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Bloque 3 / secuencia 1 1 1 ia ndar L u c e s ENTA M F UNDA Guía para el maestro SFUMA1TG_B0.indd 1 08/05/12 18:45 Dirección editorial: Adriana Beltrán Fernández • Subdirección editorial: Tania Carreño King • Gerencia de secundaria: Aurora Saavedra Solá • Gerencia de diseño: Renato Aranda • Cordinación editorial: Jannet Vázquez • Edición: Milosh Trnka Rodríguez, Alberto Lara y Karina Islas Ríos • Asistencia editorial: Erika López Galbraith • Supervisión de diseño: Gabriela Rodríguez Cruz • Coordinación de diseño: Carina J. Haro Vázquez • Diseño de interiores: Gustavo Hernández • Adaptación de diseño de portada: Renato Aranda • Diagramación: Rocío Mince • Supervisión de imagen: Tere Leyva • Investigación iconográfica: Édgar Estrella Juárez • Ilustración: Raúl Tena • Fotografía: Archivo digital • Digitalización y retoque: Juan Ortega Corona • Gerencia de producción: Alma Orozco • Coordinación de producción: Alma Ramírez Colaboración: Erick Rodríguez Castro Primera edición: mayo de 2012 Matemáticas 1 Guía para el maestro D.R. © 2012, del texto: Ediciones Castillo, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados D.R. © 2012, Ediciones Castillo, S.A. de C.V. Castillo ® es una marca registrada Insurgentes Sur 1886, Col. Florida Deleg. Álvaro Obregón, C.P. 01030, México, D.F. Tel.: (55) 5128–1350 Fax: (55) 5128–1350 ext. 2899 Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan www.grupomacmillan.com www.edicionescastillo.com [email protected] Lada sin costo: 01 800 536 1777 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 3304 Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia, o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico SFUMA1TG_B0.indd 2 08/05/12 18:45 Bloque 3presentación / secuencia 1 3 Al maestro: La práctica docente exige cada día más y diferentes recursos para enfrentarla y lograr una educación de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta Guía para el maestro, una herramienta que le facilitará el trabajo diario en el aula considerando los retos que plantea trabajar con el enfoque didáctico de los Programas de estudio 2011: • Abordar los contenidos desde contextos vinculados a la vida personal, cultural y social de los alumnos. • Estimular la participación activa de los alumnos en la construcción de sus conocimientos. • Contribuir al desarrollo de competencias para la vida, al perfil de egreso y a las competencias específicas de la asignatura. El trabajo con secuencias didácticas, entendido como una estrategia de enseñanza y de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento, representa, en cuanto a su metodología, una manera radicalmente distinta a la forma tradicional de enseñanza. Es por esto que la guía que ponemos a su alcance tiene como principal objetivo acompañarlo en cada una de las etapas que conforman el proceso de trabajo con las secuencias, señalando, en primer lugar, los conceptos, habilidades y actitudes que se desarrollarán, y los antecedentes que sobre los contenidos tienen los estudiantes. En cada una de las etapas, inicio, desarrollo y cierre, encontrará la explicación de su intención didáctica, así como sugerencias didácticas complementarias y respuestas a cada una de las actividades que conforman la secuencia. Asimismo, en esta guía encontrará el solucionario correspondiente a las evaluaciones tipo pisa y enlace que aparecen en el libro del alumno y una evaluación adicional por bloque recortable con la que usted podrá, si lo considera conveniente, realizar una evaluación diferente a sus alumnos. Al inicio de cada bloque le sugerimos un avance programático que le ayudará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque donde se especifican cuáles son los aprendizajes esperados y las competencias que se favorecerán. Se incluyen recomendaciones de otros recursos como el uso del CD Recursos digitales para el docente elaborado por Ediciones Castillo como otra herramienta de apoyo a su trabajo en el aula, páginas de Internet, audios, películas, videos, libros, museos, entre otros. Los que participamos en la elaboración de esta Guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida. SFUMA1TG_B0.indd 3 08/05/12 18:45 66 Bloque 3 / secuencia 13 Estructura de la Guía El trabajo con secuencias didácticas Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados —a partir de un nivel de complejidad progresivo— en tres fases: inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje. Al inicio de cada lección del libro del alumno se presenta una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares. En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos de la secuencia; que se asegure de que sus estudiantes identifican la realidad que será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situación problemática. Posteriormente, en la fase de desarrollo se presenta un conjunto de actividades que constituyen un reto para los alumnos, y que promueve la construcción de los aspectos más relevantes con el fin de que logren la apropiación y la comprensión profunda de los mismos. En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas, lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad los procedimientos que se pueden seguir y los conocimientos que deben aplicar para actuar con eficiencia, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia otros más expertos. En todo momento, es conveniente que el maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de otros nuevos. En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los alumnos a la situación problemática. De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de actuación que los lleva al desarrollo de las competencias de la asignatura, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con su realidad, evalúe su progreso, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados. SFUMA1TG_B0.indd 6 08/05/12 18:45 Bloque 3 / secuencia Estructura de la Guía1 7 La evaluación La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo enlace y evaluación tipo pisa. En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada lección vista en el bloque, y tendrán que responder si son falsos o verdaderos. Después deberán escribir una propuesta de verificación de su respuesta. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar. Las pruebas tipo enlace (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de cinco preguntas, con cuatro respuestas posibles para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial. En las pruebas tipo pisa (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder tres preguntas de análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y competencias adquiridas. SFUMA1TG_B0.indd 7 08/05/12 18:45 66 BLOQUE 3 / SECUENCIA 13 ESTRUCTURA DE LA GUÍA El trabajo con secuencias didácticas Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados —a partir de un nivel de complejidad progresivo— en tres fases: inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje. Al inicio de cada lección del libro del alumno se presenta una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares. En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos de la secuencia; que se asegure de que sus estudiantes identifican la realidad que será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situación problemática. Posteriormente, en la fase de desarrollo se presenta un conjunto de actividades que constituyen un reto para los alumnos, y que promueve la construcción de los aspectos más relevantes con el fin de que logren la apropiación y la comprensión profunda de los mismos. En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas, lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad los procedimientos que se pueden seguir y los conocimientos que deben aplicar para actuar con eficiencia, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia otros más expertos. En todo momento, es conveniente que el maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de otros nuevos. En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los alumnos a la situación problemática. De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de actuación que los lleva al desarrollo de las competencias de la asignatura, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con su realidad, evalúe su progreso, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados. SFUMA1TG_B0.indd 6 08/05/12 18:45 BLOQUE 3 / SECUENCIA ESTRUCTURA DE LA GUÍA1 7 La evaluación La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo ENLACE y evaluación tipo PISA. En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada lección vista en el bloque, y tendrán que responder si son falsos o verdaderos. Después deberán escribir una propuesta de verificación de su respuesta. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar. Las pruebas tipo ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de cinco preguntas, con cuatro respuestas posibles para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial. En las pruebas tipo PISA (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder tres preguntas de análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y competencias adquiridas. SFUMA1TG_B0.indd 7 08/05/12 18:45 Bloque 13 / secuencia 13 que 1 10 Bloque 1 C Forma, espacio y medida Contenidos Sentido numérico y pensamiento algebraico •Trazodetriángulosycuadriláterosmedianteelusodel juegodegeometría. Aprendizajes esperados •Conversióndefraccionesdecimalesynodecimalesasu escrituradecimalyviceversa. Manejo de la información • Resolver problemas de manera autónoma. • Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente. •Trazoyanálisisdelaspropiedadesdelasalturas,medianas,mediatricesybisectricesenuntriángulo. •Resoluciónyplanteamientodeproblemasqueimpliquen másdeunaoperacióndesumayrestadefracciones. •Identificaciónyprácticadejuegosdeazarsencillosy registrodelosresultados.Eleccióndeestrategiasen funcióndelanálisisderesultadosposibles. Competencias que se favorecen •Representacióndenúmerosfraccionariosydecimales enlarectanuméricaapartirdedistintasinformaciones, analizandolasconvencionesdeestarepresentación. •Construccióndesucesionesdenúmerosodefigurasa partirdeunaregladadaenlenguajecomún.Formulaciónenlenguajecomúndeexpresionesgeneralesque definenlasreglasdesucesionesconprogresiónaritméticaogeométrica,denúmerosydefiguras. •Explicacióndelsignificadodefórmulasgeométricas,al consideraralasliteralescomonúmerosgeneralescon losqueesposibleoperar. Contenidos del bloque • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa. •Resolucióndeproblemasderepartoproporcional. Conalgunascintasmétricasdecosturasepuedenmedir decimalesdecentímetrosyalgunasfraccionesdepulgada. Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación de los estudios de la escuela primaria, en el primer contenido se estudian nuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas de planteamiento de números fraccionarios. Por otra parte, el contenido referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una regularidad matemática que exige al estudiante un nivel mayor de abstracción. Con respecto a la simbolización, comienza con el contenido en el que las literales corresponden a números generales. Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados al trazo de las figuras más elementales y de las líneas y puntos notables del triángulo, construcciones que por sí mismas son importantes en la geometría y que, además, resultan indispensables para abordar construcciones más complejas, como se verá en los siguientes bloques. Manejo de la información. En este bloque los contenidos introducen un par de temas de este eje: la proporcionalidad se aborda con el reparto proporcional, mientras que las nociones de probabilidad comienzan con la identificación y la práctica de juegos de azar sencillos. 21 SFUMA1TG_B1.indd 10 07/05/12 17:02 Bloque 3 / secuencia Bloque 1 11 Avance programático Aprendizajes esperados: • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa. Semanas Eje Tema 2y3 Sentido numérico y pensamiento algebraico 1y2 Números y sistemas de numeración Lección Contenido 1. Fracciones y decimales Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Representación de números fraccionarios 2. Representaciones en y decimales en la recta numérica a partir la recta de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Páginas 22 a 27 28 a 33 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. 34 a 37 4. Sucesiones Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. 38 a 44 5 5. De letras y figuras Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. 45 a 50 6 6. Figuras de tres y cuatro lados Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. 51 a 58 7. Las líneas del triángulo Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. 59 a 68 8. Reparto proporcional Resolución de problemas de reparto proporcional. 69 a 72 9. Juegos de azar Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. 73 a 77 6y7 7y8 8y9 SFUMA1TG_B1.indd 11 Manejo de la información 4 Forma, espacio y medida 3. Suma y resta de fracciones 3y4 Problemas aditivos Patrones y ecuaciones Figuras y cuerpos Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad 07/05/12 17:02 12 Bloque 1 / LECCIÓN 1 L1 Fracciones y decimales Conversión de fracciones a decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. viceversa Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Al terminar esta secuencia, se espera que los alumnos conviertan números fraccionarios a decimales y viceversa. Conceptos principales: fracción decimal, fracción irreducible, número decimal periódico, truncamiento, redondeo. Materiales: calculadora. Antecedentes • Valor posicional de las cifras de un número decimal • Fracciones equivalentes • División entre números naturales con cociente decimal • Comparación de números naturales, fraccionarios y decimales • Reglas prácticas para multiplicar rápidamente por 10, 100, 1 000,… • Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no decimales mediante la notación decimal • Operaciones sencillas con números decimales Ideas erróneas 1. Es frecuente que los alumnos piensen que 81 es mayor que 1 por el hecho de que 8 es mayor que 4. 4 2.Algunos alumnos pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6. 3.Para encontrar una fracción equivalente a una dada, los alumnos pueden creer que sumando el mismo número tanto al numerador como al denominador se obtienen fracciones equivalentes; por ejemplo, + 2. que una fracción equivalente a 47 es 47 + 2 SFUMA1TG_B1.indd 12 Situación inicial (pág. 22) Se busca que el alumno intente comparar un número decimal con uno fraccionario, para que note que dicha comparación requiere que la fracción se exprese como número decimal o viceversa. Explora y construye (págs. 22-27) Las actividades planteadas en esta sección tienen la intención de que el alumno obtenga procedimientos para convertir números decimales a fracciones y viceversa. Comenzará por expresar números decimales como fracciones decimales y después, empleando equivalencia de fracciones, deducirá un procedimiento para convertir números decimales a fracciones irreducibles. Después, aprenderá a convertir fracciones a números decimales mediante la división. Primero obtendrá números decimales finitos y después estudiará fracciones como 23 , así como los decimales periódicos. Para terminar, analizará la conversión de decimales periódicos puros y mixtos, donde se utilizan procedimientos como el redondeo y el truncamiento de cifras decimales. Regresa y revisa (pág. 27) Se espera que el alumno resuelva la situación inicial convirtiendo la fracción a número decimal y el número decimal a fracción, y después sea capaz de analizar qué conversión le es más útil en la resolución del problema. 07/05/12 17:02 13 Bloque 1 / LECCIÓN 1 Solucionario y sugerencias didácticas Bloque Lección 1 1 1. Fracciones y decimales d) ¿Yalmultiplicar13.25por10? e) ¿Porquénúmerodebenmultiplicar13.25paraobtener1325? f) ¿Porquénúmerodebenmultiplicar21.349paraobtener21349? Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Situación inicial g) ¿Porquénúmerodebendividir21349paraobtener21.349? Situación inicial h) Expresenlaoperacióndelincisoanteriorcomounafracción. Décimos y fracciones de litro i) ¿Quéfraccióncondenominador100tieneelmismovalorque13.25? 1 Alejandropintóunmurodesucasa,paralocualpreparóunlitrodepinturacon 3 j) ¿Quéfraccióncondenominador10tieneelmismovalorque0.1? delitrodepinturaamarillayelrestodepinturablanca.Parapintarotromuroconel mismotono,adquirióenlatienda0.3delitrodelamismapinturaamarillaycompletó ellitroconpinturablanca.Loscoloresdelosmurosnoquedaroniguales.Explicacuál fueelerrordeAlejandro. Se llaman fracciones decimales aquellas cuyo denominador es 10 o sus múltiplos 100, 1 000, 10 000,... Lo que ya sabes Para obtener fracciones equivalentes se pueden dividir (o multiplicar) el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número entero. Explica por qué 8 es equiva40 1 1 lente a 5 , y 5 es 3 equivalente a 15 . Entonces, ¿cómo son 8 y 3 entre 40 15 sí? ¿Por qué? 2 Engrupo,escribanvariosnúmerosdecimalesenelpizarrónyparacadaunoden unafraccióndecimalquetengaelmismovalor. Analiza 1. En parejas, respondan lo siguiente. 1 3 Hazlasiguientesuma:0.6+0.07+0.001. a) ¿Qué representa 3 de una unidad? b)¿Qué representa 0.3 de una unidad? a) ¿Quénúmeroobtienes? c) ¿De qué manera pueden concluir que las cantidades de pintura amarilla de las dos b) Escribeelnúmeroanteriorcomosumadetresfraccionesdecimalescuyo numeradorconstedeunasolacifra. mezclas no son iguales? c) Escribeelresultadodelasumaanteriorcomounafraccióncondenominador 2. En grupo, discutan qué muro tiene un tono de color amarillo más fuerte y por qué. 1000. Explora y construye 4 Escribeentucuadernocómoconvertirunnúmerodecimalaunafraccióndecimalydiscutetupropuestaengrupo. Explora y construye De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes 5 Hazlosiguiente. a) Escribeunafraccióndecimalquevalgalomismoque0.5 Enelsistemadecimal,elvalordeundígitoenunnúmerodependedesuposición enéste;esdecir,elsistemadecimalesposicional. 1 Enparejas,respondanlosiguiente. 5 b) Encuentraunafracciónequivalentea 10 condenominador2. 5 c) Encuentraotrafracciónquetengaelmismovalorque 10 ycuyodenominador seadistintode2. a) Elvalordeldígito2esdiferenteenelnúmero0.2queenelnúmero2.¿En d) Escribealmenostresfraccionesquetenganelmismovalorqueelnúmero quéconsisteestadiferencia? 0.5ycuyodenominadornosea10,100,1000,… e) Conviertelossiguientesnúmerosdecimalesafraccionescuyodenominador nosea10,100,1000,… b) ¿Ycuálesladiferenciadelvalordeestedígitoenlosnúmeros0.2y0.02? • 12.76= •3.4= •5.78= •2.15= f) ¿Esposibleexpresarelnúmero2.1comounafraccióncuyodenominadorno Un dígito vale la décima parte de lo que valdría si estuviera justo una posición a su izquierda. c) ¿Quéobtienenalmultiplicar0.1por10? 22 sea10,100,1000,…?¿Porqué? 22 g. pá SFUMA1SB_B1.indd 22 23 g. pá 23 24/02/12 13:37 Situación inicial SFUMA1SB_B1.indd 23 24/02/12 13:37 b)En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en 0.02 representa dos centésimas partes de la unidad. c)1 Página 22 Décimos y fracciones de litro / Analiza 1. a)La tercera parte de la unidad. b)Tres décimas partes de la unidad. c)Mostrando que 31 es distinto de 0.3. 2.El muro con el tono amarillo más fuerte tiene mayor cantidad de pintura amarilla en la mezcla. Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alumnos cómo creen que pueden comparar un número decimal con una fracción. En este ejercicio, si se presentan, se pueden discutir las ideas erróneas 1 y 2. Página 23 d)132.5 f) 1 000 e) 100 g) 1 000 349 h) 21 1 000 i) 1 325 100 j) 1 10 Página 22 2.Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alumnos de cuántas maneras se pueden encontrar fracciones equivalentes, y después, si se presenta, discutir la idea errónea 3. 3. a) 0.671 b)Si la pregunta se limita a fracciones con una sola 6 + 7 + 1 . cifra en el denominador, sería 10 1 000 100 De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes c) 1671 000 1. a) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en el número 2 representa dos unidades. Además, 0.2 es la décima parte de 2. 4.El alumno debe deducir que si el número decimal tiene 1, 2, 3,… cifras decimales, entonces el denominador de la fracción será 10, 100, 1 000,… Explora y construye Planeación Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 13 07/05/12 17:02 14 Bloque 1 / LECCIÓN 1 Bloque Lección 1 1 • ¿Cuáleselresiduodeladivisión? Se simplificaunafraccióncuando el numerador y el denominador se dividen entre un mismo número distinto de 1 que no sea decimal. Si no es posible hacerlo, se dice que la fracción es irreducible. • ¿Podránllegaraobtenercerocomoresiduo,esdecir,terminardedividir? ¿Porqué? g) Conviertelossiguientesnúmerosdecimalesafraccionesirreducibles. • 0.45= •3.6= •0.1= •2.25= 6 Enparejas,escribanensucuadernounprocedimientoparaconvertirnúmeros decimalesafraccionescuyodenominadornosea10,100,1000,etc.,enlos casosqueseaposible. Como observaron, en los incisos a y b de la actividad 4, al convertir las fracciones en su equivalente en número decimal obtuvieron, al realizar la división, un residuo de cero. Este tipo de números se llaman númerosdecimalesfinitos. 2 7 Engrupo,escribanalgunosnúmerosdecimalesenelpizarrónyconviértanlos ensuequivalenteenfracciones.Comentencuántasfraccionesconelmismo valorpodríanencontrarparacadanúmerodecimal. 5 Por otro lado, en la actividad 5, al intentar convertir las fracciones 3 y 42 en su equivalente en número decimal no se puede obtener un residuo cero, aunque se siga dividiendo. A este tipo de números se les llama númerosdecimalesperiódicos. 2 Si se divide 2 entre 3 para obtener el número equivalente a la fracción 3 se obtiene 0.666…, donde el dígito 6 se repite infinitamente. Lo mismo sucede para la fracción 5 , 42 ya que ésta vale lo mismo que el número 0.11904761…, en el que la agrupación de cifras 190476 se repite una infinidad de veces. Los números decimales anteriores se pueden 2 5 representar de la siguiente manera: 3 = 0.666… = 0.6 y 42 = 0.11904761… = 0.1190476, donde los dígitos que se encuentran bajo la raya se repiten una infinidad de veces. De fracción a decimales 1 Enparejas,ysinusarlacalculadora,respondanlosiguiente. 2 ensuequia) Dividan2entre10hastaqueobtenganresiduoceroyescriban 10 valenteennúmerodecimal. Los números decimales periódicos se dividen a su vez en dos tipos: 76 enformadecimal. b) Escriban 136 y 100 10 •Númerosdecimalesperiódicospuros: aquellos que sólo repiten una misma cifra o un mismo grupo de cifras inmediatamente después del punto decimal; por ejemplo, 0.6. 2 Validensusrespuestasanterioresconlacalculadora. 3 Engrupo,discutanunprocedimientoparaconvertirunafraccióndecimalensu equivalenteennúmerodecimalyescríbanloensucuaderno. •Númerosdecimalesperiódicosmixtos: aquellos en los que después del punto decimal aparecen cifras que no se repiten infinitamente y, después, una misma cifra o un mismo grupo de cifras que sí se repiten infinitamente. Un ejemplo es el número 0.1190476. 4 Enparejas,realicenlosiguiente. a) Sinusarlacalculadora,dividan2entre5hastaqueobtenganresiduocero 2 Busca en... yescriban 5 ensuequivalenteennúmerodecimal. la primera de las siguientes páginas la fracción equivalente a una expresión decimal y, en la segunda, el decimal equivalente a una fracción: 6 Encuentrenelnúmerodecimalequivalentedecadaunalassiguientesfracciones. b) Escribanlassiguientesfraccionesensuequivalenteennúmerodecimal. 1 3 1 3 4 a) 4 = • 4 = • 4 = • 8 = • 5 = 7 = b) 1 = a) 30 7 terminardedividir?¿Porqué? 5 • ¿Quéobservan? 8 Engrupo,conayudadeunacalculadoraobtengantresfraccionesdemodoque unadeellastengacomoequivalenteunnúmerodecimalfinito,otraunnúmero decimalperiódicopuroylaterceraunnúmerodecimalperiódicomixto. 24 g. á p 24 SFUMA1SB_B1.indd 24 24/02/12 13:37 b) 21 c)Cualquier fracción equivalente a d)Fracciones equivalentes a 1 2, 1 2. Ejemplo: como: 17 5 • 289 50 • 2 4. 3 4 6 6 , 8 , 12. 43 20 f) Sí, porque se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador de 21 por un número dife10 rente de 10, 100, 1 000,… para obtener una frac42 . ción equivalente, por ejemplo 20 Página 24 g) Fracciones irreducibles. Ejemplos: • 18 5 • 1 10 • 9 4 6.Un método es convertir el número decimal a una fracción decimal y, si es posible, simplificarla. De lo contario se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador por un número diferente de 10, 100, 1 000,… para obtener una fracción equivalente. 7. No hay un límite para el número de fracciones equivalentes, ya que hay una cantidad infinita de números (1, 2, 3,…) que pueden multiplicar al numerador y al denominador de una fracción dada. 25 g. á p 24/02/12 13:37 3.a)0.4 b)• 0.25 • 0.75 • 0.125 • 0.8 4.a) No, porque en cada paso de la división se obtiene el mismo residuo, que es 2, y al ser éste distinto de cero el procedimiento no termina. b)• Después de la primera cifra decimal, que es 1, se repiten las cifras 190476. Página 25 •8 • No, porque se repiten los residuos cada seis pasos. 6.a)0.75 b) 2.14 c) 0.09 d) 0.6 7. a)Periódico puro. b)Periódico mixto. c)Finito. 8.Por ejemplo, decimal finito: puro: 1 9 9 8, decimal periódico y decimal periódico mixto: 9 . 105 Página 26 De decimales periódicos a fracciones 1. a) El 8 y el 2. b)Porque ese método sólo funciona para números decimales finitos. 207 . 250 207 070 707 . simplificada: 250 000 000 ; fracción simplificada: c) 1828 000 De fracción a decimales 283 ; fracción d)1828 000 000 1. a)0.2 b)13.6; 0.76 2.Un método es recorrer el punto decimal del numerador hacia la izquierda tantas cifras como ceros tenga el denominador. 207 070 707 2.a) 250 000 000 SFUMA1TG_B1.indd 14 • Fracción decimal • Escritura decimal de un número • Fracción irreducible SFUMA1SB_B1.indd 25 e)Fracciones no decimales. Ejemplos: • Toma nota Localiza los siguientes conceptos en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras una explicación y un ejemplo de cada uno: 25 5 5.a) 10 9 20 51 = c) 12 b) Considerenlafracción 42 .Dividan5entre42,sinusarlacalculadora,hasta obtener13cifrasdespuésdelpuntodecimal. • 2 d) 3 = 7 Indiquensielnúmerodecimalequivalentedecadaunadelassiguientesfraccionesesfinito,periódicopurooperiódicomixto.Luego,sinusarlacalculadora, verifiquensurespuesta. 2 a) Analicenlafracción 3 dividiendo2entre3sinusarcalculadora.¿Pueden www.edutics.mx/ ZoK 319 25 1 c)11= c) Verifiquensusrespuestasalosincisosanterioresconlacalculadora. 5 Respondanlosiguiente. www.edutics.mx/ Zoz • 212 b) 99 = b)Sí será más cercano. Ningún redondeo será exactamente igual porque para cada aproximación se puede obtener una aproximación mejor. 3.a)0.2666 07/05/12 17:02 15 Bloque 1 / LECCIÓN 1 Bloque Lección 1 1 De decimales periódicos a fracciones b) Ahoratrunquenelmismonúmerohasta6cifrasyescribanacontinuación, paralostruncamientoshasta4y6cifrasdelnúmero0.26,suequivalenteen 1 Enparejas,considerenelnúmerodecimal0.82yrespondanloquesepide. fracción. a) ¿Cuálessonlosdígitosqueserepiten? c) ¿Elcocientedealgunadelasfraccionesanterioresesigualalnúmero0.26? b) ¿Porquénosepuedeconvertiresenúmerodecimalensuequivalenteen ¿Porqué? fracciónconelmétodoqueaprendieronenlasección“Dedecimalesafrac- d) ¿Hayunacantidaddecifrasdecimaleshastalaquesepuedatruncarelnúmero cionesdecimalesysusequivalentes”? 0.26demodoquelafracciónequivalentealnúmeroresultantetengaelmismo valorque0.26?¿Ysienlugardetruncarseredondea?Justifiquensurespuesta. Una opción para hacer este tipo de conversiones es partir de una aproximación del número decimal periódico. Se puede aproximar ese número redondeándolo o truncándolo. El signo de aproximación es “≈”. Para redondear un número a cierta cantidad de cifras, se considera el dígito que le sigue a la última cifra. De ahí hay tres casos: • Si ese dígito es menor que 5, el dígito anterior permanece igual. Por ejemplo, 1.422 ≈ 1.42 • Si el dígito es mayor que 5, al dígito anterior se le suma un 1. Por ejemplo, 1.428 ≈ 1.43 • Si el dígito es igual a 5, se considera el dígito anterior y se acostumbra que: i) Si ese dígito es par, permanece igual. Por ejemplo, 24.525 ≈ 24.52 ii) Si ese dígito es impar, se le suma un 1. Por ejemplo, 24.535 ≈ 24.54 4 Engrupo,haganloqueseindica. a) Expresenlossiguientesnúmerosdecimalesperiódicosensuequivalenteen fracción.Loscocientesdelasfraccionesdebentenerporlomenos4cifras despuésdelpuntodecimal. • 24.15= •0.456= • 4.7= •0.11432= b) Discutancuálessonlasdificultadesparaconvertirunnúmerodecimalperiódicoensuequivalenteenfracciónycomentenelerrorquesegeneraal haceraproximaciones. c) Redondeen0.82a3cifrasdespuésdelpuntodecimalyescribanacontinuaciónesenúmeroensuequivalenteenfracción. d) Ahoraredondéenloa6y9cifrasdespuésdelpuntodecimalyexpresenlos Reflexiona númerosobtenidosensusrespectivosequivalentesenfracción. 1. Responde lo siguiente en tu cuaderno. a) ¿Cuáles son las fracciones decimales que no pueden simplificarse? 15 b)El número 1.5 tiene el mismo valor que la fracción 10 . Escribe la fracción que vale lo mismo que 1.5 cuyo denominador es: 100, 1 000 y 10 000. c) Escribe cuatro fracciones que tengan el mismo valor que el número 45.375 y cuyos denominadores sean múltiplos de 10. 2 Engrupo,respondanlosiguiente. a) Comparenloscocientesdelasfraccionesdelosincisoscyddelejercicio anterior,señalencuálseaproximamásalnúmero0.82yexpliquenporqué. b) ¿Creenquesielredondeosehaceconmáscifrasdespuésdelpuntoelresultadoserámáscercanoalnúmero0.82?¿Yenalgúnmomentoseráexactamente Regresa y revisa igualaesenúmero?Justifiquensusrespuestas. Regresa y revisa 1 Leenuevamentelasituacióninicialyrespondeentucuaderno. 1 a) Expresa 3 ensuequivalenteennúmerodecimal,redondeadoa4cifrasdecimales,ycompáraloconelnúmero0.3. 1 b) Convierteelnúmero0.3ensuequivalenteenfracciónycompáralocon 3 . c) ¿ConquéconversiónteparecemássencilloconcluirquelacantidaddepinturaqueusóAlejandroparapintarcadamuronoeslamisma?¿Porqué? 3 Enparejas,considerenelnúmerodecimal0.26yrespondanlosiguiente. a) Escribanelnúmero0.26con4cifrasdespuésdelpuntodecimal. A la acción realizada en el inciso anterior se le llama truncar un número hasta 4 cifras después del punto decimal. Un número decimal periódico se puede truncar hasta la cantidad de cifras que se desee. A diferencia del redondeo, no se toma en cuenta si el último dígito es mayor, menor o igual a 5. 1 2 Engrupo,discutanquepasaríasiexpresaran 3 ensuequivalenteennúmero decimal,redondeadoaunacifradecimal,ylocomparanconelnúmero0.3. 26 g. á p 26 SFUMA1SB_B1.indd 26 27 24/02/12 13:37 SFUMA1SB_B1.indd 27 Página 27 b)Fracciones simplificadas: • • 48 303 2 000 47 777 10 000 • • 22 833 50 000 1 143 243 10 000 000 24/02/12 13:37 fracción correspondiente a un número decimal periódico, pero requieren conocimientos de niveles académicos posteriores. 1 313 ; 131 313 . 5 000 500 000 c)No, porque al hacer las divisiones correspondientes se obtienen números decimales finitos. d)No, porque al truncarlo el resultado es un número menor. Tampoco se puede truncar si se redondea, ya que el resultado es un número mayor o menor. 4.a)Fracciones simplificadas: 27 g. á p Reflexiona 1. a A quellas que en el numerador tengan un número que no se pueda dividir entre 2 o 5. Esto se debe a que los divisores de 10 son 2 y 5, y los denominadores de las fracciones decimales son de la forma 10, 100, 1 000,… 150 ; b) 100 b)El redondeo y el truncamiento son procedimientos para obtener aproximaciones. Para obtener una fracción cuyo valor sea el mismo que un número decimal finito, sería necesario considerar todas las cifras que están después del punto decimal. 1 500 ; 15 000 1 000 10 000 375 , 453 750 , 4 537 500 . c)Ejemplos: 45 1 000 10 000 100 000 Regresa y revisa Página 27 1. a)0.3333, el cual es mayor que 0.3. Sugerencia didáctica. Se debe discutir con el alumno que el error de la aproximación que se obtiene al redondear o truncar puede hacerse tan pequeño como se quiera. Esto se logra considerando una cantidad mayor de dígitos al efectuar alguno de los procedimientos. Es importante comentar que hay procedimientos para obtener de manera exacta la 3 , el cual es menor que 1 . b) 10 3 c)La respuesta dependerá de cada alumno. 2.Da el mismo resultado. Es la aproximación menos exacta al ser la menor en cuanto a número de dígitos considerados. Planeación Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 15 07/05/12 17:02 16 Bloque 1 / LECCIÓN 2 L2 1 Representaciones en la recta Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Se espera que al terminar esta secuencia los alumnos conozcan y utilicen las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. Situación inicial (págs. 28-29) En esta sección se busca que el alumno utilice sus conocimientos previos para ubicar en la recta números decimales (con distintas cantidades de cifras decimales) y fracciones, y comparar sus valores. Conceptos principales: recta numérica, unidad como referencia de medida, densidad numérica. Explora y construye (págs. 29-32) Antecedentes • Valor posicional de las cifras de un número decimal • Fracciones equivalentes • Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica • Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales La intención de esta parte de la secuencia es que los alumnos aprendan a ubicar un número decimal o fraccionario en la recta si se conoce la posición de al menos otro par de números: se destaca que al definir la posición del cero y la unidad queda determinada la de cualquier otro número natural, decimal o fraccionario. Finalmente, concluirán que siempre es posible encontrar un número entre cualesquiera otros dos. Ideas erróneas 1. Es frecuente que los alumnos piensen que 81 es mayor que 1 porque 8 es mayor que 4. 4 2.Algunos estudiantes pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6. 3.Es probable que algunos piensen que, una vez definida la posición de dos números, la de un tercero se puede determinar de manera arbitraria. 4.Los alumnos pueden pensar, si no reflexionan sobre ello, que entre ciertos decimales o fracciones no hay más números: por ejemplo, entre 1 y 2 o entre 10 10 0.25 y 0.26. SFUMA1TG_B1.indd 16 Regresa y revisa (págs. 32-33) El alumno deberá representar mediante ampliaciones de una recta numérica números con una mayor cantidad de cifras decimales respecto a los de la situación inicial. 07/05/12 17:02 17 Bloque 1 / LECCIÓN 2 Solucionario y sugerencias didácticas Bloque Lección 1 2 2. Representaciones en la recta c) ¿De qué modo usaron la información del primer kilómetro (fig. 1.2.1) para saber cómo ubicar los puntos solicitados del kilómetro representado en la fig. 1.2.2? Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Situación inicial d)Para localizar a la corredora que va en segundo lugar, ¿en cuántas partes tuvieron Situación inicial que dividir el segmento entre los kilómetros 5 y 6? La carrera Corredora Distancia (km) Nancy 5.25 Diana 5.1 Karina 5.7 Lucía 5.01 Renata 5.65 Alicia 5.33 e) ¿A qué otras corredoras pueden localizar dividiendo el segmento como en el inciso Posición Enunacarrerademaratón,lasseiscorredorasque llevabanladelanterahabíanrecorridoenlosprimeros20minutoslasdistanciasquesemuestranenel cuadro1.2.1. anterior? f) ¿Qué necesitaron hacer para localizar al resto de las corredoras? g)De las seis corredoras, ¿cuáles ya pasaron por el puesto de hidratación que se en- 1 Alolargodeltrayecto,cada 5 dekilómetrohabíauna cámaradeseguimientodelacarrera,ycada 1 kmun 2 puestodehidratación. cuentra entre los kilómetros 5 y 6? 2. Completen el cuadro 1.2.2, de modo que expresen en fracciones con denominador 100 las distancias que han alcanzado las corredoras. Cuadro 1.2.1. 1 Respondelassiguientespreguntas. Distancia (km) a) ¿EntreDianayLucía,quiénvaganado? Corredora b) ¿YentreKarinayRenataquiénllevaladelantera? Con decimales o fracción Con fracción de denominador 100 Nancy 2 Completalaterceracolumnadelcuadro1.2.1. Diana Karina 3 Ubicaenlasiguienterectalospuestosdehidrataciónylascámarasqueseencuentrenentreloskilómetros0y1. Lucía Renata Alicia Fig. 1.2.1. 0 km 3. En grupo, a partir de las conversiones anteriores, propongan un procedimiento para verificar si ubicaron correctamente las posiciones de las corredoras en la figura 1.2.2 y aplíquenlo. 4 Ubicaenlasiguienterectalospuestosdehidrataciónylascámarasquese encuentrenentreloskilómetros5y6.Después,ubicalasposicionesdelas corredoras. Fig. 1.2.2. 5 km Cuadro 1.2.2. 1 km Explora y construye 6 km Explora y construye El cero y la unidad en la recta 5 Verificaquelasposicionesqueanotasteenelcuadro1.2.1correspondanalo marcadoenlafigura1.2.2. 1 1 Enlasiguienterecta,marcalospuntosdondeselocalizan 2 y2. Analiza 1. En parejas, respondan lo siguiente. 0 a) ¿En cuántas partes tuvieron que dividir la distancia que hay entre los kilómetros 0 y 1 2 Ubicael0enunaposicióndiferentealaquetieneenlarectadelafigura1.2.3, yubicaelnúmero1demodoqueladistanciaentreésteyel0seadiferenteala quehayentreellosenlafigura1.2.3. para saber dónde están los puestos de hidratación? b)¿Y en cuántas hubo que dividirla para localizar las cámaras? 28 28 g. pá SFUMA1SB_B1.indd 28 Fig. 1.2.4. 24/02/12 13:37 SFUMA1SB_B1.indd 29 Analiza Página 28 1. a)En 2. La carrera Página 29 1. Sugerencia didáctica. Si se presentan, las ideas erróneas 1 y 2 se pueden discutir. b) Karina. a) Diana. 2. Posición 2. b) En 5. Distancia (km) Con decimales o fracción Con fracción de denominador 100 21 4 525 100 51 10 510 100 57 10 570 100 501 100 501 100 113 20 565 100 533 100 533 100 Planeación Fecha Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 17 24/02/12 13:37 c)Se puede repetir el procedimiento, ya que son segmentos de igual longitud y con extremos enteros. d)Basta con 20 pasos. e)A Nancy, a Diana y a Karina. f)Por ejemplo, para localizar a las demás corredoras hay que dividirlo en 100 partes iguales. g)Renata y Karina, corredoras que van en 2° y 1er lugar, respectivamente. 4 5 1 6 2 3 3.Las cámaras van en las siguientes posiciones: 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8 km; el puesto de hidratación debe estar a la mitad del segmento que va de 0 a 1 km. Pida que observen que, aunque no se pidió ubicarla, también hay una cámara en el kilómetro 1. 4.Las cámaras van en las siguientes posiciones: 5.2, 5.4, 5.6 y 5.8 km; el puesto de hidratación debe estar a la mitad del segmento que va de los 5 a los 6 km. Aunque no se pidió ubicarlas, también hay cámaras en los kilómetros 5 y 6. 29 g. pá 29 Situación inicial Material Fig. 1.2.3. 1 07/05/12 17:03 18 Bloque 1 / LECCIÓN 2 Solucionario y sugerencias didácticas Bloque Lección 1 2 Entre dos números 1 3 ¿Dequédependelaposiciónquetienenel 2 yel2enlafigura1.2.3yenla figura1.2.4? 1 Enparejas,haganyrespondanlosiguiente. a) Ubiquenlasfracciones 2 y 5 enlarecta. 3 4 Ubicalosnúmeros 8 y 5 enlasrectasdelasfiguras1.2.3y1.2.4.Enparejas, 3 4 comentenquédiferenciasobservanentrelasposicionesdeestosnúmerosde unarectaaotra. 7 Fig. 1.2.9. 0 1 b) ¿Quéfraccionescondenominador21sonequivalentesalasanteriores? 5 Conbaseenlasrectasanteriores,discutanengrupodequédependelaposición c) Observenlosnumeradoresdelasfraccionesanterioresyverifiquenquehayan decualquiernúmeroenlarectayescribansusconclusiones. ubicadocorrectamente 2 y 5 enlafigura1.2.9.Expliquencómolohicieron. 