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CINEMATICA DE LA PARTICULA:
Conceptos fundamentales del movimiento: trayectoria, velocidad, aceleración. Tipos
de movimiento. Descripción del movimiento de una partícula referida a diferentes
sistemas de coordenadas: cartesianas, normales, tangenciales y cilíndricas.
Cinemática del movimiento relativo de una partícula.
1. Introducción:
En esta parte del curso de Mecánica se estudia el análisis de los cuerpos en movimiento,
siendo este el objeto de estudio de la Dinámica.
La dinámica incluye:
La cinemática, es la parte de la Mecánica que se encarga de estudiar el movimiento de
partículas y cuerpos rígidos, sin considerar las causas que lo originan. Puede considerarse
como el estudio de la geometría del movimiento. Se utiliza para relacionar el
desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del
movimiento.
La cinética, estudia a su vez las relaciones entre los factores que causan el movimiento y el
movimiento mismo, es decir, estudia la relación que existe entre las fuerzas que actúan
sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de éste. La cinética se utiliza para predecir el
movimiento ocasionado por fuerzas dadas que actúan sobre un cuerpo, o para determinar
las fuerzas que se requieren para producir un movimiento específico.
2. Nociones básicas:
2.1. Sistemas de referencia:
Se dice que un cuerpo en el espacio está en movimiento relativo respecto a otro cuerpo u
objeto cuando su posición relativa a éste varía con el tiempo.
La primera característica que se desprende de la noción de movimiento es su relatividad.
En efecto, éste depende del objeto al cual está referido. A este objeto se le denomina
observador, de manera que distintos observadores aprecian en general distintos
movimientos para un mismo objeto. Por ejemplo, el movimiento de una pelota que
dejamos caer desde un auto es visto de manera diferente por un observador ligado a tierra
que por otro ligado al auto.
El siguiente problema que se plantea una vez definido el observador, es como se realiza
matemáticamente la descripción del movimiento, lo cual es el objeto de la Cinemática.
Para ello, se debe profundizar un poco más en la naturaleza del observador definiendo a
éste como un sólido rígido o sistema de puntos materiales cuyas distancias relativas
permanecen siempre constantes. A pesar de que en la naturaleza no existen cuerpos
totalmente rígidos, esta simplificación se puede aplicar a los sistemas materiales en los
cuales la variación en las distancias relativas de sus partículas es despreciable desde el
punto de vista macroscópico. En todo caso, para el desarrollo de la teoría se puede
considerar siempre la existencia de sólidos ideales para descripción del movimiento.
El ejemplo de observador comúnmente utilizado y con el que nos encontramos
identificados es la propia tierra. La concepción del movimiento está ligada a nuestras
observaciones realizadas desde la superficie terrestre.
Dado un sólido rígido cualquiera, se denomina sistema de referencia al conjunto formado
por un punto “O” del sólido y una recta ó dos ó tres del mismo que pasan por “O”. A este
punto se le denomina origen del sistema de referencia.
Cuando las dos ó tres rectas son ortogonales, el sistema de referencia se denomina
rectangular.
Como la elección del origen es arbitraria, un observador puede definir infinitos sistemas de
referencia. Por otro lado, cada sistema de referencia está ligado a un único observador.
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Por otro lado, si bien el sólido real tiene una extensión finita, cualquier sistema de
referencia asociado a un cuerpo rígido define un sólido que tiene infinitos puntos, cada uno
de ellos ocupando una posición fija respecto al mismo.
Un sistema de coordenadas es una regla concreta que permite asignar a cada punto “P”
del espacio un conjunto de uno, dos ó tres números que definen buinívocamente su
posición respecto a un sistema de referencia.
2.2. Vector de posición ó radio vector:
Se puede definir la posición de un punto “P”, escogiendo un punto de referencia “O” y
representando el vector de posición “r” de O a P,
, (Fig. 1.a)
(a)
(b)
(c)
Fig. Nº 1
Suponiendo que el punto “P” se encuentra en movimiento con respecto al punto “O”, de
manera que “r” es una función del tiempo “t” (Fig. 1.b), esto se puede expresar de la
siguiente forma:
r = f(t) = r(t)
La ecuación que liga al vector con el tiempo “t” se llama Ecuación del Movimiento o Ley
del Movimiento de “P”.
