Download EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
GRADO: 7
TALLER Nº: 4
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE 2
EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES
RESEÑA HISTÓRICA
Simón Stevin (1548-1620). En la historia de la Matemática,
Stevin es conocido como uno de los primeros expositores
de la teoría de las fracciones decimales. En la historia de la
Física se le conoce por sus contribuciones a la Estática e
Hidrostática. Entre los eruditos de su tiempo fue conocido
por sus trabajos sobre fortificación e ingeniería militar. Sus
contemporáneos le conocieron por la invención de un
carruaje con velas que, cargado con veintiocho personas,
se movía a una velocidad superior a la de un caballo al
galope.
Uno de los grandes objetivos de Stevin fue el hacer llegar los conocimientos
científicos de su época al mayor número de sus compatriotas. Para ello, atendiendo
especialmente a aquellos ciudadanos que no habían tenido acceso a una educación
escolar (impartida en latín) y, en consecuencia, estaban condenados a no poder
participar en actividad científica alguna, escribió la mayor parte de su obra en lengua
vernácula. Con ello, además de acercar la ciencia a un público no científico,
consiguió que sus libros fuesen poco o nada leídos por investigadores
contemporáneos de otros países.
 OBJETIVO GENERAL
Solucionar situaciones problemas en las cuales se utilicen expresiones decimales.
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Representar números racionales usando representaciones decimales
2. Operar con números decimales.
 PALABRAS CLAVES
Expresión decimal, fracción generatriz, denominador.
 DESARROLLO TEÓRICO
Los números decimales se utilizan en variadas ocasiones de la vida diaria. Algunas veces
estos se asocian a índices económicos, como cuando se dice que el dólar se encuentra a
521,1 centavos o que el IPC subió en un 1,1%, también cuando se utilizan cantidades que no
son exactas, como cuando se habla de que en el supermercado compramos 1.5kilos de
arroz o que para la receta se necesita 2.5 tazas de leche.
Los números decimales se encuentran formados por una parte entera, una coma y una parte
decimal, por ejemplo, 5,36 donde 5 es la parte entera y 36 la parte decimal.
El número que se encuentra a una posición al lado de la coma, se llama décimo; si se
encuentra a dos posiciones se llama centésimo; si se encuentra a tres posiciones milésimo,
y así sucesivamente; ya que la unidad es dividida en 10, 100 ó 1000, respectivamente.
Ejemplo:
1. La lectura del número 35,5897 es: 35 enteros, 5897 diez milésimos
2. La lectura de 0,8 es: 8 décimos
3. La lectura de 0,000008 será 8 millonésimos
Actividad: Escribe el número decimal correspondiente
a.
b.
c.
d.
e.
42 centésimas
3 décimas
22 enteros y 19 centésimas
237 milésimas
1 entero y 47 centésimas
Los números decimales son una forma de expresar números no enteros, es decir; números
racionales e irracionales.
En el caso de los números racionales las representaciones decimales son de dos tipos:
decimales exactos y decimales periódicos
Decimales exactos: es el número decimal que tiene un número limitado de cifras decimales,
proviene de números racionales cuya división se termina en número finito de pasos.
Ejemplo: El número decimal
3
5
0.6 sólo presenta una cifra decimal, las demás son ceros.
Decimal periódico es el número decimal que tiene una o varias cifras que se repiten
indefinidamente a partir de un cierto lugar, proviene de números racionales cuya división no
se termina en un número finito de pasos.
Ejemplo: El número decimal
40
11
3.63636363636...
3.636 presenta dos cifras que se repiten.
El grupo de decimales que se repiten se llama periodo y se utiliza una barra sobre estas
cifras para denotarlo.
Los decimales periódicos se pueden clasificar en dos tipos: decimales periódicos puros y
decimales periódicos mixtos.
Decimal periódico puro: es el número decimal en el cual la cifra o grupo de cifras que se
repiten empieza inmediatamente después de la coma.
Ejemplo:
a ) 56.78
b) 0.1259
Decimal periódico mixto: es el número decimal en el cual la cifra o grupo de cifras que se
repiten no empieza inmediatamente después de la coma.
Ejemplo:
a ) 896.25859
b) 74.45183
Representación fraccionaria de números decimales.
