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D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna ii Mapa de contenidos Capítulo 1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas Capítulo 2 Fenómenos ópticos y sus características principales D.R. © Capítulo 4 Teoría especial de la relatividad Capítulo 6 Propiedades ondulatorias de la materia Capítulo 5 Propiedades corpusculares de la radiación Capítulo 3 Formación de imágenes en espejos y lentes delgadas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Capítulo 7 Modelos atómicos y el átomo de Bohr Capítulo 8 Principios de mecánica cuántica Principios de óptica y física moderna Dragan Trifunovic / Photos.com Introducción del eBook D esde la invención del transistor y el láser, tanto la óptica como la electrónica han avanzado de manera acelerada. No podríamos concebir al mundo actual sin las computadoras, los reproductores de CD, los DVD, las celdas solares y los televisores con pantalla plana de cristal líquido (LCD) y tecnología LED. Todo esto ha sido posible gracias a los trabajos y esfuerzos tanto de científicos como de ingenieros dedicados a estudiar y entender la forma como se propaga la radiación electromagnética, su interacción con la materia, el comportamiento de los sistemas físicos a dimensiones comparables con las atómicas y, los fenómenos asociados a estas dimensiones nanoscópicas, por mencionar algunos ejemplos. D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Tanto la electrónica moderna como la óptica son campos multidisciplinarios relacionados con la mecánica cuántica, la física del estado sólido, la física de materiales y de superficies, por lo que el objetivo central de este libro es presentar un panorama de las áreas de la física, el cual es necesario para entender el funcionamiento básico de estos importantes avances tecnológicos. Principios de óptica y física moderna 1 Capítulo 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas Organizador temático Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial La ecuación de onda sin fuentes para E y B Superposición de las ondas electromagnéticas D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío Espectro electromagnético Energía almacenada en las ondas electromagnéticas Principios de óptica y física moderna 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas tiempo a los rayos del sol en una playa? Para responder estas y otras preguntas, la propagación de ondas electromagnéticas y sus características básicas se presentan en este capítulo a partir de las ecuaciones de Maxwell y los campos electromagnéticos. ACTIVIDad ¿ Te has preguntado cómo se propagan las señales vía satélite para poder presenciar eventos artísticos y deportivos que se llevan a cabo en diferentes partes del mundo?, ¿cómo funcionan los hornos de microondas? O, acaso, ¿por qué es dañino exponerse durante mucho Temas capítulo 1 2 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas Introducción Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial conclusión La ecuación de onda sin fuentes para E y B Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío glosario Espectro electromagnético recursos Superposición de las ondas electromagnéticas Pág. 1 de 1 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Energía almacenada en las ondas electromagnéticas Principios de óptica y física moderna GLOSARIO 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío 1.1.1 Naturaleza de la luz y las ondas electromagnéticas (OEM) 1.1.2 Las ecuaciones de Maxwell Pág. 1 de 8 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos CONCLUSIÓN A mediados del siglo XIX, se tenía un gran conocimiento acerca de los fenómenos eléctricos y magnéticos en el vacío, caracterizados por los campos E y B. Gracias a los estudios de Coulomb, Gauss, Ampere, Henry y Faraday, se había establecido un conjunto de ecuaciones que sintetizaban el conocimiento adquirido hasta esos tiempos: las leyes de Gauss para el campo eléctrico, inducción de Faraday, Gauss para el campo magnético y Ampere para el campo magnético, además de las leyes operacionales de Coulomb y de Biot-Savart para calcular los campos eléctricos y magnéticos de distribuciones de carga y corriente arbitrarias: glosario ACTIVIDAD Hacia 1678, Christian Huygens propone una teoría alternativa, en la cual la luz tiene una naturaleza ondulatoria y muestra que ésta puede describir de forma adecuada los fenómenos ópticos de reflexión, refracción y superposición de la luz; sin embargo, su trabajo no recibe la aprobación del mundo científico de la época. Luego, en el siglo XIX, los experimentos de Young, Fresnel y Foucault muestran que, bajo ciertas condiciones, la luz se comporta como una onda. Finalmente, con el surgimiento de la teoría electromagnética de Maxwell y Hertz, la naturaleza ondulatoria de la luz queda plenamente demostrada y es aceptada de manera general. conclusión RECURSOS Durante mucho tiempo, el hombre se ha preguntado cuál es la naturaleza de la luz. Desde las primeras eras hasta la invención de lentes primitivas y espejos, el comportamiento de la luz siempre ha sido un misterio. Entre los primeros intentos para entender estos fenómenos, Newton propuso que la luz estaba compuesta de partículas emitidas por la fuente luminosa que, al chocar con el ojo, estimulaban la percepción visual. Esta descripción fue conocida como teoría corpuscular de la luz. glosarioACTIVIDad Onda electromagnética Perturbación que no requiere un medio de propagación y que viaja a la velocidad de la luz en el vacío. Temas capítulo 1 MAPA 3 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío Principios de óptica y física moderna Ecs. (1.2.1-1.2.6) GLOSARIO Por otro lado, en ese tiempo se sabía que todas las ondas mecánicas satisfacían una ecuación de onda clásica y una solución como las mostradas a continuación: Ecuación de onda Ecuación diferencial parcial que describe la evolución en el tiempo de una onda, ya sea mecánica o electromagnética. Pág. 2 de 8 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos Por lo tanto, para entender la naturaleza de la radiación electromagnética y mostrar que en realidad