3 7 Fracciones y decimales en la recta d) Considerenlasfraccionesqueobtuvieronenelincisobyexpliquenporquéen 1 1 Enlalecciónanteriorvisteque 10 =0.1.Launidaddelasiguienterectaestá divididaen10partesiguales.Señalasusvaloresennúmerosdecimales. esecasonoesposibleencontrarunafracciónentreellascondenominador21. 0 Fig. 1.2.5. e) ¿Quéfraccionescondenominador42sonequivalentesalasiniciales,esdecir, 1 a 2 y 5 ? 2 Explicacómoubicaríasenlarectaanteriorelnúmero0.25ymárcaloenella. 3 7 f) Considerenlasfraccionesqueobtuvieronenelincisoanterioryobtengan unaintermediaaellascondenominador42. 3 Enlasiguienterectaubicael0.11. Fig. 1.2.6. 0 2 Engrupo,discutansisiempreesposibleencontrarotrafracciónentrecualquier pardefraccionesyporqué. 0.1 3 Señalaenlarectanuméricaelnúmero0.218. 0.2 4 Explicaentucuadernoquéharíasparaubicarel0.112enlarectaanterior. 0.21 0.22 4 Señalaunnúmeroenlarectaanteriorqueestéentreel0.21yel0.218. 5 Engrupo,verifiquensusrespuestasdelosejercicios1a4usandofracciones decimales. Fig. 1.2.10. 5 ¿Siempreesposibleencontrarotronúmeroentrecualquierpardenúmeros 6 Enparejas,ubiquenencadarectalosnúmerosqueseindican. decimales?¿Porqué? 1 a) 2 y3.2. Fig. 1.2.7. 0 Reflexiona 4 5 b) 3 ,1.4,2y3. 1. En equipos de tres, respondan lo siguiente. a) Además de usar la recta numérica, ¿de qué otra manera pueden comparar fraccio- Fig. 1.2.8. 0 4 nes o números decimales? 7 Revisensusrespuestasdelejercicioanteriorengrupoydiscutanquépasos realizaronparalocalizarcadapunto. 30 SFUMA1SB_B1.indd 30 31 g. pá 30 g. pá 31 06/03/12 11:19 3.Un método es dividir el segmento de recta en 100 partes iguales. Sugerencia didáctica. Se puede preguntar al alumno por qué algunas veces es más práctico ubicar un número decimal a partir de su equivalente en fracción. Por ejemplo, para localizar el número 5.25 se tiene que dividir el segmento entre 5 y 6 en 100 partes iguales, pero, si se toma en cuenta su equivalente en fracción (21) y se expresa como fracción propia (5 1 ), 4 4 sólo hay que dividir el mismo segmento en cuatro partes iguales. Una manera de obtener mayor precisión en la localización de números de varias cifras decimales es aumentar la escala de la recta. Explora y construye Página 30 SFUMA1SB_B1.indd 31 24/02/12 13:37 Sugerencia didáctica. Se pueden plantear otras situaciones en las que la posición de dos números esté definida, y pedirle al alumno que localice otras cantidades. Fracciones y decimales en la recta 1. De izquierda a derecha: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9. 2.Dividiendo a la mitad el segmento entre 0.2 y 0.3; el número 0.25 es el punto medio. 4.Se puede dividir el segmento entre 0.11 y 0.12 en 10 partes iguales y marcar la segunda división. 5. Sugerencia didáctica. Se le pueden plantear al alumno otras situaciones en las que, para ubicar números decimales en la recta, sea más fácil considerar sus equivalentes en fracciones. 7. Por ejemplo, se pudo iniciar dividiendo el segmento en cuatro partes iguales para obtener la unidad y después hacer más divisiones, como en los ejercicios anteriores. El cero y la unidad en la recta 3. Depende de la medida de la unidad, es decir, de la distancia entre el 0 y el 1 y de la posición del 0. Sugerencia didáctica. Se puede discutir, si es que se presenta, la idea errónea 3, preguntándole a los alumnos cuál es el error si, una vez definida la posición de dos números, la ubicación de un tercero se determina de manera aleatoria. 4.Que el lugar en el que se ubican es diferente en ambas rectas, pues depende de la unidad establecida. 5.La posición de cualquier número en la recta depende tanto de la posición del 0 como de la distancia entre el 0 y el 1. SFUMA1TG_B1.indd 18 Página 31 1. b) 14 21 y 15 21 , respectivamente. c)Se puede dividir el segmento de 0 a 1 en 21 partes y situar las dos fracciones donde correspondan; éstas deben coincidir con las fracciones originales ( 2 y 5 ). 3 7 d)Porque los numeradores son 14 y 15, y no hay ningún número entero entre ellos. e) 28 42 y 30 , 42 respectivamente. f) 29 42 2.Sugerencia didáctica. En caso de aparecer, se puede discutir la idea errónea 4. Si el alumno no responde 07/05/12 17:03 19 Bloque 1 / LECCIÓN 2 Bloque Lección 1 2 2 Deacuerdoconlarectanuméricadelafigura1.2.11,¿cuálessonlospuntosen losqueseencuentranFernanda,ElisayDiana,representadasconlasletrasF,E yDrespectivamente? b)En su cuaderno, intenten ubicar el número 2.3 en la recta. 2. En grupo, respondan las siguientes preguntas. a) ¿Cuándo convendría usar la recta para comparar números? • F. •E. •D. 3 Enequiposdecuatro,comparensusrespuestasydiscútanlassihaydiferencias. b)¿Cuál es la dificultad para ubicar el número 2.3 en la recta? 4 Engrupo, comentensielmétodousadoesprácticoparalocalizarelnúmero 21.7428647ydiscutancuándoesútilelcambiodeescalaenlarectanumérica. Escribansusconclusionesacontinuación. Regresa y revisa Regresa y revisa Enlacarreradelproblemainicial,a1horay20mindelcomienzolastrescorredoras punterashanrecorridolassiguientesdistancias. Cuadro 1.2.3. Corredora Distancia (km) Ana 21.748 Karina 21.746 Patricia 21.745 Resuelve y practica Toma nota 1. Explica por qué en la recta el número 0.25 se encuentra en el mismo 7 punto que 28 . 1 Ubicaenlarectalaposicióndecadacorredora.Paraello,usalasrectasnuméricasdelafigura1.2.11,lascualesrepresentan: • • • 2. Inventa una situación problemática cuya solución se obtenga al comparar 3 y 0.92 en la recta y pídele a un compañero que la resuelva. Localiza recta numérica en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras una explicación y un ejemplo del término. 15 Ladistanciaentreelkilómetro21yel22. Laampliacióncorrespondientealadistanciadelos21.7kmalos21.8km. Laampliacióndeladistanciadelos21.74kmalos21.75km. (LasletrasF,EyDlasutilizarásmásadelante.) 3. Encuentra tres números entre cada una de las siguientes parejas. 8 a) 0.5 y 4 . 21 1 6 b) 4 y 9 . 22 c) 0.12 y 0.76. 5 6 d) 11 y 11 . 4. A partir de la ubicación de los números 0.5 y 0.7 en la recta de la figura 1.2.12, determina la posición de las siguientes letras. 21.7 F 21.8 •W. •X. • Y. • Z. W X 0.5 0.7 Y Z Fig. 1.2.12. 5. En tu cuaderno, traza una recta numérica y las ampliaciones necesarias para localizar los números 5.65, 7.13 y 10.87. Fig. 1.2.11. 32 21.74 E D 21.75 33 g. á p 32 g. á p SFUMA1SB_B1.indd 32 33 24/02/12 13:37 cómo puede encontrar una fracción entre cualquier par de fracciones, se le puede pedir que encuentre más entre 28 y 30 . Para esto, pregunte por las frac42 42 ciones equivalentes con denominador mayor a 42 de esas dos fracciones. 5.Sí; por ejemplo, se puede sumar los dos números y dividir el total entre 2 para encontrar otro que se encuentre a la mitad de ellos. SFUMA1SB_B1.indd 33 Sugerencia didáctica. Como en la lección anterior, es importante comentar que hay procedimientos para obtener de manera exacta la fracción correspondiente a un número decimal periódico, pero requieren conocimientos de niveles académicos posteriores. Regresa y revisa Página 33 Reflexiona 1. a)Un método es el sugerido en el ejercicio 1 de la página 31. Para comparar los numeradores hay que modificar las fracciones de modo que tengan el mismo denominador. En el caso de los decimales, se pueden comparar dígito a dígito, de izquierda a derecha, hasta encontrar cuál es mayor. Página 32 2.a)Cuando el número sea un decimal finito, o cuando ubicarlo no requiera una división de la recta en muchas partes. b)No sirve dividir el segmento comprendido entre los números 2 y 3 en una cantidad finita de partes. Al pasar 2.3 a su forma de fracción sólo se obtiene una aproximación, pues hay que redondearlo o truncarlo. 2.• 21.73 • 21.741 • 21.743 4.Se necesita un cambio de la escala cada vez que se considere un dígito más a la derecha del punto; por lo tanto, implica muchas rectas a escala. Resuelva y practica 1. 0.25 es equivalente a 2.R. L. 3.a)Ejemplos: 3 , 1, 5 , c) Ejemplos: 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6. d) Ejemplos: 51 , 52 ,…, 58 , 59 . 110 110 110 110 4.• 0 • 0.8 • 0.3 •1 Planeación Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 19 7 . 28 6 7 , . 4 4 4 4 10 11 12 , ,…, 22 , 23 . b) Ejemplos: , 36 36 36 36 36 Fecha Material 24/02/12 13:37 07/05/12 17:03 20 Bloque 1 / LECCIÓN 3 L3 Suma y resta de fracciones Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 1 del bloque 5: resolver problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Situación inicial (pág. 34) En primaria, los alumnos aprendieron a efectuar sumas y restas sencillas de números fraccionarios, por lo que con esta situación inicial se busca que se den cuenta de que, para hallar la solución a ciertos problemas, a veces es necesario hacer más de una conversión para obtener el mismo denominador y así poder efectuar la operación. Conceptos principales: suma y resta de fracciones. Materiales: calculadora. Antecedentes • Fracciones equivalentes • Cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con números fraccionarios • Resolución de problemas de suma o resta de fracciones con denominadores diferentes • Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios Ideas erróneas 1. En una suma o resta de fracciones, algunos alumnos pueden sumar o restar por una parte los valores del numerador y por otra los del denominador para obtener los valores de cada elemento. 2. Algunos alumnos pueden pensar que si dos fracciones son iguales, la parte del total que representan es igual aunque los totales sean diferentes; por ejemplo, que 31 de 10 sea igual a 31 de 20. SFUMA1TG_B1.indd 20 Explora y construye (págs. 34-37) La intención de las actividades de esta sección es que el alumno logre plantear ciertos problemas y realice las conversiones necesarias para hacer las sumas y restas que conduzcan a la solución. Algunas veces, antes de hacer el planteamiento, se le pedirá hacer estimaciones mentales. El alumno también inventará algunos problemas que impliquen sumas y restas de números fraccionarios. Con todo lo anterior se busca que haga una correcta interpretación del significado de las fracciones en los problemas. Regresa y revisa (pág. 37) En esta sección se busca que el alumno sepa interpretar que el valor que representa una fracción depende del valor del total. 07/05/12 17:03 21 Bloque 1 / LECCIÓN 3 Solucionario y sugerencias didácticas Bloque Lección 1 3 3. Suma y resta de fracciones Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Situación inicial todasdelmismotamaño.Cincopersonascomieron,cadauna,unarebanada depasteldefresayotradedurazno,ycuatropersonassólocomieronuna rebanadadepasteldefresacadauna. Usandosólofraccionesrespondanlosiguienteensucuaderno. • ¿Quépartedelpasteldedospisosrepresentantodaslasrebanadasde pasteldefresaquesobraron? • ¿Quépartedelpasteldedospisosrepresentantodaslasrebanadasde pasteldeduraznoquesobraron? • Escribanunasumadefraccionesquepermitadeterminarquépartedel pastelsobró.Después,realicenlasuma. • Apartirdelnúmerototalderebanadasqueseconsumieron,escribanuna restadefraccionesquepermitadeterminarquépartedelpastelsobró, yverifiquenquehayanobtenidoelmismoresultadodelpuntoanterior. Situación inicial Consumo de agua EncasadeRosarioalmacenanelaguaenuntinaco,elcualsellenaaliniciodecada díaydespuésnovuelvearecibiragua.Ellíquidoseusadiariamentedeestamanera: lamitaddelacapacidaddeltinacoenelbaño,unacuartapartedesucapacidaden lavarlaropayunaoctavapartedesucapacidadenlacocina.¿Quépartedeltinaco quedaalfinaldecadadía? c) Jorgelepidióprestadaasutíosucamionetaparaentregarmercancía. Cuandoempezóausarelvehículo,eltanquetenía 43 desucapacidadde gasolina.Luegodeunrecorrido,Jorgenotóquehabíagastado 61 delaca3 de pacidadtotaldeltanque.Siduranteelrestodeldíaseconsumieron 10 lacapacidadtotaldeltanque: Analiza 1. En parejas, respondan lo siguiente. a) Si un día no se lava ropa, ¿qué parte del tinaco sobraría? • Calculenquéfraccióndelacapacidadtotaldeltanquegastó b)Si un día no se usa agua en la cocina, ¿qué parte del tinaco sobraría? Jorgeesedía. 2. Resuelvan el problema inicial y justifiquen su respuesta. • Calculenquéfraccióndelacapacidadtotaldeltanquequedó despuésdelrecorrido. Explora y construye Explora y construye d) Enunabalanzadedosplatossecolocaunobjetodepesodesconocidoenelderechoyunacargaformadaporvariaspesascon untotalde5kgenelplatoizquierdo.Perolabalanzanoqueda equilibrada;paralograrlo,selequitanalplatoizquierdodospesas de 31 kgyunade 81 kgyseleagregandospesasde 21 kgyunade 1 kg.¿Cuántoskilogramospesalacargadelplatoderecho? 4 Acopio, reparto, carga, equilibrio… 1 Enparejas, resuelvanlossiguientesproblemas. a) Enunaescuelaserealizaunarecoleccióndeperiódicosviejosparavenderlos ydonarloqueseobtengaalaCruzRoja.Elprimerdía,unequipodecuatro 6 kg, 1 kgy 2 kg. alumnosllevólassiguientescantidadesdepapel: 37 kg 10 2 3 • Para encontrar más problemas de fracciones, consulta Claude Irwin Palmer et al. (2003). Matemáticas prácticas. Barcelona. Reverté. Cadaunoestimementalmentelasumadelascantidadesanterioresy, apartirdeello,digacuántofaltaparacompletarunnúmeroenterode 1 4 1 8 kilogramos. • Busca en... el siguiente libro información sobre la resolución de problemas con fracciones en el antiguo Egipto: Miguel Ángel Pérez García (2009). Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes. Madrid. Visión Libros. 1 3 Haganloscálculosnecesariosparaobtenereltotaldelperiódicojuntado 1 3 1 2 ? 1 2 ycuántofaltaparaformarpaquetesde1kgdepapelcadauno.Expresen Fig. 1.3.1. surespuestacomofracción. • 2 Engrupo,haganlosiguiente. a) Redactendosproblemascuyaresoluciónimpliqueoperacionesde sumayrestadefracciones.Antesdehacerloscálculosrespectivosestimenmentalmentelosresultadosydespuésresuelvanlos problemas. b) Discutancuáleslautilidaddeestimarresultadosmentalmente. c) Analicenquéotroproblemaoproblemasdelejercicioanteriorpodríanhaberseresueltomedianteestimaciónyexpliquenporqué. Expliquencómodeterminaroncuáleslacantidadquefaltaparaformar unnúmeroenterodepaquetes. • Usenlacalculadoraparacomprobarsusresultados. b) Enungrupodeprimerodesecundariatresalumnasfestejaronsucumpleaños.Para,ellosuscompañeroscompraronunpasteldedospisosdelmismo tamaño:unodefresayotrodedurazno.Secortaron10rebanadasporpiso, 34 g. pá 34 SFUMA1SB_B1.indd 34 Consumo de agua / Analiza 3 8 b) SFUMA1SB_B1.indd 35 1 4 2.Queda una octava parte del total de la capacidad del tinaco pues 1 – 21 – 41 – 81 = 81 . Sugerencia didáctica. El problema implica tres restas; es necesario verificar que en cada caso se haga correctamente la conversión necesaria para obtener el mismo denominador, y así restar las fracciones. Es posible que algún alumno convierta todos los números para tener el mismo denominador. Si la idea errónea 1 aparece, se puede discutir. Explora y construye Página 34 Acopio, reparto, carga, equilibrio… 1. a)• Es muy probable que respondan que es difícil hacerlo mentalmente. Página 35 3 20 5 = 1 • 20 4 1 5 = 6 = 3 • 20 + 20 20 10 14 = 6 = 3 • 1 – 20 20 10 1 3 7 14 c) • 6 + 10 = 30 = 15 7 = 17 • 43 – 15 60 1 1 d) 5 – 3 – 3 – 81 + 21 + 21 + 41 = b)• Planeación Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 21 11 kg 5 24 2.a)R. L. b)Sirve cuando no se requiere una respuesta exacta para resolver un aspecto de una situación; por ejemplo, para saber si una cantidad fue menor o mayor a otra especificada. Fecha Material 24/02/12 13:37 41 kg. Faltan 169 para hacer paque • Se juntaron 2 210 210 tes de 1 kg. • A una unidad, en este caso 1 kg, se le resta la cantidad fraccionaria del total recolectado. Página 34 1. a) 35 24/02/12 13:37 Situación inicial 35 g. pá 07/05/12 17:03 22 Bloque 1 / LECCIÓN 3 Bloque Lección 1 3 d) Comentenloquehicieronpararesolverlosproblemas.Identifiquencuándo usaronrestasdefraccionesycuándosumasdefracciones,yporquéfueasí. 5 Cadaquienplanteeunproblemaconlaoperaciónqueeligió. 6 Expliquenelplanteamientoasuscompañerosdeequipo. 3 Enequiposdetres,resuelvanelsiguienteproblema. Alejandrahizounlibrerodemaderaylesobróunatabla.SuamigoIsaíaslepidió laquintapartedelatablaparaterminardeconstruirunamesa;Terequisodos quintaspartesdelatablaparaunarepisayRodolfo,unaquintapartedelatabla parahacerunjoyeroparasuesposa. 7 Elijanjuntosunodelosproblemas,resuélvanloyexplíquenloalgrupo. Reflexiona b) ¿QuépartedelatablalequedabaantesdedarlelaquintaparteaRodolfo? 1. José leyó que hay un límite de dobleces de una hoja de papel sobre sí misma. Toma cualquier hoja de papel y dóblala sobre sí misma el mayor número de veces que puedas y después responde lo siguiente. c) ¿Quépartedelatablalequedó? a) ¿Qué fracción de la hoja de papel representa el tercer doblez? a) ¿QuépartedelatablaentotalregalóAlejandra? 4 Engrupo,considerenquelalongituddelatabladeAlejandraerade3metrosy respondanlosiguienteensucuaderno. a) ComoIsaíasrecibió 51 detabla,entonceslalongituddesupedazoesde 3 metros.Expresenconfraccionesdemetrolaslongitudesdelospedazos 5 deTereyRodolfo. b) ExpliquencómoobtendríanlalongituddelpedazoquelequedóaAlejandra enfraccionesdemetro. b)¿Y el cuarto doblez? c) Si sumamos las fracciones que resultan en los primeros cuatro dobleces de la hoja, ¿el resultado será mayor o menor que la unidad? Explica tu respuesta. d)Verifica tu respuesta al inciso anterior efectuando la suma de las fracciones. Invención de problemas Regresa y revisa 1 En equiposyconbaseenlasimágenessiguientes,respondanlaspreguntas. Regresa y revisa 1 Enparejas,leanlasituacióninicialyelsiguienteplanteamiento.Después,respondan. I Fig. 1.3.2. II EltinacodelacasadeRosariotieneunacapacidadde1200L.Losvecinostienenuntinacode2000Ldecapacidadquetambiénsellenaaliniciodeldíay despuésnovuelvearecibiragua;ellosempleanelaguadeltinacocadadíadela siguienteforma:lamitaddelacapacidaddeltinacoenelbaño,unacuartaparte desucapacidadenlavarlaropayunaoctavapartedesucapacidadenlacocina. a) Observenlafigura1.3.3,lacualrepresentaalosdostinacos,ydibujenqué partedelacapacidaddecadaunodelostinacosseocupóparaelbaño,cuál paralavarropaycuálparalacocina. III a) ¿Quéfraccióndelcírculorepresentasuáreasombreada? • I. • II. • III. b) ¿Quéfraccióndecadacírculonoestásombreada? • I. • II. • III. b) ¿Quéfraccióndelacapacidaddeltinacode 2 Cadaintegrantedelequipoelijauncírculodelafigura1.3.2,planteeunproblema apartirdeélyexpliquesuplanteamientoasuscompañeros. quédifierenelconsumodeaguadelafamilia b) 87 – 37 + 71 c) 87 – 41 + 23 d) 45 – 35 – 81 e) 57 – 61 – 23 f) 25 + 57 + 51 Nivel de 1 200 L deRosarioyeldelosvecinos 4 Enequiposdetres,cadaunoelijaunadelassiguientesoperaciones. a) 4 21 + 31 – 45 Nivel de 2 000 L losvecinosquedaalfinaldeldía? 2 Engrupo,respondanenquéseparecenyen 3 Elijanunodelosproblemasqueplantearonenelejercicio2,resuélvanloyexplíquenloalgrupo. Vecinos Rosario 36 g. á p 36 SFUMA1SB_B1.indd 36 Página 36 4 5 6 a) 5 4. metros y b) 3 5 2 5 c) 1 5 metros, respectivamente. b)Ejemplo: le queda 51 de la tabla, lo mismo que le dio a Isaías, así que es la misma longitud, es decir, 3 metros. 5 Sugerencia didáctica. Se le puede preguntar al alumno qué sucedería si la longitud de la tabla fuera, por ejemplo, de 4, 5, o 6 metros. Si surge la idea errónea 2, discútanla. Invención de problemas a) • I. 21 • II. 41 • III. b) • I. 21 • II. 43 • III. 1 8 7 8 2.Por ejemplo, para el círculo I: Juan compró una gelatina circular para celebrar su cumpleaños en la escuela. Si al final del día se consumió el área sombreada, ¿qué parte de la gelatina sobró? 3.Solución del problema anterior: sobró la mitad. 37 g. á p 37 24/02/12 13:37 c)Depende de cada alumno, aunque en general es necesario escribir los cálculos para esos problemas. 3.a) Fig. 1.3.3. SFUMA1SB_B1.indd 37 24/02/12 13:37 Página 37 5.Por ejemplo, Roberto tiene que llenar un contenedor de 5 litros de agua. Primero agregó 4 21 litros, después 1 4 3 de litro. Si retiró 5 de litro de lo que había en el contenedor, ¿cuántos litros hacen falta para llenarlo por completo? 29 de litro. 7. Respuesta del ejemplo anterior: le faltan 30 Reflexiona 1 8 1 b) 16 1. a) c)Menor, pues siempre falta la mitad del valor representado en cada doblez para completar la unidad. 