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Cap. 13: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Las ecuaciones de Maxwell sugieren que los fenómenos eléctricos y magnéticos son estrechamente ligados = teoría electromagnetismo • Un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico, y un campo eléctrico que varía con el tiempo genera un campo magnético 

Estos campos E y B se sostienen uno al otro y forman algo similar a una “onda electromagnética” • Esto corresponde en realidad en la propagación (o transferencia entre partículas) de energía y cantidad de movimiento La luz visible emitida por el filamento incandescente de una bombilla eléctrica es un ejemplo de onda electromagnética Pero también energía emitidas por fuentes tales como las estaciones de radio y televisión, los osciladores de microondas para hornos y radares, las máquinas de rayos X y los núcleos radiactivos 

En el modelo de ondas electromagnéticas los campos E y B son funciones sinusoidales del tiempo y de la posición, con frecuencia y longitud de onda definidas Los distintos tipos de ondas electromagnéticas—luz visible, ondas de radio, rayos X y otras—difieren sólo en su frecuencia y longitud de onda = el espectro electromagnético El modelo de onda se construyo en analogía a ondas mecánicas, ej. ondas en una cuerda o del sonido en un fluido – que también corresponde a mecanismos de transporte de energía y cantidad de movimiento • Pero a la diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no requieren un medio material para propagar se 1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas A la base de las ecuaciones de Maxwell tienen las siguientes observaciones: • Existe dos tipos de campos: eléctrico E y magnético B o E esta producido por cargas en reposo o B esta producido por corriente estable Esto podría sugerir que se puede analizar los campos eléctricos y magnéticos de forma independiente, sin considerar las interacciones entre ellos Pero cuando los campos varían con el tiempo, dejan de ser independientes • Ley de Faraday: un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico • Ley de Ampère generalizada (incluyendo la corriente de desplazamiento): un campo eléctrico que cambia con el tiempo actúa como una fuente de campo magnético Esta interacción mutua entre los dos campos se resumen en las 4 ecuaciones de Maxwell: • Cuando un campo de un tipo cambia con el tiempo, induce un campo del otro tipo en las regiones adyacentes del espacio que se opone al cambio • Este fenómeno es consistente con la ley de Lenz y es una consecuencia directa de la ley de la conservación de energía Esto nos lleva a considerar la posibilidad de la existencia de una “perturbación electromagnética”, consistente con campos eléctricos y magnéticos que se modifican con el tiempo – esta onda es el principal mecanismo de propagación de energía entre partículas 2 Por analogía mecánica ya se conocía en el tiempo de Maxwell de un fenómeno de perturbación transportador de energía (y cantidad de movimiento) = ondas mecánicas • Por lo que se desarrollo un modelo similar = ondas electromagnéticas Tienen dos problemas con el modelo de ondas electromagnéticas clásica: 1) ¿Perturbación de que? El modelo mecánico sugiere que es la perturbación de un medio = ether; pero se demostró al final de los 1800’s que no existe el ether; por lo que las ondas electromagnética se propagan en el “vacio” 2) También se demostró que consistente con la estructura de la materia, la energía del los campo electromagnético es cuantificada – pero la energía de una onda es continúa ⇒ la onda electromagnética es una ficción; la energía se propaga en forma de partícula = fotón o quantum de energía La descripción en términos de ondas es solo aproximativa, no debe se tomar como una descripción completa del fenómeno • El significado físico en términos de ondas es posiblemente más profunda (un asunto no resuelta) relacionada con una visión probabilística de la materia ( ej. la interpretación de Max Born de la función de ondas en mecánica quántica) 3 Generación de la radiación electromagnética Maxwell demostró en 1865 que una perturbación electromagnética debe propagarse en el espacio libre con una rapidez igual a la de la luz, por lo que era probable que la naturaleza de la luz fuera una onda electromagnética Al mismo tiempo descubrió que los principios básicos del electromagnetismo podían expresarse en términos de las cuatro ecuaciones = ecuaciones de Maxwell: 1) La ley de Gauss de los campos eléctricos:   Q
∫ E ⋅ dA = εenc0
2) La ley de Gauss de los campos magnéticos, que demuestra la inexistencia de monopolos magnéticos:  
B
∫ ⋅ dA = 0 3) La ley de Ampère, que incluye la corriente de desplazamiento:  
dΦ ⎞
⎛
B
∫ ⋅ dl = µ0 ⎜⎝ iC + ε 0 dt E ⎟⎠ enc 4) La ley de Faraday:
 
dΦ
∫ E ⋅ dl = − dt B Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en el vacío (definido como la ausencia de materia = no hay dieléctrico) • Cuando hay materia, la permitividad ε0 y la permeabilidad µ0 del vacío se sustituyen por la permitividad ε y la permeabilidad µ del material De acuerdo  con las ecuaciones de Maxwell,  una carga puntual en reposo produce un campo E estático pero no un campo B Una carga puntual   en movimiento con velocidad constante (corriente) produce los dos campos E y B Las ecuaciones de Maxwell también implican que para que una carga puntual produzca ondas electromagnéticas, la carga debe acelerar • De hecho, un resultado general de las ecuaciones de Maxwell es que toda carga acelerada irradia energía electromagnética 4 nética o el de “ondas electromagnéticas”.
El físico alemán Heinrich Hertz generó por primera vez ondas electromagnéticas
con longitudes de onda macroscópicas en el laboratorio en 1887. Como fuente de ondas, Hertz utilizó cargas oscilantes en circuitos L-C de la clase que estudiamos en la
sección 30.5 y detectó las ondas electromagnéticas resultantes mediante otros circuitos
sintonizados a la misma frecuencia. Hertz también produjo ondas electromagnéticas
La figura abajo muestra algunas líneas ydmidió
e campo eléctrico producidas por una longitud de onda)
estacionarias
la distancia
entre nodos
adyacentes
(media
para
determinar
la
longitud
de
onda.
Una
vez
que
determinó
la
frecuencia de resonancarga puntual oscilante (movimiento harmónico simple) vistas en cinco instantes cia
de
sus
circuitos,
encontró
la
rapidez
de
las
ondas
a
partir
de
la relación entre su
durante un periodo de oscilación T longitud de onda y su frecuencia, v 5 lf, y estableció que era igual a la rapidez de la
• La trayectoria de la carga está en el plano de los dibujos luz; esto comprobó directamente la predicción teórica de Maxwell. La unidad del SI
• En t = 0, la carga puntual encuentra en susu nombre
máximo desplazamiento para lase frecuencia
recibió
en honor
de Hertz: un hertz (1 Hz) es igual a un
ascendente ciclo por segundo.

o La flecha muestra cómo se propaga una “vuelta” de las líneas de E a 32.3 Líneas de campo eléctrico
de unaqcarga
que oscila
confuera movimiento
vistas en cinco instantes durante un
medida ue spuntual
e propaga hacia de la armónico
carga psimple,
untual periodo de oscilación T. La trayectoria de la carga está en el plano de los dibujos. En t 5 0, laScarga puntual se encuentra en su máximo
• El campo magnético (no se ilustra) comprende círculos que se hallan en desplazamiento ascendente. La flecha muestra cómo se propaga una “vuelta” de las líneas de E a medida que se propaga hacia fuera de
perpendiculares las figuras y son oncéntricos con respecto aal las
eje figuras y son
la carga puntual. Elplanos campo magnético
(no se ilustra)acomprende
círculos
quecse
hallan en planos
perpendiculares
concéntricos con respecto
al eje de oscilación.
de oscilación a) t 5 0
b) t 5 T/4
q
S
E
c) t 5 T/2
q
d) t 5 3T/4
q
S
S
E
E
e) t 5 T
q
S
E
•
La oscilación de la carga hacia arriba y abajo produce una perturbación del campo eléctrico que hace que las ondas se propaguen hacia fuera de la carga •
La carga no emite ondas en todas direcciones por igual • Son más intensas a 90° con respecto al eje de movimiento de la carga (donde el campo eléctrico es más perturbado), en tanto que no hay ondas a lo largo de este eje En 1887, el físico alemán Heinrich Hertz (1857-­‐1894) generó por primera vez ondas electromagnéticas con longitudes de onda macroscópicas en el laboratorio • Usando como fuente de ondas cargas oscilantes en circuitos L-­‐C • Detectó las ondas electromagnéticas resultantes mediante otros circuitos sintonizados a la misma frecuencia • También produjo ondas electromagnéticas estacionarias y midió la distancia entre nodos adyacentes (media longitud de onda) para determinar la longitud de onda 5 q
S
E
Una vez que determinó la frecuencia de resonancia de sus circuitos, encontró la rapidez de las ondas a partir de la relación entre su longitud de onda y su frecuencia, v = λ f • Estableció que v = c ⇒ comprobó directamente la predicción teórica de Maxwell La unidad del SI para la frecuencia recibió su nombre en honor de Hertz: un hertz (1 Hz) es igual a un ciclo por segundo El valor actual por la rapidez de la luz: c = 299,792,458 m/s También c es la base de la unidad estándar de longitud: un metro se define como la distancia que recorre la luz en 1/299,792,458 de segundo (consistente con definición operacional del “espacio” – o mejor, del vacío) Es posible usar ondas electromagnéticas para la comunicación a larga distancia; gracias a investigadores como Guglielmo Marconi (1874 – 1937) la comunicación por radio se convirtió en una experiencia cotidiana: • En un transmisor de radio se hacen oscilar cargas eléctricas a lo largo de la antena conductora, lo que produce perturbaciones oscilatorias de campo • Como en la antena hay muchas cargas que oscilan juntas, las perturbaciones son mucho más intensas que las de una sola carga y se detectan a una distancia mucho mayor • En un receptor de radio la antena también es un conductor, los campos de la onda que emana desde un transmisor distante ejercen fuerzas sobre las cargas libres dentro de la antena receptora, lo que produce una corriente oscilante que es detectada y amplificada por los circuitos del receptor 6 La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles. Sin embargo,
con el uso de fuentes o filtros especiales es posible seleccionar una banda angosta de
longitudes de onda dentro de un intervalo de unos cuantos nm. Esa luz es aproximadamente monocromática (de un solo color). La luz totalmente monocromática con
630 a 700 nm
Rojo
32.4 El espectro electromagnético. Las frecuencias y longitudes de onda que se encuentran en la naturaleza se extienden en un
intervalo tanEl amplio
que se e
tiene
que usar una escala logarítmica para indicar todas las bandas importantes. Las fronteras entre las
espectro lectromagnético bandas son un tanto arbitrarias.
Longitudes de onda en m
10
1
1021
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
Infrarrojo
Radio,
TV
108
1022
Rayos x
Ultravioleta
Microondas
109
1010
1011
10210 10211 10212 10213
1012
1013
1014
1015
1016
Rayos gamma
1017
Luz visible
700 nm
ROJO
650
600
550
NARANJA AMARILLO VERDE
1018
1019
1020
1021
1022
Frecuencias en Hz
500
450
AZUL
400 nm
VIOLETA
Las ondas electromagnéticas cubren un espectro amplio de longitudes de onda y frecuencia • Incluye las ondas de radio y televisión, la luz visible, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma • Se han detectado ondas electromagnéticas con frecuencias desde 1 hasta 1024 Hz • Las ondas electromagnéticas difieren en frecuencia f y longitud de onda λ, pero la relación c = λ f en el vacío se cumple para cada una • El ojo solo puede detectar una parte muy pequeña del espectro = luz visible o Su intervalo de longitud de onda va de 400 a 700 nm (400 a 700 × 10−9m) con frecuencias correspondientes de 750 a 430 THz (7.5 a 4.3 × 1014 Hz) aproximadamente o Las distintas partes del espectro visible son interpretados por el cerebro humano como diferentes colores • La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles • Sin embargo, con el uso de fuentes o filtros especiales es posible seleccionar una banda angosta de longitudes de onda dentro de un intervalo de unos cuantos nm o Esa luz es aproximadamente monocromática (de un solo color) o La luz totalmente monocromática con una sola longitud de onda es una idealización inalcanzable • La luz láser está mucho más cerca de ser monocromática que cualquiera que se obtenga de otra manera 7 Nuestro sistema de comunicaciones globales depende de las ondas de radio: • La radio AM utiliza ondas con frecuencias de 5.4 × 105 Hz a 1.6 × 106 Hz • Las emisiones de radio en FM tienen lugar en las frecuencias de 8.8 × 107 Hz a 1.08 × 108 Hz • Las emisoras de televisión usan frecuencias que incluyen la banda de FM • Las microondas se utilizan para la comunicación por los teléfonos celulares y las redes inalámbricas Los radares meteorológicos funcionan con frecuencias cercanas a 3 × 109 Hz Muchas cámaras tienen un dispositivo que emite un haz de radiación infrarroja • Al analizar las propiedades de la radiación infrarroja reflejada por el sujeto, la cámara determina a qué distancia se encuentra éste y se enfoca de manera automática La radiación ultravioleta tiene longitudes de onda más cortas que la luz visible • Esta propiedad le permite enfocarse dentro de haces muy estrechos para aplicaciones de alta precisión, como la cirugía ocular LASIK Los rayos X son capaces de pasar a través del tejido muscular, lo que los hace invaluables en la odontología y la medicina La radiación electromagnética con la longitud de onda más corta, los rayos gamma, es producida en la naturaleza por los materiales radiactivos • Los rayos gamma, que tienen una gran cantidad de energía, se utilizan en medicina para destruir células cancerosas 8 32.5 Frente de una onda electromagnética.
El plano que representa el frente de onda
se mueve
Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la hacia
luz la derecha (en la dirección
positiva del eje x) con rapidez c.
Tomamos como base un sistema de coordenadas xyz y suponemos que el espacio está dividido en dos regiones por un plano perpendicular al eje x paralelo al plano yz En cada punto a la izquierda de este plano hay un campo eléctrico uniforme 
E en la dirección +y y un campo 
magnético uniforme B en la dirección +z y
Frente de onda plana
S
S
E
B
S
S
E
B
S
S
E
B
S
S
B
z
E
O
S
B
S
c
E50
S
B50
S
E
S
S
B
E
x
Los campos eléctrico y magnético son
uniformes detrás del frente de onda que
avanza, y cero por delante de éste.
pos se mueven juntos e
nocida. (Conforme av
perpendiculares a la dir
campos son físicament
Maxwell, en particular
es sí, siempre y cuando
de onda, que encontram
tulo 15, se obtiene a pa
Una onda elect
Si tomamos como bas
todo el espacio está di
paralelo al plano
yz). E
S
co uniforme E en la di
1z, como se ilustra. A
frente de onda, se desp
un valor que por el mo
a la derecha hacia regio
men, la situación desc
ésta, en la que en cualq
Supongamos que el plano limítrofe, al frente de onda, se desplaza hacia la derecha en la dirección +x con rapidez constante c (de magnitud no definida) 

