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Álgebra
Áreas y Volúmenes
Ecuaciones de primer grado
m ) 3( x  1)  5  2 x  1
a ) 5x  6   3 x
b ) 14  3x  4x
n)
x3
1
5
o)
x
 5  2 x  14
3
p)
3 x
x3
5
q)
x  3 2x  1

4
2
6
r)
x 1 x  3

 1
6
4
s)
x  2 3x  1

4
4
8
t)
x 1 x  1 x  3


 2
8
6
5
u)
2x  3
3  3x
 10 
6
2
c)  16  6 x  2 x
d ) 5x  12  2 x  21
e) 7  3x  6 x  20
f ) 3  x  6  2 x  4
g ) x  2 (3x  1)  3 ( x  2)
h ) 4  2 ( x  1)  3 ( 2  x )  10
i ) 12  ( x  4)  6  x
j) 5  ( 2x  3)  4 ( x  1)
1 x

1

k ) 3  5x     2 x   3 
2 2

5

l)
2
(3x  7)  10  0
3
Soluciones
3
4
b) x  2
c) x  4
h) x10 i) x = 5
j) x  2
a) x 
o) x 
Geometría
57
5
p) x  3
q) x 
34
5
d) x 11 e) x  3
f ) x  10
15
81
l) x 
22
3
m) x  3
r) x  5
s) x 
37
5
t) x 
k) x 
-pág 2-Áreas y Volúmenes
203
29
g) x  2
n) x  8
u) x 
 54
7
Llamadas de teléfono
Desde el teléfono de una casa se han hecho 17 llamadas cuyo coste y duración están recogidos en la
siguiente tabla:
Duración (minutos)
Coste (€)
1
1
2
2
3
3
5
5
6
7
7
9
10
12
12
13
14
0’07
0’03
0’12
0’27
0’36
0’81
0’21
1’29
1’53
0’72
1’77
0’33
0’99
0’42
1’17
0’45
1’35
a) Sabiendo que existen tres tipos de llamadas: local, provincial e interprovincial, ¿podrías decir el
precio por minuto de cada tipo? ¿y el precio del establecimiento de llamada?
b)
Haz un estudio completo (gráfica, expresión algebraica, características) de las funciones que
te han permitido conocer las respuestas.
Ecuaciones y sistemas de primer grado
Cuando un problema se resuelve utilizando sólo números se dice que se emplea el método aritmético
y cuando se resuelve utilizando ecuaciones o sistemas de ecuaciones se dice que se emplea el método
algebraico.
Método algebraico
Para resolver un problema por el método algebraico se suelen seguir los siguientes pasos:
1. Elección de la incógnita o incógnitas. En el problema se designan por x, y, z, ...., las cantidades
que se van a hallar.
2. Planteamiento. Consiste en expresar en una o varias ecuaciones las relaciones entre los datos y
las incógnitas.
3. Resolución. Consiste en resolver la ecuación o sistema de ecuaciones que resultan en el planteamiento.
4. Comprobación y discusión. Consiste en comprobar si la solución encontrada verifica las ecuaciones planteadas y las condiciones del problema, interpretando si tiene sentido.
Geometría
-pág 3-Áreas y Volúmenes
Ejemplo: Eva gastó los
del dinero que tenía y después
quedaron 100 €. ¿Cuánto dinero tenía Eva?
Método aritmético
de lo que le restaba. Al final le
Método algebraico
 Sea 1 la cantidad que tenía Eva.
 Sea x la cantidad que tenía Eva.
 Gastó
 Gastó
y le quedó:
 Después gastó:
y le quedó:
 Después gastó:
de
 Total gastado:
 Total gastado:
 Le quedó a Eva:
 De 6 partes iguales de dinero, Eva se
gastó 5 partes. Le quedó una parte
que equivale a 100 €. Luego Eva tenía
€.
 Como lo que le quedó son 100 €, resulta:
€
1. Problemas sobre Números
Ejemplo: Descomponer el número 48 en dos partes tales que dividiendo una por otra se obtenga 3 de cociente y 4 de resto.
Si una parte es x, la otra será . De la regla de la división de
do igual a divisor por cociente más resto).
entre x resulta (dividen-
Por tanto, los números son 11 y 37.
Ejemplo: Dos números consecutivos son tales que la mitad del menor más el mayor excede en
13 a
del menor más
del mayor. Hallar los dos números.
Sean x y
los dos números consecutivos. Trasladando el enunciado al lenguaje algebraico, resulta la ecuación:
Los dos números son 10 y 11.
Ejemplo: Hallar dos números tales que si les agregamos 7 unidades los resultados están en la
relación 3 a 2, pero si les restamos cinco unidades, la razón de estas diferencias es
.
Sean x e y los números pedidos.
Geometría
-pág 4-Áreas y Volúmenes
Ejemplo: La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?
En el número que buscamos llamamos:
a la cifra de las unidades
a la cifra de las decenas
Recuerda que todo número de dos cifras se puede descomponer en suma:
El número de dos cifras yx se escribe:
El número de dos cifras xy se escribe:
Según el enunciado se tienen estas dos ecuaciones:
Estos valores son válidos por ser números naturales que verifican las condiciones del
enunciado.
1ª condición
2ª condición
2. Problemas sobre Edades
Ejemplo: Luis preguntó a su primo cuántos años tenía, y Juan le contestó: “Si al triple de los
años que tendré dentro de tres años le restas el triple de los años que tenía hace tres
años, tendrás los años que tengo ahora”.
Si llamamos x a los años que tiene ahora Juan, dentro de 3 años tendrá
tenía , por tanto la ecuación es:
y hace 3 años
años
Ejemplo: La edad de María es el doble que la edad de Julia. Hace 10 años la suma de las edades de las dos era igual a la edad actual de María. ¿Cuál es la edad actual de María?
¿Y la de Julia?
Llamemos:
edad actual de María
edad actual de Julia
Según el enunciado:
Los valores 40 y 20 son válidos porque son números naturales que verifican las condiciones del problema. Por tanto María tiene 40 años y Julia 20 años.
3. Problemas sobre móviles
Ejemplo: A las 9 de la mañana sale un coche del punto A con una velocidad de 80 km/h. Dos
horas más tarde sale una moto del punto A en persecución del coche anterior con
una velocidad de 120 km/h. ¿A qué distancia del punto A le alcanza?
Geometría
-pág 5-Áreas y Volúmenes
Cuando la moto sale a las 11 del punto A, el coche se encuentra en un punto B situado a
de A. Se puede suponer que la moto y el coche salen a las 11, uno de A y otro de B.
Sea C el punto de encuentro y t el tiempo, en horas, que tarda en alcanzar la moto al coche a partir de las 11 horas.
ventaja que lleva el coche a la moto.
espacio recorrido por el coche desde las 11.
espacio recorrido por la moto desde las 11.
horas
Distancia
km.
Ejemplo: Dos ciudades A y B distan entre sí 360 km. A las 5 de la tarde sale un coche de la
ciudad A a la ciudad B con una velocidad media de 70 km/h. A la misma hora sale
un camión de la ciudad B hacia A con una velocidad de 50 km/h. ¿A qué hora se encuentran los coches? ¿A qué distancia de las ciudades A y B se encuentran los
vehículos?
La suma de los espacios recorridos por los dos coches es igual a 360 km.
horas
Tardan en encontrarse 3 horas, por tanto si salieron a las 5 de la tarde se encuentran a las
8 de la tarde.
La distancia a la que se encuentran los vehículos es:
Ejemplo: Un móvil A sale de cierto punto P a las 8 de la mañana en línea recta, con velocidad
de 20 km/h. Otro móvil B sale del mismo punto de hora después, también en línea
recta, por otro camino que forma con el anterior un ángulo de 60º, con velocidad de
25 km/h. ¿a qué hora estarán los dos móviles a igual distancia del punto P? ¿qué distancia será ésta?
Sea t el tiempo que tardan en colocarse los dos móviles a igual distancia del punto P.
El móvil A habrá recorrido
B habrá recorrido .
Del enunciado se deduce:
Geometría
-pág 6-Áreas y Volúmenes
y el móvil
Los dos móviles A y B estarán a igual distancia a las 8 horas + 3 horas y 45 minutos = 11
horas y 45 minutos de la mañana.
La distancia será:
Ejemplo: Dos tractores parten juntos para recorrer 200 km. La velocidad por hora del primero es igual a la del segundo más 10 km. De este modo, el primero tarda una hora
menos que el segundo en hacer el recorrido. Se piden las velocidades de los dos tractores.
Si el tiempo que tarda el segundo tractor es t horas y su velocidad es v km/h, el primero
tarda horas y su velocidad es km/h. Como tenemos:
Sustituyendo
en la segunda ecuación por 200 tenemos:
Ahora hay que resolver el sistema:
El segundo tractor tarda 5 horas y su velocidad es de
tarda 4 horas y su velocidad es de .
mientras que el primer tractor
4. Problemas sobre porcentajes
Ejemplo: Un comerciante compra un pañuelo y una bufanda por 20 € y los vende por 22’60 €.
¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del pañuelo ganó el 10 por
100 y en la venta de la bufanda ganó el 15 por 100?
Llamemos:
el coste del pañuelo
el coste de la bufanda
Vendió el pañuelo por
Vendió la bufanda por
Resulta el sistema:
x  y  20 
 