1 15 d) 21 + 41 + 81 + 16 = 16 Regresa y revisa Página 37 1. b) 81 2.Se parecen en que las fracciones de consumo del volumen total de los tinacos son las mismas en ambos casos. Difieren porque los tinacos no tienen la misma capacidad. Sugerencia didáctica. Si aparece aquí la idea errónea 2, se puede discutir. SFUMA1TG_B1.indd 22 07/05/12 17:03 Bloque 1 / LECCIÓN 4 L4 Sucesiones Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Se espera que al terminar esta secuencia los alumnos representen sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada, y viceversa. Conceptos principales: sucesiones, elemento de una sucesión, consecutivo en una sucesión, progresión aritmética, progresión geométrica. Materiales: para cada equipo de cuatro, aproximadamente medio kilogramo de frijoles o algún otro tipo de semilla; calculadora. Antecedentes • Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones de números o figuras que tengan progresión aritmética o geométrica, así como sucesiones especiales • Construcción de sucesiones a partir de la regularidad • Resolución de problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones con progresión aritmética, geométrica o especial Ideas erróneas 1. Algunos alumnos pueden confundir las sucesiones con progresión geométrica con las sucesiones especiales, por ejemplo, la sucesión 1, 4, 9, 16, 25,…, que se forma al elevar al cuadrado los números naturales, tiene un cociente diferente entre cada par de términos sucesivos. SFUMA1TG_B1.indd 23 23 Situación inicial (pág. 38) Se propone una actividad en la que los alumnos usarán como ejemplo una sucesión sencilla de figuras para hacer sus propias sucesiones con semillas. Mediante preguntas se analizará la sucesión dada para tener una aproximación de la regularidad con la que está formada. Explora y construye (págs. 39-44) A lo largo de varias actividades, el alumno repasará las similitudes y diferencias entre las sucesiones, de figuras y de números, con progresión aritmética y progresión geométrica. Se le pedirá que analice cómo se relacionan los términos de una sucesión y que obtenga, a partir de esa relación y en lenguaje común, la regla que define la sucesión. También construirá sucesiones a partir de una regla dada en lenguaje común. Regresa y revisa (pág. 44) El objetivo de esta actividad, en la que se presenta una sucesión de figuras que no tiene progresión aritmética ni geométrica, es que el alumno determine la regla que define la sucesión, y sea capaz de encontrar un término específico. 07/05/12 17:03 24 Bloque 1 / LECCIÓN 4 Solucionario y sugerencias didácticas Bloque Lección 1 4 4. Sucesiones Explora y construye Sucesiones de figuras Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Situación inicial Explora y construye 1 Dibujaloselementosquefaltanencadaunadelassiguientessucesiones. Situación inicial Con semillas II I Enequiposdecuatro,realicenlosiguiente. 1 Llevenaclaseaproximadamentemediokilogramodefrijolesodealgúnotro tipodesemilla. 2 Observenelsiguienteejemplodeunasucesióncuyoselementossonfiguras. III Fig. 1.4.2. 2 Utilizalassemillasparareproducirlassucesionesyconstruyelasfigurascorrespondientesaloslugares5ºy6ºdecadasucesión. Fig. 1.4.1. 3 Enparejas,respondanIosiguientesobrelasucesiónI. 3 Divídanseendosparejasycadaunapropongacómoconstruirunanuevasucesióncuyoselementosseanfiguras. a) ¿Cómoseconstruyeelsegundoelementodelasucesión? 4 Construyanlasprimerascuatrofigurasdelasucesiónqueplanteólaotrapareja. b) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles 5 Asegúrensedequelasconstruccionesquerealicelaotraparejaseancorrectas. Sinoloson,repítanleslaexplicaciónparaquelasrehagan. quetienelafiladesubase? c) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles quesenecesitanparasuconstrucción? Analiza a) ¿Qué entiendes por sucesión? d) ¿Cómoyconcuántosfrijolesconstruistelasextafiguradelasucesión? b)Describe el primer elemento de la sucesión de la figura 1.4.1. 4 Engrupo,expliquencómoconstruirunafiguradelasucesiónIapartirdela figuraquelaantecede. c) ¿Cómo se construye el segundo elemento de la figura 1.4.1? 5 Enparejas,respondanlosiguientesobrelasucesiónII. a) ¿Cómoseconstruyeelcuartoelementodelasucesión? d)¿Cuántas semillas más tiene el segundo elemento respecto al primero? e) ¿Cuántas semillas más tiene el tercer elemento respecto al segundo? b) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles f) Señala la regularidad que hay en el aumento del número de semillas en esa sucesión. quetienelafiladesubase? c) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafiguraysunúmerodefilas 38 SFUMA1SB_B1.indd 38 38 g. pá 24/02/12 13:37 Situación inicial Página 38 Con semillas 3 a 5.Sugerencia didáctica. Hay que verificar que las construcciones hechas por los alumnos sigan una regla. De no ser así, se les puede orientar con preguntas que guíen el análisis de la diferencia o el cociente entre cada par de términos consecutivos de la sucesión. Analiza 1. a) Una posible respuesta es: una sucesión es una colección de números o figuras que se forma a partir de una regla dada. b)Un frijol solo (o semilla). c)Se agregan dos frijoles más (o semillas) a la derecha del frijol inicial, formados en línea vertical. d)2 e)2 f) En cada paso se agregan 2 frijoles. Explora y construye Página 39 Sucesiones de figuras 3.a)Se coloca una columna de 2 frijoles a la izquierda del frijol inicial. b)El número de frijoles que hay en la base y el lugar que ocupa son iguales. c)Es la suma de los números desde 1 hasta el lugar que ocupa la figura. SFUMA1TG_B1.indd 24 horizontales? 39 g. pá 39 SFUMA1SB_B1.indd 39 24/02/12 13:37 d)Con 21 frijoles. Se coloca un frijol, después se agrega una columna de 2 a la izquierda del primero; luego una de 3 a la izquierda de los anteriores, y así sucesivamente hasta agregar una columna de 6 frijoles. 4.Se puede emplear el procedimiento anterior. 5.a) Se colocan 8 frijoles en dos columnas juntas, de 4 frijoles cada una. b)La fila de la base siempre tiene dos frijoles, así que no hay relación. c)El número de filas de frijoles y el lugar que ocupa son iguales. Página 40 d)El número de frijoles necesarios es el doble del lugar que ocupa la figura. e)Con 12 frijoles. Se colocan dos frijoles en una fila, después se agregan arriba filas de 2 frijoles, y así sucesivamente hasta obtener 6 filas. 6.Se puede emplear el procedimiento anterior. 7. a) 5 b)3 c)En el primer lugar es igual. En el segundo es igual al lugar que ocupa más 1. En el tercero es igual al lugar que ocupa más 2, y así sucesivamente. d)El número de frijoles necesarios es el lugar que ocupa la figura multiplicado por sí mismo. e)Con 25 frijoles. Se coloca un frijol, después una fila de tres frijoles debajo, dejando el frijol inicial en el centro; después se coloca otra fila debajo, dejando la fila de 3 frijoles en el centro, y así sucesivamente. 07/05/12 17:03 25 Bloque 1 / LECCIÓN 4 Lección Bloque 1 4 d) ¿Quérelaciónhayentreelnúmerodefrijolesquesenecesitanparaconstruir f) Elnúmero248seencuentraenellugar124delasucesión.¿Quénúmerose unafiguradeestasucesiónyellugarqueocupa? encuentraenellugar125?Justifiquensurespuesta. e) ¿Cómoyconcuántosfrijolesseconstruyelasextafiguradelasucesión? En una sucesión, el elemento que le sigue a otro es el consecutivo de ese elemento. g) ¿Quédiferenciahayentredoselementosconsecutivoscualesquieradela 6 Engrupo,expliquencómoconstruircualquierfiguradelasucesiónII. sucesión? 7 Enparejas,respondanlosiguientesobrelasucesiónIII. 2 Engrupo,discutancuáleslareglaparaformarlasucesiónanterior. a) ¿Cuántosfrijolestienelafiladelabasedelafiguraqueseencuentraenel tercerlugardelasucesión? A las colecciones de números o figuras que están ordenados a partir de una regla se les llama sucesiones. b) ¿Cuántasfilashorizontalestieneesafigura? c) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles 3 Comparaladefiniciónanteriordesucesiónconlaquedisteenelincisoadela secciónAnaliza. quetieneenlafiladesubase? d) ¿Quérelaciónhayentreunafigurayelnúmerodefrijolesquesenecesitan 4 Enparejas,analicenlasiguientesucesión:6,10,14,18,22,…,yrespondanlas preguntas. parasuconstrucción? a) ¿Quénúmeroestáenellugar10delasucesión? e) ¿Cómoyconcuántosfrijolesseconstruyelaquintafiguradelasucesión? Busca en... www.edutics.mx/ ZoH actividades y ejercicios acerca de sucesiones. b) ¿Quénúmeroestáenellugar20delasucesión? c) ¿Perteneceelnúmero37alasucesiónanterior?Argumentensurespuesta. 8 En grupo,expliquencómoconstruirunafiguradelasucesiónIIIapartirdela figuraquelaantecede. d) ¿Quérelaciónhayentreunnúmerodelasucesiónyellugarqueocupaenla 9 Anotaencuáldelastressucesionesladiferenciaentrelacantidaddefrijolesdedos misma? e) ¿Quédiferenciahayentreunelementoysuconsecutivoenlasucesión? figurasconsecutivasessiemprelamisma. 10 Enparejas,diseñenunasucesióndefrijolesenlacuallacantidaddesemillas aumentesiemprelomismodefiguraafiguraydibújenlaensucuaderno. f) ¿Cómopuedenobtenerelnúmeroqueseencuentraeneldécimolugara 11 Engrupo,comparensussucesionesyexpliquensuconstrucción. partirdelnúmeroqueseencuentraenelnovenolugar? Sucesiones con progresión aritmética 5 Engrupo,haganlosiguiente. a) Discutancuáleslareglaparaformarlasucesióndelejercicioanterior. b) Proponganotrastressucesionesdondeladiferenciaentredoselementos consecutivossealamismaqueenlasucesióndelejercicioanterior,ydiscutan cuántassucesionesconesacaracterísticapodríanconstruir. 1 Enparejas,analicenlasiguientesucesióndenúmeros:2,4,6,8,10,12,…,yrespondanlaspreguntas. a) ¿Cuáleselprimerelementodelasucesión? b) ¿Quénúmerohayeneltercerlugardelasucesión? A las sucesiones que tienen una diferencia constante entre sus elementos consecutivos se les llama sucesionesconprogresiónaritmética. Por ejemplo, 4, 7, 10, 13, 16,… es una sucesión de esta clase, pues cada uno de sus elementos se obtiene al sumar 3 unidades al anterior. c) ¿Quénúmeroestáenladécimaposicióndelasucesión? d) ¿Quénúmeroestáenellugar50delasucesión? e) ¿Quérelaciónhayentreunnúmerodelasucesiónyellugarqueocupa? 40 40 g. á p SFUMA1SB_B1.indd 40 41 24/02/12 13:37 8.Se puede emplear el procedimiento anterior. 9.En la sucesión II. 10.Una sucesión con esas características es la que se da con la siguiente regla: primer paso, colocar un frijol; segundo paso, agregar una columna de 2 frijoles a la derecha del frijol inicial; tercer paso, agregar una columna de 2 frijoles a la figura del paso dos, y así sucesivamente. Sucesiones con progresión aritmética 1. a)2 b) 6 c)20 d) 100 e)El número de la sucesión es el doble del lugar que ocupa. Página 41 f) 250, ya que es el doble de 125, es decir, del lugar que ocupa. g)2 2. La sucesión se puede generar sumándole 2 al término anterior, o multiplicando por 2 la posición que ocupa el número. SFUMA1SB_B1.indd 41 Página 42 6.a) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 b)No. Todos los números acaban en 5 o en 0. c)90 d)Un procedimiento es multiplicar 79 × 5. Planeación Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 25 24/02/12 13:37 3. Sugerencia didáctica. Es importante verificar que los alumnos comprendan que las sucesiones tienen una regla que define cómo obtener un término a partir de otro. 4.a) 42 b)82 c)No. Todos los números de la sucesión son pares. d)El número es igual al lugar que ocupa en la sucesión multiplicado por 4 más 2. e)El consecutivo es igual al anterior más 4. f) Se le suma 4 al noveno término. 5.a)Se empieza por el número 6. Luego se le suma 4 a cada paso. b)Algunos ejemplos son: 1, 5, 9, 13, 17,… 2, 6, 10, 14, 18,… 11, 15, 19, 23,… Fecha Material 41 g. á p 07/05/12 17:04 26 Bloque 1 / LECCIÓN 4 Bloque Bloque 1 1 6 Ahoraescribanlosprimeroscincotérminosdedossucesionesgeométricasdis- Usa tu calculadora tintascuyoprimertérminosea6. Oprime en una calculadora básica la secuencia de teclas . El número que apareció es el primer elemento de una sucesión cuyos elementos suce… sivos se obtienen al oprimir las teclas ¿Qué sucesiones se obtienen con las siguientes secuencias de teclas? … … = = = … Escribe una secuencia de teclas para obtener tu propia sucesión y compártela con un compañero. 7 Engrupo,escribanenelpizarrónalmenoscincosucesionesgeométricas.Un compañeropuededecireltérminoinicialyotro,ladiferenciaentrelostérminos consecutivos. Situación inicial Reflexiona 1. ¿ Tiene la sucesión 2, 4, 16, 256,… una progresión aritmética, una geométrica o ninguna de las dos? Justifica tu respuesta. 6 Enparejas,respondanlosiguiente. a) ¿Cuálessonlosprimeros10elementosdelasucesiónformadaporlosnúGlosario múltiplo de un número. Aquel que se obtiene al multiplicar ese número por un número natural (1, 2, 3, 4,…). Regresa y revisa merosquesonmúltiplosde5? b) ¿Esel19unnúmerodeesasucesión?Justificaturespuesta. 1 Analizalasucesiónyrespondelaspreguntas. c) ¿Quénúmeroseencuentraenellugar18delasucesión? d) Escribanensucuadernounprocedimientoparadeterminarquénúmeroocu- Fig. 1.4.3. paellugar79delasucesión. a) Describecómoseconstruyeestasucesión. Toma nota Localiza elemento de una sucesión en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras su explicación y un ejemplo. Puedes auxiliarte investigando en un libro. 7 Enparejas,escribanlosiguiente. a) Losprimeros10elementosdelasucesión4,6,8,…,lacualestáformadapor losnúmerosimparesmástresunidades. b) Losprimeros10elementosdelasucesiónformadaporlosnúmerospares múltiplosdelnúmero5. c) Ademásdel5,¿dequéotrosnúmerossonmúltiplosloselementosdeesta sucesión? b) Escribelosprimeros10elementosdeunasucesiónformadaporlacantidad defrijolesqueutilizasenlaconstruccióndecadafigura. c) ¿Tieneprogresiónaritméticalasucesiónqueescribiste? Explora y construye d) ¿Tieneprogresióngeométrica? e) ¿Cómodeterminascadaelementodelasucesión? 8 Engrupo,escribanlosprimeros10elementosdelasucesiónformadaporlos f) ¿Quénúmeroseencuentraenellugar15delasucesióndenúmerosque múltiplosimparesde5,más3unidades. escribiste? g) Describeelprocedimientoqueutilizasteparaencontrarelnúmero. Sucesiones con progresión geométrica 1 Enparejas,analicenlassiguientessucesionesnuméricas,comparensuscomportamientosyrespondanlaspreguntas. • 2,4,6,8,10,…•2,4,8,16,32,… a) ¿Cuálocuálesdeestassucesionestienenprogresiónaritmética?Argumenten surespuesta. 42 SFUMA1SB_B1.indd 42 Resuelve y practica 1. Determina si las sucesiones 3, 6, 9,... y 6, 18, 54,... tienen una progresión aritmética o una geométrica y describe sus diferencias en tu cuaderno. 2. Construye los primeros quince elementos de la sucesión formada por los múltiplos 42 g. á p 24/02/12 13:37 pares de 3. 44 SFUMA1SB_B1.indd 44 7. a)4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 b)10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 c)Son múltiplos tanto de 2 como de 10. 8.8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 Reflexiona Sucesiones con progresión geométrica Regresa y revisa 1. a)La primera, ya que la diferencia entre sus elementos consecutivos siempre es 2. Página 44 Página 43 b)En la primera la diferencia entre números consecutivos es constante, y en la segunda no. 2.a)Multiplicando el primero por 2. b)Multiplicando el segundo por 2. c)Multiplicando el tercero por 2. d)Todos los cocientes son 2. 3.Multiplicando el elemento anterior por el cociente entre dos términos consecutivos. 4.a)Tienen progresión geométrica. b)El cociente entre sus términos consecutivos es 3. c)Difieren término a término. 5.Por ejemplo: 5. 5, 15, 45, 135, 405,… 44 g. á p 24/02/12 13:37 1. No. Es una progresión especial, pues no cumple con las definiciones de los otros dos tipos de sucesiones. 1. a)Una manera es formar cuadrados con un número de semillas por lado igual al lugar que ocupen en la sucesión. b)1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 c) No. d)No. Sugerencia didáctica. Puede ser que aquí surja la idea errónea 1. De ser así se puede comentar y analizar que la diferencia o el cociente entre dos términos consecutivos no es constante. e)Por ejemplo, multiplicar el lugar que ocupa en la sucesión por sí mismo. f) 225 g)Por ejemplo, multiplicar 15 por 15. Resuelve y practica Página 44 6.Por ejemplo: 6, 12, 24, 48, 96; 6, 60, 600, 6 000, 60 000. 7. Por ejemplo: a)2, 4, 8, 16, 32,… b)3, 12, 48, 192,… c)4, 40, 400, 4 000,… d)5, 25, 125, 625,… e)10, 110, 1 210, 13 310,… SFUMA1TG_B1.indd 26 1. La primera tiene progresión aritmética, la segunda, geométrica. 2.6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90 07/05/12 17:04 Bloque 1 / LECCIÓN 5 L5 27 De letras y figuras Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 3 del bloque 3: resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales o decimales. Conceptos principales: fórmulas de perímetros y áreas de figuras geométricas, literal. Antecedentes • Construcción de las fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros • Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de un rectángulo • Construcción de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos Ideas erróneas 1. Es posible que algunos alumnos crean que en una fórmula sólo se pueden utilizar ciertas literales. En esta lección se mostrará que se puede utilizar cualquier literal para representar una dimensión; puede explicarse a los alumnos que algunas se usan por convención o costumbre. Situación inicial (pág. 45) La intención de esta actividad es que el alumno reflexione acerca de cómo obtener una expresión general con literales para calcular el perímetro de cualquier rectángulo. Explora y construye (págs. 45-50) Con las actividades de esta sección se busca que el alumno comprenda que se pueden plantear expresiones generales que representen el perímetro y el área de figuras geométricas (fórmulas) usando literales, las cuales pueden representar cualquier medida. El alumno describirá cómo calcular el perímetro de figuras a partir de un rectángulo que construirá. Después, analizará de qué manera se puede expresar el perímetro y el área de triángulos, cuadrados y rectángulos cuando se desconocen sus medidas. Finalmente, estudiará que las fórmulas dependen de las características de las figuras y no de sus medidas. Regresa y revisa (pág. 50) La intención de las actividades es que usando literales el alumno exprese el perímetro de las figuras que reprodujo en la actividad 2 (págs. 45-46) y sea capaz de calcular el perímetro de las figuras que hicieron otros compañeros. También se busca que, a partir de una figura dada, pueda conocer el perímetro y el área para diferentes valores expresados con literales. SFUMA1TG_B1.indd 27 07/05/12 17:04 28 Bloque 1 / LECCIÓN 5 Solucionario y sugerencias didácticas Lección 5 Bloque 1 5. De letras y figuras Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. Situación inicial III 67 cm La cenefa IV Fig. 1.5.2.b. Elviraquieredecorarconcenefadoradaelcontornodelmarcoquesemuestraenlafigura1.5.1. V 53 cm 1 Respondelosiguiente. a) ¿Cuántosmetrosdecenefanecesitaparael evisa Glosario perímetro. 1. Contorno de una figura geométrica. 2. Medida de ese contorno. marco? b) Sitieneotromarcode120cmpor60cm, ¿cuántosmetrosdecenefanecesitaparade- a) ¿Podríascalcularelperímetrodelasfigurasquetrazarontuscompañeros siguiendoelprocedimientoquepropones?Justificaturespuesta. Fig. 1.5.1. corarlo? 3 Escribeentucuadernounprocedimientoparadeterminarelperímetrodecada unadelasfigurasquetrazaste,sinmedirsusladosyconsiderandosólolasdimensionesdelrectánguloinicial. Analiza Expresiones generales a) ¿Habrá una expresión general que sirva para determinar los metros de cenefa nece- 1 Respondelosiguiente. a) SupónquelosladosnoparalelosdeunrectángulomidenLyA.Dibujaa continuacióndosrectángulosdiferentesymarcaconesasletrascadauno desuslados. sarios para decorar el contorno de cualquier marco? b)Si es así, ¿cuál es? Explora y construye A partir de un rectángulo 1 Trazaentucuadernounrectánguloquetengadelargoeldoblequedeancho, compáraloconeldetuscompañerosycontesta. a) ¿Cuántomidenellargoyelanchodeturectángulo? b) ¿Trazarontuscompañerosunrectánguloigualaltuyo? 