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Biografía de Euclides de Alejandría
Nace: alrededor del 325 a. C.
Muere: alrededor del 265 a. C. en Alejandría, Egipto
http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_3511_biografia_euclides_alejandria.htm
Euclides de Alejandría es el matemático más prominente de la antigüedad, famoso por su tratado
sobre matemáticas Los elementos. La perdurable naturaleza de los elementos debe hacer de Euclides el
profesor de matemáticas líder de la historia. Sin embargo, poco se sabe de su vida excepto que
enseñaba en Alejandría, Egipto. Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor
del
450
d.
C.
escribió
(ver
[1]
o
[5]
o
muchas
otras
fuentes)
:
No mucho más joven que éstos [alumnos de Platón] es Euclides, quien juntó los 'Elementos', ordenando
muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionó muchos de los de Teateto y también demostró
irrefutablemente la cosas que habían sido probadas no tan estrictamente por sus predecesores. Este
hombre vivió en tiempos del primer Ptolomeo; Arquímedes, quien siguió de cerca al primer Ptolomeo
menciona a Euclides y dicen además que Ptolomeo alguna vez le preguntó si había una manera más
corta de estudiar geometría que los Elemento, a lo cual respondió que no había un Camino Real hacia la
geometría. Él es, por lo tanto, más joven que el círculo de Platón pero mayor que Eratóstenes y
Arquímedes, que eran contemporáneos según afirma Eratóstenes por algún lado. En sus metas era un
platónico, simpatizante de esta filosofía, de donde hizo el final de los “Elementos” la construcción de las
llamadas figuras platónicas.
http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm
http://www.euclides.org
PROPOSICIÓN - Enunciado de una hipótesis o suposición, y de una tesis o conclusión, que es consecuencia de la
hipótesis.
Ejemplo
:
Proposición 3 de libro III de los Elementos de Euclides : Si en un círculo una recta CD dibujada a través del
centro E divide en dos partes iguales a otra recta AB no dibujada a través del centro, la corta formando también
ángulos rectos; y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales AF y FB.
AXIOMA - Axioma es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesita demostración.
Por ejemplos tenemos los axiomas euclidianos: El todo es igual a la suma de las partes. El todo es mayor que
cadauna de las partes.
Entre dos puntos pasa una única línea recta.
TEOREMA - Teorema es una proposición que para ser evidente necesita demostración. Por ejemplo: La suma de
los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
Ejemplo: Si dos rectas paralelas se cortan con una recta secante se cumple la relación de ángulos sigüiente:
1 - Los ángulos alternos/internos son iguales.
2 - Los ángulos alternos/externos son iguales.
3 - Los ángulos correspondientes son iguales.
4 - Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
5 - Los ángulos colaterales externos son suplementarios.
TEOREMA DUAL - El principio de dualidad afirma que a partir de cualquier teorema o construcción de geometria
proyectiva podemos obtener otro, conocido como teorema dual, sólo cabe intercambiar las palabras punto y recta,
modificando también las relaciones entre los puntos y las rectas. Entonces, por este principio,


Un punto se convierte en una recta.
Puntos alineados se convierten en rectas que pasan por un punto.



Rectas tangentes se convierten en el punto de tangencia.
Un círculo circunscrito se convierte en un círculo inscrito.
...etc, etc.
El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.
TEOREMA DE FEUERBACH - La circunferencia de Euler o de los 9 puntos, es tangente a las circunferencias
inscrita y exinscrita al triángulo.
TEOREMA DE GAUSS - Los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero completo están en línea recta.
TEOREMA DE EULER - En cualquier poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al
de aristas más dos. (caras + vértices = aristas + 2).
POSTULADO - Postulado es una proposición que se admite sin demostración, aunque sin la evidencia del axioma.
Por ejemplo: Por un punto exterior a una recta sólo se puede dibujar una sola paralela a la recta.
LEMA - Lema es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras proposiciones.
COROLARIO - Corolario o consecuencia es un teorema la verdad del cual se deduce simplemente de otro ya
demostrado.
ESCOLIO - Escolio es una advertencia o nota que se hace a fin de aclarar, ampliar o restringir proposiciones
anteriores.
PROBLEMA - Problema es una cuestión que se propone con la finalidad y ánimo de aclararla o resolverla
utilitzando una metodología determinada.
INTRODUCCIÓN
"La ciencia es la humildad en la búsqueda de lo verdadero y en cuanto pierda esa humildad ya no es más que una
forma de embaucamiento".1
Los Elementos -año 300 aC.-, son un trabajo fascinante de la ciencia al que cabe dedicar atención, estudio y
conocimiento por razones varias de naturaleza distinta. Su belleza ,- una razón sin lugar a dudas- colabora en el
desarrollo lógico de la geometría y de otras ramas como las Matemáticas y las Ciencias Exactas; otra razón, la
eficacia que emana de la obra lo que determina su valor universal que la distingue de otros intentos. Los Elementos
se han transmitido a lo largo de 24 siglos a través de mil ediciones y en lenguas como el Griego original, el Árabe,
el Latín y lenguas modernas como Inglés, Alemán, Euskera y esta versión en Castellano y Catalán. Todo ello
orientado a formar elementos de juicio en el lector.