los campos electromagnéticos se propagan como ondas, debemos expresar a las ecuaciones de Maxwell en un formato diferencial. Visualiza aquí el proceso para expresar a las ecuaciones de Maxwell en un formato diferencial. glosario Gracias a los trabajos de Maxwell sobre los fenómenos de inducción debidos a los campos eléctricos variables en el tiempo, la ley de Ampere fue modificada para incluir el término correspondiente a la corriente de desplazamiento. De hecho, a partir de esos estudios, se le denomina la ley de Ampere-Maxwell. En resumen, a las primeras cuatro ecuaciones de la serie anterior se les llama Ecuaciones de Maxwell en forma integral (Cuadro 1.1). La solución de esta ecuación diferencial (Ec. (1.1.8)) describe a una onda propagándose en el medio donde se produce dicha perturbación mecánica. De hecho, la velocidad de propagación de la onda depende de las propiedades del medio. conclusión RECURSOS ACTIVIDad Ecs. (1.1.7-1.1.8) Onda mecánica Perturbación mecánica que necesariamente requiere un medio de propagación, por ejemplo, en sólidos o fluidos. Temas capítulo 1 4 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío Principios de óptica y física moderna Así, se obtiene: En particular, nos interesa la propagación de los campos electromagnéticos en el vacío, por lo tanto, en el conjunto anterior tomamos ρ =0 y J=0. De este modo, las ecuaciones de Maxwell resultan: Ecs. (1.1.13-1.1.16) En la siguiente liga, encontrarás una serie de problemas resueltos sobre ondas electromagnéticas y su propagación, mismas que te serán de utilidad para profundizar en varios de los conceptos hasta aquí expuestos. Problemas de Ondas Electromagnéticas Códigos MATLAB de gradiente divergencia y rotacional Visualiza las ecuaciones de onda y ondas electromagnéticas en la sección de Recursos. Pág. 3 de 8 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos CONCLUSIÓN A partir de estas ecuaciones y, tomando el rotacional de la segunda ecuación en combinación con la primera, obtenemos la ecuación de onda para E y B (ver el cuadro 1.3). Al comparar con la ecuación de onda clásica, notamos que las ondas electromagnéticas viajan con velocidad c=1/(å0ì0)1/2=2.99x108m/s , esto es, a la velocidad de la luz en el vacío. Ecuaciones de onda y ondas electromagnéticas glosario ACTIVIDAD Aquí, E y B son los campos eléctricos y magnéticos, ρ es la densidad volumétrica de carga, J es la densidad es la superficial de corriente, es la perpermitividad del vacío y meabilidad del vacío. La divergencia y el rotacional de un campo vectorial son conceptos muy abstractos del cálculo vectorial; sin embargo, su naturaleza geométrica se puede visualizar con ayuda de las animaciones que aparecen en la liga de UPV en la sección de Recursos, así como los códigos en MATLAB que te permiten insertar diferentes campos vectoriales y obtener la representación gráfica de su gradiente, divergencia y rotacional. conclusión RECURSOS Divergencia de un campo vectorial espacial en un punto a elegir glosarioACTIVIDad Ecs. (1.1.9-1.1.12) RECURSOS Temas capítulo 1 MAPA 5 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío Principios de óptica y física moderna GLOSARIO La solución de dicha ecuación de onda para E es una función periódica que oscila de forma perpendicular a la dirección de propagación de la onda, dada por el vector de onda k: Vector de onda (k) Es el vector que indica la dirección de propagación de la onda. Su magnitud es igual a 2π/λ. Temas capítulo 1 6 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío ACTIVIDad Como es usual, RECURSOS Por otro lado, la solución para B puede establecerse similarmente: Pág. 4 de 8 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos Con lo cual es evidente que el campo magnético B es perpendicular tanto al vector de onda como al campo eléctrico. Esto demuestra la transversalidad de las ondas electromagnéticas en el vacío (Cuadro 1.4). Propagación de las ondas electromagnéticas glosario En la siguiente liga se presenta una animación de la propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío donde se pone de relieve la naturaleza transversal de las mismas. conclusión Sin embargo, las amplitudes vectoriales E0 y B0 no son independientes entre sí, dado que deben satisfacer la Ley de Faraday (ec. 1.1.13). Así, puede mostrarse que: Principios de óptica y física moderna RECURSOS De este modo, se demuestra que la luz está formada por campos electromagnéticos y que se propagan a la velocidad de la luz en el vacío. En general, la radiación electromagnética se propaga como onda. En la siguiente sección discutiremos algunas de sus características. Códigos MATLAB para parámetros de una onda EM Problemas resueltos de las ecuaciones de Maxwell 1) En una región del espacio libre, se encuentra una densidad volumétrica de carga dada por glosarioACTIVIDad Te sugerimos correr los siguientes códigos en MATLAB para modificar los parámetros de una onda EM y observar cómo se manifiestan estos cambios en la apariencia de la onda. Temas capítulo 1 MAPA 7 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío conclusión RECURSOS 4) Una densidad superficial de corriente está dada por 3) Para el mismo cascarón del problema anterior, eje del cilindro al punto en coordenadas cilíndricas. Con esta información, calcular la corriente que atraviesa un conductor cilíndrico de radios R y 2R. 1 R2=8mm, existe una densidad volumétrica de carga uniforme de 8 C/ m3. Si 𝜌 =0 para r< R1, calcular la carga total dentro del cascarón esférico. obtener el campo eléctrico a r=7mm del centro de la distribución esférica. , siendo 𝜌 la distancia desde el Pág. 5 de 8 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos CONCLUSIÓN 2) En un cascarón esférico de radios R =6mm, glosario ACTIVIDAD a) Calcular la carga total encerrada en una superficie esférica de radio r=1mm, b) Por medio de la Ley de Gauss, obtener el campo eléctrico a esa misma distancia medida desde el centro de la distribución de carga. Principios de óptica y física moderna Solución: La corriente eléctrica y la densidad superficial de corriente están rela. De este modo, debemos expresar cionadas mediante Problemas