que la ecuación original tiene dos soluciones
distintas ( en términos de clase). O sea que tenés que buscar todos los congruentes con
módulo 10 menores que 20.
3. Otra cosa... cuando estoy resolviendo ecuaciones de congruencia, divido las ecuaciones
por números coprimos a (n), ahora bien si deseo dividir por un numero que no es coprimo a
(n) debo dividir por el numero que deseo, o por el M.C.D entre ambos?
por ejemplo:
64x = 16 (84)
quiero dividir por 16 pero (16;84)=4
entonces debo dividir por 4 en vez de dividir por 16?
VA REPUESTA LUEGO DE 4.
4. Por otra parte que sucede si "a" es mas grande que "b" es decir luego de unos
cuantos pasos llego a la ecuación:
4x = 1 (21)
Página 22 de 34
ya no puedo dividir por nada... y la x no esta con coeficiente 1 ... entonces que hago?..
tengo que probar números hasta que salga? o hay otro método?
Para hallar esta única solución, un camino sería chequear por sustitución desde 0 hasta 21,
el número que satisface la ecuación. De lo contrario convendrá tener en cuenta el siguiente
resultado (no lo planteamos en el teórico)
Dado que por Bézout: (a, n) = 1 = s.a + t.n (con s y t enteros). Despejando en esta ecuación
quedará: s.a – 1 ; múltiplo de n con lo cual s.a  1 (mód n) y multiplicando por b y
asociando quedará: a. (s.b)  b (mód n) , de donde la única solución buscada será: S (E) =
{ s.b }.
(4, 21) = 1 = 21 – 4. 5 = (-5). 4 + (1). 21 (o sea que s = -5 y t = 1)
21 = 4.5 + 1
4 = 4.1 + 0
Por lo que la única solución será:  5.1 =  5 = 16
Para redondear el tema lo que podés hacer es directamente aplicar los teoremas enunciados
en el práctico de ecuaciones de congruencias y LISTO...
Por ejemplo:
La ecuación 6.x  3(4) carece de solución dado que (6, 4) = 2 y 2 no divide a
3 (ver resultado teórico de práctica!)
En cambio por ejemplo:
10.x  2(22)
R/
 En primer lugar habrá que buscar (10, 22) = 2 y como en este caso
2 | 2 la ecuación tendrá “2”soluciones.
 Luego se dividen los coeficientes de la ecuación por 2 y se obtiene la
ecuación auxiliar:
E’: 5.x  1 (11) que tendrá “1”solución en Z11 : S(E’) = { 9 }
 En función de la solución de E’, se obtiene la solución de E (En Z 22 )
S(E) = { 9 , 9  11 }={ 9 , 20 }
5. Y por ultimo...(AL FIN!!!) en clase hicimos un ejercicio que decía así... Cual es el
menor numero de 3 cifras que al dividirlo por 5 y por 7 tiene resto 3 en cada caso?..
lo que hicimos fue:
Página 23 de 34
n = 5.q1 + 3
n = 7.q2 + 3


luego igualamos 5.q1 = 7.q2
después dice como 5 no divide a 7 entonces 5 divide a q2 y viceversa con 7 y q1, y
después salta a 5.7=5.7 o sea 35... y después prueba con ese número.. ahora porque 5.7
de donde sale eso??.. porque multiplico los 2 coeficientes y empiezo a probar con eso?
Ay, bendita teoría que
haríamos sin vos!!
Acá se está teniendo en cuenta el pequeño – gran teorema (está en el teórico)que dice:
a| b.c (a, b) = 1 entonces a | c
O sea en este caso:
 5| 7.q2 (5, 7) = 1 entonces 5 | q2
 7| 5.q1 (7, 5) = 1 entonces 7 | q1
De donde q2 = 5.k y q1 = 7.k´, con lo cual nos va a quedar n = 35. t + 3 en ambos casos. Por
eso comenzamos a probar con 35 + 3 y luego con 35.2 + 3 y
finalmente con 35.3 +3 = 108 que sería el número buscado por tener tres cifras
bueno desde ya muchas gracias al que conteste todo esto.. y perdón por las molestias...
Salu2.
Voy a preparar los temas para mañana!!!
a.
10=2(22)
(10,22)=2 y como en este caso 2|2 la ecuación tendrá 2 soluciones. Luego se dividen los
coeficientes de la ec. por 2 y se obtiene la ec. auxiliar E':5x=1(11) que tendrá solución en
Z11: S(E')={9} en función de la solución E', se obtiene la solución de E en Z22:
S(E)={9,20}
Lo que no entiendo de este ejercicio es de donde surge S(E')={9} en Z11 y luego de donde
surge, Z22: S(E)={9,20}
Página 24 de 34
R/
En Z11 las soluciones posibles son: 0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9 y por reemplazo resulta que
únicamente 5.9 –1 = 44 resulta ser múltiplo de 11 y si leyeras los enunciados de los
teoremas que dan cuenta de la manera de los resolver los mismos (ver guía teórico –
práctica) verías que las soluciones están dadas por: 9, 9

