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TEMA
8:
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO
Hay movimiento por todas partes a nuestro alrededor, lo vemos en la actividad cotidiana de las personas,
en los coches que pasan por la carretera y, con un poco de paciencia, lo vemos en las estrellas por la noche.
A nivel microscópico hay movimientos que no percibimos directamente: los átomos en movimiento producen
calor y sonido, los electrones que fluyen producen electricidad, y los electrones que vibran dan origen a la
radio y la televisión. Incluso la luz que nos permite ver el movimiento tiene su origen en el movimiento de
los electrones de los átomos.
El movimiento está en todas partes, es fácil reconocerlo pero no lo es tanto describirlo
Nosotros vamos a definir el movimiento es términos de razones de cambio, las cuales nos indican
cuánto cambia una cantidad en un cierto intervalo de tiempo. Describiremos el movimiento en
función de la rapidez, velocidad y aceleración.
1- EL MOVIMIENTO ES RELATIVO
Todo se mueve. Hasta las cosas que parecen estar en reposo se mueven respecto al sol y las estrellas, es
decir, su movimiento es relativo a estos astros. Un libro que está en reposo respecto a la mesa sobre la
que se encuentra se mueve a unos 30 km por segundo respecto al sol, y aún más deprisa respecto del
centro de nuestra galaxia. Cuando viajamos en un avión, creemos que estamos en reposo y no dudaríamos
en afirmar que la azafata que se pasea por el pasillo está en movimiento.
Cuando estudiamos el movimiento de un objeto, lo describimos respecto de otro objeto. Entonces, ¿cuándo
podemos decir que un objeto se mueve?
Un objeto se mueve cuando su posición varía con respecto a un punto o un sistema de referencia
elegido que se considera fijo
En esta definición se introducen dos conceptos claves para la comprensión de los movimientos: La
posición de un móvil y el sistema de referencia con respecto al que se determina la posición
A la hora de analizar la mayoría de los movimientos de muchos cuerpos (como el de la Tierra, el de un
avión, etc…), se considera que éstos se mueven como un único punto, siempre y cuando las dimensiones
del cuerpo no interfieran en el estudio del movimiento. Ese punto dotado de la masa del cuerpo , se
denomina “punto material”
1.1- SISTEMA DE REFERENCIA Y MOVIMIENTO
Es un punto del espacio respecto al cual describimos
el movimiento.
y
Un objeto se encuentra en movimiento si cambia su
posición respecto al sistema de referencia
Para determinar con cierta exactitud la posición de
j
un objeto es necesario especificar tres coordenadas
(tantas
como
dimensiones
hay);
a
las
k
dos
correspondientes a la representación en un plano hay
x
i
z
que añadir la altura.
Por tanto, los sistemas de referencia cuentan a su vez con uno (x), dos (x,y) o tres ejes
(x,y,z), perpendiculares entre sí, según trabajemos en una recta, en un plano, o en el espacio.
