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27/01/2011
TRIGONOMETRÍA
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· Notación en un triángulo:
En un triángulo cualquiera llamaremos ‘a’, ‘b’ y ‘c’ a sus lados y ‘A’, ‘B’ y ‘C’ a sus vértices
de forma que ‘A’ sea el vértice formado por los lados ‘b’ y ‘c’; ‘B’ el vértice formado por los
lados ‘a’ y ‘b’ y ‘C’ el vértice formado por los lados ‘a’ y ‘b’.
Denotaremos por
al ángulo que se forma en el vértice A, por β al del vértice B y por γ al
de C. (Otra posible notación es llamar al ángulo del vértice A, Â, y lo mismo con los demás).
α=
A+ B A − B
yβ =
2
2
· Teoremas (para cualquier tipo de triángulo):
- Teorema de los senos:
a
b
c
=
=
senα
senβ
senγ
Es decir: el cociente de un lado entre el seno del ángulo opuesto es igual al cociente de otro
lado entre el seno del ángulo opuesto a este e igual al cociente del otro lado entre el seno de su
ángulo opuesto.
C
Veamos la demostración:
Aplicamos la estrategia de la altura
Por definición de seno y dado que hemos divido el triángulo
en dos triángulos rectángulos tenemos:
h

⇒ h = b·senα 

b
 ⇒ bsenα = asenβ
h
senβ =
⇒ h = a·senβ 

a
a
b
=
Luego:
senα
senβ
senα =
Hacer la otra igualdad.
A
b
h
c
H
a
B
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-
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Teorema del coseno:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
La demostración se hace con la estrategia de la altura y aplicando Pitágoras
Lo que tenemos que hacer es dividir un triángulo cualquiera en dos triángulos
rectángulos trazando una altura sobre una de sus bases, calcular las bases de los nuevos
triángulos en función de datos conocidos y luego aplicar Pitágoras sobre los triángulos
rectángulos.
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- FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS - Para saberse todas estas fórmulas sólo es necesario saber dos de ellas y a partir de estas se
pueden obtener las demás de forma muy sencilla.
Nos vamos a aprender las dos fórmulas del ángulo suma, que son:
sen(α + β ) = senα cos β + cos α sen β
cos(α + β ) = cos α cos β − senα sen β
Para memorizar estas fórmulas puede servir de ayuda acordarse de que la fórmula siempre va a
empezar por la razón trigonométrica que queremos calcular, es decir, la fórmula del seno del
ángulo suma empieza por seno y la del coseno pues por coseno.
Ahora, como sabemos que la tangente es seno entre coseno, para saber la fórmula de la
tangente del ángulo suma no tenemos que hacer nada más que dividir el seno del ángulo suma
entre el coseno del ángulo suma:
tan(α + β ) =
sen(α + β )
=
cos(α + β )
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Usamos estas fórmulas para calcular las razones trigonométricas de un ángulo que podemos
escribir como suma de otros dos de los que conocemos sus datos, por ejemplo, para calcular las
razones del ángulo 75º tenemos en cuenta que 75º = 30º + 45º
- Las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos son muy fáciles de obtener
teniendo en cuenta que cos(− β ) = cos β y sen(− β ) = − senβ
Luego:
sen (α − β ) = senα cos(−β ) + cos α sen (−β ) = senα cos β − cos α sen β
cos(α − β ) = cos α cos( −β ) − senα sen( −β ) = cos α cos β + senα sen β
La tangente queda como ejercicio.
Para recordar estas fórmulas y las del ángulo suma puede servir de ayuda recordar que las
fórmulas son iguales salvo los signos y que en el caso del seno coinciden los signos en el
sentido de que si estamos con el seno del ángulo suma entonces sumamos en la fórmula y que
si estamos en el seno de la diferencia entonces restamos; pero que con el coseno los signos van
cambiados, es decir, el coseno del ángulo suma tiene un signo menos en la fórmula y en la
diferencia un signo más.
Usamos las fórmulas de la diferencia de dos ángulos de igual manera que la del ángulo suma;
pero escribiendo el ángulo en cuestión como la diferencia de dos conocidos. Por ejemplo:
60º-45º = 15º
- Las razones trigonométricas del ángulo doble son fácilmente deducibles de las expresiones
del ángulo suma, con lo cual no hay necesidad de aprendérselas de memoria; aunque sí son
muy utilizadas para resolver problemas trigonométricos que requieren simplificar una
expresión, como ya vimos en algunas ecuaciones.
sen (2α ) = 2 senα cos α
cos(2α ) = cos 2 α − sen 2α
Resaltamos una vez más que las expresiones de cada fórmula empiezan por la razón
trigonométrica que estamos calculando, así, cuando tengamos el cos2α no nos olvidamos de
que restamos cos2α menos sen2α.
En cuanto a la tangente no es más que aplicar la definición y luego dividir numerador y
denominador entre cos2α.
Usamos estas expresiones para calcular por ejemplo las razones de 120º ya que 120º = 2·60º
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- Las razones del ángulo mitad son en mi opinión las más complicadas de recordar, tanto las
fórmulas como sus demostraciones; pero para no olvidarlas vamos a acordarnos de que las
demostraciones se obtienen a base de usar fórmulas que tienen tanto el cuadrado del seno como
el del coseno y estas fórmulas de tenemos que escribir en función del ángulo mitad.
α
2 α
+ sen 2 = 1 (esta igualdad se da
Una de las fórmulas es la igualdad fundamental cos
2
2
siempre independientemente de cómo tengamos expresado el ángulo, lo único imprescindible
es que el ángulo que acompaña al seno sea el mismo que el que acompaña al coseno); y la otra
la obtenemos a partir de la del cos2α de la siguiente manera:
El ángulo lo dividimos entre dos, por lo que para que se mantenga la igualdad del ángulo doble
también dividimos entre dos todos los ángulos que aparecen en la fórmula, así obtenemos que:
α
α
cos(α ) = cos 2 − sen 2
2
2
Ahora obtenemos el seno y el coseno fácilmente resolviendo el siguiente sistema (por
reducción):