11
20
b.
3x=2(5)
R/
Dado que (3, 5) = 1 y 1 | 2, la ecuación tendrá una única solución en Z5 resulta ser 4 ,
debido a que 3.4 – 2 = 10 y 10 es múltiplo de 5.
Ejercicio 172) Libro de Cátedra:
En Z11 dos soluciones (a,b) del sistema de ecuaciones indicado:
7x + y=1
x + 3y=2
Resolución:
- se suma a la 1ra. ecuación 4x de lo que resulta y = 1+4x
-se reemplaza en la segunda ec. el valor de y despejado en el paso anterior:
x +3.(1+4x)=2 sii x +3+x=2 sii 2x+3=2 sii 2x=10 si x=5
-reemplazando x por el valor hallado resulta y = 1+4.5=1+9=10
De este análisis se obtiene como única solución del sistema el par (5,10)
Quisiera pedirle si me puede realizar una explicación clara y sencilla de este ejercicio ya
que la anterior no la entiendo (Ej. 172)
R/
La resolución de un sistema de ecuaciones con congruencias se hace del mismo modo que
en el conjunto de los reales pero respetando , en este caso las operaciones en Z11:
a+ b = ab
Página 25 de 34
+
1
2
0
1
2
0
0
1
1
2
3
2
2
4
3
4
3
3
5
4
4
5
6
5
5
6
7
6
6
7
8
7
7
8
9
8
8
9
10
9
9
10
0
1
10
10
0
Y la tabla de producto:
4
4
3
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
5
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
6
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
7
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
8
8
9
10
0
1
2
3
4
5
9
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
6
7
10
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a ● b = a.b
(TABLA SIMÉTRICA DEBIDO A QUE EL PR
●
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
4
3
6
9
4
5
10
4
9
3
6
1
7
2
8
3
7
3
10
6
2
9
5
8
5
2
10
7
4
1
9
7
5
3
1
10
8
6
4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
1
5
9
10
El menor número que al ser dividido por 7, 11 y 13 en cada caso genera un residuo
máximo resulta ser igual a 1000:
R/
De acuerdo al enunciado el número buscado deberá cumplir con las siguientes condiciones:
Página 26 de 34

X= 76

X = 11  10

X = 13  12
Pero si tratáramos de unificar de alguna manera estas expresiones quedará:



X = 7  6 = 7  7 1  7 1






X = 11  10 = 11  11  1  11  1
X = 13  12 = 13  13  1  13  1
Finalmente como hay que elegir el menor número que verifica simultáneamente las tres
expresiones, este será : x = MCM (7, 11, 13) –1 = 1001-1 = 1000
Le pediria si me puede responder estas duda:
2)Es posible determinar dos números naturales a y b de modo tal que
a+b=120 y (a,b)=20
Desde ya muchas gracias
R/
1.
De acuerdo a la segundad condición planteada habrá que tener en cuenta que
necesariamente a y b tienen que ser múltiplos de 20, es decir que existirán números
naturales (porque se pide que a y b sean naturales) k y p de modo tal que :
a = k. 20 y b = p.20
Ahora bien si se tiene en cuenta la primera condición:
a + b = k. 20 + p.20 = 20. (k + p) = 120 sii k + p = 6
Habrá que considerar ahora las distintas soluciones posibles de la ecuación planteada en N:
k p
1 5
2 4
3 3
Estas soluciones a su vez estarán asociadas a valores conjuntos de a y b:
a b
20 100
40 80
60 60
Página 27 de 34
n n
1) Probar que si (a,b) = 1  (a , b ) = 1
Resolución:
n n
H) (a,b)=1
T) (a , b )=1
1 1
P(1) : (a , b ) = (a, b) = 1 por Hipótesis
h h
HI) (a , b ) = 1
h 1 h 1
h1
h1
TI) (a
, 1| b
, b ) =1 sii i)1 | a
y
ii) d | a
h1
, d |b
h1
 d |1
Dem./
i) Cierto ya que 1 es divisor de todo número entero.
ii)
Caso1:
Si es primo =d
De dónde surge el análisis de este caso?:
Simplemente se desdobla por cuetiones prácticas, para poder usar una propiedad anterior : d
puede que sea primo o que no lo sea. Se probará que dada cualquiera de esas dos
situaciones se arribará a lo mismo.
d |a
h 1
h 1
 d |b
 (d | a  d | a
h
 d |a. a
h
 d | b. b
)  (d | b  d | b
h
h

