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EQUILIBRIO GENERAL
Notas docentes elaboradas por: Ianina Rossi y Máximo Rossi
CRITERIO DE PARETO
Si se tienen dos estados sociales A y B, A es preferible a B si por lo menos una persona está mejor en A que en
B sin que ninguna de las otras personas esté peor que en B. En este caso, se dice que A es pareto superior.
Si, en cambio, la única forma de mejorar la situación de un individuo es empeorando la de otro, se dice que esa
situación constituye un óptimo de pareto (no es posible mejorar la situación de un individuo sin empeorar la de
otro).
ÓPTIMO DE PARETO EN PRODUCCIÓN
Supuesto básico:
Los recursos con los cuales se producen los bienes están dados. Se tratará de resolver cómo se distribuye el
stock de factores entre los distintos sectores de la economía.
Características de la economía:
Se consideran dos bienes: y 1 y y 2 , y dos factores de producción: capital y trabajo.
y 1 = f 1 ÝL 1 ,K 1 Þ
y 2 = f 2 ÝL 2 ,K 2 Þ
Dados:
L = L1 + L2
K = K1 + K2
Se supone, o bien que el mercado de los bienes y 1 y y 2 está en competencia perfecta, o bien que se trata de una
economía pequeña y, por lo tanto, las empresas son tomadoras de precios:
y1 í p 1
y2 í p 2
Problema:
¿Cómo se distribuyen eficientemente esos recursos?
Para contestar esta pregunta se debe maximizar el producto dado el stock de recursos. De esta forma se asegura
que no haya recursos ociosos.
Se debe recordar que la eficiencia no significa equidad.
max p 1. f 1 ÝL 1 ,K 1 Þ + p 2 .f 2 ÝL 2 ,K 2 Þ
sujeto a:
L1 + L2 = L
K1 + K2 = K
ì max¢ = p 1. f 1 ÝL 1 ,K 1 Þ + p 2 .f 2 ÝL 2 ,K 2 Þ ? V L ÝL ? L 1 ? L 2 Þ + V K ÝK ? K 1 ? K 2 Þ
ì Ý1Þ
1
/¢ = p 1 /f ÝL 1 ,K 1 Þ ? V L = 0
/L 1
/L 1
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1
ì Ý2Þ
1
/¢ = p 1 /f ÝL 1 ,K 1 Þ ? V K = 0
/K 1
/K 1
ì Ý3Þ
2
/¢ = p 2 /f ÝL 1 ,K 1 Þ ? V L = 0
/L 2
/L 2
ì Ý4Þ
2
/¢ = p 2 /f ÝL 1 ,K 1 Þ ? V K = 0
/K 2
/K 2
ì Ý5Þ
/¢ = L ? L 1 ? L 2 = 0
/V L
ì Ý6Þ
/¢ = K ? K 1 ? K 2 = 0
/V K
Interpretación de V:
Los V son los valores de la productividad marginal de los factores, que en competencia perfecta son iguales a los
precios de los factores.
Soluciones óptimas:
De las condiciones de primer orden obtengo:
L i = L Di Ýp 1 ,p 2 ,L,KÞ;
K i = K Di Ýp 1 ,p 2 ,L,KÞ;
V L = V DL Ýp 1 ,p 2 ,K,LÞ
V K = V DK Ýp 1 ,p 2 ,K,LÞ
i = 1,2....
i = 1,2....
De esta forma, se obtiene cómo se van a distribuir esos factores de producción entre los distintos sectores de la
economía de modo de hacer máximo el producto, dados los parámetros del modelo (precios=productividad
marginal de los factores) y dada la dotación de factores de la economía.
De esta forma, se tienen las soluciones óptimas de cómo se distribuyen capital y trabajo entre los dos sectores
de la economía y el precio de cada factor en el óptimo.
Si se tiene la distribución de factores L i ,K i y se tiene la tecnología que utiliza cada sector, entonces se tiene el
producto de cada sector, o sea, las funciones de oferta de cada uno en el óptimo:
y D1 = f 1 ÝL D1 ,K D1 Þ = y D1 Ýp 1 ,p 2 ,L,KÞ
y D2 = f 2 ÝL D2 ,K D2 Þ = y D2 Ýp 1 ,p 2 ,L,KÞ
Estas funciones de oferta en el óptimo son homogéneas de grado cero en precios.
Esto me permite multiplicar los precios por una constante t y el resultado no cambia.
ì t = p1
2
ì
y D1 = y D1 pp 1 ,1,L,K
2
ì y D1 = y D1 Ýp,L,KÞ
y D2 = y D2 pp 1 ,1,L,K
2
ì y D1 = y D1 Ýp,L,KÞ
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2
Tal que: p = pp 1
2
precios relativos
Esto me permite despejar una función de oferta en función de la otra a partir de los precios relativos p.
ì y D1 = gÝy D2 ,L,KÞ Esta es la frontera de posibilidades de producción de la economía.