Así, los campos E y B viajan a la derecha hacia regiones hasta ahora libres de campo con rapidez constante: • Los campos = 0 para los planos que están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los planos ubicados a la izquierda del frente de onda Este modelo describe una onda electromagnética rudimentaria = onda plana 9 32.2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz
1097
La pregunta es ¿si este modelo es congruente con las leyes de Maxwell? pendicular a la dirección
de propagación,
se llama onda
paray una
onda
En primer lugar, verifiquemos que lplana.
a onda p32.6
lana sSuperficie
atisface gaussiana
la primera segunda electromagnética
plana.
ustra en la figura 32.5,
los
campos
son
igual
a
cero
para
los
planos
ecuaciones de Maxwell: ha del frente de onda y tienen
los mismos
valores
en todos los pla• Tomamos como superficie El campo eléctrico es el mismo en las caras
zquierda del frente de onda;
más adelante
estudiaremos
ondas
superior e inferior de la superficie gaussiana,
gaussiana una caja rectangular as.
por lo que el flujo eléctrico total a través de
con lados paralelos a los planos la superficie es igual a cero.
mos del problema de generar
de
de efectivamente
coordenados una
xy, configuración
xz y yz sólo preguntaremos si es congruente con las leyes del electromagy
• La caja no encierra cargas on las ecuaciones de Maxwell. Consideraremos sucesivamente cada
eléctricas ones.
• Por lo que los flujos eléctrico y S
verifiquemos si nuestra onda satisface la primera y segunda ecuaE ES S
magnético t
otales a
t
ravés d
e l
a S
E ES S
es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctrico y magnético.
B BS S
E
son iuna
guales cero B BS S
os como nuestra superficie caja gaussiana
cajaarectangular
con laB
planos coordenados xy, xz y yz (figura 32.6). La caja no encierra
si pflujos
arte deléctrico
e la caja yemagnético
stá en la región e puede demostrar Aun que los
totales a
x
z
en l
a q
ue E
=
B
=
0
n iguales a cero, aun
si
parte
de
la
caja
está
en
la
región
en
la
que


S
S
E o B a la
Esto nuna
o sería el caso sx,i paralela
o sería el caso si E o B•tuvieran
componente
El campo magnético es el mismo en las caras
tuvieran x, el proación. La prueba se deja como
ejerciciouna paracomponente el lector (véase
izquierda y derecha de la superficie gaussiana,
paralela dirección de para satisfacer las ecuaciones
primeraa yla segunda
de Maxwell,
los
por lo que el flujo magnético total a través de
la superficie es igual a cero.
magnético deben ser perpendiculares
a la dirección de propagapropagación da debe ser transversal.
ación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday:
Para satisfacer las ecuaciones 1 y 2 de Maxwell, los campos eléctrico y dFB deben ser perpendiculares a la dirección de propagación = onda S magnético S
l 52
(32.1)
C E dtransversal dt
ra onda satisface la ley de Faraday, aplicamos esta ley
a un rectán- 32.7 a) Aplicación de la ley de Faraday
#
al plano xy (figura 32.7a). Como se observa en la figura 32.7b, la
corte transversal en el plano xy, este rectángulo tiene altura a y antanteSque se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente a
o, y E es igual a ceroSa lo largo del lado ef. Al aplicar la ley de Faue el área vectorial dA del rectángulo efgh está en la dirección
1z.
S
S
a regla de la mano derechaSindica que se requiere integrar E d l en
E es igual a cero en todos los puntos
alrededor del rectángulo.
del
S
S
nto de los lados fg y he, ESes igual
a cero o perpendicular a d l . Sólo
S
e a la integral, y sobre él E y d l son opuestos, por lo que se obtiene
#
C E d l 5 2Ea
S
#
S
a) En el momento dt, el frente de
onda se desplaza una distancia c dt
en la dirección1x.
y
(32.2)
lado izquierdo de la ecuación (32.1) es diferente de cero.
a ley de Faraday,Secuación (32.1), debe haber una componente de
perpendicular a E) de manera que pueda haber un flujo magnético
a través delS rectángulo efgh y una derivada dFB>dt diferente de
uestra onda B tiene sólo la componente z. Hemos supuesto que esta
a dirección z positiva; veamos si esta suposición es congruente con
urante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una
la derecha en la figura 32.7b, y recorre un área ac dt del rectáneste intervalo, el flujo magnético FB a través del rectángulo efgh
FB 5 B(ac dt), por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es
dFB
5 Bac
dt
a una onda plana. b) En el momento dt, el
flujo magnético a través del rectángulo en
el plano xy se incrementa en una cantidad
dFB. Este incremento es igual al flujo a
través del rectángulo sombreado, con área
ac dt; es decir, dFB 5 Bac dt. Por lo tanto,
dFB>dt 5 Bac.
S
E
S
B
S
E
S
B
S
B
g
S
E
S
E
S
B
f a
e
h
S
B
S
B
z
S
B
S
E
x
S
B
c dt
b) Vista lateral de la situación en a)
(32.3)
as ecuaciones (32.2) y (32.3) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),10 y
Dx
c dt
f
g
S
2Ea 5 2Bac
S
dl
dl
S
S
S
dl
a
:
S
do de la ecuación (32.1) es diferente de cero.
E S S
E
S
E S
day,Secuación (32.1), debe haber una componente de
S
E
B
S
(32.1)
B
S
B B
r a E) de manera que pueda haber un flujo magnético
g
rectángulo
yLa una
derivada
>dtdde
diferente
de
32.7
a)
Aplicación
dedF
la Bley
Faraday
a un rectán- efgh
siguiente ecuación e M
axwell por considerar es la ley de Faraday: f a
tiene
sólolala componente
z. Hemos
supuesto
esta 
a una onda plana.
b) En el
momentoque
dt, el
ura
32.7b,
dΦ B h
E
⋅
d
l
=
−
a travéses
delcongruente
rectángulo encon
e
positiva;
si magnético
esta suposición
∫
S
altura a y veamos
an- flujo
S
dt B
S
E
el
plano
xy
se
incrementa
en
una
cantidad
S
rcialmente
a
ervalo
de tiempo
dt, el frente de onda se desplaza una
B B S
x
dF B. Este incremento es igual al flujo a
B
la
ley
de
Fan la figura 32.7b,
y del
recorre
área
dtrectángulo del
Aplicamos eun
sta lsombreado,
ey aac
un al plano xy (figura a) través
rectángulo
conrectánárea efgh paralelo z
irección
1z.
dt
ac dt; es•Fdecir,
dF
5
Bac
dt.
Por
lo
tanto,
o, elSflujo
a
través
del
rectángulo
efgh
S magnético
B
Un c
orte t
ransversal e
n e
l p
lano x
y (
figura b) , mcuestra este rectángulo tiene B
rar E d l en dFB>dt 5 Bac.
, por lo que la tasa de cambio
del
magnético
es
Δx altura a
y aflujo
nchura #
os puntos
del
S
a) En el momento dt, el frente de
l . Sólo
ar a ddF
onda se desplaza una distancia c dt
B
ue se obtiene
(32.3)
5 Bac en la dirección1x.
dt
b) Vista lateral de la situación en a)
y
Dx
c dt
y
(32.2)
(32.2)
y (32.3) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),
g
f
S
S
cero.
E S S
dl
E
S
S
S
S
E
mponente
2Ea 5de2Bac
S
dl a
S
E
S
dl
B B
S
dl dA
S
B B
o magnético
e
h
diferente
de
S
da
electromagnética
en elg vacío)
(32.4)
S
S
E
E50
B
f a
h
esto que esta
S
B50
e
ngruente con
S
S
stra onda es congruente
Faraday
sólo
S la ley de E
B con
S
x
S
S
desplaza una
B B
x
S
O
sdt de
los
vectores
perpendiculares
y
B
guardan
la
E
B
del rectán z
c dt
tángulo efgh
magnético es
• En el instante que se ilustra,  el frente de onda ha avanzado parcialmente a b) Vista lateral de la situación en a)
través del rectángulo, y E = 0 a lo largo del  lado ef (32.3)
y
• Al aplicar D x la ley de Faraday, suponemos  dA en la dirección +z c rdtegla de la mano derecha ⇒ E ⋅ dl debe ser integrado en sentido o La ación (32.1),
anti-­‐horario alrededor del rectángulo f


 
g
S
• En cada punto de los lado fg y he, E ⊥ dl ⇒ E ⋅ dl = 0 y del lado ef E = 0 dl
S
S
a
dlcontribuye • Solo a la integral, y por lo tanto: S gh dl el Slado dl dA
 
e
(13.1) h S
∫ E ⋅ dl = −Ea (32.4)
Faraday
sólo
S
B guardan la
E
S
S
E50
B
S

B50
La onda B tiene sólo una componente z en la dirección positiva x
O
• Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una distancia cdt hacia la derecha y recorre un área a cdt del rectángulo efgh • Durante este intervalo, el flujo magnético Φ B a través del rectángulo efgh se incrementa en dΦ B = B ( a cdt ) , por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es: dΦ B
(13.2) = Bac dt
 
dΦ
• Segundo la ley de Faraday: 
E
∫ ⋅ dl = − dt B ⇒ −Ea = −Bac E = cB (13.3) Así, encontramos que la onda plana es congruente con la ley de Faraday solo si la razón de las magnitudes de los vectores perpendiculares es constantes igual a la velocidad de propagación de las ondas 11 al a)
flujo
magnético cambiante F a través delque
rectángulo
efgh
se obtiene
En un tiempo dt, el frente de B
noonda
xy), se
por
lo queuna
no sería
parte de la onda.
desplaza
distancia
se hace
c Por
dt enúltimo,
la dirección
1x. un cálculo similar empleando la ley d
restante de las ecuaciones
de Maxwell. No hay corriente de co
y
lo que la ley de Ampère es
Por consiguiente
de cero;
dFE el lado
S
S
S
Nos queda a verificar la congruencia con la ley de Ampère: E S S
C B d l 5 mcomponente
0 P0
y (pe
E
dt
 
