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MATEMÁTICAS I
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1er Grado Volumen I
MATEMÁTICAS I
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1er Grado
Volumen I
17176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418
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54571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019
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1er Grado Volumen I
matemáticas I
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Matemáticas I. Volumen I. Telesecundaria. Primer grado fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto
Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación
Básica y el ILCE.
Autores
Martha Gabriela Araujo Pardo, Silvia García Peña,
José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero,
Verónica Rosainz Bonilla
Asesoría académica
María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)
Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)
(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)
Servicios editoriales
Dirección de arte
Rocío Mireles Gavito
Diseño
Zona gráfica
Diagramación
Bruno Contreras
Apoyo técnico y pedagógico
María Padilla Longoria
Iconografía
Cynthia Valdespino
Colaboración
Ernesto Manuel Espinosa Asuar
Ilustración
Gustavo Cádernas, Curro Gómez, Carlos Lara,
Gabriela Podestá, Cecilia Varela
Coordinación editorial
Sandra Hussein Domínguez
Fotografía
Ariel Carlomagno, Pablo González de Alba
Primera edición, 2006
Primera edición revisada y corregida, 2007
Sexta reimpresión, 2013 (ciclo escolar 2013-2014)
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006
Argentina 28, Centro,
06020, México, D.F.
ISBN: 978-968-01-1191-6 (obra completa)
ISBN: 978-968-01-1192-3 (volumen I)
Impreso en México
D istribución gratuita -P rohibida su venta
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Mapa-índice
9
Clave de logos
10
Vamos a conocernos
12
14
secuencia
1
Sistemas de numeración
28
secuencia
2
Fracciones y decimales en la recta numérica
40
secuencia
3
Sucesiones de números y figuras
52
secuencia
4
Geometría y expresiones algebraicas
60
secuencia
5
Simetría
74
secuencia
6Proporcionalidad
84
secuencia
7
Reparto proporcional
90
secuencia
8
Problemas de conteo
Bloque 1
104
Bloque 2
106
secuencia
9
118
secuencia
10 Multiplicación y división de fracciones
138
secuencia
11 Multiplicación de números decimales
148
secuencia
12 Mediatriz y bisectriz
160
secuencia
13 Polígonos regulares
170
secuencia
14 Fórmulas para calcular el área de polígonos
184
secuencia
15 La constante de proporcionalidad
196
secuencia
16 Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad
208
Bibliografía
Problemas aditivos de números fraccionarios y decimales
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E VA L U A C I Ó N
8. Problemas de conteo. (90 - 103)
• Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos y estrategias,
como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos de enumeración.
7. Reparto proporcional. (84 - 89)
• Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto
proporcional.
6. Proporcionalidad. (74 - 83)
• Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo
“valor faltante”, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.
5. Simetría. (60 - 73)
• Construir figuras simétricas respecto a un eje, analizarlas y explicitar
las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos
isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
4. Geometría y expresiones algebraicas. (52 - 59)
• Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas
geométricas, interpretando las literales como números generales con
los que es posible operar.
3. Sucesiones de números y figuras. (40 - 51)
• Construir sucesiones de números a partir de una regla dada.
• Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones
numéricas y figurativas.
2. Fracciones y decimales en la recta numérica. (28 - 39)
• Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a
partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta
representación.
1. Sistemas de numeración. (14 - 27)
• Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y
contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no
posicionales.
SECUENCIA
Diagrama de árbol
Diagrama de árbol
8.4 Otros contextos
8.3 ¿Cuántos viajes hay…?
Mapa de calles
Variación proporcional 2
Variación proporcional 1
Simetría de polígonos
Simetría de puntos
Cuadrado
Rectángulo
Hexágono
Cuadrado
Patrones y secuencias 2
Diagrama de árbol
¿Saben cuántos hay?
Reparto proporcional
Escalas y maquetas en
arquitectura
Vitrales
Fórmulas y perímetros
8.2 ¿De cuántas formas?
8.1 ¿Cuántos caminos hay?
7.2 Más sobre reparto proporcional
7.1 La kermés
6.3 La proporcionalidad en otros contextos
6.2 El valor unitario
6.1 Las cantidades directamente proporcionales
5.4 Algo más sobre simetría
5.3 Los vitrales
5.2 Papel picado
5.1 Como si fuera un espejo
4.2 Fórmulas y áreas
4.1 Fórmulas y perímetros
Patrones y secuencias 1
3.3 Reglas de sucesiones
Patrones y secuencias 1
Sucesiones
Figuras que crecen
3.2 Números que crecen
3.1 Figuras que crecen
La recta numérica:
Fracciones decimales
2.3 El salto de longitud y los números decimales
Sistema de numeración maya
Interactivos
La recta numérica:
Fracciones
El salto de altura
Los números mayas
Videos
6.2 Valor unitario (Hoja de cálculo)
5.4 Algo más sobre simetría (Geometría dinámica)
5.2. Papel picado (Geometría dinámica)
4.2 Fórmulas y áreas
(Hoja de cálculo)
3.2 Números que crecen (Hoja de cálculo)
Hojas de trabajo
Sucesión
Archivo
Escalas
Aprendido
Simétrico
Papel
Cuadrado 1
Aula de medios
RECURSOS TECNOLÓGICOS
2.2 Densidad y fracciones
2.1 El salto de altura
1.3 El sistema decimal
1.2 Otro sistema de numeración
1.1 Acertijos arqueológicos
SESIÓN
Bloque 1
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E VA L U A C I Ó N
16. Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad. (196 - 207)
• Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de
factores constantes de proporcionalidad en
diversos contextos.
15. La constante de proporcionalidad. (184 - 195)
• Identificar situaciones de proporcionalidad
directa en diversos contextos, y resolverlas
mediante procedimientos más eficientes.
14. Fórmulas para calcular el área de polígonos. (170 - 183)
• Justificar las fórmulas para calcular el
perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros
y polígonos regulares.
13. Polígonos regulares. (160 - 169)
• Construir polígonos regulares
a partir de distintas informaciones.
12. Mediatriz y bisectriz. (148 - 159)
• Utilizar las propiedades de la mediatriz de un
segmento y la bisectriz de un ángulo para
resolver diversos problemas geométricos.
11. Multiplicación de números decimales. (138 - 147)
• Resolver problemas que impliquen la
multiplicación de números decimales en
distintos contextos.
10. Multiplicación y división de fracciones. (118 - 137)
• Resolver problemas que impliquen la
multiplicación y división con números
fraccionarios en distintos contextos.
9. Problemas aditivos con números fraccionarios y
decimales. (106 - 117)
• Resolver problemas aditivos con números
fraccionarios y decimales en distintos contextos.
SECUENCIA
16.3 Consomé ranchero
16.2 Escalas y reducciones
16.1 Microscopios compuestos
15.3 Rutas y transporte
15.2 Mapas y escalas
15.1 La cancha de básquetbol
14.4 Otras formas de justificar las fórmulas
14.3 Descomposición de figuras
14.2 Rompecabezas 2
14.1 Rompecabezas 1
13.3 Más sobre polígonos regulares
13.2 Mosaicos
13.1 Tarjetas de felicitación
12.3 Apliquemos nuestros conocimientos de
mediatrices y bisectrices
12.2 Un problema geométrico
12.1 A la misma distancia
11.3 ¿En dónde se usa la multiplicación de decimales?
11.2 El punto es el asunto
11.1 Tres veces y media
10.5 ¿Cuántas botellas de jugo se necesitan?
10.4 Hay tela de donde cortar
10.3 ¿Cómo serían las marcas atléticas en el
espacio?
10.2 Superficies y fracciones
10.1 De compras en el mercado
9.3 Los precios de la cafetería
9.2 Marcas atléticas
9.1 El festival de fin de cursos
SESIÓN
Microscopios compuestos
Centro Histórico de la Ciudad de México
Justificación
Felicidades
Mitades de ángulos
Más de tres, pero
menos de cuatro
El sistema solar y la fuerza de gravedad
¿Dónde se utilizan fracciones?
Videos
Multiplicación de fracciones 2
Multiplicación de fracciones 1
Multiplicación de fracciones 1
Números fraccionarios
Interactivos
Variación proporcional 5
Variación proporcional 4
Variación proporcional 3
Fórmulas geométricas
13.2 Mosaicos (Geometría dinámica)
Polígonos regulares ángulo interior
16.1 Microscopios compuestos (Hoja de cálculo)
15.1 La cancha de básquetbol (Hoja de cálculo)
14.4 Otras formas de justificar (Geometría dinámica)
14.3 Descomposición de figuras (Geometría dinámica)
13.3 Más sobre polígonos regulares
(Geometría dinámica)
13.1 Tarjetas de felicitación
(Geometría dinámica)
12.3 Apliquemos nuestro conocimiento de mediatrices
y bisectrices (Geometría dinámica)
12.2 Un problema geométrico
(Geometría dinámica)
12.1 A la misma distancia
(Geometría dinámica)
Polígonos regulares ángulo central
Bisectrices
Bisectriz
Mediatrices
Mediatriz
Áreas y números decimales
Escalas y números decimales
Hojas de trabajo
Aula de medios
9.1 El festival de fin de cursos (Hoja de cálculo)
RECURSOS TECNOLÓGICOS
Multiplicación de números decimales
Bloque 2
Microscopios
Cancha
Hexágono
Apotema
Fórmulas
Polígono
Central
Centros
Ángulo 2
Medida
Ángulo 3
Ejes
Figura 1
Ángulo 1
Bisectrices
Mediatrices
Segmento
Fracciones
Archivos
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E VA L U A C I Ó N
24. Nociones de probabilidad.
• Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria.
Utilizar la escala de probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes
formas de expresarla.
• Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria
tiene mayor probabilidad de ocurrir; justificar la respuesta.
23. Gráficas de barras y circulares.
• Interpretar información representada en gráficas de barras y
circulares de frecuencia absoluta y relativa, proveniente de diarios o
revistas y de otras fuentes.
• Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo
la forma de representación más adecuada.
22. Tablas de frecuencia.
• Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción
y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
21. Porcentajes.
• Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes
utilizando de manera adecuada las expresiones fraccionarias o
decimales.
20. Áreas y perímetros.
• Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de
triángulos, romboides y trapecios, y establecer relaciones entre los
elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas
figuras.
• Realizar conversiones de medidas de superficie.
19. Existencia y unicidad.
• Construir triángulos y cuadriláteros.
• Analizar las condiciones de existencia y unicidad.
18. Ecuaciones de primer grado.
• Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución
de ecuaciones de primer grado de las formas x + a = b; ax = b; ax +
b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son
números naturales y decimales.
17. División de números decimales.
• Resolver problemas que impliquen la división de números decimales
en distintos contextos.
SECUENCIA
17.1 El metrobús
24.4 Comparación de probabilidades II
24.3 Comparación de probabilidades I
24.2 Probabilidad clásica
24.1 Probabilidad frecuencial
23.3 Gráfica circular
23.2 Gráficas de barras
23.1 Qué dicen las gráficas
Lanza monedas
¿Qué es más probable?
Bolsa con canicas
La ruleta
24.1 Probabilidad frecuencial
(Hoja de cálculo)
22.3 La tabla representa…
(Hoja de cálculo)
22.1 ¿Quién llegó primero?
(Hoja de cálculo)
21.2 El IVA (Hoja de cálculo)
22.3 La tabla representa…
El rating en la televisión
Porcentajes 2
Porcentajes 1
19.2 ¿Es uno o son muchos?
(Geometría dinámica)
22.2 Tabla de frecuencia
relativa (Hoja de cálculo)
Un recorrido por el origen de la estadística
Los migrantes
Medidas de superficie
¿Es uno o son muchos?
Desigualdad triangular
Ecuaciones de primer grado
18.1 A repartir naranjas (Hoja
de cálculo)
Hojas de trabajo
Rombos
Ecuación
Archivos
Matrículas
Frecuencias
Edades
Atletismo
IVA
Construcciones
Aula de medios
22.2 Tabla de frecuencia relativa
22.1 ¿Quién llegó primero?
21.3 Miscelánea de porcentajes
21.2 El IVA
21.1 México en el INEGI
20.3 Medidas de superficie
20.2 Relaciones importantes
20.1 Problemas de aplicación
19.2 ¿Es uno o son muchos?
19.1 ¿Existe o no existe?
18.3 Resolución de ecuaciones mixtas
Ecuaciones 2
18.2 El paseo escolar
División de números decimales
Interactivos
Ecuaciones 1
El terreno y el río
El metrobús
Videos
RECURSOS TECNOLÓGICOS
18.1 A repartir naranjas
17.3 Números decimales en la ciencia
17.2 Cambio de dinero
SESIÓN
Bloque 3
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E VA L U A C I Ó N
32. Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad.
• Explicar las características de una gráfica que represente
una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.
31. Relaciones de proporcionalidad.
• Formular la expresión algebraica que corresponda a
la relación entre dos cantidades que son directamente proporcionales.
• Asociar los significados de las variables en la expresión y = kx con las
cantidades que intervienen en dicha relación.
30. El área de los círculos.
• Resolver problemas que impliquen calcular el
área y el perímetro de un círculo.
29. El número Pi.
• Determinar el número como la razón entre la
longitud de la circunferencia y el diámetro.
• Justificar y usar la fórmula para el cálculo de la
longitud de la circunferencia.
28. Construcción de círculos y circunferencias.
• Construir círculos que cumplan condiciones dadas a partir de diferentes datos.
27. Relación funcional.
• Analizar en situaciones problemáticas la presencia de
cantidades relacionadas y representar esta relación
mediante una tabla y una expresión algebraica.
26. Raíz cuadrada y potencias.
• Resolver problemas que impliquen el cálculo de la
raíz cuadrada y la potencia de exponente natural,
ambas de números naturales y decimales.
25. Números con signo.
• Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización
de números con signo.
SECUENCIA
32.2 Comparación de gráficas
32.1 Gráficas y sus características
31.2 Expresiones algebraicas y relaciones de
proporcionalidad en distintos contextos
31.1 Cambio de moneda
30.2 Áreas y perímetros
30.1 Área del círculo
29.2 Perímetro del círculo
Gráficas
Historia de la moneda
Área del círculo
Variación proporcional y
gráficas
Variación proporcional 6
Área del círculo
Cálculo del área del círculo de Arquímedes
El número Pi
30.1 Área del círculo
(Geometría dinámica)
29.1 Relación entre
circunferencia y
diámetro (Geometría
dinámica)
Relación entre circunferencia y diámetro
¿De dónde salió Pi?
29.1 La relación entre circunferencia y diámetro
28.3 Tres puntos y una
circunferencia
(Geometría dinámica)
Construcción de circunferencias
con la mediatriz
27.3.Cocina navideña
(Hoja de cálculo)
26.1 Cuadros y más cuadros
(Hoja de cálculo)
Polígonos
Círculos
Aplicación
Comunidad
Comunidades
Pavo
Cuadrado 2
Archivos
Aula de medios
Hojas de trabajo
28.3 Tres puntos y una circunferencia
Diagrama de árbol
Método babilónico
Temperaturas
Interactivos
Construcción de circunferencias
Las circunferencias que pasan por dos puntos
La expansión del universo
Los babilonios y la raíz
cuadrada
Temperaturas ambientales
Videos
RECURSOS TECNOLÓGICOS
28.2 Cuerdas y circunferencias
28.1 Las circunferencias que pasan por dos puntos
27.4 El recibo de teléfono
27.3 Cocina navideña
27.2 Los husos horarios
27.1 La expansión del universo
26.3 ¿Cuántos tatarabuelos?
26.2 Cálculo de raíces cuadradas
26.1 Cuadros y más cuadros
25.3 Valor absoluto y simétricos
25.2 Distancia y orden
25.1 Nivel del mar
SESIÓN
Bloque 4
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Forma, espacio y medida
Manejo de la información
EJE 2:
EJE 3:
Sentido numérico y pensamiento algebraico
EJE 1:
E VA L U A C I Ó N
38. Medidas de tendencia central.
• Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos
referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas
de tendencia central.
37. Proporcionalidad inversa.
• Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa
mediante diversos procedimientos.
36. Gráficas, tablas y expresiones algebraicas.
• Calcular valores faltantes a partir de varias representaciones relacionando las que corresponden a la misma situación, e identificar
las que son de proporcionalidad directa.
35. Juegos equitativos.
• Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea
justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no
equiprobables.
34. Áreas de figuras planas.
• Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de diversas figu­
ras planas.
33. Cuentas de números con signo.
• Utilizar procedimientos informales y algorítmicos de adición y
sustracción de números con signo en diversas situaciones.
SECUENCIA
38.2¿Qué prefieren comer?
38.1Promedios
37.3La hipérbola
37.2La velocidad
37.1El agua
36.2De la gráfica al problema
36.1Gráficas, tablas y expresiones
algebraicas asociadas a problemas
de proporcionalidad directa
35.4Quinielas
35.3Juegos con dados
35.2Ruletas
35.1¿Cuál es la mejor opción?
34.2Áreas de figuras formadas
por círculos
34.1Áreas de figuras formadas
por rectas
33.4De todo un poco
Promedios
La velocidad constante
Elementos de la proporcionalidad directa
Pronósticos nacionales
Geometría andaluza
Variación proporcional
inversa y gráficas 2
Variación proporcional
inversa y gráficas 1
Lanza monedas
La ruleta
Los átomos 3
33.3Restas de números con signo
Los átomos 1
Interactivos
Los átomos 2
Los átomos
Videos
37.3La hipérbola
(Hoja de cálculo)
36.1Gráficas, tablas y
expresiones algebraicas
asociadas a problemas
de proporcionalidad
directa (Hoja de
cálculo)
34.2.Áreas de figuras
formadas por círculos
(Geometría dinámica)
34.1Áreas de figuras
formadas por rectas
(Geometría dinámica)
Hojas de trabajo
Años
Región
Figuras
Figura 2
Archivos
Pintores
Rectángulos
Aula de medios
RECURSOS TECNOLÓGICOS
33.2Sumas de números con signo
33.1Los átomos
SESIÓN
Bloque 5
Clave de logos
T rabajo
individual
S itios
de I nternet
En
parejas
Bibliotecas Escolares y de Aula
En
equipos
V ideo
T odo
el grupo
C onexión
con otras asignaturas
G losario
C onsulta
CD
Programa integrador Edusat
I nteractivo
A udiotexto
otros materiales
de recursos
A ula
de
M edios
O tros T extos
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Has estudiado matemáticas durante toda la primaria. Ahora que inicias la
secundaria, uno de los propósitos del plan de estudios es que uses lo que ya sabes para
aprender los nuevos conocimientos que te serán presentados. Tu profesor, con el apoyo
de este libro y el uso de algunos recursos tecnológicos, te ayudará a que lo logres.
Tu libro es nuevo y muy atractivo. ¿Te provoca curiosidad? El primer reto será conocerlo
y familiarizarte con los elementos que lo forman.
Este libro se compone de dos tomos que contienen varias secuencias de aprendizaje. En
cada secuencia aprenderás un tema del programa de matemáticas estudiándolo a través
de varias sesiones. Una sesión está pensada para que la trabajes en una clase, aunque en
ocasiones será necesario que le dediques un poco más de tiempo.
En cada sesión podrás encontrar los apartados siguientes:
Para empezar
Es una introducción al tema de la sesión. Se relaciona el nuevo conocimiento que apren­
derás con algo que ya hayas estudiado.
Consideremos lo siguiente
Aquí se propone un problema para que lo resuelvas utilizando lo que ya sabes.
Manos a la obra
Son las actividades específicas de la sesión. Por lo general se incluyen muchas preguntas
que te ayudarán a recordar lo que ya sabes, a analizar lo que estés aprendiendo y a de­
ducir nuevas estrategias de solución.
A veces trabajarás individualmente y otras en equipo o con todo el grupo.
A lo que llegamos
Después de realizar las actividades de Manos a la obra, se presentan las conclusiones
sobre los conceptos revisados.
Lo que aprendimos
Es una colección de ejercicios que te servirán para aplicar y entender mejor lo aprendido.
Para saber más
Son sugerencias para que revises otros materiales con los que puedes ampliar tu cono­
cimiento del tema. Se incluyen referencias a libros y sitios de internet.
10
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MATEMÁTICAS
I
Los recursos tecnológicos que apoyan a tu libro
Videos
Se indican con la figura de una cámara de video. Te servirán para
introducir o ampliar información acerca del tema de la secuencia
y, en ocasiones, para presentar ejemplos en los que se pueda apli­
car el conocimiento que vas a aprender. Interactivos
Se indican con la figura de un mouse o ratón. Son actividades
que vas a realizar en la computadora del salón de clase. Su pro­
pósito es que desarrolles tus ideas sobre el tema que estés estu­
diando, que ejercites las técnicas que se te presentan, verifiques tus respuestas y confirmes o rechaces tus conjeturas.
Trabajo con
hojas de cálculo y
geometría dinámica
Estos recursos están diseñados para emplearse en el Aula de Me­
dios. Los usarás para analizar datos y resolver problemas sobre el
tema que estés estudiando en tu libro.
Adicionalmente, tu libro utiliza los iconos siguientes para sugerir distintas formas de
organización en la elaboración de las actividades indicadas.
Iconos de organización
2 personas
Individual
3 personas
En equipos
4 personas
Todo el grupo
Esperamos que estos materiales te permitan disfrutar, en este
año escolar, tu aprendizaje de las matemáticas.
11
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12
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I II III IV V VI VII VIII IX X
13
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secue n c i a 1
En esta secuencia identificarás las propiedades del sistema de numeración decimal y las contrastarás con las de otros sistemas numéricos
posicionales y no posicionales.
Acertijos arqueológicos
sesión 1
Es la introducción
al tema de la sesión.
Para empezar
La necesidad de contar y de registrar cantidades ha estado presente en muchas civiliza­
ciones; sin embargo, no todas lo han hecho de la misma manera. En quinto grado de
primaria realizaste la comparación del sistema de numeración decimal con el sistema
egipcio y con el sistema romano. En esta sesión se va a retomar el sistema egipcio. ¿Sa­
bías que se comenzó a utilizar aproximadamente en el año 3000 antes de nuestra era?
Aquí se propone
un problema.
Consideremos lo siguiente
Van a trabajar
en parejas.
Fíjense cómo escribían los antiguos egipcios algunos números y completen la tabla.
3
7
76
8
14
225
599
2 130
3 062
215 460
1 200 108
4 000 000
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MATEMÁTICAS
Escriban en sus cuadernos el sucesor de este número, según el sistema egipcio.
Comparen sus respuestas y expliquen cómo las encontraron.
Todo el grupo.
Manos a la obra
Son las actividades de la sesión que te ayudarán a
recordar lo que ya sabes, a analizar lo que estés
aprendiendo y a deducir nuevas estrategias de solución.
I
ue:
Recuerden q
ar el
Para encontr úmero
nn
sucesor de u
sumársele
e
entero deb
ncontrar el
uno; para e
ebe restárantecesor d
r ejemplo,
sele uno. Po
e 7 es 8
el sucesor d es 6.
sor
y su antece
I. Completen la siguiente tabla, escriban los símbolos egipcios y el valor de algunos de
ellos, según corresponda.
Símbolo
egipcio
Valor del
símbolo
100
10 000
100 000
II. Completen la tabla con números del sistema egipcio.
Antecesor
Número en el sistema egipcio
Sucesor
Comparen sus tablas y comenten cuántos símbolos se necesitan para escribir el antece­
, según el sistema egipcio.
sor de
15
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s e c u e n cia 1
III. En ocasiones los egipcios escribían los números en sentido opuesto. Así, podían escri­
bir o también y el valor del número es el mismo.
a) ¿Cuál es el valor del número anterior? Aquí se presentan
las conclusiones
sobre los conceptos
revisados.
b) Usando el sistema egipcio, escriban en sus cuadernos el número 100 436, en ambos
sentidos.
A lo que llegamos
•El sistema de numeración egipcio es un sistema aditivo no posicional. Es aditivo porque para encontrar el valor de un número se debe sumar el valor de cada uno de los
símbolos que aparecen en el número; y es no posicional porque puede escribirse un número poniendo los símbolos en sentido opuesto sin que cambie el valor del número.
•Cada símbolo se puede repetir hasta nueve veces. Cuando se llega a 10 símbolos iguales se sustituyen por otro que representa el valor de esos 10 símbolos.
•Con los siete símbolos que tenían los egipcios sólo podían representar números menores que 10 000 000; para ellos esto no era problema porque no se les presentaban
situaciones en las que tuvieran que utilizar números más grandes.
•Se piensa que el jeroglífico que representa 1 000 000 ( ) es la figura de un sacerdote o de un astrónomo que está viendo hacia el cielo, tratando de contar la gran cantidad de estrellas que hay.
•Una desventaja del sistema egipcio es que para escribir ciertos números se necesitan
muchos símbolos.
Ejercicios para
aplicar y entender
mejor lo que acabas
de aprender.
Lo que aprendimos
Los antiguos egipcios realizaban sumas como las siguientes. Expresa los resultados de
cada una de ellas utilizando los números del sistema egipcio.
+
+
+
+
16
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MATEMÁTICAS
I
Otro sistema de numeración
Sesión 2
Para empezar
Los números mayas
Vean el video
sobre el sistema de
numeración maya.
La civilización maya fue una de las culturas más importantes de la época
prehispánica de América Central. Los mayas fueron grandes astrónomos,
mucho más exactos que sus contemporáneos europeos.
El periodo Clásico de la civilización maya se desarrolló entre el año 300
y el año 1000 de nuestra era.
En esta sesión estudiarás las características del sistema de numeración de los mayas.
Consideremos lo siguiente
Fíjense cómo escribían los mayas algunos números y completen la tabla.
2
8
29
4
5
11
12
15
6
7
20
21
23
25
30
31
36
38
Escriban en sus cuadernos los números del 1 al 20 en el sistema de numeración maya.
¿Cuánto vale el símbolo ? ¿Cuánto vale el símbolo ? Comparen sus respuestas y expliquen cómo las encontraron. Comenten cómo escribieron
el 20 en el sistema maya y cuál es el símbolo que corresponde al cero.
17
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secue n c i a 1
Manos a la obra
I. Los números 6 y 25 escritos en sistema maya se parecen mucho:
6
25
Para distinguirlos, en el caso del 25, los mayas dejaban un espacio entre el punto y la
raya. El espacio indica que se tienen dos niveles: en el primer nivel, de abajo hacia arriba,
van las unidades; en el segundo van los grupos de 20.
En el segundo nivel este punto vale 20
1 × 20
En el primer nivel hay 5 unidades
25
5×1
25 = 20 + 5
Escriban en sus cuadernos el 11, el 16, el 30 y el 35 en maya.
Comparen sus escrituras de los números y comenten cómo los distinguen.
II. Fíjense cómo escribían los mayas el 40:
En el segundo nivel cada punto vale 20:
ya tenemos los 40
En el primer nivel hay 0 unidades
Para indicar que no hay que agregar nada más, los mayas utilizaban un símbolo especial
para el cero: , indicando que un nivel está vacío. Este símbolo representa una con­
cha o un caracol.
2 de 20
0 unidades
2 × 20
0×1
40
40 = 40 + 0
18
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MATEMÁTICAS
I
Observen cómo escribían los mayas algunos números y completen la tabla.
41
42
77
78
60
61
70
81
100
120
Comparen sus tablas y comenten cómo escribieron los números.
III.Los mayas escribían el 400 de la siguiente manera:
En el tercer nivel este punto vale 400
1 × 400
En el segundo nivel ponían 0 de 20
0 × 20
En el primer nivel ponían 0 unidades
0×1
400
400 = 400 + 0 + 0
Escriban el número 401 en el sistema maya y completen la tabla.
En el tercer nivel 1 de 400
En el segundo nivel
En el primer nivel
1 × 400
de 20
× 20
unidades
×1
401
401 =
+
+
19
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s e c u e n cia 1
También van a
realizar las
actividades del
interactivo.
IV.En el antiguo sistema de numeración maya se agrupaba de 20 en 20. Por esta razón
en cada nivel puede ponerse cualquier número del 1 al 19 y luego, al llegar al 20,
hay que poner un punto en el siguiente nivel. Así, en el primer nivel de abajo hacia
arriba se escriben las unidades, en el segundo se tienen los grupos de 20, en el
tercero se tienen los grupos de 20 × 20 = 400, en el cuarto se tienen los grupos de
20 × 20 × 20 = 8 000, etcétera.
Por ejemplo, el número 2 077 se escribía en maya de la siguiente manera:
5 de 400
3 de 20
3 × 20
17 unidades
5 × 400
17 × 1
2 077
2 077 = 2 000 + 60 + 17
Completen la siguiente tabla. Escriban las operaciones que se requieren en cada caso.
8 × 400 + 3 × 20 + 5 × 1
= 3 200 + 60 + 5
= 3 265
= 4 077
Comparen los números y comenten cómo los encontraron.1
1 En el tercer nivel se tenían los grupos de 360, y no de 400. Se piensa que esto era así debido a que los mayas manejaban
un calendario de 360 días. A partir de aquí, el valor de cada nivel se obtiene multiplicando por 20 el valor del nivel
anterior. Así, en el cuarto nivel, se tienen los grupos de 7 200 (360 × 20), y no de 8 000; en el quinto nivel se tienen
los grupos de 144 000 (7 200 × 20), y no de 160 000, etcétera.
20
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MATEMÁTICAS
I
A lo que llegamos
• El sistema de numeración maya es un sistema posicional porque el valor de cada
número depende de la posición (o nivel) en la que se encuentre. El valor de cada nivel
se obtiene multiplicando por 20 el valor del nivel anterior.
• En el sistema maya existen tres símbolos: ,
y
. Con estos símbolos los
mayas podían escribir cualquier número. Utilizaban el símbolo para indicar que
una posición está vacía.
• L os mayas llegaron a utilizar números muy grandes: existen calendarios en los que se
menciona un periodo de tiempo de 300 millones de años.
Lo que aprendimos
En la columna de la derecha ordena los siguientes números del menor al mayor.
¿En qué te fijaste para ordenar los números?
21
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secue n c i a 1
sesión 3
El sistema decimal
Para empezar
El sistema de numeración decimal tiene sus orígenes en los números hindúes y fueron
dados a conocer en Europa por los árabes, por lo que se les conoce como números in­
doarábigos.
Consideremos lo siguiente
En esta actividad debes hacer una suma paso a paso para que vayas obteniendo los
números que están en la columna de la izquierda. Por ejemplo: para pasar del 0 al 900,
se suma 900, y para pasar del 900 al 902, se suma 2. Debes poner, además, cómo se lee
cada número.