GRÁFICA 1
Si una economía es eficiente, se debe encontrar sobre la frontera de posibilidades de producción. De esta forma,
hay n posibles puntos eficientes, combinando distintas cantidades de los bienes y 1 y y 2 . Así, como estos bienes
se producen con los mismos factores, necesariamente para producir más de y 1 , se tienen que trasladar recursos
y producir menos de y 2 .
La única forma de poder aumentar la producción de ambos bienes de manera simultánea, es mediante es
traslado hacia la derecha y hacia arriba de la frontera de posibilidades de producción, y esto sólo se consigue si
aumenta la dotación de recursos: L y K..
Retomando las condiciones de primer orden:
TMST 1
/f 1 ÝL 1 ,K 1 Þ
(1)(2) ì 1 /L 1
= VL = w
r
VK
/f ÝL 1 ,K 1 Þ
/K 1
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3
TMST 2
/f ÝL 2 ,K 2 Þ
(3)(4) ì 2 /L 2
= VL = w
r
VK
/f ÝL 2 ,K 2 Þ
/K 2
2
ì TMST 1 = TMST 2 = V L = w
r
VK
w: retribución del factor productivo trabajo
r: retribución del factor productivo capital
TMST: tasa marginal de sustitución técnica entre factores.
GRÁFICA 2
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En la Caja de Edgeworth se visualiza cada sector en un par de ejes (L,K).
Cada punto de la caja dice cómo se está distribuyendo capital y trabajo entre los sectores.
De las condiciones de equilibrio se extrae que un punto es eficiente si surge de la tangencia de las isocuantas
(por ejemplo el punto B del gráfico). De esta forma, un punto como el A, no es eficiente, ya que hay formas de
cambiar el nivel de producción de un sector sin alterar el del otro.
Dado que la curva de contrato de la Caja de Edgeworth es la unión de todos los puntos de tangencia de las
isocuantas, constituye el conjunto de los n posibles puntos eficientes.
Cuál de estos puntos se elije depende de la dotación inicial de factores.
GRÁFICA 3
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ÓPTIMO DE PARETO EN CONSUMO
Formalización:
Se supone una economía de intercambio puro, o sea, sin producción. Adicionalmente, se tienen dos individuos y
dos bienes no producibles (son como caídos del cielo).
Se verá cómo se distribuyen esos dos bienes entre los dos individuos suponiendo dadas las cantidades
existentes de los dos bienes.
Dos bienes: í x
íy
Dos individuos con distinta utilidad: í U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
í U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
Cantidad de los dos bienes dada: í x = x 1 + x 2
í y = y1 + y2
Para resolver el problema se halla la utilidad del individuo 1 suponiendo constante la utilidad del individuo 2.
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maxU 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
sujeto a:
U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ = U 2
x = x1 + x2
y = y1 + y2
ì max¢ = U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ + V U 2 ? U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
+ V x Ýx ? x 1 ? x 2 Þ + V y Ýy ? y 1 ? y 2 Þ
1
ì Ý1Þ /¢ = /U Ýx 1 ,y 1 Þ ? V x = 0
/x 1
/x 1
1
ì Ý2Þ /¢ = /U Ýx 1 ,y 1 Þ ? V y = 0
/y 1
/y 1
2
ì Ý3Þ /¢ = /U Ýx 2 ,y 2 Þ ? V x = 0
/x 2
/x 2
2
ì Ý4Þ /¢ = /U Ýx 2 ,y 2 Þ ? V y = 0
/y 2
/y 2
ì Ý5Þ /¢ = U 2 ? U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ = 0
/V
ì Ý6Þ /¢ = x ? x 1 ? x 2 = 0
/V x
ì Ý7Þ /¢ = y ? y 1 ? y 2 = 0
/V y
/U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
/x 1
(1)(2) ì
= Vx
Vy
/U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
/y 1
/U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
/x 2
(3)(4) ì
= Vx
Vy
/U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
/y 2
/U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
/U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
/x 1
/x 2
ì
=
= Vx
Vy
/U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
/U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
/y 1
/y 2
ì En un óptimo de pareto las dos curvas de indiferencia son tangentes.
GRÁFICA 4
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Los óptimos de pareto se encuentran en los puntos de tangencia de las curvas de indiferencia de los individuos.
La curva de contrato constituye la unión de todos los puntos óptimos de pareto.
Un punto como C (ver gráfica) no es pareto-óptimo porque se puede mejorar la situación del individuo 1 sin
empeorar la del individuo 2. En ese caso, se llegará al óptimo en un punto entre A y B (sobre la curva de
contrato), donde no se puede mejorar a uno sin empeorar al otro; por lo que estos puntos son óptimos de pareto.
Depende de las dotaciones iniciales de x e y, el óptimo de pareto que se pueda alcanzar.
Los puntos A, B y todos los que están sobre la curva de contrato entre ellos son pareto-superiores a C.