Como el vector “r” es función del tiempo “t”, las componentes del mismo también son
función del tiempo, por lo tanto, la expresión anterior es equivalente a la siguiente:
2.3. Curva indicatriz ó trayectoria:
En cinemática, la trayectoria es el conjunto de todas las posiciones por las que pasa un
cuerpo en movimiento, o sea, es el lugar geométrico de los extremos del vector de
posición.
De acuerdo a la expresión:
Las componentes del vector de posición x,y y z, son también función del tiempo, por lo
cual:
a estas expresiones se les conoce como las ecuaciones paramétricas de la trayectoria ó
ecuaciones cartesianas del movimiento.
Si en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria se elimina el parámetro “t”, se obtiene
la ecuación cartesiana de la misma, que en general responderá a la forma:
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Según la mecánica clásica la trayectoria de un cuerpo puntual siempre será una línea
continua. Sin embargo, la física moderna ha encontrado situaciones donde esto no ocurre
así. Por ejemplo, la trayectoria de un electrón dentro de un átomo es probabilística, y
corresponde a un volumen.
La trayectoria puede ser recta o aproximarse a una curva continua; en el primero de los
casos estamos en presencia de un movimiento rectilíneo y en el caso de una trayectoria
curva se habla de un movimiento curvilíneo
La trayectoria curvilínea puede ser bidimensional (plana) o tridimensional (con torsión). En
las trayectorias curvas es importante determinar la clase o grado de diferenciablidad, si la
curva es k veces diferenciable y las derivadas k-ésimas son continuas, se dice que la
curva es al menos de clase Ck [una curva es de clase Cp si la curva es al menos de clase
“p” pero no es de clase p+1]. La clase de una curva da una idea de la suavidad o
progresividad de sus aceleraciones y la variación de las fuerzas sobre la partícula.
Como algunas de las curvas son muy conocidas, solemos asociarlas con estos nombres:






Movimientos circulares
Movimientos elípticos
Movimientos parabólicos
Movimiento pendular
Movimiento oscilatorio
Movimientos ondulares
2.4. Espacio recorrido y vector desplazamiento:
Trayectoria es la línea determinada por las sucesivas posiciones del móvil en el curso de
su movimiento.
Espacio recorrido es el camino que realiza el móvil medido sobre la trayectoria.
Vector desplazamiento es el vector definido por la posición inicial, que será el origen del
vector, y la posición final, que será su extremo. Su símbolo es
.
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En el gráfico se observa que si un móvil se desplaza entre los puntos “P” y “Q” de la
trayectoria, efectúa un desplazamiento
y recorre un arco de longitud S. Observar el
carácter escalar del arco frente el al vectorial del desplazamiento.
Donde:
es el vector desplazamiento.
2.5. Velocidad:
La velocidad es la magnitud física que expresa la variación de la posición de un objeto en
función del tiempo, o el desplazamiento del objeto por unidad de tiempo. Se suele
representar por la letra . La velocidad puede distinguirse según el lapso considerado, por
lo cual se hace referencia a la velocidad instantánea, la velocidad media, etc.
La unidad de velocidad, en el Sistema Internacional de Unidades, es el metro por segundo
(m/s).
En el Figura Nº 1.c, el vector desplazamiento que indica el cambio de posición del punto
“P”, es:
, por lo tanto la velocidad de “P” respecto a “O” en el tiempo
“t” se define como:
Donde:
es el cambio de posición o desplazamiento de “P”, durante el intervalo de
tiempo
Así la velocidad es la razón de cambio de la posición “P” respecto a “O”, o sea la derivada
del vector desplazamiento con respecto al tiempo, lo que indica que el vector velocidad es
tangente a la trayectoria
La ecuación anterior equivale a las cartesianas siguientes:
;
;
Como expresión analítica de la velocidad se puede decir:
La magnitud de la velocidad se denomina rapidez y su valor se determina mediante la
fórmula:
Otra forma de esta expresión es:
En la cual “S” representa la longitud descrita, o sea, una distancia medida sobre la
trayectoria.