1.2- VECTOR POSICIÓN ( r )
La posición de un cuerpo con respecto a un punto de referencia queda definida por el vector que une dicho
punto de referencia con el lugar ocupado por el cuerpo. El origen de dicho vector de posición es el del
sistema de referencia elegido, y su extremo, el lugar ocupado por el cuerpo. Utilizando la simbología
matemática (x, y, z); su expresión será:
Observamos como el vector posición
(rr )
r
r
r
r
r =xi +y j +zk
se expresa en función de las coordenadas y para dar carácter
vectorial a mismas, cada una de ellas se multiplica por los vectores unitarios
( ir , rj , kr ) de módulo uno
Cuando el movimiento transcurre en línea recta, se puede prescindir de la notación vectorial. En este
caso utilizaremos los signos + y – para indicar los dos posibles sentidos
Representación de vectores posición
En dos dimensiones
En tres dimensiones
y
y
P
P
r
j
k
i
j
z
i
2
x
r
r
r
r =4 i +3 j
r
r
r
r
r =3 i +2 j +2 k
x
2- ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (ECUACIÓN DE LA POSICIÓN)
Imagina que un cuerpo se desplaza 5 m cada segundo en una dirección determinada (por ejemplo en el
ejex). Al cabo de un segundo, estará a 5m del punto de partida; en dos segundos, se encontrará a 10
metros, despues de tres a 15m, y así sucesivamente. Su posición cambia con el tiempo, es decir , el
vector de posición es una función del tiempo y lo expresaríamos así:
x = 5 ⋅ t ( m)
Para ser más rigurosos , también se puede escribir su posición vectorialmente:
r
r
r = 5 ⋅ t i (m)
La ecuación que proporciona la posición de un objeto con respecto al tiempo se llama “ecuación
r
r
r
r
r (t) = x(t) · i + y(t) · j +z(t) · k
del movimiento”:
El hecho de que el factor tiempo aparezca en la expresión de la posición indica que el cuerpo está
en movimiento
Al dar diversos valores al tiempo, se pueden representar las distintas posiciones que va ocupando
el cuerpo. Si se unen dichas posiciones mediante una línea, habremos dibujado la trayectoria que
sigue un cuerpo en su movimiento
Ejercicio:
Sea el movimiento definido por la siguiente ecuación
r
r
r
r = 2t i + 8 j
en unidades del S.I. Dibujar los
vectores posición en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos.
t (s)
r (m)
Coordenadas
y
r
r
(0,8)
0
8 j
2
4 i+8 j
4
8 i+8 j
6
12 i + 8 j
r
r
r
55
r
(4,8)
r
(8,8)
5
10
x
r
(12,8)
En este caso la trayectoria seria una línea recta
3
Ecuaciones paramétricas.
Son las ecuaciones que relacionan cada componente cartesiana con el tiempo. x = f(t) ; y = f(t) ;
z = f(t)
Son ecuaciones escalares (no vectores).
Ejemplo:
En el vector:
r
r
r
r
r (t) = [2t i + (1–t) j + (3t2+4) k ] m, las ecuaciones paramétricas serían:
x = 2t ;
y=1–t ;
z = 3t2 + 4
3.- DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO
Cuando se habla del movimiento de los cuerpos, con frecuencia se emplean indistintamente y con
escaso rigor ciertos términos que es preciso distinguir:
3.1 - TRAYECTORIA
La trayectoria es la línea geométrica que el cuerpo describe en
y
trayectoria
su movimiento.
Los diferentes puntos de dicha línea se obtienen dando valores a
“t” en la ecuación del movimiento (paramétricas).
Ecuaciones de la trayectoria.
Se obtienen despejando el parámetro (tiempo) en una
ecuación y sustituyendo el valor en la otra. Son ecuaciones
j
i
x
escalares (no vectores).
Ejercicio:
Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por
la ecuación:
4
r
r
r
r (t) = [(t – 2) i + (2t2 + 4t –3 ) j ] m
Ecuaciones paramétricas:
x=t–2 ;
y = 2t2 + 4t –3
Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2, y sustituyendo en la segunda:
y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3 = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3
y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3
Ecuación de la trayectoria:
y = 2 x 2 + 12x + 13
3.2- VECTOR DESPLAZAMIENTO ( (∆ r ) )
r
Desplazamiento significa lo mismo que “variación de la posición”, es decir, es la diferencia entre la
posición inicial y la final. Dado que la posición se representa mediante vectores, el desplazamiento
será un vector cuyo origen es la posición inicial y cuyo extremo es la posición final del cuerpo. Por
lo tanto el vector desplazamiento es el resultante de la diferencia de dos vectores de posición en dos
momentos distintos.
r r
r
∆ r = r final − rinicial
r
r
r
r r r
∆ r = r 1 – r 0 = (x1–x0) i + (y1–y0) j + (z1–z0) k
r
r
r
r
∆ r = ∆ x i + ∆ y j + ∆z k
Ejercicio:
Cuál será el vector desplazamiento y su módulo en la ecuación:
r
r
r
r (t) = 3t i + (2t2 – 6) j
en
unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.
