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Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Tema 5 Ecuaciones. Inecuaciones 1 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES I. Ecuaciones. Ecuaciones de primer grado 2 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 3 1. Ecuaciones. Grado de una ecuación. Soluciones Igualdad Numérica Verdadera 3(5 – 2) = (6 – 3)(1 + 2) Falsa 2(5 – 2) = 4 + 3 Algebraica Identidad Una identidad es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple siempre, sean cuales sean los valores de las letras. Ecuación Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solo para determinados valores de las letras (incógnitas). Esos valores son las soluciones de la ecuación. x+2=5 3x + 2x = 5x Solución: x = 3 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES GRADO DE UNA ECUACIÓN Llamamos grado de la ecuación al mayor exponente con que figura la incógnita después de realizar las operaciones que se indican en la ecuación. Primer grado: Segundo grado: 2x – 8 = 0 (x – 5)(x – 2) = 0 Operando x2 – 7x + 10 = 0 4 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 5 ELEMENTOS Y TERMINOLOGÍA DE ECUACIONES MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN: Son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo de igualdad. TÉRMINOS: Son los sumandos que forman los miembros. Primer miembro 5x – 7 = Segundo miembro 2x + 2 Términos INCÓGNITAS: Son las letras que aparecen en la ecuación. Por ejemplo: 5x – 7 – x = 2x + 2 Ecuación con una sola incógnita, x. 2x + 3y = 5 – 2y Ecuación con dos incógnitas, x e y. SOLUCIONES: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. Por ejemplo, en la ecuación: 5x – 7 = 2x + 2 x = 3 es solución, ya que 5·3 – 7 = 2·3 + 2 x = 5 no es solución, ya que 5·5 – 7 2·5 + 2 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Resolver una ecuación es encontrar su solución o soluciones. Para comprobar si un número es solución de una ecuación basta sustituir la x por dicho número y operar. Si obtenemos el mismo valor en ambos miembros, dicho número es solución de la ecuación. EJEMPLO Comprobar si x = 2 es solución de la ecuación 5x – 8 + 2x = 7 + 4x – 9 5x – 8 + 2x = 7 + 4x – 9 Sustituye la x por 2 5·2 – 8 + 2·2 = 7 + 4·2 – 9 10 – 8 + 4 = 7 + 8 – 9 6=6 Opera en cada miembro Luego x = 2 es solución 6 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 2. Reglas de la suma y del producto Dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se denominan ecuaciones equivalentes. En la segunda balanza hemos añadido a los dos platillos lo mismo. Date cuenta de que, sea lo que sea A, una expresión algebraica o un número, las ecuaciones x = 7 y x + A = 7 + A son equivalentes (su solución es 7 en ambos casos). La regla de la suma nos dice que: Si a los dos miembros de una ecuación les sumamos o restamos una misma expresión (algebraica o numérica), se obtiene una ecuación equivalente a la que teníamos. 7 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES En la tercera balanza hemos multiplicado los dos platillos por un mismo factor. Las ecuaciones x = 7 y 2·x = 2·7 son también equivalentes. La regla del producto nos dice que: Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la que teníamos. 8 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 3. Tipos de ecuaciones. Transposición de términos Tipos de ecuaciones de primer grado según el número de soluciones. Al resolver ecuaciones de primer grado aplicando las dos reglas anteriores, vamos obteniendo ecuaciones cada vez más sencillas hasta llegar a una expresión de la forma a·x = b, siendo a y b dos números. Según los valores de a y b, podemos distinguir tres tipos de ecuaciones de primer grado: ► Si a 0, la solución es x = b/a. Decimos que la ecuación es compatible, tiene una única solución. ► Si a = 0 y b 0, 0·x = b, la ecuación no tiene solución, es una ecuación incompatible. ► Si a = 0 y b = 0, 0·x = 0, la ecuación es una identidad, tiene infinitas soluciones. 