Las componentes del vector velocidad nos indican en que forma está ocurriendo el
movimiento, el valor positivo de la componente indica que la correspondiente coordenada
crece, o sea, que la proyección del móvil sobre dicho eje se aleja del origen; un valor
negativo indica que la correspondiente coordenada decrece y, por último, un valor nulo
indica una coordenada estacionaria, o sea, que la proyección del móvil se halla en reposo.
2.5.1. Hodógrafa:
La curva indicatriz que se obtiene trazando por el origen un vector correspondiente a la
velocidad del móvil en cada instante, desempeña un importante papel en las
aplicaciones, esta curva es denominada hodógrafa.
Las ecuaciones cartesianas de la hodógrafa pueden deducirse de las ecuaciones
paramétricas de la velocidad eliminando entre ellas el parámetro “t”.
2.6. Aceleración:
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La aceleración es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa con que aumenta o
disminuye la velocidad de un móvil en función del tiempo. Sus dimensiones son
longitud/tiempo2 y como unidades, según el sistema internacional, se utiliza el m/s 2.
Se puede definir también la aceleración como el vector derivada de la velocidad con
relación al tiempo, o sea, la segunda derivada del vector de posición con respecto al
tiempo.
Su expresión analítica será:
Los valores de
, componentes de la aceleración según los ejes coordenados, se
deducen de las ecuaciones del movimiento por el proceso de derivación.
Como se puede apreciar, la aceleración no es, en general tangente a la trayectoria: ella es
tangente a la hodógrafa.
Es importante el hecho de que no basta que la velocidad sea constante en magnitud para
que su derivada, o sea la aceleración sea nula. Un cambio en dirección de la velocidad
lleva consigo una variación en alguna de sus componentes, por lo menos, lo cual implica
una aceleración.
Análogamente a lo expresado para las velocidades, un valor negativo de una componente
de la aceleración indica que la componente de la velocidad sobre tal eje disminuye; un
valor positivo es signo de que la correspondiente de la velocidad aumenta, mientras que
un valor nulo de la aceleración para un instante dado corresponderá a un valor de la
velocidad que es un máximo o un mínimo. En el diagrama de los espacios, el instante para
el cual la aceleración es nula, corresponde a un punto de inflexión.
2.7. Interpretación geométrica:
Las fórmula fundamentales
y
tienen un significado geométrico.
La primera fórmula expresa que la velocidad en cualquier instante es igual a la pendiente
de la curva “x-t”en el mismo instante. La segunda indica que la aceleración es igual a la
pendiente de la curva “v-t”, Estas dos propiedades pueden utilizarse para determinar de
manera gráfica las curvas “v-t” y “a-t” de un movimiento cuando se conoce la curva “x-t”.
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3. Análisis del movimiento:
En algunos casos se conoce la posición ”S”, de algún punto del cuerpo como función del
tiempo, para ello se utilizan métodos como el radar y la tecnología “laser” para medir
posiciones en función del tiempo, en estos casos se pueden obtener por diferenciación la
velocidad y la aceleración como funciones del tiempo.
Sin embargo, es más común conocer la aceleración de un cuerpo que su posición, porque
la aceleración de un cuerpo se puede determinar con la segunda ley de Newton cuando se
conocen las fuerzas que actúan sobre él. Una vez conocida la aceleración se pueden
determinar por integración la velocidad y la posición.
3.1. La aceleración es una función dada del tiempo “t”,
Aplicando la definición de aceleración, se tiene:
Despejando:
Integrando ambos miembros de la ecuación, para
y para
, se tiene:
la cual produce la velocidad “v” en función del tiempo “t”.
Por otra parte:
De la definición de velocidad se tiene:
Despejando:
Integrando:
la cual produce la posición “S” en función del tiempo “t”.