resueltos de ondas electromagnéticas 1) Sea en el vacío. Obtener: a) dirección de propagación c) frecuencia b) longitud de onda d) vector campo magnético Por lo tanto, la corriente eléctrica se calcula por medio de la siguiente integral: Dado que recursos Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. , así d) Pág. 6 de 8 © entonces glosario c) dado que Así que esa contribución a la corriente eléctrica es nula. D.R. y la dirección de propagación de la onda es en +x. b) como Como puede notarse, la corriente depende tanto de su dirección en la que viaja como de la geometría del conductor por el cual circula. Esto se manifiesta dado que para un conductor cilíndrico tenemos otro diferencial , sin embargo: de superficie dado por entonces conclusión Solución: ACTIVIDad el diferencial de superficie dS (para la superficie lateral del cilindro) en coordenadas cilíndricas: Temas capítulo 1 8 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío Principios de óptica y física moderna 9 2) El campo eléctrico 3) Una onda plana se propaga en el vacío de modo tal que la amplitud del está dado por: . Solución: Solución: . a) b) conclusión Como se había establecido antes, ACTIVIDad Obtener el campo magnético campo eléctrico es de 240V/m y oscila en la dirección z. Además, sabemos . que la onda EM se propaga en la dirección +x y que Con estos datos, calcular: a) la frecuencia de oscilación f, b) el periodo, c) la longitud de onda, d) la magnitud del campo magnético y e) la dirección de oscilación de este campo. Temas capítulo 1 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío Así d) e) Por la regla de la mano derecha, la dirección de oscilación de B es –j. Pág. 7 de 8 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos Con lo que queda de manifiesto la transversalidad de los campos electromagnéticos con respecto a la dirección de propagación de la onda y la validez de la regla de la mano derecha, esto para determinar la dirección de un vector conociendo las direcciones de los otros dos. glosario c) Principios de óptica y física moderna Temas capítulo 1 10 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío CUADROS ACTIVIDad Cuadro 1.2 Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial para los campos eléctricos y magnéticos. conclusión Cuadro 1.1 Las ecuaciones de Maxwell en forma integral para los campos eléctricos y magnéticos. glosario Cuadro 1.4 Funciones de onda para los campos eléctricos y magnéticos. Pág. 8 de 8 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos Cuadro 1.3 Ecuaciones de onda para E y B en el espacio vacío. Principios de óptica y física moderna 1.2 Espectro electromagnético Dado que la onda viaja en el vacío, su velocidad es la de la luz (c = 3x108m/s) y, como es usual para cualquier onda, y la la velocidad de propagación c, la longitud de onda frecuencia se relacionan mediante recursos CONCLUSIÓN Pág. 1 de 3 © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Espectro electromagnético Es una representación gráfica que permite ordenar las distintas radiaciones electromagnéticas de acuerdo con su longitud de onda o frecuencia. glosario ACTIVIDAD La representación gráfica de las distintas radiaciones electromagnéticas de acuerdo con su longitud de onda o frecuencia recibe el nombre de espectro electromagnético. Este diagrama presenta la totalidad de las radiaciones electromagnéticas, desde ondas con longitud de onda extremadamente muy corta (rayos , rayos X), corta (ultravioleta (UV)), de rango intermedio, (visible (VIS), infrarrojo (IR), microondas) hasta muy grandes (ondas de radio). D.R. Longitud de onda (λ) Es la distancia entre nodos o crestas sucesivas en una onda. conclusión RECURSOS De aquí, es evidente que frecuencia y longitud de onda son inversamente proporcionales, a mayor frecuencia menor longitud de onda. Este hecho es fundamental para comprender por qué algunas radiaciones electromagnéticas son más penetrantes que otras. Por ejemplo, un operario de un equipo de rayos X debe protegerse de la radiación usando capas de plomo, en tanto que para evitar que la luz visible entre en una habitación, basta con cerrar las persianas. Por cierto, la única región del espectro electromagnético a la cual es sensible el ojo humano es el rango visible (f~1015Hz). La exposición prolongada a la radiación UV (f~1016Hz), en cambio, tiene efectos potencialmente dañinos; por ejemplo, provocar cáncer en la piel. La radiación IR (f~1013Hz) tiene múltiples aplicaciones, entre las que podemos mencionar su uso en sensores para detectar la presencia de seres vivos en condiciones de oscuridad extrema, así como sensores para abrir o cerrar las llaves de agua; las microondas (f~1011Hz) se usan para cocinar alimentos o para comunicaciones por medio del radar; finalmente, las ondas de radio (f~107Hz) se utilizan ampliamente en la telefonía así como en la transmisión de señales de audio. glosarioACTIVIDad 1.2.1 Naturaleza de la luz y las ondas electromagnéticas (OEM) GLOSARIO Temas capítulo 1 MAPA 11 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.2 Espectro electromagnético Principios de óptica y física moderna Los rayos X son ampliamente utilizados para llevar a cabo tanto estudios médicos (radiografías), como investigación para caracterizar materiales (difracción de rayos X) o para realizar rutinarias revisiones de seguridad en aeropuertos y puertos comerciales. Temas capítulo 1 12 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.2 Espectro electromagnético ACTIVIDad conclusión glosario Cabe mencionar que, como lo veremos más adelante, la energía de la radiación electromagnética es directamente proporcional a la frecuencia de la radiación, así que otra forma de ordenar las distintas radiaciones es en base a su energía, tal y como se muestra en la escala inferior de la figura 1.1. Pág. 2 de 3 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos Figura 1.1 El espectro electromagnético. Se muestra la comparación con diversos objetos para apreciar el tamaño relativo de las ondas electromagnéticas. Principios de óptica y física moderna Temas capítulo 1 13 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.2 Espectro electromagnético Problemas resueltos 1) Dos radiaciones electromagnéticas (REM) se propagan en el va- cío. ¿Cuál de ellas es más energética si -8 12 1=10 m o f2=1x10 Hz? Entonces la longitud de onda es del orden de: a) un sacapuntas escolar. Puesto que f1>f2 y como la energía es directamente proporcional a la frecuencia, concluimos que E1>E2. 