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UNIDAD 5 MOVIMIENTO ROTACIONAL Y ANGULAR
5.1 Cinemática de rotación
5.1.1 Movimiento de rotación
Es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de forma que,
dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un
punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe
una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.
5.1.2 Cinemática de rotación.
Consideremos el movimiento de una partícula en el plano XY, girando alrededor
del eje Z en una trayectoria circular de radio r, como se indica en la figura 1. Para
indicar la posición en el tiempo t se requiere conocer sólo a la posición angular q (t)
(medida en radianes en el SI). Si el movimiento alrededor del eje Z es en el sentido
contrario al de las manecillas del reloj, el desplazamiento angular en un intervalo de
tiempo, corresponde al cambio en la posición angular:
  t  t   t .
Esta expresión es similar a la desplazamiento a lo largo de una línea recta (ec. 1), sin
embargo se debe tener cierto cuidado con la determinación de las posiciones angulares
para evitar algunas confusiones. Por ejemplo, si la partícula gira una vuelta, la posición
final es igual a la inicial, pero la posición angular resulta ser igual a la posición angular
inicial más el ángulo correspondiente a una vuelta (2p rad en el SI); de tal manera que el
desplazamiento angular va relacionado con el número de vueltas.
Y
Dirección del
movimiento
y
r

x
X
Figura 1. Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.
De manera análoga a la velocidad en el movimiento a lo largo de una línea recta,
definimos a la velocidad angular w para el movimiento de rotación como el
desplazamiento angular por unidad de tiempo:
t  
dt 
.
dt
Las unidades en el SI para la velocidad angular son de radianes por segundo (rad/s).
Por otra parte, la aceleración angular a se define como el cambio en la velocidad angular
por unidad de tiempo:
t  
dt 
,
dt
5.1.3 Las cantidades rotacionales como vector.
El desplazamiento, la velocidad, y la aceleración lineal, eran cantidades
vectoriales. Dado que hasta el momento hemos considerado que la rotación se producía
alrededor de un eje fijo, por lo cual hemos podido considerar a , , y  como
escalares.
Se puede demostrar que los desplazamientos angulares finitos no son vectores pues
no cumplen la conmutividad de la suma (1 + 2)  (2 + 1).
Por otra parte, si los desplazamientos angulares se hacen muy pequeños, comienza a
cumplirse la ley de conmutabilidad de la suma, por lo tanto los desplazamientos
angulares
infinitesimales
son
vectores.
De lo anterior podemos deducir que si la velocidad angular instantánea es un cociente
entre un vector y un escalar, entonces dicha magnitud es un vector. Aplicando la regla
de la mano derecha, podemos obtener el sentido de  (Figura).
Análogamente podemos decir que la aceleración angular instantánea también es una
cantidad vectorial.
5.1.4 Rotación con aceleración angular constante.
Si la aceleración es constante, se verifican una serie de relaciones de la
cinemática rotacional similares a la cinemática de traslación.
Movimiento de traslación (dirección Movimiento de rotación (eje fijo) con
fija) con a = cte.
= cte.
   0  t
v  v0  at
x  x0  v0 t 
1 2
at
2
v 2  v02  2a( x  x0 )
v0  v
t
2
1
x  x 0  vt  at 2
2
x  x0 
1
2
  0   0 t  t 2
 2   02  2 (   0 )
 
  0  0
t
2
1
2
   0  t  t 2
5.1.5 Relación entre las características cinemáticas lineales y angulares de una
partícula en el movimiento circular.
s  .r
Diferenciando respecto al tiempo:
Aceleración tangencial
Aceleración radial (centrípeta)
aR 
ds d

.r
dt dt
 v   .r
aT   .r
v2
  2 .r
r
Para la rotación de n cuerpo rígido con respecto a un eje fijo, se cumplen las siguientes
relaciones entre las variables lineales y angulares en forma vectorial
v  ωr
a
dv d
dω
dr
 ω  r  
r  ω
dt dt
dt
dt
a  α  r  ω v
a  aT  a R  α  r  ω  v
aT  α  r
aR  ω v
5.2 Dinámica del movimiento rotacional.
5.2.1 Variables rotacionales
posición angular de la línea de referencia AP, y normalmente se mide
en radianes. Convencionalmente se adopta como sentido positivo de rotación el
contrario a las agujas del reloj.

s
r
Siendo s la longitud del arco.
El desplazamiento angular de P
=
Se define la velocidad angular
 media 
 2  1
t 2  t1

media
2
-
1
como

t
la velocidad angular
  lim t 0
como
Similarmente se define la aceleración angular media  media 
y la aceleración angular ( )   lim t 0
Para un cuerpo rígido tanto
como
 2  1
t 2  t1