2 α
2 α
 cos(α ) = cos 2 − sen 2

 1 = cos 2 α + sen2 α

2
2
Las fórmulas del seno y el coseno del ángulo mitad son:
Tanto el cálculo de la tangente como el uso de estas fórmulas son similares a los casos
anteriores.
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- Sumas y diferencias de senos y cosenos
Estas fórmulas se recuerdas fácilmente si tenemos en cuenta que cuando sumamos o restamos
senos en la fórmula tenemos el producto de seno y coseno y que cuando lo hacemos con los
cosenos el producto es sólo de senos o sólo de cosenos.
Las demostraciones no tienen más complicación que usar las fórmulas del seno del ángulo
suma y el seno de la diferencia de ángulos para calcular la suma y diferencia de senos (está
hecha en el libro) y lo mismo para el coseno:
 cos(α + β ) = cos α cos β − senα senβ

 cos(α − β ) = cos α cos β + senα senβ
Si sumamos las dos expresiones se nos van los senos y tenemos:
cos(α + β ) + cos(α − β ) = 2 cos α cos β
Si llamamos A=α+β y B=α-β, resolviendo el sistema obtenemos que α =
A+ B
A− B
yβ =
2
2
con lo cual obtenemos la ecuación buscada para la suma de cosenos.
Para la resta de cosenos es el mismo procedimiento pero restando las expresiones iniciales, con
lo que se nos van los cosenos.
Usamos estas fórmulas simplemente para calcular sumas y diferencias de senos y cosenos.
Todas estas fórmulas son necesarias para resolver ecuaciones trigonométricas las cuales se
resuelven fácilmente por métodos conocidos de ecuaciones cuadradas y bicuadradas entre
otros.
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ATENCIÓN
Hay que tener cuidado con varias cosas cuando hablamos de trigonometría y ecuaciones
trigonométricas:
•
No operemos a lo loco, teniendo especial cuidado con no mezclar datos del ángulo con
coeficientes que acompañen a la expresión, así:
3 cos α ≠ cos 3α
•
Comprobamos siempre las soluciones obtenidas en una ecuación trigonométrica.
•
Siempre haremos las operaciones necesarias para simplificar una expresión hasta que
queda en función únicamente de senos, cosenos o tangentes, tanto para facilitar el
cálculo como la resolución de ecuaciones.
•
Ojo a la hora de resolver ecuaciones del tipo sen 2 x = 1 ya que para despejar x de esta
expresión tendríamos que 2x=arctan1 (2x es el ángulo cuya tangente es 1), con lo que
2x = 90º => x = 45º.
•
Cuidado a la hora de resolver ecuaciones bicuadradas ya que al deshacer el cambio de
variable obtenemos dos soluciones por cada raíz cuadrada que hagamos: una positiva y
otra negativa (ver ejercicios).
•
Cuando tenemos una operación del estilo 2 tan
•
No te olvides de que el común denominador se hace cuando hay sumas o restas de
fracciones y no cuando están multiplicadas.
•
Si divides o multiplicas el numerador de una fracción haz la misma operación en el
denominador.
4x + 2x
hay que fijarse que el 2 no
3
podemos operarlo con nada; pero que lo que está ‘dentro’ de la tangente sí y, por tanto:
4x + 2x
2 tan x
4 tan x
2 tan
= 2 tan 2 x = 2
=
.
2
3
1 − tan x 1 − tan 2 x