1'1x  1'15y  226
x  8

y  12
Los resultados son válidos porque verifican las condiciones del problema, por tanto el
pañuelo cuesta 8 € y la bufanda 12 €.
5. Problemas sobre Mezclas
Frecuentemente existen en el mercado productos de la misma clase pero de calidad y precios diferentes. En ocasiones tiene interés mezclar dos calidades de un mismo producto con el fin de obtener un
producto de calidad intermedia y cuyo precio esté comprendido entre los precios de los productos
mezclados.
Geometría
-pág 7-Áreas y Volúmenes
La unión de varias sustancias distintas se llama mezcla. Consideraremos como mezclas la unión de
varias clases de azúcar, la unión de distintos tipos de vino, etc. No consideraremos mezclas la unión
de azúcar y arroz, ni la unión de lápices y gomas etc.
Ejemplo: Un comerciante tiene dos clase de café, la primera de 6 € el kg y la segunda de 7’2 €
el kg. ¿Cuántos kilos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kg de
mezcla a 7 € el kg?
Primera clase a
6 € kg
Número de kg
x
Valor del café
6x
72(60x)
Valor total de los 60 kg
de mezcla
6 x  72 ( 60  x )
7
60
Segunda clase a
7’2 € kg
6x72(0)
El primer miembro representa el precio
de 1 kg de café de la mezcla, obtenido
dividiendo el valor total de la mezcla por
el número total de kg, mientras que el
segundo miembro representa el precio de
1 kg de café de la mezcla, conocido por
el enunciado.
Resolviendo la ecuación se obtiene:
Por tanto, hay que poner 10 kg de 6 € y 50 kg de 7’2 €.
Ejemplo: Por 5’6 € se han comprado 6 kg de azúcar de la clase A y 2 kg de azúcar de la clase
B. Se mezcla 1 kg de azúcar de cada clase y se obtiene una mezcla que vale 0’75 € el
kg. ¿Cuánto vale el kg de azúcar de la clase A? ¿Y el de la clase B?
Llamemos:
al precio del kg de azúcar de la clase A
al precio del kg de azúcar de la clase B
Según el problema anterior obtenemos el sistema:
6x  2 y  5 6 


x 1  y  1
 075
2


x  065 €

 y  085 €
Es decir, el precio de 1 kg de azúcar de clase A es x  065 € y el precio de 1 kg de azúcar de clase B es y  085 €. Estos valores son válidos porque verifican las condiciones
del problema.
6. Problemas sobre Aleaciones
Se llama aleación a la mezcla de dos metales, proceso que se suele hacer fundiendo los mismos.
El metal de más valor se llama metal fino y el de menos valor se llama liga.
Se llama ley de una aleación al cociente entre el peso del metal fino y el peso total de la aleación.
Geometría
-pág 8-Áreas y Volúmenes
Ley 
Peso del metal fino
Peso total
Ejemplo: Mezclamos 800 gr de plata con 200 gr de cobre
Ley 
. Calcular la ley de la aleación.
800
 0'8
800 + 200
Ejemplo: Se tienen dos lingotes de oro, uno de ley 0’75 y otro de ley 0’95. ¿Qué peso hay que
tomar de cada lingote para obtener 1800 gr de aleación de oro de ley 0’9?
Oro de 0’750
Cantidad que se tiene
de cada lingote
x
Cantidad de oro puro
que hay en la parte
tomada de cada lingote
0'75 x
Oro de 0’950
0'95(18x)
La cantidad total de oro del lingote de 1800 kg es 0'91800
0
'
7
5
x

0
'
9
5
(
1
8
0
0

x
)