9 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Transposición de términos en una ecuación Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por un mismo número o expresión. Ese proceso podemos realizarlo de manera más rápida haciendo que ese mismo término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba: ► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando, aparece sumando. ► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo, aparece multiplicando. Esta técnica se denomina transposición de términos. 10 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES EJEMPLO 11 Transposición de términos 4x – 8 = 6 + 2x 4x – 8 = 6 + 2x 4x – 2x = 6 + 8 a) Si sumásemos a los dos miembros +8, eliminaríamos el término –8 del primer miembro, quedando 4x = 6 + 2x + 8. Esto equivale a pasar directamente el término –8 al segundo miembro como +8. b) De la misma forma, para eliminar +2x del segundo miembro lo pasamos al primero como –2x. 2·x = 14 x = 14 = 7 2 c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x = 14, pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este último paso se llama despejar la incógnita. Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 4. Ecuaciones con paréntesis y denominadores EJEMPLO Ecuaciones con paréntesis Resuelve 3(x + 5) + 4 = 1 – 2(x + 6). 3(x + 5) + 4 = 1 – 2(x + 6) Ecuación original 3x + 15 + 4 = 1 – 2x – 12 Quita paréntesis. 3x + 19 = – 2x – 11 Simplifica. 3x = – 2x – 30 Resta 19. 5x = – 30 Suma 2x. x = 6 La solución es 6. Divide por 5. Comprobación. 3(– 6 + 5) + 4 = 1 – 2(– 6 + 6) 3(–1) + 4 = 1 – 2(0) 3 + 4 = 1 Cierto 12 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 13 Las ecuaciones con fracciones pueden simplificarse multiplicando ambos miembros por el denominador común. EJEMPLO Resuelve Ecuaciones con denominadores 1 2 1 x ( x 4) 2 3 3 1 2 1 6 x 6 ( x 4) 3 2 3 3x + 4 = 2x + 8 3x = 2x + 4 x=4 El mínimo común denominador de todas las fracciones en la ec. es 6. Multiplica por 6. Simplifica. Resta 4. Resta 2x. Comprobación. 1 2 1 (4) ((4 ) 4) 2 3 3 2 1 2 (8) 3 3 8 8 Cierto 3 3 Tema 5 EJEMPLO ECUACIONES. INECUACIONES Ecuaciones con denominadores El M. C. M. de los denominadores es 2x 5 7 3x 1 2x 3x M.C.M.(5, 10, 4) = 20. 5 10 4 Multiplicamos los dos miembros 2x 5 7 3x 1 20·(2 x ) 20·(3x ) de la ecuación por 20. 5 10 4 20(2x) – 4(2x – 5) = 20(3x) – 2·7 – 5(3x + 1) Quitamos paréntesis 40x – 8x + 20 = 60x – 14 – 15x – 5 Transponemos términos 40x – 8x – 60x + 15x = – 14 – 5 – 20 Agrupamos términos semejantes – 13x = – 39 39 x 13 x=3 Despejamos la incógnita 14 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Página 75 del libro Página 76 del libro Página 77 del libro 15 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 16 5. Resolución de problemas con ecuaciones PROBLEMA 1: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces su valor inicial? ► Primer paso Un número x Identificar los elementos del problema, expresando algebraicamente los que son desconocidos. ► Segundo paso Expresar, con una igualdad, la relación que liga los elementos del problema. ► Tercer paso Resolver la ecuación. El número aumentado en 55 x + 55 Seis veces el número 6x El número aumentado en 55 x + 55 es igual a = 6 veces el número 6x x + 55 = 6x 55 = 6x – x 55 = 5x 55/5 = x x = 11 ► Cuarto paso Interpretar la solución de la ecuación dentro del enunciado del problema y comprobar si es cierta. El número buscado es 11. Comprobación: Nº aumentado en 55 11 + 55 = 66 6 veces el número 6·11 = 66 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 17 PROBLEMA 2: Aníbal tiene 15 años, su hermana 12 y su madre 40. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre ambos hijos igualen la edad de la madre? ► Primer paso: Identificar y dar nombre a los elementos del problema. AHORA DENTRO DE x AÑOS EDAD DE ANÍBAL 15 15 + x EDAD DE LA HERMANA 12 12 + x EDAD DE LA MADRE 40 40 + x ► Segundo paso: Relacionar mediante una ecuación los elementos del problema. EDAD DE ANÍBAL + EDAD DE HERMANA (DENTRO DE x AÑOS) ES IGUAL A (15 + x) + (12 + x) = EDAD DE LA MADRE (DENTRO DE x AÑOS) 40 + x Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 18 PROBLEMA 2: Aníbal tiene 15 años, su hermana 12 y su madre 40. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre ambos hijos igualen la edad de la madre? ► Tercer paso: Resolver la ecuación. (15 + x) + (12 + x) = 40 + x 15 + x + 12 + x = 40 + x 27 + 2x = 40 + x 2x – x = 40 – 27 x = 13 ► Cuarto paso: Interpretar la solución de la ecuación dentro del enunciado del problema y comprobar si es correcta. Han de transcurrir 13 años para que, entre ambos hijos, igualen la edad de la madre. Comprobación: Dentro de 13 años: Aníbal 15 + 13 = 28 Hermana 12 + 13 = 25 Madre 40 + 13 = 53 28 + 25 = 53 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 19 PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. ► Primer paso 2x Lado menor x Lado mayor 2x Perímetro 78 x + 2x + x + 2x x x 2x ► Segundo paso x + 2x + x + 2x = 78 ► Tercer paso x + 2x + x + 2x = 78 6x = 78 x = 78/6 x = 13 x = 13 cm 2x = 26 cm ► Cuarto paso Comprobación: Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 20 PROBLEMA 4: El dueño de un restaurante mezcla una bolsa de café de 10 €/kg con cierta cantidad de café inferior de 8 €/kg. Así obtiene 10 kg de mezcla que sale a 9,50 €/kg. ¿Qué cantidad de cada clase empleó? ► Primer paso PESO(kg) PRECIO(€/kg) VALOR(€) CAFÉ SUPERIOR x 10 10x CAFÉ INFERIOR 10 – x 8 8(10 – x) 10 9,5 9,5·10 MEZCLA ► Segundo paso ► Tercer paso ► Cuarto paso VALOR DEL CAFÉ SUPERIOR + VALOR DEL CAFÉ INFERIOR = VALOR DE LA MEZCLA 10x + 8(10 – x) = 9,5·10 10x + 8(10 – x) = 9,5·10 10x + 80 – 8x = 95 2x = 95 – 80 2x = 15 x = 15/2 Café superior 7,5 kg; Café inferior 10 – 7,5 = 2,5 kg Comprobación: Valor de los cafés mezclados 10·7,5 + 8·2,5 = 95 € Valor de la mezcla 9,5·10 = 95 € Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 21 ACTIVIDADES 1. Si al triple de un número le quitas 12 unidades, obtienes 86. ¿Cuál es el número? 2. Si a un número le restas 15 y el resultado lo divides entre 3, obtienes 20. ¿De qué número se trata? 3. La suma de dos números consecutivos es 175 ¿Cuáles son esos números? 4. Si a un número le sumas siete, obtienes el mismo resultado que si a su doble le restas tres. ¿De qué número se trata? 5. Un padre tiene 40 años y su hijo, 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que el padre tenga el doble de edad que el hijo? 6. La edad de doña Puri es 6 veces la de su nieta Beatriz, pero dentro de 8 años, solo será el cuádruple. ¿Cuál es la edad de cada una? Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 22 ACTIVIDADES 7. La base de un rectángulo es 7 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 54 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. 8. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales es 5 cm más largo que el lado desigual. El perímetro mide 55 cm. ¿Cuánto mide cada lado? x x+7 x+5 x+5 x 9. El mayor de los ángulos de un triángulo se diferencia en 20° del mediano y este se diferencia en 20° del menor. ¿Cuál es la medida de los ángulos del triángulo? 10. Una finca rectangular mide 150 m de largo. Si fuera 30 m más larga y 20 m más ancha, su superficie sería 6 000 m2 mayor. ¿Cuál es la anchura de la finca? x + 40º x 150 x 20 x + 20º 30 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES ACTIVIDADES 11. Mezclando vino de 2 euros/litro con otro vino de 3,50 euros/litro, se han obtenido 500 litros, de calidad intermedia, que sale a 2,90 euros/litro. ¿Cuántos litros de cada clase se han empleado? 12. ¿Cuántos litros de aceite de girasol, a 0,75 €/litro, se deben mezclar con 15 litros de aceite de oliva, a 3,75 €/litro, para que la mezcla salga a 3 €/litro? 13. En mi bolsillo llevo diez monedas, unas de 5 céntimos y otras de 20 céntimos. El valor total de las monedas es 1,4 euros. ¿Cuántas llevo de cada clase? 