RESULTADO
0
OPERACIÓN
REALIZADA
EL RESULTADO SE LEE
**
Cero
900
Se suma 900
902
Se suma 2
Novecientos dos
400 902
410 902
Cuatrocientos diez mil novecientos setenta y dos
410 972
50 410 972
58 410 972
Se suma 8 000 000
Cincuenta y ocho millones cuatrocientos diez
mil novecientos setenta y dos
58 416 972
858 416 972
22
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MATEMÁTICAS
I
a) Completa la siguiente suma con los números que obtuviste en la columna de
“operación realizada”:
900 + 2 +
+
+
+
+ 8 000 000 +
+
b) ¿Cuál es el resultado de hacer esta suma?
c) En el sistema de numeración decimal hay 10 símbolos o cifras. ¿Cuáles son?
Comparen sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron.
Manos a la obra
I. Observa la siguiente tabla:
Millones
Millares
Unidades
D. de
millón
U. de
millón
C. de
millar
D. de
millar
U. de
millar
5
8
4
1
0
Centenas Decenas Unidades
(C)
(D)
(U)
9
7
2
El número 58 410 972 se lee “cincuenta y ocho millones cuatrocientos diez mil novecientos setenta y dos”.
Fíjate en la tabla y responde.
Millones
Millares
C. de
D. de U. de
millón millón millón
8
5
8
Unidades
C. de D. de U. de Centenas
millar millar millar
(C)
4
1
6
9
Decenas
(D)
Unidades
(U)
7
2
¿Cómo se lee el número 858 416 972?
Comenten y comparen sus respuestas.
Cuando se leen los números se agrupan cada tres cifras. Las tres primeras, de derecha a
izquierda, son las unidades; las tres siguientes son los miles; las tres siguientes son los
millones; luego vienen los miles de millones y después los billones.
23
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secue n c i a 1
II. En el número 858 416 972, el valor posicional del 5 es 50 000 000 unidades; el valor po­
sicional del 6 es 6 000 unidades. Completa la tabla con el valor posicional de cada cifra.
Millones
Millares
Unidades
D. de
millón
U. de
millón
C. de
millar
D. de
millar
U. de
millar
8
5
8
400 000
1
6
El v
alor posicional es
C. de
millón
50 000 000
400 000
Centenas Decenas Unidades
(C)
(D)
(U)
9
6 000
7
2
70
2
a) Completa la suma de todos los números del tercer renglón, leídos de derecha a
izquierda:
2 + 70 +
+ 6 000 +
+ 400 000 +
+ 50 000 000 +
b) ¿Cuál es el resultado de esta suma?
c) Estos números también se expresan utilizando multiplicaciones: las unidades se
multiplican por 1 y los demás números se multiplican por 10, 100, 1000. Comple­
ta la tabla para expresar así cada una de las cantidades.
8
5
8
El v
alor posicional es
50 000 000
4
1
400 000
6
9
6 000
8 × 1 000 000
6 × 1 000
9 × 100
7
2
70
2
7 × 10 2 × 1
d) Completa la suma de todos los números del último renglón:
2 × 1
+
7 × 10
+
+
8 × 1 000 000
+
+
6 × 1 000
5 × 10 000 000
+
+
+
Comparen sus tablas y comenten:
a) En el número 858 416 972, ¿cuál es el valor posicional del primer 8, de izquierda
a derecha?
b) ¿Cuál es el valor posicional del siguiente 8?
24
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MATEMÁTICAS
I
III.Completa la tabla con el valor posicional de cada cifra en el número 50 410 972.
Millones
El v
alor posicional es
5
Millares
4
0
50 000 000
1
Unidades
0
9
7
2
400 000
a) ¿Cuál es el valor posicional del primer 0, de izquierda a derecha?
b) ¿Cuál es el valor posicional del siguiente 0?
c) Expresa en tu cuaderno el número 50 410 972, utilizando los múltiplos de 10.
Comparen sus respuestas.
En el sistema de numeración decimal se agrupa de 10 en 10: 10 unidades forman una
decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar,
etcétera. En cada posición puede ponerse una cifra del 0 al 9; al llegar al 10 hay
que agregar una unidad en la siguiente posición. Así, de derecha a izquierda, en la
primera posición van las unidades, en la segunda posición van los grupos de 10, en
la tercera posición van los grupos de 10 × 10 = 100, en la tercera posición se tienen los
grupos de 10 × 10 × 10 = 1 000, etcétera.
IV.El siguiente es un juego por equipos. Cada integrante del equipo debe hacer cinco
tarjetas como las que se muestran y recortarlas.
Millones
Mil
Seis
Tres
Ocho
Encuentren todos los números que pueden obtenerse usando las cinco tarjetas. Anóten­
los en sus cuadernos en orden de menor a mayor, con letra y con número.
a) ¿Cuántos números diferentes encontraron?
b) ¿Cuál es el mayor? Escríbanlo con números
c) ¿Cuál es el menor? Escríbanlo con números
Comparen sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron.
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s e c u e n cia 1
A lo que llegamos
• En el sistema de numeración decimal, que es el de uso oficial en nuestro país y en casi
todo el mundo, se usan diez símbolos o cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 llamados dígitos.
• Es un sistema posicional porque el valor de cada dígito depende de la posición en la
que se encuentre. Al escribir números enteros, el valor del dígito que está en la segunda
posición, de derecha a izquierda, se multiplica por 10 ; el que está en la tercera se multiplica por 100 ; el que está en la cuarta se multiplica por 1 000, y así sucesivamente.
• Uno de los dígitos, el 0, sirve para indicar que una determinada posición está vacía.
Lo que aprendimos
1. De acuerdo con los datos del último Censo General de
Población y Vivienda, en el año 2000 México tenía
97 483 412 habitantes. El estado más poblado era el
Estado de México con 13 083 359, el menos poblado
era Baja California Sur con 423 516. El DF tenía
8 591 309, Jalisco 6 321 278 y Veracruz 6 901 111.
Con estos datos haz una tabla en la que indiques:
• El nombre de cada estado.
• Su población, escrita con número y con letra.
Ordena los datos de menor a mayor población.
2. Relaciona las columnas:
( ) Puede escribirse un número poniendo los símbolos en senti­
do opuesto sin que cambie el valor del número.
A. Sistema de numeración decimal.
( ) El valor de cada posición se obtiene multiplicando por 10 el
valor de la posición anterior.
( ) Tiene tres símbolos.
B. Sistema de numeración maya.
C. Sistema de numeración egipcio.
( ) El valor de cada nivel se obtiene multiplicando por 20 el
valor del nivel anterior.
( ) Para escribir ciertos números se necesitan muchos símbolos.
( ) Se usan diez símbolos o cifras
( ) No tiene cero.
26
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MATEMÁTICAS
I
3. Agrega a las tarjetas de la actividad IV, una tarjeta con el nombre ciento(s). Esta tar­
jeta puede utilizarse como el singular ciento o el plural cientos. Encuentra la mayor
cantidad posible de números que pueden obtenerse usando las seis tarjetas. Escríbe­
los en tu cuaderno con letra y con número. Indica el número mayor y el número
menor.
4. ¿Tienen en tu comunidad un sistema de numeración distinto del decimal?, ¿cuántos
símbolos tiene?, ¿es aditivo?, ¿es posicional?, ¿hay algún símbolo que indique que
una posición está vacía?
Para saber más
Sugerencias para que revises otros materiales con
los que puedes ampliar tu conocimiento del tema.
Sobre los sistemas de numeración consulta en el libro de texto de Matemáticas quinto grado, SEP, la portada del Bloque 1 (pp. 8 y 9).
Sobre los sistemas de numeración maya consulta:
http://interactiva.matem.unam.mx/matechavos/sabias/html/mayas/html/mayas.html
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora,
UNAM.
27
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secue n c i a 2
En esta secuencia trabajarás en la representación de números fraccio­
narios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informa­
ciones, analizando las convenciones de esta representación.
sesión 1
El salto de altura
Para empezar
El salto de altura
El salto de altura es una de las competencias atléticas más atractivas. Se trata de saltar
sobre una barra horizontal que está colocada a varios metros sobre el nivel del piso. ¡Los
mejores atletas saltan más de 2 metros de altura!
Para decidir cuándo un competidor gana o pierde una competencia es muy importante
medir de modo muy preciso la altura de sus saltos. Las mediciones de los saltos se pueden
realizar usando fracciones y números decimales.
La tabla muestra tres marcas conseguidas en el salto de altura por distintos atletas.
Año
Competencia
Atleta
1993
Campeonato Mundial
de Atletismo
Javier Sotomayor
1996
Juegos Olímpicos de
Estados Unidos
Charles Austin
2004
Juegos Olímpicos de
Atenas
Stefen Hölm
Longitud aproximada
del salto (metros)
2 wQ
2 tW
2 eQ
28
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MATEMÁTICAS
I
Consideremos lo siguiente
En la siguiente recta se ha representado el salto de Sotomayor. Anota en el lugar
correspondiente la representación de la distancia que saltaron Austin y Hölm.
2
0
2
wQ
e:
Recuerda qu
mixto se
Un número
sar
puede expre
acción
como una fr
r ejemplo,
impropia. Po
.
= 2 + Qw = wT
Sotomayor
a) ¿Quién hizo el salto de mayor altura?
b) ¿Quién hizo el salto de menor altura?
2
Qw
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obra
I. Ubica en la siguiente recta los números 1,
wQ
y 1 wQ .
2
0
2
wQ
a) En la misma recta ubica el 3.
b) ¿Cómo supiste dónde va el 3?
c) Con tu regla mide la distancia del 0 al 1. ¿Cuánto es?
, ¿y la de 2 a 3?
¿Y la distancia de 1 a 2?
Verifica que estas tres distancias sean iguales, si no es así revisa en dónde está el
error.
II. Considera ahora sólo la distancia de 2 a 3.
0
2
a) Ubica el punto 2
Qe
3
(altura que saltó Hölm).
b) ¿Qué hiciste para localizar el punto 2 Qe ?
29
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s e c u e n cia 2
c) Hay muchas maneras de dividir un segmento en tres partes iguales; a continuación se presenta una.
1. Necesitas una hoja rayada.
2. Tomas la hoja de papel y colocas una de las rayas al
inicio del segmento que quieres dividir.
3. Giras la hoja hasta que tres renglones corten al seg- 4. Pones una marca en cada corte y ¡listo! el segmento
mento que quieres dividir.
queda dividido en tres partes.
d) Utiliza el procedimiento anterior para dividir segmentos en tres partes iguales y
ubica en la recta Qe , We , Ee , 1 Qe , 1 We , 2 Qe .
0
1
2
3
e) Verifica que el segmento que va de 0 a 1 haya quedado dividido en tres partes
iguales. Puedes usar tu regla para medir la longitud de las partes.
30
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MATEMÁTICAS
I
El número de renglones que debes considerar es igual al número de partes en que quieres
dividir el segmento; por ejemplo, si quieres dividirlo en cinco partes, giras la hoja hasta
que cinco renglones corten al segmento.
III.Considera la recta y ubica los puntos que corresponden a
0
1
Qt , Wt , Et , It , 1 Et , 1 Rt , 2 Wt .
2
3
Utiliza tu regla para verificar que el segmento que va de 1 a 2 haya quedado dividido en
cinco partes iguales.
Regresen al problema inicial y verifiquen, apoyándose en el procedimiento de la hoja
rayada, si localizaron bien los saltos de Austin y Hölm.
A lo que llegamos
En la recta numérica pueden ubicarse fracciones.
0
1
1 oT
2
3
Si se desea ubicar novenos en la recta, la unidad en la que se va a
ubicar debe quedar dividida en nueve partes iguales.
Para ubicar números en la recta numérica es importante que con­
sideres que a diferencias iguales entre números deben corresponder
distancias iguales.
31
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6/2/07 6:49:07 PM
secu enci a 2
Por ejemplo,
a) la distancia de 3 a 4 debe ser la misma que la de 4 a 5.
b) la distancia de
Qw
a 1 debe ser la misma que la de 3 a 3 Qw .
Longitudes iguales
0
1
2
3
IV.Cada uno de los miembros de la pareja localice la fracción Te en la siguiente recta
numérica considerando los puntos dados. Háganlo por separado.
Recta A
0
Comparen sus respuestas. Con su regla midan la distancia de 0 a Te . ¿Es la misma o es
distinta? ¿Porqué creen que sea así?
IV.En la recta B localicen 1 y 2. Háganlo por separado y no se olviden de considerar los
puntos dados.
Recta B
0
wT
a) ¿En cuántas partes dividieron el segmento que va de 0 a Tw ?
b) Localicen otra vez la fracción Te , pero ahora háganlo en la recta B.
c) ¿Llegaron los dos al mismo resultado? Comenten cómo lo obtuvieron.
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Cuántas maneras distintas encontraron para localizar
b) ¿Cuántas maneras distintas hay para localizar
Te
Te
en la recta A?
en la recta B?
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MATEMÁTICAS
I
A lo que llegamos
En una recta numérica que sólo tiene localizado un número, hay
muchas maneras correctas de localizar otro. Por ejemplo, en la recta A
de la actividad anterior hay muchas maneras distintas de localizar Te .
Si en la recta numérica están ya localizados dos puntos, entonces hay
una sola manera de localizar cualquier otro. Por ejemplo, en la recta B
de la actividad anterior hay una sola manera de localizar Te .
Lo que aprendimos
1. Usa una hoja rayada para dividir segmentos en el número de partes que se requiere y
ubica las fracciones que se indican.
a)
Wt
0
1
2
b) 1 Wt
0
c)
d)
1
2
Eu
1
2
1
2
qQ pQ
2. Anota el número que corresponde a cada punto.
0
1
2
3
33
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s e c u e n cia 2
3. Ubica en la recta numérica los números indicados.
a)
Qw
3
b)
Er
0
c) 1
d) 2
2
Qw
We
0
wT
Comenten sus respuestas con otros compañeros. Mencionen la manera en que hallaron
los números de la actividad 2. Con respecto a la actividad 3, comenten acerca de cuáles
incisos tenían varias respuestas y cuáles sólo una y justifiquen por qué tenían una o
varias respuestas.
Sesión 2
Densidad y fracciones
Para empezar
Entre dos fracciones siempre hay otra fracción. A esta propiedad se le conoce como
densidad de las fracciones. En esta sesión estudiarán esta propiedad.
Consideremos lo siguiente
Encuentren un número que esté entre
eQ
Qe
y We . Localícenlo en la siguiente recta numérica:
eW
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
34
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I
MATEMÁTICAS
Manos a la obra
I. Los alumnos de otra telesecundaria dijeron que no hay ningún número entre
porque entre 1 y 2 no hay ningún número.
Qe
y
We ,
Comenten: ¿Están de acuerdo con ellos?, ¿por qué?
II. En la recta numérica localicen los números 0 y 1.
El segmento que va de 0 a 1 queda dividido en tercios. Verifíquenlo.
a) Dividan los tercios en sextos, ¿en cuántas partes tienen que dividir cada tercio?
b) Entre
Wy
y
Ry
hay otra fracción con denominador 6, ¿cuál es?
Localícenla en la recta.
c) Dividan en novenos el segmento de 0 a 1, ¿en cuántas partes tienen que dividir
cada tercio?
d) Encuentren y localicen en la recta tres números que estén entre Qe y We . ¿Cuáles
son?
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamos
Entre cualquier par de números fraccionarios siempre hay otros nú­
meros fraccionarios. Ésta es una propiedad que se conoce como pro­
piedad de densidad de las fracciones.
III.En las rondas eliminatorias para el Campeonato Mundial de 2005, un competidor
tuvo mejores marcas que Hölm, pero no superó la marca de Austin. En la recta numérica están representadas las alturas que saltaron Hölm y Austin.
2
eQ
Hölm
2
tW
Austin
Contesten:
¿Cuánto pudo haber saltado el nuevo competidor?
Representen esta altura en la recta numérica.
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s e c u e n cia 2
IV.Los alumnos de otra telesecundaria dijeron que no se puede resolver el problema
anterior. Convirtieron los resultados de Austin y de Hölm a quinceavos:
Recuerda que:
fracción se
Cuando en una
o
el mismo númer
multiplica por
al numerador
or, se obtiene
y al denominad
uivalente.
una fracción eq
Por ejemplo:
×3
q t .
Numerador
Denominador
Entonces
Wt
t y q t
×3
es.
son equivalent
Charles Austin: 2 Wt m = 2   m.
Stefen Hölm: 2 Qe m = 2   m.
Y dijeron que entre 2 
y 2 
no hay ningún número.
 
¿Están de acuerdo con lo que dicen en esa escuela? ¿Por qué?
V. En la recta numérica localicen 2 

y 2   . Dividan en treintavos y encuentren:
2   = 2 

2   = 2 e
p
a) ¿En cuántas partes hay que dividir cada quinceavo para obtener treintavos?
b) Exactamente a la mitad entre 2   y 2 

hay otro número, ¿cuál es?
c) Sin dividir en la recta, encuentren las siguientes equivalencias:
2 
= 2 rt
2   = 2 rt

d) Entre 2 Wt y 2 Qe hay dos fracciones con denominador 45, ¿cuáles son?
Encuentren tres posibles saltos más altos que 2 Qe m (Stefen Hölm), pero más bajos
que 2 Wt m (Charles Austin):
36
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MATEMÁTICAS
I
Lo que aprendimos
1. En la siguiente recta numérica ubica el número wQ :
tW
tE
Encuentra tres números que estén entre
Wt
2. Encuentra tres números que estén entre 1
numérica:
y
Et . Localízalos en la recta.
Eu
y 1 Tu . Localízalos en la siguiente recta
El salto de longitud
y los números decimales
Sesión 3
Para empezar
Otra de las pruebas atléticas más emocionantes es la del salto de longitud. Como verán,
al igual que las fracciones, los decimales juegan un papel sumamente importante en las
decisiones que los jueces toman para saber quién es el ganador de una prueba.
Consideremos lo siguiente
La siguiente tabla muestra las mejores marcas de la prueba de salto de longitud en la
categoría varonil.
MEJOR MARCA MUNDIAL
MEJOR MARCA
MEJOR MARCA EN LOS JUEGOS
DE ATLETISMO
EN JUEGOS OLÍMPICOS
OLÍMPICOS DE ATENAS (2004)
Mike Powell (EEUU)
8.95 m
Bob Beamon (EEUU)
8.9 m
Dwight Phillips (EEUU)
8.59 m
Localicen en la siguiente recta cada una de estas marcas.
8.5
9
a) ¿Superó Dwight Phillips la marca de Bob Beamon?
b) ¿Superó Dwight Phillips la marca de Mike Powell?
37
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secu enci a 2
Comparen sus procedimientos con los de sus compañeros y comenten:
En una escuela dicen que 8.59 es más grande que 8.9, porque 59 es mayor que 9.
¿Ustedes qué opinan, cuál será más grande? ¿Por qué?
Manos a la obra
I. Realicen las siguientes actividades:
a) Localicen en la recta los números 8 aGp , 8 aHp , 8 aJp , 8   y 8 aLp .
8.5
9
b) Escriban las marcas de Powell, Beamon y Phillips en forma de número fraccionario
mixto:
Recuerda que:
accionarios
Los números fr
eden escribir
decimales se pu
con denomicomo fracción
1000, etc.,
nador 10, 100,
si el número
dependiendo de
cimos,
decimal tiene dé
simos,
centésimos, milé
etcétera.
= 8  
Por ejemplo, 8.5
Powell: 8.95 = 8 ap
p
Beamon: 8.9 = 8 ap
Phillips: 8.59 = 8 ap
p
c) ¿A cuántos centésimos equivalen 9 décimos?
d) ¿Qué número es mayor 8aO p
Pp
o 8aT p Op ?
e) En la recta anterior localicen los números: 8 aO p Tp , 8 aO p
Pp
y 8 aT p Op .
Comenten:
¿En qué se equivocaron en la respuesta de la otra escuela?
II. En las rondas eliminatorias para el Campeonato Mundial de 2005 hubo cinco competidores con mejores marcas que Beamon, pero no igualaron la marca de Powell.
Todos estos competidores tuvieron marcas distintas.
a) ¿Cuánto pudieron haber saltado estos competidores?
b) Ubiquen sus saltos en la siguiente recta:
8.90
8.95
38
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MATEMÁTICAS
I
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten:
a) ¿Encontraron las mismas distancias para los saltos?
b) Si se divide a la mitad el segmento que va de 8.90 a 8.91, se encuentra el número 8.905. ¿Qué número se encuentra si se divide a la mitad el segmento que va de
8.91 a 8.92?
A lo que llegamos
Entre cualquier par de números decimales siempre hay otros números decimales. Ésta es
una propiedad que se conoce como propiedad de densidad de los números decimales.
Lo que aprendimos
1. En la siguiente recta numérica localiza los números 0.5 y
números que estén entre ellos.
Ur . Después encuentra dos
0
qHp , 0.4, 0, Et :
2. En la siguiente recta numérica localiza los números Wt ,
tQ
1
a) ¿Cuál es el mayor de los números que localizaste?
b) Y, ¿cuál es el menor?
c) Encuentra y localiza dos números que estén entre
Wt
y
Et .
Para saber más
Sobre las distintas maneras de representar números enteros consulta en las Bibliotecas
Escolares y de Aula:
Marvan, Luz María. “Escritura decimal infinita” y “Otros símbolos para números no enteros” en Representación numérica. México: SEP/Santillana Libros del Rincón, 2003.
Sobre las distintas maneras de interpretar los números escritos en forma de fracción consulta:
Marvan, Luz María. Andrea y las fracciones. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Sobre la distribución de la población en el país consulta:
http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.asp [Fecha de consulta: 23 mayo 2006].
Ruta: entrar al acceso directo II Conteo de Población y Vivienda 2005.
Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.
39
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secue n c i a 3
En esta secuencia construirás sucesiones a partir de una regla dada
y determinarás expresiones generales para definir las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.
sesión 1
Figuras que crecen
Para empezar
Figuras que crecen
Una sucesión de figuras es un conjunto de figuras con la propiedad de que hay un patrón
de crecimiento que permite obtener todas las figuras del conjunto, empezando por la
que ocupa el primer lugar de la sucesión, luego la que ocupa el segundo, luego la que
ocupa el tercero y así sucesivamente. Se llama figura 1 a la que ocupa el primer lugar en
la sucesión, figura 2 a la que ocupa el segundo, figura 3 a la que ocupa el tercero y así
sucesivamente.
Consideremos lo siguiente
a) Completen la siguiente sucesión de figuras.
Figura 1
Figura 6
Figura 2
Figura 3
Figura 7
Figura 4
Figura 8
Figura 5
Figura 9
40
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MATEMÁTICAS
I
b) Completen la tabla para encontrar cuántos puntos tienen algunas de las figuras de la
sucesión. Si es necesario dibujen las figuras en sus cuadernos.
Número de la
figura
Número de puntos
de la figura
Número de la
figura
1
4
8
2
3
4
5
6
7
Número de puntos
de la figura
9
10
11
12
13
14
Comparen sus tablas y comenten:
a) ¿Cómo calcularon el número de puntos de la figura 14?
b) ¿Cómo calcularían el número de puntos de cualquiera de las figuras?
Manos a la obra
I. ¿Cuáles de los siguientes procedimientos sirven para encontrar el número total de
puntos de cualquiera de las figuras de la sucesión? Subráyenlos.
• Multiplicar por 4 el número de puntos que tiene la figura en cada lado.
• Se le suman 4 puntos al número de puntos de la figura anterior.
• Son los múltiplos de 4.
• Es el número de la figura multiplicado por 4.
Comparen sus respuestas. Usen los procedimientos que escogieron para
contestar:
a) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 15?
Recuerden que:
4 son
Los múltiplos de
e se
los números qu
tiplicar
obtienen al mul
r algún
el número 4 po
otro número.
es
Por ejemplo, 12
rque:
múltiplo de 4 po
4 × 3 = 12.
b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 20?
II. Contesten:
a) Escriban el número que corresponde a cada
una de las figuras de la derecha.
b) ¿Qué figura tendría 56 puntos?
c) ¿Qué figura tendría 72 puntos?
Comenten:
Figura
Figura
¿Por qué no hay figuras con un número impar de puntos: 1, 3, 5, 7, 9, …?
41
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s e c u e n cia 3
A lo que llegamos
A los procedimientos que dicen cómo obtener el número de puntos de cada figura
en una sucesión se les llama reglas. Por ejemplo, en la anterior sucesión de figuras,
el procedimiento son los múltiplos de 4 es una regla que permite encontrar el número de puntos que tiene cada figura.
Cuando hay varias reglas para obtener el número de puntos de cada figura en una
sucesión se dice que son reglas equivalentes. En el ejemplo, las siguientes reglas son
equivalentes:
• Se le suman 4 puntos al número de puntos de la figura anterior.
• Son los múltiplos de 4.
• Es el número de la figura multiplicado por 4.
Lo que aprendimos
1. Completen la siguiente sucesión de figuras:
Figura 1
Figura 6
Figura 2
Figura 3
Figura 7
Figura 4
Figura 8
Figura 5
Figura 9
a) ¿Cuáles de las siguientes reglas sirven para encontrar el número de puntos de
cualquiera de las figuras de la sucesión? Subráyenlas.
• El número de puntos de la figura anterior más 2 puntos.
• Los números impares.
• Multiplicar por 2 el número de la figura y sumar 1.
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MATEMÁTICAS
I
b) Usando la regla que escogieron, completen la siguiente tabla para calcular el
número de puntos de algunas de las figuras de la sucesión.
Número de la figura
Número de puntos
1
2
3
4
5
8
10
15
20
25
30
Comparen sus tablas y las reglas que escogieron. Encuentren las reglas que son
equivalentes.
2. Contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Qué figura tiene 51 puntos?
b) ¿Qué figura tiene 61 puntos?
c) ¿Habrá alguna figura con 62 puntos?
Expliquen en sus cuadernos por qué.
Comenten:
a) ¿Por qué la siguiente figura no aparece en la sucesión?
b) ¿Por qué en la sucesión no hay figuras que tengan un número par de puntos: 2, 4,
6, 8, …?
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Números que crecen
sesión 2
Para empezar
En una sucesión de números, como: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …
Se llama primer término al número que ocupa el primer lugar en la sucesión, en el ejemplo el primer término es 2.
Se llama segundo término al número que está en el segundo lugar en la sucesión, en el
ejemplo el segundo término es 4.
Se llama tercer término al número que está en el tercer lugar, en el ejemplo el tercer
término es 6, etcétera.
Consideremos lo siguiente
a) Completen la siguiente sucesión de números:
3,
, 9, 12,
, 18,
,
, 27,
,33,
,
, 42,
, 48,
, 54,
, 60,
,…
b) Escriban en sus cuadernos una regla para obtener cualquiera de los términos de la
sucesión.
Comparen sus respuestas y las reglas que escribieron.
Manos a la obra
I. Usando la regla que escribieron completen la siguiente tabla (observen que la tabla
inicia con el término que ocupa el lugar 21):
Lugar del término
Término de la sucesión
21
22
23
24
25
30
93
40
123
126
50
180
44
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MATEMÁTICAS
I
a) ¿Cuál es el término de la sucesión que está en el lugar 40?
b) ¿Cuál es el término de la sucesión que está en el lugar 24?
c) ¿En qué lugar está el término 30?
d) ¿En qué lugar está el término 123?
II. De las siguientes reglas, ¿cuáles son equivalentes a la que ustedes encontraron para
obtener los términos de la sucesión? Subráyenlas.
• Sumar 3 al lugar del término.
• Sumar 3 al término anterior.
• Los múltiplos de 3.
• Multiplicar por 3 el lugar del término.
Comparen sus tablas y sus respuestas.
A lo que llegamos
Las reglas que sirven para obtener los términos de una sucesión se
pueden dar a partir del lugar del término, por ejemplo multiplicar por
3 el lugar del término.
III. En la columna izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesiones
y en la columna derecha, algunas reglas que permiten encontrar estas sucesiones.
Relacionen ambas columnas.
¡Cuidado: algunas de las sucesiones se pueden obtener usando dos reglas!
Términos de la sucesión
Reglas
(
) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …
(A) Sumar cuatro al término anterior.
(
) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …
(B) Los números pares.
(
) 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, …
(C) Multiplicar el lugar del término por 4.
(
) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …
(D) Multiplicar el lugar del término por 5.
(
) 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45, …
(E) Multiplicar el lugar del término por 5 y sumar 4.
(F) Multiplicar el lugar del término por 2.
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secue n c i a 3
Comparen sus respuestas y comenten:
Recuerden que:
¿Cuáles de las reglas anteriores son equivalentes?
Dos reglas son equi
valentes si
con las dos se obtie
nen los
términos de la mism
a sucesión.
Lo que aprendimos
Un juego en parejas:
• El primer jugador inventa una regla y la escribe en su cuaderno (sin que la vea su
compañero). Luego, usando la regla, escribe los primeros ocho términos de la sucesión
y se los enseña a su compañero.
• El segundo jugador escribe una regla para obtener la sucesión.
• Los dos jugadores verifican si con la regla del segundo se obtienen los términos de la
sucesión planteada por el primero (es decir, si el segundo jugador escribió la regla
correcta). De ser así, el segundo jugador gana un punto.
• Se empieza nuevamente el juego intercambiando los papeles de los jugadores.
sesión 3
regla de sucesiones
Para empezar
En las sesiones anteriores aprendieron a escribir reglas que describen las sucesiones de
números y figuras usando palabras. En esta sesión aprenderán otra forma de escribir
estas mismas reglas utilizando el lugar que ocupa el término en la sucesión.
Consideremos lo siguiente
Completen la siguiente sucesión de números y contesten las preguntas.
7, 14, 21,
, 35,
,
, 56, 63,
,77,
,
, 98,
, 112,
,…
a) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término del lugar 4?
b) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término del lugar 10?
c) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término del lugar 20?
d) Usen la letra n para representar el número del lugar y escriban una regla para encontrar el término del lugar n.
Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.
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MATEMÁTICAS
I
Manos a la obra
I. Completen la siguiente tabla para calcular algunos de los términos de la sucesión y
respondan las preguntas. Usen las reglas que encontraron.