 d

t
dt

t
 d

t
dt
son únicos (valen lo mismo para cada punto).
5.2.2 Momento de una fuerza o momento estático.
Momento de una fuerza o torque– El torque () (o torca) o momento de una fuerza F
que actúa sobre una partícula en un punto P, cuya posición en torno al origen O del
marco de referencia está dada por el vector posición r se define a través de la
expresión
τ  rF
Es una magnitud vectorial, cuyo módulo es igual a
 = r.F.sen
 = r.F.sen  F.r
5.2.3 Energía cinemática de rotación y momento de inercia.
Un cuerpo rígido que gira con respecto a un
eje vertical fijo.
La energía cinética de una partícula es
1
1
mv 2  mr 2 2 , la energía cinética total del
2
2
cuerpo debido a la rotación es la suma de las
energías cinéticas de todas las partículas que
componen el cuerpo.
K ROT 

i
mi v i 2
=
2
La cantidad

m r
i
i i
2
mi ri  2 1 
= 
2
2
m r
i i
i
2
 2



se llama momento de inercia o inercia de rotación del cuerpo (I)
i
con respecto al eje de rotación particular
I=
m r
2
i i
i
El momento de inercia de un cuerpo depende del eje en torno al cual está girando, así
como de la manera en que está distribuida su masa, y desempeña el papel de “masa” en
las ecuaciones rotacionales.
Por tanto
K ROT 
1
I 2
2
Para cuerpos continuos: I   r 2 dm
5.2.4 Dinámica rotacional de un cuerpo rígido.
Trabajo infinitesimal realizado por F
dW = F  ds = F cos.ds = (F cos.(rd)
dW = F sen(

-.(rd) = F.rd
2
Por tanto: dW =  d
Si derivamos respecto al tiempo, obtenemos la potencia
P=
Si actúan varias fuerzas: dWneto =
 d =    dt
ext
ext
De acuerdo al teorema trabajo-energía:
Pero


dW = dK
I 
dK = d  O  = IO  d  IO   dt

2
2

Por lo que resulta  ext  I 
la segunda ley de Newton
y dW =
   dt
ext
que es la ecuación de la rotación análoga a
Comparación de las ecuaciones de la dinámica lineal y rotacional
Movimiento lineal
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
Masa
(inercia
traslación)
Fuerza
Trabajo
Energía cinética
x
dx
dt
dv
a
dt
v
de m
F = m.a

W  Fdx
K
1
mv 2
2
Potencia
P =Fv
Cantidad de movimiento p = mv
Movimiento rotacional
Desplazamiento angular
Velocidad angular
Aceleración angular

d
dt
d

dt

Momento de inercia I
(inercia de rotación)
Torque
 = I
Trabajo
W  d

1
Energía
cinética
K ROT  I 2
rotacional
2
Potencia
P =
Momento angular
L= I
5.2.5 El movimiento combinado de traslación y de un cuerpo rígido.
Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen
circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al
radio de la circunferencia que describen vi= ·ri
En la figura, se muestra el vector momento angular Li de
una partícula de masa mi cuya posición está dada por el
vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri
con velocidad vi.
El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi
Su proyección sobre el eje de rotación Z es
Liz=miviricos(90- i), es decir,
El momento angular de todas las partículas del sólido es
La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es
El término entre paréntesis se denomina momento de inercia
En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del
eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide
con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando
coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de
inercia.
Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento
angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma
dirección, la del eje de rotación
L=I
5.3 La conservación del movimiento angular.
El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las
fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que
sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece
constante.
Mext= r x F será cero si la fuerza y el vector posición tienen la misma dirección. Este
tipo de fuerzas se llaman Fuerzas Centrales
5.3.1 Cantidad de movimiento angular de una partícula.
El momento angular o momento cinético de una masa puntual, es igual al producto
vectorial del vector de posición (brazo), del objeto en relación a la recta considerada
como eje de rotación, por la cantidad de movimiento (también llamado momento
lineal o momento). Frecuentemente se lo designa con el símbolo :
En ausencia de momentos de fuerzas externos, el momento angular de un conjunto de
partículas, de objetos o de cuerpos rígidos se conserva. Esto es válido tanto para
partículas subatómicas como para galaxias.
o
5.3.2 Cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas.
El momento cinético o angular de un sistema de partículas respecto a un cierto
punto O, es igual al momento cinético del sistema respecto al CM (centro de masa) más
un término que es el momento cinético asociado al movimiento del CM respecto a dicho
punto O.
"Cuando la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre el centro de
masas sea nula, la cantidad de movimiento del centro de masas permanece constante".
De manera análoga, para encontrar el momento cinético o angular de un sistema de
partículas, abrimos un sumatorio para todos los productos vectoriales de la definición de
L,
uno
por
cada
j
partícula
(en
total,
n):
5.3.3 Conservación de la cantidad de movimiento angular.
La cantidad de movimiento angular de un sistema es constante tanto en magnitud como
en dirección si el momento de torsión externo neto que actúa sobre el sistema es cero, es
decir, si el sistema está aislado
CONCLUSIÓN
Se determino que el movimiento rotacional y angular de los cuerpo se estudia de
mediante la cinemática de rotación que determina el movimiento que se genera de un
cuerpo cuando este gira sobre su mismo eje, actuando en el diferentes fuerzas
expresadas en vectores que nos representan su dirección y sentido, pudiendo así calcular
su aceleración, su velocidad y su ángulo de inclinación.