0
'
9

1
8
0
0

x

4
5
0
gr
Hay que tomar 450 gr de oro de ley 0’75 y 1350 gr de oro de ley 0’95.
7. Problemas sobre relojes
En los problemas sobre relojes hay que tener en cuenta el ángulo o arco descrito por la manecillas o
agujas del reloj: el arco que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe
el horario.
Ejemplo: Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las
manecillas?
Las manecillas se superpondrán a las 3 horas, 15 minutos y algo más. Ese algo más le
llamamos x, y es el arco que describe la aguja horaria, por lo tanto el arco que describe el
minutero será .
Como el arco que describe el minutero es 12 veces mayor que el arco que describe el horario, resulta la siguiente ecuación:
Por tanto las manecillas se superpondrán a las 3 horas, 16 minutos y 22 segundos.
Ejemplo: Un reloj marca las dos en punto. ¿A qué hora formarán por primera vez un ángulo
recto sus agujas?
Las manecillas del reloj forman un ángulo recto a las 2 horas y 25 minutos y algo más.
Ese algo más lo llamamos x, y es el arco que describe el horario, por lo tanto el arco que
describe el minutero será . Como el camino que recorre el minutero es 12 veces el del
horario en el mismo tiempo, resulta la ecuación:
Geometría
-pág 9-Áreas y Volúmenes
Las agujas forman ángulo recto por primera vez a las 2 horas, 27 minutos y 16 segundos.
8. Problemas sobre grifos
Ejemplo: Un grifo llena un depósito en 6 minutos y otro lo hace en 3 minutos. ¿Cuánto tardarán en llenarlo abiertos los dos a la vez?
Como se observa en el dibujo adjunto
el primer grifo llena en un minuto 1/6
del depósito y el segundo grifo llena
en un minuto 1/3 del depósito, por tanto entre los dos tardarán 2 minutos:
de depósito
Ejemplo: Un grifo A tarda en llenar una piscina 2 horas más que un grifo B. Los dos grifos
tardan 2 horas y 24 minutos en llenar la piscina. ¿Cuánto tiempo tardará cada grifo
en llenar la piscina?
Llamamos:
a las horas que tarda el grifo B en llenar la piscina
a las horas que tarda el grifo A en llenar la piscina
En 1 hora, el grifo B llena
mientras que el grifo A llena
2 horas y 24 minutos son: 2 horas + horas = horas
Como los dos grifos llenan la piscina en 2’4 horas, en una hora llenan
de la piscina.
La ecuación es:
La solución válida es 4, por tanto el grifo B tarda 4 horas en llenar la piscina y el grifo A
tarda 6 horas.
9. Problemas sobre figuras geométricas
Ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su
base es el triple de su altura?
Llamemos:
a la base del rectángulo
a la altura del rectángulo
El sistema es:
El área del rectángulo es:
Ejemplo: La diagonal de un rectángulo mide 10 cm y su área 48
a la base del rectángulo
a la altura del rectángulo
Geometría
-pág 10-Áreas y Volúmenes
. Calcular sus dimensiones.
10. Otros problemas
Ejemplo: Los 65 viajeros de un avión pertenecen a 4 países. Colocados en orden decreciente el
número de viajeros que corresponde a cada país, México (M), Venezuela (V), Argentina (A) y España (E), cada uno de ellos es 2/3 del anterior. ¿Cuántos viajeros van de
cada país?
Sea x el número de pasajeros de México.
Van de México 27 viajeros, de Venezuela 18, de Argentina 12 y de España 8.
Ejemplo: En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos
conejos y cuántas gallinas hay en el corral?
Llamemos:
al número de gallinas
es el número de patas de las gallinas y
es el número total de patas.
al número de conejos
el número de patas de los conejos, por tanto
El sistema es:
Por tanto hay 32 gallinas y 26 conejos.
Ejemplo: Entre dos vasos A y B de igual capacidad se distribuyen en partes desiguales 10 litros de agua. El vaso A se llenaría si se vertiesen los
del agua contenida en B, y
éste se llenaría si se le añadiera la mitad del agua contenida en A. Se desea saber el
agua contenida en cada vaso.
Si x es la cantidad de agua del vaso A, la de B será
.
Del enunciado se deduce:
litros
En el vaso A hay 4 litros y en el B hay 6 litros.
Ejemplo: Para pagar una cuenta de 23’4 €, un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares, recibiendo 0’45 € de vuelta. Y para pagar otra cuenta de 25’98 €, otro extranjero entrega 15 libras, 9 dólares y 0’15 €. ¿A qué cambio, en pesetas, se han cotizado
las libras? ¿Y los dólares?
Sea x el valor en euros de cada libra e y el valor en euros de cada dólar.
Geometría
-pág 11-Áreas y Volúmenes
9x  15y  045  23 4 
 
15x  9y  015  2598
x  1 23

y  085
Por tanto, cada libra se ha cotizado a 1’23 € y cada dólar 0’85 €.
Ejemplo: Epitafio de la tumba de Diofanto
La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de la vida de Diofanto (325-410) notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado
de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio
matemático. Reproducimos esta inscripción:
¡Caminante!
Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto
y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!,
cuán larga fue su vida, cuya sexta parte fue su infancia.
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida,
cuando de vello cubrióse su barbilla.
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
Pasó un quinquenio más
y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito,
que entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la Tierra,
que duró tan sólo la mitad que la de su padre.
Y con profunda pena descendió a la sepultura,
habiendo sobrevivido 4 años a la muerte de su hijo.
¿Cuántos años vivió Diofanto? ¿Cuántos años vivió su hijo?
Solución
años
Diofanto vivió 84 años, se casó a los 21, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80, murió a
los 84 y su hijo vivió 42 años.
Sistemas de ecuaciones lineales
Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
2x  10y  52

a)
y

x 8 
2

x 1 y  2


 2

3
2
e)

3x  2
 y  5 
4

Geometría
5 x  4 y  10

b)
x y

 3 
2 2

6x  y  20

f ) 3x  1 y

 5 
2
3

x y

 4 
c) 2 3

x  y  10
x y

  7

3 5
d)

x y
  2
3 4

x 1 y  3 

 3

2
3
g)

x 4 y 4 

1
3
2

-pág 12-Áreas y Volúmenes
2 x 3y


 5

3
4
h)

5x y
  3
3 2

3y  1
2x  4

3 

7
3
i)

y 4x 15 

 3
3
5

Soluciones
14

x  9
b) 
 y  40

9
x  6
a) 
y  4
41

x  5
g) 
 y   24

5
x  3
h) 
y  4
x  4
c) 
y  6
43

 x  3
d) 
y  100

9
x  2
e) 
y  4
73

 x  21
f) 
y   6

7
x  5
i) 
y  12
Ecuaciones de segundo grado
a ) 3x 2  5x  0
l ) ( 2 x  1)( 3x  5)  (1  5x )( 2x  1)  0
b ) 2 x 2  8x  0
1

m )  x   (3x  4)  0
3

c) x  81  0
2
d ) 25x 
2
1
0
100
x

n ) 4( 2x  1)   5   0
2

2
e) x  14 x  49  0
2
f ) ( x  2)(3x 1)  0
ñ)
o) x 2 
g ) 4(3  2x )(1  7 x )  0
p)
h ) 4x 2  4 x  1  0
i ) 4 x 2  28x  49  0
j) 3x  18x  27  0
16x
1