De lo anterior se concluye que todo número racional tiene una representación decimal que
puede ser periódica o exacta, y que todo número decimal periódico o exacto, puede
escribirse usando una fracción.
Veamos ahora los procesos para generar la fracción decimal. La intención es llevar el
número decimal a una fracción.
Representación fraccionaria de un decimal exacto.
Se escribe por numerador al número escrito sin coma decimal, y por denominador la
potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras decimales, ésta fracción se llama la
fracción generatriz, luego que se simplifique la fracción se encuentra el racional que
representa el decimal:
Ejemplo:
Encontrar la expresión fraccionaria de 0.568
Para convertir el numerador en entero se debe mover
la coma decimal 3 lugares hacia la derecha
La potencia de 10 que se usa en el denominador es
La fracción generatriz es entonces
Simplificando se tiene que
568
1000
568
1000
71
125
Representación fraccionaria de un decimal periódico puro.
Para encontrar la fracción generatriz de un decimal periódico puro se deben seguir los
siguientes pasos:
1. Encontrar una fracción que represente al decimal, suponer que la fracción es una
incógnita que se representará por x .
2. Multiplicar la fracción por una potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras tiene
el período
3. De la nueva ecuación se resta la que se tenia
4. Se despeja la incógnita x
Ejemplo
Encontrar la representación fraccionaria de 3.36
Ecuación inicial
x
En este caso el periodo tiene dos cifras
por tanto se multiplica por 100
100x 100 3, 36
De la nueva ecuación se resta la que se tenia
100x x
Se despeja la incógnita
3, 36
100x
x
336, 36
336, 36 3, 36
99x 333
333 37
99 11
Representación fraccionaria de un decimal periódico mixto.
Para encontrar la fracción generatriz de un decimal periódico mixto se deben seguir los,
siguientes pasos:
1. Suponer que la fracción es una incógnita, que se representara por x .
2. Multiplicar la fracción por una potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras
decimales haya desde la coma hasta finalizar el período.
3. Multiplicar la fracción por una potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras
decimales haya antes del periodo.
4. Restarle a la segunda ecuación que se encontró la tercera ecuación
5. Se despeja la incógnita x
Ejemplo
Encontrar la representación fraccionaria de 0.23745
Ecuación inicial
x
0,23745
100000x 100000 0,23745
En este caso se tiene 5 cifras después de la coma
100000x
23745, 45
1000x 1000 0,23745
En este caso se tiene 3 cifras después de la coma
Restarle a la segunda ecuación que se encontró
la tercera ecuación
Se despeja la incógnita
1000x
237, 45
100000x 1000x
99000x
x
23508
99000
23745, 45 237, 45
23508
653
2750
ACTIVIDAD 1:
1. Relaciona las expresiones decimales con cada fracción correspondiente:
5
3
3
8
7
2
4 7 1 9
3 11 4 10
0,16 0,375
1, 3
1, 6
1
6
0,25
3,5
0, 63
0,9
2. Para preparar una receta necesitas tres cuartos de crema de leche, media taza de
azúcar, 5 huevos, tres tazas y media de leche condensada y un cuarto de taza de jugo
de limón. Escribe los números decimales que expresan la cantidad de cada
ingrediente.
3. Calcula las fracciones generatrices de:
a ) 5, 45
b) 3,456
c) 85,569
d)
19,5691
 OPERACIONES CON DECIMALES.
Adición y sustracción: Para sumar o restar números decimales se siguen los siguientes
pasos:
1. Se anotan los números en forma vertical, de modo que las comas queden en la misma
columna.
2. Se suma o resta en forma normal, luego se baja la coma (bajo su columna) y se agrega
al resultado.
Ejemplo:
345,256
50,16
8,906
404,322
Multiplicación: se siguen los siguientes pasos
1. Se resuelve la multiplicación sin considerar la coma
2. Una vez que se hizo la multiplicación, se cuentan cuantos espacios después de la
coma están ocupados, y a partir del último número del resultado se cuentan hacia la
izquierda los mismos espacios y se coloca la coma.
Ejemplo: Encontrar el resultado de multiplicar 45,6 por 3,26.