dΦSE ⎞ S
⎛
E S
E
B ⋅ dl = µ0 ⎜ iC + ε 0 B ⎟B S S
y la derivada con
∫Ampère
⎝
⎠ enc B siB nuestra onda es congruente con la ley
32.8 a) Aplicación de la ley de
Paradtcomprobar
a la misma concl
S
a una onda plana. (Compare con la
nuestro rectángulo de manera que esté sobre el plano xz, como
tromagnética, E y
figura
32.7a).
b) En un tiempo dt, el flujo
la situación
en que
• No hay corriente de conducción (iC32.8,
= 0), ypde
or nuevo
lo que observamos
la ley de Ampère es: en un momento
En un interval
eléctrico a través del rectángulo en el  
viajado
dΦparcialmente a través del rectángulo. Tomamos el área
plano
xz se incrementa en una cantidadB ⋅ dl = µ0ε 0 SE S g
menta en dFE 5
S
(13.4) 
∫
rección
la reglaEde la manox derecha demanda
que int
dtB1y,By así,
S
dFE. Este incremento es igual al flujo a
S de flujo e
S
cambio
f
B
alrededor
del rectángulo.
B es igual a c
B sobre través
rectánguloel sombreado
con
• del
Movemos rectángulo de área
manera tido
que antihorario
esté el plano xEl
z, campo
y h se encuentra z largo
a
a
lo
del
lado
ef,
y
en
todos
los
puntos
sobre
los
lados fg y h
ac dt; esde decir,
dFEo5
Eac dt. Porla losituación tanto,
nuevo bservamos en un S
momento c dt en que el frente S de o
Snda e
dFE>dt 5
Eac.viajado parcialmente a través lar
a rdectángulo l . Sólo el lado gh, donde B y d l son paralelos, contribu
haya del que se obtiene
a) En un tiempo dt, el frente de
#
b) Vista superior de la situación en a)
onda se desplaza una distancia
c dt en la dirección 1x.
y
S
E
S
B
S
B
z
h
S
B
S
B
S
E
S
E
S
B
S
S
E
B
g
S
S
B
c dt
S
O
E
S
B
e
f
x
x
Al sustituir las e
Ba
encuentra
CB d l 5
#
S
S
S
Por consiguiente,
el lado Eizquierdo
de la ley de Ampère, ecuac
50
S
E
S
B
de cero; el lado derecho Btambién
5 0 S debe ser diferente de cero.
componente y (perpendicular a B) para que el flujo eléctricoBF5
E
y la derivada
f tiempo dFE>dt puedan ser diferen
g con respecto al
S
a la misma conclusión
que
inferimos a partirDe
de esta
la leyforma,
de Fara
la
S
S
S dlS
a perpendiculares entre sí.
dl ser
tromagnética,
dl ES y BSdeben
ción entre B, c y
dl
En un hintervalodA
de tiempo
dt,
el
flujo
eléctrico
FE a través
Nuestra
ondad
e
S
c dt dt). Como elegimos que dA estuviera e
menta en dFE 5 E(ac
Faraday, de man
cambio de flujo esD xpositivo; la tasa de cambio del campo eléctr
ocurre si P0m0c 5
z
a
dFE
5 Eac
dt

1
A aplicar la ley de Ampère, suponemos dA en la dirección +y c5
b) Vista superior de la situación en a)
o La regla de la mano derecha ebe ecuaciones
ser integrado en ysentido B ⋅ dl dlas
Al⇒sustituir
(32.6)
(32.7) en la ley de "P
Ampèr
0m
anti-­‐horario alrededor del rencuentra
ectángulo 

 
O
x fg y he, B ⊥ dl ⇒ B ⋅ dl = 0 y del lado ef B = 0 • En cada punto de los lado Ba 5 P0mAl
S
0 Eac
sustituir los va
S el lado gh contribuye a la integral, y por lo tanto: • Solo E50
S
E