r
r
r
r
r
r
r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j ) m ;
r2 (t= 4 s) = (12 i + 26 j ) m
r
r
r
r
r
r
r r
∆r = r2 – r1 = ∆x i + ∆y j + ∆z k = [(12 – 6) i + (26 – 2) j ] m
r
r
r
∆r = (6 i + 24 j ) m
r
 ∆r = (62 + 242)1/2 m = (36 + 576)1/2 m = 24,74 m
3.3- ESPACIO RECORRIDO (∆S)
Es una magnitud escalar que mide la longitud de trayectoria
y
∆r
recorrida.
NO hay que confundir con el vector desplazamiento;
r1
normalmente ∆s >  ∆r , aunque en trayectorias rectilíneas y
r
que no cambien de sentido el movimiento: ∆s =  ∆r 
∆s
r2
r
j
i
x
5
4- LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS
Un objeto en movimiento recorre una cierta distancia en un tiempo determinado. Un coche, por ejemplo,
recorre un cierto número de kilómetros en una hora. La rapidez es una medida de qué tan aprisa se mueve
un objeto. Se define como la distancia recorrida por unidad de tiempo. Cualquier combinación de
unidades de distancia y tiempo que sean útiles y convenientes son válidas para describir una rapidez, su
unidad en el sistema internacional son los m/s.
4.1 – RAPIDEZ MEDIA O CELERIDAD (VM)
Cuando alguien planea realizar un viaje en coche, a menudo le interesa saber cuánto tiempo invertirá en
recorrer cierta distancia. Desde luego, el coche no viajará con la misma rapidez durante todo el recorrido.
Al conductor le interesará sólo la rapidez promedio a lo largo del trayecto:
rapidez media =
dis tan cia total recorrida
int ervalo de tiempo
La rapidez media o celeridad no nos indica las variaciones de rapidez que pueden ocurrir durante el
trayecto. En la práctica, durante el viaje, experimentaremos varias, de manera que la rapidez promedio
suele ser muy diferente de la rapidez instantánea
vm =
∆s
∆t
En el lenguaje cotidiano empleamos las palabras rapidez y velocidad de manera indistinta. En
física hacemos una distinción entre ellas; la diferencia es que la velocidad es la rapidez en una
dirección determinada. Cuando decimos que un coche viaja a 60 km/h estamos indicando su
rapidez. Pero si decimos que se desplaza a 60 km/h hacia el norte estamos especificando su
velocidad
La rapidez describe cómo de rápido se desplaza un objeto (es una magnitud escalar) (
vm )
r
La velocidad nos dice cómo de rápido y en qué dirección (es una magnitud vectorial) ( v m )
4.2 – VELOCIDAD MEDIA
(vrm )
En términos físicos, la velocidad media de un cuerpo es la relación entre el desplazamiento efectuado y el
tiempo invertido en realizarlo. Es por lo tanto una magnitud vectorial.
r
r
∆r
vm =
∆t
6
⇒
r
∆x r ∆y r ∆z r
vm =
i +
j+
k
∆y
∆t
∆t
⇒
r
r
r
r
v m = v m x i + v m y j + v mz k
La dirección y el sentido del vector velocidad media es igual
r
desplazamiento (∆ r ) ya que ∆t es un escalar.
NO hay que confundir
(vrm )
que la del vector
con el escalar vm= ∆s/∆
∆t que, en Física, llamaremos rapidez o
celeridad media.
Ni siquiera el módulo del vector velocidad media
 v m tiene porqué coincidir con la rapidez o
r
celeridad media. Por ejemplo, un corredor que da una vuelta completa a un circuito tendrá
r
r
v m = 0 ya que ∆ r = 0. Sin embargo tiene una rapidez que viene determinada por la longitud
de la pista (∆
∆s) dividido por el tiempo empleado en cubrir la vuelta (∆
∆t).