23 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 24 6. Fórmulas y Funciones Una fórmula es una ecuación algebraica que relaciona dos o más cantidades. Utilizar la fórmula del área del rectángulo EJEMPLO La fórmula para el área de un rectángulo es A = b·h. a. Encontrar un fórmula para b en términos de A y h. b. Utilizar la nueva fórmula para encontrar la base de un rectángulo que tenga un área de 35 m2 y una altura de 7 m. SOLUCIÓN a. Resuelve para la base b. A = b·h A b h Escribe la ecuación original. Para despejar b, divide los dos lados por h. b. Sustituir los valores dados en la nueva fórmula. b A 35 5 h 7 ► La base del rectángulo mide 5 m. Tema 5 EJEMPLO ECUACIONES. INECUACIONES 25 Utilizar la fórmula de la temperatura Resolver la fórmula de la temperatura para F: C 5 ( F 32) 9 SOLUCIÓN Escribe la ecuación original. Multiplica los dos miembros por 9/5. Simplifica. Suma 32 a los dos miembros. Simplifica. Tema 5 EJEMPLO ECUACIONES. INECUACIONES 26 Utilizar la fórmula de la velocidad La nave espacial Pathfinder fue lanzada el 4 de Diciembre de 1996 con destino a Marte. Debía recorrer 310 millones de millas y podía viajar a una velocidad de 60 000 millas por hora d t a. Despeja el tiempo de la fórmula de la velocidad v = b. Calcula el tiempo que debía tardar la nave Pathfinder en llegar a Marte. SOLUCIÓN a. d v= t t·d Multiplica por t los dos miembros. t·v = t·v = d t·v d Divide por v los dos miembros. = d t= v b. t v v d = 310 000 000 5 167 horas 215 días t= v 60 000 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Una ecuación con dos variable se escribe en forma de función si una de sus variables se aísla en un lado de la ecuación. La variable aislada es la variable dependiente y es una función de la variable independiente. Por ejemplo, la ecuación P = 4l describe el perímetro P de un cuadrado en función de la longitud de su lado l. EJEMPLO Reescribe la ecuación 3x + y = 4 de modo que y sea una función de x. SOLUCIÓN 3x + y = 4 3x + y – 3x = 4 – 3x y = 4 – 3x Escribe la ecuación original. Resta 3x a cada lado. Simplifica. ► La ecuación y = 4 – 3x representa y en función de x. 27 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES EJEMPLO a. Reescribe la ecuación 3x + y = 4 de modo que x sea una función de y. b. Utiliza el resultado para hallar x cuando y = –2, –1, 0 y 1. SOLUCIÓN a. 3x + y = 4 Escribe la ecuación original. 3x + y – y = 4 – y Resta y a los dos miembros. 3x = 4 – y Simplifica. Divide los dos miembros por 3. Simplifica. ► La ecuación representa x en función de y. 28 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 29 b. Es conveniente organizar tu trabajo en columnas. VALOR DE y SUSTITUYE VALOR DE x Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES ACTIVIDADES 1. Despeja b en la fórmula del área del triángulo: 2. Despeja h en la fórmula del volumen del prisma: 3. Despeja h en la fórmula del volumen del cilindro: 4. Despeja b2 en la fórmula del área del trapezoide: 5. Expresa y como una función de x: a) 2x + y = 5 b) 3y – x = 12 c) 4(5 – y) = 14x + 3 d) 5y – 2(x – 7) = 20 30 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES II. Desigualdades. Inecuaciones. 31 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 32 7. Desigualdades. Propiedades Una desigualdad es una expresión en la que aparecen los signos <, >, o . Desigualdades a b a menor o igual que b a b a mayor o igual que b a < b a menor que b a > b a mayor que b Así podemos escribir desigualdades numéricas, como 3 > 0, y desigualdades algebraicas, como 3x + 1 > 2x – 3. Una desigualdad algebraica será cierta para unos valores de la letra (x) y falsa para otros valores EJEMPLO 2x + 5 < 5x – 4 Para x =4 2x + 5 < 5x – 4 2·4 + 5 < 5·4 – 4 13 < 16 Cierta Para x =0 2x + 5 < 5x – 4 2·0 + 5 < 5·0 – 4 5 < – 4 Falsa Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 33 Propiedades – Al sumar una misma expresión (algebraica o numérica) a los dos miembros de una desigualdad, se obtiene otra con el mismo sentido. 