Volviendo a las condiciones de primer orden:
(1)(2) ì x Di = x Di ÝU 2 ,x,yÞ
(3)(4) ì y Di = y Di ÝU 2 ,x,yÞ
También se puede hallar la frontera de posibilidad de la Utilidad:
ì U 1 = U 1 Ýx D1 ,y Di Þ = U 1 ÝU 2 ,x,yÞ
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Lo que se obtiene no es más que la curva de contrato.
ÓPTIMO GLOBAL DE PARETO
Se supone que una economía se encuentra en un óptimo de pareto en consumo, pero no en un óptimo de pareto
en producción. Esta economía es eficiente en consumo pero no lo es en producción. Por lo tanto, esta situación no
constituye un óptimo global de pareto, ya que si se mejora la producción ì aumentaría el stock de bienes de la
economía ìse expandiría la caja de Edgeworth para los consumidores ì cambiría el óptimo en consumo; el
punto que anteriormente constituía un óptimo de pareto en consumo ya no lo será más puesto que existirá la
posibilidad de darle la mayor producción a un sólo individuo sin empeorar las situación de los demás.
Allí se observa claramente que el óptimo de pareto al que se llega está condicionado por las dimensiones de la
caja de Edgeworth, la que depende del stock de recursos de la economía. Por lo tanto, para obtener un óptimo
global de pareto se tiene que forzar a la economía a estar en la frontera de posibilidades de producción. Esto
equivale a forzarla a alcanzar la caja de Edgeworth de dimensión más grande posible
De esta forma, para que una economía se encuentre en un óptimo global de pareto debe estar, en forma
simultánea, en un óptimo en consumo y en un óptimo en producción; es decir, que debe ser eficiente en ambas
actividades.
ì maxU 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
s.a.
(1) U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ = U 1
Supongo constante la utilidad del individuo 1
(2) x 1 + x 2 = x
Stock del bien x
(3) y 1 + y 2 = y
Stock del bien y
(4) y = y D Ýx,L,KÞ
Frontera de posibilidades de produción
Se resumen las restricciones (2),(3) y (4) en una sola:
ì hÝx,yÞ = 0
Función de producción implícita.
ì max¢ = U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ + V 1 U 1 ? U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
+ V 2 hÝx,yÞ
2
(1) ì /¢ = /U Ýx 2 ,y 2 Þ + V 2 /hÝx,yÞ = 0
/x 2
/x 2
/x 2
2
(2) ì /¢ = /U Ýx 2 ,y 2 Þ + V 2 /hÝx,yÞ = 0
/y 2
/y 2
/y 2
1
(3) ì /¢ = ?V 1 /U Ýx 1 ,y 1 Þ + V 2 /hÝx,yÞ = 0
/x 1
/x 1
/x 1
1
(4) ì /¢ = ?V 1 /U Ýx 1 ,y 1 Þ + V 2 /hÝx,yÞ = 0
/y 1
/y 1
/y 1
(5) ì /¢ = U 1 ? U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ = 0
/V 1
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(6) ì /¢ = hÝx,yÞ = 0
/V 2
/U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
/hÝx,yÞ
/x 2
/x 2
(1)(2) ì
=
/hÝx,yÞ
/U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
/y 2
/y 2
/U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
/hÝx,yÞ
/x 1
/x 1
(3)(4) ì
=
1
/hÝx,yÞ
/U Ýx 1 ,y 1 Þ
/y 1
/y 1
1
ã
/hÝx,yÞ = /hÝx,yÞ . /x = /hÝx,yÞ
/x 1
/x
/x 1
/x
Lo mismo ocurre para x 2
1
ã
/hÝx,yÞ = /hÝx,yÞ . /y = /hÝx,yÞ
/y 1
/y
/y 1
/y
Lo mismo ocurre para y 2
/U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
/U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
/hÝx,yÞ
/x 2
/x 1
/x
ì
=
=
/hÝx,yÞ
/U 2 Ýx 2 ,y 2 Þ
/U 1 Ýx 1 ,y 1 Þ
/y
/y 2
/y 1
La relación de sustitución entre los dos bienes deben ser iguales para los dos individuos, e iguales a la tangente
de la frontera de posibilidades de producción en el óptimo.
Gráficamente:
GRÁFICA 5
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Son esas curvas las que definen las dimensiones de la caja de Edgeworth.
Conclusión:
Una economía se encuentra en un óptimo global de pareto cuando la relación de sustitución entre los bienes es
igual para los individuos e igual a la tangente de la frontera de posibilidades de producción. Esto significa que no
se puede redistribuir de modo de mejorar la situación de una persona sin empeorar la de otras.
Los equilibrios competitivos (de competencia perfecta) representan óptimos globales de pareto, o sea que no hay
forma de redistribuir para mejorar la situación de un individuo sin empeorar la de otros. Por lo tanto, los
equilibrios competitivos representan un máximo de bienestar.
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