Download ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales

PLAN DE MEJORAMIENTO GRADO NOVENO 2013
MATEMÁTICAS
FRANKLIN EDUARDO PÉREZ QUINTERO
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Resuelve estos sistemas por el método de sustitución:
2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:
3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:
4. Resuelve por el método que consideres más adecuado:
5. Dos de los siguientes sistemas tienen solución única, uno de ellos es incompatible (no
tiene solución) y otro es indeterminado (tiene infinitas soluciones). Intenta averiguar de qué
tipo es cada uno, simplemente observando las ecuaciones. Después, resuélvelos
gráficamente para comprobarlo:
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6. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:
7. Halla las soluciones de estos sistemas:
8. Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,8 €; tres barras de pan
y cuatro litros de leche cuestan 4,7 €. ¿Cuánto vale una barra de pan?
¿Cuánto cuesta un litro de leche?
9. La suma de dos números es 15. La mitad de uno de ellos más la tercera parte
del otro es 6. ¿De qué números se trata?
10. Por una calculadora y un cuaderno habríamos pagado, hace tres días, 10,80 €.
El precio de la calculadora ha aumentado un 8%, y el cuaderno tiene una
rebaja del 10%. Con estas variaciones, los dos artículos nos cuestan 11,34 €.
¿Cuánto costaba cada uno de los artículos hace tres días?
11. Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2 500 €.
Después de algún tiempo, los vende por 2 157,50 €. Con el equipo de
música perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le
costó cada uno?
12. En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 €/kg y otra de
8,50 €/kg. El encargado quiere preparar 20 kg de una mezcla de los dos cuyo
precio sea 7 €/kg. ¿Cuánto tiene que poner de cada clase?
13. La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 400 km. Un coche sale desde A
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hacia B a una velocidad de 90 km/h. Simultáneamente, sale otro coche desde
B hacia A a 110 km/h. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? ¿A qué distancia
de A se producirá el encuentro?
14. El perímetro de un rectángulo es de 20 cm, y su área, de 21 cm2. ¿Cuáles son
sus dimensiones?
15. Si acortamos en 2 cm la base de un rectángulo y en 1 cm su altura, el área
disminuye en 13 cm2. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que
su perímetro es de 24 cm.
16. Determina el sistema de ecuaciones que representa cada problema y soluciónalo por el
método que creas más conveniente
a. Un número mas otro da 5 si el primer número menos el segundo da 1 cuales son los
números.
b. Un número multiplicado por 4 sumado con otro numero multiplicado por 7 es igual a
514. si el primer número multiplicado por 8 sumado con el segundo numero 9 veces
da 818 ¿cuales son los números?
c. 5 naranjas y 3 manzanas cuestan 4180. si 8 naranjas y 9 manzanas valen 6940
calcular el valor de cada manzana y cada naranja.
d. La edad de Federico disminuida en cinco equivale a la mitad de la edad de Camila y
ambas suman 50 años
e. El doble de un número más otro número es 18 y el triple del primer número menos el
otro número es 12. ¿Cuáles son los dos números?
f. Descomponer el número 149 en dos partes tales que el cociente entero entre dichas
partes sea 4 y el resto 4
g. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las
patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
h. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos
luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña
8 patas).
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ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la forma general
ax 2  bx  c  0 con a  0
Ejemplos: 3x 2  2 x  5  0 a  3, b  2, c  5 ; x 2  3x  4  0
a  1, b  3, c  4
Las soluciones de la ecuación son los valores de x que al sustituirlos verifican la igualdad
Ejemplo: en la ecuación x 2  5x  6  0
el valor x  4 no es solución porque 4 2  5  4  6  16  20  6  2
el valor x  2 si es solución porque 2 2  5  2  6  4  10  6  0
Ejercicios:
1. Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en forma general identificando los
coeficientes a b y c
a)  2 x 2  3x  5  0
b) 3x 2  4 x  1
c) 1  3x 2  x  0
f) ( x  2) x  3x(2 x  1)
e) 2 xx  1  2
d) 2  3x  4 x 2
i) x  23  2 x   3
g) 2 x  3  4 x 2  5x  1
h) 2  3x 2  x  1
(Soluciones: a) a  2,b  3, c  5 b) a  3, b  4, c  1 c) a  3, b  1, c  1 d) a  4, b  3, c  2
e) a  2, b  2, c  2 f) a  5, b  5, c  0 g) a  4, b  7, c  4 h) a  9, b  13, c  3 i) a  2, b  7, c  9
2. Decir en cada ecuación si los valores que se proponen son solución o no de la ecuación
a) x 2  7 x  10  0 ; x  0, x  2, x  3, x  5
b) 2 x 2  5x  2  0 ; x  1, x  1 / 2, x  2, x  3
c) 2 x 2  3x  5  0 ; x  1, x  1, x  2, x  2
(Sol: a) no, si, no si b) no, si, no, no c) si, no, no, no )
