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Ecuaciones de primer grado
M. Dolores Guadalupe Duarte Marinas
José Navarro Cáceres
e-LectoLibris
18 de febrero de 2014
Ecuaciones de primer grado
Considera la siguiente expresión:
2x + 1 = 7,
x = 3, siendo
x. Por ejemplo
2 · 4 + 1 6= 7.
observa que sólo es cierta para
falsa
para cualquier otro valor de
para
x=4
vemos que
Fíjate ahora en la expresión
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
Dale diferentes valores a
x = −3
x
y verás que se cumple siempre; por ejemplo para
se tiene:
((−3) + 1)2 = (−3)2 + 2(−3) + 1;
(−2)2 = 9 − 6 + 1;
4 = 4.
Una igualdad entre expresiones algebraicas que se verica para algunos
valores de las variables se dice que es una
ecuación.
Si se cumple siempre,
sean cuales sean los valores de las variables, la llamaremos
identidad.
Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las variables que
cumplen la igualdad.
Una ecuación en la que sólo hay una variable y ésta aparece únicamente
elevada a uno diremos que es una
conoce por
ecuación lineal.
ecuación de primer grado,
1
también se la
2
La igualdad entre expresiones algebraicas
Ejemplo 0.1.
3x − 4 = 6 + 8x
es una ecuación de primer grado. Sin embargo
x2 + 1 = 10
no lo es porque
x
aparece elevada a
2
(se trata de una ecuación segundo
grado que estudiaremos en cursos posteriores).
A cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados de la igualdad
las llamaremos
miembros.
sería el primer miembro y
En la primera parte del ejemplo anterior,
6 + 8x
3x − 4
el segundo.
Cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación se denominan
términos.
En el ejemplo anterior
3x, −4, 5
y
8x
son términos de la ecuación.
A partir de ahora nos referiremos en exclusiva a ecuaciones de primer
grado.
La variable que aparece en la ecuación y de la cual deseamos conocer
el valor que hace que se cumpla la igualdad se llama
solución.
En la primera parte del ejemplo anterior
solución es
x = −2
x
incógnita
y al valor
es la incógnita y la
como puedes comprobar fácilmente.
Dos o más ecuaciones diremos que son equivalentes si tienen la misma
solución.
Ejemplo 0.2.
Las ecuaciones
que ambas tienen por solución
2x − 4 = 0
x = 2.
y
3x = 6
son equivalentes puesto
Si a una ecuación le sumamos (o restamos) a cada uno de los miembros
un mismo número se obtiene una ecuación equivalente.
Ejemplo 0.3.
La ecuación
segunda se obtiene sumando
x − 2 = 7 es equivalente
2 a ambos miembros.
a
x=9
puesto que la
Si en una ecuación multiplicamos (o dividimos) cada uno de los miembros
un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente.
Ejemplo 0.4.
La ecuación
5x = 30 es equivalente a x = 6
5 ambos miembros.
segunda se obtiene dividiendo por
puesto que la
3
Resolución de ecuaciones de primer grado
Como ya hemos dicho, resolver una ecuación es hallar el valor de la incógnita que hace que se cumpla la igualdad, es decir hallar la solución.
En general el procedimiento consistirá en lo que denominamos despejar
la incógnita, es decir, dejar la incógnita con coeciente 1 en uno de los lados
de la igualdad; en este caso la solución será el valor numérico que aparece en
el otro lado de la igualdad.
Resuelve la ecuación:
Ejemplo 0.5.
Para aislar la
el término
−2
x
x − 2 = 5.
en el primer miembro de la ecuación necesitamos quitar
y para ellos sumamos a cada miembro de la ecuación
+2
obteniéndose:
x − 2 + 2 = 5 + 2,
de donde
x=7
que será la solución.
Normalmente no será necesario indicarlo con tanto detalle y bastará proceder
así:
x − 2 = 5,
x = 5 + 2,
x=7
es decir quitamos un número que está sumando (restando) en un miembro
de la ecuación y lo ponemos restando (sumando) en el otro miembro.
Ejemplo 0.6.
Resuelve la ecuación:
x + 9 = 4.
Al igual que en el ejemplo anterior:
x = 4 − 9,
luego
x = −5.
Ejemplo 0.7.
Resuelve la ecuación:
3x − 4 = 11.