En el S.I. la unidad será el m/s.
La paradoja de la velocidad media
Si se intentara evaluar la velocidad media correspondiente al tiempo que tarda en hacer un trayecto
de ida y vuelta a la misma posición inicial, se obtendría un resultado paradójico: un movimiento con
velocidad media cero, ya que las posiciones inicial y final coinciden.
Esta circunstancia restringe el concepto de velocidad media prácticamente a movimientos rectilíneos
y uniformes, aunque lo que realmente es útil es utilizar la velocidad instantánea y, por ello, nos
referiremos a ella como “velocidad” a secas
4.3 – VELOCIDAD INSTANTÁNEA
(vr )
En términos físicos, la velocidad instantánea se define como la velocidad media en el límite en que el
tiempo se hace casi cero.
r
r
r
∆r
v = lim v m = lim
∆t →0
∆t →o ∆ t
Ahora bien, ¿cómo se calcula la velocidad instantánea de un determinado movimiento? Vamos a verlo
con un ejemplo:
Ejemplo 1:
Imagina un cuerpo que se mueve en la dirección del eje x según la ecuación: x= 3t2 – 4t (m). Se desea calcular se
velocidad instantánea cuando t=2 segundos. Evidentemente para medir la velocidad se necesita un intervalo de
tiempo, por pequeño que sea este. Fíjate que se escribe ∆t → 0 (que se lee incremento de tiempo tiende a cero) y
no ∆t = 0, ya que en este caso no podría haber desplazamiento. El procedimiento sería:
Seleccionar un intervalo de tiempo lo más pequeño posible. Así, por ejemplo, se toma un intervalo de
0,0001 segundos
Calcular la velocidad media en ese intervalo de tiempo
Xiniccial = x (t=2) = 4m
vm =
xfinal = x (t= 2+0,0001) = 4,00080003 m
x final − xinicial
∆t
= 8,0003 m / s
El valor hallado es prácticamente la velocidad instantánea en el tiempo t= 2 s . Decimos
“prácticamente” y no exactamente porque el valor exacto sería el valor límite al que tendería la serie
de valores que se obtendrían al considerar intervalos de tiempo cada vez más pequeños
7
Ejemplo 2 :
Calcular la velocidad instantánea aproximada en el instante t = 2s, en el movimiento:
r
r
r
(t) = [3t i
+ (2t2 – 6)
r
j
y
] m
∆r03
Si queremos calcular v (t = 2 s) de forma más aproximada deberemos tomar un ∆t aún menor, por ejemplo
r0
∆r02
0,01 s, y conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r3 (t = 2,01 s).
r3
r
r
r
r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j ) m
r
r
r
r3 (t =2,01 s) = (6,03 i + 2,0802 j ) m
r
r
r r r
∆r = r3 – r1 = (0,03 i + 0,0802 j ) m
∆r01
r2
r1
x
r
r
r
r
r
∆r (0,03 i + 0,0802 j )
vaprox (t=2 s) =
=
= (3 i + 8,02 j ) m / s
∆t
0,01
Por lo tanto, el vector velocidad instantánea es el vector valor límite que toma la velocidad media cuando
los intervalos de tiempo ∆t van aproximándose a 0.
r
r
r
∆ r03 tiene un módulo más cercano al espacio recorrido ∆s03 que ∆ r02 a ∆s02 y ∆ r01 a ∆s01
r
A medida que ∆t se hace más pequeño también es menor ∆s y  ∆ r  y además ambos valores se van
r
aproximando cada vez más, por lo que en el límite cuando ∆t → 0, ∆ r será tangente a la
trayectoria y su módulo coincidirá con ∆s.