"Los comienzos tuvieron una base intuitiva y empírica. El rigor se convirtió en una necesidad con los griegos, y aunque se lograra poco hasta el siglo XIX- por un momento pareció alcanzado. Pero todos los esfuerzos por
perseguir el rigor hasta el final han conducido a un callejón sin salida, donde ya no hay acuerdo sobre qué significa
realmente. La matemática sigue viva y con buena salud, pero solo mientras se apoye en una base pragmática." 2
Esta versión de los Elementos nace con dos intenciones; recuperar el interés intrínseco de la obra por su valor
universal y divulgar una versión interactiva que combina los trazados de geometría dinámica y una versión
contemporánea del texto en diversas lenguas para su comparación. El documento El uso del applet de Java que
ilustra ésta versión es de consulta recomendada. Gracias a la autorización expresa de David Joyce a quien este
proyecto debe su agradecimiento por la dimensión práctica que aporta a la reflexión y al estudio de la geometría.
Es el movimiento de los elementos geométricos lo que genera la percepción de espacio tridimensional en el aparato
conceptual de cada uno y que disipa en ese sentido ciertas ambigüedades ineludibles de los trazados estáticos.
El texto de esta versión se basa en el texto de Heath 3, una traducción latina del texto que Heiberg y Menge 4
tradujeron del griego y de la que podemos consultar las Definitiones originales en Latín. Confrontada también con
la versión adaptada y modernizada de Joyce5 en ciertos pasajes, ésta versión online consta de 132 definiciones, 5
nociones comunes o axiomas, 5 postulados y 465 proposiciones. Leves diferencias presenta la versión castellana de
Puertas6, una referencia impecable con una Introducción General y un conjunto de notas de apreciada elocuencia y
claridad. Y la monumental y bien conservada versión latina impresa por Ratdol en 1482 sita en el Monasterio de
Yuso.7
El Libro XII y el Libro XIII están completos y disponible en Castellano-Catalán, comparables con el texto de Heath.
Con multitud de correcciones pendientes esperamos sea el inicio de la nueva fase que inagura el proyecto.
NOTAS
1 Escohotado, A., Caos y Orden, 1999.
http://www.escohotado.org
2 Kline, 1992. Vol. III , pág. 1559.
3 Heath, Sir Thomas Little (1861-1940).
The thirteen books of Euclid's Elements translated from the text of Heiberg with introduction and commentary. Three volumes. University Press,
Cambridge, 1908.
Consultada y disponible en
http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+1
http://www.perseus.tufts.edu
4 Heiberg, Johan Ludwig (1854-1928)
Euclidis opera omnia. 8 vol. & supplement. 1883-1916. Edited by J. L. Heiberg and H. Menge.
Consultada y disponible en
http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+1
http://www.perseus.tufts.edu
5 Joyce, David. Euclid´s Elements. « (...) but it is slightly less literal to make it more readable.»
Cfr.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/aboutText.html
http://aleph0.clarku.edu
6 Puertas Castaños, María Luisa. Elementos de Euclides. Ed. Gredos, 1991.
Disponible en
http://matematiques.org
7 Elements, Euclides, 300 aC. Euclid´s Elements.
Opus Elementorum. Ratdol, 1482.
Disponible en
http://www.euclides.org/menu/edicions/ratdol/index.asp
Libro I
Los fundamentos de la Geometría
Teoría de los triángulos, paralelas y el área
Las 48 proposiciones se pueden dividir en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos.
De la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo
suman lo mismo que dos ángulos rectos. De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, triángulos, cuadrados, del
Teorema de Pitágoras y su inverso.
Proposición 1. Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado
Noción comuna 1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
Definición 1. Un punto es lo que no tiene partes.
Postulado 1. Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta.
Libro II
Álgebra geométrica
Transformaciones de áreas y álgebra geométrica griega de la Escuela Pitagórica. Se establecen las equivalencias
geométricas de diferentes identidades algebraicas y una generalización del Teorema de Pitágoras conocida como la
ley del coseno. Parece querer ilustrar este Libro II el uso del desarrollo elemental del método de aplicación de
áreas.
Libro III
Teoría de la circunferencia
Este volumen trata de aquellos Teoremas relativos a la circunferencia, las cuerdas, las tangentes y la medición de
ángulos. Consta de 11 definiciones y 37 proposiciones, 5 de las cuales son problemas y las otras teoremas. No se
puede considerar un volumen excelente por lo que se refiere al carácter sistemático deductivo.
Libro IV
Figuras inscritas y circunscritas
Este volumen contempla las construcciones pitagóricas, con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6
y 15 lados. Consta de 7 definiciones y 16 proposiciones que son todas problemas. Se estudian inscripciones y
circunscripciones de figuras rectilíneas y círculos, y se ofrece la construcción de polígonos regulares, como el
pentágono y el hexágono con el método de la duplicación de lados.