) (Propiedad de números primos)
 d |a  d | b (Propiedad de números primos)
 d |1 (ay b son coprimos por dato)
 d =1 (Absurdo pues d es primo, de dónde sale está afirmación: arriba se indicó que
d era primo y 1 no es primo, de allí el absurdo. De donde d no puede ser primo).
Caso2:
Si es compuesto = d =  p con pi factor primo de la descomposición n de d y donde la
i i
letra pi indica productoria!
(De dónde surge el análisis: se indicó arriba)
 p i | a. a
i
h
  p | b. b
i i
h
h

h
 (  p | a   p | a )  (  p | b   p | b )(Propiedad de números primos)
i i
i i
i i
i i
  p | a   p | b (Propiedad de números primos)
i i
i i
Página 28 de 34
 pi =1 (Por hipótesis pero es absurdo pues p i no sería un número primo y se contradice
con lo que se dijo antes! de dónde sale esta afirmación: de la hipótesis que te dice que a
y b son coprimos y del hecho que si producto de naturales es 1, entonces cada uno de
ellos será 1)
Entonces necesariamente ‘d’ debe ser igual a d=1 ¿de dónde surge?.
Si el número natural d ni puede ser primo ni puede ser compuesto necesariamente es
1!. Que afortunadamente es lo que había que probar!
2) También mi duda radica en el hecho cuándo tengo que demostrar, demostraciones de
enteros, si cuándo sumo algún término debo sumarlos a ambos miembros o puedo
también puedo también sumarlo en un miembro como en el sig. ejercicio:
Efectivamente la suma o resta o producto es miembro a miembro!
(1)a - b = n. k1  (2) a+nc-b = n.k2
a – b + nc = n. k1 + nc = n.k2 con k2 = k1 + c y así llegó a (2).
En (1) sumo nc
3) a  b  a
m
b
m
D / Por inducción
i)
p(1): Efectivamente a1  b1 por hipótesis
h
h
h 1 h 1
ii)
(paso inductivo)
b
a b  a
h 1 h 1
b
 a.a h  b.b h  a.a h  b.b h  b.a h  b.a h  (a  b).a h  b.(a h  b h ) 
D/ a
n.k  b.n.t  n.(k  b.t ) con k  b.t entero
(definición de potencia / suma y resta de lo mismo / ley asociativa y conmutativa / hipótesis
general e hipótesis inductiva)
4) El menor número al ser dividido por 7,11,13 genera un residuomáximo ¿Cómo surge la
respuesta?
R/
De acuerdo a lo indicado y denominando n al número buscado quedará:


N = 7 6 = 7 1


N = 11 10 = 11 1
Página 29 de 34


N = 13 12 = 13 1
Ahora bien como se busca el menor, bastará buscar el mínimo común múltiplo entre 7, 11 y
13 y restarle 1. Es decir que N = 1001 – 1 = 1000
No entiendo el enunciado!Ejercicio inventado: Si a y b son enteros coprimos y de efectuar
un análisis con d E N  d/10b  d/10a
Si fuese d  1, d E N existiría algún primo p tal que p/d.
En tal caso resultara : p/10b  p/10a
Siendo p primo: p/10b
(p/10  p/b)
p/10a
(p/10  p/a)
(p/10  p/b)  (p/10  p/a)
(p/10)  (p/a  p/b)
No entiendo el siguiente análisis al que se llega como conclusión : Pero si p/a  p/b
implicaría que : a y b no son coprimos , sino son primos, lo cúal no es posible por los
datos del problema ya que deben ser enteros coprimos. Se deduce entonces que p/10.
¿De dónde surge?
1.
Daniel y Marcos, profesores de educación física, decidieron abrir una escuela de fútbol.
Para dar a conocer su inauguración imprimieron 5000 folletos que aún no terminaron
de repartir. De estos quedan menos de la mitad pero mas de 1500. Los folletos que aun
faltan repartir pueden distribuirse en grupos de 30 , 35 , y 40 sin que sobre ninguno.
Respuesta: De acuerdo al enunciado el número buscado tendrá que ser múltiplo de 30,
35, 40, de donde la clave para dar la respuesta estará en el cálculo del mínimo común
múltiplo entre 30 , 35 , 40. Esto es [30 , 35 , 40] = 840 y como el múltiplo de 840
comprendido entre 1500 y 2500 es 1680 = 2840 , esta resulta ser la cantidad de folletos
que restan repartir.
Mi pregunta de este ejercicio es de donde sale la deducción que está
en color naranja.
Te sugiero que lo termines de aclarar en la clase de consulta con Silvia
2.
Como seria esta demostración:
En el conjunto de los enteros:
Si un número primo divide a un producto de n factores (con n  2) entonces divide a
alguno de los mismos.
R/
Página 30 de 34
Está resuelto en el final 3, ejercicio 122 del libro: “ Matemática discreta a través de una
instrucción didáctica” (libro de cátedra)
Se demostrará por inducción sobre el número de factores:
D/ i) p(2): Si p
y p es primo entonces p o p .
a.b
a
b
p
Si
nada habrá que probar
a
Si p habrá que probar que p . Dado que p es primo y p necesariamente
a
b
a
(a,p) = 1 = s.a + t.p con s y t enteros. Entonces multiplicando por “b “ambos miembros
quedará
p
b = s(a.b) + (b.t) p 
 s. (kp) + (b.t) p = (s.k + b.t).p con lo cual b
H)
ii) Paso inductivo:
Si lo enunciado vale para “h” factores entonces vale para “h + 1” factores. Es decir:
Hipótesis inductiva)
Si p
y p es primo entonces p para algún “i” de 1 a h
a 1 .a 2 ....a h
ai
Tesis inductiva)
Si p
y p es primo entonces p para algún “i” de 1 a h+ 1
a 1 .a 2 ....a h .a h 1
ai
 p: primo)
 p: primo)  ( p
D/( p
a 1 .a 2 ....a h .a h 1
(a 1 .a 2 ....a h ).a h 1
( p
)  p: primo
p
a 1 .a 2 ....a h
a h 1
 p para algún “i” de 1 a h + 1
ai
(propiedad asociativa / p(2) / hip.inductiva)
3.
Si f es la función mod. – 7, calcule f (17)
R/
Quiero creer que no entendiste el enunciado, ya que lo se te pide en definitiva es 17 7 o
17 módulo 7 . Tené en cuenta la propiedad que dice: a b n  a b n con lo cual lo que se pide
calcular es la clase ( MÓDULO 7) de 17.
Y como 17  7 3 (3 es el resto de la división entre 17 y 7), f (17) = 3
Página 31 de 34
Le pediría si me puede responder estos ejercicios para aclarar mis dudas:
1)Es posible determinar dos números naturales a y b de modo tal que
a + b =120 y (a , b)=20
2) Si a y b son coprimos entonces -a y -b también lo son.
3) Demostrar que los enteros x = a / (a , b) y z = b/(a , b) son coprimos.
Desde ya muchas gracias
R/
1.
De acuerdo a la segundad condición planteada habrá que tener en cuenta que
necesariamente a y b tienen que ser múltiplos de 20, es decir que existirán números
naturales (porque se pide que a y b sean naturales) k y p de modo tal que :
a = k. 20 y b = p.20
Ahora bien si se tiene en cuenta la primera condición:
a + b = k. 20 + p.20 = 20. (k + p) = 120 sii k + p = 6