2 Usaelrectánguloquetrazasteparareproducirentucuadernolasconstruccionesdelasfiguras1.5.2.ay1.5.2.b. b) ¿Cuálesseríansusperímetros? La expresión 2a significa “la suma de a más a” o “el producto de 2 por a”. La expresión ab significa “el producto de a por b”. c) ¿Turespuestaalincisobesequivalentealaexpresión2L+2A?¿Porqué? I II Fig. 1.5.2.a. 45 g. pá 45 SFUMA1SB_B1.indd 45 24/02/12 13:37 Situación inicial b) 3.6 m Analiza b)Sumar la longitud de todos sus lados. Explora y construye Página 45 A partir de rectángulos 1. b)Lo más probable es que se tracen diferentes rectángulos. Página 46 3. Por ejemplo, para obtener el perímetro de la figura I se puede sumar 4 veces la medida del largo, 4 veces la mitad del largo (2 veces la medida inicial) y 6 veces la del ancho, es decir, 6 largos + 6 anchos. Otra opción es hacerlo sólo en función del largo (un ancho mide medio largo): 4 largos más 4 mitades de largo (2 largos) más 6 anchos (3 largos), es decir, 9 largos. Se puede obtener el perímetro también en función de los anchos. a)Sí, porque los procedimientos no dependen de las medidas de los rectángulos sino sólo de la relación establecida entre el largo y el ancho. 1. b)L + L + A + A SFUMA1TG_B1.indd 28 24/02/12 13:37 Página 47 La cenefa Expresiones generales SFUMA1SB_B1.indd 46 46 g. pá c)Sí, pues L + L = 2L y A + A = 2A, así que L + L + A + A = 2L + 2A. Página 45 1. a)2.4 m 46 d)Sí, pues sólo se necesitan las medidas de los lados y el cálculo es el mismo. e)Cualquier valor. 3.a)Multiplicando la longitud de su largo por la de su ancho. b)L × A o LA 5.a)• 2k + 2m • km b)Por ejemplo, ab, xy, lt. 6.a) Iguales. b) a × a = a2 c)Sustituyendo la letra a por 5, es decir, 52. d)El área sería 32. e) El área sería 5002. 7. Se sustituye a por el valor de la longitud del lado del cuadrado, y se hace la multiplicación. Página 48 8.a) Una base y la altura correspondiente. Sugerencia didáctica. Se puede recordar al alumno que un triángulo tiene tres bases y tres alturas que se relacionan por parejas. Generalmente se toma como base el lado horizontal del triángulo. b)Por ejemplo, c puede representar la base y f, la altura. c)Por ejemplo: cf . 2 9.a)Por ejemplo: e puede representar la base y g, la altura. 2×5 2 b)Por ejemplo, eg 2 = 2 =5u . 2×5 = 5 u2. c)Por ejemplo, cf 2 = 2 07/05/12 17:04 29 Bloque 1 / LECCIÓN 5 Bloque Lección 1 5 8 Respondelosiguiente. a) ¿Quéelementosdeuntriángulonecesitasconocerparacalcularsuárea? b) Escogedelasiguientelistaunaliteralpararepresentarcadaunodeloselementosqueanotasteenelincisoanterior:c, d,e,f,g,w,y,z. 2 c) Escribeconlasliteraleselegidasunaexpresiónquetepermitacalcularelárea 2 decualquiertriángulo. , 2 2 2 ,,,,,, 9 Reúneteconuncompañeroyhazlosiguiente. Fig. 1.5.3.b. a) Pídelequeteexpliqueconcuálesletrasrepresentóloselementosdeltriángulo. b) Respondanlosiguienteacercadelprimerelementodelassucesiones. b) Ocupalaexpresiónqueescribióparacalculareláreadeuntriángulocuya • ¿Quépolígonoes? basemide2unidadesycuyaalturamide5unidades. • ¿Cómodeterminaronsuperímetro? c) Calculalamismaáreaperoconlaexpresiónquetúescribiste. • ¿Cuálseríaelperímetrodelaprimerafiguradelassucesionessisuslados 10 Engrupo,comentensielvalordeláreadeuntriánguloseveafectadaporlas literalesqueseocupanenlafórmulayescribansusconclusionesacontinuación. midierankunidadesdelongitud? c) Respondanlosiguienteacercadelsegundoelementodelassucesiones. • ¿Quépolígonoes? • ¿Cómodeterminaronsuperímetro? • ¿Cuáleseláreadeestospolígonos? Perímetros y sucesiones • ¿Cuálseríaelperímetrodelasegundafiguradelassucesionessisuslados 1 Enparejas, resuelvanlasiguientesecuencia. a) Escribanlosprimeros7elementosdelassucesionesformadasporlosperímetrosdecadaunodelospolígonosregularesdelasfiguras1.5.3.ay1.5.3.b. • ¿Cuálseríasuárea? midierankunidadesdelongitud? d) Respondanlosiguienteacercadeltercerelementodelassucesiones. • ¿Quépolígonoes? Busca en... la siguiente página una aplicación que te permitirá conocer el área de algunas figuras de forma interactiva: www.edutics.mx/ ZoV • ¿Cómodeterminaronsuperímetro? • ¿Cuálseríaelperímetrodelatercerafiguradelassucesionessiloslados 1 1 , 1 1 decadapolígonomidierankunidadesdelongitud? ,,,,,, e) Escribanlosprimerosdiezelementosdelasucesióncorrespondientealos perímetrosdelospolígonosregularescuyosladosmidenkunidades. 1 2 1 2 , 1 2 1 2 2 Apartirdesurespuestaanterior,expliquenengrupo cómosepuedenobtener lassucesionesdelejercicio1. ,,,,,, 48 g. á p Fig. 1.5.3.a. 48 SFUMA1SB_B1.indd 48 49 24/02/12 13:37 10.Una conclusión sería: el área no depende de las literales escogidas. SFUMA1SB_B1.indd 49 Reflexiona a)4t + 2w • 3, 2 2, 5, 2 3, 7, 2 4, c) 2t × 3w Regresa y revisa Página 50 • 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 b)• Un triángulo equilátero. • Una manera es sumar la medida de sus lados. También se puede multiplicar la longitud de uno de sus lados por tres. • 3k c)• Un cuadrado. • Una manera es sumar la medida de sus lados. También se puede multiplicar la longitud de uno de sus lados por cuatro. • 1, 41 y 4, respectivamente. • 4k • k2 d) • Un pentágono regular. • Una manera es sumar las medidas de sus lados. También se puede multiplicar la longitud de uno de sus lados por cinco. • 5k e)3k, 4k, 5k, 6k, 7k, 8k, 9k, 10k, 11k, 12k 2.Multiplicando el número de lados por la longitud de uno. 1. a) PI PII PIII PIV PV 6a + 6b 4a + 6b 2a + 12b 7a + 12b 12a + 2b b) Sí. Basta sustituir la a por la medida de los largos, y la b por la medida de los anchos de los rectángulos. Resuelve y practica 1. Perímetro (cm) Área (cm2) P=a+b+c 12 6.92 A = bh 2 41 30 168.8 972 Fórmulas 2. 2a + 2b o a + a + b + b Planeación Fecha Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 29 b) 2t + 6w 9 2 Página 49 Material 24/02/12 13:37 Página 50 Perímetros y sucesiones 1. a)• 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 49 g. á p 07/05/12 17:04 30 Bloque 1 / LECCIÓN 6 L6 Figuras de tres y cuatro lados Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye al aprendizaje que se espera que alcance el alumno en la lección 5 del bloque 2: resolver problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros. Conceptos principales: triángulos, cuadriláteros, regla, compás, transportador, escuadra. Materiales: juego de geometría. Antecedentes • Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos triángulos • Clasificación de cuadriláteros con base en sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría) • Problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros Situación inicial (pág. 51) La intención de esta actividad es que el alumno analice la utilidad de un compás para trazar ciertas figuras geométricas, en este caso, un triángulo equilátero. Explora y construye (págs. 52-58) A lo largo de esta sección habrá diversas actividades con las que el alumno construirá triángulos y cuadriláteros: en algunos casos hará trazos y en otros, aproximaciones, de acuerdo con los instrumentos del juego de geometría con los que cuente. Podrá analizar algunas similitudes y diferencias entre triángulos equiláteros, isósceles y escalenos, así como entre cuadrados, rectángulos, deltoides, rombos, romboides y trapecios. Regresa y revisa (pág. 58) En esta sección el alumno podrá concluir qué figuras geométricas se pueden trazar con su juego de geometría. SFUMA1TG_B1.indd 30 07/05/12 17:04 31 Bloque 1 / LECCIÓN 6 Solucionario y sugerencias didácticas Bloque Lección 6 1 6. Figuras de tres y cuatro lados Explora y construye Trazo de triángulos Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Situación inicial Enestaseccióndeberáshacerlostrazosqueseindicanutilizandoúnicamentelas herramientassolicitadasencadacaso. Una tarea con un juego de geometría incompleto Carlostienelatareadetrazarensucuaderno,consujuegodegeometría,untriángulo equiláteroapartirdeunsegmento de recta queseráunodeloslados.Sinembargo, sólocuentaconuncompásyunareglasingraduar.¿Cómolotrazaríastúconestas herramientas? evisa 1 Respondelosiguiente. a) ¿Cuántosvérticestieneuntriángulo? Triángulos equiláteros Glosario 1 Enparejas,tracenensucuaderno,conreglagraduada,untriánguloequilátero cuyosladosmidan4cmcadauno. segmento de recta. Porción de recta que queda delimitada por dos de sus puntos, llamados extremos del segmento. 2 Comentenengrupolasdificultadesparahacerelejercicioanterior. 3 Enparejas,respondanlosiguiente. b) ¿Cuántosvérticeshayenunladodeuntriángulo? a) ¿Paraquésirveeltransportador? 2 Carlosencontróenunlibroelsiguienteprocedimientoparatrazareltriángulo. Llevaacabolospasosycontestalaspreguntas. b) ¿Cuántomidenlosángulosdeltriángulodelasituacióninicial? 4 Tracenensucuadernountriánguloequiláterocuyosladosmidan5cmutilizandotransportadoryreglagraduada. ▶ Trazaentucuadernounsegmentoderecta,queserálabasedeuntriángulo equilátero.Señalaconrojodóndeestaríanlosvérticesdeeselado. ▶ Trazaunacircunferenciaconcentroenunodelosextremosdelsegmentoycon unradioquemidalomismoqueelsegmento. 5 Describanensucuadernoelprocedimientoqueutilizaron. 6 Eljuegodegeometríaincluyedosescuadrascomolasdelafigura1.6.1.Midan coneltransportadorlosángulosdecadaunadeellasyanotensusvaloresen lamisma. a) ¿Porquéelotrovérticedeltriángulodebeestarenalgúnpuntodelacircunferenciaquetrazaste? ▶ Trazaunacircunferenciaconcentroenelotroextremodelsegmentoderecta yconunradioquemidalomismoqueelsegmento. b) ¿Dóndeseencuentraelotrovérticedeltriángulo? Fig. 1.6.1. ▶ Trazaeltriánguloydespuésverificaconunareglagraduadaqueseaequilátero. 7 Enparejas,tracenensucuaderno,conescuadrasyreglagraduada,untriángulo equiláterode5cm. Analiza 8 Engrupo,discutanlasventajasdecadaunodelossiguientesprocedimientos paratrazaruntriánguloequilátero.Después,respondanlaspreguntas. • Concompásyreglasingraduar. • Contransportadoryreglagraduada. • Conescuadrasyreglagraduada. 1. En grupo, discutan lo siguiente. a) Su respuesta al inciso b del ejercicio 2. b)¿Por qué con el procedimiento del ejercicio 2 se pueden construir dos triángulos a) ¿Midenlomismolosángulosdecualquiertriánguloequilátero? equiláteros diferentes? b) ¿Cómovalidaríanlarespuestaanterior? 51 g. á p 52 51 SFUMA1SB_B1.indd 51 24/02/12 13:37 Situación inicial Página 51 Una tarea con un juego de geometría incompleto 1. a) 3 b) 2 2.a) Porque la distancia de ese otro vértice al vértice del triángulo usado como centro de la circunferencia trazada debe ser uno de sus radios. b)En la intersección de las dos circunferencias. Analiza 2.b) Porque hay dos puntos de intersección entre las circunferencias trazadas. Explora y construye Página 52 Trazo de triángulos Triángulos equiláteros SFUMA1SB_B1.indd 52 52 g. pá 24/02/12 13:37 3.a)Para medir ángulos. b)60 grados (60°). 5.Se puede trazar un segmento de recta de 5 cm y luego, desde uno de sus extremos, otro de 5 cm a 60° del primero con ayuda del transportador. Por último, se traza el tercer lado uniendo los extremos libres de los otros dos lados. 6.La primera escuadra de la figura 1.6.1 tiene dos ángulos de 45° y uno de 90°; la segunda escuadra tiene un ángulo de 30°, uno de 60° y otro de 90°. 7. Se puede utilizar el método de la actividad 5, pero en vez de transportador se usa la escuadra que tiene un ángulo de 60°. 8.Sugerencia didáctica. El trazo con regla y compás es el más preciso. Los otros métodos están sujetos a errores de medición. a)Sí, 60°. b)Una posible respuesta es: hacer algunos triángulos equiláteros de diferentes tamaños y verificar que sus ángulos midan lo mismo. 2.El trazo del tercer lado depende del trazo del segundo, es decir, se hacen por “prueba y error”. Planeación Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 31 07/05/12 17:04 32 Bloque 1 / LECCIÓN 6 Bloque Lección 6 onstruye 1 Triángulos isósceles Triángulos escalenos 1 Anotacómosonentresílosángulosdeuntriánguloisósceles. 1 Construyeentucuaderno,conreglagraduadaycompás,untriángulocuyos ladosmidan5cm,6cmy8cm. 2 Explicatuconstruccióndelejercicioanterioratrescompañerosycomparensus 2 Trazaentucuaderno,conreglagraduadayescuadras,untriánguloisóscelescuyo ladodiferentemida6cmycuyosángulosigualesseande45°. construcciones.¿Quéobservan? 3 Revisatutrazoconuncompañeroyescribanlasmedidasdelosladosigualesy 3 Trazaentucuaderno,conescuadraytransportador,untriángulocuyosángulos midan15°,25°y140°ycompáraloconlostrazadospordoscompañeros. elángulodiferentedeltriángulotrazado. 4 Engrupo,discutanporquéentodoslostriángulostrazadosdeberíanobtenerse lasmismasmedidas. 4 Discutanengrupocuántostriángulossepuedenobtenerenlosejercicios1y3, respectivamente. 5 Enequiposdetres,trazaránensucuaderno,conreglagraduadaytransportador, trestriángulosisósceles.Paraello,observenelcuadro1.6.1ysiganlospasos. 5 Engrupo,analicencuántostriángulossepuedentrazarapartirdelassiguientes características. a) Unángulode30°yotrode70°,quecompartenunladode4cm. b) Unladode4cmyotrode7.5cmqueformenunángulode37°. Triángulo Medida I II III Ángulo diferente de cada triángulo 55° 55° 55° Lados iguales de cada triángulo 4 cm 5.5 cm 9 cm Llamatriadaaunconjuntodetresnúmerosquecorrespondanalaslongitudes detressegmentos;porejemplo,latriada(1,2,3)serefiereasegmentosque miden1cm,2cmy3cm. Ángulos iguales de cada triángulo 6 Enparejas,tracenensucuaderno,coneljuegodegeometría,eltriángulocorrespondienteacadaunadelassiguientestriadas:(5,3,3),(6,3,7)y(4,6,5). Lado diferente de cada triángulo 7 Engrupo,expliquenporquélassiguientesafirmacionessonverdaderas. • Conunatriadadelaforma(a, a, a)noesposibleconstruiruntriánguloescaleno. • Esposibleconstruiruntriángulorectánguloconunatriadadelaforma (a, a, b). Cuadro 1.6.1.Medidasdetrestriángulosisósceles. ▶ Tracenlostrestriángulosapartirdelasmedidasanteriores. ▶ Midanlosángulosyladosdelostriángulosresultantesycompletenlosespacios blancosdelcuadroanterior. Trazo de cuadriláteros 6 Proponganotralongitudparalosladosigualesdeuntriánguloisóscelesconla mismamedidadelángulodiferentedelcuadroanteriorytraceneltriángulo. Enestaseccióntambiéndeberáshacerlostrazosqueseindicanutilizandoúnicamentelasherramientassolicitadasencadacaso. 7 Expliquenquérelaciónhayentrelosángulosdeloscuatrotriángulos. Cuadrados 1 Enparejas,respondanlosiguiente. 8 Comparenelejercicioanteriorconeldeotroequipoyobservencómosonlos ladosylosángulosdelostriángulosqueellostrazaron. a) SielladodelcuadradoAmide3cmyeldelcuadradoBmide5cm,¿entonces losángulosdelcuadradoAmidenmenosgradosquelosdelcuadradoB?¿Por 9 Engrupo,discutanlosiguiente. a) Dadounángulo,¿cuántostriángulosisóscelespuedentrazarsesiconsideran queeseánguloseencuentraentrelosladosiguales?Expliquen. b) Dadoelánguloqueseencuentraentrelosladosigualesdeuntriánguloisósceles, ¿cambiarálamedidadelosotrosdosángulossicambialalongituddeesos lados? qué? 2 Planteenunprocedimientoparatrazaruncuadradode4cmconunareglagraduadayescuadras,yllévenloacabo. 53 g. á p 53 SFUMA1SB_B1.indd 53 24/02/12 13:37 SFUMA1SB_B1.indd 54 Página 53 Triángulos isósceles 1. En un triángulo isósceles hay dos ángulos que son iguales. 2.Se puede trazar un segmento de 6 cm y, con ayuda de la escuadra que tiene un ángulo de 45°, trazar un segmento desde cada vértice del segmento inicial hacia el mismo punto y a 45°. 3.El ángulo diferente mide 90° y los lados iguales, 4.2 cm. 4.El lado y los ángulos dados determinan el vértice opuesto del triángulo y, con ello, la medida de los otros lados y el ángulo que se forma entre ambos. 5. Medida I II III Ángulos iguales de cada triángulo 62.5° 62.5° 62.5° Lado diferente de cada triángulo 3.7 cm 5 cm 8.3 cm 7. Los ángulos de los cuatro triángulos miden uno a uno lo mismo. 9.a)Una infinidad de triángulos. b) No, siempre mide lo mismo. Página 54 Triángulos escalenos 1. Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 5 cm. Con ayuda del compás, trazar una circunferencia de 6 cm de radio y centro en uno de los extremos del segmento. Luego trazar una circunferencia SFUMA1TG_B1.indd 32 3 Discutansusprocedimientosengrupo. 54 54 g. á p 24/02/12 13:37 de 8 cm de radio y centro en el otro extremo del segmento. Uno de los dos puntos de intersección de las circunferencias será el tercer vértice del triángulo. 2.Que todos los triángulos tienen las mismas medidas. 4.En el ejercicio 1 se puede obtener un solo triángulo. En el ejercicio 3 no hay límite, pues se puede cambiar la medida de uno de los lados del triángulo y la medida de los otros lados también cambia. 5.a)Sólo se puede trazar uno. b)Sólo se puede trazar uno. 6.Basta repetir la construcción desarrollada en el ejercicio 1, con las medidas señaladas. 7. • Con la triada (a, a, a) sólo se puede construir triángulos equiláteros. • Los segmentos que miden a unidades tienen que ser perpendiculares; esta medida determina la medida de b. Sugerencia didáctica. Mencione un ejemplo de lo anterior: si dos lados miden 2 unidades, el otro lado queda determinado por la perpendicularidad de ellos, y mide aproximadamente 2.83 unidades; su triada es (2, 2, 2.83). Aunque sí existe un triángulo formado por la triada (2, 2, 1), no corresponde a un triángulo rectángulo. Trazo de cuadriláteros Cuadrados 1. No. Porque los cuatro ángulos de un cuadrado miden 90°. 2.Una posible construcción sería: trazar un segmento de 4 cm con la regla; con la escuadra, trazar dos segmentos perpendiculares de 4 cm que tengan como extremos los del segmento inicial y que vayan hacia 07/05/12 17:04 33 Bloque 1 / LECCIÓN 6 Bloque Lección 6 4 ACarlosledejaronotratarea:trazaruncuadradousandosólouncompásyuna reglasingraduar.Paraello,partiódeunsegmentoderectaalquellamóAB,que seríaunodelosladosdelcuadrado(enlafigura1.6.2,correspondealsegmento azul).Leelospasosquesiguióparaobtenerun lado adyacentealprimeroy analízalosenlafigura. ▶ ProlongarconrojoelsegmentoABporambosextremos,conlongitudesalmenosigualesaladedichosegmento. ▶ Trazarunacircunferencia(decolorverde)concentroenAyconunradioque midamenosqueAB. ▶ LlamarCyDalospuntosdondelacircunferenciacortaalsegmento ABysu prolongación. ▶ TrazardoscircunferenciasderadioCD:unaconcentroenCyotraconcentroenD. ▶ Trazarunarectasobrelospuntosdondesecortanlasdoscircunferenciasde igualtamaño. ▶ TrazarotracircunferenciaconcentroenAyradioAB. ▶ Marcarelpuntodeinterseccióndelacircunferenciaconlaúltimarectatrazada yllamarloE. 1 Rectángulos 1 Respondelosiguiente. a) ¿Cómoserelacionanentresílasmedidasdelosladosdeunrectángulo? Glosario lados adyacentes. Aquellos que comparten un vértice. b) ¿Cuántomidecadaunodelosángulosdeunrectángulo? 2 Supónquecuentasconuntransportadoryunareglagraduadayquierestrazar unrectángulo. a) ¿Quépropiedaddelosrectángulosjustificaelusodeltransportador? b) ¿Cómotrazaríasconestosinstrumentosunrectángulocuyosladosmidan5 y7cm?Propónunprocedimientoyverifícaloentucuaderno. E D A C Deltoides y rombos 1 Realizaelprocedimientosiguienteyrespondelaspreguntas. ▶ TrazaunsegmentoABde5cmenelcentrodeunapáginadetucuaderno. ▶ SobreelsegmentoABtrazadoscircunferencias,unaconcentroenAyotracon centroen B,cuyosradioscumplanlosiguiente. • Quemidanlomismo. • QuesulongitudseamayorquelamitaddeladelsegmentoAB,demodoque lascircunferenciasseintersequenendospuntos. ▶ Marcaelpuntodeinterseccióndelascircunferenciasqueseencuentraporarriba delsegmentoAB;llámalo C. ▶ Trazaotrasdoscircunferenciascuyosradiosmidanlomismo,concentroen cadaunodelosextremosdelsegmentoAB;lalongituddelosradiosdebeser mayorqueladelosradiosdelasotrascircunferencias. ▶ Marcaelpuntodeinterseccióndeambascircunferenciasqueseencuentrapor debajodelsegmentoAByllámaloD. ▶ TrazaconrojolossegmentosAC,CB,BDyDA. B Fig. 1.6.2. 