Al multiplicar los números 456 y 326 se obtiene 148656. Como después de la coma se tienen
3 espacios (,456 y ,326) entonces se cuentan 3 espacios hacia la izquierda, y por lo tanto el
resultado es: 148,656
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Completa las siguientes tablas:
+
0,25
45,66
37,756
0,12
23,9
34,8
9,32
114,45
9,36
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones :
a) 8,9 5
con
0,78
b)
4,5 10
con
357,82
3. Un auto recorre 94,5 km. en 1 hora. ¿Cuántos km. Recorrerá en 5 horas?
4. En el taller de un mecánico están amontonadas varias láminas de cobre: una de
0,7mm; 3 de 2,4 mm; cinco de 1,75 mm y dos de 0,85 mm ¿Qué altura tiene el
montón?
5. Si un Kilo de papas cuesta $ 1.570 ¿Cuánto se debe pagar por?:
0,750 k. _______
1,5 k. ________
0,500 k. _______
6. Hay 4 bloques grandes y 2 pequeños. Los bloques de igual tamaño pesan lo mismo, el
peso de un bloque grande es el mismo que dos de los pequeños, todos los bloques
juntos pesan 7,5 Kg. ¿Cuánto pesa el bloque más grande?
7. Rosa tiene 132,6 pesos, María tiene 5 veces más que Rosa ¿Cuántas pesos tiene
María?
8. Desde el punto de vista nutricional, un pan integral aporta:
Proteínas
Hidratos de carbono
Lípidos
9 gramos
57,5 gramos
1,5 gramos
a) ¿Qué cantidad de nutrientes incorpora una persona que ingiere 3 de estos panes?
b) Si un niño come 2 de estos panes diariamente de lunes a viernes. ¿Cuántos panes
comió en total?
c) ¿Qué cantidad de nutrientes incorporó al cabo de esos días?
9. El Departamento de Bienestar de una empresa decidió comprar a precio rebajado sacos
de legumbres para el invierno y repartirlas en partes iguales a sus asociados. Este año
compraron 100 kg los cuales repartirán entre sus 40 socios. ¿Cuánto recibe cada
trabajador?
10. Se cuenta con un trozo de cartulina que mide 30 cm de largo por 2 cm de ancho. Se
desea confeccionar tarjetas de 2,5 cm de largo por 2 cm de ancho cada una. ¿Cuántas
tarjetas del tamaño indicado se pueden obtener si se utiliza al máximo la cartulina?
11. El rendimiento promedio de cierto tipo de auto en carretera es de 14,8 kilómetros por
cada litro de gasolina, es decir; con un litro de gasolina puede recorrer 14,8 km. Si en
determinado momento el tanque contiene 9,5 litros de gasolina ¿el auto alcanza a
recorrer 160 km?
12. Carlos y Margarita tienen una discusión respecto el cálculo del precio de un cuarto kilo
de queso. Carlos dice que como ¼ de kilo es equivalente a 0,250 Kg. entonces se debe
multiplicar el precio del kilo por 0,250 para obtener el total a pagar. Sin embargo,
Margarita dice que es mejor dividir el precio del kilo de queso por 4, ya que corresponde
a la cuarta parte.
a) ¿Quién tiene la razón?
b) ¿Qué diferencias hay entre los dos procedimientos?
c) ¿Cuál de los cálculos realizados puede resultar más rápido?
13. La dueña de un negocio compra 100 kilos de lentejas y decide envasarlos sólo en
bolsas de 0,5 kg. Una de sus hijas le propone resolver 100 x 0,5 para obtener el total de
bolsas; en cambio, su otra hija multiplica 100 x 2
a) ¿Quién llega a una respuesta correcta?
b) ¿Qué diferencias hay entre ambos procedimientos?
 PEQUEÑOS RETOS
1. La suma de 5 enteros consecutivos es 260. El menor es:
a)
b)
c)
d)
45
50
52
55
2. Con los dígitos 2, 4, 6, 9, se forma una fracción utilizando dos dígitos en el numerador y
dos dígitos en el denominador, entonces la menor fracción que se puede formar es:
a)
b)
c)
d)
1/4
3/31
21/48
8/23