3.2. La aceleración es una función dada de la posición “S”,
→
→
→
→
→
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3.3. La aceleración es una función dada de la velocidad “v”,
→
→
→
→
4. Movimiento curvilíneo:
En el movimiento rectilíneo, los vectores de posición, velocidad y aceleración, están
descritos por sus respectivos escalares:
En el caso del movimiento curvilíneo se debe especificar además de las magnitudes, las
direcciones de éstos vectores, por lo cual se requiere de un sistema coordenado para
expresarlos en función de sus componentes escalares.
 Coordenadas cartesianas:
Sea
el vector de posición de un punto “P”de coordenadas P(x,y,z):
Si el sistema coordenado no gira, para la velocidad se tiene:
ó lo que es lo mismo:
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Donde:
;
;
;
;
La aceleración de “P” es:
Donde:
 Caso de un proyectil:
Si un cuerpo se dispara al aire y la resistencia de éste es insignificante, su
aceleración será igual a la aceleración de la gravedad “g”.
De acuerdo al “Principio de independencia de movimientos”, formulado por Galileo
Galilei, el lanzamiento de un proyectil se puede estudiar como resultado de la
composición de dos movimientos:
1. Uniforme a lo largo del eje “X”
2. Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical “Y”
En el gráfico ax = 0, ay = - g , az = 0.
Suponiendo que en el tiempo t = 0, el proyectil se encuentra en el origen “O”, tiene
velocidad “V0” y forma un ángulo “θ0” sobre la horizontal; se tiene:
-
Velocidad, aceleración y posición en el eje “X”:
;
Velocidad en el eje “X”
Aceleración en eje “X”
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Pero:
,
por tanto:
Posición en el eje “X”
-
Velocidad, aceleración y posición en el eje “Y”:
En t = 0, y = 0 y
pero:
Aceleración en eje “Y”
Posición en el eje “Y”
-
Ecuación de la trayectoria:
Despejando el parámetro “t”, se tiene:
sustituyendo el valor de “t” en la ecuación de “y”
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5. Movimiento angular:
5.1. Generalidades:
La posición de una línea “L” en un plano particular respecto a una línea de referencia “L 0”
en el mismo plano, se puede especificar por medio del ángulo “θ”.
De acuerdo al gráfico anterior, la velocidad angular “ω” de la línea “L” respecto a “L 0” está
definida por:
Y la aceleración angular “α” respecto a “L0”, por:
La analogía entre el movimiento en línea recta y el movimiento angular se observa en el
siguiente cuadro:
Movimiento en línea recta
Movimiento angular
Si “θ” se expresa en radianes, se tiene:
Por otra parte:
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5.2. Rotación de un vector:
Los vectores unitarios cartesianos
, son constantes siempre y cuando que el sistema
no gire.
En otros sistemas coordenados los vectores unitarios usados para describir el movimiento
de un punto, giran conforme se mueve el punto. Para obtener expresiones de la velocidad
y aceleración en tales sistemas coordenados, se deben conocer las derivadas respecto al
tiempo de un vector unitario en rotación.
Se puede describir el movimiento angular de un vector unitario “ ” en un plano de la misma
forma como se describió el movimiento angular de una línea.
En tal sentido, como se indica en el siguiente gráfico, la dirección del vector unitario ,
respecto a una línea de referencia “L0”, se especifica con el ángulo “θ” y la razón de
cambio de rotación de “ ” respecto a “L0”, se especifica con la velocidad angular “ω”.
La derivada del vector “ ” con respecto al tiempo se define por:
En el gráfico se observa que el triángulo cuyos lados son:
,
y
, es un
triángulo isósceles, por lo tanto:
Incluyendo un vector unitario “ ” que señale la dirección de
, se tiene:
Sustituyendo ésta expresión en la derivada de “ ” se obtiene:
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Para evaluar este límite se multiplica por
El vector unitario”
“ es perpendicular al vector “
” y señala en la dirección positiva de
“θ”.