5 Respondelosiguiente. a) ¿CómoeselánguloentreelsegmentoABylaúltimarectatrazada? b) ¿Cómosonambasrectasentresí? c) ¿PasalaúltimarectatrazadaporelpuntoA? d) ¿PorquéelsegmentoAEmidelomismoqueelsegmentoAB? Busca en... www.edutics.mx/ Zoj actividades y ejercicios acerca de la construcción de triángulos. a) ¿Quéformatieneelcuadriláteroqueconstruiste?Describesusladosyángulos. b) ¿Cómosonlosladosyángulosdeunrombo? e) ¿Quépartedelaúltimarectatrazadacorrespondealnuevoladodelcuadrado? 2 Lafiguraquetrazasteenelejercicio1sellamadeltoide.Básateenelprocedimientoquepermitetrazarundeltoideparaescribirentucuadernolospasos conlosqueseconstruyeunrombo. 3 Después,engrupo,revisenesteprocedimiento. 6 ConbaseenelprocedimientodeCarlos,trazaentucuadernouncuadradode 6cmdelado. 7 Verificaquesecumplanlaspropiedadesdeestafigurageométricarespectoala longituddesuslados,asícomoladimensióndesusángulos.Sinoesasí,revisa laactividadconalgúncompañerocuyostrazossílascumplan. 8 Revisenengrupolasdudasrespectoalaconstrucciónanterior. 4 Leelosiguienteyresponde:“enuncuadrilátero,unadiagonaleslarectaqueva deunvérticealotroquenoseencuentraenunladoadyacente”. ¿Cuántasdiagonalestieneunrombo? 55 g. á p 56 55 SFUMA1SB_B1.indd 55 24/02/12 13:37 el mismo lado (se puede usar la regla como apoyo de la escuadra, de modo que la primera quede justo junto al segmento inicial), y trazar el lado restante para obtener un cuadrado. Página 55 5.a) Es un ángulo recto. b)Perpendiculares. c) Sí. d)Coinciden en el extremo A y los otros puntos están en la circunferencia de radio AB. e)El segmento AE. Página 56 SFUMA1SB_B1.indd 56 1. a) Los lados opuestos miden lo mismo, pero los lados adyacentes tienen distinta longitud. b)Miden 90°. 2.a) La medida de sus ángulos. b)Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 5 cm; con la regla y el transportador trazar segmentos perpendiculares de 7 cm que tengan como extremos los del segmento inicial y que vayan hacia el mismo lado, y trazar el lado restante. Deltoide y rombo 1. a) Tiene dos pares de lados iguales. Tiene un par de ángulos opuestos iguales y los otros dos son diferentes. b)Los lados de un rombo son todos iguales y sus ángulos opuestos miden lo mismo. 2.Una posible construcción, a partir del procedimiento del ejercicio 1, es usar sólo uno de los pares de circunferencias cuyo radio es el mismo y unir sus puntos de intersección con los extremos del segmento. 4.Un rombo tiene dos diagonales. 5 a) 3.54 cm b) 90° c) Las diagonales del cuadrilátero resultante son las rectas que se trazaron al principio. 6.Se trata de un cuadrado. 7. Basta repetir el procedimiento del ejercicio 5 pero con rectas de distinta longitud. Planeación Fecha Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 33 06/03/12 11:23 Página 57 Rectángulos Material 56 g. á p 07/05/12 17:04 34 Bloque 1 / LECCIÓN 6 Bloque Lección 6 1 5 Trazaentucuadernodosrectasperpendicularesde5cmqueseintersequenensu puntomedioyúnelasporsusextremos. 5 Engrupo,discutancómotrazaríanunromboideparaquedosdesusángulos seande75°y105°ydosdesusladosmidan4cmy7cm. a) ¿Cuántomidenlosladosdelcuadriláteroresultante? Trapecios b) ¿Cuántomidensusángulos? Situación inicial 1 Enequiposdetres,haganlosiguiente. a) Tracentrestriángulosisóscelescondosladosde7cmyunode6cmusando compásyreglagraduada. b) Concadaunodelostriángulosanteriorestracenuntrapecioisóscelescuya basemayorseade6cm.Elprimertrapeciodebetenerunaalturade2cm; elsegundo,unade3cm,yelúltimo,unade4cm.Usenescuadrasyregla graduada. c) Obtenganlabasemenordelostres. c) ¿Cuálessonlasdiagonalesentutrazo? 6 Enparejas,revisenlostrazosdelejercicioanteriorydigandequécuadrilátero setrata. 7 Engrupo,modifiquenelprocedimientoanteriorparaobtenerunrombo. 2 Engrupo,verifiquenqueobtuvieronlaslongitudescorrectasdelasbasesmenores;delocontrario,revisenenquépartedelprocedimientoseequivocaron. 8 Hazlosiguiente. ▶ Marcalospuntosmediosdelosladosdelcuadradoydelrectángulosiguientes. ▶ Unelospuntosmarcadosconlospuntosdelosladosadyacentes. ▶ Midelosladosylosángulosdeloscuadriláterosresultantes. Reflexiona 1. Discutan en grupo si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y justifiquen cada respuesta. a) Con dos segmentos de recta se puede trazar un único triángulo. b)Se puede construir un único triángulo si se conoce la longitud de su base y su altura. Fig. 1.6.3. Regresa y revisa 9 Enparejas,respondanlosiguiente. a) ¿Quéfiguraobtuvierondentrodelcuadrado? 1 Enequipos,analicenlostrazosquehicieronenlalección.Elaborenuncartelcon unatabladedoscolumnas:enlaprimeradibujenuninstrumentodeljuegode geometríayenlasegundaredactensusaplicacioneseneltrazodetriángulosy cuadriláteros.Incluyantodaslasherramientasconquetrabajaron. b) ¿Quéfiguraobtuvierondentrodelrectángulo? 10 Engrupo,discutancuálessonlasdiferenciasysimilitudesentreuncuadrado yunromborespectoasuslados,ángulosydiagonales. Resuelve y practica Romboides 1. Traza los siguientes cuadriláteros en tu cuaderno, mide sus lados y ángulos, e identifica de qué figura se trata en cada caso. ▶ Sus diagonales miden 5 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio. ▶ Sus diagonales miden 5 cm,no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio. ▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio. ▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio. 2. Una diagonal siempre divide a un cuadrilátero en dos triángulos. Si los triángulos en que un cuadrilátero quedó dividido por su diagonal son equiláteros, ¿de qué tipo de cuadrilátero estamos hablando? ¿Hay varias posibles respuestas a esta pregunta? 1 Pruebaesteprocedimientoparatrazarrectasparalelasusandodosescuadras: ▶ Manténfijaunadelasescuadras. ▶ Colocalaotraescuadrademaneraqueunodesusladossedeslicesobreunode losladosdelaescuadrafija,comosemuestraenlafigura1.6.4. ▶ Trazaunarectaconalgunodelosladosdelaescuadramóvilquenoestáen contactoconlaescuadrafija. ▶ Arrastralaescuadramóvilytrazaotrasrectasparalelasalaprimera. 2 Entucuaderno,describelosladosyángulosdeunromboide. 3 Engrupo,discutanunprocedimientoparatrazar,conreglagraduadaydos escuadras,unromboidecuyosladosigualesmidan4cmy7cm,respectivamente. 4 Enparejas,tracenensucuadernoelromboideymidansusángulosinternos. Fig. 1.6.4. 57 g. á p 57 SFUMA1SB_B1.indd 57 24/02/12 13:37 9.a)Un cuadrado. b)Un rombo. 10.En el cuadrado y en el rombo todos los lados miden lo mismo. Todos los ángulos de un cuadrado miden 90°, mientras que en un rombo los ángulos opuestos miden lo mismo, pero su medida es distinta respecto al otro par. Las diagonales de un cuadrado miden lo mismo, mientras que las de un rombo son distintas. En ambos cuadriláteros las diagonales son perpendiculares. 58 SFUMA1SB_B1.indd 58 58 g. á p 06/03/12 11:30 Trapecios 1. c)Las bases menores son aproximadamente: 4.1 cm, 3.2 cm y 2.2 cm, respectivamente. Reflexiona 1. a)Es falsa. Con distintos ángulos entre los dos segmentos se obtienen distintos triángulos. b)Es falsa. Se puede desplazar la colocación del tercer vértice de modo que se obtengan triángulos distintos. Romboides 2.Los lados opuestos miden lo mismo y los ángulos opuestos también, pero en ambos casos su medida es distinta respecto al otro par. 3.Un procedimiento correcto sería: trazar un segmento de 4 cm, con el procedimiento descrito en 1 trazar desde cada extremo del segmento de 4 cm un segmento de 7 cm, que sean paralelos, y trazar el lado restante. Página 58 5.Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 4 cm; con ayuda del transportador, desde uno de sus extremos trazar una segmento de 7 cm a 75°; trazar otro segmento de 7 cm a 105° desde el otro extremo del primer segmento, y trazar el segmento restante. SFUMA1TG_B1.indd 34 Regresa y revisa Página 58 Resuelve y practica 1. a)Un cuadrado. b)Un rectángulo. c)Un rombo. d)Un romboide. 2.El cuadrilátero sería un rombo en el que una de las diagonales mide lo mismo que sus lados. No hay ninguna otra respuesta posible. 07/05/12 17:05 Bloque 1 / LECCIÓN 7 L7 Las líneas del triángulo Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Prepararse para la secuencia Situación inicial (pág. 59) Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 5 del bloque 2: resolver problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros. Conceptos principales: alturas y medianas de un triángulo, mediatrices y bisectrices en un triángulo; ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro. Materiales: juego de geometría. Antecedentes • Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos triángulos • Problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros • Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría Ideas erróneas 1. El alumno puede pensar que los triángulos rectángulos sólo tienen una altura, pues las otras dos coinciden con los lados. Con esta actividad se busca que el alumno reflexione y explore cómo localizar un punto que equidiste de otros tres. Explora y construye (págs. 60-67) A lo largo de las actividades que se presentan en esta sección el alumno estudiará, mediante su construcción, las rectas notorias del triángulo: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices; conocerá sus propiedades y aprenderá el nombre de los puntos en los que se intersecan. Hará trazos libres de triángulos rectángulos, obtusángulos y equiláteros para compararlos entre sí y con los de sus compañeros, con el fin de generalizar sus propiedades. Regresa y revisa (pág. 67-68) En esta sección el alumno, además de resolver la situación inicial, trazará ciertas rectas notorias para consolidar los conocimientos adquiridos a lo largo de la secuencia. Planeación Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 35 35 07/05/12 17:05 36 Bloque 1 / LECCIÓN 7 Solucionario y sugerencias didácticas Lección 7 Bloque 1 7. Las líneas del triángulo Explora y construye Alturas de un triángulo Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Situación inicial 1 Escribeenseguidaunadefinicióndelaalturadeuntriángulo. Distancia equitativa en un servicio Sedeseaconstruirunhospitalenlazonacosteraquesemuestraenlaimagen,el cualdebeestaralamismadistanciadelostrespobladosseñaladosconlasletrasA, ByC.¿Dóndedebesituarseelhospital? 2 Engrupo,recuerdenquépropiedadestienenlostriángulosrectángulos,acutángulosyobtusángulos.Enelpizarrón,dibujenalgunosejemplosdecadauno. A evisa 3 Hazlossiguientestrazosyrespondelaspreguntas. ▶ Enelsiguienteespaciotrazauntriángulorectángulo,unoobtusánguloyuno equilátero,demaneraqueencadaunolabaseseadecolorrojo,elladoizquierdo,verde,yelladoderecho,azul. B C Fig. 1.7.1. Analiza a) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo que forman los tres poblados? ▶ Trazaconrojolaalturadelostriángulosanteriorescorrespondientealabase roja.Sinoesposiblehacerloenellibroparaalgunodelostriángulos,cálcaloen unahojademodoquepuedashacerloenella. b)¿Qué tipo de triángulo es? c) ¿Cómo encontrarías el punto donde debe ubicarse el hospital? a) ¿Quéhicisteparatrazarlasalturas? 59 g. pá 59 SFUMA1SB_B1.indd 59 24/02/12 13:37 Situación inicial Página 59 Distancia equitativa de un servicio / Analiza a)El ángulo ABC = 104°, BCA = 34° y CAB = 42°. b)Es un triángulo escaleno. c)Una respuesta es trazar el triángulo que forman los tres poblados y la mediatriz de dos (o tres) de sus lados. Sugerencia didáctica. La mayoría de los alumnos desconocen lo que es la mediatriz de un segmento. Se les puede preguntar dónde estaría el hospital si sólo hubiera dos poblados. Explora y construye SFUMA1SB_B1.indd 60 1. Una respuesta es: la altura de un triángulo es el segmento que va de un vértice al lado opuesto y lo corta perpendicularmente. 2.El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto; en el acutángulo todos los ángulos son agudos, y el obtusángulo tiene un ángulo obtuso. Sugerencia didáctica. De ser necesario se le puede recordar al alumno que un ángulo agudo mide menos de 90° y uno obtuso, más de 90°. SFUMA1TG_B1.indd 36 24/02/12 13:37 3. Sugerencia didáctica. Aquí se puede abordar la idea errónea 1 si ésta se presenta. a)Hay que trazar, desde un vértice, un segmento perpendicular al lado opuesto. Si se trata de un triángulo obtusángulo, cuando sea necesario hay que prolongar el segmento que es la base del triángulo. Página 61 b)Tiene 3, una por cada lado. c)En el caso de los triángulos obtusángulos. 4.En los triángulos rectángulos dos alturas son lados del triángulo y la tercera está dentro; en los triángulos acutángulos las tres alturas están dentro del triángulo, y en los triángulos obtusángulos dos alturas están fuera del triángulo y una dentro. 7. Página 60 Alturas de un triángulo 60 g. pá 60 Triángulo Ubicación del ortocentro respecto al triángulo Equilátero Dentro Rectángulo El ortocentro es el vértice de los lados que forman el ángulo recto Obtusángulo Fuera 9.Una respuesta es que la ubicación del ortocentro depende de los ángulos del triángulo y no de las medidas de los lados. 07/05/12 17:05 37 Bloque 1 / LECCIÓN 7 Bloque Lección 7 1 ▶ Marcaelpuntoenquelarectanegracortaotrodelosladosdecadatriánguloy llámaloP. b) ¿Cuántasalturastieneuntriángulo? onstruye ▶ Giratulibroyacomódalodemaneraqueelsegmentoazulseaahoralabasede cadatriánguloytrazaconazullaalturacorrespondiente. ▶ Repiteelprocedimientoanteriorsuponiendoahoraqueelladoverdeeslabase encadatriánguloytrazaconverdelaaltura. c) ¿Enquécasosalgunaalturaestáfueradeltriángulo? 4 Enparejas,comparenlostriángulosylasalturasquetrazaron.Analicenqué relaciónhayentrelaclasificacióndeltriánguloylaubicacióndelasalturas. 5 Reúnanseconotra pareja yverifiquenquesusconclusionesdelejercicioanterior tambiénsecumplanenlostriángulosqueellostrazaron. 6 Enlostriángulosquetrazaron,prolonguenlasalturashastaqueseintersequen. El punto en que se intersecan las alturas de un triángulo se llama ortocentro. 7 Completenelsiguientecuadro. 2 Respondelosiguiente. a) ¿Enquécasoscoincidieronlalíneapunteadaylarectanegra? Ubicación del ortocentro respecto al triángulo Triángulo Equilátero Rectángulo b) Completaelsiguientecuadro. Obtusángulo Cuadro 1.7.1. Triángulo 8 Enequiposdecincointegrantes,verifiquenquelasconclusionesdelcuadro anteriorsecumplanparatodoslostriángulostrazados. Rectángulo 9 Engrupo,comentenporquésecumplenlosresultadosdelcuadrosinimportar eltamañodelostriángulos. Obtusángulo Equilátero Mediatrices en un triángulo Cuadro 1.7.2. Segmento Longitud del segmento (cm) AP BP DP EP GP HP c) Encadatriángulo,¿cómosonentresílaslongitudesdelossegmentostraza- 1 Hazlostrazosqueseindicanacontinuaciónenelrecuadrodelapáginasiguiente. ▶ Trazauntriángulorectángulo,unoobtusánguloyunoequilátero.Labasedetodos debeserroja,elladoizquierdo,verde,yelladoderecho,azul. ▶ Marcalosvérticesquecorrespondenalladorojodelasiguientemanera:AyB eneltriángulorectángulo,DyEenelobtusángulo,yGyHenelequilátero. ▶ Trazaconunalínearojapunteadalaalturaquecorrespondealabasedeesecolor. ▶ Contujuegodegeometría,determinaelpuntomediodelladorojoencada triángulo. ▶ Trazaconnegrounarectaparalelaalalíneapunteadaquepaseporelpunto medioqueencontraste. dosdesdeelpuntoPacadaextremodelladorojo? d) Ahora,encadatriángulotomaunpuntodiferenteaPsobrelarectanegra, llámaloQymidelalongituddelossegmentosformadosdesdeQhastacada unodelosextremosdelabase.¿Quéobservas? e) Verificasipasalomismoparacualquierotropuntosobrelarectanegra. 61 g. á p 62 61 SFUMA1SB_B1.indd 61 24/02/12 13:37 Página 62 SFUMA1SB_B1.indd 62 62 g. á p 24/02/12 13:37 2.a)En el triángulo equilátero. b)Los datos dependen de los trazos del alumno. c)Son iguales. d)Que los segmentos desde Q a cada extremo miden lo mismo. e)Sí pasa lo mismo, pues es la mediatriz. 9.En el triángulo equilátero coinciden; en los demás no. 11. Una respuesta posible es: en el triángulo rectángulo isósceles una altura y una mediatriz coinciden; el ortocentro y el circuncentro están sobre el triángulo pero el ortocentro está en el vértice de los lados que forman el ángulo recto, y el circuncentro está en el lado opuesto. Si es un triángulo obtusángulo, ambos puntos notorios están fuera del triángulo. 12. Son iguales. Página 63 Página 64 3.Una posible respuesta es que cualquier punto sobre la recta negra equidista de los extremos del segmento rojo. 4.La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio. 6. 13.No es posible trazar otra, pues sólo ese punto equidista de los tres vértices del triángulo. Mediatrices en un triángulo Triángulo Ubicación del ortocentro respecto al triángulo Equilátero Dentro Rectángulo Sobre el lado opuesto al vértice de los lados que forman el ángulo recto Obtusángulo Fuera Medianas de un triángulo 1. a) En dos triángulos. b)Es la mitad del área del triángulo original trazado por el alumno. Página 65 c)Son iguales. 3.Con esa recta, el área de un triángulo se divide en dos partes iguales. Planeación Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 37 07/05/12 17:05 38 Bloque 1 / LECCIÓN 7 Lección 7 Bloque 1 ▶ Trazaunacircunferenciacuyocentroseaelcircuncentroycuyoradioseala distanciadelcentroacualquiervértice. 3 Enparejas,comparensustriángulosylostrazosquehicieronenellos.Analicen siobtuvieronlosmismosresultadosenlosincisosanterioresyescribansusobservaciones. A la circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo se le llama circunferencia circunscrita del triángulo. Larectanegraquetrazaroneslamediatrizdelsegmentorojo. 13 Engrupo,comentensiesposibletrazarotracircunferenciacircunscritaencada triángulo. 4 Investigaenundiccionarioladefinicióndemediatrizyescríbelaenelrecuadro. Medianas de un triángulo 1 Hazlossiguientestrazosyrespondelaspreguntas. ▶ Enelsiguienteespacio,trazauntriángulorectángulo,unoobtusánguloyuno equilátero,demaneraqueencadaunolabaseseadecolorrojo;elladoizquierdo,verde;yelladoderecho,azul,yrealizalosiguiente. 5 Repiteelprocedimientodelejercicio1paratrazarlasmediatricesdeloslados azulyverdedecadatriángulo;despuésdetrazarlas,prolongalasrectashasta queseintersequen. El punto en que se intersecan las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro. 6 Completaelcuadro. Triángulo Ubicación del circuncentro respecto al triángulo Equilátero Rectángulo Obtusángulo Cuadro 1.7.3. 7 Enequiposdecincointegrantes,verifiquenquelasconclusionesdelcuadro anteriorsecumplanparatodoslostriángulostrazados. 8 Enpareja,tracenensuscuadernosuntriángulorectángulo,unequiláteroyun obtusángulodiferentesalosquetrazaronenelejercicio1.Obtenganelortocentroycircuncentrodecadauno. 9 Engrupo,establezcanenquétriánguloscoincidenestospuntosyescríbanlosa continuación. 10 Enparejas,tracenensucuadernountriángulorectánguloqueseaisósceles.Marquensustresalturasysustresmediatrices.Prolónguelashastaqueseintersequen. ▶ Encadatriángulo,trazacontulápizunsegmentoderectaquevayadelpunto mediodelladorojoalvérticeopuesto. 11 Analicenyredactenlasdiferenciasentrelasinterseccionesdelasalturasylasde lasmediatricesdeuntriángulorectánguloqueseaisóscelesyotroquenolosea. Después,verifiquensusconclusionesconelrestodelgrupo. a) ¿Enquéfigurasquedadivididocadatriángulo? 12 Encadatriánguloquetrazasteenlapágina62,hazloqueseindica. ▶ Midelasdistanciasdelcircuncentroacadavértice. a) ¿Quérelaciónhayentreestasdistancias? b) Calculaeláreadecadaunadeellas. 63 g. á p 63 SFUMA1SB_B1.indd 63 24/02/12 13:37 4.a)Sí se intersecan. b)En ninguno, siempre queda dentro. 6.a)2 b)Sí, pasa lo mismo para las otras dos medianas. 8.a)El segmento más grande mide 12 unidades, y el otro, 6. b) Lo divide en dos partes: una mide 23 de lo que mide la mediana y la otra, 31 . 10. El baricentro es el punto de equilibrio de un triángulo, pues lo divide en tres áreas iguales. Página 66 Bisectrices en un triángulo 2.a)Sí se intersecan. b)El incentro es el punto en donde se intersecan las bisectrices. c)Se ubica siempre dentro del triángulo. 