Matemáticamente la expresión que hemos empleado para calcular la velocidad instantánea como límite
cuando ∆t → 0 de intervalos de
r
∆ r cada vez más pequeños equivale a la derivada de una función;
en este caso; derivada con respecto al tiempo del vector de posición
r
r
r
r (t + ∆t ) − r (t )
r
r dr
v = lim
⇒v=
t →0
∆t
dt
Componentes cartesianas de la velocidad instantánea
r
r
r
r
r
∆x i + ∆y j + ∆z k
∆r
v = lim
= lim
∆t
∆t
∆t→0
y
V1
V2x
∆t→0
r1
V2y
r2
V2
r
r dr dx r dy r dz r
v=
=
i+
j+ k
dt dt
dt
dt
x
8
r
r
r r r
v = v x + v x = vx i + vy j
r
r
r
r
v = v x i + vy j + v z k
r
La dirección de v es tangente a la trayectoria en el instante en el que calculemos la velocidad.
El sentido es el del movimiento.
Método práctico de derivación de polinomios
Por ahora sólo se necesitará derivar polinomios, lo cual en la práctica es bastante sencillo:
basta multiplicar el exponente de la variable dependiente por el coeficiente y rebajar en un
grado el exponente de la variable dependiente; y eso con cada uno de los términos del
polinomio.
En general, sea y = a · xn + b · xn–1 + ... + f · x + g
dy/dx = n·a· xn–1 + (n –1)·b· xn–2 + ... + f
Ejemplo:
Obtener dx/dt sabiendo que: x = 5 t3 + 4 t2 – 3 t + 2
dx/dt = 15 t2 + 8t – 3
5.- La aceleración de los cuerpos
La aceleración de un cuerpo mide la rapidez con que varía su velocidad. Matemáticamente la podemos
r
r r
r ∆ v v final − vinicial
=
expresar de la siguiente forma: a =
∆ t t final − t inicial
La aceleración así definida se denomina aceleración media y su unidad en el SI es m/s2
La aparente sencillez de esta definición, sin embargo encierra dos aspectos muy importantes que hay que
tener en cuenta:
Dado que la velocidad es un vector, varía cuando lo
V1
hace cualquiera de sus atributos. Por tanto, la
aceleración no sólo se produce cuando cambia el valor
y
(módulo) de la velocidad, sino que basta con que se
modifique la dirección de la velocidad para que exista
aceleración aunque el módulo de la velocidad no cambie.
Variación
“aumento”
de
de
la
velocidad
velocidad,
no
siempre
también
significa
puede
∆V
r1
r2
V2
ser
“disminución”. En ambos casos, se trata de un
movimiento con aceleración
V2
r
r r
∆v = v 2 − v1
9
5.1- ACELERACIÓN MEDIA ( a m )
r
La definición es similar a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues
indica la variación de velocidad con el tiempo.
r
r
r
r
r
∆v ∆v x i + ∆v y j + ∆v z k
am =
=
∆t
∆t
r
r
r
r
a m = amx i + amy j + amz k
5.2- ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ( a )
r
Todo lo que hemos dicho para la velocidad es igualmente aplicable a la aceleración. En términos físicos, la
aceleración instantánea se define como la aceleración media en el límite en que el intervalo de tiempo es
prácticamente cero
r
r
r
r
∆v d v
a = lim a m = lim
=
∆t →0
∆t → 0 ∆ t
dt
r
r
r
∆v x i + ∆v y j + ∆v z k
r
a = lim
∆t → 0
∆t
r
r
r
r dv r dv y r dv z r
r
⇒ a= xi +
k ⇒ a = axi + ay j + az k
j+
dt
dt
dt
r
r
La dirección y el sentido de a son los mismos que los del vector incremento de velocidad ∆ v
5.3- COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN ( a n
r
r
y at )
Puesto que la velocidad es un vector (con sus tres atributos), podremos distinguir dos tipos de aceleración:
una asociada a la variación del módulo de la velocidad y otra asociada a los cambios en la dirección de la
velocidad (es decir, a los cambios en la dirección del movimiento). Estos dos tipos de aceleración se suelen
llamar componentes intrínsecas y son:
ACELERACIÓN TANGENCIAL: El término aceleración implica cambios en la velocidad, mientras que
tangencial indica que la dirección en la que actúa es la tangente a la trayectoria y, por tanto, la misma
dirección que el vector velocidad. Por consiguiente sólo afectará al módulo de la velocidad. La podemos
definir como un vector con los siguientes atributos:
MÓDULO: Su valor equivale a la rapidez con que varía el módulo de la velocidad
⇒
at =
dv
dt
DIRECCIÓN: Es tangente a la trayectoria en todos los puntos
SENTIDO: Igual que el del movimiento si el módulo de la velocidad aumenta y contrario si disminuye.