Lugar
del término
Término
de la sucesión
1
7
2
14
3
21
4
5
35
6
7
8
56
63
10
15
140
25
210
40
a) ¿Entre qué número dividen el 63 para encontrar el lugar que ocupa en la sucesión?
b) ¿Entre qué número dividen el 210 para encontrar el lugar que ocupa en la sucesión?
c) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término que está en el lugar 30?
d) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término que está en el lugar 40?
e) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término que está en el lugar n?
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secue n c i a 3
II. En una telesecundaria escribieron las siguientes reglas para encontrar el término que
está en el lugar n, ¿con cuáles de estas reglas están ustedes de acuerdo? Subráyenlas.
• Sumar n más 7.
• Multiplicar por 7.
• Sumar 7 al término anterior.
• Multiplicar n por 7.
Comparen sus respuestas y encuentren las reglas que son equivalentes.
III. Usando las reglas que encontraron contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?
b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 150?
c) ¿Cuál es el término que está en el lugar 300?
d) ¿En qué lugar está el término 777?
IV. Completen la siguiente sucesión de figuras y contesten las preguntas.
Figura 1
Figura 5
Figura 2
Figura 3
Figura 6
Figura 4
Figura 7
48
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MATEMÁTICAS
I
a) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 4?
b) ¿Cuántos puntos tiene la figura 7?
c) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 9?
d) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 10?
e) ¿Cuáles de las siguientes reglas permiten encontrar el número de puntos de la figura que está en el lugar n? Subráyenlas.
•Sumar 5 al término anterior.
•5n + 2.
•Multiplicar n por 5 y sumar 2.
f) Usando la regla que eligieron completen la siguiente tabla para obtener el número de puntos de algunas de las figuras de la sucesión.
Lugar
de la figura
Número de
puntos de la figura
1
7
2
12
3
17
4
5
27
6
7
37
8
9
10
20
25
30
100
49
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s e c u e n cia 3
A lo que llegamos
Las reglas que sirven para obtener los términos de una sucesión se pueden dar
a partir del lugar del término de la sucesión.
Por ejemplo, la regla multiplicar el lugar del término por 7 se puede escribir usando la letra n como:
• multiplicar 7 por n.
• 7 por n.
Por convención, 7 × n se puede escribir como: 7n.
Entonces:
• El término que está en el primer lugar es igual a 7 × 1 = 7.
• El término que está en el segundo lugar es igual a 7 × 2 = 14.
• El término que está en el tercer lugar es igual a 7 × 3 = 21.
• El término que está en el lugar
n es igual a 7 × n.
Lo que aprendimos
Completa la siguiente sucesión de figuras y contesta las preguntas.
Figura 1
Figura 7
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 8
Figura 5
Figura 6
Figura 9
50
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MATEMÁTICAS
I
a) ¿Qué figura tendrá 25 puntos ?
b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 8?
c) ¿Qué figura tendrá 100 puntos?
d) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 20?
e) Escribe una regla para calcular el número de puntos de la figura del lugar n:
Para saber más
Sobre las sucesiones de números y patrones consulta en las Bibliotecas Escolares y de
Aula:
Ruiz, Concepción y Sergio De Régules. “Aventuras Fractales” en El Piropo matemático. De
los números a las estrellas. México: SEP/Editorial Lectorum, Libros del Rincón, 2003.
Sobre patrones que aparecen en la naturaleza como la razón áurea y los fractales
consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
Ruta para la razón áurea: SECUNDARIA
RAZÓN ÁUREA (dar clic en el dibujo de
Nautilus).
Ruta para fractales: BACHILLERATO Y LICENCIATURA
FRACTALES (dar clic en el
dibujo de la Curva de Koch).
Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora,
UNAM.
51
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secue n c i a 4
En esta secuencia explicarás en lenguaje natural el significado de
algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.
sesión 1
fórmulas y perímetros
Para empezar
Fórmulas y perímetros
Recuerda que el perímetro de una figura geométrica es la medida de su contorno. A
continuación se calcula el perímetro de un rectángulo, de un pentágono regular (de lados y ángulos iguales) y el de un polígono irregular; observa que el contorno está resaltado con una línea roja.
2 cm
4 cm
Perímetro = 4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm
3 cm
Perímetro = 5 × 3 cm = 15 cm
6 cm
5 cm
3 cm
3 cm
2 cm
Perímetro = 6 cm + 5 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 19 cm
52
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MATEMÁTICAS
I
Consideremos lo siguiente
Completen la siguiente tabla para calcular el perímetro de algunos cuadrados de distintos tamaños:
Medida del lado (cm)
Perímetro (cm)
4
5
6
7
8
9
10
20
25
Tabla 1
a) ¿Cómo se obtiene el perímetro de un cuadrado?
b) ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide x cm?
Comparen sus tablas y comenten sus respuestas.
Manos a la obra
I. Calculen el perímetro de los siguientes cuadrados:
5 cm
4 cm
3 cm
4 cm
3 cm
4 cm
5 cm
5 cm
3 cm
3 cm
Perímetro:
4 cm
Perímetro:
5 cm
Perímetro:
¿Cómo se calcula el perímetro de cualquier cuadrado?
53
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s e c u e n cia 4
II. En una escuela escribieron las siguientes expresiones para calcular el perímetro de un
cuadrado cuyo lado mide x cm. Subrayen las correctas.
• x + 4;
• x × 4;
• x + x + x + x;
• x por 4;
• 4 por x.
Comenten en grupo las expresiones que creen que son correctas y contesten:
a) ¿Cómo usarían las expresiones para calcular el perímetro de un cuadrado de lado
30 cm?
b) ¿Cuáles de las expresiones les dan los mismos resultados?
A lo que llegamos
Dos expresiones para calcular el perímetro son equivalentes
si siempre dan los mismos resultados. Por ejemplo, las expresiones
x + x + x + x y 4 por x son equivalentes.
III. La siguiente figura es un hexágono regular.
a
a
a
a
a
a
a) Encuentren y subrayen las expresiones correctas para calcular el perímetro del
hexágono:
6a
6×a
3a + 3a
6+a
6+6 +6+6+6+6
a+a+a+a+a+a
a+6
a×6
Tabla 2
54
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MATEMÁTICAS
I
b) Usando las expresiones que escogieron llenen la siguiente tabla para calcular el
perímetro de algunos hexágonos.
Anoten en el primer renglón las expresiones que encontraron.
Lado (cm)
2
4
10.5
Tabla 3
A lo que llegamos
Las expresiones como las de la tabla 2 se llaman expresiones algebraicas.
Las expresiones algebraicas a + a + a + a + a + a, 3a + 3a, a × 6, 6 × a y 6a son
equivalentes y sirven para calcular el perímetro de un hexágono con medida de
lado igual que a.
Por convención, 6 × a también se escribe 6a.
Lo que aprendimos
1. Relaciona las columnas escribiendo en el paréntesis la letra que corresponda.
( )3×x
(A)
x
( )x+x+x+x+x+x+x
(B)
x
( )8+x
(C)
x
( )8×x
( )x+6
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secue n c i a 4
2. Escriban las expresiones algebraicas que sirven para calcular los perímetros de las siguientes figuras geométricas:
t
s
a
Expresión:
Expresión:
b
p
Expresión:
sesión 2
q
Expresión:
fórmulas y áreas
Para empezar
El área de una figura es la cantidad de unidades de superficie que caben en su interior.
Un ejemplo de unidad de superficie es un centímetro cuadrado, que es de este
tamaño y se abrevia cm2.
Por ejemplo, el área de un rectángulo se obtiene multiplicando el largo por el ancho; en
el caso del cuadrado, ambas medidas son iguales, por lo que se multiplica lado por lado.
2 cm
2 cm
2 cm
Área = 4 cm2
4 cm
Área = 8 cm2
56
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MATEMÁTICAS
I
Consideremos lo siguiente
Observen los siguientes rectángulos
1 cm
4 cm
t cm
6 cm
s cm
3 cm
a) ¿Cuánto mide el área del rectángulo azul?
b) ¿Cuánto mide el área del rectángulo rojo?
c) ¿Cuánto mide el área del rectángulo morado?
Comparen sus respuestas y expliquen cómo las encontraron.
Manos a la obra
I. Completen la siguiente tabla:
Largo
(cm)
Ancho
(cm)
2
1
4
3
5
2
6
2
6
5
7
4
8
3
8
6
9
7
10
2
10
3
Área
(cm2)
Comparen sus tablas y comenten cómo las completaron.
57
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s e c u e n cia 4
II. ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas sirven para calcular el área del rectángulo que mide de largo s y de ancho t? Subráyenlas.
• s + t + s + t.
• s + t.
• st.
• s × t.
• s × s × t × t.
• t × s.
Comparen sus respuestas y usen las expresiones que escogieron para calcular:
a) El área de un rectángulo que mide de largo 15 cm y de ancho 8 cm.
b) El área de un rectángulo que mide de largo 3 m y de ancho 2 m.
A lo que llegamos
Las expresiones s × t y st son expresiones algebraicas para calcular
el área de un rectángulo de largo s y ancho t. Por convención, s × t
se escribe st.
III. La siguiente figura es un cuadrado cuyo lado mide b:
b
b
a) Subrayen las expresiones correctas para calcular el área del cuadrado anterior:
4×b
4b
b+b
4+b
b+b+b+b
bb
b×b
b) Usando las expresiones que escogieron, llenen la siguiente tabla para calcular el
área de algunos cuadrados.
58
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MATEMÁTICAS
I
Anoten en el primer renglón las expresiones que encontraron.
Lado
3 cm
2.5 cm
2m
Comparen sus expresiones.
Lo que aprendimos
1. a) Escribe una expresión algebraica que permita
calcular el área del siguiente triángulo:
e:
Recuerda qu
calcula
triángulo se
n
or
u
e
d
a
re
El á
de la base p
a
id
d
e
m
la
do
iendo el
multiplican
ltura y divid
a
la
e
d
a
id
la med
tre dos.
resultado en
b
a
Expresión:
b) Usa la expresión que escribiste para calcular el área
de los triángulos con las siguientes medidas:
c) Compara la expresión algebraica que escribiste y tu
tabla con uno de tus compañeros. Comenten si las
expresiones que encontraron son equivalentes.
Base
(cm)
Altura
(cm)
2
1
4
3
2
5
6
2
Área
(cm2)
Para saber más
Sobre el cálculo de áreas y perímetros de distintas figuras geométricas consulta:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Los_cuadrilateros/Cuadrilateros2.htm
[Fecha de consulta: 16 de junio 2006].
Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia. España.
59
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secue n c i a 5
En esta secuencia tendrás la oportunidad de construir figuras simétricas respecto a un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se
conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros,
rombos, cuadrados y rectángulos.
sesión 1
Como si fuera un espejo
Para empezar
El Taj Mahal se encuentra en la India y por su diseño y belleza es considerado una mara­
villa de la arquitectura. ¿Ya observaste cómo se refleja en el agua?
Cuando el agua está tranquila refleja las imágenes de los objetos y seres como si fuera
un espejo.
60
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MATEMÁTICAS
I
• En la figura de la derecha el reflejo es simétrico al
árbol con respecto a la línea roja.
• Esa línea roja recibe el nombre de eje de simetría.
Eje de simetría
Consideremos lo siguiente
¿De qué manera podría trazarse el simétrico del barco con respecto a la línea roja? Pla­
neen y lleven a cabo una manera para hacer el trazo con sus instrumentos geométricos.
C
Comenten con otros equipos el procedimiento que emplearon para trazar el simétrico.
Manos a la obra
I. En los siguientes dibujos el simétrico no está bien trazado. Corrígelos.
61
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s e c u e n cia 5
II. En el siguiente dibujo se ha trazado correctamente el simétrico del barco.
• Encuentra el punto que es el simétrico de A, nómbralo A’ (se lee A prima)
o
es el simétric
Se dice que A
, que A es el
de A’, o bien
de A'.
nte simétrico
ie
d
n
o
sp
e
rr
co
Eje de simetría
A
e:
Recuerda qu
iculares
Las perpend
.
ulos de 90º
forman áng
de un punto
La distancia
se mide por
a una recta
ular que va
la perpendic
la recta.
del punto a
• Usa tu regla para unir A con A’, al hacerlo obtienes el segmento AA’.
a) ¿Cuánto mide la distancia del punto A
al eje de simetría?
b) ¿Cuánto mide la distancia del punto A’
al eje de simetría?
A
c) ¿Cuánto mide el ángulo que forman el
eje de simetría y el segmento AA’?
• La distancia del punto A y de A’ al eje de simetría es la misma,
es decir, el punto A y A’ equidistan del eje.
• El eje de simetría y el segmento AA’ son perpendiculares.
62
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6/2/07 7:00:05 PM
I
MATEMÁTICAS
III. Verifica que para los puntos B y C y sus simétricos se cumplen también las dos con­
diciones enunciadas en el recuadro anterior.
• Anota en la figura las distancias de B, B’, C, C’ al eje y la
medida de los ángulos que forman el segmento BB’ y CC’
con el eje.
C
B
• Elige otros dos puntos y sus simétricos y verifica que
también se cumplen las condiciones mencionadas.
Esto que exploraste con algunas parejas de puntos simétricos
pasa con cualquier pareja de puntos simétricos.
,
B
IV.Verifica en el problema inicial que los puntos rojos y
sus simétricos también cumplen esas dos condiciones.
,
C
A lo que llegamos
Un punto es simétrico a otro con
respecto a una recta si y sólo si se
cumple que ambos puntos equidistan
de la recta y el segmento que los une
es perpendicular a la recta.
P
90°
1 cm
1 cm
P´
El simétrico de un segmento con respecto a una recta es otro segmento.
A
Todos y cada uno de los puntos del
segmento AB tienen su correspondiente
simétrico en el segmento A’B’.
El segmento A’B’ es el correspondiente
simétrico del segmento AB
Eje de simetría
B
,
B
,
A
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s e c u e n cia 5
Sesión 2
Papel picado
Para empezar
¿Te has fijado en las figuras que se
forman cuando se hace papel picado?
Muchos de los diseños de papel picado
son composiciones de figuras simétricas
con respecto a un eje.
Consideremos lo siguiente
Planeen y lleven a cabo una estrategia para terminar el siguiente papel picado de tal
manera que sea una composición simétrica respecto a la línea roja.
ue:
Recuerden q
métricos
Los puntos si
el
el eje, y que
equidistan d
be
e los une de
segmento qu
.
je
ular al e
ser perpendic
Comenten en grupo el procedimiento que siguieron para terminar el diseño del papel
picado. En particular digan cómo le hicieron para que un punto y su simétrico queden a
la misma distancia del eje.
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MATEMÁTICAS
I
Manos a la obra
I. Se quiere trazar el simétrico de este triángulo con respecto al eje
A
B
C
a) ¿Será necesario trazar el simétrico de todos y cada uno de los puntos del trián­
gulo?
b) ¿Cuáles puntos hay que localizar para trazar el triángulo simétrico?
II. El siguiente es un procedimiento que puede emplearse para trazar figuras simétricas
con respecto a un eje.
a) Se traza una perpendicular por cada vértice al eje de simetría. Para ello, primero se
colocan las escuadras de manera similar al dibujo de la página 62, para trazar un
segemento perpendicular el eje; después se prolonga este segmento hasta el otro lado
del eje. Esto se hace en cada vértice.
65
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s e c u e n cia 5
b) Con el compás se toma la medida de la distancia
de un punto al eje (puede hacerse con la regla,
pero con el compás es más preciso). Observa
cómo.
c) Con esa misma abertura se localiza el simétrico de
ese punto.
d) Se repite lo indicado en b) y c) en cada vértice de
la figura.
e) Se unen los vértices para obtener la figura
buscada.
66
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MATEMÁTICAS
I
III.Utiliza el procedimiento descrito para completar el dibujo del siguiente papel picado,
de tal manera que sea simétrico con respecto a la línea azul.
IV. En tu cuaderno traza un triángulo equilátero y una recta exterior al triángulo, des­
pués traza su simétrico con respecto a la recta. Haz lo mismo con un rombo.
A lo que llegamos
Para construir un polígono simétrico a otro con respecto a una recta:
1.Se traza una perpendicular a la recta por cada vértice de la figura.
2.Sobre la perpendicular que se trazó se toma la distancia de cada vértice a la recta
y se traslada esa misma distancia del otro lado de la recta. Se puede utilizar la regla
o el compás.
3.Se unen los vértices encontrados para formar el polígono.
En pocas palabras: se traza el simétrico de cada vértice con respecto a la recta y se unen.
Los vitrales
Para empezar
Sesión 3
¿Conoces los vitrales? Son composiciones de vidrios de colores, su magia está en la luz
que a lo largo del día dejan pasar. La simetría también está presente en algunos vitrales.
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s e c u e n cia 5
Consideremos lo siguiente
Determinen y coloreen el rombo que ha sido bien trazado para que el vitral sea simétri­
co con respecto a la línea vertical.
1
2
3
4
¿En qué se fijaron para elegir las figuras?
Comenten sus respuestas con sus compañeros del grupo, no olviden mencionar en qué
se fijaron para elegir las figuras.
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MATEMÁTICAS
I
Manos a la obra
I. Anota si estás o no de acuerdo con las siguientes afirmaciones; en cada caso explica
por qué.
Afirmación
¿De acuerdo?
¿Por qué?
El vitral simétrico es el 3 porque los ángulos del
rombo de la derecha son iguales a sus ángulos
correspondientes del rombo azul.
El vitral simétrico es el 4 porque los lados de la figura
de la derecha miden lo mismo que sus correspondientes del rombo de la izquierda.
El vitral simétrico es el 1 porque los dos rombos
tienen sus lados y ángulos correspondientes iguales.
II. El siguiente vitral es simétrico con respecto al eje rojo.
Nombra A’ al simétrico de A, B’ al simétrico de B y así sucesivamente. Mide lo que se
requiere y completa las tablas.
D
A
P
B
C
Q
Medida del segmento
(cm)
R
Medida de su simétrico
(cm)
Medida del ángulo
(grados)
Medida del ángulo
(grados)
AB
A’B’
∠A
∠ A’
BC
B’C’
∠B
∠ B’
CD
C’D’
∠C
∠ C’
DA
D’A’
∠D
∠ D’
PQ
P’Q’
∠P
∠ P’
QR
Q’R’
∠Q
∠ Q’
RP
R’P’
∠R
∠ R’
a) ¿Cómo son entre sí la medida de un segmento
y su simétrico?
b) ¿Cómo son entre sí la medida de un ángulo y
su correspondiente?
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secu enci a 5
III.Las siguientes son figuras simétricas con respecto al eje; sin medir, anota los datos
que se piden. No olvides colocar las unidades de medida (cm y grados).
m
a
a) Lado AD =
2.8 cm
45°
4 cm
b
135°
b) Lado NP =
Q
c) Lado PQ =
d) Ángulo M =
2 cm
90°
c
2 cm
d
n
90°
e) Ángulo B =
p
A lo que llegamos
Una figura simétrica a otra con respecto a un eje conserva la medida
de los lados y de los ángulos de la figura original.
A se lee ángulo A
AB = A’B’
BC = B’C’
AC = A’C’
A = A’
B = B’
C = C’
a
b
a´
c
IV. Observa en el vitral de la actividad II que:
AD es paralelo a BC, esto se simboliza AD l l BC.
PR es perpendicular a QR, esto se simboliza PR ^ QR.
c´
b´
e:
Recuerda qu
aralelas
Las rectas p
conservan
son las que
isma
siempre la m sí.
tre
distancia en
a) ¿Qué segmentos son paralelos en la figura del lado izquierdo?
b) ¿Sus simétricos también son paralelos?
c) ¿Qué segmentos son perpendiculares en la figura del lado izquierdo?
d) ¿Sus simétricos también son perpendiculares?
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MATEMÁTICAS
I
V. Considera las figuras de la actividad III. Anota el símbolo de paralelas ( l l ) o el de
perpendiculares ( ^ ).
Si AD
CD entonces MN
NP.
Si AD
BC entonces MN
QP.
A lo que llegamos
Como en una simetría se
conservan las medidas de los
segmentos y de los ángulos,
entonces, si hay lados paralelos
o perpendiculares en la figura
original sus simétricos también
son paralelos o perpendiculares.
m´
m
n´
n
q
q´
p
p´
Si MN PQ entonces M’N’ P’Q’.
Si MN
NP entonces M’N’
N’P’.
Los vitrales
Como te has dado cuenta, la simetría permite dar belleza y armonía a diversas composi­
ciones, como es el caso de los vitrales. Para construir un vitral simétrico es importante
identificar las propiedades que se conservan en la simetría con respecto a un eje.
Algo más sobre simetría
Sesión 4
Lo que aprendimos
1. Estos dos triángulos son simé­
tricos respecto al eje rojo; sin
medir, escribe la medida de
cada lado y de cada ángulo
de la figura simétrica.
3 cm
33.6°
90°
2 cm
3.6 cm
56.4°
2. Completa la figura para que
sea simétrica con respecto a la
línea azul.
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secue n c i a 5
3. Traza el o los ejes de simetría (si es que tienen) de estas figuras.
4. Traza el eje de simetría de cada pareja de figuras.
5. Traza el simétrico del triángulo PQR con respecto a la recta m.
P
P
R
Q
R
Q
m
m
72
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MATEMÁTICAS
I
6. Traza el simétrico del rectángulo ABCD con respecto a la recta m; obtendrás el rec­
tángulo A’B’C’D’.
A
D
B
C
m
n
a) ¿Cuáles segmentos son paralelos en el rectángulo ABCD?
b) ¿Cuáles segmentos son paralelos en el rectángulo A’B’C’D’?
c) Anota dos parejas de lados perpendiculares:
d) ¿Sus simétricos también son perpendiculares?
7. En la figura del número 6, traza el simétrico del rectángulo A’B’C’D’ con respecto a la
recta n; obtendrás el rectángulo A’’B’’C’’D’’ (A’’ se lee A bi-prima)
¿Puede decirse que el primer rectángulo y el rectángulo que acabas de trazar son simé­
tricos?
¿Por qué?
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Lo mismo de un lado y de otro” en Una ventana a las
formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Sobre cómo se usa la simetría con respecto a un eje en el funcionamiento de un pantógrafo consulta: http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=simaxi
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
Sobre dibujos simétricos consulta: www.google.com.mx
[Fecha de consulta: 16 de junio 2006].
Ruta: Imágenes (escribir simetría y dar clic en búsqueda de imágenes para ver dibujos simétricos).
73
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secue n c i a 6
En esta secuencia identificarás y resolverás situaciones de proporcio­
nalidad directa del tipo “valor faltante”, utilizando de manera flexible
diversos procedimientos.
sesión 1
Las cantidades
directamente proporcionales
Para empezar
En esta sesión estudiarás los costos de distintas mezclas de colores de pintura. A la gama
de colores conocidos se les llama colores compuestos y se obtienen al mezclar los tres
colores primarios: amarillo, azul y rojo.
El color verde, por ejemplo, se obtiene mezclando azul y amarillo. Las distintas tonalidades de verde, más claro o más oscuro, dependen de las cantidades de colores azul y
amarillo que se mezclen.
Consideremos lo siguiente
Manuel es pintor y quiere saber cuánto cuesta medio litro de pintura de aceite de color
verde claro. Fue a una tienda de pinturas, pero como no tenían pintura verde claro, le
ofrecieron los colores que puede mezclar para obtenerla.
La siguiente tabla muestra los colores que hay que mezclar para obtener la pintura
verde claro que Manuel quiere:
ue:
Recuerden q
ml)
itros (1 000
1 000 milil
1 litro (1l)
equivalen a
ml.
1l = 1 000
Pintura azul
Pintura amarilla
Color final de la mezcla:
pintura verde claro
150 mililitros
350 mililitros
500 mililitros
74
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MATEMÁTICAS
I
El costo de la pintura varía dependiendo del color. La siguiente tabla muestra los costos
de los colores primarios de la pintura de aceite:
Color de la pintura
Azul
Rojo
Amarillo
Precio por litro
$300
$500
$700
Comenten y contesten:
¿Cuál es el costo de 500 ml de pintura verde claro?
Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron.
Manos a la obra
I. En un grupo de otra telesecundaria hicieron el siguiente procedimiento para calcular
el costo de 500 mililitros de pintura verde claro:
1 litro de
pintura azul
$300
+
1 litro de
pintura amarilla
$700
=
2 litros de
pintura verde claro
$1 000
Y al final dijeron: “como dos litros de pintura verde claro cuestan 1 000 pesos, entonces
dividimos todo entre cuatro y tenemos que 500 mililitros cuestan $250”.
Comenten
¿Consideran correcto el procedimiento que encontraron en la otra telesecundaria?
Argumenten su respuesta.
II. Cuando Manuel fue a pagar le cobraron $290.
Comenten:
¿Le cobraron bien a Manuel en la tienda?
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s e c u e n cia 6
III.Completen las siguientes tablas para calcular los costos de 150 ml de pintura azul y
de 350 ml de pintura amarilla:
Cantidades de
pintura azul
Costo de la
pintura azul
1 000 ml
$300
Cantidades de
pintura amarilla
1 000 ml
100 ml
100 ml
50 ml
50 ml
150 ml
350 ml
Costo de la
pintura amarilla
$700
Ahora que ya saben el costo de la cantidad de pintura azul y de la cantidad de pintura
amarilla que necesita Manuel para obtener el verde claro, completen lo siguiente:
Cantidad de
pintura amarilla
Cantidad de
pintura azul
350 ml
+
Costo de la
pintura amarilla
pesos
Cantidad de
pintura verde claro
150 ml
500 ml
=
Costo de la
pintura azul
pesos
Costo de la
pintura verde claro
pesos
IV.Contesten las siguientes preguntas en sus cuadernos. Pueden usar tablas para hacer
sus cálculos:
a) ¿Cuánto cuestan 800 ml de pintura verde claro?
b) ¿Cuánto cuestan 120 ml de pintura verde claro?
A lo que llegamos
La cantidad de pintura amarilla y su costo son cantidades directamente proporcio­
nales, pues al aumentar (al doble, al triple, etc...) o disminuir (a la mitad, a la
tercera parte, etc...) la cantidad de pintura, su costo también aumenta (al doble, al
triple, etc...) o disminuye (a la mitad, a la tercera parte, etc...).
Por ejemplo, si 100 ml de pintura amarilla cuestan $70, entonces 200 ml cuestan
$140. Fíjate que la cantidad de pintura aumentó el doble, y por eso el costo tam­
bién es el doble.
Lo mismo sucede con la pintura azul; la cantidad de pintura azul y su costo son
cantidades directamente proporcionales.
Y ya hecha la mezcla, la cantidad de pintura verde claro y su costo también son
cantidades directamente proporcionales.
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MATEMÁTICAS
I
V. Como no le alcanzaba el dinero, Manuel preguntó qué otro color con menor precio
podía llevar. El vendedor le dijo que comprara verde oscuro, que era más barato porque lleva 300 ml de pintura azul y 200 ml de pintura amarilla. En sus cuadernos
contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuánto cuestan 500 ml de pintura verde oscuro?
b) ¿Cuánto cuestan 800 ml de pintura verde oscuro?
c) ¿Cuánto cuestan 120 ml de pintura verde oscuro?
A lo que llegamos
Al sumar los costos de las cantidades de pintura amarilla y azul nece­
sarias para obtener pintura verde (clara u oscura), se obtiene el costo
de la pintura verde. Este costo resulta ser directamente proporcional
a la cantidad de pintura verde.
El valor unitario
sesión 2
Para empezar
En la secuencia 2 El mundo en que vivimos de su libro de Geografía ya estudiaron
algunos de los usos de las escalas. En esta sesión continuarán estudiando los usos de las
escalas.
Escalas y maquetas en arquitectura
La maqueta de un edificio es una reproducción más pequeña que conserva sus
proporciones. Es decir, si a cada centímetro de la maqueta le corresponden 100 cm
en el edificio, se dice que la escala de la maqueta es 1 a 100, lo que significa “un
centímetro en la maqueta son 100 cm en el edificio”. En ese caso, todas las dimensiones de la maqueta son 100 veces menores a las del edificio: la medida de la
altura es 100 veces más chica, la de la base es 100 veces más chica, la del ancho
de las ventanas es 100 veces más chica.
ue:
Recuerden q
etros
100 centím
uivalen
q
(100 cm) e
m).
a 1 metro (1
Nueva Biblioteca Pública de México Vasconcelos, México, D.F.
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Consideremos lo siguiente
Patio trasero
Largo
Ancho
Ancho
Largo
Espacio en construcción
Habitación
principal
Ancho total de la construcción
La figura 1 es el plano de una casa dibujado a una escala de 2.5 cm a 4 m ( es decir, dos
centímetros y medio del dibujo representan cuatro metros de la medida real de la casa).
Ancho del
pasillo
Largo
Entrada
a la casa
Largo total de la construcción
Figura 1
Completen la siguiente tabla para encontrar las medidas reales que tendrá la casa.
Medida del plano
(cm)
Medida real
(cm)
400
Ancho de la
habitación
principal
2.5
Ancho del pasillo
1.25
Ancho total de la
construcción
7.5
Largo del patio
trasero
3.75
Largo del terreno
11
Largo del espacio
en construcción
4
78
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MATEMÁTICAS
I
Manos a la obra
I. Comparen sus resultados y comenten:
a) ¿Cómo calcularon las medidas reales de la casa?
b) ¿Cómo calcularon el largo del terreno?
c) ¿Cuántas veces más grande es la medida real del largo del terreno que la medida
del largo del terreno en la figura 1?
A lo que llegamos
Una estrategia útil para encontrar datos faltantes en relaciones de
proporcionalidad es determinar el valor unitario, es decir, hallar el
dato equivalente a 1. Por ejemplo, en el problema del plano se sabe
que 1 cm del dibujo equivale a 160 cm del tamaño real de la casa. En
este problema, 160 cm es el valor unitario que permite pasar de
cualquier medida en el dibujo a su medida real.
Usando el valor unitario verifiquen la tabla de la página anterior.
II. En la secuencia 9 Cómo medir seres pequeñitos de su libro de Ciencias I han estudiado algunos de los descubrimientos hechos con el uso de los microscopios.
Los microscopios se usan para poder observar cosas muy pequeñas,
como células de plantas y animales, ya que amplifican las imágenes
hasta hacerlas visibles. Hay microscopios que agrandan las imágenes
100 veces, 500 veces, 1 000 veces y ¡hasta 1 000 000 de veces!