2) Una REM propagándose en el vacío posee una frecuencia de Para poder hacer una comparación, debemos convertir la frecuencia en longitud de onda: Dado que el espaciamiento promedio entre átomos es 10-10m, la REM que puede ser de utilidad para estudiar la estructura cristalina debe tener una longitud de onda similar. Revisando la figura 1.1, encontramos que la radiación electromagnética apropiada son los rayos X (inciso d)). De hecho, la difracción de rayos X es una de las técnicas más exitosas para estudiar la estructura de los sólidos cristalinos. 4) ¿Cuál REM podría utilizarse para detectar a los virus de la influen- za?: a) UV, b) VIS, c) Ondas de radio, d) Rayos X. Pág. 3 de 3 © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos Con el mismo razonamiento empleado en la pregunta anterior y de acuerdo con la figura 1.1, la radiación apropiada es la UV (inciso a)). D.R. glosario 1010Hz. Así, su longitud de onda es más comparable con el tamaño de: a) un sacapuntas escolar, b) un auto, c) una bacteria, d) un campo de fútbol. un semiconductor. Puesto que el espaciamiento entre átomos es del orden de 10-10m, entonces la REM apropiada para llevar a cabo este estudio es: a) UV, b) VIS, c) Ondas de radio, d) Rayos X. conclusión 3) En un laboratorio, se desea estudiar la estructura cristalina de ACTIVIDad Para saber cuál de las dos REM es más energética, debemos convertir la longitud de onda 1 en frecuencia. Por lo tanto, de acuerdo con la velocidad de propagación de la onda en el vacío, obtenemos: Dado que Principios de óptica y física moderna 1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas GLOSARIO como resultado un par de fuerzas que hace girar a la superficie de metal. glosario ACTIVIDAD Restando, se obtiene: © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos CONCLUSIÓN Ec. (1.3.2) Pág. 1 de 3 D.R. conclusión RECURSOS Como se hizo patente, el campo electromagnético se propaga como una onda transversal en el vacío a la velocidad de la luz. Por otro lado, sabemos que las ondas mecánicas transportan energía dado que, por ejemplo, las ondas sísmicas producen derrumbes en edificios y casas. Dependiendo de la amplitud de oscilación, los daños provocados se incrementan de acuerdo con esa característica ondulatoria. Sin embargo, con respecto a la luz, mediante experimentos de absorción es como notamos que las ondas electromagnéticas transportan energía; por ejemplo, considera una superficie metálica con una mitad negra y la otra blanca libre de rotar con respecto a un eje vertical que pasa por su parte media: la parte blanca refleja la radiación incidente mientras que la parte oscura la absorbe, dando glosarioACTIVIDad Así, el objetivo de esta sección es calcular la energía que portan los campos electromagnéticos que se propagan en el vacío. Para tal efecto, tomemos el producto escalar de con la Ley de Faraday y el correspondiente producto escalar de E con la Ley de Ampere-Maxwell en el espacio vacío (esto es, en ausencia de densidades superficiales de corriente): Onda transversal Es una onda en la cual la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación de la misma. Temas capítulo 1 MAPA 14 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas Principios de óptica y física moderna Pero, usando una tabla de identidades vectoriales, podemos ver que: Ec. (1.3.1) Definiendo el vector de Poynting S y las densidades de energía del campo eléctrico y magnético uE, uB como Temas capítulo 1 15 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas Ec. (1.3.4) ACTIVIDad Entonces, el Teorema de Poynting puede expresarse como: Así que, la ecuación (1.3.2) se transforma en: Claramente, el segundo término de esta ecuación tiene unidades de W/ m , por lo que el vector de Poynting se expresa en W/m2 (esta cantidad física se denomina la irradiancia). Ahora, ¿cuál es el significado físico del teorema anterior? Para esclarecer un poco este punto, consideremos una vez más el Teorema de la divergencia de Gauss: 3 Ec. (1.3.3) glosario O sea Ec. (1.3.5) conclusión Ec. (1.3.2) Ec. (1.3.6) recursos Pág. 2 de 3 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna RECURSOS y entrar en resonancia con las moléculas que conforman a la materia orgánica, ellos realizan cambios en la composición química de la misma. con v Calcular la densidad de energía en el campo eléctrico. Solución: recursos CONCLUSIÓN Finalmente, recordemos que la energía de la radiación EM es sumamente importante para la vida en la Tierra, ya que gran parte de los procesos biológicos son alimentados por la energía proveniente del sol. De hecho, puesto que los campos electromagnéticos portan energía, al interaccionar Pág. 3 de 3 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. glosario ACTIVIDAD Analizando la ecuación anterior, notamos que la integral de superficie representa el flujo de S a través de una superficie cerrada. Por lo tanto, si el flujo neto se dirige hacia fuera, la ecuación (1.3.6) indica la tasa a la cual la energía abandona la región de volumen V; en caso contrario, el flujo neto es igual a la tasa a la cual la energía ingresa al volumen V. En consecuencia, de acuerdo con esta interpretación, S describe el transporte de energía a través del espacio mientras la onda se propaga. 