3.a)Son iguales. b)En uno solo. Página 67 4.No es posible trazar otra pues sólo ese punto equidista de los tres lados del triángulo. Reflexiona 1. a)Sólo en el triángulo equilátero los puntos notables coinciden. SFUMA1TG_B1.indd 38 64 SFUMA1SB_B1.indd 64 64 g. á p 06/03/12 15:39 b)En un triángulo equilátero cualquiera de las rectas notables coinciden. En uno isósceles sucede en uno de los tres lados. Regresa y revisa Página 67 1. Una respuesta posible es: trazar un triángulo que tenga por vértices los tres poblados y hallar su circuncentro, punto que equidista de cada vértice. 2.No es posible, pues el circuncentro se encuentra en el agua. 3.a)Es un triángulo rectángulo. c)Son dos triángulos rectángulos, pues la altura corta a AB en un ángulo recto. d)El ortocentro es el punto D. Página 68 Resuelve y practica 1. a)Se trata de un triángulo equilátero, por lo que todas las rectas notorias del triángulo coinciden. b)Son medianas porque van del punto medio de los lados al vértice opuesto. Una de ellas (la recta vertical) también puede ser mediatriz, bisectriz y altura, pues es un triángulo isósceles. c)Son bisectrices, ya que el punto en el que se intersecan equidista de los lados. d)Son medianas porque van del punto medio de los lados al vértice opuesto. 07/05/12 17:05 Bloque 1 / LECCIÓN 7 39 Bloque Lección 7 1 A la circunferencia que toca en un solo punto a cada uno de los tres lados de un triángulo se le llama circunferencia inscrita del triángulo. Resuelve y practica 1. Justifica en tu cuaderno qué tipo de rectas están trazadas en cada caso. Sólo puedes utilizar regla graduada. 4 Engrupo,comentensiesposibletrazarotracircunferenciainscritaencada triángulo. Situación inicial Reflexiona 1. Dibuja en tu cuaderno lo siguiente. a) Un triángulo en el que todos los puntos notables estudiados en la lección coincidan en uno solo. b) Un triángulo en el que todas las rectas notables estudiadas en la lección coincidan en una sola. 2. Compartan en grupo sus respuestas a lo anterior y obtengan una conclusión. a) Regresa y revisa b) 1 Entucuaderno,explicacómoresolveríaselproblemadelasituacióninicial. 2 Engrupo,comentensiesposibleconstruirelhospitalalamismadistanciade lostrespoblados. 3 Enequiposdetres,realicenlassiguientesactividades. a) DeterminencómoseclasificaeltriánguloABCenrelaciónconlamedidade susángulos. b) Tracenlastresalturasdeltriánguloyseñalensuortocentro. c) LlamenDalpuntodondelaalturaquepasaporelvérticeCcortaalsegmento AB.ElsegmentoderectaCDdividealtriánguloendostriángulos.Sinmedir losángulosdelostriángulosACDyDCB,determinencómoseclasificansegúnlamedidadesusángulos.Justifiquensurespuestaensucuaderno. d) Localicen,sintrazarlasalturasdeestostriángulos,elortocentrodelostriángulosACDyDCB. e) Verifiquensurespuestatrazandolasalturasdeambostriángulos. C A c) Fig. 1.7.3. Explora y construye d) 2. Traza con tu juego de geometría de rojo las alturas, de azul la mediatrices, de verde las medianas y de negro las bisectrices en un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 10 cm y 14 cm. Toma nota Localiza los siguientes conceptos en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras una explicación y un ejemplo de cada uno: • Alturas de un triángulo • Medianas de un triángulo • Mediatrices en un triángulo • Bisectrices en un triángulo B Fig. 1.7.2. 67 g. á p 67 SFUMA1SB_B1.indd 67 06/03/12 11:32 68 SFUMA1SB_B1.indd 68 68 g. á p 24/02/12 13:37 2.Sugerencia didáctica. Las rectas azules (mediatrices) deben prolongarse hacia abajo para encontrar el circuncentro, y las rectas rojas (alturas) deben prolongarse hacia arriba para encontrar el ortocentro. 10 cm 6 cm 14 cm Planeación Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 39 07/05/12 17:06 40 Bloque 1 / LECCIÓN 8 L8 Reparto proporcional Resolución de problemas de reparto proporcional. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 6 del bloque 5: resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario. Conceptos principales: proporción, reparto proporcional. Materiales: calculadora. Antecedentes • Resolución de problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante (suma término a término, cálculo de un valor intermedio, aplicación del factor constante) • Identificación y aplicación del factor constante de proporcionalidad (con números naturales) • Problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es un número natural Ideas erróneas 1. Los alumnos pueden pensar que una repartición en partes iguales es una manera justa de hacer un reparto aun cuando no todas las aportaciones hayan sido iguales. SFUMA1TG_B1.indd 40 Situación inicial (pág. 69) En la actividad de inicio se busca que el alumno analice que en ciertas situaciones una repartición en partes iguales no es justa, y así tenga que buscar sus propios métodos para obtener una repartición que sí lo sea. Explora y construye (págs. 69-72) En el desarrollo de la secuencia, el alumno tendrá que resolver diversas situaciones en las que usará reparto proporcional. Analizará qué criterios hacen justa una repartición, y cuáles no. Escribirá como fracción la proporción que cada parte aportó respecto al total, y la usará para resolver esos problemas. Regresa y revisa (pág. 72) En esta sección el alumno analizará si los criterios para una repartición justa son también válidos en una situación en la que no hay ganancias sino pérdidas. 07/05/12 17:06 41 Bloque 1 / LECCIÓN 8 Solucionario y sugerencias didácticas Lección Bloque 8 1 8. Reparto proporcional a) Silacantidaddedinerodestinadaalavigilanciaesde$5000porsemana, ¿cuántoledebendepagaracadaunodeellosporsutrabajodelasemana pasada?¿Porqué? Resolución de problemas de reparto proporcional. Situación inicial Tienda de buceo 3 Rosa,JavieryHerminiohicieron100tamalesoaxaqueños.Paracomprarlos ingredientesaportaronlascantidadesde$80,$120y$200,respectivamente, yserepartieroneltrabajodemaneraequitativa.Enparejas,analicencómose debenrepartirlostamales,respondiendolaspreguntas. Tresamigos:Alfonso,TereyRocío,seasociaronparaponerunatiendadebuceo yparaelloaportarondiferentescantidadesdedinero.Alfonsopuso$40000;Tere, $60000,yRocío,$100000.Sialfinaldelprimerañotuvierongananciasde$60000, ¿cómodebenrepartirseesedinerodeacuerdoconloqueaportócadauno? a) ¿Consideranquesedebenrepartirlostamalesencantidadesiguales?¿Porqué? Analiza b) Rosa,JavieryHerminiotienen33,32y35añosdeedad,respectivamente. 1. En parejas, respondan las siguientes preguntas en su cuaderno. a) Si los amigos se repartieran las ganancias en partes iguales, ¿cuánto dinero le tocaría a cada uno? b)¿Consideran que las ganancias deben repartirse en partes iguales entre los tres? ¿Por qué? c) ¿Qué parte del total del dinero para iniciar el negocio aportó cada uno de los socios? d)De acuerdo con su respuesta anterior, ¿qué parte de las ganancias le corresponde a cada uno de los socios? Expliquen su respuesta. ¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehacedemanera proporcionalasusedades? c) ¿Piensanqueesjustorepartirlostamalessegúnsusedades?¿Porqué? d) ¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehaceproporcionalmentealaportemonetarioparalacompradelosingredientes? e) ¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehaceproporcio- Explora y construye nalmentealaportedetrabajoparahacerlostamales? Repartición justa Esprobablequehayasparticipadoenunrepartoequitativo.Enlaprimariaseresuelvenproblemasdondeladistribuciónesasí,peropregúntatesiesoesjustoen todosloscasos. 4 Engrupo,verifiquensusprocedimientosyanalicensilosdistintoscriteriosseñaladosenelproblema,comoeltrabajohechoporcadapersona,laedaddecada unooelaporteeconómicoparacomprarlosingredientes,sonigualmenteválidos. 1 Consideraelproblemadelasituacióninicialyrespondelosiguiente. a) Silasgananciashubieransidode$50000,¿cómoserepartirían? Dinero y chocolates b) Silasaportacionesinicialeshubieransido:$100000deAlfonso,$120000 1 Enparejas,resuelvanlossiguientesproblemas. a) Cadaunodeloscincointegrantesdeunafamiliaahorróduranteunañopara pagarunviajealaplaya.Aportaronlassiguientescantidades. deTerey$100000deRocío,ylasgananciasalfinaldelprimerañohubieran sidode$60000,¿cómodeberíarepartirseesedinerodemodoproporcional Integrante aloqueaportócadauno? 2 UnaunidadhabitacionalcontratóaDavidyDanielcomovigilantesparatrabajar delunesaviernes.Davidloharáde6ama6pmyDaniel,de6pma6am.La semanapasada,DavidtrabajódosturnosqueletocabanaDaniel. 69 g. pá Cuadro 1.8.1. 69 SFUMA1SB_B1.indd 69 24/02/12 13:37 Situación inicial Tienda de buceo / Analiza 1. a)$20 000 b)Se espera que el alumno responda que no, porque aportaron cantidades diferentes. 1 5 SFUMA1SB_B1.indd 70 3 , y Rocío, 1 . parte del total; Tere, 10 2 d)A Alfonso le correspondería 51 parte, es decir, 3 partes, o sea, $18 000, y, a $12 000; a Tere, 10 Rocío, la mitad, que equivale a $30 000. Sugerencia didáctica. Aquí se puede tratar, si se presenta, la idea errónea 1 para determinar por qué en este caso no es justo hacer una repartición en partes iguales. Explora y construye Página 69 Repartición justa 1. a)Las proporciones se conservarían. A Alfonso le 4 000 Concepción 4 500 Sergio 5 500 Devolución 70 g. pá 24/02/12 13:37 2.a)De los diez turnos que trabajaron entre los dos, David trabajó siete y Daniel tres; por lo tanto, a Da7 partes ($3 500) y a Daniel, vid le corresponden 10 3 partes ($1 500). 10 3.a)Se espera que el alumno responda que no, pues las aportaciones no fueron equitativas. b)La suma de sus edades es igual a la cantidad de tamales que prepararon; entonces, a Rosa le tocan 33; a Javier, 32, y a Herminio, 35. c)Se espera que el alumno responda que no, pues la edad no es un criterio justo para hacer la repartición. d)A Rosa le tocarían 20; a Javier le tocarían 30 y a Herminio, 50. e)Se repartieron el trabajo de manera equitativa, así que a cada uno le tocaría la misma cantidad, es decir, 100 tamales entre 3. Planeación Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 41 4 000 Página 70 Fecha Material 3 500 Silvia corresponderían $10 000; a Tere, $15 000, y a Rocío, $25 000. b)A Alfonso y a Rocío les corresponderían $18 750 a cada uno, mientras que a Tere le tocarían $22 500. Página 69 c)Alfonso puso 70 Ahorro ($) María Rogelio 07/05/12 17:06 42 Bloque 1 / LECCIÓN 8 Lección 8 • Enlaprimeraceldadelaterceracolumnadelcuadroanterior,escriban “Cantidadaportadarespectoaltotalreunido”ycompletenelrestodela columnaconlasfraccionescorrespondientes. • Sialregresardelviajelessobraron$2000,¿cómosedebenrepartirese dinero? • Anotenenlacuartacolumnacuántoletocaríaacadaquienyverifiquen susresultadosconelrestodelgrupo. Bloque 1 Toma nota Reflexiona Localiza reparto proporcional en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras una explicación y un ejemplo del término. 1. En el problema de los tamales oaxaqueños (ejercicio 2 de la página 70), si Rosa y Herminio hubieran aportado cada quien 200 pesos para los ingredientes y Javier no hubiera dado dinero pero hubiera hecho todos los tamales él solo, ¿cómo repartirías los 100 tamales? ¿Qué dificultad plantea esa repartición? b) Jorge,RocíoySamuelcompraronunacajadechocolatescon60piezas.Rocíoaportólamitaddelcostototal;Jorge,laterceraparte,ySamuel,elresto. Siserepartieranlaspiezasdemaneraproporcionalasuaportación: Regresa y revisa 1 Enequiposdetres,leannuevamentelasituacióninicialyanalicenelsiguiente planteamiento.Respondanlaspreguntasensucuaderno. • ¿Cuántoschocolatesletocaríanacadauno? Despuésdelprimeraño,lostresamigosqueríanhacercrecersunegocioeinvitaron aJulietayEstheraasociarseconellosparaasítenermáscapital.Lasdosaceptaron ycadaunaaportó$25000.Loscincoamigostrabajaronporigualpero,alfinalizar elaño,nohubogananciassinopérdidas.Ademásdeperdereldinerodelainversión, teníanquepagar$100000entretodos. • Expliquenensucuadernoelprocedimientoqueusaronparaobtenerla respuestaanterior. c) JuanyCarlos,doscompañerosdetrabajo,compraronunboletodeunsorteo yganaron$20000.Elrepartodelpremiosehizodemaneraproporcionalde acuerdoconloqueaportaronyaJuanletocaron$7500. a) Proponganunamanerapararepartirelpagoentrelossociosyexpliquenpor quélodecidieronasí. b) Silosamigoshubierandecididorepartirelpagopendientedemaneraproporcionalalacantidadquecadaquieninvirtió,¿cuáldeloscincohabríatenido quepagarmás?¿Cuántohubierapagadocadauno? • ¿QuépartedelcostodelboletoaportóJuan? • ¿YquéparteaportóCarlos? • Sielboletocostó$600,¿cuántodineroaportócadaunodeellos? 2 Engrupo,discutansusrespuestasanterioresyexpliquenenquésituacioneses aplicableelrepartoproporcional. • Expliquenensucuadernoquéhicieronparadeterminarelresultadode laspreguntasanteriores. d) Elgobiernofederalasigna$800000alañoalmunicipiodeSantiagoHuauclilla,Oaxaca,elcualestáconformadoporcuatropueblos:SantiagoHuauclilla (239habitantes),SanBartoloméZotula(66habitantes),SanJuanTlalixtlahuaca(52habitantes),SantiagoIxtlahuaca(103habitantes).Ladistribucióndel dinerosehacedemaneraproporcionalalnúmerodehabitantesdecada pueblo.Respondanlassiguientespreguntas. • ¿Quépartedeltotaldeldineroasignadolecorrespondeacadaunode Busca en... Observa y relaciona el siguiente enlace actividades y ejercicios sobre reparto proporcional: Participación de los trabajadores en las utilidades de las empresas (ptue) Por ley, las empresas deben repartir parte de sus ganancias anuales a sus trabajadores. Una compañía repartirá este año $90 000. Para calcular cuántas utilidades le corresponden a cada una de las 15 personas que laboran en ella, se usaron dos criterios: • Reparto proporcional a los días trabajados. La mitad de la utilidades disponibles ($45 000) se repartió considerando los días laborados en el año, que se acumularon entre los 15 trabajadores (3 761 días); es decir, cada uno recibirá $11.96 por día trabajado individualmente, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 3 761. • Reparto proporcional al salario recibido. La otra mitad se repartió considerando el total de los salarios pagados por la compañía en el año ($523 100); es decir, cada empleado recibirá 0.086 de su salario individual recibido ese año, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 523 100. a) ¿Qué criterio favorece más a los empleados? b)Consulta la Ley Federal del Trabajo (artículo 117 en adelante) para conocer más sobre la ptue (www.diputados.gob.mx/LeyesBiblio/). www.edutics. mx/Zoy loscuatropueblos? • ¿Quécantidaddedineroletocaacadapueblo? 2 Engrupo,respondanlaspreguntasdelincisoddelejercicioanteriorperoahora considerenunaasignacióndeunmillóndepesos. Fuentes: “SantiagoHuauclilla”,enEnciclopedia de los Municipios de México.Enwww.e-local.gob.mx/ work/templates/enciclo/oaxaca/municipios/20463a.htm Consultadael14dediciembrede2011. “SantiagoHuauclilla”.Enwww.nuestro-mexico.com/Oaxaca/Santiago-Huauclilla Consultadael14dediciembrede2011. 71 g. pá 71 SFUMA1SB_B1.indd 71 24/02/12 13:37 Dinero y chocolates 1. Integrante Ahorro ($) María 3 500 Silvia 4 000 Rogelio 4 000 Concepción Sergio Devolución 7 43 8 43 8 43 $372.09 4 500 9 43 $418.60 5 500 11 43 $511.62 $325.58 $372.09 Página 71 a)El dinero que sobró debería ser repartido de manera proporcional a lo que aportaron. b)• A Rocío le tocarían 30 piezas; a Jorge, 20, y a Samuel, 10. • Un procedimiento consiste en multiplicar la fracción del costo total que aportó cada uno por la cantidad de piezas que tiene la caja de chocolates. c) • Juan aportó 83 del costo del boleto. • Carlos aportó 5 8 del costo del boleto. • Juan aportó $225 y Carlos, $375. •S e puede dividir el total de dinero que ganaron ($20 000) entre la cantidad que ganó Juan ($7 500) para obtener la fracción del total que aportó él. Luego se calcula la fracción que aportó Carlos, haciendo la resta de la unidad menos la parte que aportó Juan. Finalmente, se multiplican esas fracciones por el costo del boleto ($600). d) • Al pueblo de Santiago Huauclilla le corres239 ponden 460 del total; a San Bartolomé Zotula, 66 52 460 ; a San Juan Tlalixtlahuaca, 460 , y a Santiago 103 Ixtlahuaca, 460 . SFUMA1TG_B1.indd 42 Situación inicial 72 SFUMA1SB_B1.indd 72 Explora y construye 72 g. á p 24/02/12 13:37 • A Santiago Huauclilla le tocan $415 652.17; a San Bartolomé Zotula, $114 782.6; a San Juan Tlalixtlahuaca, $90 434.78, y a Santiago Ixtlahuaca, $179 130.43. 2.A Santiago Huauclilla, $519 565.22; a San Bartolomé Zotula, $143 478.26; a San Juan Tlalixtlahuaca, $113 043.47, y a Santiago Ixtlahuaca, $223 913.04. Página 72 Reflexiona 1. Una posible respuesta es que los tamales se podrían distribuir en partes iguales si se sustituyera la aportación económica por el trabajo. Nuevamente habría que repartir 100 entre 3. Regresa y revisa Página 72 1. a) Una manera es repartir las pérdidas de manera proporcional, de acuerdo con lo que cada quien invirtió. b) Julieta y Esther tendrían que pagar $10 000 cada una; Alfonso, $16 000; Tere, $24 000, y Rocío, $40 000. Observa y relaciona a) El primer criterio favorece a todos por igual, mientras que el segundo favorece más a los que tienen un sueldo mayor. 07/05/12 17:06 Bloque 1 / LECCIÓN 9 L9 43 Juegos de azar Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 8 del bloque 1 de Matemáticas de 2° de secundaria: comparar cualitativamente la probabilidad de eventos simples. Conceptos principales: juegos de azar, procesos aleatorios. Materiales: bolsa de plástico, canicas (cuatro blancas, cuatro verdes y cuatro negras por pareja), monedas y un dominó por pareja. Ideas erróneas 1. Hay situaciones en las que se toma en cuenta el orden de una combinación y otras en las que no. Generalmente depende del contexto o se especifica en las indicaciones de la actividad. Por ejemplo: los números 1 y 2, como pares de números son diferentes, es decir, (1, 2) ≠ (2, 1), pero si fueran fichas de dominó representarían la misma pieza. Situación inicial (pág. 73) En esta actividad, el alumno deberá notar que en algunos juegos de azar se tiene mayor posibilidad de obtener algunos resultados que otros. Explora y construye (págs. 73-76) Esta sección tiene la intención de que el alumno analice y distinga las situaciones en las que un resultado está completamente condicionado a un proceso aleatorio de las situaciones en las que no es así. Primero identificará los juegos de azar. Luego, mediante una serie de actividades, podrá analizar en cuáles hay un resultado favorito y en cuáles no. Finalmente, podrá concluir cuáles son las estrategias para elegir un número con más posibilidades de ser ganador. Regresa y revisa (págs. 76-77) Se busca que el alumno elija entre varios resultados el que sea favorito o, cuando sea el caso, concluya que todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir, basándose en la cantidad que hay de cada uno. SFUMA1TG_B1.indd 43 07/05/12 17:06 44 Bloque 1 / LECCIÓN 9 Solucionario y sugerencias didácticas Lección 9 Bloque 1 1 Escribeentucuaderno: a) Dosjuegosenlosqueintervenganprocesosaleatorios. b) Dossituacionesenlasqueelresultadodeunjuegodependamásdelashabilidadesdelosparticipantesquedelosprocesosaleatorios. 9. Juegos de azar Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. 2 Engrupo,leanlosjuegosylassituacionesdedoscompañerosycomenten cómointervienenlosprocesosaleatoriosenellos. Situación inicial Un juego de números evisa 1 Enequiposdecincopersonas,haganlosiguienteyrespondanloquesepide. 3 Enequiposdetrespersonas,analicenlasiguientesituaciónyrespondanlas preguntas. Jugador Turno A B C D E Enungrupodeprimerodesecundariaseelegirándosrepresentantesparaelcomitédeproteccióncivildelaescuela.LoscandidatospropuestosfueronCatalina, Natalia,José,PabloyLaura.Laeleccióndelosrepresentantesseharámediante sorteo:enunabolsacadacandidatometeráunpapeldeunmismotamañoydobladoalamitad,consunombre.Sinverdentrodelabolsa,otroalumnosacarádos papelesyconelloseobtendráelnombredelosrepresentanteselegidos.¿Creen queelparPablo-Joséganeelsorteo?¿Porqué? 1 Corten31pedazosdepapeldelmismotamañoyescriban unnúmeroenellosdelasiguientemanera:en20,anotenel número1;encinco,elnúmero2;enotroscinco,elnúmero 3,yenuno,elnúmero4. 