S
B
B50
(13.5) ∫ B ⋅ dl = Ba B 5 P0m0cE (onda electromagnética en el vc
f
g
S
Durante este intervalo, el flujo eléctrico ΦDe
través del la
rectángulo fgh se supuesto obedece la ley de
E aesta
forma,
onda que ehemos
S
S dl
a
S
dl
incrementa dlen dldΦ
que lentre
a tasa el flujo eléctrico B,dce ycambio E es ladque
describe
la ecuación (32.8).
E S= E ( a cdt ) > 0 , por lo ción
dA
Nuestra onda electromagnética debe obedecer tanto la ley
e
es: h
c dt
dΦ E Faraday, de manera que las ecuaciones (32.4) y (32.8) deben
(13.6) = Eac Dx
dt ocurre si P0m0c 5 1>c, o:
z
• Substitución en la ley de Ampère da que: Ba = ε 0 µ0 Eac (13.7) B = ε 0 µ0 cE 1
c5
(rapidez de las ondas electromagnéticas
"P m
•
0
0
Al sustituir los valores numéricos de estas cantidades, encontra
c5
12 1
#
" 1 8.85 3 10212 C2 / N m2 2 1 4p 3 1027
5 3.00 3 108 m / s
Para satisfacer ambos ley, de Faraday y Ampère, necesitamos que al mismo tiempo E
E
1
= c y =
B
B ε 0 µ0 c
1
Esto implica que c 2 =
es decir: ε 0 µ0
1
(13.8) c=
ε 0 µ0
A substituir los valores numéricos de estas cantidades encontramos que m
32.2 Ondas1electromagnéticas planas≈y rapidez
c=
3.00 ×de
10la8 luz 1099
2
s
⎛
C ⎞⎛
−12
−7 N ⎞
8.85
×
10
4
π
×
10
⎜
⎟
⎜⎝ de Maxwell,Nsiempre
usimos es congruente con todas las ecuaciones
⋅ m 2 ⎟⎠ ⎝
A2 ⎠
te de onda se desplace con la rapidez indicada, la cual reconocemos
Observe que el valor exacto de c está definimo ¡la rapidez de la luz!
El modelo onda de
plana es que
congruente ,458 m>s; el valor moderno
de P0 d
see define
manera
concuerde con todas las ecuaciones de Maxwell, siempre y cuando su frente se utiliza en la ecuación
(32.9) (véase
la sección
21.3). de onda se desplace con la rapidez de la luz clave de las ondas electromagnéticas s clave de las Propiedades ondas electromagnéticas
dio elegimos una onda simple con la finalidad de evitar complicacio- 32.9 La regla de la mano derecha para las
El milustra
odelo varias
sencillo de onda pimportantes
lana ilustra aracterísticas importantes ondascelectromagnéticas
relaciona las de pero este caso especial
características
de varias S
S
direcciones
de
y
B
con
la dirección de
E
todas l
as o
ndas e
lectromagnéticas: lectromagnéticas:
propagación.
S
S
transversal; tanto E como B son perpendiculares a la dirección de
de la mano derecha para una onda
• La onda es transversal:  también son per- Regla
ón de la onda. Los campos eléctrico y magnético
electromagnética
E como son del producto
es entre
sí. La direcciónodeTanto propagación
es la B
dirección
S
1 Apunte el pulgar de su mano derecha en
perpendiculares a la dirección de 3 B (figura 32.9).
S
S
la dirección de propagación de la onda.
propagación e l5
a ocB.
nda :E
zón definida entre las magnitudes
de E y Bd
aja en el vacío con rapidez
definida
e invariable.
o Los campos eléctrico y 2 Imagine que hace girar 90° el campo
S
vectorial E en el sentido en que se doblan
ia de las ondas mecánicas, magnético que necesitantde
partículas
oscilantes de
ambién son sus dedos.
—como el agua o aire— para
transmitirse, las ondas
electromagnétiperpendiculares entre sí S
Ésa
es la dirección del campo B.
uieren un medio. Lo queo“ondula”
en una onda
La dirección de pelectromagnética
ropagación es lson
a y
s eléctricos y magnéticos. dirección del producto vectorial  
S
E
E × B más realista. Suponga que teneeralizar este análisis a una situación
908
paralelos perpendiculares al eje x, Stodos
s de onda en forma de planos
1
S
O
plazan hacia la derecha
rapidez
Imagine
que los ecampos
EyB
2
• con
Hay una rc.azón definida ntre las S
c
B
dos los puntos dentro demagnitudes una sola regiónE comprendida
y B: E = cB entre dos plax
z
campos difieren de una región
ondaen enesu
es plana,
o La aootra.
nda La
viaja l vconjunto
acío con ampos varían por etapas a lo
largo del
eje x. Seepodría
construir una
rapidez definida invariable Dirección de propagación
S
S
sobreponiendo varias de las ondas de etapa sencilla que acabamos
5 dirección de E 3 B.
S
S
radas en la figura 32.5). Esto es posible porque los campos E y B
cipio de superposición en las ondas de la misma forma
que en las siS
•se A diferencia dcampo
e las ototal
ndas m
ecánicas, as: cuando dos ondas
superponen,
el
en
cada puntoque necesitan de partículas oscilantes de E
S
n ondas
medio para transmitirse, las similar
ondas electromagnéticas no requieren un rial de los campos E de u
las
individuales,
y de manera
medio total.
liar lo anterior para demostrar
onda conen campos
varían
o Lo qque
ue una
“ondula” una oque
nda electromagnética son los campos eléctricos n es congruente con las leyes
deagnéticos Ampere y Faraday,
siempre y cuando
y m
mismo de onda se desplacen
con la rapidez c dada por la ecuación (32.9).
ue las etapas individuales
se hacen infinitesimalmente
pequeñas, se
S
S
n la que, en cualquier instante, los campos E y B varían continuadel eje x. Todo el patrón del campo se traslada
hacia
la derecha con
S
S
ección 32.3 se considerarán ondas en las queS E ySB son funciones sit. Como en cada punto
las magnitudes de E y B están relacionadas 13 5 cB, las variaciones periódicas de los dos campos en cualquier onda
deben estar en fase.
ctromagnéticas tienen la propiedad de polarización. En el análisis
g
de propag
se avanza
1100
C APÍT U LO 32 Ondas electromagnéticas
a
S
z
h
remos los
E
x
e S
x1
Dx. 1
En nuestro análisis deBlas ondas mecánicas en la
sección
32.10 Ley de Faraday aplicada a un
rectángulo
con
altura
a
y
anchura
Dx
una
función
y(x,
t),
la
cual
representa
el
desplazamiento
de
cualq
Siguien
Deducción matemática de la ecuación de onda electromagnética paralelo
al
plano
xy.
mecánica que viaja a lo largo del eje x, debe satisfacer
la ecuaci
tángulo
qu
2
2
y
est 2similar
a)
b) Vista lateral de la situación
x, a)
t2
' y 1en
1 ' y 1 x,
5
2
d
x
'x2
v2
'textremo
y
Dx
Ey en esto
Esta ecuación se llama ecuación de onda, y v es la rapidez
de p
la
ley
de
S
Para deducir la ecuación correspondiente para una onda elF
S
E
Dx f
S
E
antes, tene
deramos una vez gmás una onda
plana. Es decir, suponemos
que
B
S
O
f
B
Bz son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicul
Ey a
Ey
de propagación. Pero
ahora
dejamos que Ey y Bz varíen contin
S
O
A
se
avanza
sobre
el
eje
x;
en
esas
condiciones, ambas son funcio
a
e
h
S
z
h
remos los valores de Ey y Bz en dos planos perpendiculares al e
E
x
x
e S
x 1 Dx.O
Para de
B
Siguiendo el mismo procedimiento anterior,
aplicamos
la le
Dx es sufic
tángulo que yace paralelo al plano xy, como se ilustra en la fig
gulo. En e
es similar
a laE32.7.
extremo
izquierdo
b)
Vista
lateral
de
la
situación
en
a)
Consideramos una onda plana donde a cada instante son uniformes en la gh del rectángulo est
y y Bz El
extremo derecho ef se localiza en la posición (x 1 Dx). En el in
totalidad y de cualquier plano perpendicular al eje x, la dirección del la propagación Ey en estos dos lados son Ey(x, t) y Ey(x 1 Dx, t), respectivame
de la energía la ley de Faraday a este rectángulo, encontramos que en vez de
Dx f
g
antes,
Dejamos que Ey y Bz viarién continuamente a mtenemos
edida que se avanza sobre el eje x – Se utiliza
S ) S E
x,t
en esta condición a
mbas s
on f
unciones d
e x
y
t
: y
B
x,t
(
)
(
y
z
Ey a
Ey
x 1sustitui
Dx, t 2 a
C E d l 5 2Ey 1 x, t 2 a 1 Ey 1Al
S
A
se obtiene
e
h
5 a 3 Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4
Consideremos los valores de Ey y Bz en d32.11
os planos en de
dos planos paplicada
erpendiculares Ley
Ampère
a
un
x
al eje Ox y otro en ( x + Δx ) Para determinar
el flujo
magnético
rectángulo
con altura
a y anchura
DxFB a través de este rect
Dx es suficientemente
paralelo
al plano xz. pequeño como para que Bz sea casi unifo
gulo.que En yese
FB 5al Bpzlano (x, t)A
Bz (x, t)a Dx, y
Aplicamos la ley de Faraday a un rectángulo ace caso,
paralelo xy 5(a) y
• El extremo izquierdo gh del rectángulo a)esta en la posición x y el extremo 1
'Bz x, t 2
dFB
derecho ef se localiza en la posición ( x + Δx ) a Dx
5
x
dt
't
• En el instante t los valores de Ey en estos dos lados son Ey ( x,t ) y Por último
Se utiliza notación de derivadasDx
parciales porque Bz es función
Ey ( x + Δx,t ) respectivamente manera
Al sustituir esta expresión
y la ecuación (32.11) en de
la ley
de Fa
S
Dx
S
0, s
S
se obtiene
E
S
E
Cuando ley de Faaraday (sentido anti-­‐horario) Ba este Srectángulo 32.11
Leyaplicamos de Ampèrela aplicada
un
B
'Bz
rectángulo
con altura
encontramos que: a y anchura Dx
3
1
2
1
2
4
E
x
1
Dx,
t
2
E
x,
t
5
2
aD
a
y
y
paralelo al planoxz. 
't
⎡
⎤
E
⋅
d
l
=
−E
x,t
a
+
E
x
+
Δx,t
a
=
a
E
x
+
Δx,t
−
E
x,t
(13.9) (
)
(
)
(
)
(
)
O
y
y
y
∫
⎣ y
⎦ t 2 2 E 1 x, t 2
Ey 1 x 1 Dx,
'Bz
y
y
a)
5
2
Esta ecuac
't
Dx que z de este rectángulo Para determinar xel flujo magnético Φ B a través g se supone x
ría
con
el
f
Porqúltimo,
imaginemos
que eeln rectángulo
Δx es suficientemente pequeño como para ue Bz sea casi uniforme todo el se encoge hasta qu
Dx
de manera queh Dx tiende a cero.
Cuando se tomamodifica
el límite dc
rectángulo a
S
volveremo
Dx) aΔx
S 0, se obtiene e
• En este Scaso E Φ B =SBz ( x,t ) A = Bz ( x,t
g
f
#
B
E
A cont
'Ey 1 x, t 2
'Bz 1 x, t 2
ra 32.11. L
52
b) Vista superior de la situación
O
O
'xen a)
't
dΦ B ∂Bz ( x,t )
(13.10) = Esta ecuación
aΔx demuestra que si hay una componente B del cam
z
dt
∂t
z
O
g
x
x
ría
con
el
tiempo,
también
debe
haber
una
componente
Ey del c
f
modifica con x, y a la inversa. Por el momento dejaremos a un la
h
a
Suponiend
volveremos a ella dentro
de poco.
e
f
g Dx
del flujo qu
e
A continuación se aplica la Sley de
Ampère al rectángulo
S
B
B
ra 32.11. La integral
l se convierte en
z de línea r B
z da
tanto, la ta
S
b) Vista superior de la situación en a)
14 A
S
Se
h B
O
d
l 5 2Bz 1 x 1 Dx, t 2 a 1 Bz 1 x, t 2 a
C
x
z
Por lo que: S
B
#
#
gulo.son
En funci
ese c
se avanza sobre el eje x; en esas condiciones, ambas
remos
los
valores
de
E
y
B
en
dos
planos
perpendiculares
al e
y
z
E
x
e S
x 1 Dx.
B
Siguiendo el mismo procedimiento anterior, aplicamos la le
tángulo que yace paralelo al plano xy, como se Se
ilustra
en lanot
fi
utiliza
es similar a la 32.7. El extremo izquierdo gh del rectángulo es
b) Vista lateral de la situación en a)
Al sustituir es
extremo derecho ef se localiza en la posición (x 1 Dx). En el in
y
Al substituir esta expresión en la ley de Faraday obtenemos que: se obtiene
dos Ampère
lados sonaplicada
Ey(x, t) ya E
Ey en estos
32.11
Ley
uny(x 1 Dx, t), respectivame
∂Bz (de
x,t )
la )ley
a este
encontramos que en vez de
⎤⎦ = de
a ⎡⎣ Ey ( x + Δx,t ) − Ey ( x,t
− Faraday
aΔx
⇒
rectángulo
con
altura
a rectángulo,
y anchura Dx
∂t
g Dx f
antes, tenemos
paralelo
al plano xz.
⎡⎣ Ey ( x + Δx,t ) − Ey ( x,t ) ⎤⎦
S
S
∂B
x,t
(
)
z
Ey a
Ey
E d l 5 2Ey 1 x, t 2 a 1 Ey 1 x 1 Dx, t 2
=−
C
S ⇒
y
a)
Δx
∂t
A
e
h
5 a 3 Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4
x
x
⎡ Ey ( x + Δx,t ) − Ey ( x,tPara
O
)⎤⎦ determinar
Pordeúltimo,
∂E ( x,t ) el flujo magnético
FB a través
este recim
Dx
Tomando el limite: lim ⎣
= y
esto nos da que: Δx→0
manera
qu
Dx es suficientemente
pequeño como para que Bde
casi unif
Δx
∂x
z sea
S
gulo. En ese caso,SFB 5
y S 0, se ob
E Bz(x,St)A 5 Bz(x, t)a Dx,Dx
E
B
S
∂Ey ( x,t )
∂B ( x,t )
B
'Bz 1 x, t 2
dFB
=− z
(13.11) a Dx
5
∂x
∂t
dt
't
O
O
utiliza
de derivadas
parciales porque Bz es funció
• Esta ecuación demuestra que si Se
hay una cnotación
omponente Bz del campo Esta ecuación
z
Al
sustituir
esta
expresión
y
la
ecuación
(32.11) en la ley de Fa
g
magnético que varía con el tiempo, también debe haber una x
ría con el tiem
f
se obtiene
componente Ey del campo eléctrico que se modifica con x, y a
la inversa modifica con
h
32.11
Ley de Ampère aplicada a un
a
'Bz a
rectángulo
con altura a y anchura Dx
24 52
aD
ae3 Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t volveremos
paralelo al plano xz.
't
A
continu
Vamos ahora aplicar la ley de Ampère al rectángulo mostrado abajo en (a) t 2 32.11.'BLa
Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, ra
z i
y
a)
b) Vista superior de la situación en a)
52
't
Dx
a
z
h
S
#
x
O imaginemos que el rectángulo se encoge hasta qu
Por último,
x
de manera que Dx tiende a cero. Cuando se toma el límite d
Suponiendo u
Dx S 0, se obtieneg Dx f
Dx
S
E
S
B
S
E
S
B
Bz
O
h
z
g
h
e
f
a
x
Bz 'Eya1 x, t 2
S
A
'x
e
del flujo eléct
5 2 tanto, la tasa
'Bz 1 x, t 2
't
Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del cam
z
ría con el tiempo,
también debe haber una componente Ey del
modifica con x, y a la inversa. Por el momento dejaremos a un l
volveremos a ella dentro de poco.
A continuación se aplica la Sley de
Ampère al rectángulo qu
S
ra 32.11. La integral de línea r B d l se convierte en
La de línea se convierte en: b)integral Vista superior
 la situación en a)
 de
(13.12) 
∫ B ⋅ dl = −Bz ( x + Δx,t ) a + Bz ( x,t ) a = −a ⎡⎣ Bz ( x + Δx,tC) B−S Bdz (Slx,t5)⎤⎦2B
O
z 1 x 1 Dx, t 2 a 1 Bz 1 x, t 2
x
Y para el flujo eléctrico, suponiendo el rectángulo angosto Suponiendo
una vez más que el rectángulo es angosto, tomam
g Dx f
) eléctrico FE a través de él la expresión FE 5 Ey(x, t)A
dΦ E ∂Edel
y ( x,t
flujo
=
aΔx (13.13) Bz
Bz a
dt
∂t
tanto,
la
tasa de cambio de FE, que necesitamos para la ley de
S
A
'Ey 1 x, t 2
e
h
dFE
5
a Dx
z
dt
't
#
#
15 Substituimos esta expresión en la ley de Ampère ∂Ey ( x,t )
aΔx ⇒
∂t
∂Ey ( x,t )
⎡⎣ Bz ( x + Δx,t ) − Bz ( x,t ) ⎤⎦
⇒−
= ε 0 µ0
Δx
∂t
−a ⎡⎣ Bz ( x + Δx,t ) − Bz ( x,t ) ⎤⎦ = ε 0 µ0
⎡ B ( x + Δx,t ) − Bz ( x,t ) ⎤⎦ ∂Bz ( x,t )
=
De nuevo tomando el limite: lim ⎣ z
Δx→0
Δx
∂x
Tenemos por la ley de Ampère: ∂E ( x,t )
∂B ( x,t )
− z
= ε 0 µ0 y
(13.14) ∂x
∂t
Si tomamos la derivadas parciales con respecto a x en ambos lado de la ecuación (13.11) y la derivadas parciales con respecto a t en ambos lado de la ecuación (13.14) encontramos que: ∂ 2 Ey ( x,t ) ∂ 2 Bz ( x,t )
−
=
∂x 2
∂x ∂t
2
∂ 2 Ey ( x,t )
∂ Bz ( x,t )
−
= ε 0 µ0
∂x ∂t
∂t 2
Combinando para eliminar Bz ∂ 2 Ey ( x,t )
∂ 2 Ey ( x,t )
=
ε
µ
(13.15) 0 0
∂x 2
∂t 2
Esta ecuación es la ecuación típica de una onda mecánica; y ( x,t ) = desplazamiento de cualquier punto de una onda mecánica que viaja a lo largo del eje x a la velocidad v: ∂ 2 y ( x,t ) 1 ∂ 2 y ( x,t )
= 2
(13.16) ∂x 2
v
∂t 2
El campo eléctrico Ey se comporta como una onda que se desplaza a la velocidad 1
1
= ε 0 µ0 ⇒ v =
2
v
ε 0 µ0
De manera similar, tomando la derivada parcial de la ecuación (13.11) con respecto a t y la derivada parcial de la ecuación (13.14) con respecto a x y combinando, encontramos para Bz: 2
∂ 2 Ey ( x,t ) ∂ 2 Bz ( x,t )
1 ∂ 2 Bz ( x,t ) ∂ Ey ( x,t )
−
=
y −
=
∂x ∂t
∂t 2
ε 0 µ0
∂x 2
∂x ∂t
(13.17) ∂ 2 Bz ( x,t )
∂ 2 Bz ( x,t )
=
ε
µ
0 0
∂x 2
∂t 2
16 Ondas electromagnéticas sinusoidales 1102
C APÍT U LO 32 Ondas electromagnéticas


E y BLas
En una onda electromagnética sinusoidal, 32.12
en ondas
cualquier punto del espacio una región relativamente
que pasan
a través
son funciones sinusoidales del tiempo, y en c
ualquier i
nstante l
a v
ariación espacial de una pequeña área a una distancia
de la fuente, las ondas pla
suficientemente
grande
de
la
fuente
de los campos también es sinusoidal Del mismo modo, la sup
pueden considerarse como ondas planas.
virtud de nuestro pequeñ
restringiremos nuestro an
Las ondas electromagnéticas Las ondas que pasan a través de una superficie
grande se propagan en diferentes direcciones …
La frecuencia f, la lon
producidas por una carga puntual onda
periódica guardan e
oscilante son un ejemplo de ondas cia,
c
5 lf. Si la frecuenc
sinusoidales que no son ondas planas la longitud de onda es
Pero si restringimos nuestras c
l5
observaciones a una región f
Fuente de las ondas
relativamente pequeña del espacio a electromagnéticas
¡que es del orden del rad
una distancia suficientemente grande una distancia de muchos
de la fuente, las ondas planas son una de onda. Pero si la frecu
buena aproximación de estas ondas radio de FM, la longitud
… pero las ondas que pasan a través de un área
pequeña se propagan casi todas en la misma
dirección, por lo que podemos tratarlas como
ondas planas.
y una distancia moderada
Campos de una o
La figura 32.13 muestra u
32.13 Representación de los campos
La frecuencia f, la longitud de onda λ y la rapidez de propagación c de cualquier la dirección 1x. Se mu
eléctricos y magnéticos como funciones
puntos sobre
el eje x pos
S
onda periódica guardan entre sí la relación dec x=correspondientes
λf a una onda
en fase: E es máximo don
electromagnética sinusoidal plana
cero. Advierta
también q
S
polarizada.
Se dilustra
Si la frecuencia f es la frecuencia de la línea linealmente
de energía eléctrica e 60 una
Hz, la y donde E está en la
direS
S
longitud de onda de la onda en el tiempo
m
producto vectorial E 3 B
8
t 5 0. Los campos se indican sólo para
c 3 × 10 s
1x). Esto se mencionó e
6 a lo largo del eje x.
puntos
≈ 5 × 10 m = 5000km longitud de onda es: λ = =
electromagnéticas.
f
60Hz
La onda viaja en la dirección
x positiva,
la misma
dirección
¡que es del orden del radio de la Tierra! Para una oy nda con eensta frecuencia, incluso S
S
C U I DA D O En una ond
delpproducto
vectorial
E 3d
B.e la una distancia de muchos kilómetros incluye sólo una equeña fracción la
impresión errónea de que
S
c
E
longitud de onda del eje x. En realidad, en un
S
los puntos del espacio. Imag
B
O
S
un punto particular, en un m
Pero si la frecuencia es 108 Hz (100 MHz), común para las emisiones de radio de E
S
B
puntos del plano. Los valor
8 m
z
3
×
10
c
s ≈ 3m FM, la longitud de onda es: λ = =
Podemos describir la
8
x
f
10 Hz
como se hizo en la secció
S
E
S
(15.7) es una forma de l
B
S
y una distancia moderada incluye muchas ondas completas dirección 1x a lo largo d
E:
sólo componente y
S
B: sólo componente z
17 donde y(x, t) es el desplaz
de un punto con coorde
máximo, o amplitud, de
por la frecuencia f; y k es
onda.
DejemosS que Ey(x, t)
nente y de E y la compo
Emáx y Bmáx representen l
forma, las funciones de o
32.13 Representación de los campos
eléctricos y magnéticos como funciones
de x correspondientes a una onda
electromagnética sinusoidal plana
linealmente polarizada. Se ilustra una
longitud de onda de la onda en el tiempo
t 5 0. Los campos se indican sólo para
puntos a lo largo del eje x.
Campos de una onda sinusoidal La figura muestra una onda La onda viaja en la dirección
y
x positiva, en la misma Sdirección
electromagnética sinusoidal polarizada S
del producto vectorial E 3 B.
que viaja en la dirección +x S
c
E