Algunos microscopios permiten observar algunos de los microorganismos más pequeños que existen: los virus, que miden alrededor de
0.1 micrómetros.
idad
o es una un
El micrómetr y pequeña.
mu
de longitud
de
abreviatura
Micra es la
.
micrómetro
de mm
ivale a q p p p
1 micra equ
de m.
o a q p p pQ p p p
Resuelvan el siguiente problema:
Un microscopio amplifica la imagen de un virus de 0.2 micrómetros a 120 micrómetros.
a) ¿De qué tamaño se vería con ese microscopio la imagen
de un virus de 0.4 micrómetros?
b) ¿De qué tamaño se vería con ese microscopio la imagen
de un virus de 1 micrómetro?
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Completen la siguiente tabla para calcular los tamaños reales de otros microorganismos.
Tamaño real
(micrómetros)
Tamaño en el microscopio
(micrómetros)
0.2
120
3
4.5
7
8
III. Comparen los resultados de sus tablas y comenten:
a) ¿Cuál es el valor unitario que permite pasar del tamaño real al tamaño que se ve
en el microscopio?
b) ¿Cuántas veces más chico es el tamaño real de una célula que el tamaño de la
célula vista en este microscopio?
A lo que llegamos
La estrategia del valor unitario en una situación de cantidades direc­
tamente proporcionales es muy útil, ya que basta saber el valor que le
corresponde a la unidad para determinar cualquier valor requerido.
Este dato es suficiente para encontrar los valores de las medidas
observadas con el microscopio a partir de sus medidas reales.
Por ejemplo, se sabe que el microscopio aumenta 1 micrómetro de
tamaño a 600 micrómetros de tamaño. Para encontrar la ampliación
de una célula de 4.5 micrómetros de tamaño en el microscopio, basta
multiplicar 4.5 micrómetros × 600.
sesión 3
La proporcionalidad
en otros contextos
Lo que aprendimos
1. Una bolsa con 50 caramelos cuesta $25.00; Juan compró 14 caramelos, ¿cuánto
pagó?
80
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MATEMÁTICAS
I
Completa la siguiente tabla para encontrar la cantidad de dinero que pagó Juan por los
14 caramelos que compró:
Número de
caramelos
Precio de los
caramelos
(pesos)
50
25
10
5
1
14
sesión 3
El número de caramelos y su precio son cantidades directamente proporcionales. ¿Cuál
es el valor unitario que permite encontrar el precio a partir del número de caramelos?
2. Las compañías fabricantes de automóviles hacen pruebas de velocidad a sus autos
para verificar sus motores, frenos y sistemas de suspensión. Entre otras cosas, deben
verificar que las velocidades a las que pueden viajar se mantengan constantes durante
recorridos largos. En esta actividad vas a calcular algunos recorridos a partir de las
velocidades de los automóviles.
a) Viajando en carretera, un automóvil va a 120 kilómetros por hora en promedio.
Completa la siguiente tabla para encontrar las distancias recorridas en distintos
tiempos de viaje.
Tiempo de viaje (horas)
1
Kilómetros recorridos
120
2
3 wQ
4 
5 
6
b) A continuación hay dos tablas que corresponden a los resultados de las pruebas
de velocidad de dos autos distintos. Uno de ellos fue siempre a la misma velocidad, el otro no.
1 de
En la sesión
cia
esta secuen
ar
puedes revis
s
o
d
cuándo
son
cantidades
te
directamen
les.
a
n
io
rc
propo
81
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AUTOMÓVIL 1
Tiempo de viaje
(horas)
AUTOMÓVIL 2
Kilómetros
recorridos
2.5
3
225
9
740
150
4.5
640
9.25
75
540
8
1.5
320
6.75
Kilómetros
recorridos
200
4
Tiempo de viaje
(horas)
450
12
610
a) ¿En cuál de las dos tablas el número de kilómetros es directamente proporcional al
tiempo de viaje?
b) ¿Cuál de los dos automóviles fue siempre a la misma velocidad?
A lo que llegamos
Cuando un automóvil va siempre a la misma velocidad (velocidad
constante), entonces la distancia recorrida por el automóvil y el tiempo
que tarda en recorrerla son cantidades directamente proporcionales.
3. La competencia de las ranas.
Tres ranas compitieron en una carrera de saltos. Una rana es verde, otra roja y otra azul.
Las ranas saltaron en una pista de 20 m de longitud, los saltos que dio cada rana fueron
siempre iguales.
Las siguientes tablas indican algunos de los lugares donde cayeron las ranas al saltar:
RANA VERDE
RANA ROJA
RANA AZUL
Número de
saltos
Distancia
(rayitas)
Número de
saltos
Distancia
(rayitas)
Número de
saltos
Distancia
(rayitas)
2
4
1
3
6
3
4
8
2
6
10
5
Comenten:
a) ¿Cual de las tres ranas ganó la competencia?
b) ¿Cuántos saltos dio la rana que ganó la competencia?
c) ¿Cuál fue la longitud del salto de cada rana? Anótenlo en las siguientes líneas:
82
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MATEMÁTICAS
Rana verde
Rana roja
I
Rana azul
Si es necesario, verifiquen sus respuestas haciendo saltar a las ranas en los siguientes
dibujos.
4. La luz solar tarda aproximadamente 8 minutos en llegar a la Tierra. Esto se debe a que
la Tierra está a 150 millones de kilómetros del Sol.
No olvides que la luz viaja siempre a la misma velocidad, es decir, cada 8 minutos
recorre 150 millones de kilómetros.
Completa la siguiente tabla:
Planeta
Distancia al Sol
(millones de kilómetros)
Tiempo que tarda en
llegar la luz (minutos)
12
Marte
Mercurio
Venus
Tierra
Saturno
Neptuno
60
108
1 425
150
8
4 500
A lo que llegamos
La distancia que recorre la luz y el tiempo que tarda en hacerlo son
cantidades directamente proporcionales.
Para saber más
Sobre el Sistema Solar consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
“El Sistema Solar”, en Gran atlas visual del Cosmos, la Tierra y México. México: SEP/Ediciones Euroméxico,
Libros del Rincón, 1999.
Sobre los colores primarios y sus mezclas consulta:
http://www.xtec.es/~aromero8/acuarelas/color.htm
http://www.xtec.es/~aromero8/acuarelas/index.htm
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
Sobre los planetas, el Sol y la velocidad de la luz consulta:
http://www.xtec.es/~rmolins1/solar/es/planetes.htm
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
83
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secue n c i a 7
En esta secuencia elaborarás y utilizarás procedimientos para resolver
problemas de reparto proporcional.
sesión 1
La kermés
Para empezar
La kermés es una verbena popular tradicional en nuestro país. Casi siempre se lleva a
cabo en el atrio de una iglesia o en el patio de una escuela. Es muy divertida porque
puedes disfrutar de juegos y platillos típicos de la cocina mexicana.
Consideremos lo siguiente
En una escuela se llevó a cabo una kermés. Entre tres amigos pusieron un puesto de
enchiladas y juntaron sus ahorros para comprar los ingredientes. El primero puso $25, el
segundo $50 y el tercero $100.
Al final del día obtuvieron una ganancia de $1 050 por la venta y decidieron repartirlo
de manera proporcional a lo que aportó cada quién para comprar los ingredientes.
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MATEMÁTICAS
I
Respondan las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto le debe tocar al primer amigo?
b) ¿Cuánto le debe tocar al segundo amigo?
c) ¿Cuánto le debe tocar al tercer amigo?
Manos a la obra
I. El primer amigo propuso dividir la ganancia total ($1 050) entre 3, de modo que a
cada uno le tocarían $350.
El tercer amigo no está de acuerdo con la forma de repartir el dinero propuesta por
el primer amigo.
Comenten:
a) ¿Por qué creen que el tercer amigo está en desacuerdo?
b) El tercer amigo puso cuatro veces la cantidad de dinero que puso el primero. Del
dinero que van a repartir, ¿cuántas veces más le debe tocar al tercer amigo respecto del primero?
c) El segundo amigo puso el doble de dinero que el primero. Del dinero que van a
repartir, ¿cuántas veces más le debe tocar al segundo amigo respecto del primero?
II. Contesten:
¿Cuánto dinero juntaron entre todos?
Completen la siguiente tabla para encontrar cuánto dinero le toca a cada uno de los
amigos:
Cantidad de dinero invertido
(pesos)
Dinero obtenido en la venta
(pesos)
1 050
Total
175
Primer amigo
25
Segundo amigo
50
Tercer amigo
100
85
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s e c u e n cia 7
A lo que llegamos
Una forma de resolver los problemas de reparto proporcional consiste en determinar la
cantidad total y las partes en las que se va a llevar a cabo dicho reparto. Por ejemplo,
en el problema de la kermés, la cantidad a repartirse es el dinero total recaudado y se
reparte proporcionalmente entre las distintas partes que cada quién aportó. Las cantidades que están en proporción son la cantidad de dinero aportado y la cantidad de dinero
obtenido respecto a lo aportado.
III. Tres campesinos sembraron un terreno de 20 hectáreas (20 ha). El primero sembró
1 ha, el segundo 8 ha y el tercero 11 ha. Cuando terminaron de sembrarlo les pagaron
en total $2 400.
Completen la siguiente tabla para calcular cuánto dinero le toca a cada campesino si
se reparten proporcionalmente el total del dinero pagado entre el número de hectáreas que cada quien sembró:
Número de hectáreas
sembradas
Cantidad pagada por el número de
hectáreas sembradas (pesos)
20
2 400
1
8
11
Lo que aprendimos
Tres albañiles levantaron una barda de 30 m2. El primer albañil levantó 10 m2, el segundo albañil levantó 5 m2 y el tercero levantó 15 m2. Por el total del trabajo les pagaron
$600.
Si se reparten el dinero proporcionalmente al número de metros cuadrados que cada
quién levantó, ¿cuánto dinero le tocaría a cada uno de los albañiles?
Reparto proporcional
Luis y Juan son albañiles, acaban de construir una pared rectangular de 50 m2, Luis construyó 35 m2 y Juan 15 m2. ¿Te parece justo que se repartan por partes iguales?, ¿por qué?
Este tipo de problemas se llaman de reparto proporcional.
sesión 2
Más sobre Reparto proporcional
Para empezar
Los contextos en los cuales surgen las situaciones de reparto proporcional son muy variados. En esta sesión estudiarás tres situaciones más en las cuales aparece el reparto
proporcional.
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MATEMÁTICAS
I
Consideremos lo siguiente
Pedro y Édgar invirtieron sus ahorros en un negocio. Pedro puso $2 200 y Édgar puso
$2 800. Al finalizar el negocio obtuvieron una ganancia de $100 000.
Si se reparten proporcionalmente el dinero que ganaron:
a) ¿Cuánto le tocaría a Pedro?
b) ¿Cuánto le tocaría a Édgar?
Manos a la obra
I. Completen la siguiente tabla para encontrar cuánto dinero le corresponde a Pedro y
cuánto a Édgar.
Cantidad de dinero
invertido (pesos)
Ganancia correspondiente a la
inversión (pesos)
5 000
100 000
500
50
5
1
2 200
2 800
II. Comparen los resultados de la tabla anterior con los que ustedes obtuvieron y contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es la ganancia por cada peso invertido?
b) Si Pedro hubiera invertido $3 500, ¿cuánto dinero hubiera recibido de ganancias?
A lo que llegamos
Otra de las formas de resolver los problemas de reparto proporcional
consiste en encontrar el valor unitario, que permite pasar de la cantidad invertida a la ganancia correspondiente. Por ejemplo, en el problema del negocio entre Pedro y Édgar la inversión total fue de
$5 000 y la ganancia total de $100 000, así que el valor unitario que
permite saber cuánto ganaron por cada peso que invirtieron es $20,
es decir, por cada peso que invirtieron ganaron $20.
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secue n c i a 7
Salem y el reparto de pan 1
III.Resuelvan el siguiente problema.
Dos viajeros se encontraron en el camino a un hombre que había sido asaltado. Este
hombre se llamaba Salem Nasair, quien les dijo:
— ¿Traéis algo de comer?, me estoy muriendo de hambre.
— Me quedan tres panes —respondió uno de los viajeros.
— Yo llevo cinco —dijo el otro viajero.
— Pues bien, dijo Salem, yo os ruego que juntemos esos panes y nos los repartamos en
partes iguales. Cuando llegue a mi hogar prometo pagar con ocho monedas de oro el
pan que coma.
Cuando llegaron, Salem Nasair recompensó a los viajeros como había prometido. Le
dio tres monedas de oro al que llevaba tres panes y cinco monedas de oro al que
llevaba cinco panes. Sin embargo uno de los viajeros dijo:
— ¡Perdón, Salem!, la repartición, hecha de este modo, puede parecer justa, pero no es
un reparto proporcional.
Respondan las siguientes preguntas:
a) ¿A cuál de los viajeros creen que no le pareció justo el reparto?
b) ¿Por qué?
IV.En otra telesecundaria, un equipo que resolvió la actividad de los viajeros comentó:
“Salem dio ocho monedas por el pan compartido, entonces sí es justo porque al que
puso cinco panes le dio cinco monedas de oro y al que puso tres panes le dio tres
monedas de oro”
Respondan las siguientes preguntas:
a) ¿Qué cantidad de pan comió cada uno de los viajeros?
b) ¿Cuánto pan dio a Salem el viajero que traía tres panes?
c) ¿Cuánto pan dio a Salem el viajero que traía cinco panes?
d) ¿Cómo hubieran repartido ustedes el dinero entre los viajeros para que fuera un
reparto proporcional?
Comparen sus respuestas y comenten los procedimientos que usaron para encontrarlas.
1 Malba, Tahan (2005). El hombre que calculaba. México: SEP/Editorial Limusa. Libros del Rincón. pp. 23, 24 y 25.
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MATEMÁTICAS
I
Lo que aprendimos
Nuestro país tiene una población aproximada de 110 000 000 de personas y el territorio
nacional es de 2 000 000 de km2. Sin embargo, la población no está repartida proporcionalmente en el territorio. Hay estados cuyo territorio comprende muy pocos kilómetros cuadrados y, sin embargo, tienen muchísimos habitantes: ¡En el Distrito Federal hay
casi 9 000 000 de personas viviendo en un territorio de 1 500 kilómetros cuadrados!
Y otros estados tienen grandes extensiones de tierra y muy pocos habitantes viviendo
en ella: Nuevo León, por ejemplo, tiene 3 800 000 mil habitantes viviendo en 64 000 kilómetros cuadrados.
La siguiente tabla muestra la extensión territorial y el número de habitantes de algunos
de los estados de la República Mexicana.
Entidad federativa
Tlaxcala
Querétaro
Distrito Federal
Nuevo León
Extensión
(km2)
Número de habitantes
2 000
960 000
12 000
1 400 000
1 500
8 700 000
64 000
3 800 000
Los datos se aproximaron para simplificar los cálculos. Tomado de XII Censo General de Población y
Vivienda 2000 disponible en: http://www.inegi.gob.mx (consulta: 23 mayo 2006).
Contesta en tu cuaderno:
a) ¿Cuál es el total de habitantes que hay entre los cuatro estados?
b) ¿Cuántos kilómetros cuadrados hay en total juntando los cuatro estados?
c) ¿Cómo repartirías proporcionalmente la población entre los territorios de estos
estados?
Número de habitantes que habría en Tlaxcala
Número de habitantes que habría en Querétaro
Número de habitantes que habría en el Distrito Federal
Número de habitantes que habría en Nuevo León
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Tahan, Malba. El hombre que calculaba. México: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rincón, 2005.
Sobre la densidad de población en México consulta: http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.asp
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
Ruta: Información estadística
Estadísticas por tema
Estadísticas sociodemográficas
Dinámica de
la población
Volumen, estructura, crecimiento y distribución
Densidad de población por entidad
federativa, 2000.
Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.
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secue n c i a 8
En esta secuencia resolverás problemas de conteo utilizando diversos
recursos y estrategias, como tablas, diagramas de árbol y otros proce­
dimientos de enumeración.
sesión 1
¿Cuántos caminos hay?
Para empezar
Hay situaciones que pueden resolverse de distintas formas; por ejemplo, piensa en los
recorridos que puede hacer un repartidor de mercancías en el centro de la ciudad de
Puebla. ¿Cuántos caminos distintos puede tomar para ir de un lugar a otro?, ¿habrá uno
más corto que los demás?, ¿cuál conviene tomar?
Problemas como éstos son los que se plantearán en las siguientes sesiones.
• Ana vive en el centro de la ciudad de Puebla, en la esquina que forman las calles 2
Norte y 6 Oriente. Ella va a la escuela que está ubicada en 4 Norte y 12 Oriente. El
mapa muestra el recorrido que ayer hizo Ana para ir de su casa a la escuela.
4 norte
2 Norte
12 Oriente
10 Oriente
8 Oriente
6 Oriente
4 Oriente
90
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MATEMÁTICAS
I
Realicen las siguientes actividades
a) En el mapa de su libro, cada quién marque con color verde otro recorrido que
podría hacer Ana para ir de su casa a la escuela.
b) En este recorrido, ¿cuáles son las calles por las que pasa Ana para llegar a la
escuela?
mapa 1
12 Oriente
c) Marca en tu mapa con color azul el recorrido que trazó tu compañero. ¿Por cuáles
E
calles pasa este nuevo recorrido?
2 Norte
Consideremos lo siguiente
Como ven, casi todas las calles del centro de la ciudad de Puebla son rectas, por lo
que es posible representar el recorrido que hizo Ana de su casa (A) a la Escuela (E),
como muestra el mapa 1.
4 Norte
10 Oriente
8 Oriente
6 Oriente
A
a) Encuentren en el mapa 2 un recorrido en el que Ana camine el menor número
de cuadras para llegar a la escuela (E) y represéntenlo aquí.
mapa 2
12 Oriente
b) ¿Cuántas cuadras tiene ese recorrido?
c) ¿Cuántas formas diferentes hay de caminar ese recorrido?
E
Comparen su solución con las de los otros equipos.
a) ¿Cuántas formas diferentes tiene Ana de caminar el menor número de cuadras?
4 Norte
2 Norte
10 Oriente
8 Oriente
6 Oriente
A
b) Marquen esos recorridos en los siguientes mapas:
6 Oriente
A
6 Oriente
A
6 Oriente
A
8 Oriente
4 Norte
8 Oriente
E
10 Oriente
2 Norte
8 Oriente
12 Oriente
E
10 Oriente
2 Norte
2 Norte
8 Oriente
10 Oriente
4 Norte
2 Norte
10 Oriente
12 Oriente
E
4 Norte
12 Oriente
E
4 Norte
12 Oriente
6 Oriente
A
Manos a la obra
I. Una pareja de alumnos representó el recorrido que siguió Ana mediante flechas:
Otra pareja lo representó así: N,O,N,N utilizando las letras O de calle Oriente y N de
calle Norte.
a) ¿Puede llegar Ana a la escuela siguiendo el camino O,O,N,N?
b) ¿Y siguiendo el camino ?
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s e c u e n cia 8
c) Discute con tu compañero si Ana puede o no realizar el recorrido.
d) Utilizando las letras N y O, representen en su cuaderno los recorridos que puede
hacer Ana para ir de su casa a la escuela caminando el menor número de cuadras.
Los recorridos que constan del menor número de cuadras que se
puede caminar son aquellos en los que no hay regresos. A estos reco­
rridos se les llamará recorridos más cortos.
II. Consideren el mapa 3; María (M) es compañera de Ana y vive en la esquina de 4
Oriente y 2 Norte.
E
b) ¿De cuántas formas diferentes puede ir de su casa
a la escuela caminando el menor número de cuadras? Utiliza el código de las letras N y O para
representar, en tu cuaderno, los recorridos más
cortos que puede hacer María.
2 Norte
8 Oriente
6 Oriente
4 Norte
10 Oriente
III.Consideren el mapa 4, ¿de cuántas formas diferentes puede llegar alguien a la escuela si vive en la
esquina de 2 Oriente y 2 Norte, caminando el menor
número de cuadras?
4 Oriente
M
mapa 4
12 Oriente
E
10 Oriente
8 Oriente
6 Oriente
4 Norte
a) ¿Cuál es el menor número de cuadras que debe
caminar María para ir de su casa a la escuela?
2 Norte
mapa 3
12 Oriente
4 Oriente
2 Oriente
X
Lo que aprendimos
Encuentra en el mapa 5 los diferentes recorridos que puede seguir alguien para ir del
punto M a la escuela (E), caminando el menor número de cuadras. Represéntalos en tu
cuaderno utilizando las letras N y O.
E
4 Norte
2 Norte
8 Oriente
6 Norte
a) ¿Cuántas cuadras tiene el recorrido más corto?
mapa 5
6 Oriente
mapa 6
a la escuela?
M
12 Oriente
b) ¿De cuántas formas diferentes puedes caminarlo para llegar
E
c) En el mapa 6, ¿cuántas cuadras forman al recorrido más
corto que se puede seguir para ir de M a E?
8 Oriente
6 Oriente
10 Oriente
4 Norte
2 Norte
10 Oriente
8 Oriente
d) ¿De cuántas formas diferentes lo puedes realizar?
¿Se puede realizar el siguiente recorrido N, N, O, O, N, N?
6 Oriente
M
92
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MATEMÁTICAS
I
A lo que llegamos
Al encontrar cuántas formas diferentes hay de realizar un recorrido, se está resolviendo
un problema de conteo. En los problemas de conteo es conveniente utilizar una manera
de distinguir un resultado de otro.
Por ejemplo, en el caso de Ana se puede diferenciar un camino de otro si cada uno de
ellos se distingue con un símbolo, una letra o un nombre. Dos maneras de representar
uno de los cuatro recorridos que Ana puede hacer son: N,N,O,N y
.
Estas maneras de resolver problemas de conteo se llaman procedimiento de enumeración.
¿De cuántas formas?
Para empezar
sesión 2
Existen situaciones en las que se debe elegir un producto o servicio entre varios que se
ofrecen. Por ejemplo, en la compra de zapatos se pueden elegir diferentes modelos y
colores; lo mismo sucede al comprar ropa, autos o cualquier otro artículo.
Consideremos lo siguiente
En la pastelería “La gran rebanada” elaboran pasteles de diferentes sabores, formas y
decorados. Cuando alguien hace un pedido, el vendedor debe llenar un formato como el
siguiente:
La gran rebanada
Pastelería
Nombre del cliente:
Num. de pedido:
Precio:
Anticipo:
Num. de vendedor:
Fecha de entrega:
Hora:
Instrucciones: en cada caso, marcar con “X” la opción deseada
Formas
Sabores
Chocolate
Tres leches
Vainilla
Decorado
Cereza
Nuez
Fresa
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a) ¿Cuántos pasteles diferentes pueden elaborar en esa pastelería?
b) ¿Habrá más de 10 pasteles diferentes?
¿Más de 20?
¿Más de 40?
Comparen sus respuestas
Manos a la obra
I. Completen las siguientes tablas.
Pastel circular
Chocolate
(Ch)
Decorado cereza
(c)
Decorado fresa
(f)
Decorado nuez
(n)
Ch-c
Tres leches
(T)
T-f
Vainilla
(V)
Pastel cuadrado
Decorado cereza
(c)
Decorado fresa
(f)
Decorado nuez
(n)
Chocolate
(Ch)
Tres leches
(T)
Vainilla
(V)
V-f
a) ¿Cuántos tipos diferentes de pastel de forma circular hay con sabor chocolate?
b) ¿Cuántos tipos diferentes de pastel con decorado de nuez y sabor vainilla hay?
c) ¿Cuántos tipos diferentes de pastel con decorado de fresa hay?
d) Observen las tablas. En la primera casilla de cada tabla está identificada la forma
del pastel, de la segunda columna en adelante están los decorados y del segundo
renglón hacia abajo, los sabores. Si en vez de construir las tablas a partir de la
forma del pastel se construyen a partir de los diferentes sabores, ¿cuántas tablas
tendrían que hacerse?
Elabórenlas en su cuaderno.
e) ¿Cambia el número total de variedades de pastel?
¿Por qué?
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MATEMÁTICAS
I
II. Completen el siguiente diagrama de árbol:
Decorado
Forma
Sabores
Chocolate
Circular
Cereza
Fresa
Pastel
a) ¿Cuántos pasteles diferentes se pueden elaborar con sabor de tres leches?
b) ¿Cuántos pasteles diferentes se pueden elaborar con decorado de cereza?
c) ¿Cuántos pasteles diferentes se pueden elaborar con forma cuadrada?
d) ¿Cuántos pasteles diferentes se pueden elaborar?
e) ¿Obtuvieron el mismo número de pasteles diferentes con las tablas y con el
diagrama de árbol?
f) El diagrama de árbol anterior tiene tres niveles, uno por cada uno de los conjuntos
que definen las características del pastel. ¿Cuál de las tres características del pastel se utiliza en el primer nivel del árbol?
A lo que llegamos
Un diagrama de árbol es un recurso que permite visualizar y enumerar todos los resul­
tados de un problema de conteo. Los diagramas de árbol están compuestos por niveles
y ramas. En el ejemplo de la pastelería hay tres características: el decorado, la forma y el
sabor, por lo tanto, el diagrama de árbol tiene tres niveles. El número de ramas de cada
nivel se determina por la cantidad de elementos de cada característica. Por ejemplo,
en el nivel de “forma” hay dos ramas, una para el pastel cuadrado y otra para el pastel
circular.
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secu enci a 8
g) Supongan que en esa pastelería tienen un nuevo decorado: el de frutas. ¿Cuántos
pasteles distintos podrían elaborarse ahora?
. En su cuaderno,
elaboren el diagrama de árbol que representa esta situación.
III. La pastelería puede rellenar los pasteles con dos ingredientes: durazno o almendras.
Ahora los ha incluido en el formato de pedidos.
La gran rebanada
Pastelería
Nombre del cliente:
Num. de pedido:
Precio:
Anticipo:
Num. de vendedor:
Fecha de entrega:
Hora:
Instrucciones: en cada caso, marcar con “X” la opción deseada
Formas
Sabores
Chocolate
Tres leches
Vainilla
Relleno
Decorado
Durazno
Cereza
Almendras
Nuez
Fresa
a) ¿Cuántos pasteles distintos pueden elaborarse ahora en la pastelería?
b) ¿Qué recurso les pareció más conveniente utilizar para resolver el problema,
el diagrama de árbol o las tablas? Utilícenlo para resolver este problema en su
cuaderno.
A lo que llegamos
Las tablas y los diagramas de árbol son dos recursos para encontrar
de manera sistemática todos los resultados posibles en un problema
de conteo. En ambos casos se ha hecho uso de códigos para enumerar
los diferentes resultados.
Cuando se realiza un conteo de modo sistemático, el resultado será
siempre el mismo, no importa el recurso que se utilice.
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MATEMÁTICAS
I
Lo que aprendimos
En la secuencia 31 ¿Cómo se heredan las características de un organismo? de tu libro
Ciencias I, estudiarás que en los caracteres que los seres vivos heredan hay algunos que
son dominantes y otros recesivos. Por ejemplo, en tu familia, ¿cuál color de ojos es un
carácter dominante?, ¿cuál color de ojos es un carácter recesivo?
Supon que en cierta planta las flores de color rojo es un carácter dominante y las de
color azul es recesivo. Identifica el color rojo con RR (dos letras porque la información
de la herencia biológica se transmite en pares) y el azul con aa.
Si en la primera generación se cruzan una con flores rojas y
otra con flores azules, tendrás la siguiente tabla:
Las flores que nacen, todas son rojas porque Ra significa que la
flor es roja, pero lleva información de la flor azul (aunque no
se manifieste). La única manera de que la flor sea azul, por ser
recesiva, es cuando ambas letras sean aa.
Planta aa
Planta
RR
a
a
R
Ra
Ra
Si se toman dos de los cuatro descendientes y se cruzan, ¿de
qué color serán las flores? Averígualo completando la siguiente
tabla:
R
Ra
Ra
a) ¿Cuántas flores son rojas? (recuerda que son las que por lo
Planta
Ra
menos tienen una letra R)
b) ¿Cuántas flores son azules (aa)?
Planta Ra
R
a
R
a
¿Cuántos viajes hay…?
Para empezar
sesión 3
En esta sesión vas a seguir estudiando estrategias de conteo, ahora considerando los distintos viajes que una línea de
autobuses ofrece.
Los Mochis
Consideremos lo siguiente
Culiacán
Una línea de autobuses cubre las principales ciudades del
estado de Sinaloa: Los Mochis, Escuinapa, Culiacán y Mazatlán. La línea de autobuses sólo ofrece viajes directos, es
decir, no hace paradas intermedias (si va de Los Mochis a
Mazatlán, no hace parada en Culiacán). ¿Cuántos viajes diferentes ofrece la línea de autobuses?
Mazatlán
Comparen sus respuestas
Escuinapa
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Manos a la obra
I. Realicen lo que se les pide.
Ciudad de
salida
Ciudad de
llegada
a) Completen la tabla de la izquierda.
b) Si una persona sale de Culiacán viajando en esta línea de autobuses,
¿a cuántos destinos diferentes puede llegar?
c) Si una persona llega a Mazatlán, ¿de cuántas ciudades diferentes pudo
haber salido?
d) En total, ¿cuántos viajes diferentes hay?
II. La línea de autobuses ha decidido dar servicio a la ciudad de Rosario.
a) ¿Cuántos viajes diferentes ofrece ahora la línea de autobuses?
Los Mochis
Culiacán
Mazatlán
Rosario
Escuinapa
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MATEMÁTICAS
I
Un equipo empezó a resolver el problema mediante el siguiente diagrama de árbol.
b) Complétenlo en su cuaderno.
Ciudades de salida
Ciudades de llegada
Los Mochis
Resultados Viaje
Rosario-Los Mochis
Culiacán
Rosario
Viaje
a) ¿Cuántos niveles tiene el diagrama de árbol?
b) ¿A qué corresponde cada nivel?
c) ¿Cuántas ramas tiene el primer nivel?
ue:
Recuerden q
a de
Un diagram
árbol está
por
compuesto
mas.
niveles y ra
d) ¿A qué corresponde cada rama?
e) ¿Cuántas ramas tiene el segundo nivel?
f) ¿A qué corresponde cada rama?
g) Consideren una ciudad como punto de salida, ¿cuántas opciones diferentes de
viaje hay?
h) Si hay 5 ciudades como punto de salida, ¿cuántas opciones diferentes de viaje hay?
i) ¿Qué relación encuentran entre el número de ciudades de salida, el número de
ciudades de llegada y el total de viajes que se pueden realizar?