2 3 4 5 6 Doblenlospapelesendosymétanlosenunabolsadeplástico.Tomenunpapelporturnoyanotenelnúmeroescritoen élenelcuadrodeladerecha.Devuélvanloalabolsadoblado denuevoendos.Despuésdesacar70veceslospapeles(14 porjugador),sumenlospuntosobtenidosparasaberquién eselganador. 2 Respondanlosiguiente. a) ¿Quénúmeroapareciómásveces? 7 a) ¿Quéotrosparessepuedenformar? 8 9 10 b) ¿LosparesJosé-LaurayLaura-Josésondiferentes?¿Porqué? 11 12 13 c) Sisesimulaelsorteovariasveces,¿creenquesepuedasaberquiénesserán 14 Total: losrepresentantes?¿Porqué? Cuadro 1.9.1. b) ¿Cuálapareciómenos? c) ¿Porquéalgunosnúmerosaparecenmásqueotros? 4 Simulenelsorteovariasvecesdelasiguientemanera. Endiferentespapeles,escribanelnombredelosinteresadosenparticiparenel comité.Doblenloscincopapeles,revuélvanlosytomendos.Escribanenelcuadro 1.9.2elparelegido.Devuelvanlospapelesalabolsayrevuélvanlos.Repitaneste procedimiento14veces.UtilicenlasletrasC,N,J,PyLpararepresentarenelcuadro,respectivamente,losnombresdeCatalina,Natalia,José,PabloyLaura. Analiza 1. En grupo, respondan lo siguiente. a) Si se juega de nuevo, ¿el resultado será el mismo? ¿Por qué? b)¿Es posible que en el juego el número 3 aparezca más veces que el 1? ¿Por qué? Turno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Resultado Explora y construye Cuadro 1.9.2. 5 Usenlainformacióndelatablapararesponderlosiguiente. Procesos aleatorios Cuandosetiraunvolado,haydosresultadosposibles;cuandoselanzaundado deseiscaras,hayseisresultadosposibles;sisejuegaalalotería,hayunnúmero determinadoderesultadosposibles.Pero,aunquesepuedanconocertodoslos resultadosposiblesdeestosjuegos,nosesabecuálseobtendrácadavez.Estoes loquesucedeenlosprocesosaleatorios.Enunjuegodeazarintervienenprocesos aleatorios. a) ¿Quéresultadodelossiguientesaparecemásveces:hombre-mujer,mujermujeruhombre-hombre? b) ¿Creenquesiserepitieracienveceselprocedimientolarespuestaalinciso anteriorseríalamisma?¿Porqué? 73 g. pá 73 SFUMA1SB_B1.indd 73 24/02/12 13:37 Situación inicial Página 73 Un juego de números 2.a)El resultado no tiene que ser el mismo para todos, pero el número que puede aparecer más veces es el 1. b)El número que puede aparecer menos es el 4. c)Porque hay más papeles con esos números. Analiza 1. a)El resultado puede no ser el mismo porque se pueden extraer otros papeles. b)Sí es posible, aunque es muy poco probable que suceda, pues hay menos papeles con el número 3 que con el número 1. Explora y construye Página 74 1. a)Por ejemplo, tirar un dado o sacar una carta de una baraja. b)Por ejemplo, lanzar dardos a un tablero o encestar un balón. Sugerencia didáctica. Se puede explicar la similitud entre el juego de dardos y el juego de sacar papelitos de la bolsa de plástico. En ambos se obtienen números, pero en el juego de dardos el participante más hábil acertará a los valores más altos, mientras que en el juego de los papeles no importa la habilidad. SFUMA1TG_B1.indd 44 74 SFUMA1SB_B1.indd 74 74 g. pá 24/02/12 13:37 3.Es posible que el par Pablo-José gane; otras posibilidades son cualquier otro de los pares mencionados en el siguiente inciso. a)Catalina-Natalia, Catalina-José, Catalina-Pablo, Catalina-Laura, Natalia-José, Natalia-Pablo, NataliaLaura, José-Laura y Pablo-Laura. b)No. Son el mismo par porque están integrados por las mismas personas. Sugerencia didáctica. Si aquí se presenta la idea errónea 1, se puede discutir para explicar que lo que se tiene en cuenta es la pareja elegida y no el orden en el que se toma el papel con el nombre. c)Una respuesta es que no se puede saber, ya que cada vez que se simule el sorteo pueden ser representantes distintos. 5.a)La respuesta más probable es hombre-mujer, aunque puede ser cualquier par. b)Una respuesta es: sí, pues hay más combinaciones hombre-mujer que las otras dos combinaciones. Página 75 6 a)Hombre-mujer. Sugerencia didáctica. Si hay tiempo, se puede preguntar a los alumnos cuál resultado de esa actividad se puede repetir más veces cuando hay, por ejemplo: • dos mujeres y tres hombres, • dos mujeres y dos hombres, • tres mujeres y un hombre, y • cuatro mujeres y un hombre. 07/05/12 17:06 45 Bloque 1 / LECCIÓN 9 Bloque Lección 9 1 6 Engrupo,discutanyrespondanlosiguiente. a) ¿Cuáldelossiguientesresultadoscreenqueseobtendríamássiserepitiera elsorteomilveces:hombre-mujer,mujer-mujeruhombre-hombre? b) ¿Esrelevanteparaelresultadoqueelnúmerodemujeresquequierenintegrar elcomitéseamayorqueeldehombres?¿Porqué? 5 Comparensusresultadosconlosdelosdemásequiposdelgrupoydiscutanlo siguiente. a) Sisetrataradeadivinarquécolorsaldrámáseneljuegodelascanicas,¿por cuálapostarías? b) ¿Hayalgunaestrategiaparaganareneljuegoanterior?¿Porqué? Más juegos de azar 1 Enparejas,tomenunamonedaycadaunoláncelaalaire25veces.Anotenlo quesaleencadalanzamientoenelcuadro1.9.3.PuedenutilizarlaletraApara representarelresultadoquesea“águila”ySparaelquesea“sol”.Ganaráquien obtengamásveces“águila”. 6 Repitanlosejercicios4y5,peroahorausencuatrocanicasblancas,tresverdes yunanegra.Registrensusresultadosyrespuestasensucuaderno. Turno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ¿Sólo azar? Total 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A S Busca en... www.edutics. mx/ZoF Jugador 1 Jugador 2 un simulador de un lanzamonedas. Cuadro 1.9.3. 2 Enlapenúltimacolumna,dondeapareceA,anotenelnúmerototaldeveces quesalió“águila”comoresultadodelvoladoy,enlaúltimacolumna,elnúmero devecesquesalió“sol”. Parajugardominó,lasfichasserepartendemaneraaleatoria. 1 Enparejas,respondanlosiguiente. a) Siessuturnoenunapartidadedominó,¿quédebenconsiderarparatiraruna ficha? b) ¿Sabríanconexactitudquéfichavanatirarenelsiguienteturno?¿Porqué? a) ¿Lahabilidaddecadajugadorintervinoenelresultadodeljuego? c) ¿Ganarunapartidadedominódependedelahabilidaddelosjugadores? b) ¿Algúnresultadosaliómásveces? 2 Engrupo,comentenalgunosjuegosdondeganardependetantodelazarcomo delahabilidaddecadajugador. c) ¿Porquéconsideranquesucedióeso? Reflexiona 3 Engrupo,verifiquensusrespuestasydiscutanlosiguiente:sirepitieraneljuego, ¿saldríanáguilasysolesencantidadessimilares? 1. José y Santiago estaban discutiendo de futbol. José decía que el resultado del juego se define sólo por la habilidad de los jugadores, pero Santiago decía que además depende del azar. ¿Tú qué opinas? 4 Enparejas,haganlosiguienteydespuésrespondanlaspreguntas. Coloquenenunabolsaquenoseatransparentecanicasdeigual tamañodelossiguientescoloresyenlascantidadesindicadas: blanco(cuatro),verde(cuatro)ynegro(una). Enelcuadro1.9.4,anotensusnombresenlasprimerasdosceldasvacías.Porturno,cadaquiensacaráunacanica,anotarásu colorenlatablaylaregresaráalacaja.Ganaquienobtengamás canicasdelmismocolor. a) ¿Quiénganóyconquécolor? b) ¿Quiénperdióycuálfueelcolorquemásobtuvo? Jugador Turno 1 Regresa y revisa 2 3 1 Respondelosiguienteentucuaderno. a) Eneljuegodelascanicas(ejercicio4delapágina75),sisetrataradeadivinar elcolorquesaldrámáseneljuego,¿cuálnodebeselegir?¿Porqué? b) ¿Considerasquesiunresultadotienemásposibilidadesdesalir,elegirloteda ventajasparaganar?¿Porqué? 4 5 6 7 8 2 Engrupo,discutansielúnicofactorparaganarunjuegoeselegirelresultado quetieneelmayornúmerodeposibilidadesdesalir. 9 10 Cuadro 1.9.4. 75 g. á p 76 75 SFUMA1SB_B1.indd 75 24/02/12 13:37 b) Sí es relevante, pues define el número de posibles combinaciones. Más juegos de azar 2.a)No. b)Sí. Algún resultado tiene que salir más veces. c)Porque hay un número impar de lanzamientos. Sugerencia didáctica. Se le puede preguntar al alumno qué jugador iba ganando después del segundo turno. Es muy probable que alguna pareja de jugadores esté empatada después del segundo turno, y pueden hacer un análisis acerca de por qué hay situaciones en las que conviene un número impar de lanzamientos para evitar el empate. Incluso se puede mencionar el conocido “dos de tres”. 3.No necesariamente; alguno de los dos puede salir más veces. 4.a) y b) Los resultados varían de pareja a pareja, pero los colores que aparecerán más veces serán el blanco y el verde. Página 76 SFUMA1SB_B1.indd 76 76 g. á p 24/02/12 13:37 b)No hay una estrategia para ganar, aunque elegir la canica negra es la peor opción. 6.a)Por la canica blanca. b)Una estrategia es elegir la canica blanca, aunque no hay certeza de que se ganará. ¿Sólo azar? a)Una posible respuesta es: primero hay que considerar cuáles fichas se pueden tirar en ese turno; luego, analizando las demás fichas que se tienen, decidir cuál da alguna ventaja. b)No se puede saber cuál ficha tirar en el siguiente turno, pues depende de lo que tiren los demás, aunque en ciertas situaciones sí es posible saberlo. c)No depende exclusivamente de la habilidad de cada jugador, pero sí es un factor importante. 2.Por ejemplo, el póquer y el backgammon. Reflexiona 1. El futbol es un deporte en el que la habilidad de los jugadores es primordial para obtener un resultado positivo. Sin embargo, eso no significa que un equipo con jugadores más hábiles siempre ganará: el resultado depende también de otros factores. 5.a)Por la blanca o la verde. Planeación Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 45 07/05/12 17:07 46 Bloque 1 / LECCIÓN 9 Lección 9 Resuelve y practica 1. En parejas, hagan lo siguiente y respondan las preguntas. Coloquen las fichas de un juego completo de dominó boca abajo y revuélvanlas. Saquen una ficha y registren en su cuaderno la suma de todos sus puntos, regrésenla boca abajo con las otras fichas y vuelvan a revolver todas. Repitan este procedimiento 50 veces. a) A partir de los resultados, ¿cuál suma consideran que tiene más posibilidades de salir: 6 u 8? b)Si les pidieran adivinar la suma de los puntos de una ficha de dominó elegida al azar de entre el total de las fichas, ¿cuál propondrían? ¿Por qué? 2. En equipos de tres, hagan lo siguiente. Cada quien elija uno de estos pares de números: 1 y 2; 3 y 4; 5 y 6. De acuerdo con ello, anoten su nombre en las celdas de inicio de columna del cuadro que aparece más adelante. Lancen un dado sobre una superficie plana. Anoten una G en la celda ganadora del primer turno. Hagan lo mismo hasta el último turno. Gana el jugador que acumule más turnos ganadores. Nombre del jugador (puntos elegidos) Turno (1 o 2) (3 o 4) Nombre del jugador (puntos elegidos) Turno 13 2 14 3 15 4 5 6 (1 o 2) (3 o 4) (5 o 6) 16 17 18 7 19 8 20 9 21 10 y revisa (5 o 6) 1 22 11 23 12 24 Cuadro 1.9.5. Ahora respondan las preguntas. a) ¿Qué pares de números resultaron ganadores? b)¿Consideran que en este juego interviene la habilidad del jugador? 3. Comparen en grupo los resultados de todos los equipos y contesten lo siguiente. a) ¿Coinciden los pares ganadores de todos los equipos? ¿Por qué? 77 g. pá 77 SFUMA1SB_B1.indd 77 24/02/12 13:37 Regresa y revisa Página 76 1. a) El negro, porque sólo hay una canica de ese color, mientras que hay cuatro canicas de cada uno de los otros colores; es decir, la canica negra saldrá menos veces. b)Sí, porque hay más posibilidades de obtener ese resultado. 2.No es el único factor, pues no hay una certeza de que el resultado elegido será el ganador, aunque sí es una buena estrategia. Página 77 Resuelve y practica Sugerencia didáctica. Algunos alumnos escribirán que 8 es la suma que tiene más posibilidades, pues así sucedió en su experimento. Es importante comparar varias respuestas y analizar que hay más combinaciones que permiten obtener el número 6 que combinaciones que permiten obtener el 8. b)El número 6, pues se obtiene con más sumas que los demás números: con las fichas (0, 6), (1, 5), (2, 4) y (3, 3). 2.a)Depende de cada equipo, pues no hay números favoritos. b) No, pues es un juego de azar y todos los números tienen la misma posibilidad de salir. 3.a) Lo más seguro es que no, pues es un experimento aleatorio con la misma posibilidad para todos los resultados. 1. a) La respuesta que se espera es 6. SFUMA1TG_B1.indd 46 07/05/12 17:07 Bloque 1 / Evaluaciones 47 Autoevaluación 1 Lee cada uno de los siguientes enunciados. 2 Señala si es falso (F) o verdadero (V). 3 Explica cómo verificarías tu respuesta. Enunciado F 1 V ü a) 5 es igual a 0.26. 20 5 = 100 = 0.20 ≠ 0.26. 12 3 b) Si un número a es menor que 5 y otro ü 3 número b es mayor que , entonces, en 5 la recta numérica, a está a la izquierda de b. 7 c) Si en un rectángulo el perímetro es de 3 cm y uno de los lados mide 3 cm, entonces el otro 4 5 cm. lado mide 12 d) La sucesión 7, 9, 11,… es de progresión geométrica. ü Calcular el perímetro con los datos que se indican: (L + L + A + A =) 3 + 3 + 5 + 5 = 9 + 9 + 5 + 5 = 28 4 4 12 12 g) En un triángulo con un ángulo obtuso, el ortocentro siempre se ubica fuera de él. h) Cecilia trabajó tres días de 8 am a 1 pm, y 12 12 12 12 9 ü Usar la fórmula para calcular el área de un triángulo ( b x h ) y multiplicar por 2 la altura. ü Los extremos del segmento son los vértices del triángulo; para encontrar el tercer vértice se trazan dos circunferencias, cada una con centro en un extremo del segmento, con un radio igual a la medida de éste; esas circunferencias se intersecan en dos puntos, y cualquiera de ellos es el tercer vértice del triángulo equilátero. ü Se trazan varios triángulos obtusángulos y sus ortocentros. 2 ü Hay que repartir una cantidad de dinero entre las dos personas, pero Cecilia trabajó 15 horas en total y Juan, 20, por lo que les corresponden cantidades de dinero diferentes. ü Al lanzar un dado todos los resultados tienen la misma posibilidad de salir, por lo que no hay forma de predecir el resultado del tiro número 11, es decir, no hay ninguna estrategia. i) Si se va a lanzar 11 veces un dado, una 4 En la página 85 podrás revisar cuáles enunciados son falsos y cuáles verdaderos. Revisa en tu libro los temas de las respuestas erróneas; de ser necesario, replantea tus propuestas de verificación y aplícalas. SFUMA1TG_B1.indd 47 12 = 7 , por lo tanto, el enunciado es cierto. 7 Los cocientes 9 y 11 son distintos, por lo tanto, no es una sucesión con progresión geométrica. ü f) Dado un segmento, es posible construir un triángulo equilátero sólo usando compás y regla no graduada. estrategia para adivinar el número que caerá en el volado número 11 consiste en elegir el número que caiga más veces en los primeros 10 tiros. Como en la recta numérica el número a se localiza a 3 3 la izquierda de 5 (pues a es menor que 5 ), y como el número b se localiza a la derecha de 3 (pues b es 5 3 mayor que 5 ), entonces a está a la izquierda de b. 3 e) Si un triángulo de base m y altura z aumenta su altura al doble, entonces el área del triángulo resultante es m por z. Juan, dos días de 8 am a 6 pm, por lo cual a ambos deben pagarles la misma cantidad de dinero. Propuesta de verificación 83 07/05/12 17:07 48 Bloque 1 / Evaluaciones Evaluación ENLACE 1 ¿Cuál es el numerador de la fracción con denominador 3 que ocupa la misma posición que 0.3 en la recta numérica? a) b) c) d) 8 12 1 No existe tal fracción. 2 Observa la siguiente recta numérica. 0 1 b ¿Qué número corresponde a la posición b? 13 a) 5 5 b) 8 8 c) 5 d) 1.3 3 Tres personas compraron un boleto de lotería en $60 y ganaron un premio de 1.5 millones de pesos. Si el reparto se hizo proporcionalmente y a una le tocó medio millón de pesos, ¿cuánto aportó dicha persona? a) b) c) d) $20 $25 $30 $40 4 La intersección de las mediatrices de un triángulo se encuentra en el punto medio de uno de sus lados cuando el triángulo es… a) b) c) d) equilátero. isósceles. rectángulo. escaleno. 5 Una fórmula para preparar una mezcla dice lo siguiente: “En un matraz aforado 5 de un litro mezcle 8 de litro de la solución A y 0.1 litros de alcohol etílico. Complete la mezcla con agua destilada hasta 1 litro”. ¿Cuántos litros se necesitan de agua destilada? 2 a) 8 3 b) 9 11 c) 40 15 d) 8 84 SFUMA1TG_B1.indd 48 07/05/12 17:07 Bloque 1 / Evaluaciones 49 Evaluación PISA 5 1 Para hacer unos bastidores, un carpintero utilizará clavos que miden 8 de pulgada, de modo que al clavarlos queden fuera de la madera 0.1 pulgadas para colocar unas abrazaderas. Determina cuánto mide la parte de cada clavo que quedará dentro de la madera. La parte del clavo que queda dentro de la madera es 5 8 – 1 10 = 21 40 de pulgada. 2 Indica en la regla correspondiente la longitud de cada uno de los clavos cuyas medidas se presentan a continuación. NM O Clavo Longitud M 3 de pulgada 4 N 5 de pulgada 8 O 1 1 pulgadas 4 X 1.2 cm Y 3.8 cm Z 7.6 cm Pulgadas Centímetros X Y Z 3 En un centro comercial se apilan latas de duraznos del siguiente modo. a) ¿Cuántas latas habrá apiladas en un arreglo con 20 niveles? b) ¿Y en uno de 100 niveles? 210 latas. 5 050 latas. Respuestas de la autoevaluación de la página 83. Enunciados falsos: a, d, h, i; enunciados verdaderos: b, c, e, f, g. 85 SFUMA1TG_B1.indd 49 07/05/12 17:07 165 B1 Evaluación Nombre del alumno Grupo Fecha Subraya la respuesta correcta. 1. Cecilia compró un terreno. Ocupó una tercera parte para hacer un balneario, puso una sexta parte en renta y ocupará una octava parte para sembrar. ¿Qué parte del terreno quedará disponible? 1 a) 17 9 b) 24 15 c) 24 d) 17 3 2.¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un rectángulo cuyos lados miden L y 2L? a) 3 × L b)2L × L c)4L + 2L d)L × L + 2L × 2L 3.Saúl y José compraron un boleto de lotería con el que ganaron $900. Saúl puso 23 del costo del boleto y José lo demás. Si se distribuyeron la ganancia de manera proporcional, ¿cuánto dinero le tocó a José? a) $300 b)$900 c)$600 d)$0 4.De las siguientes opciones, ¿cuál es un juego de azar? a) Volados. b)Ajedrez. c)Dardos. d)Rayuela. SFUMA1TG_B5.indd 165 07/05/12 17:50 166 Bloque 1 5.En un triángulo, las alturas son: a) las rectas que pasan por un vértice y dividen en dos partes iguales su lado opuesto. b)las rectas que dividen un ángulo interior en dos partes iguales. c)los segmentos que van de un vértice a su lado opuesto y lo cortan perpendicularmente. d)los segmentos que unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto. 6.Cuando se comparan dos números racionales con el mismo denominador, la manera más sencilla de saber cuál es más grande consiste en: a) multiplicar por el denominador común y simplificarlas. b)observar qué numerador es mayor. c)identificar el más cercano al cero en la recta numérica. d)reducirlas a su mínima expresión y compararlas. 7. Un paquete de cuatro donas se repartió en partes iguales entre cinco personas. ¿Qué fracción le tocó a cada quién? a) 0.8 b)0.45 c) d) 5 4 1 5 8.¿Cuál de los siguientes números se encuentra entre 0.001 y 0.002? a) 0.0010 b)0.0110 c)0.0012 d)0.0120 9.¿Cuál enunciado describe adecuadamente el sentido de la expresión 3n + 2? a) La tercera posición se multiplica por n y al resultado se le suman dos unidades. b)Tres veces la suma de la posición n más 2. c)Se suma 3 más 2 y el resultado se multiplica por la posición n. d)Se multiplica 3 por el número n y al resultado se le suma 2. 12 ? 10.¿Cuál de las fracciones es equivalente irreducible de 42 24 a) 84 6 b) 21 c) d) SFUMA1TG_B5.indd 166 2 7 3 8 07/05/12 17:50 evaluación 175 Respuestas a las evaluaciones BLOQUE 1 BLOQUE 2 BLOQUE 3 1 A B C D 1 A B C D 1 A B C D 2 A B C D 2 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 3 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 4 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 5 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 6 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 7 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 8 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 9 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 10 A B C D BLOQUE 4 BLOQUE 5 1 A B C D 1 A B C D 2 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 9 A B C D 10 A B C D SFUMA1TG_B5.indd 175 10 A B C D 10 A B C D 07/05/12 17:50