1) Un campo eléctrico oscila en el vacío de acuerdo conclusión RECURSOS Problemas resueltos sobre la energía almacenada en los campos electromagnéticos Teorema de Poynting glosarioACTIVIDad Como tema de investigación de este capítulo, debes investigar cuáles son los principios básicos que permiten operar al horno de microondas y cómo se logra preparar o calentar alimentos dentro de él. En esta liga observamos una animación que muestra la representación gráfica del Teorema de Poynting. Temas capítulo 1 MAPA 16 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas Principios de óptica y física moderna Temas capítulo 1 17 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.4 Superposición de ondas electromagnéticas 1.4 Superposición de ondas electromagnéticas 1.4.1 Interferencia constructiva y destructiva ACTIVIDad Dos piedras caen a cierta distancia en un estanque de agua en reposo, ¿has notado que se forman ondulaciones en la superficie del agua y que éstas viajan hasta encontrarse?, ¿qué pasa entonces? o, cuando saltas en la superficie de un brincolín, ¿por qué a veces logras subir muy alto y en otras ocasiones no? Sean dos campos eléctricos con las mismas características ondulatorias (amplitud, frecuencia, longitud de onda) pero con fase diferente y moviéndose ambos hacia la derecha. Las ondas componentes pueden expresarse como: La onda resultante es la suma algebraica de E1 y E2 Pág. 1 de 3 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos Así, en principio es posible que durante el proceso de superposición la onda resultante tenga, en el mejor de los casos, una amplitud igual al doble de la amplitud de las ondas originales; o bien, una amplitud nula. Al primer caso se le denomina “interferencia” 100% “constructiva” y al segundo “interferencia destructiva”. A continuación, analizaremos diversos casos de interés donde se ponen de relieve las diversas técnicas matemáticas empleadas para obtener la resultante de una superposición de ondas. 1.4.2 Interferencia de ondas viajeras con fases diferentes glosario En muchas situaciones físicas de interés, es necesario combinar varias ondas viajeras de características conocidas para describir ondas de naturaleza más compleja. A dicho proceso se le conoce como “superposición de ondas”. Por supuesto, la función de onda resultante es igual a la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas originales. conclusión Figura 1.2 Ondulaciones en la superficie del agua Principios de óptica y física moderna GLOSARIO Interferencia constructiva Caso de superposición de ondas donde las ondas que se superponen están completamente en fase. Dependiendo de la fase, podemos obtener los casos de interferencia constructiva y destructiva. Como puede verse, la interferencia constructiva se logra si: RECURSOS En tanto que la interferencia destructiva está dada por: Simulaciones – Superposición de ondas glosario Obtenemos: En esta liga encontrarás simulaciones para visualizar la superposición de ondas con fase diferente y sus principales características. conclusión Definiendo la amplitud de la onda resultante como: ACTIVIDad Definiendo la diferencia de fase, entonces lo anterior se puede compactar: Interferencia destructiva Caso de superposición de ondas donde las ondas que se superponen están completamente fuera de fase. Temas capítulo 1 18 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.4 Superposición de ondas electromagnéticas recursos Pág. 2 de 3 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna 1.4.3 Ondas estacionarias RECURSOS Y, definiendo la amplitud A(x)=2E0sinkx, llegamos a: Esta es una onda estacionaria como en el caso de las ondas mecánicas, en las cuerdas de una guitarra, fijas en ambos extremos. De hecho, se puede hacer la caracterización usual de nodos (ceros de la función A(x)) y antinodos (máximos de A(x)) como en la física de las ondas sonoras. Así, podemos establecer que: La posición de los antinodos puede obtenerse mediante los máximos de la función A(x): Antinodo si: De la misma manera, los nodos corresponden a puntos mínimos de la función A(x): Pág. 3 de 3 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. recursos CONCLUSIÓN Nodo si glosario ACTIVIDAD Obtenemos: conclusión RECURSOS Superponiendo estas dos ondas glosarioACTIVIDad Sean dos campos eléctricos propagándose en direcciones opuestas Códigos en MATLAB para visualizar la superposición de ondas Temas capítulo 1 MAPA 19 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1.4 Superposición de ondas electromagnéticas Principios de óptica y física moderna Temas capítulo 1 20 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas Actividad integradora (Parte I) Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas. ACTIVIDad conclusión glosario recursos Pág. 1 de 2 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna Temas capítulo 1 21 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas Actividad integradora (Parte II) Instrucciones: Responde las siguientes preguntas. ACTIVIDad conclusión glosario recursos Pág. 2 de 2 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna Temas capítulo 1 22 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas Conclusión del capítulo 1 Capítulo 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas ACTIVIDad Sin duda, este ha sido un viaje teórico para describir al campo electromagnético, sin embargo, en los próximos capítulos, presentaremos diversos aparatos en los que se aplican varios fenómenos ópticos como son la reflexión, refracción, interferencia y difracción. Nos referimos, por supuesto, a los sistemas ópticos de lentes y espejos, tales como los microscopios, el telescopio y las cámaras básicas. conclusión L a luz y su naturaleza han cautivado al ser humano desde los primeros tiempos y en este capítulo revisamos algunas de sus características principales cuando la luz se propaga en el vacío. La transversalidad de las ondas electromagnéticas y su velocidad de propagación son algunas de las características más fundamentales que estudiamos en este capítulo. glosario Las ecuaciones principales que presentamos son: recursos Pág. 1 de 1 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna Temas capítulo 1 ACTIVIDad A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z I L Ecuación de onda Interferencia constructiva Longitud de onda (λ) Ecuación diferencial parcial que describe la evolución en el tiempo de una onda, ya sea mecánica o electromagnética. Caso de superposición de ondas donde las ondas que se superponen están completamente en fase. Es la distancia entre nodos o crestas sucesivas en una onda. Espectro electromagnético Interferencia destructiva Es una representación gráfica que permite ordenar