A lo que llegamos
Para determinar el número total de viajes que la línea ofrece se puede multiplicar el núme­
ro de ciudades de salida por el número de ciudades de llegada. Por ejemplo, si hay cuatro
ciudades de salida y tres ciudades de llegada el número total de viajes es 4 × 3 = 12.
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s e c u e n cia 8
III.Contesten las siguientes preguntas.
a) Ahora la línea da servicio a las seis principales ciudades de Sinaloa. ¿Cuántos viajes
diferentes ofrece la línea de autobuses?
b) La línea de autobuses ahora da servicio a diez ciudades. ¿Cuántos viajes diferentes
ofrece?
c) Otra línea de autobuses ofrece como destinos las capitales de las 32 entidades
federativas del país. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece esta línea?
A lo que llegamos
Los diagramas de árbol y las tablas son recursos que ayudan a encontrar todas y cada
una de las opciones existentes en un problema de conteo.
En ocasiones, la multiplicación es la operación que permite encontrar el número total de
opciones existentes.
Lo que aprendimos
Mi amigo Juan me planteó un acertijo. Me dijo que el número de su casa tiene dos cifras,
que ninguna de las dos es 0 y que son diferentes entre sí.
Número de la casa:
1ra. cifra
2da. cifra
a) ¿Qué números puedo utilizar como primera cifra?
¿Cuántos son en total?
b) Si la primera cifra fuera 2, ¿qué números podría utilizar como segunda cifra?
¿Cuántos son en total?
c) Entonces, ¿cuántos números de dos cifras pueden ser el número de la casa de Juan?
¿cuántos pares de números existen en total que cumplen con las condiciones del problema?
¿Saben cuántos hay?
La vida diaria exige moverse de un lugar para otro, y en el caso de la ciudad de México
no solamente cuentan las distancias sino también el tiempo de traslado, por eso hay que
buscar las rutas que más nos convengan entre varias posibilidades.
Pero también hay gente que se traslada a diferentes minicipios dentro de un estado. En
el video se pueden observar ambas situaciones.
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MATEMÁTICAS
I
Otros contextos
sesión 4
Para empezar
En esta sesión interpretarás diagramas de árbol y definirás las condiciones que cumplen
ciertos resultados en problemas de conteo.
Lo que aprendimos
1. El siguiente diagrama de árbol muestra algunos de los resultados posibles que pueden
obtenerse al lanzar dos dados una vez. Complétalo.
Dado A
Dado B
1
1
2
3
4
5
6
2
1
2
3
4
5
6
Resultados posibles
Dado A , Dado B
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
4
4
4
4
4
4
1
2
3
4
5
6
3
4
1
2
3
4
5
6
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secue n c i a 8
Contesta las siguientes preguntas:
a) El resultado (2,1) significa que en el lanzamiento cayó 2 en el dado A, ¿qué cayó
en el dado B?
b) ¿Qué significa el resultado (1,2)?
c) ¿Y el resultado (6,6)?
d) ¿Cuántos resultados diferentes en total puede haber al lanzar dos dados?
De esos resultados, ¿en cuántos se cumplen las siguientes condiciones?:
a) “En los dos dados cae el mismo número”
b) “En el dado A cae un número mayor que en el dado B”
c) “En el dado A cae un número par”
Comparen sus respuestas y contesten lo que se les pide:
a) ¿Cuántos resultados hay en los que en ambos dados caen números impares?
b) ¿Y cuántos resultados hay en los que ambos dados caen números pares?
2. Ahora van a sumar los números que pueden caer en ambos dados, por ejemplo:
4
5
4
5
Dado A: 4 y dado B: 5
La suma es 4 + 5 = 9
Utilicen el diagrama de árbol para contestar las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es la menor suma que puede obtenerse?
b) ¿Cuántas formas hay de obtenerla?
c) ¿Cuál es la mayor suma que puede obtenerse?
d) ¿Cuántas formas hay de obtenerla?
e) ¿Cuál es la suma que más veces aparece?
f) ¿Cuántos resultados hay en que la suma es menor de 7?
g) ¿Cuántos resultados hay en que la suma es mayor de 7?
102
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MATEMÁTICAS
I
3. Del diagrama de árbol se ha tomado el siguiente conjunto de resultados.
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6).
¿Qué característica tienen en común estos resultados?
¿Qué característica tienen los siguientes conjuntos de resultados?
a) (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)
b) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5),(6,6)
c) (1,3), (2,2), (3,1)
d) (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
4. Las claves de larga distancia constan de tres dígitos. Supongan que el primero debe
elegirse de los números del 2 al 5. El segundo tiene que ser 0 o 1. El tercero tiene que
ser mayor que 5.
a) ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
b) Elaboren tablas de doble entrada para representar los resultados. ¿Cuántas claves
de larga distancia inician con 20?
c) ¿Cuántas claves de larga distancia terminan con 9?
d) ¿Cuántas claves de larga distancia tienen el mismo número en los 3 dígitos?
Para saber más
Sobre otros ejemplos de problemas de conteo consulta en las Bibliotecas Escolares
y de Aula:
Nozaki, Akiro. Trucos con sombreros. México: SEP/FCE, Libros del Rincón, 2005.
Anno, Mitsumasa. El jarrón mágico. Una aventura matemática. México: SEP/Editorial
Juventud, Libros del Rincón, 2005.
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MATEMÁTICAS
I
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En esta secuencia resolverás problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos
sesión 1
el festival de fin de cursos
Para empezar
¿Dónde se utilizan las fracciones?
En ocasiones las medidas de los materiales que se utilizan en la carpintería están expresados en fracciones. Por ejemplo, el grosor de las tablas y de las brocas y la longitud de
los clavos se miden en pulgadas y fracciones de pulgada.
Consideremos lo siguiente
En una telesecundaria se va a realizar el festival de fin de cursos y requieren construir un
templete con una base de madera que tenga un grosor de una pulgada. La escuela sólo
cuenta con dos piezas de madera, una de media pulgada y otra de un tercio de pulgada.
Si se empalman estas dos piezas, ¿su grosor será suficiente?
¿Cuánto faltaría o sobraría?
Compare sus respuestas
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MATEMÁTICAS
I
Manos a la obra
I. Utilicen el diagrama para encontrar la suma de media pulgada más un tercio de
pulgada.
1
wQ
yQ
yQ
eQ
wQ
yQ
yQ
eQ
yQ
yQ
eQ
a) Al empalmar las tablas, ¿cuál es su grosor?
b) ¿Cuánto falta para alcanzar el grosor de la base del templete que se requiere construir?
II. Contesten en sus cuadernos:
a) Si las medidas del grosor de las tablas de madera fueran Er de pulgada y yW de pulgada, ¿creen que se obtendrá el espesor deseado
para construir la base del templete? ¿Cuál sería su grosor? Pueden
hacer un diagrama para calcularlo. ¿Cuánto faltaría o sobraría para
alcanzar el grosor de la base del templete?
b) ¿Qué fracciones equivalentes utilizaron para calcular el grosor de las
tablas de Er y yW de pulgada?
ue:
Recuerden q
iones
restar fracc
o
r
a
m
su
Para
ador
te denomin
con diferen
a
convertirlas
se requiere
con
quivalentes
fracciones e
inador.
igual denom
c) Si las medidas del grosor de las tablas fueran: Qe de pulgada y aT w de
pulgada, al empalmarlas, ¿cuál sería su grosor? ¿Cuánto faltaría o
sobraría para alcanzar el grosor de la base del templete?
d) ¿Qué fracciones equivalentes utilizaron para calcular el grosor de las tablas de
Qe y aT w ?
e) ¿Cuál de las siguientes operaciones con fracciones equivalentes consideran que es
mejor para calcular la suma de Er y Wy ?
Primer caso
Q w I r + wKr =
Segundo caso
aO w + aR w
=
f) En cada caso, ¿cómo se obtienen esas fracciones? Si efectúan las operaciones,
¿obtienen el mismo resultado?
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III.A continuación aparecen tres opciones de empalmar dos tablas.
a) ¿Cuál se acerca más a la medida deseada de una pulgada? Expliquen su respuesta
y los procedimientos que siguieron para resolverlas.
• Las de Qw y Qe .
• Las de Qe y aT w .
• Las de Er y Wy .
b)¿Cuál de la siguientes opciones consideras que es mejor para calcular el grosor de
las tablas de Qe y aT w ?
yW + aT w =
yW + Qw Pr =
sI r + Qw rP =
aR w + aT w =
IV.Se ha decidido que el grosor de la base del templete sea de dos pulgadas empalmando tres tablas. Las siguientes sumas indican las diferentes opciones que se tendrían
para construirlo. Calcúlenlas y encuentren cuál se acerca más a dos pulgadas. Comenten cómo obtuvieron la respuesta.
a) aU t + fW p + Qw Op =
b)
Ww r + Ti + Qr =
c)
Er + aI p + aW t =
108
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MATEMÁTICAS
I
V. Consideren que se quiere formar la base del templete con tablas cuyos grosores se
señalan en cada uno de los renglones del siguiente cuadro. ¿Qué medida debe tener
el grosor de la tercera tabla para construir la base del templete?
Medida del grosor de la
base del templete
(en pulgadas)
Grosor de la
primera tabla
(en pulgadas)
Grosor de la
segunda tabla
(en pulgadas)
2

eW
3
rU
yT
wQ
eW
1
wQ
Grosor de la tercera tabla
(en pulgadas)
2 – (  + eW ) =
A lo que llegamos
Para sumar o restar dos o más fracciones que tienen diferente denominador se deben
obtener fracciones equivalentes con denominador común.
• En algunas ocasiones el denominador común puede ser uno de los denominadores de
las fracciones.
Por ejemplo, en el siguiente caso: eR + wQ − yW el denominador común de 2, 3 y 6 es 6.
Al expresar la operación anterior con fracciones equivalentes con igual denominador
se obtiene:
eR + wQ − yW = yI + yE − yW = Q Ay − yW = yO .
• En otras ocasiones el denominador común se puede obtener multiplicando los denominadores y convirtiendo las fracciones a fracciones equivalentes.
Por ejemplo, para la suma rE + tW un denominador común se puede obtener multiplicando los denominadores: 4 × 5 = 20. No hay que olvidar multiplicar también los
numeradores. Las fracciones equivalentes que se obtienen son:
×
rE = rE × tT
=
wQ pT ;
tW
Entonces, la suma queda expresada como: rE
× = .
= tW sI p
× rR
+ tW = w Q
p T + sI p = wW pE .
Si en vez de sumarse estas fracciones se restaran, la expresión y diferencia sería:
rE
–
tW
=
wQ pT
– sI p = sU p .
10 9
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Lo que aprendimos
1. Escribe el signo + o –, según corresponda en cada inciso.
a)
wQ eQ = yQ .
b)
rQ rQ c)
wQ iQ = iT .
eQ yQ = eQ .
2. Encuentra la fracción que falta en cada inciso.
sesión 2
a)
iE + + rQ = 1.
b)
+ eW = aO w = rE .
Marcas atléticas
Para empezar
En las competencias de atletismo siempre se busca superar las marcas ya impuestas. En
la medición de estas marcas los números fraccionarios y decimales tienen una función
muy importante, ya que con ellos se pueden expresar con mayor precisión.
Consideremos lo siguiente
El cuadro presenta las principales marcas internacionales obtenidas en el salto de altura
en la categoría femenil y varonil.
Salto de altura
Récords
Varonil
Del mundo
Olímpico
Atenas 2004
Javier Sotomayor
(CUB)
Charles Austin
(USA)
Stefan Hölm
(Suecia)
2 tW m
2 eQ m
Stefka Kostadinova
(BUL)
Hestrie Cloete
(Sudáfrica)
2 sQ p m
2 sQ t m
2
Femenil
wQ
m
Stefka Kostadinova
(BUL)
2
q Op p
m
110
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MATEMÁTICAS
I
a) De las marcas obtenidas en la categoría varonil, ¿cuál es mejor, la del mundo o la
olímpica?
¿Por cuánto más?
b) ¿Qué distancia le faltó a Hestrie Cloete para igualar el récord olímpico?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra
I. La diferencia entre la marca del mundo y la de Atenas 2004
en la categoría varonil es: 2 wQ − 2 eQ .
a) ¿Cuál es el valor de esta diferencia?
b) ¿Cuál es la diferencia entre la marca del mundo y la de
Atenas 2004 dentro de la categoría femenil? Escriban cómo
obtuvieron esa diferencia
Recuerden que:
to se puede
Un número mix
a fracción
convertir en un
impropia.
mar o restar
Además, para su
e
tienen diferent
fracciones que
imero se deben
denominador, pr
fracciones con
expresar como
ador.
igual denomin
c) ¿Cuál es la diferencia del récord olímpico varonil con respecto a la de Stefan
Hölm?
d) ¿Y cuál es la diferencia entre la marca del mundo y la olímpica en la categoría
femenil?
e) Expliquen cómo calcularon la diferencia entre la marca del mundo y la olímpica
en la categoría femenil
f) ¿Cuál es la diferencia entre la marca mundial y la marca de Hestrie Cloete?
¿Y la diferencia entre la marca olímpica y
la marca de Hestrie Cloete?
II. Utilicen la información del cuadro de marcas de salto de longitud para responder las
siguientes preguntas:
Salto de longitud
Récords
Varonil
Femenil
Del mundo
Olímpico
Atenas 2004
Mike Powell
(EEUU)
Bob Beamon
(EEUU)
Dwight Phillips
(EEUU)
8aO p m
8. 59 m
Jackie Joyner-Kersee
(EEUU)
Tatiana Lebedeva
(URSS)
7 tW m
7.07 m
8
wQ Op m
Galina Chistyakova
(URSS)
7 wQ
tE m
111
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a) ¿Cuál es la diferencia entre la marca olímpica varonil y la marca
ue:
Recuerden q
ede
ecimal se pu
d
ro
e
m
ú
n
Un
ción.
mo una frac
expresar co
:
Por ejemplo
.
1.5 = 1 a T p = qQ pT
olímpica femenil?
Una forma de calcular esa diferencia es expresar las fracciones que tienen diferente denominador como fracciones con igual denominador.
b) Completen la resta: 8aO p − 7 tW = 8aO p − 7 q p
c) Luego, se restan enteros y fracciones por separado:
8 − 7 = y d) El resultado es: 1 +
aO p − q p =
qp =1 qp
e) ¿Cuál es la operación que permite calcular la diferencia entre la
marca olímpica y la de Atenas 2004 en la categoría femenil?
A continuación se muestra una manera de calcular la diferencia: 7
plétenla:
7
t W − 7.07 = 7 t W −
7
t W − 7.07. Com-
U = 7 R P − 7 U =
f) La marca juvenil varonil de salto de longitud no aparece en esta tabla, pero es
medio metro menor que la obtenida en Atenas 2004. ¿Cuál es la marca juvenil?
g) ¿Cuánto le faltó a Dwight Phillips para romper el récord olímpico?
h) ¿Cuánto le faltó a Tatiana Lebedeva para romper el récord olímpico?
i) ¿Quién estuvo más cerca de romper el récord olímpico: Dwight Phillips o Tatiana
Lebedeva?
112
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MATEMÁTICAS
I
III.Los siguientes resultados son los que obtuvo Ana Gabriela Guevara
en los Juegos Olímpicos de Atenas 2004 al correr los 400 metros
planos.
1ª Ronda
50aO p E p segundos
Semifinal
50sE t segundos
Final
49.56 segundos
a) ¿Qué diferencia hay entre el tiempo de la primera ronda y el de la
final?
b) Si el primer lugar registró 49
q pp
segundos, ¿qué diferencia hay
entre el tiempo de Ana en la final y el del primer lugar?
A lo que llegamos
Las operaciones de suma y resta de números mixtos se pueden hacer de dos formas:
•La suma (o resta) de números mixtos se pueden separar en dos sumas (o restas): la de
las partes enteras y la de las partes fraccionarias. Después estos dos resultados se
deben sumar para obtener el resultado final.
Por ejemplo:
8aO p
+ 2 tW = 8 + 2 + aO p +
Suma
enteros
tW
= 10 + aO p + aR p = 10 +
qQ pE
= 10 + 1aE p = 11aE p .
Suma enteros
+
Suma fracciones
Suma
fracciones
•Otra forma de sumar o restar números mixtos consiste en convertirlos a fracciones
impropias. Luego, las fracciones impropias se transforman en fracciones equivalentes
con denominador común para poder efectuar la operación de suma o resta:
Por ejemplo: 8aO p
+ 2 tW = qI pO +
QtW
Suma de
fracciones
impropias
=
qI pO
+
W R
=
aQ Q Ep
= 11aE p .
Suma de
fracciones
equivalentes
11 3
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secue n c i a 9
Lo que aprendimos
1. Un corredor va a una velocidad de 9
segundo.
eQ
metros por segundo. Otro a 8 tR metros por
a) ¿Quién de los dos corre más rápido?
b) ¿Por cuántos metros por segundo?
2. En el tanque de gasolina de una motocicleta hay 6 wQ litros. Se agregaron 8aU p litros.
a) ¿Cuánta gasolina hay ahora en el tanque?
b) Si en el tanque caben 16 rQ litros, ¿cuánto más se puede agregar?
3. Completa las siguientes operaciones.
a) 5
uQ + 2 rE = 5 + 2 + uQ + rE =
b)3
yT − 1 eW = W E − eT = y − Q P = Qh E = 2 y
c) 1sT p + 2.02 = W
sesión 3
+
R + w i = 7 + W T =
T + ap p = ap p + W P W = E W U = 3 W U
Los precios de la cafetería
Para empezar
Hay diversas situaciones en las que se requiere realizar operaciones de adición y sustracción de decimales, como la compra y venta de artículos.
Consideremos lo siguiente
La carta de alimentos que ofrece una cafetería es la siguiente:
Sopas
Guisados
Bebidas
Sopa de pasta
$ 9.50 Milanesa
$32.50 Agua de sabor
$ 8.75
Consomé de pollo
$15.50 Pollo frito
$25.80
Agua embotellada
$12
Crema de
champiñones
$ 20
Refresco
$12.25
Filete de pescado $30.50
Pechuga asada
$ 27.25 Jugo de naranja
$14.50
Enchiladas
$ 25
$10.50
Café
114
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MATEMÁTICAS
I
Dos personas ordenaron sopa, guisado y bebida para cada quien. La primera persona
ordenó como guisado unas enchiladas y de bebida un café; la otra persona pidió como
sopa un consomé de pollo. Cuando terminaron de comer pidieron la cuenta y pagaron
con un billete de $100. La caja registradora marcó $3.50 de cambio. Si todos los alimentos que pidieron eran diferentes:
a) ¿Qué sopa ordenó la primera persona?
¿El costo de la sopa fue mayor o menor a $15?
b) ¿Qué guisado y bebida ordenó la segunda persona?
c) Si hubieran pedido cuentas separadas, ¿cuánto tendría que pagar cada persona?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra
I. En su cuaderno, encuentren el costo de las siguientes comidas:
a) Jugo, sopa de pasta y filete de pescado.
b) Refresco, crema de champiñones y milanesa.
c) Agua de sabor, sopa de pollo y pechuga asada.
d) ¿Cuánto debe pagar una persona si sus alimentos son los más caros de la carta?
e) Y si se piden los alimentos más baratos, ¿cuánto se debe pagar?
II. Una persona ordena los siguientes alimentos: sopa de pasta $9.50, filete de pescado
$30.50 y refresco $12.25.
a) Sin realizar operaciones, marquen la respuesta que dé la mejor estimación de lo
que tendrá que pagar y escriban por qué.
Entre $30 y $60
Más de $50
Menos de $100
Más de $100
b) Para saber cuánto tenía que pagar realizó la siguiente operación:
+
9.50
30.50
12.25
52.25
Pero en la caja le cobraron $137.75, ¿quién está equivocado?
¿Cuál es el error?
c) Escriban en su cuaderno la forma correcta de calcular el costo de lo que consumió
esta persona.
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III. A continuación se da el costo de dos comidas. Averigüen qué pudo haberse pedido en
cada caso. Consideren que el costo total corresponde a una sopa, un guisado y una
bebida.
a) Costo total $53.75
b) Costo total $49.80
c) Para encontrar los costos de los alimentos que pudieron haberse pedido, un alumno decide restar a 53.75 el precio de un agua de sabor, que es de $8.75, ¿cómo
debe acomodar las cifras de estas cantidades para poder realizar correctamente la
operación?
d) Efectúen, en su cuaderno, las operaciones que necesitan realizar en cada inciso.
Para realizar la adición con números decimales en forma vertical, se
procede igual que la adición con enteros, sólo que se requiere cuidar
que todos los sumandos estén alineados a partir del punto decimal
para identificar cada posición. Se suman décimos con décimos, centésimos con centésimos, y así sucesivamente.
Ejemplo:
Punto decimal
Unidades
Décimos
Decenas
Agua de sabor
Consomé de pollo
+
Enchiladas Centésimos
8 . 7 5
1 5 . 5 0
2 5 . 0 0
4 9 . 2 5
Cuando un sumando tiene menos cifras decimales que otro, se pueden
colocar ceros en esas posiciones para alinearlas. Por ejemplo, 25 es
igual a 25.00
116
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MATEMÁTICAS
I
IV. Formen dos parejas.
Una pareja elige una sopa, un guisado y una bebida y se lo
dicen a la otra pareja de alumnos.
NOTA DE CONSUMO
La otra pareja tiene un minuto para encontrar los alimentos
que eligieron sus compañeros (sopa, guisado y bebida). Gana
un punto si lo logra. Si no encuentra los alimentos, gana la
primera pareja. Ahora la segunda pareja elige una sopa, un
guisado y una bebida. Deben realizar cuatro rondas.
Cliente:
Pedido No. 1850
Concepto
Precio
Consomé de pollo
$
$
Lo que aprendimos
27.25
$
Completa la nota de consumo de la cafetería que se encuentra a la derecha.
a) ¿Qué guisado se ordenó?
b) Si el cambio fue de $15.00, ¿con qué billetes se pagó?
TOTAL
$
Pago
$
Cambio
$
55.00
15.00
Para restar números decimales se requiere cuidar la colocación de las
cifras. Si no hay la misma cantidad de cifras decimales se agregan
ceros para igualarla. Posteriormente se restan y se “baja” el punto
decimal.
Ejemplo:
Pago con:
Costo total: −
100.00
64.75
35.25
Para saber más
Sobre las marcas atléticas consulta:
http://www.el-mundo.es/jjoo/2004/resultados/2206.html
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
11 7
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secue n c i a 10
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.
sesión 1
De compras en el mercado
Para empezar
Seguramente, en algunas ocasiones, te ha tocado ir de compras al mercado y tal vez has
comprado mercancías como frutas, verduras, carne, tortillas, etcétera.
Consideremos lo siguiente
Una persona compró en el mercado las siguientes mercancías para su despensa.
Mercancías
Cantidad de
kilogramos
Cebollas
3
Jitomates
2
$6
$9
wQ
rQ
Carne
Fresas
Precios
por kilogramo
rE
$64
$24
a) ¿Por cuál de las cuatro mercancías pagó más? b) ¿Cuánto pagó en total?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra
I. Consideren los precios de las mercancías dados en la tabla para contestar las siguientes preguntas.
a) ¿Cuánto cuesta el kilogramo (kg) de cebolla?
b) Si compran tres veces esa cantidad de cebollas, es decir 3 kg, ¿cuánto deben pagar?
118
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MATEMÁTICAS
I
c) ¿Cuánto cuesta el kg de jitomate?
d) Si compran dos kg de jitomate, ¿cuánto deben pagar?
e) ¿Y si compran medio kg de jitomate?
Para saber cuánto pagó esa persona por el jitomate debe calcularse cuánto es 2 veces
9 pesos más la mitad de 9 pesos, es decir:
9 + 9 + 4.50
2 veces 9 + la mitad de 9.
f) ¿Cuánto deben pagar por 2 wQ kg de jitomates?
g) ¿Cuánto pagarían por 3 wQ kg de cebolla?
Para saber cuánto cuestan 3 kg de cebollas, multiplicas 3 × 6. De la
misma manera, para calcular el costo de 2 Qw kg de jitomates habrá de
multiplicar 2 Qw × 9.
h) Un kg de carne cuesta $64. ¿Cuánto deben pagar por
i) ¿Cuánto cuesta rQ de kg de fresas?
Qr
de kilogramo de carne?
¿Y cuánto pagas
por rE de kg?
j) Si por rQ de kg de fresas pagan 6 pesos, ¿cuánto dinero pagarían por rE de kg de fresas?
II. Anoten en la siguiente tabla la cantidad de dinero que pagó esa persona por cada
mercancía que compró.
Mercancías
Cantidad de kilogramos
Cebollas
3
Jitomates
2
Cantidad de dinero
a pagar
wQ
Carne
rQ
Fresas
rE
119
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secu enci a 10
a) ¿Por cuál de las cuatro mercancías pagó más dinero?
b) Sumen la cantidad de dinero que pagó esa persona por las cuatro mercancías, ¿cuánto pagó en total?
Comparen sus respuestas y comenten:
Si en vez de comprar rQ de kg de carne, la persona compra ­ rE de kg, ¿cuánto debe pagar?
A lo que llegamos
Observen que el cálculo de la cantidad a pagar por una mercancía se puede interpretar
de la siguiente manera:
Mercancía
y precio
Cebollas
$6 el kg
Cantidad de
kilogramos que
se compraron
Se calcula
encontrando
rQ
rQ de 6 pesos
Qr
×6
$1.5
rE
3 veces rQ de 6 pesos
Er
×6
$4.5
eQ de 6 pesos
eQ
×6
$2
eW
2 veces eQ de 6 pesos
eW
×6
$4
wT
5 veces wQ de 6 pesos
×6
$15
eQ
Cantidad
de dinero
a pagar
Esto puede
escribirse como
wT
Lo que aprendimos
1. En una escuela, 240 alumnos presentaron un examen.
a) Si de estos 240 alumnos sólo aprobaron las
b) Si
yW
tE
partes, ¿cuántos lo aprobaron?
de los alumnos que aprobaron son mujeres, ¿cuántas mujeres aprobaron?
12 0
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6/2/07 7:04:57 PM
MATEMÁTICAS
c) Del total de alumnos que presentaron el examen,
I
están en primer grado, y de
aGw
éstos, tR lo aprobaron. ¿Cuántos alumnos de primer grado lo aprobaron?
2. Considera el precio por kg de cada una de las mercancías que aparecen en la tabla y
la cantidad de dinero que se pagó.
Mercancías
Precio por kilogramo
Cantidad de dinero
que se pagó
Cebollas
$6
$20
Jitomates
$9
$6
Carne
$64
$24
Fresas
$24
$51
Calcula la cantidad de kg que se compraron de:
a) cebollas
b) jitomates
c) carne
d) fresas
Superficies y fracciones
sesión 2
Para empezar
El área es la medida en unidades cuadradas de una superficie. El área de un rectángulo
se obtiene multiplicando el ancho por el largo.
Calcula el área de una lámina rectangular que mide 3 m de
ancho y 4 m de largo:
Ancho
Una manera de representar esta situación es la siguiente:
Largo
Las dimensiones de un rectángulo también pueden darse en
fracciones.
1 21
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s e c u e n cia 10
Consideremos lo siguiente
Una persona necesita comprar tres vidrios con las siguientes medidas:
Vidrio 2
Vidrio 3
Vidrio 1
wQ
m
1m
rQ
yT
m
m
wQ
rE
m
m
Para determinar el costo de un vidrio se necesita conocer su área. Busquen una forma de
calcular el área de cada vidrio y aplíquenla.
Comenten al grupo cómo calcularon el área de cada vidrio y cuál fue el área que obtuvieron.
Manos a la obra
I. Consideren que la siguiente figura cuadrada representa 1 m2 de vidrio.
1 m2
En la siguiente secuencia de figuras se presenta una forma de obtener el área del vidrio 1.
wQ
wQ
rQ
wQ
rQ
wQ
rQ
1 22
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MATEMÁTICAS
I
En la primera figura se ha representado la medida del largo del vidrio, y en la segunda la
del ancho. En la tercera figura se ha coloreado la superficie que corresponde al vidrio 1.
Para saber qué parte de toda la figura es esa región coloreada, se ha dividido todo el
cuadrado a partir de las marcas que se hicieron en sus lados.
a) ¿En cuántas partes iguales quedó dividido el metro cuadrado?
b) ¿Cuántas de esas partes representan la superficie del vidrio 1?
c) ¿Cuál es el área del vidrio 1?
• De nuevo usen una figura de 1 m2, pero ahora para representar
el vidrio 2.
a) ¿En cuántas partes iguales quedó dividido esta vez el metro
cuadrado?
Largo:
b) ¿Cuántas de esas partes representan la superficie del vidrio 2?
c) ¿Cuál es el área del vidrio 2?
d) Si el vidrio mide
yT
Ancho:
de metro de largo y
rE
de metro de ancho,
¿cuál es su área?
Ancho:
Largo:
Ancho:
II. Cuando se necesita representar una medida mayor a 1 m, se unen tantos
cuadros de 1 m2 como se requieran. Por ejemplo, si se quiere representar
un vidrio que mide 3 m de largo y eW de m de ancho, se requiere una
figura como la de la derecha:
Largo:
a) ¿Cuál es su área?
Utilicen la figura para encontrarla.
b) En sus cuadernos representen el área de los vidrios cuyas medidas sean:
• Largo:
tR
m. • Largo: 6 m.
Ancho:
Ancho:
rE
eW
m.
m.
c) ¿Cuál es el área de cada vidrio?
ue:
Recuerden q
r el
la
Para calcu
área de un
se
rectángulo
la
a
c
multipli
ancho
medida del
rgo.
por la del la
123
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secu enci a 10
Para calcular el área de un vidrio de 3 m de largo por 2 m de ancho
se multiplica 3 × 2. El área de este vidrio es de 6 m2.
De la misma manera, para calcular el área de un vidrio de wQ m de
largo por rQ de m, hay que multiplicar wQ × rQ . El área de este vidrio es
de iQ de m2.
III.A partir de los resultados anteriores completen la siguiente tabla. Observen el ejemplo.