S
Se muestran los vectores E y B
B
O
S
correspondientes a unos cuantos E
S
B
puntos sobre el eje x positivo z
Los campos eléctrico y magnético 
x

S
oscilan en fase: E es máximo donde B E
S
B
E es igual a cero donde también l
o e
s, y

S
E:
sólo componente y
B también vale cero S
B:
sólo componente z


• E está en la dirección +y, B tiene  la dirección +z • Donde E está en la dirección −y, B está en la −z  dirección 
• En todos los puntos, el producto vectorial E × B está en la dirección en que se propaga la onda Para describir las ondas electromagnéticas sinusoidal usamos funciones de onda sinusoidal: para una onda transversal que viaja en la dirección +x (13.18) Ey ( x,t ) = Emax cos ( kx − ω t )
Bz ( x,t ) = Bmax cos ( kx − ω t )
•
•
•
•
Ey(x, t) y Bz(x, t) representen los valores instantáneos de las componentes de los campos Emax y Bmax representen los valores máximos, o amplitudes, de estos campos ω es su frecuencia angular, igual al producto de 2π por la frecuencia f k es el número de onda, igual a 2π λ donde λ es la longitud de onda En forma vectorial: (13.19) 
E ( x,t ) = ĵ Emax cos ( kx − ω t )

B ( x,t ) = k̂ Bmax cos ( kx − ω t )
Las amplitudes son relacionadas por la relación (leyes de Maxwell): (13.20) Emax = cBmax 18 la dirección 1x.
puntos sobre
el ej
S
en fase: E es máx
cero. Advierta
tam
S
y donde E está en
producto vectoria
1x). Esto se men
electromagnéticas
C U I DA D O
En u
la impresión erróne
del eje x. En realida
los puntos del espac
un punto particular
puntos del plano. L
Podemos desc
como se hizo en l
(15.7) es una form
dirección 1x a lo
donde y(x, t) es el
de un punto con
máximo, o amplit
por la frecuencia
onda.
DejemosS que E
nente y de E y la
Emáx y Bmáx repres
forma, las funcion
Ey 1 x, t 2 5
(onda electrom
gnéticos como funciones de x en el tiempo t 5 0, es decir,
0 2 . Conforme transcurre el tiempo, la onda viaja hacia la des ecuaciones
(32.16) y (32.17) indican que en cualquier punto
S
S
dales de E y B se encuentran en fase. De la ecuación (32.4) se
tudes deben estar relacionadas mediante la expresión
sinusoidal plana linealmente polarizada,
que viaja en la dirección x negativa en el
instante t 5 0. Sólo se ilustran los campos
correspondientes a puntos a lo largo del
eje x. (Compare con la figura 32.13.)
(onda electromagnética
en el vacío)
(32.18)
La figura muestra los campos eléctrico plitud y fase también son requisitos para que E(x, t) y B(x, t)
y magnético de una onda que viaja en es (32.12) y (32.14), que provienen de la ley de Faraday y la
la dirección x negativa vamente. ¿Puede usted comprobar esto? (Véase el problema
z


E está en la dirección +y, B
Donde  viaja
tra los campos eléctricoS y magnético de una onda que
en
S
E
tiene l
a d
irección −
z; y
d
onde está e
n En los puntos donde SE está en la dirección
y positiva,S B se

B está en la dE
irección a dirección +z n z negativa; y donde
está en −lay, dirección
y lnegativa,
B está
a. Las funciones de onda correspondientes a esta onda son
y
máx
Emáx cos 1 kx 1 vt 2
S
E
La onda viaja en la dirección
S
B x negativa, que es la misma
S
S
del producto vectorial E 3 B.
O
c
S
E
S
x
S
B
B
S
E
E:
sólo componente y
S
B: sólo componente z
S
Bz 1 x, t 2 5 2Bmáx cos 1 kx 1 vt 2
(32.19)
Las que
funciones de oen
nda orrespondientes: tica sinusoidal plana,
se propaga
la cdirección
2x)

E ( x,t ) = ĵEmax cos ( kx − ω t )
la Sonda que viaja en
la dirección 1x, las oscilaciones
(13.21)  sinusoiy B en cualquier punto se encuentran en fase, yBel
( x,tproducto
) = − k̂Bmax cos(kx − ω t)
en la dirección de propagación.
les que se ilustran en S
las figuras 32.13 y 32.14 están lineal- dirección y; el campo
E
siempre es paralelo al eje y. El ejem onda linealmente polarizada
la dirección
z. y magnético oscilan en fase y en todos los puntos, el • Los en
campos eléctrico  
producto vectorial E × B está en la dirección en que se propaga la onda Las oOndas
ndas sinusoidales que se ilustran están linealmente polarizadas en la ver problemas 32.1
electromagnéticas
dirección y 
• lasDonde campo Ecas
siempre es paralelo eje y sinusoidales.
No dudeal en
regresar
para repasar el material exos relevantes: Muchas de
mismasel ideas
puesto en ellos, incluyendo las estrategias sugeridas para resolver
mecánicas (que estudiamos en los capítulos
n a las ondas electromagnéticas.
La caracteproblemas.
onda queda descrita por dos cantidades, el
S
mpo magnético B, en vez de una sola cantinto de una cuerda.
e acuerdo con los siguientes pasos:
ue señale la dirección de propagación de la
S
S
de E y B.
s buscadas.
mo sigue:
mpliquen ondas electromagnéticas, el mejor
se en las relaciones básicas, como la relao de magnitud como de dirección), el modo
rapidez de la onda, la naturaleza transversal
Hay que recordar estas relaciones mientras
es matemáticos.
néticas sinusoidales, es necesario utilizar el
n los capítulos 15 y 16 para ondas mecáni-
3. Recuerde las relaciones básicas para las ondas periódicas: v 5 lf y
v 5 vk. Para las ondas electromagnéticas en el vacío, v 5 c. Tenga
cuidado en diferenciar entre la frecuencia ordinaria f, que por lo general se expresa en hertz, y la frecuencia angular v 5 2pf, que se
expresa en rad>s. También recuerde que el número de onda es k 5
2p>l.
EVALUAR la respuesta: Verifique que el resultado sea razonable. En
el caso de las ondas electromagnéticas en el vacío, la magnitud del
campo magnético expresada en teslas es mucho menor (en un factor de
3.00 3 108) que la del campo eléctrico expresada en volts por metro.
Si la respuesta sugiere otra cosa, es probable que se haya cometido un
error al usar la relación E 5 cB. (Más adelante en esta sección, veremos que la relación entre E y B es diferente para las ondas electromagnéticas en un medio material.)
19 PLANTEAR: Las ecuaciones (32.19) describen una onda que viaja en
S
la dirección x negativa con E a lo largo del eje y, es decir, una onda linealmente polarizada a lo largo del eje y. En contraste, la onda de este
ejemplo está linealmente polarizada a lo largo del eje z. En los puntos
S
S
en los que E está en la dirección z positiva, B debe estar en la dirección
S
S
y positiva para que el producto vectorial E 3 B esté en la dirección x
negativa (que es la dirección de propagación). La figura 32.15 ilustra
Ejemplo 12.1: Campos de satisface
un rayo una onda que
estosláser requerimientos.
frecuencia angular son
k5
2p rad
2p
5
5 5.9
l
10.6 3 10 26 m
v 5 ck 5 1 3.00 3 10 8 m / s 2 1 5.9
5 1.78 3 10 14 rad/ s
Al sustituir estos valores en las funciones de
S
E 1 x, t 2 5 k^ 1 1.5 3 10 6 V/ m 2 cos 3 1 5
EJECUTAR: Un par de posibles funciones de onda que describen la onUn láser de dióxido de arbono na oson
nda electromagnética sinusoidal que da que
se crepresenta
enelamite figurau32.15
1 1 1.78 3 10 14 rad/ s 2 t 4
viaja en el vacío en la dirección Sx negativa S
B 1 x, t 2 5 e^ 1 5.0 3 1023 T 2 cos 3 1 5.93
E 1 x, t 2 5 k^ Emáx cos 1 kx 1 vt 2
S

14
1
2 4
2 5 e^Bmáx cos 1 kx
2
La longitud de onda 10.6µm (en Be1 x,l itnfrarrojo) y e1l vt
campo E  z con magnitud 1 1.78 3 10 rad/ s t
Con estas ecuaciones es posible encontrar l
máxima de 1.5 MV/m en cualquier posición y tiempo en particula
32.15 Diagrama para este problema.
específicos de x y t.
sólo componente y
sólo componente z
EVALUAR: Como se esperaba, la magnitu
menor que la magnitud de Emáx en volts por
S
S
S
direcciones de E y B, observe que E 3
k^ 3 e^ 5 2 d^. Esto es lo correcto para una o
dirección x negativa.
S
S
Nuestras expresiones para E 1 x, t 2 y B 1
luciones posibles. Siempre es posible agreg
mentos de la función coseno, de manera que
vt 1 f. Para determinar el valor de f se
como funciones de x en un momento dado
una coordenada dada x. Sin embargo, el enu
cluye esta información.
Un par de posibles funciones para esta onda es: 
E ( x,t ) = k̂ Emax cos ( kx + ωOndas
t)
electromagnéticas en la materia

B ( x,t ) = ĵ Bmax cos ( kx + ωHasta
t ) este momento, nuestro análisis de las ondas electromag
a ondas en el vacío. Pero las ondas electromagnéticas tambi
Segunda la ley de Faraday, Emax = cBmax piense en la luz que viaja a través del aire, el agua o el vidri
Bmax
pliaremos nuestro estudio a las ondas electromagnéticas en
Emax 1.5 × 10 6 V m
=
=
≈
5.0
× 10 −3 T es decir, en dieléctricos.
conductores,
8
c
3.0 × 10 m s
En un dieléctrico, la rapidez de la onda no es la misma que
2 con c. La ley de Faraday no se altera, pe
remos con
en vez de
= 1T Donde se uso las relaciones para las unidades: 1V = 1Wb/s
y v1Wb/m
obtenida de ella, se sustituye la rapidez c por v. En la ley de
desplazamiento está dada no por P0 dFE / dt, donde FE es el fl
Como se tiene que λ = 10.6 × 10 −6 m superficie, sino por P dFE / dt 5 KP0 dFE / dt, donde K es la con
2π
2π rad
permitividad
5 rad
del dieléctrico. (Estas magnitudes se presenta
k=
=
≈ 5.93 ×la10
−6
Asimismo,
λ 10.6 × 10 m
m la constante m0 en la ley de Ampère debe sustituirs
Km es la permeabilidad relativa del dieléctrico y m es su perm
m⎞ ⎛
rad ⎞
rad
⎛
ción
28.8).×Por
ω = ck = ⎜ 3.00 × 10 8 ⎟ ⎜ 5.93 × 10 5
1014ello, las ecuaciones (32.4) y (32.8) se sustituy
⎟⎠ ≈ 1.78
⎝
⎠
⎝
s
m
s
E 5 vB
y
B 5 PmvE
Al substituir en la ecuación de la onda: 
V⎞
rad ⎞
rad ⎞ ⎤
⎡⎛
⎛
⎛
E ( x,t ) = k̂ ⎜ 1.5 × 10 6 ⎟ cos ⎢⎜ 5.93 × 10 5
x + ⎜ 1.78 × 1014
⎟
⎟t
⎝
⎝
m⎠
m⎠
s ⎠ ⎥⎦
⎣⎝