4
Para aislar la
término
−4,
x
en el primer miembro de la ecuación necesitamos quitar el
como ya hemos visto antes:
3x = 11 + 4,
3x = 15,
y ahora tenemos que convertir el coeciente
cada miembro de la ecuación por
3
en un
1;
para ello dividimos
3:
1
1
· 3x = · 15,
3
3
3
15
·x= ,
3
3
de donde
x=5
que será la solución.
Al igual que antes normalmente simplicaremos el proceso en la forma:
3x = 15,
15
,
3
x = 5,
x=
es decir quitamos un número que está multiplicando (dividiendo) en un miembro de la ecuación y lo ponemos dividiendo (multiplicando) en el otro miembro.
Ejemplo 0.8.
Resuelve la ecuación:
Procediendo como antes:
x
+ 2 = −3.
5
x
+ 2 = −3,
5
x
= −3 − 2,
5
x
= −5,
5
x = 5 · (−5),
x = −25,
que será la solución.
5
Ejemplo 0.9.
Resuelve la ecuación:
3x + 7 = −x + 15.
En primer lugar pasamos todos lo términos que contienen
x
a uno de los
miembros de la ecuación y lo términos que no la contienen (términos independientes) al otro:
3x + 7 = −x + 15,
3x + x = 15 − 7,
operamos:
4x = 8,
y despejamos la incógnita:
8
x= ,
4
x = 2.
Procedimiento para resolver ecuaciones de primer grado
Seguimos, si son necesarios, los siguientes pasos:
1. Operamos respetando el orden de prioridad de las operaciones.
2. Llevamos todos los términos en los que aparece la incógnita en uno de
los miembros y los términos independientes en el otro.
3. Volvemos a operar si es necesario.
4. Despejamos la incógnita y tendremos la solución.
Ejercicios
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
d)
x+4=7
2x − 5 = 7
b)
x − 3 = 15
+ 2 = −25
e)−3x
c)
f)
x + 2 = −7
2x + 23 = −12
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
3x − 4x = 2 − 2x + 8
2x + 2 − x = 3 − x + 5
e)2 − 4x + 2x = −5x − 4
a)
b)
c)
d)
f)
5x + 3 = −4x + 21
4x − 2x − 3 = 2x + 5 − 1
13x + 20 = −12x + 70
Veamos ahora algunos ejemplos en los que aparecen paréntesis o denominadores.
6
Ejemplo 0.10.
Resuelve la ecuación
2 · (x − 3) = x − 14
Procedemos a operar quitando el paréntesis del primer miembro:
2x − 6 = x − 14,
ahora pasamos todos los términos con incógnitas a un miembro y los términos
independientes al otro:
2x − x = −14 + 6,
y por lo tanto
x = −8.
Ejemplo 0.11.
Resuelve la ecuación
(2x + 3) − 5 · (x − 1) = 2x + 3 · (x + 1)
Procedemos a operar quitando los paréntesis tanto del primer miembro como
del segundo:
(2x + 3) − (5x − 5) = 2x + (3x + 3),
2x + 3 − 5x + 5 = 2x + 3x + 3,
ahora pasamos todos los términos con incógnitas a un miembro y los términos
independientes al otro:
2x − 5x − 2x − 3x = 3 − 3 − 5,
−8x = −5,
de donde
x=
Ejemplo 0.12.
−5
5
= .
−8
8
Resuelve la ecuación
3x
5
−2=x+
1
2
En primer lugar procederemos a quitar los denominadores; para ello multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de
los denominadores, en nuestro caso
mcm(5, 2) = 10,
1
3x
−2=x+ ,
5
2
3x
1
10 ·
− 2 = 10 · x +
,
5
2
30x
10
− 20 = 10x + ,
5
2
7
6x − 20 = 10x + 5,
ahora pasamos todos los términos con incógnitas a un miembro y los términos
independientes al otro y operamos:
6x − 10x = 20 + 5,
−4x = 25,
y por lo tanto
x=
25
25
=− .
