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TALLER DE MATRICES
INVERSIÓN DE MATRICES
Sí A y B son dos matrices cuadradas tales que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, entonces 𝐵 es llamada la inversa de
𝐴 (𝐵 = 𝐴−1 ) y 𝐴 es llamada la inversa de 𝐵 (𝐴 = 𝐵−1 ).
Propiedades:
1) Una matríz cuadrada 𝐴 es invertible si y solo si es una matríz no singular (es decir tiene
determinante distinto de cero)
2) La inversa de una matriz cuadrada no singular es única.
3) Sí A es una matriz no singular, entonces 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ⇒ 𝐵 = 𝐶
4) 𝐴−1 es única
5) (𝐴−1 )−1 = 𝐴
6) Sí 𝐴𝐵 es invertible, entonces (𝐴𝐵)−1
Para invertir matrices existen varios métodos, pero nosotros nos abocaremos sólo al método de
transformaciones de filas, conocido como método de Gauss-Jordan.
Este método que es aplicable a cualquier matriz cuadrada no singular siendo esta una de sus
principales ventajas respecto de los otros métodos.
INVERSIÓN DE MATRICES 2X2 POR MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
1 2
Ejemplo: calcular la inversa de la matriz �
�
−1 1
Metodología
Escribir una matriz ampliada que tenga a su izquierda la matriz original y a su derecha la matriz
identidad.
1 2 ∥1 0
�
�
−1 1 ∥ 0 1
Entonces a estas dos matrices hay que aplicarles transformaciones elementales por fila con el objetivo
que a la izquierda ahora aparezca la identidad, la matriz que resulte a la derecha será la inversa de
nuestra matriz original.
i)
Primera transformación: en la segunda fila escribimos el resultado de sumar la primera
con la segunda fila
1 2 ∥1 0
�
�
0 3 ∥1 1
ii)
Segunda transformación: 3 veces la fila uno sumada con (-2) veces la fila dos, dejando el
resultado en la fila 2
3 0 ∥1 −2
�
�
0 3 ∥1
1
iii)
iv)
Tercera transformación multiplicamos la primera fila por un tercio y la segunda fila
también por un tercio
2
1
−
1 0 ∥
3�
3
�
1
1
0 1 ∥
3
3
Y ya tenemos la identidad en el lado izquierdo, por lo tanto la matriz del lado derecho
corresponde a la inversa de nuestra matriz, que la escribimos de la siguiente forma:
1 1 −2
𝐴−1 = �
�
1
3 1
PROF.: SR. CHRISTIAN CORTÉS D.
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Una forma de comprobar que el resultado es correcto es multiplicar ambas matrices cuyo
resultado debe ser la identidad.
Ejemplos: Calcular las inversas (si existen) de las siguientes matrices usando el método de GaussJordan.
3 4
(1) �
�
5 7
5 4
(2) �
�
6 5
1 1
(3) �
�
1 2
0 −2
(4) �
�
1
5
−3 2
(5) �
�
0 8
Johann Carl Friedrich Gauss, nacido el 30 de abril de 1777, murió el 23 de
febrero de 1855. A la edad de 7 años Gauss ingresa a la escuela primaria y su potencial fue notado
inmediatamente. Su profesor Mr. Buttner se sorprendió cuando Gauss sumó rápidamente los números
del 1 al 100 al detectar que equivalía a la suma de 50 pares que sumaban 101.
En 1792 a la edad de 15 años, Gauss apoyado por el duque de Brunswick-Wolfenbuttel , ingresó al
Brunswick Collegium Carolinum. En dicha academia Gauss descubrió independientemente el teorema
del Binomio, la media aritmética – geométrica, así como la ley de reciprocidad cuadrática y el teorema
de los números primos. En 1795 Gauss deja Brunswick y se va a estudiar a la Universidad de
Gottingen la cual deja en 1798 sin un diploma, pero en ese momento él había hecho uno de sus
descubrimientos mas importantes desde la época de los griegos: la construcción de un polígono
regular de 17 lados. Gauss vuelve a Brunswick donde se gradúa en 1799 con la tesis sobre el teorema
fundamental del Álgebra. Luego de estos aportes el núcleo investigativo de Gauss fue por el lado de la
Astronomía.