Medidas del vidrio
(m)
Largo: wQ ancho: rQ
Largo: 1 ancho: Largo: 3 ancho: Largo: Área del vidrio que
obtuvieron con el modelo
(m2)
wQ × rQ = iQ
iQ
1 × wQ
wQ =
3 × eW =
eW
yT × rE =
yT ancho: rE
Largo: 6 ancho: Área del vidrio = largo × ancho
(m2)
6 × eW =
eW
a) Comenten cómo obtienen el producto de dos fracciones a partir de los términos
de las fracciones que se multiplican.
b) ¿Cuál de los siguientes dos procedimientos para multiplicar fracciones es correcto
y cuál es incorrecto?
wQ × rQ
Procedimiento 1
wQ × rQ = wQ
Procedimiento 2
wQ × rQ = qQ
3×
×
×
×
×
rQ = iQ
wR = 3×
3×
eW
eW
eW = D ×e W
=
eY = 2
D ×w E
=
wO = 4 wQ
=
12 4
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MATEMÁTICAS
I
A lo que llegamos
Para multiplicar dos fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador
por denominador. Por ejemplo: tE × yQ = tE × yQ = dDp = aAp
×
Lo que aprendimos
1. Si el precio del metro cuadrado de vidrio es de $200.00, ¿cuánto cuesta cada vidrio?
Completen la siguiente tabla anotando el área de cada vidrio y obteniendo su precio.
Observen los ejemplos:
Medidas del vidrio
Área
del vidrio
(m2)
Precio del vidrio
($)
Largo
(m)
Ancho
(m)
1
1
1
200 × 1 = 200
2
1
2
200 × 2 = 400
wQ
rQ
iQ
yT
Q = S Pi P = 25
rE
1
wQ
3
eW
6
200 × iQ = S P P i ×
eW
125
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secu enci a 10
2. Se tienen lienzos cuadrados de tela con las medidas que se indican en la tabla. Calculen el área de cada lienzo y contesten las preguntas.
Lienzos
Medida del lado
(m)
A
iQ
B
rQ
C
wQ
D
wE
Área
(m2)
a) ¿Cuál es el lienzo más grande?
b) ¿Cuál es el lienzo más pequeño?
3. Don José tiene una parcela de forma cuadrada.
a) Si aró las rE partes de su parcela y sembró tR partes
de la parte arada, ¿qué parte de la parcela sembró?
b) En la parte de la parcela que está sin arar construyó
un corral que ocupa la tercera parte de ésta. ¿Qué
parte de la parcela ocupa el corral?
c) Si la parcela mide de largo eW de kilómetro. ¿La parcela mide más o menos de un kilómetro cuadrado?
d) ¿Cuál es el área en kilómetros cuadrados de la
parcela de don José?
12 6
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MATEMÁTICAS
I
¿Cómo serían las marcas
atléticas en el espacio?
sesión 3
Para empezar
El sistema solar y la fuerza de gravedad
Los planetas y los satélites atraen a los objetos con distinta intensidad.
Por ejemplo, la fuerza de gravedad en la Tierra es 6 veces mayor que la de
la Luna. Esto significa que en la Luna una persona saltaría 6 veces más alto
de lo que salta en la Tierra.
Si en la Tierra un competidor de salto de altura salta 2 m, ¿cuánto saltaría en la Luna?
Luna
Neptuno
Tierra
Consideremos lo siguiente
En Neptuno la fuerza de gravedad es más grande que en la Tierra. Si se pudiera realizar
el salto de altura en Neptuno, la altura que se alcanzaría sería yT de la que se alcanzaría
en la Tierra.
Completen la siguiente tabla para encontrar las medidas de diferentes saltos.
Medida del salto
en la Tierra
(m)
Medida del salto
en Neptuno
(m)
3
wQ
tR
wE
a) ¿En dónde alcanzan mayor altura los saltos, en la Tierra o en Neptuno?
b) ¿Qué operación tendría que hacerse para saber cuánto es yT de wQ ?
Comparen sus respuestas.
127
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Manos a la obra
I. En un grupo, algunos equipos resolvieron la operación yT de wQ de las siguientes
maneras.
Equipo 1
Equipo 2
yQ de wQ es aQ w
En una figura
5 veces aQ w son aT w
representó
wQ
Luego, dividió
el medio en sextos
Y tomó 5
Observó que el resultado es
Equipo 3
Sumó yT
+
wQ
= yT +
aT w
Equipo 4
yE = Iy
Multiplicó a) ¿Usaron ustedes alguno de estos procedimientos?
yT × wQ + aT w
,
¿Cuál?
1 28
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I
MATEMÁTICAS
b) ¿Cuáles equipos siguieron un procedimiento correcto?
c) Traten de explicar el procedimiento del equipo 1
II. Completen la siguiente tabla
Medida del salto
en la Tierra
(m)
Cálculo de la medida del salto en Neptuno
3
yT × 3
wQ
yT × wQ
tR
wE
Medida del salto
en Neptuno
(m)
yT × tR
yT × wE
III.En Marte la fuerza de gravedad es menor que en la Tierra, por lo que atrae a los objetos con menos fuerza. En ese planeta los saltos serían 2 wQ veces más altos que en la
Tierra.
a) Si un salto en la Tierra midió 3 m, ¿en Marte ese salto será mayor o menor que
en la Tierra?
¿Por qué?
b)Un procedimiento para calcular cuánto mediría el salto en Marte
consiste en calcular 2 veces 3 m más media vez 3 m, es decir,
3 + 3 + 1 2 veces 3
+
wQ
wQ = 7 wQ
vez 3
• Usando este procedimiento, en su cuaderno, calculen la medida
del salto en Marte si la medida del salto en la Tierra es: wQ m.
129
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secu enci a 10
IV. Considerando lo anterior, completen la tabla.
Medida del salto
en la Tierra
(m)
Medida del salto
en Marte
(m)
Cálculo de la medida del salto en Marte
3
2 wQ × 3 = Tw ×
qE
wQ
tR
wE
Contesten las siguientes preguntas:
a) Si se sabe que en un planeta el salto es aT w del salto en la Tierra, ¿en ese planeta
el salto será mayor o menor que en la Tierra?
b) Y si se sabe que en un planeta el salto es ¿Por qué?
tU del salto en la Tierra, ¿en ese planeta
el salto será mayor o menor que en la Tierra?
¿Por qué?
A lo que llegamos
Cuando se multiplica cualquier número por una fracción menor que 1,
el producto es menor que ese número, porque se toma sólo una parte
de él:
× 9 = yT
yT
yT
× qO = R T = 7 yE = 7 wQ ;
× wQ = aT w ;
7
es menor que 9;
wQ
aGw es menor que wQ ;
Y cuando se multiplica cualquier número por una fracción mayor que
1, el producto es mayor que ese número, porque se toma más de una
vez:
wT
× 4 = wT ×
wT
×
wQ = rT ;
qR = sW = 10;
10 es mayor que 4;
rT
es mayor que wQ .
13 0
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I
MATEMÁTICAS
Lo que aprendimos
En tu cuaderno, efectúa las siguientes multiplicaciones y explica por qué el resultado es
mayor o menor que el número que se escribe en negritas.
a) Ew × yT =
c) uO × tI =
b) eW × yT =
d) eW × 5 =
g) uW × eQ =
eR × 5 =
f) tR × rT =
e)
h) wU × eQ =
Hay tela de donde cortar
sesión 4
Para empezar
En un taller de costura se realizan cálculos con el fin de
conocer cuánta tela es necesaria para confeccionar una o
varias prendas.
Si tienen un rollo de tela de 18 m de largo y quieren cortar
lienzos de 3 m de largo, ¿cuántos lienzos pueden obtener?
Consideremos lo siguiente
En un taller de costura tienen un rollo de tela de 3 m, y necesitan cortar lienzos de
rE
de
m cada uno. ¿Cuántos lienzos se obtienen?
Y si el rollo tuviera 3
wQ
m y necesitaran cortar lienzos de un
rQ
de m cada uno, ¿cuántos
lienzos se obtendrían?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra
I. La siguiente figura representa el rollo de tela, que es de 3 m.
a) Marquen la medida del largo de los lienzos ( rE de m) tantas veces como se pueda
a lo largo de la tela.
1m
1 m
1m
b) ¿Cuántos lienzos obtuvieron?
1 31
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secu enci a 10
c) Completen la siguiente tabla. Pueden apoyarse en representaciones gráficas como
las anteriores.
Cantidad de tela
disponible
3m
3m
3m
3m
3m
3m
Medida del largo
de los lienzos
3m
2m
1m
rQ de m
rE de m
wQ de m
3m
yQ
de m
Número de lienzos
que se obtienen
II. Si el rollo de tela fuera de 3
wQ
m y cortaran lienzos de rQ de m:
a) ¿Cuántos lienzos obtendrían?
b) Representen esta situación en la siguiente figura.
III.En cada una de estas situaciones se puede realizar una división. Indíquenla en las
tablas y contesten las siguientes preguntas:
Cantidad
de tela
a cortar
3m
3m
3m
3m
3m
Medida
del largo de
los lienzos
3m
1m
wQ m
rE m
eQ m
Número
de lienzos que
se obtienen
3÷3=
3 ÷ = 3
Cantidad de
tela
a cortar
3 wQ m
Medida
del largo de
los lienzos
3
Número
de lienzos que
se obtienen
3 wQ m
wQ m
3 wQ ÷ = 1
÷ wQ = 6
wQ
3
wQ
÷
wQ
=
m
3
wQ
3 ÷ rE =
3 ÷ eQ =
3 wQ m
3 wQ m
m
1m
÷ = 14
÷ =
13 2
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MATEMÁTICAS
a) Si el rollo de tela mide 3 m y cortan lienzos de
eQ
I
de m, ¿cuántos lienzos obtie-
nen? Escriban la división que le corresponde a esta situación:
b) De acuerdo con los datos de las tablas, ¿qué situación representa la división:
3 wQ ÷ wQ = 7?
c) Y si el rollo de tela mide 3 wQ m y cortan lienzos de yQ de m, ¿cuántos lienzos obtienen? Escriban la división que le corresponde a esta situación:
d) Si tienen 6 lienzos de wQ m y los unen, ¿cuántos m de tela en total tienen?
• Completen la tabla.
Resultados de las divisiones
tomando los datos
de la tabla anterior
Resultados de las multiplicaciones
de acuerdo con lo que estudiaron
en la sesión 1
3÷3=
3 × eQ =
3 ÷ wQ =
3 × qW =
3 ÷ rQ =
3 × qR =
3 ÷ rE =
3 × eR =
3 wQ ÷ wQ =
3 wQ × qW =
3 wQ ÷ rQ =
3 wQ × qR =
ue:
Recuerden q
mixto se
Un número
sar como
puede expre
propia. Por
fracción im
= wE .
ejemplo: 1 wQ
133
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secu enci a 10
A lo que llegamos
La fracción recíproca de una fracción es otra fracción que se obtiene
al invertir sus términos. Por ejemplo:
eW su recíproco es wE .
• Contesten las siguientes preguntas:
a) Verifiquen que los resultados que se dan en cada renglón de la tabla anterior sean
iguales.
b) ¿Qué sucede si multiplican una fracción por su fracción recíproca? ¿Cuál es el resultado de multiplicar rQ × qR ?
A lo que llegamos
Dividir un entero entre una fracción es equivalente a multiplicar el
entero por el recíproco de la fracción. Por ejemplo:
3 ÷ rE = 3 × eR = qE × eR = qE ×
× eR = Q e W = 4;
y
3 ÷ wQ = 3 × qW = qE × qW = qE ×
× qW = qY = 6;
Dividir cualquier fracción (dividendo) entre otra (divisor) es equivalente a multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.
Por ejemplo:
3 wQ ÷ rQ = 3 wQ × qR = wU × qR = wU ×
× qR = Ww I = 14.
13 4
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MATEMÁTICAS
I
¿Cuántas botellas de jugo
se necesitan?
sesión 5
Para empezar
En una planta de refrescos y jugos se tienen distintas presentaciones de
un mismo producto. Un tanque de jugo de manzana tiene 270 , con los
que se llenarán 108 botellas, sin que sobre jugo.
¿De qué capacidad deben ser las botellas?
¿Qué operación realizaron para encontrar la respuesta?
Consideremos lo siguiente
Se va a repartir 5 rQ de jugo de manzana entre 14 botellas. Se quiere que en cada botella haya la misma cantidad de líquido y que no sobre. ¿Qué cantidad de líquido quedará en cada botella?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra
I. En un equipo, cada alumno planteó las siguientes operaciones para resolver el problema.
José
5 rQ ÷ 14
María
14 ÷ 5
rQ
Teresa
Julio
WfQ × aQr
5 rQ × 14
a) ¿Con cuáles de estas operaciones se puede resolver el problema?
b) En su cuaderno, efectúen los cálculos y comparen sus resultados.
c) Identifiquen el dividendo, el divisor y el cociente en este problema.
II. En su cuaderno, realicen las siguientes divisiones de fracciones.
• 2 ÷
tQ
• 3 tW ÷ 2
• yT ÷ eW
wQ
ue:
Recuerden q
s de una
Los elemento isor,
: div
división son
cociente.
y
dividendo
:
Por ejemplo
wQ ÷ rQ = 2.
• 1 eQ ÷ 2
• tQ
÷
eW
ente
ivisor coci
Dividendo d
135
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6/2/07 7:05:21 PM
secu enci a 10
Consideren los resultados de las divisiones anteriores para contestar las siguientes
preguntas.
a) ¿En qué divisiones obtuvieron un cociente entero?
b) ¿En qué divisiones el resultado fue menor que el dividendo?
c) ¿Y en cuáles fue mayor que el dividendo?
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamos
• Cuando el resultado es un número entero, como 1, 2, 3, o cualquier
otro, se puede decir que ese número representa el número de veces
que cabe el divisor en el dividendo.
• Observen que el resultado de la división es menor que el dividendo
si el divisor es mayor que uno.
• Observen que el resultado de la división es mayor que el dividendo
si el divisor es menor que uno.
III. Resuelvan los siguientes problemas.
a) Cuatro personas comparten en partes iguales un refresco familiar de 2
. ¿Qué
wQ
cantidad de refresco le toca a cada quién?
b) La cantidad de calorías que proporciona un refresco de manzana es 1
eW
veces
mayor que la que da el jugo de manzana. Si un vaso de refresco tiene 40 calorías.
¿Cuántas calorías tiene un vaso de jugo?
c) Una lancha recorre 27 wQ km en 2 horas. ¿Cuál es su velocidad por hora?
13 6
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6/2/07 7:05:22 PM
MATEMÁTICAS
d) Una llave de agua da 3
e) En una escuela
tE
rE
I
de agua por minuto. ¿En cuántos minutos da 32 ?
de sus estudiantes aprobaron el examen. Si lo aprobaron 144
alumnos, ¿cuántos alumnos lo presentaron?
f) Completa la siguiente tabla, calculando cuántos moños de
se obtienen en cada caso.
Metros de listón que
tiene una pieza
Cantidad de listón que
se requiere para hacer
un moño
2
5
7
rQ
wQ
rQ
m
rQ
m
rQ
m
rQ
de metro de listón
Número de moños que se pueden
hacer
Para saber más
Sobre los planetas y la fuerza de gravedad consulta:
http://www.universum.unam.mx/
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007]
Universum, Museo de las Ciencias
UNIVERSO (seleccionar la imagen que tiene
Ruta: SALAS
Equipos de la sección SisSistema Solar
dos planetas)
tema Solar (dar clic en el tema que se quiera consultar).
137
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6/2/07 7:05:23 PM
secue n c i a 11
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.
sesión 1
Tres veces y media
Para empezar
En un dibujo a escala todas las medidas deben ser proporcionales a las reales.
El auto que aparece en esta foto está a escala del auto real. El factor de escala es 100.
¿Cuánto mide en la foto el largo del auto?
, ¿cuánto mide
el largo del mismo auto en la realidad?
e:
Recuerda qu scala es
de e
Si el factor
s medidas
la
s
100 toda
des
es más gran
son 100 vec
4.5 cm
Consideremos lo siguiente
Observen el siguiente dibujo y hagan otro a escala que sea 3 wQ veces más grande que
el original. La tabla puede servirles, complétenla sin usar calculadora.
1.4 cm
Medidas en el
dibujo original
6 cm
3 cm
6 cm
4 cm
3 cm
1.4 cm
Medidas en la
ampliación a
escala
4 cm
138
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6/2/077:05:52PM
MATEMÁTICAS
I
Comenten ante su grupo cómo calcularon las medidas de la copia a escala. En particular
platiquen cómo calcularon la medida real de la diagonal menor del rombo, que en el
dibujo mide 1.4 cm; entre todos elijan cuál de los procedimientos mostrados consideran
que es el más eficaz y digan por qué.
Manos a la obra
I. Calcular las medidas para que sean 3 wQ veces de la original es lo mismo que multiplicar por 3.5. Completen la tabla usando los resultados que obtuvieron en el problema
inicial.
Producto (resultado de la multiplicación)
Multiplicación
3.5 × 6
3.5 × 4
3.5 × 3
3.5 × 1.4
• Completen estos dos procedimientos para calcular 3.5 × 1.4:
a) Al sumar tres veces y media el 1.4, queda
b) Al multiplicar 3
wQ por 1 q p , queda
II. Calculen las medidas del lado de 4 cm y el de 6 cm con los factores de escala que
aparecen en la tabla.
Factor de
escala
e:
Recuerda qu
s
ro
e
Los núm
ueden
decimales p
omo
expresarse c mún:
n co
una fracció
= rQ .
0.25 = q W p T p
2
5
0.5
1.5
2.5
0.25
0.1
0.01
Medida del lado
de 4 cm
Medida del lado
de 6 cm
8 cm
12 cm
139
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6/2/077:05:53PM
secu enci a 11
a) ¿Con qué factores de escala la copia será mayor que el dibujo original?
b) ¿Con cuáles de estos factores de escala la copia será de menor tamaño que el
dibujo original?
c) ¿Qué tienen en común los factores de escala que producen una copia menor que
el original?
d) Anoten cuatro factores de escala con punto decimal que sean diferentes a los de
la tabla y que generen una copia menor que el original
e) ¿Qué factor de escala debe usarse para hacer una copia en la que el lado de 4 cm
mida 22 cm?
f) ¿Qué factor de escala debe usarse para hacer una copia en la que el lado de 4 cm
mida 3 cm?
Comenten con otras parejas sus resultados hasta este punto; si no coinciden analicen
por qué.
III.Para calcular la medida del lado de 4 cm, cuando el factor de escala es 0.5, se puede
efectuar la siguiente multiplicación; resuélvanla:
0.5 × 4 =
• El resultado de esta operación equivale a dividir 4 entre un número; ¿entre cuál
número?
• Algunas multiplicaciones de números con punto decimal pueden calcularse de
otra manera. Completen la siguiente tabla.
Multiplicar por:
0.5
0.25
0.1
0.01
0.125
0.75
Es lo mismo que multiplicar
por la fracción:
Y es lo mismo que:
wQ
dividir entre 2
14 0
MAT1B2S11.indd140
6/2/077:05:54PM
MATEMÁTICAS
I
Escriban dos maneras diferentes de calcular 0.75 × 4:
IV. Resuelve mentalmente las siguientes multiplicaciones:
0.5 × 40 =
0.25 × 200 =
1.5 × 80 =
2.5 × 8 =
10 × 2.5 =
4 × 3.5 =
4.5 × 0.5 =
800 × 0.125 =
V. Platica a tus compañeros cómo resolviste mentalmente las multiplicaciones 10 × 2.5
y 1.5 × 80. Elijan una de estas dos operaciones, anoten en el pizarrón los diferentes
procedimientos y luego compárenlos, ¿cuál creen que es el más rápido para hacer la
operación?
A lo que llegamos
• Multiplicar un número por 3.5 significa tomar 3 veces y media el valor del número;
multiplicar por 4.1 significa tomar 4 veces el número más una décima del mismo
número.
• Algunas multiplicaciones de números con punto decimal pueden resolverse más
rápidamente de otra manera, por ejemplo, multiplicar 600 por 0.25 equivale a
dividir 600 entre 4 y da como resultado 150.
• Al multiplicar un número por un factor menor que la unidad el resultado, será menor
que el número; por ejemplo, 0.35 × 8 da como resultado un número menor que 8.
Más de tres, pero menos de cuatro
Como han estudiado, los números decimales son útiles en muchas situaciones de la vida
real, como el uso de las escalas.
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sesión 2
El punto es el asunto
Para empezar
En la secuencia 10 aprendiste a representar la multiplicación de fracciones por medio de
áreas de rectángulos.
Calcula y representa el resultado de estas multiplicaciones.
eQ × Er = wQ × eW
=
En esta sesión utilizarás el mismo procedimiento para multiplicar números con punto
decimal.
Consideremos lo siguiente
Utilicen el siguiente cuadrado para calcular el resultado de la multiplicación 0.48 × 0.6
considerando que la medida del lado del cuadro es la unidad.
Expliquen a sus compañeros cómo hallaron la respuesta de 0.48 × 0.6 utilizando el cuadrado anterior. En su explicación digan cómo hicieron para ubicar el número 0.48 en un
lado del cuadrado y cómo para ubicar el 0.6. Expliquen también qué número decimal es
el resultado y cómo se interpreta.
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MATEMÁTICAS
I
Manos a la obra
I. Representen y calculen el resultado de las multiplicaciones indicadas, consideren que
la medida del lado de cada cuadrado es una unidad.
0.3 × 0.9 =
0.4 × 0.4 =
0.8 × 0.9 =
0.7 × 0.6 =
a) ¿En cuántas partes está dividido cada cuadrado unidad?
b) ¿Qué fracción del cuadrado unidad es cada una de esas partes?
c) Al multiplicar décimos por décimos, ¿qué se obtiene en el resultado? Subrayen la
respuesta correcta.
DécimosCentésimos
Milésimos
Diezmilésimos
II. Resuelvan las siguientes operaciones.
q Rp p × aE p =
ap Ip p × aR p =
aO p × aY p =
aY p × q Op p =
aQ p Wp × aY p =
apQ Wp Tp × aW p =
aI p × Aq W p =
aWp Tp × q Op p =
III. Utilicen los resultados anteriores para completar las siguientes multiplicaciones, pero
ahora escriban el resultado utilizando números con punto decimal.
0.04 × 0.3 =
0.008 × 0.4 =
0.9 × 0.6 =
0.6 × 0.09 =
0.12 × 0.6 =
0.125 × 0.2 =
0.8 × 1.2 =
0.25 × 0.09 =
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IV. Analicen los resultados anteriores y completen la tabla.
Al multiplicar:
Se obtiene:
décimos por décimos
centésimos
milésimos
centésimos por centésimos
milésimos por centésimos
millonésimos
V. Coloquen correctamente el punto decimal en el resultado.
4.5
× 2.1
4 5
9 0
9 4 5
1.23
× 4.7
8 6 1
4 9 2
5 7 8 1
4.56
× 0.98
3 6 4 8
4 1 0 4
4 4 6 8 8
Analicen las operaciones y escriban una regla para la multiplicación de números con
punto decimal.
VI. Resuelvan la multiplicación del problema inicial (0.48 × 0.6) con la regla que escribieron y comprueben si llegaron al mismo resultado que cuando la resolvieron con el
cuadrado.
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MATEMÁTICAS
I
VIII. Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones.
123. 45 × 4.8 3.23 × 1.3
6.78 × 0.129 8.9 × 4.6
A lo que llegamos
Para resolver multiplicaciones de números con punto decimal se
procede igual que en las multiplicaciones de números enteros, sólo
que al final se coloca el punto donde corresponde, recordando que
décimos por décimos dan como resultado centésimos, centésimos por
décimos resultan milésimos, etcétera.
4.56
× 3.7
3192
1 3 6 8
1 6.8 7 2
Primer factor (centésimos, 2 decimales)
Segundo factor (décimos, 1 decimal)
Resultado (milésimos, 2 + 1 = 3 decimales)
Una manera sencilla de saber dónde colocar el punto decimal es
sumando el número de cifras que hay a la derecha del punto decimal
en el primer factor y en el segundo factor, y en el resultado poner esa
cantidad de cifras decimales.
Por ejemplo, en la multiplicación anterior hay 3 cifras después del
punto (2 en el primer factor y 1 en el segundo factor), por ello en el
resultado se dejan 3 cifras después del punto.
Cuando hagan falta lugares para poner el punto en el lugar adecuado
se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:
0.08 × 0.4 = 0.032
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sesión 3
¿En dónde se usa
la multiplicación de decimales?
Lo que aprendimos
1. La información de vitaminas de un cereal para niños indica:
VITAMINAS
µg
La expresión
ramos”
g
ro
se lee “mic
ma parte
y es la milési
mo.
de un miligra
Vitamina A
CANTIDAD EN UNA PORCIÓN
DE 30 g
151.50 µg
Vitamina C
Vitamina B1
Vitamina B2
Niacina
Vitamina B6
Vitamina B12
60.6 mg
0.38 mg
0.43 mg
5.05 mg
0.51 mg
0.51 µg
a) ¿Qué cantidad de vitamina B1 se consume con 3 porciones de 30 g de ese cereal?
b) ¿Qué cantidad de vitamina C se consume con 100 g de ese cereal?
c) Una porción de ese cereal aporta el 25% de la vitamina B12 que se debe consumir
diariamente, ¿qué cantidad de vitamina B12 se debe consumir en un día?
d) Medio vaso de leche aporta 75 µg de vitamina A. Si una persona desayuna y cena
una porción de cereal con medio vaso de leche, ¿qué cantidad de vitamina A le
aportan estos alimentos?
2. Luisa quiere cubrir el piso de su recámara con losetas. Las dimensiones del piso son
4 m de largo por 3.5 m de ancho.
4m
a) ¿Cuántos metros cuadrados necesita comprar de loseta?
b) El metro cuadrado de la loseta que va a comprar le cuesta
3.5 m
$135.50, ¿cuánto gastará en loseta?
c) Va a necesitar 7 bultos de pegamento para loseta, cada bulto
cuesta $59.90, ¿cuánto gastará en el pegamento?
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MATEMÁTICAS
I
d) La mano de obra del albañil le va a costar $70 por metro cuadrado, ¿cuánto le
pagará al albañil?
e) ¿Cuánto gastará Luisa en total?
3. Don Fer va a vender un terreno que tiene la siguiente forma y dimensiones:
25 m
25.5 m
10.5 m
52.5 m
Si va a vender a $150 el metro cuadrado, ¿cuál es el costo del terreno?
4. Contesten:
a) ¿Qué número con punto decimal multiplicado por 8 da 4?
b) ¿Qué número con punto decimal multiplicado por 12 da 9?
c) ¿Por cuál número con punto decimal hay que multiplicar 100 para obtener 25?
Comenten en grupo sus procedimientos y resultados a estos problemas.
Para saber más
Sobre los números decimales en la vida cotidiana consulta:
http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm
[Fecha de consulta: 16 de junio 2006].
Da clic en “Multiplicando con decimales” y “Multiplicando decimales menores que 1”.
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secue n c i a 1 2
En esta secuencia aprenderás a utilizar las propiedades de la mediatriz
de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos
problemas geométricos.
sesión 1
a la misma distancia
Para empezar
Éste es un croquis de una parte del pequeño
pueblo donde vive Ara.
Escuela
¿Quién vive más cerca de la tienda?
, ¿y de la escuela?
Casa de Bety
Casa de Ara
Tienda
Consideremos lo siguiente
Carlos vive a la misma distancia de la casa de Ara (A) que de la de Bety (B).
Marquen con puntos 5 lugares diferentes donde puede estar la casa de Carlos.
Escuela
Casa de Bety (B)
Casa de Ara (A)
Tienda
Platiquen con otros equipos: ¿Qué hicieron para localizar puntos que estuvieran a la
misma distancia de la casa de Ara y de la de Bety?, anoten en el pizarrón las distintas
maneras en que se resolvió el problema y vean sus semejanzas y diferencias.
148
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MATEMÁTICAS
I
Manos a la obra
I. Considera que los siguientes
puntos representan la casa de
Ara (A) y la casa de Bety (B)
B
A
• En un grupo, un equipo encontró un punto que está a la misma distancia de A y
de B con el siguiente procedimiento:
Paso 1. Se abre el compás a una
medida mayor que la mitad de la
distancia entre A y B
Paso 2. Se apoya el compás en A y
se traza un círculo con la medida
elegida en 1.
Paso 3. Luego se apoya el compás
en B y se traza un círculo con el mismo radio del círculo anterior y que
lo corte. Los puntos de corte están a
la misma distancia de A y B.
Ese equipo dice que los puntos donde se cortan las circunferencias equidistan de A y de B.
a) ¿Es correcto su procedimiento?
¿Por qué?
b) Utiliza este método para hallar tres puntos que equidisten de A y de B.
c) Traza una recta que pase por los tres puntos que localizaste. Nombra m a la recta.
II. Al trazar la recta obtuviste un dibujo como el de la derecha.
a) Observa que esta recta resulta de unir algunos puntos que equidistan de A y de B.
¿Los demás puntos de la recta también
equidistan de A y de B?
b) En este dibujo localiza 3 puntos diferentes
en la recta m.
m
B
A
c) Nombra R, S y T a los puntos que localizaste. Completa la tabla de la siguiente
página.
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s e c u e n cia 1 2
Distancia de R a A
Distancia de R a B
Distancia de S a A
Distancia de S a B
Distancia de T a A
Distancia de T a B
d) ¿Son iguales o diferentes?
Comparen y comenten sus respuestas hasta este punto. Lean con atención la siguiente
información y encuentren y comenten las respuestas a los incisos desde e) hasta h).
El conjunto de puntos que equidistan de los extremos de un segmento forman una recta
que recibe el nombre de mediatriz del segmento.
Si un punto equidista de los extremos del segmento, entonces pertenece a la mediatriz
del segmento.
e) ¿La mediatriz de un segmento pasa por el punto medio del segmento?
f) ¿Cuánto mide el ángulo que forman la mediatriz y el segmento?
g) ¿La mediatriz de un segmento es el eje de simetría del segmento?
h) ¿Por qué?
III.Para trazar la mediatriz de un segmento se traza la perpendicular en el punto medio
del segmento.
Paso 1. Dado el segmento PQ, se
localiza el punto medio (usa tu regla para medir).
Paso 2. Se colocan las escuadras
como se muestra, primero se debe
colocar la escuadra azul.
Paso 3. Se gira la escuadra azul
sin mover la verde y se traza la
perpendicular por el punto medio.
1 50
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MATEMÁTICAS
I
Otra manera de trazar la mediatriz de un segmento es la siguiente:
Paso 1. Se apoya el compás sobre un extremo del
segmento y se abre a una distancia mayor que la mitad del segmento.