−4
4
Ejercicios
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
2(3x + 2) = x − 1
c) 5(x − 1) + 3(2x + 2) = −x
e)−(x − 1) + 2x = 4(2x − 4)
a)
x + 3(2x + 5) = x
d) −(x − 3) = 4(x + 5)
f ) 3(x + 1) − (x + 1) = −3 + x
b)
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x
x
−5= −7
2
3
b)
x+1
=x+2
3
d)
2x − 3
x
1
=x+ −
5
3 15
e)1
−
x
x
=x−
2
6
c)
x
5
− x = −x +
2
4
f)
x x 2x
+ −
=2
2
3
6
Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado
Muchos problemas que nos encontramos se resuelven mediante el planteamiento y resolución de una ecuación de primer grado. En general debes
seguir los siguientes pasos para resolver el problema:
1. Haz una lectura comprensiva del problema. Tras su lectura tantas veces
como necesites deberías estar en condiciones de explicarlo sin mirar el
texto aunque no recuerdes con exactitud los valores que aparecen en el
enunciado.
2. Detecta qué es lo que quieres saber que será la incógnita. Ponle nombre,
por ejemplo
x.
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3. Convierte el enunciado del problema en una expresión algebraica, que
en nuestro caso será una ecuación de primer grado.
4. Resuelvela aplicando los procedimientos vistos anteriormente.
5. Comprueba que la solución tiene sentido y responde exactamente a lo
que querías saber.
Ejemplo 0.13.
La edad de un padre es el doble de la edad de su hijo y la
suma de las edades de ambos es 63. ¾Cuántos años tiene el hijo?
Si hacemos una lectura comprensiva del problema habremos detectado que
nos pregunta por la edad del hijo que llamaremos
x
y que será la incógnita
de nuestro problema.
Ahora pasamos el enunciado del problema a una expresión algebraica y se
tiene, como fácilemente puedes comprobar, la siguiente ecuación:
2x + x = 63
que resolviendo tenemos que
x=
63
= 21.
3
Luego la edad del hijo es 21 años y la del padre, aunque no lo pide, es 42.
Ejercicios
1. La suma de un número más su doble más su mitad es 35. ¾De qué
número se trata?
2. El doble del resultado de restar a un número 7 unidades es 8. ¾De qué
número se trata?
3. Llevo en el monedero el doble de monedas de 1 euro que de 2 euros.
Si en total llevo 28 euros en el monedero ¾cuántas monedas de 2 euros
llevo?
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Ejercicios propuestos
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
d)
x + 4 = 18
7x − 6 = 8x + 12
b)
−2x − 7 = 1
− 2 = 20 − 2x
c)
e)12x
f)
5x − 4 = 11
x − 3 + 5x = −x + 3
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
−(2x + 3) = 2x + 1
c) 4(3x + 1) − 2(6x + 3) = 14
e)−2(x + 4) − 3x = 2(x − 1)
a)
3x − 2(5x + 1) = 2x + 7
d) 5(2x − 1) = 3(x − 6)
f ) 7(x + 1) − 2(x + 1) = 1 − 2x
b)
3. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
2x
4x
−1=
+2
3
9
b)
2x − 1
=x−2
5
c)
2x
x−1
+x=
7
14
4. La suma de dos números consecutivos es 2029. ¾De qué números se
trata?
5. La suma de dos números pares consecutivos es 1624. ¾De qué números
se trata?
6. La suma de dos números impares consecutivos es 644. ¾De qué números
se trata?
7. De un rectángulo sabemos que su base mide 3 m más que su altura. Si
el perímetro es 10 m, ¾cuánto miden los lados?
8. En una clase de
31
alumnos, hay
5
chicas más que chicos. ¾Cuántas
chicas hay en la clase?
9. (Concurso Canguro Matemático, 2001.) Hace tres años, los trillizos
Pablo, Simón y José, y su hermana Eva,
4
años mayor, sumaban
24
años en total. ¾Cuántos años tiene hoy Eva?
10. Entre Pedro y María transportan
8
libros, pero Pedro lleva dos libros
más que María. ¾Cuántos libros lleva Pedro?
11. Antonio tiene
257
euros y Rafael
123.
¾Cúantos euros debería dar An-
tonio a Rafael para que ambos tengan la misma cantidad?
12. (Concurso Canguro Matemático, 2004.) Los tres miembros de una familia de conejos se han comido en total
73
zanahorias. El padre se ha
comido cinco zanahorias más que la madre. El hijo se ha comido
zanahorias. ¾Cuántas se ha comido la madre?
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