Libro V
Teoría de las proporciones abstractas
Este volumen contiene una exposición magistral de la teoría de la proporción aplicable a magnitudes
conmensurables y inconmensurables. Se resolvió así el problema planteado por el descubrimiento pitagórico de los
números irracionales.
Libro VI
Figuras geométricas semejantes y proporcionales
Este volumen contiene la teoría eudoxiana de la proposición a la geometría plana. Se establecen los Teoremas
fundamentales de los triángulos semejantes y las construcciones de la tercera, la cuarta y la media proporcional. Se
establece una solución geométrica a las ecuaciones cuádricas y la proposición de que la bisectriz interna del ángulo
de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.
Libro VII
Fundamentos de la teoría de los números
Junto a los Libros VIII y IX forman un bloque diferente a la estructura que se da de los volúmenes I-VI y acumula
las definiciones en este Libro VII. En total comprenden 102 proposiciones y podemos decir que son investigaciones
de carácter teórico con la intención, por ejemplo, de determinar la medida común máxima entre sí de dos números
no primos. De hecho este volumen es una reconstrucción del legado aritmético de raíces pitagóricas.
Libro VIII
Continuación de proporciones a la teoría de números
Este Libro VIII se ocupa de series de números en proporción continuada y en progresión geométrica, concepto y
noción que no queda definida.
Libro IX
Teoría de los números
Este Libro IX es una especie de miscelánia aritmética. Encontramos como primicia la moderna resolución unívoca de
un número en sus factores primeros y el Teorema que establece la cantidad infinita de los números primos.
Encontramos también teorías de origen pitagórico que hablan de números pares, impares y sus relaciones.
Libro X
Clasificación de los inconmensurables
Este volumen contiene y trata los números irracionales, es decir, de los segmentos que son inconmensurables
respecto al segmento rectilíneo dado. Considerado el Libro X como un volumen complejo tanto por problemas de
traducción como de interpretación. Consta de 16 definiciones repartidas en 3 grupos y 115 proposiciones. Se cree
que gran parte de este volumen corresponde al trabajo de Theaetetus y que Euclides completó, ordenó y acabó.
Libro XI
Geometría de los sólidos
Formando una especie de trilogía, los Libros XI-XII y XIII hablan de la geometría del espacio. Las 28 primeras
definiciones en este Libro XI y ningún postulado configuran un total de 75 proposiciones, 63 de las cuales son
teoremas y las demás 12 problemas, aunque estén presentadas éstas últimas como proposiciones mixtas.
Libro XII
Medición de figuras
Este Libro XII nutre datos básicos para el desarrollo del Libro XIII con menos cohesión y menor capacidad
sistemática. Se emplea el método de exhausción comentada por Arquímedes.
Libro XIII
Sólidos regulares
De estructura interna sublime este excepcional Libro XIII incluye los dilectos 5 sólidos platónicos; a saber,
tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro. Todos ellos evocando con rigor matemático sin
precedentes las leyes del espacio euclideo que exorna el Timeo de Platón.
TEOREMA D´EUCLIDES
Primer Teorema d´Euclides.
El quadrat de la longitut d´un catet és igual al producte de la longitut de la hipotenusa multiplicat per la longitut de
la projecció del catet sobre si mateixa.
El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la
proyección del cateto sobre sí misma.
Segon Teorema d´Euclides.
El quadrat de l´altura d´un triangle rectangle és igual al producte de la longitut de les projeccions dels catets sobre
la hipotenusa del triangle.
El cuadrado de la altura de un triángulo rectángulo es igual al producto de la longitud de las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa de dicho triángulo.
TEOREMA DE PITÀGORES
El teorema de Pitàgores és dels més coneguts i tan bàsic que s´explica a totes les escoles i Instituts.
En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets.
Una construcció, que utiliza la disecció, consisteix en trocejar una figura i ensamblar-la d´una altra manera, tal com
es mostra en el següent gràfic.
La demostració es pot fer a partir de la coneguda figura del molí de vent
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Sigui ABC el triangle rectangle, recta en A. Dibuixem els quadrats
BDEC, BFGA i CKHA. Dibuixem AL paral·lela a BD i unim AD i FC.
Com que BAC i BAG són rectes, G, A i C estan aliniats.També ho
estan B, A i H.
Com que DBC i FBA són ambdos angles rectes, quan afegim a
ambdos ABC, DBA i FBC són triangles iguals.
El rectangle BDLI és el doble del triangle ABD, perque tenen la
mateixa base BD i estan entre les mateixes paral·leles BD i AL. El
quadrat BFGA és el doble del triangle FBC perque tenen la mateixa
base FB i estan entre les mateixes paral·leles FB i GC.
Aleshores el paral·lelogram BDLI és paral·lel al quadrat GB.
De manera semblant, unint AE i BK, el trapeci CILE és igual al
quadrat CKHA.
Per tant el quadrat BDEC és la suma dels quadrats BFGA i CKHA.