Paso 2. Se traza un círculo.
Paso 3. Se apoya el compás en el otro extremo del
segmento y se traza otro círculo con el mismo radio
que el anterior.
Paso 4. Se unen los puntos de corte de los
círculos y se obtiene la mediatriz.
IV.Traza dos segmentos en tu cuaderno; a cada uno trázale su mediatriz.
V. Regresa al problema inicial (el de las casas de Ara y Bety) y haz lo siguiente:
a) Traza el segmento que va de la casa de Ara a la de Bety.
b) Traza la mediatriz de ese segmento.
c) Si habías localizado bien los cinco puntos en los que podría estar la casa de Carlos,
todos estarán sobre la mediatriz.
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A lo que llegamos
La mediatriz de un segmento es:
1. El conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento.
2. La perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
3. El eje de simetría del segmento.
M
90º
Mediatriz del
segmento MN
P
N
MP = PN, P es el punto medio del segmento MN.
sesión 2
Un problema geométrico
Para empezar
Tú ya has trabajado con ejes de simetría de figuras y de segmentos.
Traza el eje de simetría del siguiente trapecio y el del segmento:
Ejemplos de
ángulos:
¿Crees que los ángulos también tienen eje de simetría?
1 52
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MATEMÁTICAS
I
Consideremos lo siguiente
¿De qué manera podrían trazar lo más exactamente posible el eje de simetría del siguiente ángulo? Elaboren un plan y tracen el eje de simetría utilizando sus instrumentos
geométricos.
Platiquen a su grupo la estrategia que utilizaron para trazar el eje de simetría del ángulo, busquen la manera de validar los procedimientos: ¿cómo pueden estar seguros de que
en realidad trazaron el eje de simetría?
Manos a la obra
I. El siguiente ángulo es igual al anterior.
Recuerda que:
Para medir un
ángulo se usa
el transportado
r.
a) ¿Cuánto mide el ángulo?
b) Divide con una semirrecta el ángulo marcado con el arco rojo en dos ángulos de
la misma medida; la semirrecta debe iniciar en el vértice del ángulo. Nómbrala b.
c) ¿Cuánto mide cada uno de los dos ángulos resultantes?
d) ¿La semirrecta b es eje de simetría del ángulo inicial?
¿Por qué?
153
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secu enci a 1 2
II. Si hiciste bien los trazos anteriores debes haber obtenido una figura como la siguiente:
Lado m
P
Recuerda:
recta
semirrecta
Semirrecta b
R
O
segmento
Q
Lado n
La semirrecta que pasa por el vértice del ángulo POQ y determina el
ángulo POR igual al ángulo ROQ recibe el nombre de bisectriz.
• Localiza 5 puntos diferentes en la bisectriz.
• Nombra A, B, C, D y E a los puntos que localizaste.
• Mide la distancia de cada punto a los lados del ángulo.
Distancia de A al lado m
Distancia de A al lado n
Distancia de B al lado m
Distancia de B al lado n
Distancia de C al lado m
Distancia de C al lado n
Distancia de D al lado m
Distancia de D al lado n
Distancia de E al lado m
Distancia de E al lado n
Recuerda que:
cta se mide
punto a una re
un
de
a
ci
an
st
recta.
La di
del punto a la
r
la
cu
di
en
rp
por la pe
• Analiza los resultados de cada renglón de
la tabla.
a) ¿Cómo son las distancias de los puntos de
la bisectriz a los lados del ángulo?
b) ¿Pasará lo mismo con otros puntos de la bisectriz?, escoge otros dos puntos y comprueba si equidistan de los lados del ángulo.
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MATEMÁTICAS
I
III.En la actividad I trazaste la bisectriz de un ángulo al dividir en dos partes iguales el
ángulo. Ahora lee con atención este otro procedimiento para trazar la bisectriz de
un ángulo.
Paso 1. Se apoya el compás en el vértice del ángulo y
se traza un arco que corte a los dos lados del ángulo.
Llama M y N a los puntos de corte.
Paso 2. Se apoya el compás en M y se traza un arco
suficientemente grande.
Paso 3. Se apoya el compás en N y con la misma abertura se traza otro arco que corte el anterior. Llamamos
P al punto de corte.
Paso 4. Se une el vértice del ángulo con P y se obtiene
la bisectriz del ángulo.
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IV.Traza dos ángulos en tu cuaderno. A cada ángulo trázale su bisectriz.
V. Regresa al problema inicial del trazo del eje de simetría del ángulo y haz lo siguiente:
a) Con el procedimiento descrito en la actividad III traza la bisectriz del ángulo del
problema inicial.
b) Si trazaste bien el eje de simetría, éste y la bisectriz deben coincidir en todos sus
puntos.
Recapitulen en grupo lo que han estudiado hasta este momento y lean con atención la
siguiente información.
A lo que llegamos
La bisectriz de un ángulo es:
1. La semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y determina dos
ángulos iguales.
2. El eje de simetría del ángulo.
3. El conjunto de puntos que equidistan de los lados del ángulo.
Bisectriz
30º
30º
Mitades de ángulos
Ahora ya conoces dos palabras muy importantes en matemáticas: mediatriz y bisectriz.
No sólo sabes lo que son sino que también sabes trazarlas utilizando tus instrumentos
geométricos.
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MATEMÁTICAS
I
Apliquemos nuestros conocimientos
de mediatrices y bisectrices
Sesión 3
Lo que aprendimos
1. Traza el eje de simetría para que el punto P sea simétrico al punto Q.
P
Q
2. Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con rojo los que, además de ser ejes
de simetría, también sean mediatrices de algún lado de la figura.
3. Traza el o los ejes de simetría de cada figura. Remarca con rojo el que, además de ser
eje de simetría, también es bisectriz de algún ángulo de la figura.
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secue n c i a 1 2
4. En los siguientes cuadriláteros se han trazado con rojo las diagonales. Marca con una
palomita aquellos cuadriláteros en los que al menos una diagonal es mediatriz de la otra
diagonal.
5. Traza un segmento. Después traza un cuadrado de manera que el segmento sea una
de sus diagonales.
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MATEMÁTICAS
I
6. Los puntos A, B y C representan la ubicación de tres poblados diferentes. Se desea
construir un centro de salud que esté a la misma distancia de los tres poblados. Localiza un punto D que represente el centro de salud.
Pista: recuerda que cualquier punto de la mediatriz de un segmento está a la misma
distancia de los dos extremos del segmento.
A
C
B
7. Encuentra un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del siguiente
triángulo.
Hagan una puesta en común grupal y comparen los procedimientos y resultados de estos
problemas; argumenten sus respuestas.
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de
papel” en Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
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secue n c i a 1 3
En esta secuencia aprenderás a construir polígonos regulares a partir
de distintas informaciones.
sesión 1
Tarjetas de felicitación
Para empezar
Dar y recibir tarjetas es una experiencia agradable, y si
están hechas por uno mismo es aún mejor. Observa que
en estos diseños hay figuras geométricas.
¿Cuál de las tarjetas está hecha en un polígono regular?
Felicidades
Recuerda que:
s
regulares son lo
Los polígonos
s
s sus lados y su
que tienen todo
s.
ángulos iguale
Los polígonos regulares se usan en muchos de los objetos
que usamos en la vida cotidiana, tales como tarjetas de
felicitación, mosaicos, cajas, edificios, etcétera.
Consideremos lo siguiente
Hagan un plan para que cada quién trace la figura de la
izquierda para una tarjeta. Pueden hacerla de cualquier
tamaño siempre y cuando sea mayor que la del libro.
Cuando terminen, decórenla, escriban algo en ella, ciérrenla como se muestra y obséquienla.
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MATEMÁTICAS
I
Platiquen con sus compañeros el procedimiento que siguieron para trazar su tarjeta, en
particular mencionen:
• Qué fue lo que hicieron para que el octágono fuera regular, es decir para que tuviera
todos sus lados y sus ángulos iguales.
Manos a la obra
I. Al trazar dos ejes de simetría en un polígono regular, el punto donde se cortan es el
centro del polígono. Hallen el centro de los siguientes polígonos regulares.
II. Los ángulos centrales de un polígono son los que tienen su vértice en el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices
consecutivos del polígono. En el pentágono de la derecha se han
marcado sus ángulos centrales.
Ángulo central
Tracen los ángulos centrales de los siguientes polígonos regulares.
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secue n c i a 1 3
III.En los siguientes polígonos regulares se han marcado sus ángulos centrales. Midan y
anoten la medida correspondiente en cada uno.
Triángulo equilátero
Cuadrado
Hexágono
Pentágono
Dodecágono
IV.Con los datos que hallaron completen la siguiente tabla:
Nombre del
polígono
Número de
lados
Número de
ángulos centrales
Medida de cada
ángulo central
Resultado de multiplicar el número de
lados por la medida del ángulo central
Cuadrado
4
4
90°
4 × 90° = 360°
V. Contesten:
a) ¿Cuál es el resultado de multiplicar el número de lados de un polígono regular por
la medida de su ángulo central?
b) El número de lados de un polígono regular es 10, ¿cuál es la medida de su ángulo
central?
c) La medida del ángulo central de un polígono regular es 40°, ¿cuántos lados tiene
ese polígono?
d) ¿Qué polígono regular tiene un ángulo central de 90°?
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MATEMÁTICAS
I
Comenten con su grupo las respuestas a las preguntas de la actividad V. Si no coinciden
analicen por qué.
VI.Los ángulos centrales son útiles para trazar algunos polígonos regulares. Estudien con
atención los pasos para trazar un pentágono regular.
Paso 1. Se calcula la medida del ángulo central del
pentágono.
Paso 2. Se traza una circunferencia.
72
5 360
10
0
360 grados entre 5 son 72º.
Paso 3. Con ayuda del transportador se marcan en esa
circunferencia ángulos centrales de 72º; observen que
la circunferencia queda dividida en 5 partes iguales.
Paso 4. Se unen las marcas consecutivas de división de
la circunferencia y ya se tiene el pentágono regular.
VII. Utilizando el procedimiento de la actividad VI, traza en tu cuaderno un triángulo
equilátero, un cuadrado, un nonágono o eneágono regular (9 lados), un decágono
regular (10 lados) y un dodecágono regular (12 lados).
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A lo que llegamos
Ángulo central:
360° entre 5 son 72°
La medida del ángulo central de un polígono regular se calcula dividiendo 360° entre el número de lados del polígono.
Esta medida es útil para trazar polígonos regulares a partir de
una circunferencia, como se mostró en la actividad VI.
sesión 2
Mosaicos
Para empezar
Las figuras geométricas están en muchos de los objetos de nuestro entorno, y para muestra basta un botón. Observa estos mosaicos y azulejos:
A
B
C
D
¿En cuál de los mosaicos hay polígonos regulares?
¿Cuáles son esos polígonos regulares?
Consideremos lo siguiente
Hagan un plan para reproducir en su cuaderno el siguiente arreglo de mosaicos, sabiendo que el lado del octágono regular debe medir 3 cm, y luego trácenlo.
1 64
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MATEMÁTICAS
I
Comenten con sus compañeros el procedimiento que siguieron para trazar el mosaico,
además,
• Mencionen cómo trazaron el octágono regular.
• Anoten en el pizarrón los diferentes procedimientos que siguieron.
Manos a la obra
I. Midan y anoten la medida de los ángulos interiores de los
siguientes polígonos regulares:
olígorior de un p
te
in
lo
u
g
n
á
, sus
El
del polígono
o
tr
n
e
d
á
st
no e
nsecutios lados co
lados son d
értice es
gono y su v
vos del polí
el polígono.
un vértice d
interior
Observen:
Ángulo
Triángulo equilátero
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Dodecágono
II. Con los datos que hallaron completen la tabla. Recuerden que la medida del ángulo
central la determinaron en la lección anterior.
Nombre del
polígono regular
Medida de cada
ángulo interior
Medida de cada
ángulo central
Resultado de sumar el ángulo
interior y el ángulo central
Cuadrado
90°
90°
90° + 90° = 180°
Pentágono
108°
72°
165
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III.Contesten:
a) ¿Cuál es el resultado de sumar el ángulo interior y el ángulo central de un polígono regular?
Si dos ángulos suman 180° se dice que cada uno es el suplemento del
otro. Por ejemplo, el suplemento de un ángulo de 30° es un ángulo
de 150°.
Los ángulos interior y central de un polígono regular son suplementarios.
b) La medida del ángulo interior de un polígono regular es 140°, ¿cuántos lados
tiene ese polígono?
c) ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono regular?
¿Y el de un dodecágono regular?
Hagan una confrontación de las respuestas de la actividad anterior.
IV. Los ángulos interiores son útiles para trazar algunos polígonos regulares, sobre todo
cuando la medida del lado del polígono está determinada. Estudien con atención los
pasos para trazar un pentágono regular de 2 cm de lado.
Paso 1. Se calcula la medida del ángulo interor del
pentágono.
Paso 2. Se traza un ángulo de 108° cuyos lados midan
2 cm cada uno.
360º entre 5 es 72º.
Como el ángulo interior
es el suplemento
del ángulo central,
180º – 72º
108º.
1 66
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MATEMÁTICAS
Paso 3. En cada extremo del segmento nuevamente se
traza un ángulo de 108º cuyos lados midan 2 cm.
I
Paso 4. Se continúa así hasta completar el pentágono
regular.
• ¿Algún equipo del grupo utilizó este procedimiento para trazar el octágono regular del mosaico?
V. Utiliza el procedimiento de la actividad IV para trazar en tu cuaderno los siguientes
polígonos regulares:
Polígono regular
Medida del lado
Triángulo equilátero
6 cm
Cuadrado
8 cm
Hexágono
3 cm
Decágono
2 cm
A lo que llegamos
Conociendo la medida del ángulo interior
es posible trazar polígonos regulares cuyos
lados tengan una medida determinada.
Una manera de calcular el ángulo interior
de un polígono regular es buscando el
suplemento del ángulo central.
Ángulo central
360° entre 5 es 72°.
Ángulo interior
180° − 72° = 108°.
167
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secue n c i a 1 3
sesión 3
Más sobre polígonos regulares
Lo que aprendimos
1. Tracen todos los ejes de simetría de cada figura. Coloreen sólo los polígonos regulares.
2. Consideren los polígonos regulares del punto anterior y completen la tabla.
Polígono regular
Número de lados
Número de ejes de simetría
3. Tracen en su cuaderno un polígono cuyo número de lados sea diferente al número de
sus ejes de simetría.
4. Tracen en su cuaderno un polígono que tenga el mismo número de lados que de ejes
de simetría.
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MATEMÁTICAS
I
5. El siguiente es uno de los triángulos isósceles que se formaron en un polígono regular
al trazar sus ángulos centrales. Completen el trazo del polígono regular.
6. En cada uno de los siguientes incisos, anoten el nombre de un polígono que cumpla
con la condición pedida; algunas preguntas tienen varias respuestas.
a) Tiene 3 lados y 3 ángulos de 60°.
b) Todos sus ángulos interiores miden 90°.
c) Tiene 4 lados iguales.
d) Polígono regular en el que todos sus ejes de simetría son bisectrices de sus ángulos
interiores.
e) Polígono regular en el que algunos de sus ejes de simetría son mediatrices de sus
lados.
7. En su cuaderno reproduzcan la siguiente figura sin usar transportador, únicamente regla y compás.
8. Traza un octágono regular en la figura
del ejercicio 7.
Comenten en grupo sus procedimientos y
resultados a estos problemas.
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Nombre de los polígonos”, ”La miel de los hexágonos”,
“Recubrimientos”, “Los reflejos del caleidoscopio” y “Construcción de un caleidoscopio” en Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
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secue n c i a 1 4
En esta secuencia continuarás con el estudio de los perímetros y las
áreas al justificar las fórmulas para calcular el perímetro y el área de
triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.
sesión 1
Rompecabezas 1
Para empezar
En la secuencia 4 repasaste la manera en que se calcula el área de varias figuras, entre
ellas la del cuadrado y la del rectángulo.
y
a
x
¿Cómo calculas el área del cuadrado?
¿Cómo calculas el área del rectángulo?
Consideremos lo siguiente
Calculen el área de cada una de las siguientes figuras.
Romboide
Rombo
170
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MATEMÁTICAS
I
Platiquen a sus compañeros de grupo la manera en que calcularon el área. Comenten:
• ¿Qué medidas fue necesario tomar en cada figura?
• ¿Cómo utilizaron estas medidas en el cálculo del área?
• Si usaron alguna fórmula, ¿saben cómo se obtiene dicha fórmula?
Manos a la obra
I. Cada uno trace en una hoja un romboide cuya base mida 6 cm y su altura 3 cm.
Recórtenlo. No importa la medida de los ángulos.
a) Piensen cómo deben recortar el romboide en dos piezas para que con ellas puedan
armar un rectángulo como el que se muestra. Recorten y peguen las piezas encima
del rectángulo.
b) ¿Cómo son entre sí las medidas de la base del rectángulo y del romboide?
c) ¿Cómo son entre sí las medidas de la altura del rectángulo y del romboide?
d) ¿Cómo son entre sí las áreas del romboide y del rectángulo?
e) Completen la siguiente tabla:
Figura
Medida
de la base
Medida
de la altura
Área
Fórmula para
calcular el área
Rectángulo
Romboide
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s e c u e n cia 1 4
II. Cada uno trace en una hoja un rombo cuyas diagonales midan 6 cm y 4 cm. Recórtenlo.
a) Piensen en una manera de recortar el rombo en triángulos para que con ellos
puedan armar el siguiente rectángulo. Recorten y peguen las piezas encima del
rectángulo.
b) ¿Qué relación encuentran entre la base del rectángulo y la medida de la diagonal
menor del rombo?
Observen que la altura del rectángulo mide la mitad de la diagonal mayor del rombo.
c) ¿Cómo son entre sí las áreas del rombo y del rectángulo?
d) Completen las tablas.
Figura
Medida de la
base
Medida de la
altura
Área
Fórmula para
calcular el área
Medida de la
diagonal menor
Medida de la
diagonal mayor
Área
Fórmula para
calcular el área
Rectángulo
Figura
Rombo
Comenten con su grupo los resultados que han obtenido hasta el momento, en particular escriban en el pizarrón las fórmulas que obtuvieron para calcular el área del romboide y del rombo y compárenlas. También comenten las medidas que es necesario tomar
para el cálculo de las áreas de estas figuras.
1 72
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MATEMÁTICAS
I
A lo que llegamos
El área de un romboide se calcula multiplicando la medida de su base
por la medida de su altura.
Área = base × altura
Altura
Si se denomina b a la base y h a la altura,
puede escribirse:
h
Base
b
A=b×h
El área de un rombo se calcula multiplicando las medidas de sus diagonales
y dividiendo entre 2 el resultado.
diagonal mayor × diagonal menor
Área =
2
Diagonal menor
d
Si se denomina D a la diagonal mayor
y d a la diagonal menor, puede escribirse:
Diagonal mayor
D
A=
D×d
2
No sólo es importante que conozcas estas fórmulas para calcular áreas,
también es necesario que sepas cómo se obtienen y de dónde provienen.
Observa que estas fórmulas sirven para cualquier caso en que conozcas
o puedas medir o calcular las magnitudes indicadas.
Rompecabezas 2
sesión 2
Para empezar
En la primaria aprendiste a calcular el área de los triángulos. ¿Cómo se calcula el área de
un triángulo?
¿Sabes por qué se calcula así?
averiguarás.
Si no lo sabes, en esta lección lo
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secue n c i a 1 4
Consideremos lo siguiente
Calculen el área de las siguientes figuras.
Comenten los procedimientos y resultados a los que llegaron. En particular mencionen:
• ¿Qué medidas tomaron en cada figura?
• ¿Cómo utilizaron estas medidas para calcular el área?
• Si usaron alguna fórmula, ¿saben cómo se obtiene dicha fórmula?
Manos a la obra
I. Recorten dos triángulos que midan lo que se indica en el dibujo.
3 cm
120°
5 cm
a) Con los dos triángulos cubran la superficie del siguiente romboide:
174
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MATEMÁTICAS
I
a) ¿Qué parte del área del romboide es el área del triángulo?
b) Completen la siguiente tabla:
Figura
Medida de la
base
Medida de la
altura
Fórmula para
calcular el área
Área
Romboide azul
Triángulo
II. Recorten dos trapecios que tengan las medidas que se indican en la figura.
4 cm
3 cm
63°
63°
7 cm
a) Acomoden los dos trapecios de manera que cubran la superficie del siguiente
romboide:
b) Analicen las medidas de la base del romboide y las medidas de la base mayor y la
base menor del trapecio y señalen qué relación existe entre ellas.
c) ¿Qué parte del área del romboide es el área del trapecio?
d) Escriban una regla o fórmula para calcular el área de un trapecio cuando se conocen las medidas de sus bases y su altura.
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e)Completen las siguientes tablas:
Figura
Medida de la base
Medida de la
altura
Área
Fórmula para calcular
el área
Medida de la
altura
Área
Fórmula para calcular
el área
Romboide
rosa
Figura
Medida de la
base mayor
Medida de la base
menor
Trapecio
Comenten con su grupo los resultados que han obtenido hasta el momento. Escriban en
el pizarrón las fórmulas que encontraron para calcular el área del triángulo y del trapecio; si las fórmulas son diferentes, compárenlas e investiguen si son equivalentes.
A lo que llegamos
El área de un triángulo se calcula aplicando la siguiente fórmula:
base × altura
Área =
2
h
Altura
Si se denomina b a la base y
h a la altura, puede escribirse:
b
Base
b×h
A=
2
El área de un trapecio se calcula aplicando la siguiente fórmula:
(base mayor + base menor) × altura
Área =
2
b
Base menor
Si se denomina B a la base mayor,
b a la base menor y h a la altura,
puede escribirse:
(B + b) × h
A=
2
h
Altura
Base mayor
B
1 76
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MATEMÁTICAS
I
Descomposición de figuras
Para empezar
sesión 3
Ahora ya sabes las fórmulas para obtener el área de diversas figuras geométricas: cuadrado, rectángulo, triángulo, rombo, romboide y trapecio; además, sabes de dónde provienen esas fórmulas.
¿Cómo se te ocurre que puede calcularse el área de este polígono regular?
Consideremos lo siguiente
Calculen el área de un hexágono regular cuyo lado mida 3 cm.
3 cm
Área =
Comenten a otros equipos la manera en que resolvieron el problema. En particular mencionen:
• ¿Qué medidas tuvieron que investigar para calcular el área?
• Si usaron alguna fórmula, ¿saben cómo se obtiene dicha fórmula?
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secue n c i a 1 4
Manos a la obra
I. En un grupo, a un equipo se le ocurrió dividir el polígono regular en triángulos iguales para calcular el área de cada triángulo y luego sumarlas. Se dieron cuenta que
requerían conocer la medida de la altura de uno de los triángulos y la midieron.
e:
Observen qu
s en los que
Los triángulo gono
polí
se dividió el
n formados
regular está
del polígono
por un lado
os del
y los dos lad
al
ángulo centr
3 cm
Recuerden que:
2.6 cm
El área de un tr
iángulo
se calcula mul
tiplicando
su base por su
altura y
dividiendo el re
sultado
entre 2.
a) ¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos en que se dividió el hexágono?
b) ¿En cuántos triángulos fue dividido el hexágono?
c) ¿Cuál es el área total del hexágono?
II. En los polígonos regulares, la altura de los triángulos iguales en que se dividen se
llama apotema. Completen la tabla considerando los siguientes polígonos regulares:
3 cm
5 cm
Apotema
3.6 cm
3.4 cm
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MATEMÁTICAS
I
a) ¿En cuántos triángulos iguales se puede dividir el octágono regular?
b) ¿Y el pentágono regular?
c) ¿Y un decágono regular?
d) ¿Y un dodecágono regular?
e) ¿Y un polígono regular de 15 lados?
f) ¿Y un polígono regular de n lados?
Polígono
Medida de la base de
un triángulo
(lado del polígono)
Medida de la altura de
un triángulo
(apotema del polígono)
Número de
triángulos
Área total del
polígono
Octágono
Pentágono
Discutan en grupo, y con ayuda del profesor, si consideran que, con
respecto a la actividad anterior, los siguientes dos procedimientos
son equivalentes:
1. Calcular el área de cada triángulo y multiplicarla por el número
de triángulos en que se dividió el polígono.
2. Calcular el perímetro del polígono, multiplicar el resultado por
la medida del apotema y dividirlo entre 2, es decir, el área de un
polígono regular es igual a:
Recuerden que:
un polígono se
El perímetro de
do la medida de
calcula suman
o
s. Si el polígon
todos sus lado
e
rímetro pued
es regular, el pe
tiplicando el
calcularse mul
s por la medida
número de lado
de cada lado.
perímetro × apotema
Área = 2
III.Subrayen las respuestas correctas. Recuerden que la medida de la base del triángulo
es el lado del polígono regular y la altura del triángulo es el apotema del polígono
regular. a) ¿Cuáles son las dos fórmulas con las que se puede calcular el área de un octágono
regular?
Área = 8 × área de cada triángulo
8 × lado
Área =
2 × apotema
Área = 8 ×
lado × apotema
2
b) ¿Cuáles son las dos fórmulas con las que se puede calcular el área de un polígono
regular de 13 lados?
13
Área =
área del triángulo
13 × lado × apotema
Área =
2
perímetro × apotema
Área =
2
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c) ¿Cuáles son las dos fórmulas con las que se puede calcular el área de un polígono
regular de n lados?
perímetro × apotema
Área =
2
Área = n × área de cada triángulo
perímetro
Área =
2 × apotema
IV.Regresen al hexágono regular que mide 4 cm de lado (del problema inicial). Utilicen
perímetro × apotema
la fórmula Área = para calcular su área y comparen el resul2
tado con el que obtuvieron. A lo que llegamos
Hay varias maneras para calcular el área de un polígono regular:
1. Si no se acuerdan de la fórmula del área, pueden dividirlo en trián-
gulos iguales y hallarla sumando las áreas de estos triángulos.
2. Si aplican la fórmula: obtienen el perímetro, lo multiplican por la
medida del apotema y el resultado lo dividen entre 2:
Área
=
perímetro × apotema
2
Si se llama P al perímetro y a al
apotema puede escribirse:
P×a
A =
2
a
l
P es el perímetro
Habrás notado que hay distintas maneras para calcular el área de un
polígono, esto ocasiona que pueda haber distintas fórmulas; no obstante, éstas son equivalentes.
1 80
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MATEMÁTICAS
I
Otras formas de justificar
las fórmulas
sesión 4
Lo que aprendimos
1. En cada caso tracen y recorten la figura (puede ser de cualquier tamaño). Después
hagan la transformación que se indica y a partir de esta transformación justifiquen
la fórmula que se emplea para calcular el área de la figura.
Recortar
Transformar esta figura
Altura
Altura
Figura y fórmula
para calcular su área
Base
base × altura
Área =
2
Mitad de la base
Diagonal mayor
Justificación de la fórmula:
diagonal mayor × diagonal menor
Área =
2
Diagonal menor
Justificación de la fórmula:
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Figura y fórmula
para calcular su área
Recortar
Transformar a esta figura
Altura
M
(base mayor × base menor) × altura
Área =
2
Base mayor
M es el punto medio
Justificación de la fórmula:
La
do
El polígono es regular
perímetro × apotema
Área =
2
Apotema
Justificación de la fórmula:
2. Analicen la siguiente figura y, a partir de ella, expliquen la fórmula para calcular el
área del rombo.
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MATEMÁTICAS
I
3. En la secuencia 4 aprendieron a calcular perímetros. Las fórmulas del perímetro también pueden justificarse. Analicen la figura y la fórmula y justifiquen esta última.
Figura
Fórmula para calcular el
perímetro
Justificación de la fórmula
Cuadrado
P=4×
Rectángulo
m
P=2×n +2×m
n
Pentágono regular
P=5×a
a
Comenten y comparen sus explicaciones con las de los otros equipos.
Justificación
Las fórmulas para calcular perímetros y áreas siempre tienen una justificación; es importante que te aprendas las fórmulas pero también es bueno que conozcas cómo se obtienen.
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Áreas
de polígonos” en Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
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En esta secuencia aprenderás a identificar situaciones de proporcionalidad directa en diversos contextos, y a resolverlas mediante procedimientos más eficientes.
sesión 1
La cancha de basquetbol
Para empezar
Una cancha reglamentaria de basquetbol es un rectángulo con las siguientes dimensiones: de largo debe medir entre 22.5 y 28.6 metros y de ancho debe medir entre 12.8 y
15.2 metros.
Consideremos lo siguiente
Veamos un dibujo a escala de una cancha de basquetbol:
5 cm
cm
0.
9
1.8 cm
6.5 cm
11 cm
La escala a la que está hecho el dibujo es 1 cm a 200 cm, es decir, 1 cm del dibujo representa 200 cm de la medida real de la cancha de basquetbol.
184
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MATEMÁTICAS
I
Completen la siguiente tabla para determinar algunas de las medidas de la cancha de
basquetbol:
Medida en el dibujo
(centímetros)
Largo de la cancha de
basquetbol
11
Ancho de la cancha de
basquetbol
Diámetro del círculo
central
2 200
1 300
1.8
Longitud de la base del
área de los tiros de tres
puntos
Radio del semicírculo del
área de tiros libres
Medida real
(centímetros)
1 000
0.9
Altura del piso al tablero
306
Manos a la obra
I. Comparen sus resultados y comenten:
a) ¿Por cuál número hay que multiplicar las medidas del dibujo para obtener las
medidas reales?
b) ¿Cuántas veces más grande es la medida real del largo de la cancha de basquetbol
que la medida que tiene en el dibujo?
A lo que llegamos
En esta situación de escala las medidas reales de la cancha de basquetbol (en cm) se pueden obtener multiplicando por 200 las medidas del dibujo (en cm).
En este problema al número 200 se le llama factor de escala o
constante de proporcionalidad y permite encontrar las medidas
reales de la cancha (en cm) multiplicando las medidas del dibujo
(en cm) por 200.
185
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II. Las medidas oficiales de un tablero de basquetbol son: largo 180 cm y ancho 105 cm.