3 < 6 3 + 2 < 6 + 2 5 < 8. – Al multiplicar o dividir dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, la desigualdad que resulta tiene el mismo sentido. Primera propiedad 3x + 2 < 5 +2 3x + 4 < 7 Segunda propiedad 3x + 2 < 5 ·2 3 < 6 3 · 2 < 6 · 2 6 < 12. – Al multiplicar o dividir dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido. 3 < 6 3·(–2) > 6·(–2) –6 > –12. +2 ·2 6x + 4 < 10 Tercera propiedad 3x + 2 < 5 ·(–2) –6x – 4 > –10 ·(–2) Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 34 8. Inecuaciones La representación gráfica de una desigualdad lineal en una variable es el conjunto de puntos de la recta numérica que son solución de la desigualdad: una semirrecta. DESIGUALDAD REPRESENTACIÓN GRÁFICA Todos los números reales menores de 2 x<2 Todos los números reales mayores que – 2 x > –2 Todos los números reales menores o iguales que 1 x1 Todos los números reales mayores o iguales que 0 x0 Un punto hueco se utiliza para < o > y un punto sólido para el ≤ o el ≥. Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 35 Una inecuación lineal en una variable se resuelve como una ecuación lineal. Para resolver la inecuación, aíslas la incógnita o variable en un lado usando transformaciones que producen inecuaciones equivalentes (que tienen igual conjunto de soluciones). TRANSFORMACIONES QUE PRODUCEN INECUACIONES EQUIVALENTES Sumar el mismo número a cada lado. Restar el mismo número de cada lado. INECUACIÓN ORIGINAL INECUACIÓN EQUIVALENTE x–3<5 Suma 3 x<8 x + 6 10 Resta 6 x4 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Restar en una inecuación EJEMPLO Resuelve Solución x + 5 ≥ 3. x+53 x+5–53–5 x –2 Escribe la inecuación original. Resta 5 a cada lado. Simplifica. La solución es todos los números reales mayores o iguales que –2. Comprobar varios números que sean mayor o igual que –2 en la desigualdad original. 36 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Sumar en una inecuación EJEMPLO Resuelve –2 > n – 4. Solución –2>n–4 –2+4>n–4+4 2>n Escribe la inecuación original. Suma 4 a cada lado. Simplifica. La solución es todos los números reales menores que 2. Comprobar varios números que sean menor que 2 en la desigualdad original. 37 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 38 Las operaciones para resolver inecuaciones lineales son similares a las usadas para resolver ecuaciones, pero hay una diferencia importante. Cuando multiplicas o divides los dos miembros una desigualdad por un número negativo, debes invertir el símbolo de la desigualdad para mantener una desigualdad equivalente. Por ejemplo, >, substituirlo por <. TRANSFORMACIONES QUE PRODUCEN INECUACIONES EQUIVALENTES INECUACIÓN ORIGINAL INECUACIÓN EQUIVALENTE Multiplicar los dos miembros por un mismo número positivo. x 3 2 Multiplica por 2 x6 Dividir los dos miembros por un mismo número positivo. 3x 9 Divide por 3 x3 Multiplicar los dos miembros por un mismo número negativo, e invertir el sentido de la desigualdad. –x < 4 Multiplica por (–1) x > –4 –2x 6 Divide por (–2) x –3 Dividir los dos miembros por un mismo número negativo, e invertir el sentido de la desigualdad. Tema 5 EJEMPLO ECUACIONES. INECUACIONES Multiplicar o dividir una inecuación por un nº positivo a 12 3 3· a 3·12 3 a 36 Multiplica por 3. Simplifica. La solución es todos los números reales menores o iguales que 36. Comprobar varios números que sean menor o igual que 36 en la desigualdad original. 39 Tema 5 EJEMPLO ECUACIONES. INECUACIONES Multiplicar o dividir una inecuación por un nº negativo –4m > 6 –4m < _6_ –4 –4 Divide por – 4. Al dividir por un número negativo, hemos de cambiar el signo de la desigualdad: Simplifica. m < – 1,5 La solución es todos los números reales menores que –1,5. Comprobar varios números que sean menor o igual que –1,5 en la desigualdad original. 