⎡⎛
⎛
−3
5 rad ⎞
14 rad ⎞ ⎤
B ( x,t ) = ĵ ( 5 × 10 T) cos ⎢⎜ 5.93 × 10
⎟ x + ⎜⎝ 1.78 × 10
⎟t
m⎠
s ⎠ ⎥⎦
⎣⎝
NOTAS: • Como se esperaba, la magnitud Bmax es mucho menor que la magnitud Emax • Una solución aún más general implica incluir una fase: kx + ω t + φ 20 Ondas electromagnéticas en la materia Las ondas electromagnéticas no son restringidas al vacío, también viajan en la materia: • Ej. la luz viaja a través del aire, el agua o el vidrio Para ondas electromagnéticas que se propagan en materiales que no son conductores, es decir, en dieléctricos, la rapidez de la onda no es la misma que en el vacío, v ≠ c El otro cambio es que se debe substituir ε 0 → ε y µ0 → µ Por lo que tenemos nuevas relaciones en las ecuaciones de Maxwell: E = vB y B = εµvB (13.22) Esto nos da una nueva relación para la velocidad de propagación de la onda: 1
1
1
c
(13.23) v=
=
=
εµ
KK m ε 0 µ0
KK m
Para la mayoría de los dieléctricos (excepto materiales ferromagnéticos aislantes), la permeabilidad relativa K m ≅ 1 de modo que c
v=
K
Como K siempre es mayor que la unidad, la rapidez v de las ondas electromagnéticas en un dieléctrico siempre es menor que la rapidez c en el vacío por un factor de 1 K En óptica, la razón entre la rapidez c en el vacío y la rapidez v en un material = el índice de refracción n del material c
(13.24) = n = KK m ≅ K v
Por lo general, en esta ecuación no es posible utilizar los valores de K que se determino antes, porque esos valores se miden con base en campos eléctricos constantes • Cuando los campos oscilan con rapidez, normalmente no hay tiempo para que ocurra la reorientación de los dipolos eléctricos que tiene lugar con los campos estáticos • Los valores de K con campos que varían con rapidez, en general, son más pequeños que para campos estables • Por ejemplo, el valor de K para el agua es de 80.4 con campos estables, pero sólo de 1.8 en el intervalo de frecuencias de la luz visible. Así, la “constante” dieléctrica K en realidad es función de la frecuencia = función dieléctrica 21 Ejemplo 2: Ondas electromagnéticas en diferentes materiales a) ¿Como cambia la luz de una lámpara de sodio (una lámpara del alumbrado público) cuando pasa en un diamante? El vapor de sodio caliente de la lámpara emite luz amarilla con frecuencia de f = 5.09 × 1014 Hz.; a esa frecuencia, el diamante tiene las propiedades K = 5.84 y Km = 1.00 c 3.00 × 10 8 m s
≈ 5.89 × 10 −7 m = 589nm La longitud de onda en el vació: λvació = =
14
f 5.09 × 10 Hz
Esto es una luz roja La rapidez de la onda en el diamante cambia c
3.00 × 10 8 m s
m
v=
=
≈ 1.24 × 10 8 s
KK m
5.84 1.00
Esto es alrededor de dos quintos de la rapidez en el vacío La longitud de onda es proporcional a la rapidez de onda, por lo que se reduce en el mismo factor: v 1.24 × 10 8 m s
λvació = =
≈ 2.44 × 10 −7 m = 244nm 14
f 5.09 × 10 Hz
Esto es mucho más azul, por lo que el diamante parece ser azul b) Una onda de radio con frecuencia de 90.0 MHz (en la banda de radio de FM) pasa del vacío hacia un núcleo de ferrita aislante (un material ferromagnético que se utiliza en los cables de computadora para eliminar la interferencia de radio) A esta frecuencia, la ferrita tiene propiedades K = 10.0 y Km = 1000 c 3.00 × 10 8 m s
≈ 3.33m La longitud de onda en el vació: λvació = =
f
90.0 × 10 6 Hz
La rapidez de la onda en el diamante cambia: c
3.00 × 10 8 m s
m
v=
=
≈ 3.00 × 10 6 s
KK m
10.0 1000
Soló 1% de la rapidez en el vacío v 3.00 × 10 6 m s
≈ 3.33 × 10 −2 m = 3.33cm La longitud de onda λ ferita = =
6
f
90.0 × 10 Hz
22 Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas 

En una región de espacio vacío donde están presentes los campos E y B la densidad total de energía u está dada por: 1
1 2
(13.25) u = ε0E2 +
B 2
2 µ0
Para las ondas electromagnéticas en el vacío, las magnitudes E y B están relacionadas por: E
(13.26) B = = ε 0 µ0 E c
Substituyendo B para E en la ecuación (13.25) : 2
1
1
(13.27) u = ε0E2 +
ε 0 µ0 E = ε 0 E 2 2
2 µ0
• Esto demuestra que en el vacío, la densidad de energía asociada con el 
E en la onda simple es igual a la densidad de energía de campo campo 
B 
• En general, la magnitud del campo eléctrico E es función de la posición y el tiempo, igual que para la onda sinusoidal; así, la densidad de energía u de una onda electromagnética, dada por la ecuación, también depende en general de la posición y el tiempo u = u ( x,t ) Flujo de energía electromagnética y el vector de Poynting El sentido físico real de las ondas electromagnéticas es que represente en la propagación de energía: 

• En la onda plana los campos E y B avanzan con el tiempo hacia regiones “del espacio” en las que originalmente no había campos, y llevan consigo la densidad de energía u conforme avanzan • Esta transferencia de energía = energía transferida por unidad de tiempo por unidad de área de sección transversal, o potencia por unidad de área, perpendicular a la dirección en que viaja la onda = flujo de energía (
23 )
32.4 Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas
1107
estacionario, perpendicular eje x, qdeue coincida con el frente elaciona el flujo deConsidere energía conun losplano campos,
considere un
plano 32.17al Frente
onda
en el momento
dt
después
de
haber
pasado
a
través
del
plano
icular al eje x, que
el frente
de onda en cierto
de coincida
onda en con
cierto momento el frente de onda se desplaza una distancia estacionario con área A.
po dt después de eso,
echa del plano. Si se
undárea
sobredeste
plano
En considera
un tiempo t el Afrente e onda se esta- En el momento dt, el volumen entre el plano
7), advertimos que desplaza la energíauna del despacio
a dlax =derecha
de esta
istancia c dt hacia la estacionario y el frente de onda contiene una
do a través del áreaderecha para llegar
ap
lalano nueva ubicación. El volumen cantidad de energía electromagnética
del stión es el producto del área de la base A por la longitud c dt, y la dU 5 uAc dt.
ión es el producto de
la densidad
energía
u poreste estepvolumen:
Considere un de
área A sobre lano y
estacionario; la energía del espacio a la 1 P0E2 2 d
1 Ac
2 área debió haber dU 5 u dV 5
derecha e edt
sta c dt
pasado a través del área para llegar a la avés del área A en el tiempo dt. El flujo de energía por unidad de
nueva ubicación área, que llamaremos S, es
S
E
S
Vector de
B
El v
olumen d
V e
s e
l p
roducto d
el á
rea Poynting
1 dU
2
(enAel pvacío)
S5
(32.26)
5 P0cE
de l
a b
ase or l
a l
ongitud c
d
t, y
l
a S
O
A dt
A
S
energía dU de esta región es el producto S
de la densidad de elas
nergía u por formas
este al- z
aciones (32.15) y (32.25),
obtenemos
siguientes
E
x
S
volumen: B
dU = udV = ε 0 E 2 ( Acdt ) Plano
P0
P0 2 EB
Frente de onda en el tiempo
estacionario
(en el vacío)
E2 5
E 5
(32.27)
dt posterior
m0
Å m0
"P0m0
El flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de área, S, es: cuación (32.27) a partir de la (32.26) se deja al lector (véase
el
1 dU
2
(13.28) S
=
unidades S son energía por unidad de tiempo por unidad de área, = ε 0 cE A dt
de área. La unidad del SI para S es 1 J / s # m2 o 1 W>m2.
una cantidad vectorial que describa tanto la magnitud como la
Usando la definición de la velocidad de la luz y la relación entre la magnitud del el flujo de energía:
campo eléctrico y magnético: ε0
ε0 2
ε0
B
EB
S
S
(13.29) S=
E2 =
E =
E
=
(vector de Poynting en el vacío) ε µ
(32.28)
E3B
µ
µ
µ
ε µ
(
)
0
0
0
0
0
0
0
J
W
na vector de Poynting,
y fue introducido
La unidad SI para S es por
S ]el=físico2británico
= 2 [
1914). Su dirección
es la misma que la dirección en
que se
s⋅m
mproS
S
S
2.18). Como E y B son perpendiculares, la magnitud de S es S
cuaciones (32.26) yDe (32.27),
es el flujo
de energía
por uniforma éste
vectorial el flujo de energía que se propaga es igual a: dad de tiempo a través de un área de sección transversal per-1  
(13.30) S =de E32.18
× B Estos paneles solares en el techo
ción de propagación.
El flujo total de energía por unidad
µ0 de un edificio están inclinados hacia el Sol,
S
 es la integral de S sobre
acia fuera de cualquier superficie cerrada
Donde el vector S = vector de Poynting es decir, de frente al vector Poynting de
las P
ondas
electromagnéticas
provenientes
• Introducido por el físico británico John oynting (1852-­‐1914) del Sol; de esta forma, los paneles pueden
S• SSu dirección es la misma que la dirección en que se propaga la energía absorber la máxima cantidad de energía
P 5 C S dA
 

EB de las ondas.
• Como E ⊥ B la magnitud ⎡⎣ S ⎤⎦ =
µ0
ndas sinusoidales que estudiamos en la sección 32.3, así como
más complejas, los campos eléctricos y magnéticos en un punto
el tiempo, por lo que el vector de Poynting en cualquier punn del tiempo. Puesto que las frecuencias de las ondas electroson muy altas, la variación en el tiempo del vector Poynting es
apropiado es examinar su valor medio. La magnitud del valor
to recibe el nombre de intensidad de la radiación en ese punto.
la intensidad es la misma que para S: 1 W>m2 (watt por metro
#
24 ntensidad
de
la
onda
sinusoidal
descrita
por
las
ecuaciones
(32.17).
S
S
E y B en la ecuación (32.28):
El flujo total de energía por unidad de tiempo (potencia, P) hacia fuera de cualquier superficie cerrada = integral de S sobre la superficie total:  
P=
S
(13.31) ∫ ⋅ dA En el caso de ondas sinusoidales, o otras ondas más complejas, los campos eléctricos y magnéticos en un punto cualquiera varían con el tiempo • Por lo que el vector de Poynting en cualquier punto también es función del tiempo Puesto que las frecuencias de las ondas electromagnéticas comunes son muy altas, lo más apropiado es tomar valor medio 
• La magnitud del valor medio de S en un punto = intensidad de la radiación I en ese punto • Con unidad SI: 1 W/m2 (watt por metro cuadrado) 

Primero sustituimos E y B en la ecuación (13.30):  1 

S=
E ( x,t ) × B ( x,t ) =
µ0
1
⎡
⎤
⎡
⎤
=
ĵE cos ( kx − ω t ) ⎦ × ⎣ k̂Bmax cos ( kx − ω t ) ⎦
µ0 ⎣ max

Como ĵ × k̂ = iˆ , y cos 2 ( kx − ω t ) nunca es negativo, S ( x,t ) siempre apunta en la dirección x positiva (la dirección de propagación de la energía) La componente x del vector de Poynting es: E B
E B
Sx ( x,t ) = max max cos 2 ( kx − ω t ) = max max ⎡⎣1+ cos 2 ( kx − ω t ) ⎤⎦ µ0
2 µ0
•
El valor medio de cos 2 ( kx − ω t )
•
Por lo que: •
ciclo
= 0 E B
I = Smed = max max 2 µ0