0
25 16
3
5
2x 1
 0
3 9
x2  x  0
q) x2  x  1  0
r) x 2  x  1  0
2
k ) 3x  6x  ( x  2)(5  3x)  0
Geometría
-pág 13-Áreas y Volúmenes
Soluciones
1

x
x  0
x  2

x  0
x   9



50
a) 
c) 
d) 
e ) x  7 f ) 
5 b) 
1
x  4
x  9
x  3
x  1
x  3



50
1
7


h ) x 
i ) x 
2
2


3

 x  2
g) 
x   1

7

55  5
1

x
x   2
x 




3
3
j) x  3 k ) 
l) 
1 m) 
x   55  5
x   2
x   4


3
3
5

x  0
x   16
x  ?
x  ?
1


ñ) 
o)  x  
p) 
r) 
5 q) 
3

x  ?
x  ?
x  5
x  3


16
1

x  
n) 
2
x  10
Geometría
Polígonos
Polígono es una superficie cerrada limitada por segmentos de recta llamados lados. Se llama
vértices a los extremos de los segmentos, diagonal al segmento que une dos vértices no consecutivos
y perímetro a la suma de las longitudes de todos los lados.
Polígono regular es aquel que tiene todos sus ángulos y sus lados iguales. Según el número de
lados que tengan reciben los siguientes nombres: triángulo (tres lados), cuadrilátero (cuatro lados),
pentágono (cinco lados), hexágono (seis lados), heptágono (siete lados), octógono (ocho lados),
eneágono (nueve lados), decágono (diez lados), undecágono (once lados), dodecágono (doce lados), etc...
EMBED CDraw \s \* MERGEFORMAT
Polígono regular
Área 
perímetro ·apotema p ·a

2
2
a = apotema
Geometría
-pág 14-Áreas y Volúmenes
Polígono cualquiera
El área se calcula descomponiendo el polígono en triángulos y calculando por separado sus áreas.
Atoal1234
Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados. Un triángulo puede ser del siguiente tipo: equilátero (los
tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales), escaleno (los tres lados diferentes), obtusángulo (un
ángulo obtuso), acutángulo (todos los ángulos agudos) y rectángulo (un ángulo recto).
Los ángulos de un triángulo suman 180º

EMBED CDraw \s \* MERGEFOR

MAT

Un lado de un triángulo es menor que la
suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
a  b c
a  b c
Triángulo
Perímetro = a + b + c
Área =
b·h
2
Triángulo rectángulo
Perímetro = a + b + c
Tª de Pitágoras a 2  b2  c 2
Altura: Es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto.
Ortocentro (H): Es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.
Geometría
-pág 15-Áreas y Volúmenes
Mediana: Es la recta que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto.
Baricentro (G): Es el punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. La
distancia del baricentro al vértice es doble
de la distancia del baricentro al punto medio.
Mediatriz: Es la perpendicular a un lado
que pasa por su punto medio.
Circuncentro (C): Es el punto donde se
cortan las tres mediatrices de un triángulo.
Este punto se encuentra a la misma distancia de los tres vértices, y es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
EMBED CDraw \s \* MERGEFOR-
Bisectriz: Es la recta que divide al ángulo
en dos partes iguales.
Incentro (I): Es el punto donde se cortan
las tres bisectrices de un triángulo. Está situado a la misma distancia de los lados y
es el centro de la circunferencia inscrita en
el triángulo.
MAT
Teorema de la altura
h2  p1 ·p2
EMBED CDraw \s \* MERGEFORMAT
Teorema del cateto
b 2  a · p1
c2  a ·p 2
Circunferencia inscrita en un triángulo.
El centro es el punto de corte de las bisectrices.
Geometría
-pág 16-Áreas y Volúmenes
Circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro es el punto de corte de las
mediatrices.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales, o lo que es equivalente, si tienen un
ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
El cociente entre los lados homólogos de
dos triángulos semejantes es igual a una
constante llamada razón de semejanza.
a
b c
   cte
a  b  c
De ésta expresión se derivan otras como
a a
a a
b b