VECTORIALMENTE :
10
r
r
dv r
at =
u t donde u t es un vector unitario en la dirección
dt
tangencial
ACELERACIÓN NORMAL, RADIAL O CENTRÍPETA: El término centrípeta indica que su dirección de actuación
es hacia el centro de la curva. Por tanto, este tipo de
aceleración aparece cuando los movimientos son curvilíneos.
Produce cambios en la dirección de la velocidad sin afectar a su
módulo. Como vector tiene las siguientes características:
MÓDULO: Su valor equivale a dividir el cuadrado del valor de
la velocidad entre el radio de la curva descrita
ac =
v2
r
DIRECCIÓN: Es radial, es decir, la dirección del radio de la
curva descrita
SENTIDO: Es siempre hacia el centro de la curva
Empleando NOTACIÓN VECTORIAL
r
v2 r
⇒ ac =
⋅ ur
r
donde
r
u r , es el vector unitario en la dirección
radial. El signo negativo indica que está dirigida hacia el centro de la curvatura.
11
EJERCICIOS
1. Escribe el vector de posición y calcula sus módulos correspondientes para los siguientes puntos: P1
(4,2,–1), P2 (–3,1,0) y P3 (1,0,–5); Las unidades de las coordenadas están en el Sistema Internacional.
2. Sea
r
r
r
r
r
r (t) = (3t – 4) i + 3 j – 2 k , en unidades del SI, el vector de posición de un móvil Calcula r (t)
para t = 2 y t = 5 s así como el vector desplazamiento entre ambos instantes.
3. Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la
r
r
r
ecuación: ( r t) = [(t2 – 5 t – 2) i + (3 t +1) j ] m.
4. Las ecuaciones paramétricas de un móvil son: x = 2 t – 1, y = 2 t2 + t – 4 , en unidades SI. Obtén la
ecuación de la trayectoria y decide qué tipo de curva es.
5. El vector de posición de una partícula es: ( r t) = (2 t2 + t – 1)
r
r
r
i + (t +2) j , en unidades Sl. Determina:
a) El vector de posición en los instantes t = 1 y t = 3 s. b) El vector desplazamiento entre los instantes
anteriores y su módulo. c) La ecuación de la trayectoria en unidades SI. Dibuja aproximadamente esta
trayectoria.
6. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) el espacio recorrido es siempre igual
al módulo del vector desplazamiento; b) el espacio recorrido es siempre igual al módulo del vector
desplazamiento sólo en los movimientos lineales; c) la velocidad y la rapidez instantáneas son
magnitudes idénticas; d) el módulo de la velocidad instantánea es siempre igual a la rapidez instantánea;
e) el módulo de la velocidad media es siempre igual a la rapidez media; f) un móvil cuya rapidez es
distinta de cero puede tener el módulo de su vector velocidad media igual a cero entre dos puntos de su
trayectoria.
7. Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2,5 s y t = 3,5 s, así como su módulo en el
r
r
r
movimiento:
(t) r = [(t2 + 4 t – 2) i + (3t – 1) j ] m.
8. Un móvil se desplaza en línea recta a lo largo del eje x ocupando las siguientes posiciones a cada
instante de tiempo:
t (s)
x (m)
0
0
2
8
4
32
6
72
8
112
10
152
12
192
Contesta: a) A partir de los datos, ¿cuántos movimientos distintos observas? b) ¿Cuál será la
ecuación de la posición en función del tiempo en cada tramo? c) ¿Cual es el vector posición en los
instantes t = 1 s y t = 9 s? d) ¿Cual es el vector desplazamiento y el vector velocidad media entre los
puntos del apartado anterior?
