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CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO EN MOVIMIENTO PLANO
5.1
INTRODUCCION
Cuerpo Rígido
Sistema dinámico que no presenta deformaciones entre sus partes ante la acción de fuerzas. Matemáticamente, se
define como cuerpo rígido aquel en que la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece
invariante. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan algún grado de deformación. Sin embargo, la suposición
de rigidez total es aceptable cuando las deformaciones son de magnitud despreciable frente a los desplazamientos
de cuerpo rígido y no afectan la respuesta del cuerpo ante las acciones externas.
Cuerpo Rígido en Movimiento Plano
Caso en que cada partícula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo. Nótese que este caso incluye
tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales, tales como láminas, discos, etc., moviéndose en su propio
plano, como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita.
Configuración
Supóngase un cuerpo rígido en movimiento plano. Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo,
forman ángulos θ1 y θ2 respectivamente con una referencia fija. Pero θ1 = θ2 + β?donde
β?es constante. Esto quiere decir que si se conoce la posición angular de cualquier
recta fija al cuerpo, se conoce la posición angular del cuerpo. Además, ∆θ1 = ∆θ2,
por lo tanto, la velocidad angular Ω y la aceleración angular α son las mismas para
cualquier recta fija al cuerpo.
Para especificar la configuración de un cuerpo rígido en movimiento plano
es conveniente utilizar un sistema de referencia S’ fijo al cuerpo con
origen en O’. La configuración del cuerpo rígido queda completamente
determinada mediante las coordenadas x(O’) e y(O’) y el ángulo θ que
forma x’ con x.
5.2
B
θ1
A
C
y
y’
o’
x
x(o’)
B’
Movimiento Relativo
Supóngase que el cuerpo rígido se mueve en forma tal que la recta
AB fija al cuerpo pasa a la posición A’B’. Los cambios de
posición de A y B son ∆rA y ∆rB respectivamente. El
desplazamiento de AB se puede descomponer en un
desplazamiento paralelo a la posición original hasta A’B’’ y luego
una rotación de A’B’’ en torno a A’, hasta llegar a A’B’. Nótese
que esta rotación corresponde a la rotación absoluta del cuerpo
rígido. El desplazamiento de B es entonces:
∆rB rB/A
B’’
∆rA
B
A’
y
La velocidad y aceleración de B también se pueden
o
escribir en términos del movimiento de A.
vB = vA + vB / A
x’
θ
y(o’)
RELACION ENTRE EL MOVIMIENTO DE DOS PUNTOS
EN EL CUERPO RIGIDO
∆ r B = ∆r A + ∆ r B / A
θ2
D
∆rA
rB/A
A
x
aB = a A + aB / A
CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM - Cap 5 Cinemàtica del Cuerpo Rigido en Movimiento Plano
5-1
Dadas las características del cuerpo rígido, B describe un movimiento circular en torno a A, con la velocidad
angular Ω y la aceleración angular α d? el cuerpo rígido. Se tiene entonces:
vB = vA + Ω × rB / A
( 5.1 )
a B = a A + Ω × (Ω × r B / A ) + α × r B / A
( 5.2 )
Este resultado indica que si se conoce el movimento de un punto cualquiera fijo al cuerpo rígido, y se conoce el
movimeto de rotación del cuerpo, se puede conocer el movimiento de cualquier punto fijo al cuerpo.
Centro Instantáneo de Rotación
Supóngase que existe un punto fijo al cuerpo rígido, tal que su velocidad es nula en un instante dado. En la Ec.
5.1 desaparece entonces el primer término del lado derecho, es decir, el movimiento del cuerpo rígido es una
rotación pura en torno al punto, que es conocido como Centro Instantáneo de Rotación CIR. Nótese que el
CIR puede estar fuera del cuerpo, en cuyo caso debe entenderse como solidario a una extensión imaginaria de éste.
La velocidad de un punto B cualquiera del cuerpo se puede expresar como:
v B = Ω × r B / CIR
(5.3)
donde rB/CIR es el vector posición del punto B con respecto al CIR.
vB
En la figura siguiente se muestra un cuerpo rígido, el CIR y dos puntos
cualesquiera A y B. Las velocidades de ambos puntos, dadas por la Ec.
5.3, son perpendiculares a los respectivos vectores posición con respecto
al CIR:
v A = Ω rA / CIR
v B = Ω rB / CIR
B
rB/CIR
vA
A
rA/CIR
Geométricamente, el CIR se encuentra en la intersección de las rectas
normales a las velocidades.
CIR
Nótese que en general, la posición del CIR cambia a cada instante. La curva definida por la trayectoria del CIR
en el espacio se denomina Base, o Polar Fija, o Riel. La curva definida por el CIR vista desde el cuerpo se
denomina Ruleta, o Polar Móvil, o Rodante.
Nótese además que la condición de velocidad nula para el CIR no tiene implicancias sobre la aceleración,
pudiendo tener cualquier valor.
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