La magnitud del valor medio de S ( x,t ) para una onda sinusoidal (la intensidad I de la onda) es1/2 del valor máximo De forma equivalente: (13.32) I = Smed =
2
Emax Bmax Emax
1 ε0 2
1
2
=
=
Emax = ε 0 cEmax
2 µ0
2 µ0 c 2 µ0
2
•
En caso que la onda viaja en la dirección −x, el vector de Poyinting tiene dirección −x pero con la misma magnitud 25 N/ m 5 8.85 3 10
5 8.85 3 10
J/m
5 26
La magnitud del vector de Poynting es
1 100 V/ m 2 1 3.33 3 10 27 T 2
EB
S5
5
m0
4p 3 10 27 T m / A
Ejemplo 4: Energía en una onda no sinusoidal #
#
5 26.5 V A/ m2 5 26.5 W/ m2
Con respecto a una onda plana suponga que E = 100 V/m = 100 N/C y determine el valor B, la densidad de energía y la tasa de flujo de energía por unidad de área Ejemplo 32.4 Energía en una onda sinusoidal
En la onda plana los campos eléctrico y magnético son uniformes detrás del frente de onda, por lo que B, u y S también deben sde
er radio
uniformes detrás terrestre
del frente e onda Una estación
en la superficie
emiteduna
onda sinusoi dal con una potencia total media de 50 kW (figura 32.19). Suponiendo
que el trasmisor irradia por igual en todas direcciones sobre el terreno
La magnitud del campo magnético: que es m
improbable en situaciones
reales), calcule las amplitudes
E (lo 100V
−7
B = = Emáx y Bmáx8 detectadas
≈ 3.33
× 10
T ubicado a 100 km de la antena.
por
un satélite
c 3.00 × 10 m s
SOLUCIÓN
La densidad de energía: IDENTIFICAR: Ésta es una onda sinusoidal, así que aplicamos la idea
2
2
−12
2
2 de que la intensidad
3
es ×
igual
la magnitud
del valor×medio
u = ε 0 E = 8.85 × 10 C N ⋅ m (100 N C ) ≈ 8.85
10 −8a N
m 2 = 8.858.85
10 −8 Jdelmvector
de
(
)
Poynting. No se da el valor de la intensidad, pero sí el de la potencia
total media del trasmisor. Se aprovecha la idea de que la intensidad es
La magnitud del vector de Poynting: equivalente
a la potencia media por unidad de área.
5 18
V⎞
⎛
En la figura 32.19 se ilustra un hemisferio con radio de
100 ⎟ ( 3.3 ×PLANTEAR:
10 −7 T)
⎠
EB ⎜⎝
m
100 km en≈cuyo
transmisor.
hallar la intenS=
=
26.5centro
× 10 −8seVencuentra
⋅ A m 2 =el26.5
W m 2 Para
−7
µ0
4π × 10 T⋅sidad
m AI a esta distancia del transmisor, se divide la potencia media del
Como
del frente
Poynting
frente de
que u 5 0
ción (32.2
ecuación
EJECUTA
5 1.00 3
A
Toda la p
potencia m
I5
De acuerd
nera que
Emáx 5 "
transmisor entre el área total del hemisferio. Después se utiliza la ecua- 5 "2 1 4p
5 2.45 3
32.19
Una estación de radio irradia ondas hacia el interior del
Ejemplo 5: Energía en una onda sinusoidal De acuerd
hemisferio
que se ilustra.
Una estación de radio en la superficie Satélite
terrestre emite una onda sinusoidal con una potencia total media de 50 EVALUAR
kW campos q
r 5 100 km
extremada
El trasmisor irradia por igual en todas dos en cap
direcciones sobre el terreno calcule de radiaci
Transmisor
no del cam
las amplitudes E y B detectadas por radio.
un satélite ubicado a 100 km de la antena de cantidad
movimiento
Asumimos que la intensidad es eFlujo
quivalente a la potencia de
media por unidad de electromagnética
área; El área de la superficie de uyn presión
hemisferio de
de rradiación
adio r = 100 km es: 10
A = 2π r 2 = 2A
π (partir
1.00 ×de
10la5 mobservación
m 2 se
requiere energía para establecer camp
de que
) ≈ 6.28 × 10
y magnéticos,
hemos demostrado
Toda la potencia radiada pasa a cos
través de esta superficie, por lo que: que
las ondas electromagnéticas t
energía. También
se
puede
demostrar
que
las ondas electromagnéticas lleva
P 5.00 × 10 4 W
−7 W
I = = tidad de10movimiento
≈ 7.96 ×p10
densidad
con una
de cantidad de movimiento corres
2
2
A 6.28
× 10 m
(cantidad
de movimiento dpmpor volumen dV) de magnitud
E2
V
dp
Como I = Smed = max ⇒ Emax = 2 µ0 cSmed ≈ 2.45 × 10 −2 EB
S
5
5
2 µ0 c
m
dV
m0c2
c2
2
y Bmax =
Emax
≈ 8.17 × 10 −11 T c
Esta cantidad de movimiento es una propiedad del campo; no está asocia
masa de una partícula en movimiento en el sentido habitual.
Existe además tasa de flujo de cantidad de movimiento correspondiente
men dV ocupado por una onda electromagnética (rapidez c) que pasa a trav
26 Flujo de cantidad de movimiento electromagnética y presión de radiación 
Las ondas electromagnéticas llevan una cantidad de movimiento p Por lo que la densidad de cantidad de movimiento correspondiente ( dp dV ): dp
EB
S
(13.33) =
= 2 2
dV µ0 c
c
• Esta cantidad de movimiento es una propiedad del campo; no está asociada con la masa de una partícula en movimiento en el sentido habitual (de hecho, el fotón, la partícula asociada a la onda electromagnética no tiene hν
masa y p =
) c
El volumen dV ocupado de la energía electromagnética que se desplaza a la rapidez c, y que pasa a través de una área A en el tiempo dt es dV = Ac dt dp
dp
EB
Sustituyendo en la ecuación (13.33): =
=
dV Acdt µ0 c 2
La tasa de flujo de la cantidad de movimiento por unidad de área: 1 dp EB S
(13.34) =
= A dt µ0 c c
• Ésta es la cantidad de movimiento que se transfiere por unidad de área y por unidad de tiempo • Al sustituir S por Smed = I en la ecuación (13.34) se obtiene la tasa media de transferencia de cantidad de movimiento por unidad de área -­‐ esto es que se mide La cantidad de movimiento de la onda electromagnética es responsable del fenómeno de la presión de radiación: • Cuando una onda electromagnética es absorbida por completo por una superficie, la cantidad de movimiento de la onda se transfiere a la superficie • Si la superficie es perpendicular a la dirección de propagación, la tasa con que se transfiere la cantidad de movimiento a la superficie es igual a la dp
1 dp F
N ⎤
⎡
=F y
= = Presión ⎢ Pascal = 2 ⎥ fuerza sobre la superficie dt
A dt A
m ⎦
⎣
• La presión de radiación prad, es el valor medio de dp/dt dividido entre el área absorbente A: 1 dp
S
I
= prad = med = (13.35) A dt
c
c
27 •
Si la onda se refleja por completo, el cambio en la cantidad de movimiento es dos veces más grande, y la presión es: 2S
2I
(13.36) prad = med =
c
c
Ejemplo: Para la luz solar I ~1.4 kW/m2 (antes de pasar a través de la atmósfera terrestre) La presión media correspondiente sobre una superficie totalmente absorbente es: 3 W
I 1.4 × 10 m 2
prad−abs = =
≈ 4.7 × 10 −6 Pa m
c 3.0 × 10 8
s
Donde se uso la relación para las unidades: J
W m 2 W ⋅s s ⋅s N ⋅ m N
= 3 = 3 =
= 2 = Pa ms
m
m
m3
m
La presión media sobre una superficie totalmente reflejante es el doble de esto: 3 W
2I 1.4 × 10 m 2
prad−ref =
=
≈ 9.4 × 10 −6 Pa c
8 m
3.0 × 10
s
Éstas son presiones muy pequeñas, del orden de 10 −10 atm, pero es posible medirlas con instrumentos sensibles • La presión de la radiación de la luz solar es mucho mayor dentro del Sol o En el interior de las estrellas la presión de radiación ayuda a impedir que ésta colapse bajo el efecto de su propia gravedad • La presión de radiación juga un papel importante en la teoría de la formación y evolución de las estrellas: la fase de transformación de hidrógeno en helio (secuencia principal) corresponde a un equilibrio dinámico entre la presión de radiación y la gravedad; cuando la presión de radiación disminuye, la gravedad produce una contracción elevando la presión del gas que aumenta la producción de fotón y la presión de radiación re-­‐estableciendo el equilibre • El limite de Eddington corresponde para una masa dada a una presión de radiación máxima arriba de la cual la presión de radiación domina sobre la gravitación – esto produce los vientos solares (o de estrellas) • Un agujero negro se forma cuando ninguna fuerza puede se oponer a la gravitación ni la presión de radiación, ni la fuerza de repulsión de Pauli (electrón repulsa electrón en gas degenerado) ni la repulsión neutrón-­‐
neutrón (en las estrellas a neutrones) 28 32.5 Ondas electromagnéticas estacionarias
1111
Ejemplo 5: Potencia y presión de la luz solar sobre un satélite idad de área) es 1.4 3 103 32.21 Paneles solares en un satélite.
o es una onda sinusoidal
S
Sensor solar (para mantener
S
ual la potencia media P es
los paneles orientados hacia
el Sol)
2 1 4.0 m2 2
S
S
obre una superficie absor26
N/ m2 . La fuerza total
Paneles solares
m2 2 5 1.9 3 1025 N
Un satélite en rbita atotal
lrededor de la Tierra tiene paneles recolectores de energía Laófuerza
de la radiación
es comparable
con el
peso (en la Tie2 solar c
on á
rea t
otal d
e 4
.0 m
derable. Parte de ella se rra) de un grano de sal. Sin embargo, con el tiempo, esta pequeña fuerbordo del satélite; el resto za llega a tener un efecto apreciable en la órbita de un satélite como el
Si lcela radiación del Sol, perpendicular a lpresión
os paneles, s absorbida completo, de la figura
32.21,
por lo que la
de laeradiación
debepor tomarse
or ineficiencias de sus
¿cual son en
la cuenta.
potencia media de la luz absorbida y la fuerza media asociada con la presión de radiación? Por definición: 32.4 La figura 32.13 muestra una
W⎞
⎛
P = IA = ⎜ 1.4 × 10 3 2 ⎟ 4.0m 2 ≈ 5.6 × 10 3 W = 5.6kW ca sinusoidal en el instante t 5 0. ¿Para
⎝
m ⎠
) la densidad de energía es máxima; b) la densidad
ánea (no media) del vector de Poynting alcanza su
La fuerza total sobre el satélite es: o media) del vector de Poynting alcanza su nivel
N⎞
⎛
v) x 5 3l>4.
F = prad A ❚= ⎜ 4.7 × 10 −6 2 ⎟ 4.0m 2 ≈ 1.9 × 10 −5 N ⎝
m ⎠
(
)
(
)
Aunque la fuerza total de la radiación es comparable con el peso (en la Tierra) de un grano de sal, con el tiempo, esta pequeña fuerza llega a tener un efecto apreciable en la órbita de un satélite ; la superficie de un conductor (como una lá• Se pueden
debe tomarse en cuenta esta fuerza haciendo pequeña corrección al (como una hoja de vidrio)
servir como
orbita del satélite (o tomar la en cuenta en el tiempo de vida teórico del n se cumple para las ondas electromagnéticas
satélite) magnéticos. La superposición
de una onda in agnéticas estacionarias
onda estacionaria. La situación es análoga a
tirada que se estudiaron
en la sección 15.7; es
?
or perfecto (con resistividad igual a cero)
22, y una onda electromagnética linealón x negativa choca con ella. Como se vio en
omponente
paralela a la superficie de un conS
uación, E debe ser igual a cero en todo lugar
nda electromagnética incidente no es cero en
a onda incidente induce corrientes oscilantes
rientes dan origen a un campo eléctrico adicioS
ma vectorial de este campo y del incidente E,
interior como en la superficie del conductor.
32.22 Representación de los campos
eléctricos y magnéticos de una onda
estacionaria linealmente polarizada cuando
vt 5 3p>4 rad. En cualquier plano perpendicular al29 eje x, E es máxima (un antinodo)
donde B es cero (un nodo), y viceversa.
Conforme transcurre el tiempo, el patrón
?
figura 32.22, y una onda electromagnética linealla dirección x negativa choca con ella. Como se vio en
ner una componente
paralela a la superficie de un conS
en esa situación, E debe ser igual a cero en todo lugar 32.22 Representación de los campos
eléctricos y magnéticos de una onda
co de la onda electromagnética incidente no es cero en estacionaria linealmente polarizada cuando
Ondas electromagnéticas estacionarias Pero esta onda incidente
induce corrientes oscilantes vt 5 3p>4 rad. En cualquier plano perpen estas corrientes dan
campo eléctrico adiciodicular
eje x, E es
(un antinodo)
Las origen
ondas aeun
lectromagnéticas se reflejan a la sal
uperficie de máxima
un conductor (como S
donde
B
es
cero
(un
nodo),
y
viceversa.
ue es la suma vectorial
de
este
campo
y
del
incidente
E
,
una lámina metálica pulida) o de un dieléctrico (como una hoja de vidrio) Conforme transcurre el tiempo, el patrón
nto en el interior como en la superficie del conductor.
sesuperposición desplaza a lo largo
del eje x; en vez
S onda incidente bre la superficie Aplicando del conductor
también dproducen
una nola el principio e superposición dSe una de ello, los vectores E y B simplemente
una onda reflejada = onda estacionaria fuera del plano eny la
dirección
1x. Suponga
que
la onoscilan en todos los puntos.
las funciones de onda de las ecuaciones (32.19) (una
una hoja por
de ueln negativo
conductor Conductor perfecto
a dirección 2 x) yConsidere la onda reflejada
de
en el en
plano yz, y
x 5 l:
da sinusoidal queperfecto se desplaza
la dirección
1x). ToS
plano
nodal
de
E
S
a dada por las ecuaciones (32.16) de manera que los
S
plano antinodal de B
Una onda electromagnética reflejado se anulen en x 5 0 (el plano del conductor,
B
linealmente polarizada viaja en la debe ser cero). Eldirección principioxde
superposición
establece
negativa choca con S ella uier punto es la suma
vectorial de los
campos
de las z
E
S