b b
c c
c c
c
b
a
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es una figura limitada por cuatro lados. Los ángulos interiores del cuadrilátero
suman 360º. Hay tres tipos de cuadriláteros: paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Los paralelogramos tienen sus lados paralelos iguales dos a dos. Son paralelogramos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide. En los paralelogramos, las diagonales los dividen en
dos partes iguales y se cortan en el punto medio. Las diagonales del rombo y del cuadrado son perpendiculares.
Los trapecios tienen dos lados paralelos que se llaman bases. Trapecio rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Trapecio isósceles es el que tiene iguales los lados no paralelos.
Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.
Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.
Geometría
-pág 17-Áreas y Volúmenes
Rectángulo
Paralelogramo
Área b·h
Trapecio
Área =
B+ b
·h
2
Circunferencia
Es una curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. Se
llama radio a la recta que une un punto de la circunferencia con el centro de la misma. Todos los radios son iguales. Cuerda es una recta que une dos puntos de una circunferencia. Círculo es la porción de plano limitada por la circunferencia. Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y que por tanto tiene una longitud doble que la del radio. Arco es una porción de circunferencia. Sector circular es la porción de círculo comprendida entre dos radios. Segmento circular
es la porción de círculo comprendida entre un arco y su cuerda.
EMBED CDraw \s \* MERGEFORMAT
Circunferencia
Longitud=2r
EMBED CDraw \s \* MERGEFORMAT
Círculo
Área·r2
Geometría
-pág 18-Áreas y Volúmenes
EMBED CDraw \s \* MERGEFORMAT
Sector circular de nº
A   ·r 2 ·
nº
360º
Segmento circular
Área = Área del sector
área del triángulo
Posiciones de una recta y una circunferencia
Poliedros
Se llama ángulo poliédrico a la porción del espacio limitada por tres o más planos que se cortan dos a
dos y tienen todos ellos un punto común. En el ángulo poliédrico hay caras, aristas y vértices.
Poliedro es un cuerpo limitado por superficies planas en un número mínimo de cuatro. Los poliedros tienen: caras que son polígonos; aristas que son la intersección de dos caras; vértices que
son la intersección de las aristas; y diagonales que unen vértices situados en caras diferentes.
Un poliedro es regular cuando sus caras son iguales y los ángulos poliédricos de todos los vértices
también son iguales. Hay cinco poliedros regulares:
Tetraedro regular: tiene 4 caras que son triángulos equiláteros iguales. En cada vértice concurren
tres triángulos.
Octaedro regular: tiene 8 caras que son triángulos equiláteros iguales. En cada vértice concurren
cuatro triángulos.
Icosaedro regular: tiene 20 caras que son triángulos equiláteros iguales. En cada vértice concurren cinco triángulos.
Hexaedro regular o cubo: tiene 6 caras que son cuadrados iguales. En cada vértice concurren
tres cuadrados.
Dodecaedro regular: tiene 12 caras que son pentágonos regulares iguales. En cada vértice concurren tres pentágonos.
Geometría
-pág 19-Áreas y Volúmenes
Si C representa el número de caras, V el de
vértices y A el de aristas, se tiene la relación:
CVA2
Los Prismas
Un prisma es un poliedro que consta de dos caras iguales situadas en planos paralelos, llamados
bases, y varias caras que son paralelogramos y se llaman caras laterales. Si las caras laterales son
rectángulos, se dice que es un prisma recto, en caso contrario se dice que es un prisma oblicuo. La
distancia entre las bases es la altura del prisma. Si en un prisma recto las bases son polígonos regulares se dice que el prisma es regular y en caso contrario se dice irregular. Según la forma que tengan
las bases se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales,.....
Se llama área lateral de un prisma a la suma de las áreas de las caras laterales. Se llama área total
de un prisma a la suma del área lateral con el área de las dos bases.
El volumen de cualquier prisma es igual al área de su base por su altura.
Prisma recto de base rectangular o paralelepípedo
EMBED Equation
Perímetro = 4a + 4b + 4h
Área lateral = 2 ·(a ·h) + 2 ·(b · h)
Área total = 2 ·(a ·b) + 2 ·(a · h) + 2 ·( b ·h)
Volumen = a ·b · h
Prisma regular
Área lateral = Suma de las áreas de las caras
laterales.
Área total = Área lateral + 2·área de la base
Volumen = Área de la base · altura
Las pirámides
Geometría
-pág 20-Áreas y Volúmenes
La pirámide es un poliedro formado por una sola base que es un polígono de cualquier número
de lados y caras laterales que son triángulos que se unen en un punto llamado vértice. La altura de
una pirámide es la perpendicular desde el vértice a la base. Cuando la base de las pirámides es un polígono regular y el vértice está en la perpendicular a la base desde el centro del polígono se dice que
la pirámide es regular. En caso contrario se llaman irregulares. En las pirámides regulares la altura
de las caras laterales se llama apotema de la pirámide. A la porción de pirámide comprendida entre
la base y un plano paralelo a la base que corta a todas las caras laterales se le llama tronco de pirámide.
Pirámide regular
P ·a
2
P ·a
Área total 
 Área de la base
2
Área de la base ·altura
Volumen 
3
P  Perímetro de la base
Área lateral =
a = apotema de las caras laterales
Tronco de pirámide
Área lateral
Área total
EMBED Equation Volumen EMBED
Equation.2
perímetro de la base mayor
perímetro de la base menor
área de la base mayor
área de la base menor
apotema de las caras laterales
Cuerpos de revolución