Habrá que considerar ahora las distintas soluciones posibles de la ecuación planteada en N:
k p
1 5
2 4
3 3
Estas soluciones a su vez estarán asociadas a valores conjuntos de a y b:
a b
20 100
40 80
60 60
Finalmente de estas tres posibilidades la única que verifica la segunda condición es la
primera debido a que (40, 80) = 40 ǂ 20 y (60, 60) = 60 ǂ 20.
En consecuencia a = 20 y b = 100
2.
Dado que por hipótesis y por teorema de Bézout es posible determinar enteros s y t de modo tal que :
1 = s. a + t. b
A partir de esta ecuación se podrá obtener la ecuación equivalente a la misma:
1 = (-s). (-a) + (-t).(-b)
y entonces nuevamente por teorema de Bézout: (-a, -b) = 1 lo que significa que:
–a y –b son coprimos
Página 32 de 34
3.
Por teorema relativo a máximo común divisor (planteado sin demostración en guía
didáctica correspondiente a enteros):
es posible determinar enteros s y t de modo tal que :
d = s. a + t. b con d = (a, b)
Dividiendo ambos miembros por “d “ (esto es posible porque d ǂ 0), resulta:
a
b
+ t.
d
d
lo que por teorema de Bézout querría decir que :
1 = s.
a b
 ,   1 ( lo que se pidió probar)
d d
En el final que se tomo el 3-03-01 en el ej. 2.b
(a,b)=(a-b,b)
no entiendo cuando D(a-b,b)CD(a,b)<>x/a-b y x/b > x/(a-b)+b y x/b
de donde sale la b que esta en rojo.
R/
Simplemente se aplicó la propiedad que dice: en Z: a | b y a | c entonces a | b + c!!!
Con lo cual se probaría la inclusión: D (a-b, b) ⊆ D (a, b) del modo:
x | a-b ∧ x | b ⇒ x | (a-b) + b ∧ x | b⇔ x | a ∧ x | b
Silvia, q tal?, tengo un par de dudas del parcial del modulo c y d, son los ejercicios q
transcribo a continuación pero q no se como resolverlos. ..
1) el ej de enteros dice:
a) demuestre que si 5a y 3b son coprimos, entonces a y b también lo son.
b) halle (234,-56) y expréselo como combinación lineal de ambos números.
desde ya, muchas graciass,
Sebastián.
1) La clave está en considerar el:
Teorema de Bézout
(a, b) = 1 sii en Z:  s:  t: 1 = s. a + t. b
Página 33 de 34
Acorde al mismo:
5. a y 3. b: coprimos  (5. a, 3. b) = 1   s:  t: 1 = s. (5.a) + t. (3.b) 
  s:  t: 1 = (5.s).a + (3.t). b  en Z:  s´:  t´: 1 = s´.a + t´b (con s´= 5.s y t´= 3.t) 
a y b coprimos
2)
No hay más que aplicar el algoritmo de Euclides (divisiones sucesivas). El último resto no
nulo será el MCD y la expresión del mismo como combinación lineal entera de los números
en cuestión se obtendrá operando algebraicamente a partir de las operaciones efectuadas
con anterioridad.
R/
(234, - 56) = (- 56, 10) = (10, 4) = (4, 2) = (2, 0) = 2 = (-11). 234 + (- 46). (- 56)
Operaciones efectuadas:
234 = (- 56). (- 4) + 10
- 56 = 10. (- 6) + 4
10 = 4. 2 + 2
4 = 2.2 + 0
Salu2 
MHA
Quisiera saber cómo demostrar la siguiente propiedad de congruencias.
Gracias.
( a  b (n)  c  d (n) )  ( a  c  b  d (n)  a.c  b.d (n) )
R/
H)
T)
a  b (n) sii k  Z : a  b  k .n ( H 1 )
c  d (n) sii k ' Z : c  d  k '.n ( H 2 )
a  c  b  d (n) sii k ' ' Z : (a  c)  (b  d )  k ' '.n (T1 )
a.c  b.d (n) sii k ' ' ' Z : a.c  b.d  k ' ' '.n (T2 )
D)
 Si se parte de la hipótesis, sumando miembro a miembro se obtiene:
(a  c)  (b  d )  k.n + k’.n = (k + k’).n con k + k’ Z (T1).
 De H1: a = b + k.n y de H2 c = d + k’.n, con lo cual quedará:
Página 34 de 34
a.c – b.d = (b + k.n). (d + k’.n) – b.d = b.d + k’.b.n + k.d.n + k.k’n2 - b.d =
= k’.b.n + k.d.n + k.k’n2 = (k’.b + k.d + k.k’.n).n con k’.b + k.d + k.k’.n = s  Z.
De donde a.c – b.d = s. n con s  Z.
Hola Profesora , Muchas Gracias y acá van los otros :
¿Verdadero o falso?
1. En Z: a: b: a  b (módulo r.s)  a  b (módulo r)  a  b (módulo s).
2. En Zn con n 1:  x : y: x + y = 0
R/
1.VERDADERO
Como por hipótesis:  k  Z: a – b = k ( r. s), de esta afirmación se puede inferir:
o  k´  Z: a – b = (k r). s con k´ = k. r lo que significa que a  b (módulo r)
o  k´´  Z: a – b = (k s). r con k´´ = k. s lo que significa que a  b (módulo s).
2. VERDADERO
El par (x, n – x) satisface el enunciado: x + n  x = x  (n  x ) = n = 0
Tener en cuenta:
ab ab
Salu2

MHA
Zn = { 0 , 1 , ..., n  1 }