las distintas radiaciones electromagnéticas de acuerdo con su longitud de onda o frecuencia. Caso de superposición de ondas donde las ondas que se superponen están completamente fuera de fase. D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. O Onda electromagnética Perturbación que no requiere un medio de propagación y que viaja a la velocidad de la luz en el vacío. recursos Pág. 1 de 2 glosario E conclusión Glosario del capítulo 1 Principios de óptica y física moderna A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z Temas capítulo 1 Glosario del capítulo 1 Onda longitudinal ACTIVIDad Es una onda en la cual la perturbación es paralela a la dirección de propagación de la misma. Onda mecánica conclusión Perturbación mecánica que necesariamente requiere un medio de propagación, por ejemplo, en sólidos o fluidos. Onda transversal glosario Es una onda en la cual la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación de la misma. V Vector de onda (k) recursos Es el vector que indica la dirección de propagación de la onda. Su magnitud es igual a 2π/λ. Pág. 2 de 2 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna Temas capítulo 1 ACTIVIDad »» Visualiza aquí el proceso para expresar a las ecuaciones de Maxwell en un formato diferencial. »» Divergencia de un campo vectorial espacial en un punto a elegir »» Códigos MATLAB de gradiente divergencia y rotacional »» Ecuaciones de onda y ondas electromagnéticas »» En esta liga observamos una animación que muestra la representación gráfica del Teorema de Poynting. Teorema de Poynting »» En esta liga encontrarás simulaciones para visualizar la superposición de ondas con fase diferente y sus principales características. Simulaciones – Superposición de ondas »» Códigos en MATLAB para visualizar la superposición de ondas recursos »» En la siguiente liga se presenta una animación de la propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío donde se pone de relieve la naturaleza transversal de las mismas. Propagación de las ondas electromagnéticas Pág. 1 de 1 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. glosario »» En la siguiente liga, encontrarás una serie de problemas resueltos sobre ondas electromagnéticas y su propagación, mismas que te serán de utilidad para profundizar en varios de los conceptos hasta aquí expuestos. Problemas de Ondas Electromagnéticas »» Te sugerimos correr los siguientes códigos en MATLAB para modificar los parámetros de una onda EM y observar cómo se manifiestan estos cambios en la apariencia de la onda. Códigos MATLAB para parámetros de una onda EM conclusión Recursos del capítulo 1 Principios de óptica y física moderna Índice Introducción del eBook������������������������������������������������������������������������������������ iii 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas�����������������������������2 1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío�����3 1.1.1 Naturaleza de la luz y las ondas electromagnéticas (OEM) ����������������������������������������������������������������������������������������������������3 1.1.2 Las ecuaciones de Maxwell�����������������������������������������������3 1.2 Espectro electromagnético�������������������������������������������������������� 11 1.2.1 Naturaleza de la luz y las ondas electromagnéticas (OEM) �������������������������������������������������������������������������������������������������� 11 1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas �������������14 1.4 Superposición de ondas electromagnéticas������������������������������17 1.4.1 Interferencia constructiva y destructiva���������������������������17 1.4.2 Interferencia de ondas viajeras con fases diferentes������17 1.4.3 Ondas estacionarias��������������������������������������������������������18 Actividad integradora (Parte I)����������������������������������������������������������������20 Actividad integradora (Parte II)���������������������������������������������������������������21 Conclusión del capítulo 1������������������������������������������������������������������������22 Glosario del capítulo 1������������������������������������������������������������������������������������23 Recursos del capítulo 1����������������������������������������������������������������������������������25 2. Fenómenos ópticos y sus características principales�������������������������27 2.1 Reflexión, refracción y reflexión total interna�����������������������������28 2.1.1 Reflexión��������������������������������������������������������������������������28 2.1.2 Refracción������������������������������������������������������������������������29 2.1.3 Reflexión total interna������������������������������������������������������31 2.2 Polarización de la luz�����������������������������������������������������������������35 2.2.1 Polarización���������������������������������������������������������������������35 2.2.2 Polarización lineal, circular y elíptica�������������������������������36 Actividad integradora (Parte I)����������������������������������������������������������������38 Actividad integradora (Parte II)���������������������������������������������������������������39 Actividad integradora (Parte II)���������������������������������������������������������������40 Conclusión del capítulo 2������������������������������������������������������������������������41 Glosario del capítulo 2������������������������������������������������������������������������������������42 Recursos del capítulo 2����������������������������������������������������������������������������������43 3. Formación de imágenes en espejos y lentes delgadas����������������������45 3.1 Espejos planos, cóncavos y convexos: ubicación, orientación y tamaño de la imagen formada���������������������������������������������������������46 3.1.1 Espejos planos����������������������������������������������������������������46 3.1.2 Espejos esféricos�������������������������������������������������������������46 3.1.3 Formación de imágenes en espejos esféricos����������������47 3.1.4 Amplificación lateral (aumento)����������������������������������������48 