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MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número
que divide a todos exactamente.
Cálculo del máximo común divisor
1) Se descomponen los números en factores primos.
2) Se toman los factores comunes con menor exponente.
3) Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.
Método abreviado para hallar el M.C.D.
El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos se puede
hallar rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados entre
un factor común; los cocientes nuevamente entre un factor común y así
sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre sí. El m.c.d. es el
producto de los factores comunes.
Por ejemplo:
Hallar el m.c.d. de 3430, 2450, 980, 4410
3430
2450
980
4410
10
343
245
98
441
7
49
35
14
63
7
7
5
2
9
m.c.d.
=
10
X
2
7
=
490
Ejemplo práctico 01:
Hallar el M.C.D. de (72, 90,120)
Solución:
1. Factorizamos cada número
72=23 x 32
90=2 x 32 x 5
120=23 x 3 x 5
2. Factores comunes a todos elevados al menor exponente
Los factores son 2 y 3
3. M.C.D. (72, 90,120)=2 x 3=6
Respuesta: M.C.D. (72, 90,120) = 6
Ejemplo práctico 02:
Hallar el M.C.D. de (24,36)
Solución:
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8,12
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18
Como 24 y 36 tienen varios divisores en común: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y el mayor de
ellos es 12, por tanto el M.C.D. (24,36)=12
Respuesta: M.C.D. (24,36)=12
Ejemplo práctico 03:
Hallar el M.C.D de 1800, 420, 1260 y 108
1800
2
420
2
1260
2
108
2
900
2
210
2
630
2
54
2
450
2
105
3
315
3
27
3
225
3
35
5
105
3
9
3
75
3
7
7
35
5
3
3
25
5
1
7
7
1
5
5
1
1
3
1800 =
2
420
=
2
1260 =
2
108
2
=
Factores comunes
2
2
2
=
2
X
3
X
3
X
3
X
3
1
2
2
X
5
X
5
X
7
X
51
X
7
x
3
1
1
1
3
2
2
Respuesta: El M.C.D. es 22 x 3 = 12
Ejemplo práctico 04:
María quiere dividir una cartulina de 40 cm. de largo y 30 cm. de ancho en
cuadrados iguales, tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre
ningún trozo de cartulina.
¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?
Solución.1º Para que no le sobre ningún trozo, calculamos los divisores del 40 y del 30:
divisores del 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40
divisores del 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30
2º Como el ancho y el largo de un cuadrado son iguales, buscamos los
divisores comunes:
Divisores comunes del 40 y del 30: 1, 2, 5 y 10
3º Para que el cuadrado sea tan grande como se pueda, escogemos el máximo
divisor común.
m.c.d. (30, 40) = 10
Respuesta: Cada cuadrado hará 10 cm. de lado.
Ejemplo práctico N° 5
Carlos y Luis tienen 25 cuencas blancas, 15 cuencas azules y 90 cuencas rojas
y quieren hacer el mayor numero de collares iguales sin que sobre ninguna
cuenca.
¿Cuantos collares iguales pueden hacer?
¿Que numero de cuencas de cada color tendrá cada collar?
Solución:
El número de collares iguales será el m.c.d. ya que se busca un divisor común
a 25, 15 y 90.
Entonces
25
5
1
5
5
25
15
90
15
5
1
=
=
=
3
5
52
2
x
3
3
90
45
15
5
1
2
3
3
5
X
X
5
5
El M.C.D. = 5
Se pueden hacer 5 collares iguales.
Para hallar el número de cuentas en cada collar se tiene:
25 : 5 = 5 cuencas blancas
15 : 5 = 3 cuencas azules
90 : 5 = 18 cuencas rojas
Ejercicio práctico N° 06
Se compra en una florería 24 rosas y 36 claveles. ¿Cuantos centros de mesa
se puede elaborar si se coloca la máxima cantidad de flores sin que sobre
ninguna?¿Cuantas rosas y claveles se colocan en cada centro de mesa?
Si todos los centros de mesa son iguales, el máximo número de centros que
podemos realizar utilizando ambas flores son 12.
Para buscar el número menor a 24 y 36 y que sea divisible por ambos, se
utiliza el M.C.D. Hemos utilizado el m.c.d. ya que buscamos un número menor
a 24 y 36 y que sea divisible entre ambos.
36 ÷12 = 3 claveles en cada centro
24÷12 = 2 rosas en cada centro
24
2
36
2
12
2
18
2
6
2
9
3
3
3
3
3
1
24
36
1
=
=
2
3
2
2
x
x
3
3
2
Ejercicio práctico N° 07
En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 lts., 360 lts.
y 540 lts. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales.
Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se
pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de
garrafas que se necesitan.
Solución:
250
125
25
5
1
250 =
360 =
540 =
M.C.D. =
2
5
5
5
2
3
2
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
X
5
2
3
2
X
X
2
X
2
540
270
135
45
15
5
1
3
3
3
X
x
5
5
5
=
10
Capacidad de las garrafas = 10 litros.
Número de garrafas de T1 = 250/10 = 25
2
2
3
3
3
5
Número de garrafas de T2 = 360/10 = 36
Número de garrafas de T3 = 540/10 = 54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.
Ejercicio práctico N° 08
Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de
modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y,
además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y
el número de cajas necesarias.
Solución:
Calculamos el máximo común divisor.
12028
6014
3007
97
1
2
2
31
97
12772 2
6386 2
3193 31
103 103
1
2
12028 =
2
12772 =
2
2
M.C.D. =
2
2
X
31
X
97
X
31
X
103
X
31
=
124
m. c. d. (12 028, 12 772) = 124
El M.C.D. nos da el número de naranjas que entrará en cada caja.
El valor es 124 naranjas en cada caja.
Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103
Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Respuesta: Cajas necesarias = 103 + 97 = 200
Ejercicio práctico N° 09
Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm
de ancho, en cuadrados lo más grandes posible.
a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?
Solución:
a) La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y
además debe ser el mayor divisor común; luego hay que calcular el m.c.d.
(256, 96).
256
128
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
96
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
2
3
256 = 28
36 = 25 x 3
M.C.D. = 25 = 32
La longitud del lado del cuadrado es de 32 cm.
b) Área de la plancha de madera 256 x 96 = 24.576 cm2
Área de uno de los cuadrados 32 x 32 = 1.024 cm2
De la plancha de madera se obtienen 24 576 ÷ 1.024 = 24 cuadrados
Ejercicio práctico N° 10
El m.c.d de 600 y 1000 es :
a. 100
b. 200
c. 250
d. 500
Se tiene: 600 y 1 000
600
300
150
75
25
5
1
2
2
2
3
5
5
600 = 23 x 3 x 52
1000 = 23 x 53
M.C.D. = 23 x 52 = 200
1000
500
250
125
25
5
1
2
2
2
5
5
5
e. 600