40 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES EJEMPLO 2x + 5 < 5x – 4 Sumamos a los dos miembros – 5x y operamos: 2x + 5 – 5x < 5x – 4 – 5x –3x + 5 < – 4 Sumamos a los dos miembros – 5 y operamos: –3x + 5 – 5 < – 4 – 5 –3x < – 9 –3x > –9 –3 –3 Dividimos los dos miembros por – 3. Al dividir por un número negativo, hemos de cambiar el signo de la desigualdad: x>3 La solución son todos los números mayores que 3. En este caso, al representar el conjunto solución, no incluimos el punto 3. 41 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Página 79 del libro 42 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES III. Ecuaciones de 2º grado. 43 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 9. Ecuaciones de segundo grado ¿CÓMO RECONOCERLAS? Para reconocer una ecuación de segundo grado con una incógnita, hemos de atender a estas dos condiciones: Alguno de sus términos es un monomio de segundo grado. No contiene términos de grado superior a dos. Por ejemplo, la siguiente ecuación es de segundo grado: 4x2 + 8 – 2x = 7 + 3x – 2x2 MONOMIOS DE SEGUNDO GRADO La ecuación anterior se puede reducir, pasando todos los términos a un solo miembro: 4x2 + 8 – 2x – 7 – 3x + 2x2 = 0 6x2 – 5x + 1 = 0 Forma general de la ecuación Así, queda un polinomio de segundo grado igualado a cero. 44 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Toda ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresar de la siguiente forma general: ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números conocidos y a 0. EJEMPLOS FORMA GENERAL ECUACIÓN a) 3x2 = 75 b) x(2x c) (x – 3) = 0 3x2 + 0x – 75 = 0 (a = 3, b = 0, c = –75) 2x2 – 3x + 0 = 0 (a = 2, b = –3, c = 0) + 2)·(x – 1) = 28 x2 – x – 30 = 0 (a = 1, b = –1, c = –30) 45 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Tipos de ecuaciones de segundo grado Ecuación de 2º grado Incompleta Completa ax2 + bx + c = 0 ax2 = 0 ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 46 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 47 SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Generalmente una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas, aunque más adelante verás alguna con una solución (doble) o sin solución. EJEMPLO La ecuación (x – 3)·(x + 2) = 0 tiene dos soluciones: x = 3, x = –2 Para x = 3 (3 – 3)·(3 + 2) = 0·5 = 0 Para x = –2 (–2 – 3)·(–2 + 2) = (–5)·0 = 0 Ambos valores verifican la igualdad. La misma ecuación podría presentarse en la forma general: (x – 3)·(x + 2) = 0 x2 + 2x – 3x – 6 = 0 x2 – x – 6 = 0 La ecuación x2 – x – 6 = 0 es equivalente a la anterior y, por tanto, tiene las mismas soluciones: Para x = 3 32 – 3 – 6 = 9 – 3 – 6 = 0 Para x = –2 (–2)2 – (–2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0 Ambos valores verifican la igualdad. Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 48 RESOLUCIÓN CON "LO QUE YA SABES" Antes de aprender las técnicas específicas para resolver ecuaciones de segundo grado, comprueba, resolviendo las siguientes, que en muchos casos puedes defenderte con lo que ya sabes, con la lógica, el tanteo, etc. EJEMPLO (x – 2) = 6 x = 8 (x – 2)2 = 36 ACTIVIDADES (x – 2) = –6 x = –4 Busca para cada una dos soluciones: a) x2 = 16 b) x2/4 =4 d) x2 = 1/4 e) 3x2 = 3/4 g) (x + 3)2 = 100 h) x2 j) x·(x – 5) = 0 –9=0 k) x·(2x – 1) = 0 c) 5x2 f) (x – 1)2 = 25 i) x·(x l) (x = 80 – 1) = 12 – 5)·(x + 4) = 0 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 49 10. Resolución de ecuaciones de 2º grado incompletas LA ECUACIÓN x2 = k Al resolver la ecuación x2 = k, buscamos los números cuyo cuadrado es k, esto es, buscamos la raíz cuadrada de k: x2 = k x k - Si k es positivo, hay dos soluciones opuestas. - Si k es negativo, no hay solución, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. EJEMPLOS x 25 5 +5 –5 a) x2 = 25 b) x2 – 20 = 0 x2 = 20 x 20 5 c) x2 + 9 = 0 x2 = – 9 x 9 + 4,47 – 4,47 No hay solución, ya que la raíz cuadrada de –9 no existe. Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES LA ECUACIÓN 50 ax2 + c = 0 Primero despejamos x2 y después extraemos raíz cuadrada: ax2 +c=0 ax2 c =–c x a 2 c x a Si el radicando de la raíz es positivo, hay dos soluciones; si es negativo, la ecuación no tiene solución. EJEMPLOS a) 3x2 75 – 75 = 0 x 25 x 25 x = 3 2 20 – 20 = 0 x 10 x 10 2 12 2 2 4 x 4 c) 3x + 12 = 0 x 3 b) 2x2 2 +5 –5 +3,16 –3,16 La ecuación no tiene solución. Tema 5 LA ECUACIÓN ECUACIONES. INECUACIONES 51 ax2 + bx = 0 Para resolverlas, seguiremos el siguiente proceso: Extraemos el factor común, x: ax2 + bx = 0 x·(ax + b) = 0 Si un producto es igual a cero, necesariamente uno de los factores ha de ser cero, lo que nos presenta dos opciones: x·(ax + b) = 0 x=0 1ª SOLUCIÓN b ax + b = 0 x a 2ª SOLUCIÓN Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES EJEMPLOS a) x2 · Primero, extraemos el factor común, x, del primer miembro: · Ahora tenemos un producto de dos factores igual a cero, por lo tanto uno de los factores, necesariamente, ha de ser cero: x=0 – 7x = 0 x(x – 7) = 0 x–7=0x=7 Soluciones: x1 = 0, x2 = 7 b) 3x2 c) – 5x = 0 x·(3x – 5) = 0 5x2 – 2x = 3x2 + x x1 = 0 3x – 5 = 0 x2 = 5/3 5x2 – 3x2 – 2x – x = 0 2x2 – 3x = 0 x·(2x – 3) = 0 x1 = 0 2x – 3 = 0 x2 = 3/2 52 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 53 ACTIVIDADES 1. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x2 b) x2 = 100 c) x2 + 100 = 0 – 15 = 0 d) 36 – x2 = 0 d) 2x2 +5=0 2. Resuelve estas ecuaciones: a) 5x2 b) 2x2 = 45 = –8 c) 9x2 –4 =0 3. Resuelve: a) x2 – 3x = 0 b) 4x2 d) 5x – =0 x2 e) 3 x 4 – 2x = x2 – 5x h) 2 g) 7x2 4x2 – 2x = 0 c) 3x2 = 12x x x2 f) 2 8 – x2 = 5 – 7x – 3 4. Resuelve: a) x2 – 9x = 8 – 2(3x + 4) b) 2x(x c) 4x – 2 2 x 2 x 2 x 5x d) 2 3 5(x2 – 1) = x(2 – x) + 5 – 3) = 3(x2 – 2x) Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 54 11. Resolución de la ecuación de 2º grado ax2 + bx + c = 0 EL PROCESO, PASO A PASO A continuación se describe el proceso para resolver una ecuación de 2º grado completa. Aunque para facilitar su comprensión se particulariza en un ejemplo, siguiendo los mismos pasos podrás resolver cualquier ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0. EJEMPLO Resolver la ecuación 3x2 – 7x + 2 = 0 ► PRIMER PASO: Multiplicar los dos miembros por 4a. (En el ejemplo, 4a = 12). ► SEGUNDO PASO: Pasar a la derecha el término sin x. (En el ejemplo, 24). ► TERCER PASO: Sumar en ambos miembros b2. (En el ejemplo, b2 = 49). (a = 3, b = –7, c = 2). 12·(3x2 – 7x + 2) = 12·0 36x2 – 84x + 24 = 0 36x2 – 84x = –24 36x2 – 84x + 49 = –24 + 49 36x2 – 84x + 49 = 25 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 55 Detente un momento y comprueba que el primer miembro de la ecuación es el cuadrado de una diferencia: (6x – 7)2 = (6x)2 – 2·6x·7 + 72 = 36x2 – 84x + 49 ► CUARTO PASO: Expresar el primer miembro como el cuadrado de una suma o de una diferencia. ► QUINTO PASO: Despejar la incógnita. 36x2 – 84x + 49 = 25 (6x – 7)2 = 25 6 x 7 25 6x 7 5 75 x 6 Soluciones: 1 x 2, x 3 7 5 12 2 6 6 75 2 1 x2 6 6 3 x1 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES FÓRMULA PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADO El proceso que has visto antes se generaliza en una fórmula que ofrece la incógnita ya despejada y que, por tanto, permite resolver la ecuación con rapidez y comodidad. ECUACIÓN: FÓRMULA: ax bx c 0 b b 2 4ac x 2a 2 Ahora debes memorizar esta fórmula y aprender a utilizarla, para lo que solo necesitas un poco de práctica. Empieza revisando detenidamente los siguientes ejemplos. 