3.1.5 Diagramas de rayos para los espejos�����������������������������49 3.1.6 Ejemplos resueltos de formación de imágenes en espejos ��������������������������������������������������������������������������������������������������49 3.1.7 Problemas propuestos�����������������������������������������������������52 3.2 Lentes delgadas: ubicación, orientación y tamaño de la imagen formada��������������������������������������������������������������������������������������������54 3.2.1 Lentes y refracción����������������������������������������������������������54 3.2.2 Amplificación lateral���������������������������������������������������������55 3.2.3 Profundidad aparente de un objeto (incidencia normal en superficie plana)�����������������������������������������������������������������������56 3.2.4 Formación de imágenes en lentes delgadas: la ecuación del constructor de lentes�����������������������������������������������������������56 3.2.5 Clasificación de lentes delgadas�������������������������������������58 3.2.6 Amplificación lateral (aumento)����������������������������������������59 Pág. 1 de 4 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna Índice 3.2.7 Ejemplos resueltos de superficies refractoras�����������������59 3.3 Sistemas de espejos y lentes delgadas: características de la imagen formada�������������������������������������������������������������������������������61 3.3.1 Sistemas ópticos básicos������������������������������������������������61 3.3.2 Ejemplos resueltos����������������������������������������������������������61 3.4 Representación matricial de los elementos básicos de un sistema óptico�����������������������������������������������������������������������������������������63 3.4.1 Matrices asociadas a los elementos ópticos�������������������63 3.4.2 Formalismo matricial y características de la imagen formada.����������������������������������������������������������������������������������������65 3.5 Formalismo matricial y formación de imágenes en sistemas compuestos��������������������������������������������������������������������������������������������66 3.6 Problemas propuestos���������������������������������������������������������������68 Actividad integradora������������������������������������������������������������������������������70 Conclusión del capítulo 3������������������������������������������������������������������������71 Glosario del capítulo 3������������������������������������������������������������������������������������72 Recursos del capítulo 3����������������������������������������������������������������������������������73 4. Teoría especial de la relatividad����������������������������������������������������������75 4.1 Transformaciones de Lorentz����������������������������������������������������76 4.1.1 Antecedentes�������������������������������������������������������������������76 4.1.2 Transformaciones de Galileo y relatividad galileana�������76 4.1.3 Postulados de la Relatividad Especial�����������������������������77 4.1.4 Transformaciones de Lorentz������������������������������������������78 4.1.5 Transformaciones directa e inversa de Lorentz���������������80 4.2 Consecuencias de las transformaciones de Lorentz�����������������83 4.2.1 Contracción de la longitud�����������������������������������������������83 4.2.2 Problemas resueltos de contracción de la longitud���������84 4.2.3 Dilatación del tiempo y simultaneidad�����������������������������85 4.2.4 Problemas resueltos de dilatación del tiempo y transformaciones de Lorentz����������������������������������������������������������������86 4.2.6 Transformación de velocidades de Lorentz���������������������90 4.2.7 Problemas resueltos de la transformación de velocidades de Lorentz���������������������������������������������������������������������������������91 4.3 Momento lineal relativista ���������������������������������������������������������93 4.4 Dinámica relativista: conservación del momento lineal y masa relativista������������������������������������������������������������������������������������������94 4.4.1 Dinámica relativista: conservación de la masa-energía��94 4.4.2 Problemas resueltos de energía relativista����������������������95 4.4.3 Energía relativista y momento lineal��������������������������������95 4.4.4 Problemas resueltos de masa, energía y colisiones relativistas�����������������������������������������������������������������������������������������96 4.4.5 Fuerza y aceleración en Relatividad Especial�����������������96 4.4.6 Problemas resueltos de fuerza en Relatividad Especial��97 Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������101 Conclusión del capítulo 4����������������������������������������������������������������������102 Glosario del capítulo 4����������������������������������������������������������������������������������103 Recursos del capítulo 4��������������������������������������������������������������������������������104 5. Propiedades corpusculares de la radiación�������������������������������������106 5.1 Radiación de cuerpo negro������������������������������������������������������107 5.2 El efecto fotoeléctrico���������������������������������������������������������������109 5.2.1 Emisión electrónica y el experimento de Hertz��������������109 5.2.2 Conclusiones del experimento de Hertz-Lenard������������ 110 5.2.3 Energía cinética de los fotoelectrones emitidos������������ 111 5.2.4 Potencial de frenado������������������������������������������������������ 111 Pág. 2 de 4 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna Índice 5.2.5 Teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico��������������������� 112 5.2.6 Problemas resueltos del efecto fotoeléctrico����������������� 113 5.3 Rayos X����������������������������������������������������������������������������������� 114 5.3.1 Generación de Rayos X y características de la emisión114 5.3.2 Difracción de Rayos X�������������������������������������������������� 116 5.4 Efecto Compton����������������������������������������������������������������������� 