5.3. Componentes normal y tangencial de la aceleración:
Al describir el movimiento curvilíneo se especifica la posición de un punto por su ubicación
medida a lo largo de su trayectoria y se expresan la velocidad y la aceleración en sus
componentes tangencial y normal a la trayectoria.
Considerando un punto “P” que sigue una trayectoria plana curvilínea (Fig. a), el vector de
posición “r” especifica la posición de “P” sobre su trayectoria respecto a un punto “O”.
La velocidad de “P” respecto a “O” es:
Donde:
= distancia recorrida entre t y t + ∆t
= vector unitario apuntando en la dirección de ∆r
Cuando
, la expresión
se convierte en:
a la trayectoria en el punto “P” y se denota como: “
y el vector unitario
es tangente
”
Por lo tanto:
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Esta expresión indica que: “la velocidad de un punto en movimiento curvilíneo es un
vector cuya magnitud es igual a la razón de cambio de la distancia recorrida a lo
largo de la trayectoria en un intervalo de tiempo y su dirección es tangente a ésta”
Si la trayectoria no es una línea recta, el vector unitario, , gira cuando “P” se mueve, en
consecuencia la derivada con respecto al tiempo de , no es igual a cero.
Para determinar la aceleración de “P”, se deriva con respecto al tiempo de la siguiente
forma:
La derivada de un vector unitario en rotación se determinó anteriormente y es igual a:
Para aplicar ésta fórmula se define el ángulo de trayectoria “θ”, (Ver gráfico) que significa
la dirección de respecto a una línea de referencia.
Por lo tanto la aceleración será:
En ésta expresión se tiene que
es la componente tangencial de la aceleración y
representa la razón de cambio de la magnitud de la velocidad con respecto al tiempo, por
otra parte el término
que es perpendicular a la trayectoria representa el cambio de
dirección del vector velocidad en el tiempo “t”.
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5.4. Expresiones de la aceleración tangencial y la aceleración normal en función de los
vectores velocidad y aceleración:
Como se demostró anteriormente los vectores aceleración tangencial,
normal,
“
, y aceleración
, son perpendiculares entre sí, y forman con el vector aceleración,
, un ángulo
”, como se indica en la siguiente figura.
De acuerdo al gráfico, se tiene:
y
Si se multiplican escalar y vectorialmente los vectores velocidad,
, y aceleración, , se
obtiene:
y
Por lo tanto, las componentes normal y tangencial de la aceleración serán:
y
5.5. Radio de curvatura:
Se puede expresar la aceleración en otra forma que a menudo es más conveniente. La
siguiente figura muestra las posiciones sobre la trayectoria alcanzadas por “P” en los
tiempos t y t+∆t. Si la trayectoria es curva, las líneas rectas que se extienden
perpendicularmente desde esos puntos se cortan en un punto como indica la figura. La
distancia “ρ” desde el punto de intersección de las líneas a la curva indicatriz o trayectoria
se denomina radio de curvatura instantáneo de la trayectoria.
El ángulo “dθ” es el cambio en el ángulo de la trayectoria y “ds” es la distancia recorrida
entre t y t+∆t.
El radio de curvatura “ρ” está relacionado con ds por la siguiente fórmula:
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Dividiendo la expresión anterior por “dt” se obtiene:
Sustituyendo el valor de “ ” en la ecuación de la aceleración, se tiene:
El radio de curvatura “ ” puede ser expresado en función de los vectores de velocidad, , y
de aceleración,
, en la siguiente forma:
Como se ha definió anteriormente:
y
Igualando estas dos expresiones se obtiene:
De donde el radio de curvatura es:
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5.6. Coordenadas polares:
-
Aspectos generales:
Las coordenadas polares suelen usarse para describir el movimiento curvilíneo de un
punto.
En un sistema de coordenadas polares, un punto se localiza especificando su posición
relativa con respecto a una recta fija llamada “eje polar” y a un punto fijo de esa recta
llamado “polo”.
eje polar
polo
ángulo
, ángulo polar
coordenadas polares de P
radio vector
eje a 90º, perpendicular
a
El ángulo θ se mide de la misma forma que en trigonometría (+) en sentido contrario a
las manecillas del reloj y (-) en el sentido horario. 0º ≤ θ ≤ 360º.