3. En la ecuación x 2  5x  c  0 , una solución es 3. ¿Cuánto vale c?
(Sol: c  6 )
4. En la ecuación x 2  bx  15  0 , una solución es 5 ¿Cuánto vale b?
(Sol: b  8 )
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS
Si en la ecuación ax 2  bx  c  0 alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es una
ecuación incompleta y se pueden resolver directamente:
a) si b  c  0 entonces la ecuación queda ax 2  0 y la solución es x  0
b) si
b  0 entonces la ecuación queda ax 2  c  0 ; ejemplo 3x 2  12  0 ; 3x 2  12 ;
12
x2 
 4 ; x   4  2
3
c) si c  0 entonces la ecuación queda x 2  bx  0 ; Ejemplo 3x 2  12 x  0 se saca factor
común x; x3x  12  0 ; primer factor cero x  0
12
 4; x  4
segundo factor cero 3x  12  0 ; 3x  12 ; x 
3
Ejercicios:
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5. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas
a) x 2  x  0
b) 2x 2  0
c) x 2  9  0
d) 4x 2  9  0
e) x 2  2x  0
f) 8x 2  16x  0
g) 3x 2  4  28  x 2 h) x 2  9x  0
i) x 2  1  0
j) x 2  6  10
k) 1  4x 2  8
l) x 2  11x  0
m)  x  5 x  1  5  0
n) 3x  23x  2  77
(Sol: a) x  0, x  1 b) x  0 c) x  3 d) x  3 / 2 e) x  0, x  2 f) x  0, x  2 g) x  4 h) x  0, x  9
i) x  1 j) x  4 k) x  3 / 2 l) x  0, x  11 m) x  0, x  4 n) x  3
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA
La ecuación de segundo grado ax 2  bx  c  0 se dice que está completa cuando todos los
coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se obtienen aplicando la
b  b 2  4ac
fórmula:
x
2a
El valor del radicando de b 2  4ac permite saber el número de soluciones sin necesidad de
hallarlas. D  b 2  4ac se llama discriminante.
si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -)
2
si D es cero, tiene una solución (solución doble)
D  b  4ac
si D es negativo, no tiene soluciones
2
Ejemplo: x  3x  2  0 en esta ecuación a  1, b  3, c  2 y aplicando la fórmula
x
 3 
 3
2
 4  1 2
2 1
3 9 8 31



2
2
31 4
 2
2
2
x2
31 2
 1
2
2
x1
6. Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes
ecuaciones:
a) x 2  7x  3  0
b) x 2  16x  64  0
c) x 2  6x  13  0
d) x 2  14x  49  0
e) 3x 2  5x  2  0
f) 2x 2  x  45  0
g) x 2  x  2  0
h) 4x 2  12x  9  0
i) x 2  8x  25  0
j) x  2x 2  7  0
k) x  5  3x 2  0
l) 8  x 2  3x  0
(Sol: a)2 b)1 c)0 d)1 e)2 f)2 g)0 h)1 i)0 j)2 k)2 l)0 )
7. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x 2  8x  15  0
b) 2x 2  9x  1  0
c) 4x 2  12x  9  0
d) x 2  8x  25  0
e) 4 x 2  12 x  9  0
f) 3x 2  2x  1  0
g) x 2  7x  3  0
h) 3x 2  6x  12  0
i) 3x 2  10x  3  0
2
2
j) 2x  5x  2  0
k) 6x  5x  1  0
l) 6x 2  7x  2  0
(Sol: a) 3,5 b)
2 1
3 2
l) ,
9  90
4
c)
3
3
1
1
1
1 1
7  37
6  180
d)no tiene e)  f) 1, g)
h)
i) 3, j) 2, k) ,
2
2
2
3
3
2
2 3
6
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8. Resuelve las siguientes ecuaciones:
b) 3 x  1 x  2  3x  6
a) 11x  21  2x 2
c) 21x  100  x 2  21  x
2
2
d) 2x 2  1  1  x  x 2
e)  x  2  3
f)  5x  3  11 4x  1  1
g)  4x  1 2x  2  12
(Sol: a) 7,
h) x 2 
3
b) 0
2
x 1 2x
 
2 3 3
c)11 d) 1,
4  12
2
e)
3
2
i) x 2 
f) 3,
3x  1 2

2
3
1
7
2 1
g) 1, h)  , i) no tiene)
25
4
3 2
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ECUACIONES Y FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
A. Represente gráficamente las siguientes funciones, luego determine las propiedades de
cada una:
a.
b.
c.
d.
f(x)= 3- x – 5
g(x)= -(1/2)x
h(x)= log1/4 x
t(x)= log5 x
B. SOLUCIONE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
1. El número de bacterias en un cultivo esta dado después de t horas por el modelo
exponencial de crecimiento:
a.
b.
c.
d.