Si hacemos girar una figura plana alrededor de una recta perteneciente al mismo plano, llamada eje de giro, se obtiene un cuerpo de revolución. Los principales cuerpos de revolución son el
cilindro, el cono y la esfera.
El cilindro es el cuerpo que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Las bases del cilindro son círculos cuyo radio es el lado no utilizado como eje de giro. El lado
que gira se llama generatriz. La altura de un cilindro recto es la distancia entre sus bases.
El cono de revolución es la figura engendrada por un triángulo rectángulo al girar sobre uno
de sus catetos. El lado que hace de eje de giro es la altura del triángulo, el otro lado es el radio de la
base del cono, y la hipotenusa es la generatriz. La altura de un cono es la distancia del vértice al centro de la base y coincide con la longitud del eje. El radio del cilindro es el del círculo de la base. Al
Geometría
-pág 21-Áreas y Volúmenes
cortar el cono por un plano paralelo a la base se obtiene un tronco de cono. Al cortar un cono recto
por un plano paralelo a la base, se obtienen un cono y un tronco de cono.
La esfera es el cuerpo de revolución engendrado al hacer girar un círculo sobre un diámetro. El
centro de la esfera es el centro del círculo que la engendra. La parte externa de la esfera se llama superficie esférica y todos sus puntos están a la misma distancia de su centro. El radio de la esfera
coincide con el radio del círculo y es el segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie esférica. Cualquier segmento que une dos puntos de la superficie esférica pasando por el centro es
un diámetro. Un diámetro es igual a dos radios.
EMBED CDraw \s \* MERGEFORMAT
Cilindro
Área lateral = 2 r ·h
Área total = 2 rh + 2 r 2
Volumen = r 2 · h
Cono
Área lateral = rg
Área total = r 2  r ·g
1
· r 2 h
3
g  generatriz
Volumen =
Tronco de cono
Área lateral
Área total
Esfera
Área = 4 r 2
4
Volumen = · r 3
3
Relación de semejanza entre las áreas y volúmenes de figuras semejantes
El cociente entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
Geometría
-pág 22-Áreas y Volúmenes
El cociente entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de su razón de semejanza.
Áreas
1) Una plaza de toros tiene 10m de radio. Alrededor de esta se encuentra el callejón formando una
corona circular de 2m de ancha. Se pide calcular el área de la plaza de toros así como del callejón.
2) La misma plaza tiene unas gradas que forman un sector de corona circular como indica la figura.
Suponiendo que cada asiento ocupa 0,75m2. ¿Cuántas personas caben en dicha plaza?
3) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene un área de 225m2?
4) Un rectángulo tiene un área de 143m2. Sabemos que un lado mide 11m. ¿Cuánto mide el otro
lado?
5) Un triángulo tiene un área de 400 cm2. Si la altura de dicho triángulo es de 16cm. ¿Cuánto medirá la base?
6) Un hexágono regular tiene un área de 96cm2. Calcula su perímetro sabiendo que la apotema mide
8cm.
7) Un pentágono regular tiene una superficie de 175cm2.Si la apotema mide 5cm. ¿Cuánto mide un
lado de dicho pentágono?
8) Calcula la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale 64m.
9) Un trapecio tiene una altura de 4m, su base menor mide 6m y su área es de 36m 2. ¿Cuánto vale
su base mayor?
10) Se desea embaldosar una sala rectangular de 12m de ancho y 6 de largo. Si el metro cuadrado de
baldosas nos cuesta 12 €. ¿Cuánto valdrá embaldosar la sala?
Geometría
-pág 23-Áreas y Volúmenes
11) Se desea embaldosar una sala rectangular de 9m de ancho por 14 de largo con baldosas de
40x30cm. ¿Cuántas baldosas se necesitan?
12) Queremos chapar el tablero de una mesa circular cuyo radio es de 90cm. Si el metro cuadrado de
chapa vale 12 €. ¿Cuánto valdrá dicha chapa?
13) Se desea construir un rombo que tenga una superficie de 98cm2. Pero además se desea que la
diagonal mayor sea el doble de la menor. ¿Cuánto deben medir las diagonales? ¿Y los lados de
dicho rombo?
14) El suelo de un piso de 50x20m se quiere cubrir con baldosas cuadradas de 20cm de lado. ¿Cuántas baldosas se necesitan en total?
15) Hallar el área del cuadrado interior de la siguiente figura.
16) Un cuadrado está inscrito en una circunferencia de radio 15cm como indica la siguiente figura.
a) Calcula el área del cuadrado.
b) Calcula el área de la parte coloreada.
17) Calcula el área de la siguiente figura:
18) La rueda de un coche tiene un diámetro exterior de 60cm. ¿Cuántas vueltas habrá dado la rueda
durante un trayecto de 20km?
Geometría
-pág 24-Áreas y Volúmenes
19) Una pared cuadrada está cubierta por baldosas cuadradas. Si sobre las dos diagonales hay un total de 65 baldosas. ¿Cuántas baldosas cubren toda la pared?
20) Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras:
21) Halla el área de la zona coloreada.
Geometría
-pág 25-Áreas y Volúmenes
22) En este dibujo encontrarás una demostración
china del Teorema de Pitágoras. Para encontrarla
procederás como sigue:
2
a) Halla el área del cuadrado exterior. Recuerda que(ab)2
que (ab)2
b) Halla el área de todas las figuras que forman
el cuadrado anterior. Es decir, del cuadrado
interior y de los cuatro triángulos.
c) Plantea una ecuación igualando el área del
cuadrado grande a la suma del área del cuadrado pequeño y las áreas de los cuatro triángulos.
d) Simplifica la ecuación e interpreta el resultado.
2
23) El señor Pancracio posee una finca de campo
con una piscina cuadrada con un árbol en cada
esquina como indica la figura. Ahora desea
construir en el mismo lugar una piscina también
cuadrada pero con el doble superficie pero para
ello no puede arrancar ningún árbol pues su mujer lo amenaza con el divorcio. Ayuda al pobre
Pancracio.
Soluciones:
2
2