de manera análoga
paraEel no campo
. Por ulo
S
Como puede Btener na tanto, las
E
x
rposición de las dos
ondas
son
las
siguientes:
componente paralela a la superficie 
x 5 3l/4:
n conductor S
3 cos 1 kx 1 vt 2 de 1 kx 2 vt 2p4erfecto, E = 0 en 2ucos
máx
plano antinodal Sde E
plano nodal de B
todo lugar del plano yz máx 3 2cos 1 kx 1 vt 2 2 cos 1 kx 2 vt 2 4
¡Pero, el campo eléctrico de la onda electromagnética incidente no es cero en todo momento en el plano yz! • Se necesita tomar en cuenta que la onda incidente induce corrientes oscilantes en la superficie del conductor, y estas corrientes dan origen a un campo eléctrico adicional, de modo que es el campo eléctrico neto, la suma vectorial del campo adicional y campo y incidente, que es igual a cero en todo lugar tanto en el interior como en la superficie del conductor Las corrientes inducidas sobre la superficie del conductor producen una onda reflejada que viaja hacia fuera del plano en la dirección x positiva • Si la onda incidente = onda sinusoidal que viaja en la dirección −x , la onda reflejada = onda sinusoidal que se desplaza en la dirección +x • Tomamos el negativo de la onda dada por las ecuaciones de manera que los campos eléctricos incidente y reflejado se anulen en x = 0 (el plano del conductor) 30 ores de x a) la densidad de energía es máxima; b) la densidad
ud instantánea (no media) del vector de Poynting alcanza su
antánea (no media) del vector de Poynting alcanza su nivel
x 5 l>2; iv) x 5 3l>4.
❚
•
El principio de superposición establece que el campo total en cualquier punto es la suma vectorial de los campos Ey ( x,t ) = Emax ⎡⎣ cos ( kx + ω t ) − cos ( kx − ω t ) ⎤⎦
B
x,t
=
B
−
cos
kx
+
ω
t
−
cos
kx
−
ω
t
⎡
⎤
(
)
(
)
(
)
max ⎣ lá⎦
e reflejan; la superficie de un conductorz (como una
tromagnéticas estacionarias
ieléctrico (como una hoja de vidrio) pueden servir como
Estas para
expresiones e pueden expandir y simplificar con ayuda de las identidades: erposición se cumple
las ondasselectromagnéticas
La superposición de cos
± B )in= cos A cos B  senA senB tricos y magnéticos.
una( Aonda
Esto nos da qLa
ue: rma una onda estacionaria.
situación es análoga a
Ey15.7;
( x,t ) =es−2Emaxsenkx senω t
cuerda estirada que se estudiaron en la sección
(13.37) isis.
Bz ( x,t ) = −2Bmax cos kx cos ω t
n conductor perfecto (con resistividad igual a cero)
La condición Ey ( 0,t ) = 0 y Ey ( x,t ) = 0 ⇒ kx = 0, π ,2π ,... figura 32.22, y una onda electromagnética
lineal2
π
la dirección x negativa
Como
se vio
enlos planos nodales son: • choca
Para kcon
esto implica que = ella.
λ
ner una componente
paralela a la superficie de un conS
λ32.22
3λ Representación de los campos
en esa situación, E
debe ser igual a cero en todo lugar
(13.38) x = 0, eléctricos
, λ , ,... y magnéticos de una onda
2
co de la onda electromagnética incidente no es cero en 2estacionaria
linealmente
polarizada
• En induce
los planos antinodales = punto medio entre dos planos nodales cuando
Pero esta onda incidente
corrientes
oscilantes
vt 5 3p>4 rad. En cualquier plano perpenadyacentes cualesquiera, sen ( kx ) = ±1 ⇒ E ( x,t ) = 2Emax estas corrientes dan origen
a un campo
eléctrico adiciodicular al eje x, E es máxima (un antinodo)
S
ue es la suma vectorial de este campo y del incidente E, donde B es cero (un nodo), y viceversa.
la condición para Bz ( x,t ) Conforme
= 0 ⇒ cos kx
= 0 implica planos odales: transcurre
el tiempo,
elnpatrón
nto en el interior Similaremente como en la superficie
del conductor.
del eje x; en vez
λ 3no
λ se
5 λdesplaza a lo largo
S
S
bre la superficie (13.39) del conductor también producen xuna
vectores E
= , de ,ello,,…
los
y
B
simplemente
fuera del plano en la dirección 1x. Suponga que la on-4 4 4
oscilan en todos los puntos.
las funciones de onda de las ecuaciones (32.19) (una
uestra upor
n patrón de onda Conductor perfecto
a dirección 2 x) yLa lafigura onda m
reflejada
el negativo
de
estacionaria e
n c
ierto i
nstante d
el y
x 5 l:
da sinusoidal que se desplaza en la dirección 1x). ToS
tiempo plano nodal de E S
a dada por las ecuaciones (32.16) de manera que los
S
plano antinodal de B
reflejado se anulen en x 5 0 (el plano del conductor,
B
El campo magnético no es igual a debe ser cero). Elcero principio
superposición
establece
en la sde
uperficie conductora S y no uier punto es la suma
vectorial
de
los
campos
de las z
E
hay razón por la que S debiera serlo de manera análoga
para
el
campo
.
Por
lo
tanto,
las
B
S
E
x
rposición de las dos
ondas
son
las
siguientes:
Las corrientes superficiales que ?
deben estar presentes para hacer x 5 3l/4:
S
plano antinodal Sde E
que E sea exactamente cero en la 2 2 cos 1 kx
plano nodal de B
2 vt 2 4 campos ocasionan máx 3 2cos 1 kx 1 vtsuperficie magnéticos en esta última
• Entre los planos nodales de cada campo hay una separación de media longitud de onda o Los planos nodales de un campo están  en el punto medio entre los de otro; de esta forma, los nodos de E coinciden con los antinodos de 
B , y a la inversa máx
 1 kx 2 vt 2 4
3 cos 1 kx 1 vt 2 2 cos
31 El campo eléctrico total es una función seno de t, y el campo magnético total es una función coseno de t • Las variaciones sinusoidales de los dos campos están 90o fuera de fase en cada punto • En los momentos en que sen (ω t ) = 0 el campo eléctrico es cero en todo lugar, y el campo magnético es máximo • Cuando cos (ω t ) = 0 el campo magnético es cero en todo lugar, y el campo eléctrico es máximo Esto contrasta con lo que ocurre en una onda que viaja en una dirección, en las que las variaciones sinusoidales de E y B en cualquier punto en particular están en fase Ondas estacionarias en una cavidad Cuando insertamos un segundo plano conductor, paralelo al primero a una distancia L de él, a lo largo del eje x – esto produce una cavidad donde la onda oscila: 
• Ambos planos conductores deben ser planos nodales para E • Una onda estacionaria puede presentarse sólo cuando el segundo plano está situado en alguna de las posiciones en las que E(x, t) = 0 • Es decir, para que exista una onda estacionaria, L debe ser un múltiplo entero de λ 2 • Las longitudes de onda que satisfacen esta condición son: 2L
(13.40) λn =
( n = 1, 2, 3,…) n
Las frecuencias correspondientes son: c
c
(13.41) fn =
=n
( n = 1, 2, 3,…) λn
2L
• Así, hay un conjunto de modos normales cada uno con frecuencia, forma de la onda y distribución nodal características • Midiendo las posiciones nodales es posible medir la longitud de onda • Si se conoce la frecuencia, se puede determinar la rapidez de onda 32 Un horno de microondas establece una onda electromagnética estacionaria con λ = 12.2cm una longitud de onda que el agua de los alimentos absorbe intensamente • Como la onda tiene nodos separados por una distancia λ 2 = 6.1cm es necesario hacer girar los alimentos mientras se cocinan o De lo contrario las partes que se encuentran en un nodo, donde la amplitud del campo eléctrico es igual a cero, permanecerían frías Un láser tiene dos espejos: • En la cavidad comprendida entre ellos se establece una onda estacionaria • Uno de los espejos tiene una pequeña apertura, parcialmente transmisora, que permite que las ondas escapen por este extremo del láser Las superficies conductoras no son las únicas que reflejan a las ondas electromagnéticas • La reflexión también ocurre en la interfaz entre dos materiales aislantes con diferentes propiedades dieléctricas o magnéticas o El análogo mecánico es la unión de dos cuerdas con igual tensión pero distinta densidad de masa lineal • En general, una onda incidente sobre una superficie limítrofe de este tipo se transmite parcialmente al segundo material y se refleja parcialmente de regreso hacia el primero o Por ejemplo, la luz se transmite a través de una ventana de vidrio, pero sus superficies también reflejan la luz 33 Ejemplo 6: Intensidad en una onda estacionaria La intensidad I de la onda es el valor medio Smed de la magnitud del vector de Poynting Primero se calcula el valor instantáneo del vector de Poynting, y luego se promedia sobre un número entero de ciclos de la onda para determinar I 

1 
1
⎡ −2 ĵEmaxsenkx cos ω t ⎤ × ⎡ −2 k̂Bmax cos kx senω t ⎤ =
S ( x,t ) =
E ( x,t ) × B ( x,t ) =
⎦ ⎣
⎦
µ0
µ0 ⎣
Emax Bmax
ˆ
ˆ
=i
( 2senkx cos kx )( 2senω t cos ω t ) = iSx ( x,t )
µ0
Usando la identidad sen2A = senA cos A
Emax Bmax sen2kx sen2ω t
µ0
El valor medio de una función seno con respecto a cualquier número entero de ciclos es igual a cero I = Smed = 0 Sx ( x,t ) =
34 Ejemplo 7: Ondas estacionarias en una cavidad Se establecen ondas electromagnéticas estacionarias en una cavidad con dos paredes paralelas, altamente conductoras, separadas por una distancia de 1.50 cm a) Calcule la longitud de onda más larga y la frecuencia más baja de las ondas electromagnéticas estacionarias entre las paredes La longitud de onda más larga y la frecuencia más baja que son posibles corresponden al modo n = 1 λ1 = 2L = 2 (1.50cm ) = 3.00cm c
3.00 × 10 8 m s
Con frecuencia: f1 =
=
≈ 1.00 × 1010 Hz = 10GHz −2
2L 2 (1.50 × 10 m )
b) En el caso de la onda  estacionaria con la longitud de onda más larga, ¿en qué parte de la cavidad 
 E tiene su magnitud máxima? ¿Dónde es igual a cero el campo E ? ¿Dónde tiene B su magnitud máxima? ¿Dónde es igual a cero el campo B ? Con n = 1 hay una sola media longitud de onda entre las paredes El campo eléctrico tiene planos nodales en las paredes y un plano antinodal (donde se presenta la magnitud máxima) equidistante de ambas El campo magnético tiene planos antinodales en las paredes y un plano nodal equidistante de ambas 35