C (t) = 50 * 3 0,7 t
Hallar el número de bacterias C, al iniciar el cultivo.
¿Cuántas bacterias hay en el cultivo después de 10 horas?
Dibuje la gráfica del cultivo para las 5 primeras horas.
¿Después de cuantas horas el cultivo tiene 150 bacterias?
2. El crecimiento de un cultivo de bacterias es tal que a cada hora se duplica el número
de las mismas. En estas condiciones si había 1000 bacterias al iniciar el experimento;
entonces:
a. Cuál será la función que representa el número de bacterias por hora?
b. Cuantas bacterias tendrá el cultivo después de de 8 horas.
c. Realice la gráfica de la función para 5 horas del experimento.
3. Un coleccionista de estampillas se propone adquirir una colección nueva y para ello
decide guardar cada día el triple de la cantidad de estampillas que posee. Al iniciar su
proyecto cuenta con 4 estampillas de esta colección.
a. El número habrá aumentado a 108 estampillas después de _______ días
b. Después de dos 2 días el numero de estampillas será:___________
c. El coleccionista determina que el máximo de estampillas en esta nueva colección
será de 972. Los días que requiere para reunirlas son:___________
4. El peso W (en Kg) de una población de elefantes africanos hembras esta relacionado
con la edad t (en años) mediante :
W(t)= 2600(1 – 0,5 e -0,075t)3
a. ¿Cuanto pesa un elefante recien nacido ? R/325kg
b. Suponiendo que la hembra adulta pesa 1800 kg, estime su edad. R/20 años
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5. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de
10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después esta dada por A(t)= 10 * 0,8t
a. Calcule la cantidad de fármaco restante en el organismo 8 horas después de la
ingestión inicial R/ 1,68 mg
b. Qué porcentaje del medicamento que esta aún en el organismo se elimina cada hora
R/20%
6. Hace cuatro años que se repobló una zona con 100 ejemplares de una nueva especie
de pinos. Actualmente hay 25.000 ejemplares. Se estima que el número N de pinos
viene dado en función del tiempo, t, por la función N = AeBt, donde A y B son dos
constantes. El tiempo t se considera expresado en años desde el momento de la
repoblación. ¿Cuánto tiempo se ha de esperar para que haya 200.000 ejemplares?
R/ 5,5 años.
7. Se necesita un instrumento óptico para observar estrellas menores que las de sexta
magnitud, que el límite de la vista ordinaria. No obstante aún los instrumentos ópticos
tienen limitaciones. La magnitud limitante L de cualquier telescopio óptico, con una
lente de diámetro D, en pulgadas, está dada por:
L=8.8 + 5.1 log D
a. Encuentre la magnitud limitante de un telescopio reflejante , de 6 pulgadas de
diámetro. R/ 12,76
b. Encuentre el diámetro de una lente que tiene una magnitud limitante de 20,6.
R/ 206 pulgadas
8. La presión atmosférica P (en libras por pulgada cuadrada), a x millas sobre el nivel del
mar, está dada aproximadamente por:
P= 14,7 e -021x
¿A qué altura la presión atmosférica será igual a la mitad de la que existe al nivel del
mar ? R/3.3 millas
9. Muchos paises del mundo tienen una tasa de crecimiento demográfico del tres por
ciento (o más) al año. Con dicha tasa, ¿Cuánto tiempo, hasta el año mas próximo,
tardará en duplicarse una población? Use el modelo : P= P0 (1,03)t de crecimiento de
la población.
C. SOLUCIONE LAS SIGUIENTES ECUACIONES EXPONENCIALES Y
LOGARITMICAS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7 1 + x = 49 x – 1
10 x. ( 10 2) x = 1000 3
6 x – 1 = 1296
Log 8 ( x + 2 )+Log 8 x = 1
2Log4 x – Log 4 64 = Log 6 6
9 5 – x = 6561x
7.
8.
Log 5 x + Log 3 1 = Log 5 625
91 + x = 81 x – 1
9.
10.
11.
4 x – 1 = 256
Log 10 ( x + 9 )+Log 10 x = 1
7 5 – x = 2401x
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x -1
12. Log 8 x + Log 3 1 = Log 8 64
15. 2
= 4x+1
x
13. 2Log6 x –Log 6 7776=Log 6 6
16. 3(5 )=144
14. Log 9 1 + Log 2 x = Log 9 81
D. Ubique, sobre la línea, de las siguientes representaciones algebraicas la que
corresponde a la gráfica de cada función:
a. f(x)= -x2 + 5x
b. f(x)= 2x
______________________
c. f(x)= - 2x + 3
d. f(x)= logax
________________________
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E. Ubique, en el recuadro, de las siguientes representaciones gráficas el
nombre de la función que corresponde según sea : LINEAL, CUADRÁTICA,
EXPONENCIAL, LOGARITMICA
b.
a.
d.
c.