El radio vector puede ser positivo o negativo
-
Transformación de coordenadas (Ecuación polar ↔ Ecuación rectangular):
Ecuaciones:
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-
Ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración:
Considerando un punto “P” en el plano X-Y de un sistema de coordenadas cartesianas,
se puede especificar la posición de “P” respecto al origen “O” por medio de sus
coordenadas cartesianas (x,y) o por sus coordenadas polares (r,θ).
Para expresar vectores en coordenadas polares, se define un vector unitario
que
señale en la dirección de la línea radial del origen “O” al punto “P” y un vector unitario
, perpendicular a y que apunta en la dirección creciente de θ.
En términos de estos vectores, el vector de posición del vector
Se puede observar que el vector
será:
no tiene componente en la dirección de
.
Se puede determinar la velocidad de “P” en coordenadas polares derivando el vector
de posición con respecto al tiempo de la siguiente forma:
Ecuación “A”
Cuando “P” se mueve en una trayectoria curvilínea, el vector
angular
. Por lo tanto la expresión
gira con velocidad
se puede expresar en función de θ
como sigue:
Sustituyendo esta expresión en la ecuación “A”, se tiene:
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En forma gráfica la expresión anterior representa lo siguiente:
La aceleración de “P” se obtiene derivando la velocidad del punto con respecto al
tiempo, en la forma siguiente:
Pero:
y
Ecuación “B”
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De las ecuaciones “A” y “B”, se desprende:
Velocidad:
Donde:
componente radial de la velocidad
componente transversal de la velocidad
Aceleración:
Donde:
componente radial de la aceleración
componente transversal de la aceleración
La componente radial,
, de la aceleración será igual a:
donde:
aceleración centrípeta
La componente transversal,
, de la aceleración será igual a:
Donde:
aceleración de Coriolis
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6. Movimiento relativo:
Hasta ahora se ha estudiado el movimiento de un solo punto, para lo cual se ha utilizando
un solo sistema de referencia para describirlo. Sin embargo, suele no ser el movimiento de
un punto individual lo que se debe considerar, sino el movimiento relativo entre ellos de dos
o más puntos; es el caso del aterrizaje de un avión en un portaaviones, el movimiento
individual de dos patinadores con respecto al hielo o el de las gotas de lluvia que caen
sobre un automóvil en movimiento.
En todos los casos, se toma un sistema de referencia fijo generalmente respecto a la tierra
(arbitrario) para definir el movimiento de cada partícula individualmente y un sistema de
referencia “móvil” que permite definir el movimiento entre las partículas.
Supongamos que “A” y “B” son dos puntos cuyos movimientos individuales medimos
respecto a un punto de referencia “O”, y analicemos como describir el movimiento de “A”
respecto a “B”.
Sean “rA” y “rB” los vectores de posición de los puntos “A” y “B” respecto al punto “O”. El
vector “rA/B” es el vector de posición de “A” respecto a “B”.
De acuerdo al gráfico estos vectores se relacionan en la siguiente forma:
Cada vector especifica la posición de la partícula en la forma siguiente:
posición de “A” respecto a “O”
posición de “B” respecto a “O”
posición de “A” respecto a “B”
Derivando esta expresión respecto al tiempo, se obtiene:
Donde:
velocidad de “A” respecto a “O”
velocidad de “B” respecto a “O”
velocidad de “A” respecto a “B”
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Derivando la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo se obtiene:
Donde:
aceleración de “A” respecto a “O”
aceleración de “B” respecto a “O”
aceleración de “A” respecto a “B”
Las ecuaciones de los vectores de posición, velocidad y aceleración fueron deducidas bajo
la premisa de que el sistema de referencia “no gira”.
7. Bibliografía:
Bedford, A., Fowler, W.
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Addison-Wesley Iberoamericana. 1ª
Ed., Tr. De La Cera Alonso, José E.
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Beer, F., Johnston E. R., Clausen W.
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