117 5.4.1 Problemas resueltos del Efecto Compton���������������������120 5.5 Creación y aniquilación de pares���������������������������������������������121 5.5.1 Creación de pares���������������������������������������������������������121 5.5.2 Aniquilación de pares�����������������������������������������������������122 Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������124 Conclusión del capítulo 5����������������������������������������������������������������������126 Glosario del capítulo 5����������������������������������������������������������������������������������127 Recursos del capítulo 5��������������������������������������������������������������������������������128 6. Propiedadesondulatorias de la materia���������������������������������������������130 6.1 Ondas de materia y la hipótesis de De Broglie������������������������131 6.1.1 Onda asociada al fotón��������������������������������������������������131 6.1.2 Longitud de onda asociada al electrón��������������������������131 6.2 Longitud de onda de De Broglie y paquetes de ondas �����������136 6.2.1 Paquetes de ondas��������������������������������������������������������136 6.2.2 Velocidad de fase y de grupo en paquetes de ondas����137 6.3 Proyecto de investigación. Aplicaciones de la naturaleza ondulatoria de la materia: el microscopio electrónico y la espectroscopía por dispersión de neutrones����������������������������������������������������������141 6.4 Principio de indeterminación de Heisenberg���������������������������142 6.4.1 Principio de Indeterminación de Heisenberg y sus consecuencias����������������������������������������������������������������������������������142 6.4.2 Problemas resueltos������������������������������������������������������143 Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������145 Conclusión del capítulo 6����������������������������������������������������������������������146 Glosario del capítulo 6����������������������������������������������������������������������������������147 Recursos del capítulo 6��������������������������������������������������������������������������������148 7. Modelos atómicos y el átomo de Bohr����������������������������������������������150 7.1 Modelo de Thompson��������������������������������������������������������������151 7.2 Modelo de Rutherford��������������������������������������������������������������155 7.2.1 El experimento de Geiger-Marsden y el modelo de Rutherford������������������������������������������������������������������������������������������155 7.2.2 Modelo de Rutherford y sus características principales156 7.2.3 Problemas resueltos������������������������������������������������������158 7.3 Modelo de Bohr������������������������������������������������������������������������160 7.3.1 Postulados del modelo de Bohr�������������������������������������160 7.3.2 Órbitas estacionarias y niveles de energía de acuerdo al modelo de Bohr����������������������������������������������������������������������161 Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������168 Conclusión del capítulo 7����������������������������������������������������������������������169 Glosario del capítulo 7����������������������������������������������������������������������������������170 Recursos del capítulo 7��������������������������������������������������������������������������������171 8. Principios de mecánica cuántica�������������������������������������������������������173 8.1 La función de onda y la Ecuación de Schrödinger (ES)����������174 8.2 Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo����������������176 8.3 Soluciones de la ecuación de Schrödinger en presencia de potenciales constantes ���������������������������������������������������������������������181 8.4 La matriz de transferencia�������������������������������������������������������188 8.4.1 La matriz de transferencia y sus propiedades���������������188 Pág. 3 de 4 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna Índice 8.4.2 La matriz de transferencia y los coeficientes de transmisión y reflexión en barreras de potencial��������������������������������190 8.5 La ecuación de Schrödinger en tres dimensiones�������������������201 8.5.1 La ecuación de Schrödinger en tres dimensiones: geometría cartesiana�������������������������������������������������������������������������201 Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������206 Conclusión del capítulo 8����������������������������������������������������������������������207 Glosario del capítulo 8����������������������������������������������������������������������������������208 Recursos del capítulo 8��������������������������������������������������������������������������������209 Glosario general�������������������������������������������������������������������������������������������210 Ligas de interés��������������������������������������������������������������������������������������������214 Referencias��������������������������������������������������������������������������������������������������218 Índice������������������������������������������������������������������������������������������������������������220 Aviso legal����������������������������������������������������������������������������������������������������224 Pág. 4 de 4 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012. Principios de óptica y física moderna Aviso legal Escamilla Reyes, José Luis Principios de óptica y física moderna / José Luis Escamilla Reyes. 227p.cm. 1. Óptica 2. Física 3. Física—Métodos de enseñanza LC: QC363.4 Dewey: 535.076 eBook editado, diseñado, publicado y distribuido por el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio sin previo y expreso consentimiento por escrito del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. D.R.© Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México. 2012 Ave. Eugenio Garza Sada 2501 Sur Col. Tecnológico C.P. 64849 | Monterrey, Nuevo León | México. ISBN en trámite Primera edición D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012.