9. Un
movimiento
viene
determinado
por
las
siguientes
ecuaciones
paramétricas:
x (t) = 5 – t; y(t) = 3 t2 – 2 t + 7; en unidades del S.I. Expresa en forma cartesiana a) los vectores de
posición para t = 3 s y t = 5 s. b) el vector desplazamiento entre ambos puntos. c) Calcula, bien usando
derivadas, o bien de forma aproximada utilizando ∆t = 0,01 s las componentes del vector velocidad para
t = 3 s y su módulo. d) Escribe la ecuación de la trayectoria.
12
10. Un móvil sigue el recorrido A→B→C indicado en el gráfico (las distancias se miden en metros).
a) Calcular el vector desplazamiento en cada uno de los dos tramos. b) Si el tiempo que tarda en
completar el tramo A→B es de 5 s y el B→C de 10 s, calcula el vector velocidad media de cada tramo
así como la velocidad media total; c) Calcula los módulos de todas las velocidades obtenidas en el
apartado anterior.
11. Calcular la velocidad instantánea, usando derivadas y de manera
aproximada utilizando intervalos ∆t = 0,01 s, en el instante t = 3s, así como su módulo para un móvil cuya
r
r
r
ecuación del vector posición es: r (t) = [(t2 + t – 2) i + (4t – 1) j ] m
12. Razona si un motorista que lleve una velocidad constante a lo largo de un circuito cerrado sufrirá
aceleración.
13. Calcular la expresión del vector aceleración, usando derivadas o de manera aproximada utilizando
r
r
r
intervalos ∆t = 0,01 s, del movimiento cuyo vector velocidad era v (t) = [(2 t2 – 1) i + (3 t + 2) j ]
m/s en el instantes t = 5 s, así como su módulo.
14. Un móvil va por un circuito circular de 50 m de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la
r
ecuación:
v (t) = (4 t – 2) m/s. Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración normal; c) el
módulo del vector a a los 3 s.
15. Un móvil se desplaza por el plano XY según las ecuaciones paramétricas: x = t3 + 4; y = 2 t2 – t +5, en
unidades del SI. Calcula: a) la expresión de la velocidad y de la aceleración del móvil; b) Calcular el
módulo de la velocidad y de la aceleración para t = 12 s.
16. La ecuación de posición de un móvil es:
r
r
r
r
r (t) = (2 t2 + 2) i + [(8/3) t3 – 1] j + (t + 2) k (se expresa la
posición en metros al expresar el tiempo en segundos). Calcular: a) el vector velocidad y su módulo en
función de “t”; b) el vector aceleración y su módulo en función de “t”; c) la aceleración tangencial y la
normal en función de “t”; d) el radio de curvatura para t = 2s.
17. La posición de una partícula móvil viene en función del tiempo:
x = 4⋅t
y = 2⋅t2
Determina para t=1s: a) Los vectores velocidad y aceleración, así como sus módulos; b) Las componentes
intrínsecas de la aceleración c) el radio de curvatura de la trayectoria; d) La ecuación de la trayectoria
18. La ecuación de la posición de un móvil viene dada por:
r
r r
r
r = t3 i + 2⋅t j + k
Calcula: a) La velocidad media en el intervalo 2 y 5 segundos; b) La velocidad para t=0; c) La aceleración
en cualquier instante; d) La aceleración centrípeta y la tangencial
19. La componente x de la velocidad de un objeto viene dada por
v x = 3 t 2 −10 t + 25 y la componente vy es
constante e igual a 2m/s y está dirigida hacia abajo. Expresa en función de los vectores unitarios la
velocidad inicial vo del objeto y la velocidad a los tres segundos. ¿Cuál ha sido la variación de velocidad
entre esos dos instantes y su vector aceleración media?
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