Su último intercambio científico conocido fue con Gerling. Se refirió a un péndulo de Foucault
modificado en 1854. También fue capaz de asistir a la inauguración de la nueva conexión ferroviaria
entre Hanover y Göttingen, pero esto resultó ser su última salida. Su salud se deterioró lentamente, y
Gauss murió mientras dormía temprano en la mañana del 23 de febrero de 1855.
PROF.: SR. CHRISTIAN CORTÉS D.
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Wilhelm Jordan (1842-1899). Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de
Eliminación de Gauss-Jordan que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados. Esta
técnica algebraica apareció en su Handbuch der Vermessungskunde (1873).
Wilhelm Jordan, en su trabajo sobre topografía, usó el método de mínimos cuadrados de forma
habitual. Como en astronomía, cuando se realizan observaciones geodésicas existe una redundancia en
medidas de ángulos y longitudes. No obstante, existen relaciones que conectan las medidas, y se
pueden escribir como un sistema lineal sobre-determinado (más ecuaciones que incógnitas) al cual se
le aplica el método. El propio Jordan participó en trabajos de geodesia a gran escala en Alemania
como en la primera topografía del desierto de Libia. En 1873 fundó la revista alemana Journal of
Geodesy y ese mismo año publicó la primera edición de su famoso Handbuch.
Como los métodos de mínimos cuadrados eran tan importantes en topografía, Jordan dedicó la
primera sección de su Handbuch a este asunto. Como parte de la discusión, dio una detallada
presentación del método de eliminación de Gauss para convertir el sistema dado en triangular.
Entonces mostró cómo el técnica de sustitución hacia atrás permitía encontrar la solución cuando se
conocían los coeficientes. Sin embargo, anota que si se realiza esta sustitución, no numérica sino
algebraica-mente, se pueden obtener las soluciones de las incógnitas con fórmulas que involucran los
coeficientes del sistema. En la primera y segunda edición (1879) de su libro simplemente dio estas
fórmulas pero en la cuarta edición (1895) dio un algoritmo explícito para resolver un sistema de
ecuaciones con matriz de coeficientes simétrica, que son las que aparecen en los problemas de mínimos
cuadrados. Este algoritmo es, en efecto, el método de Gauss-Jordán.
Aunque Jordan no usó matrices como lo hacemos actualmente, realizaba el trabajo sobre tablas de
coeficientes y explicaba cómo pasar de una fila a la siguiente, como muchos textos hacen hoy en día.
La mayor diferencia entre su método y el actual es que Jordan no hacía el pivote de cada fila igual a 1
durante el proceso de solución. En el paso final, simplemente expresaba cada incógnita como un
cociente con el pivote como denominador.
El Handbuch se convirtió en un trabajo estándar en el campo de la geodesia, llegando hasta diez
ediciones en alemán y traducciones a otras lenguas. Incluso la octava edición de 1935 contenía la
primera sección con la descripción del método de Gauss-Jordan. En la edición más reciente, publicada
en 1961, ya no aparece. Por supuesto, en esa edición gran parte de lo que Jordan había escrito
originalmente había sido modificado más allá de lo reconocible por los editores.
A mediados de la década de 1950 la mayoría de las referencias al método de Gauss-Jordan se
encontraban en libros y artículos de métodos numéricos. En las décadas más recientes ya aparece en
los libros elementales de álgebra lineal. Sin embargo, en muchos de ellos, cuando se menciona el
método, no se referencia al inventor.
PROF.: SR. CHRISTIAN CORTÉS D.