56 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 57 EJEMPLOS a) 3x2 – 7x + 2 = 0 ax2 + bx + c = 0 En primer lugar identificamos los coeficientes: a = 3, b = –7, c = 2 Con estos valores de a, b y c, aplicamos la fórmula. b b 2 4ac x 2a 75 7 (7) 2 4 3 2 7 49 24 x 6 6 23 1 x 2, x Soluciones: 3 b) x2 + 2x – 6 = 0 (a = 1, b = 2, c = –6) 7 5 12 2 6 6 75 2 1 x2 6 6 3 x1 2 5,3 x1 1,65 2 2 2 2 4 1 (6) 2 4 24 2 28 x 2 5,3 2 2 2 1 x2 3,65 2 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES ACTIVIDADES 3. Resuelve empleando la fórmula: a) x2 – 8x + 15 = 0 b) x2 c) x2 + 5x + 5 = 0 d) 2x2 e) 10x2 –x–2=0 – 3x – 10 = 0 – 3x + 1 = 0 f) 15x2 –x–6=0 58 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 59 12. La ecuación de 2º grado según el número de soluciones b b 2 4ac Al utilizar la fórmula x 2a para resolver una ecuación de 2º grado, pueden ocurrir tres cosas debajo de la raíz, según el valor que tome la expresión b2 – 4ac. Los ejemplos siguientes ilustran los casos posibles. EJEMPLOS a) Si b2 – 4ac es un número positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones distintas: x2 – 4x + 3 = 0 (a = 1, b = –4, c = 3) 4 (4) 2 4 1 3 4 16 12 4 4 42 x 2 2 2 2 1 42 x1 3 2 42 x2 1 2 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 60 EJEMPLOS b) Si b2 – 4ac es igual a cero, entonces la ecuación tiene dos soluciones iguales: x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1, b = –4, c = 4) 4 (4) 2 4 1 4 4 16 16 4 0 40 x 2 2 2 2 1 40 2 2 40 x2 2 2 x1 c) Si b2 – 4ac es un número negativo, entonces la ecuación no tiene solución, ya que la raíz de un número negativo no existe: x2 – 4x + 5 = 0 (a = 1, b = –4, c = 5) 4 (4) 2 4 1 5 4 16 20 4 4 x No hay solución. 2 2 1 2 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES ax 2 bx c 0 b b 2 4ac x 2a Si b2 – 4ac > 0 Dos soluciones distintas Si b2 – 4ac = 0 Una solución doble Si b2 – 4ac < 0 No hay soluciones La expresión b2 – 4ac recibe el nombre de discriminante de la ecuación. ACTIVIDADES 1. Clasifica estas ecuaciones según el número de soluciones. a) x2 – 8x + 12 = 0 c) 4x2 –x–1=0 – 8x + 16 = 0 d) 3x2 – 5x + 3 = 0 b) x2 61 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Página 82 del libro 62 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 63 13. Resolución de problemas con ecuaciones PROBLEMA 1. Busca dos números impares consecutivos cuyo producto sea 255. ► PLANTEAMIENTO: Un número par 2x El impar anterior 2x – 1 El impar siguiente 2x + 1 ECUACIÓN: (2x + 1)(2x – 1) = 255 ► RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN (2x + 1)(2x – 1) = 255 4x2 – 1 = 255 +8 2 2 2 4x = 256 x = 256/4 x = 64 x 64 –8 ¡No te pares aquí! Has resuelto la ecuación, pero aún no has resuelto el problema. ► RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA Recuerda que los números que buscábamos eran dos impares consecutivos. - Si x = +8 2x – 1 = 2·8 – 1 = 15 - Si x = –8 2x – 1 = 2·(–8) – 1 = –17 2x + 1 = 2·8 + 1 = 17 2x + 1 = 2·(–8) + 1 = –15 Primera solución del problema: 15 y 17 Segunda solución del problema: –17 y –15 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 64 PROBLEMA 2. Calcular las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que es 4 cm más largo que ancho y que tiene una superficie de 45 cm2. ► PLANTEAMIENTO: ECUACIÓN: x(x + 4) = 45 ► RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN x(x + 4) = 45 x2 + 4x = 45 x2 + 4x – 45 = 0 45 cm2 x x+4 (a = 1, b = 4, c = –45) 4 14 x1 5 2 2 4 4 4 1 (45) 4 196 x 4 14 2 1 2 x2 9 2 Las soluciones de la ecuación son 5 y –9. ¡No te pares aquí! Todavía no has dado la solución del problema. Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES PROBLEMA 2. Calcular las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que es 4 cm más largo que ancho y que tiene una superficie de 45 cm2. ► RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA De las dos soluciones de la ecuación desechamos la segunda, x = –9, por ser incompatible con el enunciado del problema (el lado de un rectángulo no puede medir una cantidad negativa). Nos queda, por tanto, una única solución: x = 5 45 cm2 x=5 x+4=9 DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO Ancho x = 5 cm Largo x + 4 = 9 cm 65 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Página 84 del libro 66 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES Página 84 del libro 67 Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 68 Página 85 del libro Tema 5 ECUACIONES. INECUACIONES 69 Página 85 del libro