Con la misma escala del dibujo completen la siguiente tabla para encontrar cuáles serían
las medidas del tablero en el dibujo:
Medida real
(cm)
Medida en el dibujo
(cm)
Largo del tablero
180
0.9
Ancho del tablero
106
Largo de rectángulo
inscrito en el tablero
60
Ancho del rectángulo
inscrito en el tablero
48
Diámetro del aro
o canasta
46
a) ¿Cuál es el valor unitario que permite pasar de las medidas reales del tablero a su
medida respectiva en el dibujo?
b) ¿Por cuál número hay que multiplicar las medidas reales del tablero para obtener
su medida en el dibujo?
ue:
Recuerden q
por w p Q p es lo
multiplicar
0.
idir entre 20
iv
d
e
u
q
o
m
mis
Comparen sus resultados, y con las medidas que encontraron dibujen el
tablero en el siguiente espacio:
1 86
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MATEMÁTICAS
I
A lo que llegamos
En este problema de escala las medidas del dibujo (en cm) se pueden
obtener multiplicando por w p Q p o bien dividiendo entre 200 las medidas reales (en cm). El número w p Q p es la constante de proporcionalidad
que permite pasar de las medidas reales de la cancha de basquetbol a
las medidas del dibujo.
Lo que aprendimos
Una cancha reglamentaria de voleibol es un rectángulo con las siguientes dimensiones:
largo 18 metros y ancho 9 metros.
a) Si se hace un dibujo de la cancha de voleibol a escala 1 cm a 50 cm, ¿cuánto debe
medir el largo de la cancha en el dibujo?
b) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas de las medidas de una cancha reglamentaria de voleibol dibujada a escala 1 cm a 50 cm.
Medida en el dibujo
(cm)
Largo de la cancha de
voleibol
Ancho de la cancha de
voleibol
Altura de la red
Medida real de la cancha
(cm)
1 800
18
5
Ancho de la red
100
c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite pasar de las medidas reales
de la cancha a las medidas del dibujo?
d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite pasar de las medidas del
dibujo de la cancha a las medidas reales?
e) ¿Cuántas veces más chico es el largo de la cancha en el dibujo que el largo real de
la cancha?
187
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Mapas y escalas
sesión 2
Para empezar
Centro Histórico de la Ciudad de México
La Ciudad de México, además de ser la capital, es la ciudad más grande del país. Tiene
aproximadamente 9 000 000 de habitantes, y si contaran a la gente que vive en sus alrededores ¡llega a 18 000 000! Además, la cantidad de calles, avenidas y edificios que la
componen es realmente enorme. Ni los propios habitantes de la ciudad los conocen todos. Por eso es muy importante tener un mapa cuando se transita por esta ciudad.
En las siguientes actividades van a usar un mapa del centro de la Ciudad de México para
ubicar algunos de los edificios más importantes y los recorridos que se pueden hacer por
sus calles.
Consideremos lo siguiente
Veamos un mapa del Centro Histórico de la Ciudad de México.
Fue hecho a una escala de 1 cm a 100 m, es decir, 1 cm del mapa equivale a 100 m de
las medidas reales.
#OLEGIODE
3AN)LDEFONSO
4EMPLO
-AYOR
#ATEDRAL
-ETROPOLITANA
0ALACIODE
"ELLAS!RTES
-ETRO
:ØCALO
!LAMEDA
#ENTRAL
4ORRE
,ATINOAMERICANA
0LANCHA
DEL:ØCALO
"IBLIOTECA
.ACIONAL
1 88
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MATEMÁTICAS
I
Completen la siguiente tabla:
Medida en el mapa
(cm)
De la Catedral a la
Alameda Central
12.2
De la estación Zócalo del metro
a la Biblioteca Nacional
7.5
De la Torre Latinoamericana
a la Alameda
3
Del Templo Mayor al
Colegio de San Ildefonso
1.3
Largo de la plancha del Zócalo
2.5
Ancho de la plancha del Zócalo
2.2
Medida real
(m)
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten.
¿Cuántas veces más grande es la medida del largo de la plancha del Zócalo con respecto
a su medida en el mapa?
Manos a la obra
I. En el equipo 1 de otra escuela dijeron:
“Como la escala es 1 cm a 100 m, entonces la medida real del largo de la plancha del
Zócalo es 100 veces mayor que su medida en el mapa.”
En el equipo 2 dijeron:
“La medida real del largo de la plancha del Zócalo no es 100 veces más grande que su
medida en el mapa, ya que las unidades cambian de centímetros a metros. Y la medida
real del largo de la plancha del Zócalo es 10 000 veces más grande que su medida en
el mapa.”
Comenten:
¿Con cuál de los dos argumentos están de acuerdo?, ¿por qué?
II. Contesten:
En el mapa el largo de la plancha del Zócalo mide 2.5 cm.
a) ¿Cuál es su medida real en centímetros?
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El ancho de la plancha del Zócalo mide 2.2 cm en el mapa.
b) ¿Cuál es su medida real en centímetros?
c) ¿Qué medida real en centímetros le corresponde a 1 cm del mapa?
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Cuántas veces más grande son las medidas reales del largo y ancho de la plancha del
Zócalo que sus medidas en el mapa?
III.Completen la siguiente tabla para determinar las medidas reales en centímetros entre
algunos lugares de la Ciudad de México a partir de las medidas del mapa:
Medida en el mapa
(cm)
De la Catedral a la Alameda
Central
12.2
De la estación Zócalo del metro
a la Biblioteca Nacional
7.5
De la Torre Latinoamericana
a la Alameda
3
Del Templo Mayor al Colegio de
San Ildefonso
1.3
Largo de la plancha del Zócalo
2.5
Ancho de la plancha del Zócalo
2.2
Medida real
(cm)
22 000
1 90
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MATEMÁTICAS
I
A lo que llegamos
Cuando una escala está dada con cierto cambio de unidades, como 1 cm
a 100 m, hay varias maneras de relacionar las medidas reales con las
del mapa, por ejemplo:
• Si se quiere pasar de las medidas del mapa en centímetros a las reales
en metros, la constante de proporcionalidad es 100 m por cada cm;
es decir, las medidas reales (en metros) se obtienen al multiplicar
por 100 las del mapa (en centímetros).
• Si se quiere pasar de las medidas del mapa en centímetros a las reales en
centímetros, la constante de proporcionalidad es 10 000 cm por cada cm;
es decir, las medidas reales se obtienen al multiplicar por 10,000 las del mapa.
Lo anterior quiere decir que las medidas reales son 10 000 veces más grandes que
las del mapa, y no que las medidas reales sean 100 veces más grandes que las del
mapa. Es decir, en este problema el factor de escala es 10 000.
Rutas y transporte
sesión 3
Para empezar
En la actualidad, el transporte es fundamental en las actividades que se realizan cotidianamente. Uno de los medios de transporte terrestre más usados es el camión.
Al número de kilómetros que el camión recorre por cada litro de gasolina que consume,
se le llama rendimiento. Es útil conocer el rendimiento, por ejemplo, para saber qué
cantidad de gasolina va a necesitar el camión para hacer un viaje largo.
Consideremos lo siguiente
La tabla muestra las rutas que cubre una compañía de transporte y la distancia que hay
entre los distintos lugares a los que llega.
Lugar de partida
Lugar de llegada
Distancia
(km)
Hermosillo
Mexicali
682
Ciudad de México
Veracruz
435
Puebla
Acapulco
540
Acapulco
Ciudad de México
411
Ciudad de México
Querétaro
215
1 91
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s e c u e n cia 1 5
La compañía tiene dos tipos de camiones y el administrador quiere saber cuál de ellos
tiene un mejor rendimiento, es decir, qué camión recorre más kilómetros por cada litro
de gasolina. Lo que el administrador sabe es que:
• El camión del tipo 1 hace un recorrido de ida y vuelta de Puebla a Acapulco con
40 litros de gasolina.
• El camión del tipo 2 hace un recorrido de ida y vuelta de Querétaro a Veracruz, pasando por la Ciudad de México, con 50 litros de gasolina.
a)
¿Cuál de los dos tipos de camiones recorre más kilómetros por litro de gasolina?
b)
¿Cuántos litros de gasolina utilizaría el camión del tipo 1 en un recorrido de Hermosillo a Mexicali?
c)
¿Cuántos litros de gasolina utilizaría el camión del tipo 2 en un recorrido de Hermosillo a Mexicali?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra
I. Para encontrar cuál tipo de camión tiene el mejor rendimiento llenen las siguientes
tablas.
Consumo de gasolina
del camión tipo 1
( )
Distancia recorrida
del camión tipo1
(km)
Consumo de gasolina
del camión tipo 2
( )
Distancia recorrida
del camión tipo 2
(km)
40
1 080
50
1 300
20
25
10
5
1
1
Tabla 1 Tabla 2
a) ¿Cuál es el rendimiento del camión del tipo 1?
b) ¿Cuál es el rendimiento del camión del tipo 2?
Comparen sus resultados y comenten:
c) ¿Cuál de los dos tipos de camiones tiene el mejor rendimiento?
1 92
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MATEMÁTICAS
I
II. Con los datos anteriores, completen las siguientes tablas para encontrar cuántos litros de
gasolina consumen los dos tipos de camión en un recorrido de Hermosillo a Mexicali:
Distancia recorrida del
camión tipo1
(km)
Cantidad de gasolina
consumida por el camión
del tipo 1 ( )
27
1
1
682
Tabla 3
Distancia recorrida
del camión tipo 2
(km)
Cantidad de gasolina
consumida por el camión
del tipo 2 ( )
26
1
1
682
Tabla 4
A lo que llegamos
En estos problemas la constante de proporcionalidad índica el número de kilómetros que se recorren por cada litro de gasolina, es decir,
el rendimiento.
El rendimiento del camión tipo 1 es de 27 km por cada , mientras
que el rendimiento del camión tipo 2 es de 26 km por cada .
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secu enci a 1 5
III.Ahora calculen las distintas cantidades de litros de gasolina que se consumen en
otras rutas que cubre la compañía.
Rutas del camión 1:
Recorrido
Distancia en el recorrido
(kilómetros)
De Ensenada a Durango
2 187
De Toluca a Colima
702
De Morelia a Guanajuato
162
Consumo de gasolina
del camión 1
Tabla 5
Rutas del camión 2:
Distancia en el recorrido
(kilómetros)
Recorrido
De Acapulco a Cuernavaca
312
De Toluca a Colima
702
De Ciudad de México a Puebla
130
Consumo de gasolina
del camión 2
Tabla 6
Comparen sus resultados y comenten:
c) ¿Cuáles son las constantes de proporcionalidad de las tablas 5 y 6?
A lo que llegamos
En este problema multiplicar o dividir por la constante de proporcionalidad permite encontrar la cantidad de kilómetros recorridos a partir de la cantidad de litros de gasolina consumidos y al revés, es decir, permite encontrar los litros de gasolina consumidos a partir de los
kilómetros recorridos. Esta situación se ilustra mediante el siguiente esquema.
Se multiplica por la constante
de proporcionalidad
Cantidad de
litros de gasolina
Kilómetros
recorridos
Se divide entre la constante
de proporcionalidad
19 4
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MATEMÁTICAS
I
Lo que aprendimos
En tu cuaderno resuelve los siguientes problemas.
1. La base de un rectángulo mide 12 cm y su altura 5 cm. Se quiere hacer un dibujo a
escala de ese rectángulo en el que la base mida 6 cm.
a) ¿Cuántos centímetros debe medir la altura?
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite pasar del tamaño original
a la reducción?
c) ¿Cuántas veces más chico es el dibujo reducido con respecto al original?
2. Los lados de un triángulo miden 5, 8 y 11 cm respectivamente. Se quiere hacer un
dibujo a escala de ese triángulo de manera que el lado que mide 5 cm ahora mida
8 cm.
a) ¿Cuánto deben medir los otros lados del triángulo?
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
c) ¿Cuántas veces más grande es el dibujo hecho a escala con respecto al original?
Para saber más
Sobre las distancias que hay entre los distintos estados de la República Mexicana, así
como algunas características especificas de éstos consulta:
http://www.trace-sc.com/maps_sp.htm
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
Sobre las reglas y las dimensiones completas de una cancha de basquetbol y de voleibol consulta:
http://es.wikipedia.org/wiki/B%C3%A1squetbol#Medidas
http://www.monografias.com/trabajos14/voleib/voleib.shtml
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
195
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secue n c i a 1 6
En esta secuencia aprenderán a interpretar el efecto de la aplicación
sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en diversos contextos.
sesión 1
Microscopios compuestos
Para empezar
Los microscopios son una de las herramientas tecnológicas que más descubrimientos
científicos han impulsado en el área de las ciencias biológicas. En la secuencia 9 ¿Cómo
medir seres pequeñitos? de su libro de Ciencias I estudiaron algunos de estos descubrimientos. En la secuencia 6 de Matemáticas I conocieron las amplificaciones que se
pueden hacer con los microscopios ópticos y cómo calcularlas. En esta sesión estudiarán
las amplificaciones que se pueden hacer con microscopios de dos lentes, llamados microscopios ópticos compuestos.
Microscopios compuestos
Un microscopio óptico compuesto es un instrumento que amplifica las imágenes de los
objetos usando dos lentes: la lente del objetivo y la lente del ocular. El objetivo es la
parte del microscopio donde se pone el objeto que se va a observar, ahí está la primera
lente. El ocular es la parte del microscopio donde se pone el ojo para observar la imagen
amplificada del objeto, ahí está la segunda lente. La imagen del objeto es amplificada
primero por la lente del objetivo y después por la lente del ocular.
Consideremos lo siguiente
En el laboratorio de ciencias hay algunos microscopios compuestos. Uno de ellos tiene
una lente en el objetivo que aumenta 30 veces el tamaño de los objetos. Además, tiene
una lente en el ocular que aumenta 20 veces.
ue:
Recuerden q
idad
o es una un
tr
e
m
ró
ic
m
udes
El
medir longit
ra
a
p
e
rv
si
que
as.
muy pequeñ
o = 0.001
1 micrómetr
o sea,
etro.
milímetros,
os = 1 milím
tr
e
m
ró
ic
m
1 000
Llenen la siguiente tabla para encontrar el tamaño con el que se
verán las imágenes usando este microscopio
Tamaño real
(micrómetros)
Bacteria 1
Cloroplasto
Bacteria 2
Glóbulo rojo
Glóbulo blanco
Tamaño en el microscopio
(micrómetros)
2
4
6
8
12
Tabla 1
196
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MATEMÁTICAS
I
Anoten en el pizarrón las medidas que cada equipo encontró y expliquen qué operaciones hicieron.
Manos a la obra
I. El instructivo del microscopio incluye una tabla con las medidas de las amplificaciones de algunas células. Estas medidas están revisadas y verificadas por el laboratorio
que construyó el microscopio.
Tamaño real
(micrómetros)
Tamaño en el microscopio
(micrómetros)
3
Espermatozoide humano
1 800
8
Célula vegetal
4 800
11
Bacteria 3
6 600
12
Célula animal
7 200
200
Óvulo humano
120 000
Tabla 2
a) La tabla 2 indica que una célula vegetal que mide 8 micrómetros se ve en el microscopio de 4 800 micrómetros. En la tabla 1 un glóbulo rojo también mide
8 micrómetros, ¿qué medida encontraron ustedes para la amplificación de un
glóbulo rojo en el microscopio?
b) La tabla 2 indica que una célula animal que mide 12 micrómetros se ve en el microscopio de 7 200 micrómetros. En la tabla 1 un glóbulo blanco también mide
12 micrómetros, ¿qué medida encontraron ustedes para la amplificación en el
microscopio?
c) ¿Coinciden sus medidas con las de la tabla 2?
Comenten entre todos:
¿Mediante qué operación creen que se obtuvieron las medidas de la tabla 2?
Argumenten sus respuestas. Anoten las diferentes propuestas en el pizarrón.
II. En una escuela, un equipo hizo el siguiente esquema para calcular de qué tamaño se
verá una célula vegetal en el microscopio:
Aumento de la
segunda lente
Aumento de la
primera lente
8 micrómetros
Tamaño real
240 micrómetros
Tamaño obtenido con
la primera lente
4 800 micrómetros
Tamaño final
197
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s e c u e n cia 1 6
a) ¿Por cuál número multiplicaron para obtener el aumento de la primera lente?
b) ¿Por cuál número multiplicaron para obtener el aumento de la segunda lente?
c) Llenen la tabla 3 para encontrar los aumentos que se obtienen con las dos lentes.
Usen el esquema anterior para encontrar las medidas que faltan.
Tamaño real
(micrómetros)
Bacteria 1
3
Espermatozoide
humano
8
Cloroplasto
11
Glóbulo rojo
12
Glóbulo blanco
Tamaño obtenido
con la primera lente
(micrómetros)
Tamaño final
(micrómetros)
90
4 800
330
7 200
200
Tabla 3
d) ¿Cómo encontrarían el tamaño final de una célula cuyo tamaño real es de 13 micrómetros haciendo una sola operación?
e) ¿Y si el tamaño real de la célula fuera de 1 micrómetros?
A lo que llegamos
Con la primera lente del microscopio compuesto descrito, una célula que mida 5 micrómetros se verá de 150 micrómetros (porque 5 × 30 = 150), una que mida 6 micrómetros
se verá de 180 micrómetros (porque 6 × 30 = 180), etcétera.
Los tamaños reales y sus amplificaciones son proporcionales. Con la primera lente cada
célula amplifica su tamaño real 30 veces. En este ejemplo, al número que indica cuántas
veces se amplifican las imágenes se le llama constante de proporcionalidad, y es
30 micrómetros por cada micra.
La constante de proporcionalidad de la segunda lente es 20 micrómetros por cada
micrómetro.
La constante de proporcionalidad correspondiente a la amplificación final se obtiene al
multiplicar las constantes de proporcionalidad de cada una de las dos lentes: en este
caso 30 × 20 = 600, es decir, 600 micrómetros por cada micrómetro.
1 98
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I
MATEMÁTICAS
El siguiente esquema caracteriza lo dicho anteriormente:
Segunda lente:
se multiplica por 20
Primera lente:
se multiplica por 30
Tamaño real
(micrómetros)
Tamaño obtenido
con la primera lente
(micrómetros)
Tamaño final
(micrómetros)
Amplificación final:
se multiplica por 600
Escalas y reducciones
sesión 2
Para empezar
Imagina que fuera necesario hacer el dibujo en tamaño real de una célula o de un edificio, ¿cómo lo harías? Con las escalas se pueden representar objetos muy pequeños o muy
grandes porque permiten reducir o ampliar el tamaño real de los objetos de manera
proporcional.
Una cancha reglamentaria de fútbol debe ser un rectángulo con las siguientes dimensiones: de largo debe medir entre 90 y 120 metros, y de ancho entre 45 y 90 metros.
Consideremos lo siguiente
Observen un dibujo a escala 1 cm a 10 m de una cancha de futbol que tiene las medidas
reglamentarias máximas.
12 cm
1.82 cm
9 cm
4 cm
1.65 cm
199
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Completen la siguiente tabla para encontrar algunas de las medidas de la cancha:
Medida en el dibujo
(cm)
Largo de la cancha de
futbol
12
Ancho de la cancha de
futbol
9
Diámetro del círculo central
1.82
Largo del área grande
4
Ancho del área grande
1.65
Medidas reales de
la cancha (m)
Tabla 1
a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite pasar de una me-
ue:
Recuerden q
de escala
r
En el facto
nidades
las mismas u
servar.
se deben con
dida en el dibujo (en centímetros) a su medida real (en metros)?
b) ¿Cuál es el factor de escala?
c) ¿Cuántas veces más grande es cada una de las medidas de la cancha con
respecto a su medida en el dibujo?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra
I. Completen el siguiente esquema para encontrar la medida real del largo de la cancha
calculada en centímetros:
Se multiplica por _____ metros
por cada centímetro
Tamaño en el dibujo
12 centímetros
Se multiplica por _______
centímetros por cada metro
Tamaño real
____ metros
Tamaño real
____ centímetros
Se multiplica por _______
centímetros por cada centímetro
Comenten
¿Cuántas veces es más grande la medida real del largo de la cancha que su medida en el
dibujo?
2 00
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MATEMÁTICAS
I
II. Completen la siguiente tabla para saber cuántas veces es más grande cada una de las
medidas reales de la cancha respecto a su medida en el dibujo.
Medida en el dibujo
(cm)
Largo de la cancha
de futbol
12
Ancho de la cancha
de futbol
9
Diámetro del
círculo central
1.82
Largo del área grande
4
Ancho del área grande
1.65
Medida real de la
cancha (cm)
Tabla 2
¿Cuál es el factor de escala que permite pasar de las medidas en el dibujo (en centímetros) a las medidas reales (en centímetros)?
A lo que llegamos
En este problema, para pasar de las medidas del dibujo a las medidas
reales están involucradas varias constantes de proporcionalidad:
1. La constante de proporcionalidad que permite pasar de las medidas de la cancha en el dibujo (en centímetros) a las medidas
reales (en metros) es 10 metros por cada centímetro.
2. La constante de proporcionalidad que permite pasar de las medidas reales (en metros) a las medidas reales en (centímetros) es
100 centímetros por cada metro.
Esta constante permite hacer el cambio de unidades de metros a
centímetros.
3. Finalmente, la constante de proporcionalidad que permite pasar
de las medidas de la cancha en el dibujo (en centímetros) a las
medidas reales (en centímetros) es 1 000 centímetros por cada
centímetro.
Este número resulta ser el factor de escala.
2 01
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s e c u e n cia 1 6
Se multiplica por 100
centímetros por cada metro
Se multiplica por 10 metros
por cada centímetro
Tamaño real
(en centímetros)
Tamaño real
(en metros)
Tamaño en el dibujo
(en centímetros)
Se multiplica por 1 000 centímetros
por cada centímetro
III.En el dibujo de la cancha de fútbol no aparecen las medidas del área chica. Completen la siguiente tabla para encontrar las dimensiones del área chica, de la portería y
de la distancia que hay entre la portería y el lugar donde se cobra un tiro penal.
Dimensiones
reales de la cancha
(m)
Largo del área chica
18.5
Ancho del área chica
5.5
Largo de la portería
7.4
Altura de la portería
2.45
Tiro penal
9.15
Ancho de los postes
de la portería
0.12
Dimensiones
en el dibujo
(cm)
Tabla 3
a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite pasar de las medidas reales
de la cancha (en metros) a la medida en el dibujo (en centímetros)?
b) ¿Cuántas veces más chicas son las medidas del dibujo con respecto de su medida
real?
2 02
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MATEMÁTICAS
I
A lo que llegamos
En este problema las medidas del dibujo (en centímetros) se pueden
obtener multiplicando por aQ p las medidas reales (en metros).
La constante de proporcionalidad es aQ p centímetros por cada metro,
y permite pasar de cualquier medida real (en metros) a su medida
en el dibujo (en centímetros).
El siguiente esquema te ayudará a comprender mejor la explicación anterior
aQ p
Multiplicar por
o dividir
entre 10 centímetros por cada metro
Medidas reales
de la cancha
(en metros)
Medidas reales del dibujo
de la cancha
(en centímetros)
Multiplicar por 10 metros
por cada centímetro
Consomé ranchero
Para empezar
sesión 3
En la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? de tu
libro de Ciencias I conociste la importancia de tener una buena alimentación. Muchas
veces las cantidades recomendadas de alimentos que deben consumirse se presentan en
forma de raciones o porciones. Por ejemplo, en las recetas de comida, las cantidades de
los ingredientes se presentan dependiendo del número de porciones que se van a preparar. En esta sesión encontrarás distintas maneras de calcular estas cantidades.
203
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secu enci a 1 6
Consideremos lo siguiente
Ésta es una receta para elaborar una sopa nutritiva y típica de la cocina mexicana, el
consomé ranchero. Rinde para 5 porciones.
• 6 tazas de caldo de pollo;
•
wQ
pechuga cocida y deshebrada;
•
wQ
cebolla picada;
• 1 jitomate picado;
• 1
wQ
tazas de arroz cocido;
• 4 cucharadas de cilantro picado.
Contesten en sus cuadernos:
Si se quisieran preparar 8 porciones de consomé ranchero ¿Qué cantidades de cada ingrediente se necesitarían?
Comparen sus resultados con los de otras parejas y comenten cómo los obtuvieron.
Manos a la obra
I. En un grupo, el equipo 1 lo resolvió así:
“Calculamos primero los ingredientes para una porción de consomé ranchero y luego los
multiplicamos por 8”.
Luego hicieron la siguiente tabla para encontrar el número de tazas de caldo de pollo
que se necesitan para preparar 8 porciones.
Número de tazas de
caldo de pollo en 5 porciones
de consomé ranchero
6
Número de tazas de
caldo de pollo en 1 porción
de consomé ranchero
6 ÷ 5 = 1.2 =
tY
Número de tazas de
caldo de pollo en 8 porciones
de consomé ranchero
1.2 × 8 =
RgI
= 9.6
20 4
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MATEMÁTICAS
I
a) Completen la siguiente tabla usando el método del equipo 1.
Cantidades de cada
ingrediente en 5 porciones
de consomé ranchero
6 tazas de caldo de pollo
tY
Cantidades de cada
ingrediente en 1 porción
de consomé ranchero
Cantidades de cada
ingrediente en 8 porciones
de consomé ranchero
tazas de caldo de pollo
gR I tazas de caldo de pollo
Qw pechuga cocida y deshebrada
Qw
cebolla picada
1 jitomate picado
1
Qw
tazas arroz cocido
4 cucharadas de cilantro picado
b) ¿Por cuál número dividieron para ir de la primera a la segunda columna?
c) ¿Por cuál número multiplicaron para ir de la segunda a la tercera columna?
d) ¿Cuál es el número por el que se debe multiplicar o dividir para ir de la primera a la
tercera columna?
Comparen sus tablas y sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron.
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secu enci a 1 6
II. El equipo 2 lo resolvió así:
“Cada ingrediente de la receta para 5 porciones lo multiplicamos por 8 y obtuvimos los
ingredientes para 40 porciones, luego dividimos entre 5 cada uno de los ingredientes
para las 40 porciones y así obtuvimos los ingredientes para 8 porciones.”
Número de tazas de
caldo de pollo en 5 porciones
de consomé ranchero
Número de tazas de
caldo de pollo en 40 porciones
de consomé ranchero
6
6 × 8 = 48
Número de tazas de
caldo de pollo en 8 porciones
de consomé ranchero
48 ÷ 5 = 9.6 =
RgI
a) Completen la siguiente tabla usando el método del equipo 2.
Cantidades de cada
ingrediente en 5 porciones
de consomé ranchero
6 tazas de caldo de pollo
Cantidades de cada
ingrediente en 40 porciones
de consomé ranchero
Cantidades de cada
ingrediente en 8 porciones
de consomé ranchero
48 tazas de caldo de pollo
1 gR I
tazas de caldo de pollo
Qw pechuga cocida y deshebrada
Qw
cebolla picada
1 jitomate picado
1
Qw
tazas arroz cocido
4 cucharadas de cilantro picado
En su cuaderno respondan las siguientes preguntas:
b) ¿Por cuál número multiplicaron para ir de la primera a la segunda columna?
c) ¿Por cuál número dividieron para ir de la segunda a la tercera columna?
d) ¿Cuál es el número por el que se debe multiplicar o dividir para ir de la primera a
la tercera columna?
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MATEMÁTICAS
I
III.Comenten las siguientes preguntas:
¿Cuál de los dos métodos creen que sea correcto?
¿Cómo calcularon ustedes las cantidades necesarias para 8 porciones?
¿Les salió lo mismo que al equipo 1 y al 2?
A lo que llegamos
En este problema se usaron dos métodos para hallar la cantidad que
se necesitaría de cada ingrediente para preparar 8 porciones de
consomé ranchero. Ambos están relacionados, ya que con el método
del equipo 1 primero se divide entre 5 y luego se multiplica por 8, y
con el del equipo 2, primero se multiplica por 8 y luego se divide
entre 5.
La constante de proporcionalidad en este problema con cualquiera de
los dos métodos es tI .
Lo que aprendimos
1. En una revista van a publicar una fotografía, pero no saben de qué tamaño se vería
mejor ya impresa. La fotografía original mide 16 cm de largo por 8 cm de alto.
Contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno:
a) La fotografía A se obtendrá de reducir la fotografía original a la mitad. ¿Cuáles
serán las medidas de la A?
b) La fotografía B se obtendrá de reducir la fotografía A a la cuarta parte. ¿Cuáles
serán las medidas de la fotografía B?
c) ¿Cuántas veces más pequeña es la fotografía B respecto a la fotografía original?
d) Si a la fotografía B se le hace una ampliación de 8 veces su tamaño, ¿qué medidas
tendrá la fotografía?
2. Finalmente, si a la fotografía original se le hace una reducción a la tercera parte de
su tamaño y luego una ampliación del doble de su tamaño, ¿cuál es la constante de
proporcionalidad por la cual deberán multiplicarse las medidas de la fotografía original para conocer las dimensiones de las reducciones hechas a la fotografía?
Para saber más
Sobre una buena alimentación consulta:
http://www.nutricion.org/para_saber_mas/dieta_equilib_2.htm
[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
Sociedad Española de Dietética y Ciencias de la Alimentación.
2 07
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MATEMÁTICAS
Ifrah, Georges. The Universal History of Numbers (D. Bellos, E. F.
Harding, S. Wood y I. Monk, Trds.), Nueva York: John Wiley and
Sons, 2000. (Trabajo original publicado en 1981).
Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática. (23
agosto 2003) <http://www.inegi.gob.mx>
SEP. Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, México, 2000.
Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria,
México, 2000.
I
SEP-ILCE. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación
secundaria, México, 2000.
Geometría dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación secundaria, México, 2000.
(2002). Biología, Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Matemáticos (Ecamm). Educación secundaria, México.
Taham, Malba. El hombre que calculaba, México: Noriega Editores,
2005.
Revisores académicos externos
David Block Sevilla, Carlos Bosch Giral, Luis Alberto Briseño Aguirre,
Gonzalo Zubieta Badillo
Diseño de actividades tecnológicas
Víctor Manuel García Montes
Deyanira Monroy Zariñán
Verónica Rosainz Bonilla
e n s ay o s d i d á c t i c o s e n t e l e s e c u n d a r i a s
Telesecundaria “15 de Septiembre”, El Zapote, Puente de Ixtla, Morelos
Marisol Marín Vázquez
Telesecundaria “Cuauhnáhuac”, Pueblo Viejo, Temixco, Morelos
María de Lourdes Bello Salgado
matemáticas I
Se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,
en los talleres de
,
el mes de
de 200 .
El tiraje fue de
ejemplares, más sobrantes de reposición.
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