1
)
A

3
1
4
1
5
m
A
1
3
8
2
3
m
2) 475
P
T
c
a
l
l
3) 15 m
7) 14 cm
11) 1050
8) 90’50 cm
9) 12 m
10) 864 €




9
8
9
c
m
D

1
9
7
8
c
m
l

1
1
0
5
c
m
13) d
14) 25000
b) A6421cm
2
2
17) A325cm
4) 13 m
5) 50 cm
6) 24 cm
12) 30 €
2
15) 51 43u
2
16) a) A450cm
18) 10610’32
19) La pared tiene de lado x, y en cada diagonal hay 33 baldosas de lado a y diagonal l, por tanto se
verifica:
1089  2a 2
2
1089 l
2
2
2
2
2
l  2a
(33l)  2 x
x 
 1089 baldosas
2
2
a
Geometría
-pág 26-Áreas y Volúmenes
2
2
2






2
9
4
2
u
.
l
.
A

2
9
4
2
u
b
)
P

2
8
4
8
u
.
l
.
A

3
6
2
8
u
c
)
P

3
9
u
.
l
.
A

3
9
8
0
u
20) a) P
2
2



d
)
P

4
4
u
.
l
.
A

5
1
8
7
u
e
)
P

2
0
2
8
u
.
l
.
A

2
6
2
8
u
2
2
2
2
2
2



)
A

8
u
b
)
A

1
2
7
3
9
u
c
)
A

9
u
d
)
A

7
7
2
u
e
)
A

1
0
9
3
u
f
)
A

2
4
u
21) a
ba 2
; c ; ( a  b) 2 c ) ( a  b) 2  2ab  c 2 d ) (a  b ) 2  a 2  2ab  b 2
2
En la nueva piscina cuadrada, los árboles estarán situados en la mitad de cada lado.
2
22) a ) A  (a  b ) b)
23)
Volúmenes
Un prisma es un cuerpo cuya sección recta es constante a lo largo de toda su longitud. Este hecho
nos dará un método muy fácil para calcular el volumen de cualquier prisma. Así el volumen de un
prisma será el área de la sección por su longitud.
1) Calcula el volumen y el área superficial de las siguientes figuras:
2) Halla la altura de un cilindro cuyo volumen es 300 cm3 y cuyo radio mide 5 cm.
3) Tenemos un bote cilíndrico de 15 cm de altura y cuya base tiene 5 cm de radio.
a) Calcula el volumen de dicho bote.
Geometría
-pág 27-Áreas y Volúmenes
b) ¿Hasta que altura hay que llenar el bote para tener un litro de agua?
4) Una tarta mide 8 cm de alta y tiene un diámetro de 25 cm.
a) Halla el volumen de dicha tarta.
b) ¿Qué diámetro tendría una tarta con la misma altura que la anterior pero con el doble de volumen?
5) Tenemos una pecera cilíndrica de 20 cm de radio con agua hasta una altura de 10 cm. ¿Cuánto
subiría el nivel del agua si tiráramos en el interior un lingote de 3 cm de alto por 5 de ancho por
10 de largo de manera que el agua lo cubriera totalmente?
6) Calcula el volumen de la siguiente rueda sabiendo que tiene un diámetro exterior de 60 cm, un
diámetro interior de 40 cm y 15 cm de ancha.
7) Utilizando el Principio de Arquímedes “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un
empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja” calcula el peso de la rueda
anterior si al sumergirla en agua permanece tumbada saliendo por fuera del líquido 5 cm.
8) Estamos situados en el puerto de Dénia cuando está descargando un barco procedente de Baleares. A nivel de flotación el barco tiene una silueta como esta, donde las unidades vienen expresadas en metros.
Geometría
-pág 28-Áreas y Volúmenes
Si desde que comienza a descargar hasta que termina, el barco se eleva medio metro sobre el nivel del agua. ¿Cuánto peso ha descargado el barco?
9) Una piscina tiene una forma como la de la figura. Calcula la capacidad de dicha piscina si las
medidas vienen dadas en metros.
Soluciones:
V  36
1) a ) 
A  72
V  64
b) 
A  96
V  7539
f) 
A  12624
V  24
c) 
A  ?
V  26696
g) 
A  2591
V  48
d) 
A  56 
V  94'5
e) 
A  132 56
V  144
h) 
A  276
V  117809 cm3
V  3926'96 cm3
3

h

3
8
1
c
m
2)
3) 
4) 
5) h011cm 6) V2356194 cm


h

1
2
73
cm
d

3
5
35
cm


7) P1570796gr.
Geometría
8) P  686.000 kg.
9) V  476,25 m3
-pág 29-Áreas y Volúmenes